范文一:高等数学第一章笔记
高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记?
第一章 1、设 x, y 为两个变量, D
为数集,若对 ? x ∈ D ,按某一对应关系 f ,总有唯一确定的一个数 y 与 x 相对应,则 称对应关系 f 是定义在 D 上的函数, 习惯上也称 y 是 x 的函数, 记作? y = f ( x ) x ∈ D ) ,其中 x 称为自变量, y 称 ( 为因变量,也称对应于自变量 x 的函数值.? ? 2、函数的三要素:定义域,值域,对应法则? 3、对于函数 y=f(x),当该函数有实际意义时,它的定义域按实际意义确定.当函数没有实际意义时,它的定义域是 指使函数有意义的全体实数,这样的定义域称为自然定义域,一般所说的定义域大多指自然定义域.? 4、函数的表示法: (1)图形法(2)表格法(3)解析法? 5、函数的几种特性:函数的单调性? 、函数的有界性、函数的奇偶型性、函数的周期性? 6、 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 区间 I ? D. 如果对于 I 上任意两点 ?
x1
及
x2
, x1 < x2="" 时,="" 当="" 恒有="" f="" (="" x1="" )="">< f="" (="" x="" 2="" )="">
成立,则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加;如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 ,当 x1 < x="" 2="">
f (x1) > f (x2) 成立,则称函数 f ( x) 在区间 I 上单调减少.? 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.?
从图象上看,? 增函数的图象自左向右逐渐上升;? 减函数的图象自左向右逐渐下降.? 7、对于给定的数列{? ? ? },如果当? n? 无限递增大时,数列趋近于某一确定的常数? a? ,则称 a 为数列的极限,或称数 列收敛于 a,记为 lim xn = a 或 xn → a (n → ∞) ?
n →∞
9、 如果数列没有极限,就说数列是发散的。? 9、 收敛数列的性质: (1)唯一性:若 lim xn = a ,且 lim xn = b ,则 a = b ?
x →∞ x →∞
(2) 有界性:若 lim xn 存在,则 xn 有界?
x →∞
(3) 保号性:若 lim xn = a (a > 0或a < 0),="" 则?n="" ,="" 当n=""> N 时, n > 0(或 < 0)="">
n →∞
x
反之,若xn ≥ 0(≤ 0), 则 lim xn ≥ 0(≤ 0) ?
n →∞
10、函数的极限的加减乘除等于函数的加减乘除的极限? 11、数列极限存在准则: (1)单调有界数列必有极限(2)夹逼准则? 12 、 如 果 在 ? x → x0 的 过 程 中 , 对 应 的 函 数 值 无 限 接 近 于 确 定 的 数 值 A , 则 称 ? A 是 函 数 f(x) 当 ? ? ? ? ? ? 时的极限,记作 lim f ( x ) = A ?
x → x0
? ? ? 精确的有: lim f ( x ) = A ? ?ε > 0 ?δ > 0 ? 当0 < x="" ?="" x0="">< δ="" 时,="" (="" x="" )="" ?="" a="">< ε="" 成立="" ?="">
x → x0
13、函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保号性? 14、如果数列 {x n } 、 {y n }、 {z n }满足? 对任意的 n ,有 y n ≤ x n ≤ z n 且 lim yn = lim zn = a ,则 lim x n = a .?
n →∞ n →∞
n →∞
15、 对于函数 f ( x ) , ? 如果存在函数 g ( x ) 和 h( x ) , (1) x ∈ U ( x 0 , δ ) ?(或 | x |> M ) 有 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ? ? ? ? 使? 当 时, (2) lim g ( x ) = lim h ( x ) = Α ? ? ? ? 则? lim f ( x ) = Α ? (这里 " lim" 下面没有标明自变量的变化过程,实际是指在自变量的同一变化过程,如 x → x0 或 x → ∞ 等)? 16、重要极限 lim
1 1 sin x = 1 ? ? ? lim(1 + ?) ? = e, 或 lim(1 + ) Θ = e ? ?→ 0 Θ→∞ x →0 Θ x
°
17、单调有界数列必有极限.? ? ? ? ? 若函数 f ( x) 在点 x0 处的某一侧邻域内单调有界,则当 x → x0 时,函数 f ( x) 的相应单侧极限必存在.? 18、 y = f [g ( x )] 是由函数 y = f (u ) 和 u = g ( x) 复合而成, 设 且它在
u →u0
x 0 的某去心邻域内有定义. 若 lim g ( x ) = u , ? 0
x → x0
lim f (u ) = Α ,则 lim f [g ( x )] = lim f (u ) = Α .?
x → x0 u →u 0
19、如果函数 f (x ) 当 x → x0 (或x → ∞) 时的极限为零,则称函数 f (x ) 为当 x → x0 (或x → ∞) 时的无穷小,记 作 lim f ( x) = 0 (或 lim f ( x) = 0 ) .? 20、对于函数 f (x ) , lim f ( x ) = A ( A 为常数)的充要条件是 f ( x ) = A + α ,其中 α ? 是无穷小量.? ? ? 21、有限个无穷小量的代数和仍是无穷小? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有限个无穷小的乘积也是无穷小? ? ? ? ? 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 常数与无穷小的乘积仍是无穷小? 22、 设函数 f (x ) , 对于给定任意大的正数 M , 都存在 δ(或 N) 当 0 <| x="" ?="" x="" 0="">|>< δ="" 时="" ,="" (或|x|="">N) 恒有 | f ( x ) |> M , ,
1?
x → x0
x →∞
则称函数 f (x ) 当 x → x0 (或 x → ∞ )时为无穷大,记作 lim f ( x) = ∞ (或 lim f ( x) = ∞ ) .?
x → x0
x →∞
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,则函数 f (x ) 为正无穷大(或函数 f (x ) 为 如果将上述定义中的 | f ( x ) |> M 改为 f ( x ) > M (或 f ( x ) < ?="" m="" )="" 负无穷大)="" ,分别记为="" lim="" f="" (x)="+∞(或" lim="" f="" (="" x)="?∞" )?="" 23、?="" ?="" 无穷小?="" ?="" 1)无穷小与自变量的变化过程相联系?="" 无穷小与无穷大="" ?="" 2)无穷小不是很小的数,它是函数,是变量?="" ?="" 3)0="" 是特殊的无穷小,但它不是数="" 0?="" 的注意?="" ?="" ?="" 24、在自变量的同一变化过程中,若函数="" f="" (x="" )="" 为无穷大,则函数="" 且="" f="" (="" x="" )="" ≠="" 0="" ,则函数="" 无穷大?="" 1)无穷大量与函数无界?="" 2)无穷大不是很大的数?="" 3)无穷大与自变量的变化过程有关?="">
1 为无穷小;反之,若函数 f (x ) 为无穷小, f ( x)
1 为无穷大.? f ( x) 25、无穷小的比较:? 设 α 和 β 都是自变量某一变化过程中的无穷小?
显然等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即 C = 1 的情形.? ? 26、利用等价无穷小求极限:若 α ~ α ′ , β ~ β ′ ,且 lim
1
β α β 如果 lim α β 如果 lim α β 如果 lim α
如果 lim
= 0 ,则称 β 是比 α 高阶的无穷小,记作 β = (α ) ;?
= ∞ ,则称 β 是比 α 低阶的无穷小;? = C ≠ 0 ( C 为常数) ,则称 β 与 α 是同阶无穷小;? = 1 ,则称 β 与 α 是等价无穷小,记作 α ~ β .?
β′ β β′ 存在,则 lim = lim .? α′ α α′
1 ;? ;? x ( x → 0 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)? sin x ~ x ( x → 0 ) n ;? ;? (3)? tan x ~ x ( x → 0 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)? ln(1 + x ) ~ x ( x → 0 ) x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (5)? e ? 1 ~ x ( x → 0 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (6)? arcsin x ~ x ( x → 0 ) ;? ;? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (7)? arctan x ~ x ( x → 0) ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (8)? 1? cos x ~ x 2 ( x → 0 ) .? 2 28、设函数 f ( x ) 在点 x 0 及其邻域内有定义.如果 lim f ( x ) = f ( x0 ) ,则称函数 f (x ) 在点 x0 处连续.?
27、常用的等价无穷小: (1)? (1 + x) n ? 1 ~
x → x0
29、设函数 y = f (x ) 在点 x0 的某一邻域内有定义,如果自变量的增量 Δx 趋于零时,相应的函数的增量 Δy 也趋于 零,即 lim Δ y = lim [ f ( x 0 + Δ x ) ? f ( x 0 )] = 0,则称函数 f ( x ) 在点 x 0处连续。?
Δx → 0 Δx → 0
30、 如果函数 y = f (x ) 在点 x0 及左侧邻域有定义, 而且 lim? f ( x) = f ( x0 ) , 则称函数 y = f (x ) 在点 x0 处左连续. ?
x → x0
如果函数 y = f (x ) 在点 x0 及右侧邻域有定义,而且 lim+ f ( x) = f ( x0 ) ,则称函数 y = f (x ) 在点 x0 处右连续. ?
x → x0
显然,如果函数 y = f (x ) 在点 x0 处连续,则函数 y = f (x ) 在点 x0 处既左连续又右连续;反之,如果函数
y = f (x) 在点 x0 处既左连续又右连续,则函数 y = f (x) 在点 x0 处必连续.? 31、如果函数 f (x ) 在开区间 ( a, b) 内每一点处都连续,则称函数 f (x ) 在开区间 ( a, b) 内连续,或者称 f (x ) 是开区 间 ( a, b) 内的连续函数.? 如果函数 f (x ) 在开区间 ( a, b) 内连续,在左端点 x = a 处右连续,在右端点 x = b 处左连续,则称函数 f (x ) 在
闭区间 [a, b] 上连续,或者说 f (x ) 是闭区间 [a, b] 上的连续函数.? 连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线.? 32、一切基本初等函数在其定义域内都是连续的? 33、由函数在某点连续的定义和极限四则运算法则,可以得出结论,连续函数的和、差、积、商(存在的话)仍然 是连续函数.?
2?
高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记?
另外,设 y = f (u ), u = g ( x ) ,若 u = g (x ) 在 x = x0 处连续, y = f (u ) 在 u = u 0 处连续( u 0 = g ( x0 ) ) ,则
y = f [ g ( x )] 在 x = x0 处连续.即连续函数的复合函数仍为连续函数.?
据此可以证明,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间就是包含在定义域内的区间.? 34、由函数连续性的定义可知,函数 f (x ) 在点 x 0 处连续必须同时满足下列三条件:?
lim (1)函数 f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义;? ? ? ? (2) lim f ( x) 存在;? ? ? (3) x → x0 f ( x ) = f ( x 0 ) ;?
x→ x0
如果函数 f (x ) 在点 x0 处不满足上述三个条件中任何一个,则函数 f (x ) 在点 x0 处不连续,也称函数 f (x ) 在点
x 0 处间断.称点 x 0 为函数 f (x ) 的不连续点或间断点.? 函数的间断点可分为两类: 设点 x 0 是函数 f (x ) 的间断点, 如果该函数在点 x0 处的左、 右极限都存在, 则称点 x0
为第一类间断点;把不是第一类间断点的任何间断点都叫做第二类间断点.第一类间断点包括可去间断点和跳 跃间断点,可去间断点是指极限存在的间断点,跳跃间断点为左、右极限存在但是不相等的间断点,而无穷间 断点和振荡间断点属于第二类间断点.? 35、闭区间上连续函数的性质:最值存在定理、有界性定理、零点存在定理、介值定理? 36、设函数 f ( x) 的定义域为 I ,如果对于任意的 x ∈ I ,都有 f ( x) ≤ f ( x0 )(或者f ( x) ≥ f ( x0 )) ,则称 f ( x0 ) ? 是 函数 f ( x) 在区间 I 上的最大值(或最小值)? 37、闭区间上连续函数一定在该区间有最大值和最小值? 38、有界性定理:闭区间上的连续函数在该区间有界。? 39、如果函数在开区间内连续,或者函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。?
?? x + 1, 0 ≤ x < 1="" ?="" 例如:y="x" 在开区间(a,b)内是连续的,但在(a,b)内无最大值和最小值。又如函数="" y="f" (="" x="" )="" ?1,="" ?="" x="1" ??="" x="" +="" 3.1="">< x="" ≤="" 2="">
在闭区间[0,2]上有间断点 x=1,f(x)在此区间上无最大最小值? 40、若 x0 使得 f ( x0 ) = 0 ,则称 x0 为函数 f ( x) 的零点。? 41、设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且 f (a ) 与 f (b) 异号,那么在开区间 (a, b) 内至少存在函数 f ( x) 的一个 零点。? 42、函数在闭区间上连续,且在区间端点取值不同, f (a ) = A , f (b) = B , ( A ≠ B ) 那么对于 A 与 B 之间的任意 一个常数在开区间(a,b)内至少有一点 ξ ,使得 f (ξ ) = C ? 推论:闭区间上的连续函数可以取得介于最? 大值与最小值之间的任何值?
3?
范文二:高等数学第一章1
高数第一周测试题
出题人:洪义伟 姜继伟 贾西南 马刚
一、选择题
1. 数列有界是函数收敛的( )
A 充要条件 B 必要条件
C 充分条件 D 即非充分条件又非必要条件 2. 根据limXn=a的定义,对任给ε>0,存在正整数N ,使得对于n >N 的一切Xn ,不等式|Xn—a|<ε都成立,这里的N ()
A 是ε的函数N (ε),且当ε减小时N (ε)增大
B 与ε有关,但ε给定时N 并不唯一确定
C 是由ε所唯一确定的
D 是一个很大的常数,与ε无关
3. f(x)=在其定义域(—∞,+∞)上是 ( )
的周期函数 A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为
C 最小正周期为的周期函数D 非周期函数
5. 函数f (x )=(x ∈R )的值域是( )
A (0,1) B (0,1]
C [0,1)
D [ 0 , 1 ]
7. 函数f (x)=x 2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是增函数,则f (1)等于 ( )
A -7 B 1
C 17 D 25
8. 下列函数是无穷小量的是( )
( )
A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1)
C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2)
A 1 B ∞ C 2 D 0
二、填空题
13. 求 的定义域____________。
f (f x ) =?14. 已知求(5) ____________。x < 8?f="" [f="" (x="" +5)],="" ?x="" -3,="" x="">
15. 数列 的极限______。
16. 求函数 的极限______。 三、 解答题
17. 求函数 在指定定义域下的单调性。
18. 求 的极限。
19. 用数列极限的定义证明 。
20. 用函数极限的定义证明 。
21. 根据定义证明
22. 求 的极限。
范文三:高等数学第一章答案
第一章 函数
第一节 函数的概念
1. (1)[-2, +∞) (2)(-∞, -1) ?(-1, 1) ?(1, +∞). (3) (-2, 2). (4) [0, +∞). (5) [2, 4]. 3
(6) (1,2)?(2,+∞) (7) [-1,1) (8) (-∞, 0) ?(0, 3)
2. (1)由0≤e ≤1得x ≤0, 即函数f (e ) 的定义域为(-∞, 0].
(2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x ) 的定义域为[1, e ].
(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x ) 的定义域为[0, tan 1].
(4) 由0≤ cos x ≤1得2n π-x x π≤x ≤2n π+π(n =0, ±1, ±2, ???), 22
即函数f (cos x ) 的定义域为[2n π-π, n π+π], (n =0, ±1, ±2, ???) 22
3. ?π) =|sin π|=1, ?(π) =|sin π|=2, ?(-π) =|sin(-π|=, ?(-2) =0 662442442
4. f (x ) =2(x -3) -2(x -3) +5(x -3)-1 32
1 |e x |<11 x="">11><0????5. f="" [g="" (x="" )]="?0" |e="" x="" |="1," 即f="" [g="" (x="" )]="?0" x="">0????5.>
???-1 |e x |>1?-1 x >0
e 1 | x |< 1e="" |x=""><1???? 1,="" 即g="" [f="" (x="" )]="?1" |x="" |="1." g="" [f="" (x="" )]="e" f="" (x="" )="?e" 0="" |="" x="" |="">1????>
-1?? 1?e | x |>?e -1 |x |>1
第二节 函数的几种特性
1. (1)证明略 (2)证明略 2.证明略3.证明略
4. (1)是周期函数, 周期为l =2π. (2)是周期函数, 周期为l =π.(3)是周期函数, 周期为l =2. 2
(4)不是周期函数. (5)是周期函数, 周期为l =π.
第三节 初等函数
1. (1)y =sin 2x , y 1=sin 2π=(12=1,y 2=sin 2π=(2=3. 624324
(2)y =sin2x , y 1=sin(2?π=sin π=,y 2=sin(2?π=sin π=1. 42842
(3)y =+x 2, y 1=+12=, y 2=+22=.
(4)y =e x 2, y 1=e 02=1, y 2=e 12=e .
(5)y =e 2x , y 1=e 2?1=e 2, y2=e 2?(-1) =e -2.
22.(1)y =arccos u , u =v , v =1-x (2)y =u , u =sec v , v =2x -2π
4
(3
)y =sin u , u =cos v , v =e w , w =
4
)y =ln u , u =v =x 2+1 1
3.
(1)-111cos10α-cos 6α,(2)sin 8α+sin 2α,(3)sin (6α+2β)-sin (6α-2β)??[][]??222
1(4)?sin (6α+2β)-sin (6α-2β)???2
7.(1)是 (2)是
(3)是 (4)不是
第四节 两个常用不等式
1. 证明略2. 证明略
总复习题一
-∞
-2,0],(3)2+,(4)f (x ) =?1≤x ≤16x ?log x 16
2.(1)B (2)C (3)C (4)C
21?1-x ?123. (1)f ?f x =f f 2=,(2)-(3)f (x ) =x -2 ???(
)() ?????34?1+x ?432R 2(2π-α) 2R 14πα-α22=(2π-α) ?πα-a 3.V =π? (0<><2π). ?r="">2π).>
2
范文四:高等数学第一章总结(DOC)
高等数学
多元函数微分法
及其应用学习总结
一(知识结构图
多元函数微分学:
, 基本概念(区域.定义.极限.连续)
, 偏导数(定义.计算.高阶偏导数)
, 全微分(定义.计算.必要条件.充分条件)
, 多元复合函数导数(链式法则.全导数)
, 隐函数求导法则(一个方程.方程组)
, 多元函数微分学的几何应用(曲线以及曲面的切线和法平面) , 方向导数及其梯度
, 多元函数最值及其求法
二(内容提要
1) 二次极限定义:
,,,0yp 设f(x,y)的区域D内有定义,(,)是D的聚点,若>0,,,,x000
f(x,y),A,,p当点P(x,y)满足||<>
(x,y)f(x,y),Af(x,y),Ay)趋向时以A为极限,记作或. 00limlimx,x,y,y(x,y),(x,y)0o002) 二元函数连续性定义
p(x,y)U(P,,) 设函数在点的某个邻域内有定义,若Z,f(x,y)0000
p(x,y)f(x,y),f(x,y),则称二元函数Z,f(x,y)在点处连续,点00000limx,xy,y,00
p(x,y)f(x,y)称为的连续点。 000
p(x,y)U(P,,)Z,f(x,y) 设函数在点的某个邻域内有定义,分别给自0000
f(x,,x,y,,y),f(x,y)x,y变量x,y在处以增量?X,?y,得到全增量?Z=。000000
p(x,y),Z,0Z,f(x,y)如果极限,则称在处连续。 000lim,x,0,,y,0
3) 偏函数几何意义
' 如果函数的偏导数为曲面与平面的交y,yZ,f(x,y)f(x,y)Z,f(x,y)0x00
'p(x,y)线在点处关于x轴的斜率;为曲面与平面的交(x,y)y,yZ,f(x,y)f000000y
p(x,y)线在点处关于y轴的斜率。 000
4)偏导函数
如果函数在区域D内任一点都存在偏导数,则称函数在Z,f(x,y)Z,f(x,y)
,z,fD 内可导,这个新的函数关系式称为的偏导函数,记作或Z,f(x,y),,x,x
'(x,y)。 fx
5)偏导数计算
''f(x,y)(x,y)a. 求时,只要把中的y固定(看作常数),仅对x求导;求Z,f(x,y)fyx
时只要把中的x固定(看作常数),仅对y求导。 Z,f(x,y)
''f(x,y)(x,y)xyb. 是一元函数在处的导数,是一元函数在的导数,Z,f(x,y)f0y0x
所以偏导数实际仍是一元函数的求导问题。 6)高阶偏导数
,Z,z'',f(x,y),,f(x,y) 定义:设函数在区域D内有偏导数,Z,f(x,y)xy,X,y
如果在D内
''f(x,y)(x,y) ,仍可导,则称他们是偏导数的二阶偏导数,分Z,f(x,y)fyx
22,z,,z,z,,z'''',(),f(x,y),(),f(x,y)别是 xxyy22,x,x,x,y,y,y22,z,,z,z,,z'''',(),f(x,y) ,(),f(x,y) xyyx,x,y,y,x,y,x,x,y
''''f(x,y)f(x,y)Z,f(x,y)其中,称为的二阶混合偏导数。以此类推,可以定义xyyx
三阶和三阶以上的偏导数。
7)微分定义
''dz,f(x,y)dx,f(x,y)dy x00y00
8)可微的必要条件
若函数在(x,y)处可微分,则在点(x,y)处必Z,f(x,y)Z,f(x,y)可导,且全微分
,z,zdz,dx,dy,x,y
9)可微的充分条件
若函数在(x,y)处的偏导数存在且连续,则在点(x,Z,f(x,y)Z,f(x,y)y)处必可微。
10)方向导数和梯度
p(x,y) 若函数在点的某个领域内有定义,自点引射线(x,y)Z,f(x,y)00000L,设x轴正向到射线L的转角为α,y轴正向到射线L的转角为β。该邻域中的另一
p(x,,x,y,,y)p点在L上,当p沿L趋向于时,极限10001
f(x,,x,y,,y),f(x,y)0000存在,则称此函数极限值为函数 lim,,,0,
,zp(x,y)在点处沿L的方向导数,记作,即Z,f(x,y)000,l
,zf(x,,x,y,,y),f(x,y)0000=。 lim,,,0,,l
,z,z,zp(x,y) 若函数在点可微分,则=cosα+cosβ。 Z,f(x,y)000,y,l,x
,z,zi,j 设函数p(x,y)Z,f(x,y)在点可微分,则称向量为Z,f(x,y) ,x,yp(x,y)f(x,y)在处的梯度,记作grad,即
,,z,z,z,z,,i,jf(x,y) grad== ,,,x,y,x,y,,
p(x,y)Z,f(x,y) 梯度的方向是函数在点处方向导数取得最大值的方向,梯
gradf(x,y)度的模即为方向导数的最大值。
11)多元函数求导法则
设,在点(x,y)处可导,而函数在相应的(u,u,,(x,y)v,,(x,y)z,f(u,v)
v)
处可微,则复合函数在点(x,y)处可导,且偏导数为 ,,z,f,(x,y),,(x,y)
,z,z,u,z,v,z,z,u,z,v,,,, ,,,,,x,u,x,v,x,y,u,y,v,y
设在点t处可导,而函数在相应的(u,v)处可u,,(t),v,,(t)z,f(u,v)微,
则复合函数在点t处可导,且全导数为 z,f(,(t),,(t))
dz,zdu,zdv,,,, dt,udt,vdt
12)隐函数求导
p(x,y) 1.设函数在的某邻域内有一个连续的偏导数,且F(x,y)000
, F(x,y),0
'p(x,y)F(x,y),0则方程=0在的某个邻域内恒定能确定一个单值连续且F(x,y)000y
具
'dyFx,,y,f(x)有连续导数的一元函数,并且. '0dxFy
P(x,y,z)0000 2.设函数在在的某个邻域内有连续的偏导数,且F(x,y,z)
'P(x,y,z)0000F(x,y,z)=0,0,则方程=0在的某个领域内F(x,y,z)F(x,y,z),000z000
恒能确定
z,f(x,y)一个单只连续且具有连续偏导数的函数z,f(x,y),满足条件, 000
''F,zF,zyx,,,,并有,.。 '',xF,yFzz
13)空间曲线方程切线及其法平面
x,x(t),
, 设空间曲线参数方程为,其中都是可微函,:y,y(t)x(t),y(t),z(t),
,z,x(t),
数,
x,x(t)x,x(t),,
,,且在曲线上,对应,则曲线在点 ,:y,y(t),:y,y(t)t,tM(x,y,z),,00000
,,z,x(t)z,x(t),,
''',T,x(t),y(t),z(t),的切线向量为 M(x,y,z)0000000
x,xy,yz,z000切线方程为:,, '''x(t)y(t)z(t)000
'''法平面方程: x(t)(x,x),y(t)(y,y),z(t)(z,z),0000000
三(典型例题
22xy1)判断是否存在. lim222x,x,y,y00xy,(x,y)
分析:选择直线,是的极限和k值有关,从而说明极限不存在, y,kx
这是判断二重极限是否存在的一个常用方法。
422xxylim,1解: 当沿直线y=x趋向于0时,= (x,y)lim4222x,xx,x,y,y000xxy,(x,y)当(x,y)沿直线y=2x趋向于0时,
2224x4xxy,lim,0limlim ,242222x,0x,xx,x,y,y0004x,xx4,1xy(xy),,
因为沿不同路径趋向于0时,函数极限不等,所以原式极限不存在。
x22f(x,y)xyxytan,,,f(tx,ty)2.已知,试求. y
解:
x22?f(x,y),x,y,xytany
x22222?f(tx,ty),tx,ty,ttany
x,t(x,y,ttan)y 2?f(tx,ty),tf(x,y)
22,z,zx,y3.设 z,fxyef(sin,cos,),其中具有二阶连续偏导数,求,.2,x,x,y
解:
,z'1x,y,fcosx,fe13,x
2,z''''x,y'''''x,yx,y'x,y,(fcosx,fe)cosx,f(,sinx),(fcosx,fe)e,fe12131313332,x
2''x,y'''2(x,y)''x,y',cosxf,2ecosxf,sinxf,ef,ef121313332,z''x,y''''x,y''x,yx,y',(,sinyf,ef)cosx,(,sinyf,ef)e,ef121332333,x,y
''x,y''x,y''''x,yx,y',(,sinyf,ef)cosx,(ef,sinyf)e,ef121333323
x,y4.设 z,arctan,求dz. x,y
解:
,z12yy,,(,),,222x,y,x(x,y)x,y21,()x,y
,z12xx,,,222x,y,y(x,y)x,y21,()x,y
x,zdz,dx,dy22 x,y,y
2,z2225.设x,y,z,4z,0,求. 2,x
222F(x,y,z),x,y,z,4z,则F,2x,F,2z,4. 解:方法一:设当 xz
,zx,.x,2时, ,x2,z
在对x求一次导得:
,zx(2,z),x(2,z),x()222,z(2,z),x,x2,z ,,,2223,x(2,z)(2,z)(2,z)方法二:
,z,z2x,2z,,4,0,x,x对方程直接求导:
22,z,z,z,z2,2,2z,4,022,x,x,x,x再次对两边求导得:
222,z(2,z),x,,23,x(2,z)
236.求曲线在点(1,1,1)所对应的的切线及其法平面方程. x,t,y,t,z,t
'''2x,1,y,2t,z,3t解: 因为,点(1,1,1)所对应的参数 ttt
t,1,所以T,(1,2,3).0
于是切线方程为:
x,1y,1z,1,, , 123
法线方程为: (x,1),2(y,1),3(z,1),0
即: x,2y,3z,6
2228.求曲线在点(1,-2,1)处的切线和法平面方程 x,y,z,6,x,y,z,0
解: 将方程两边对x求导并移项,得
dydz,y,z,,x,dxdx ,dydz,,,,1dxdx,
,xzy,x
,111,1dyz,xdzx,y,,,,,. 由此得: yzyzdxy,zdxy,z
1111
dydz ,0,,,1 dxdx(1,,2,1)(1,,2,1)
从而 故切线方程为: (x,1),0,(y,2),(z,1),0,T,(1,0,,1).
x,z,0 即
xyz,22x,y9求函数 ,当时的全微分。 x,2,y,1,,x,0.01,,y,0.03
22222232,zy(x,y),2xy,zx(x,y),2xyx,xy,,,,222222222,x(x,y),y(x,y)(x,y)解 ?x,2,y,1
3(41)852210,z,,,z,,,?,,,,,9999,x,y
511031,z,zdz,,x,,y,,,,,,9100910036,x,y
2211求曲面 x,y,z,9在点p(1,2,4)切平面和法线方程.0
解: 设
22f(x,y,z),x,y,z,由梯度与等值面的关系可知,梯度
,f,(2xi,2yj,k),2i,4j,kp0(1,2,4)
f(x,y,z),9在点p的法线方向,因此切平面方程是 的方向是等值面 0
(2x,1),4(y,2),(z,4),0
即 2x+4y+z=14
p 曲面在处的法线方程是 0
x,1,2t,y,2,4t,z,4,t
t1,t2t,1x,,y,,z,t12求曲线在对应于处的切线以及法平面的方程。 1,tt
13.求函数
。u,xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数
33214..求函数的极值. f(x,y),x,y,3x,9x
2,f(x,y),3x,6x,9,0,x解: 先解方程组 ,2f(x,y),,3y,6y,0,y,
求得驻点为(1,0)(1,2)(-3,0)(-3,2)
f(x,y),6x,6,f(x,y),0,f(x,y),,6y,6.再求出二阶偏导 xyxyyy
2在点(1,0)处, AC,B,12,6,0,又A,0,所以函数在(1,0)处有极小值.F(1,0)=-5;
2在点(1,2)处,AC,B,-12,6,0,所以f(1,2)不是极值;
2在点(-3,0)处,AC,B,,12,6,0,所以f(,3,0)不是极值;
2 在点(-3,2)处,AC,B,,12,(,6),0,又A,0,所以函数在(-3,2)处有极大值f(,3,2),31
16.要造一个容积等于定数的长方形无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使他表面积最小。
范文五:高等数学第一章习题
第一章 函数 第一节 函数的概念
1. 求下列函数的定义域:
(1
)y = (2)y =1
(3
)y =
(5)y =arcsin(x -3) (7
)y =
1-x 4
)y =
6)y =1
ln(x -1)
8y =arctan 1x ) ( ( (
2.设f (x ) 的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:
(1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ).
?|sin x | |x |<π?3, 求?(π)="" ,="" ?(π)="" ,="" ?(-π)="" ,="" ?(-2)="" 。="" 3.设?(x="" )="">π?3,>
π464?0 |x |≥
?3
.
4.设f (x +3) =2x -2x +5x -1, 求f (x ) ;
1 |x |<>
5.设f (x ) =?0 |x |=1, g (x ) =e x , 求f [g (x )]和g [f (x )]。.
??-1 |x |>1
3
2
.
第二节 函数的几种特性
1.试证下列函数在指定区间内的单调性:
x
(1)y =, (-∞, 1);
1-x (2)y =x +ln x , (0, +∞).
2.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l ) 上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积
是奇函数.
3.证明f (x ) =
1
在(0,1)内无界 2x
4.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2); (2)y =cos 4x ; (3)y =1+sin πx ; (4)y =x cos x ; (5)y =sin 2 x .
第三节 初等函数
1.在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1
和x 2的函数值:
(1) y =u 2, u =sin x , x 1=π, x 2=π;
63 (2) y =sin u , u =2x , x 1=π,x 2=π;
48, (3)y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;
(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;
(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.
2.下列初等函数由哪些基本初等函数复合而成? (1)y =arccos (1-x )
(2)y =sec 2x -
2
2
??
π?
? 4?
(3
)y =sin ?cos ?
(??
(4
)y =
3.将下列三角函数积化和差:
(1)sin 2αsin8α (2)sin 5αcos3α (3)cos6αsin 2β (4)cos3αcos 4β
4.证明:(1)arcsin x +arccos x = (2)arctan x +arc cot x =
π
2
π
2
5.证明:(1)sh (x ±y )=shxchy ±chxshy (2)ch (x ±y )=chxchy ±shxshy
( (2
)反双曲余弦函数y =archx =ln (x
7.下列函数是否为初等函数?
6.证明:(1
)反双曲正弦函数y =arshx =ln x
(1
)y =x + (2
)y =sin
(?x 3-1-1≤x ≤1
(3)y =x +x (4)y =?x
1
x
第四节 两个常用不等式
1. 设a 1, a 2,..., a n 是n 个正数,称
n
(++... +) a 1a 2a n
为a 1, a 2,..., a n 的调和平均值,利用算
术平均值与几何平均值的关系证明几何平均值与调和平均值的关系: 对任意n 个正数a 1, a 2,..., a
n 有
n
≤(
1a +1+... +1) 1a 2a n
. 证明下列不等式:
(1)x 1+x 2+... +x n ≤x 1+x 2+... +x n 2)x 1+x 2+... +x n +x ≥x -(x 1+x 2+... +x n ) 2
(
总复习题一
1.填空题. (1
)设f (x ) =
,则f (x ) 的定义域为
?10≤x ≤1
(2)设f (x ) =?, 则f (x +2) 的定义域为
-21
(3)设f (x ) =1+x ,则f ?f
??1??
??= ??x ??
?x ?2
(4)设f (x ) =?x
?2x ?
2.选择题:
-∞
,则其反函数是
x 2+x x ∈-(1)已知f (x )在[-2,2]上为偶函数 ,且f (x )=2[2,0
时,f (x )的表达式为()
(
]),那么当x ∈[0,2]
(A )2x 2+x , (B )2x 2-x , (C )-2x 2+x , (D )-2x 2-x .
(2)设g (x )在[a , b ]上单调,f (x )在??g (a ), g (b )??上单调,则f g (-x )( )
()
(A )在[a,b ]上单增,(B )在[a,b ]上单减,
(C )在[-b,-a ]上单增,(D )在[-b,-a ]上单减.
(3)下列函数中是偶函数的应为( )
(A )f (
x )=ln (x (C )f (
x )=(
2+
, (B )f (x )=([x ])
x
x
2
+(2-, (D )f (x )=sgn (x )?cos x
(4)下列函数中不是周期函数的应为( )
x x +cos 23
(C )f (x )=sin 2x +cos πx , (D )f (x )=x -[x ]
(A )f (x )=sin 2x , (B )f (x )=sin
3. 计算题。 (1
)设f (x ) =
(2
)求函数y =
(3)已知f (x +) =x +
f ??f (x )??, f ??f (2)??。
的反函数。
1x
2
1
,求f (x ) 。 2x
3.把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数。