范文一:函数极限的复合运算法则与变量替换公式
! " " ! 年第! 期
第#卷(总$#期)
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" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 西安联合大学学报’%&’() *+&, -. *)/) . 012/) . 31(4. 056&+7#8&7! 9(7! " " ! :
函数极限的复合运算法则与变量替换公式
张运良
(西安联合大学,陕西西安=)$" " @#
摘要:本文以极限的复合运算法则为基础,给出了变量替换公式成立的一个充分条件,从而使运
用变量替换求极限的方法有据可依7
关键词:函数极限;运算;公式
中图分类号:A$=>文献标识码:9
在学习函数极限理论的过程中,经常会碰到确定形如
D ,! ,(,…,+. B +. B +. B ! F *(C 0*) ! )
! #" ! #" ! ! #E ! !
的极限问题,这些极限显然无法直接运用极限的四则运算法则来确定,因为它们都属于不定式" 然而即仍发现有些不定式(如第二个)的值无法确定" 那么使人们学习了不定式的定值法———G H I *4. 0*+法则,:
如何借助于函数极限的基本理论确定上述不定式的值呢?下面将给出求函数极限的一种重要方法———变量替换法,为此须首先给出函数极限的复合运算法则"
定理$若函数#J (! )和! J " (满足%)$
()+(! ). . B J &,$! #! "
)$,当%&’(," )时,(,但(,(. . #" %%)’! +. B %)J ! " %" #" " " " ! #%" "
则+[" (]存在,且. B %)$%#%"
[" (](! )+. B %)J +. B " $$%#%" ! #! " ()$
证明是平凡的,略"
注$当%“E ”时,定理$成立" ! &中有一个或几个为" ," ,
注! 当$(! )和" (之一或两者同为整标函数时,定理$的结论仍成立" %)
此时有:
(! )(()但有(()则(! 存在且等于&" 推论$设+. B J &,! ’! +. B ! +. B J ! +. B $$(J " ,(J " ,()" " ! #! " (#E (#E (#E
这是I 1. ) 1定理的部分结论"
推论! 设(()(则((+. B J &,+. B ) )J +. B (+. B J &" $$) JE ,) )" (#E ) #E ) #E ) #E
这是收敛数列的一个性质"
注? 当定理$的条件不满足时,结论未必成立"
" 收稿日期:! " " $D " K D ! "
作者简介:张运良(—$K @? ),男,陕西长安人,西安联合大学副教授7
第’期张运良:函数极限的复合运算法则与变量替换公式34
,如函数! ! (#)((),但不满足()的前半部分条件,复! #! ! $)! $" #$尽管满足条件###" #$
(" #$$" #$)当[! (]因为在$都有" [! (]无合函数" $)! $! &时无极限,&的任一个空心领域内,$)&! $" #$$
定义的点存在%
定理%也可以称为复合函数的求极限法则,根据此定理可以得到定理’%
定理’若函数! ! (#)和#! ! (满足$)"
()([! (]##) $)! &," $! $&
)" ,在’(,&)内#! ! (连续并严格单调,且(,(##" &$$)(#) $)! #&" &! $! $&&
则((#)存在,且#) " #! #&
(#)[! (](#) #) $)((" " ##$$! &! &()’
证明)知,(在与’(,&)对应的区域内有反函数$! ! *%(#),该函数连续并严格由(###! ! $)$&"
&&*%单调,且" ,当#$’(#,&)时,,但((#)&%$#) ! *%! $&&%##! (#)
#! #&
因
故由定理%知定理’成立%(#)[! [! *%(#)]]! %" "
由于定理’是根据复合函数" [! (]的极限来确定函数" (#)的极限,所以该定理可以称为函数$)
)可称为极限的变量替换公式,利用此定理可以很方便地确定上述极限的变量替换定理,相应的公式(’
几个不定式的极限%
例%求(#) %#!
,()解令" (#)易验证" (#)和! (满足定理’的条件,因而由公式()! #! ! $! " #$$,$)’#
有
(#) (#) %((%#! &$&" ! ##$$
*’例’求(#) %#! 解*’. 易知()令" (#),((满足定理’的条件,故由公式()有! #! ! $)! ,$)’" #和! #$
) ’$) . (#) (#) (#) ’(&((#! #! /#! /$. $’例0求(1(#) #+, -2+$#)%#! /’
,解令" (#)(1,((易知" (#)和! (满足定理’的条件,故! #+, -2+$#)#! ! $)! 2+$$*)$)’’
由公式()有’
)(#)(?(#) (#) $2+$$(#) %() ()()%" **+#! /’$$$! &2!
#例3求(#) %#! /#
2*
解西安联合大学学报第2卷" (,())易知()令! (" )(满足定理’的条件,故由公式()有! " ! ! $! %$)’! " 和! " $%#
(" )$() $() %#%&&$! " ! *" ! *$%#’$那么定理’中的条件()是否是多余的呢?不是这样的%((
,当" 是有理数时," #()! " ! ,当" 是其他数时%,当$! 时,((%) ),((()! $! ,当$是其他数时%*
显然函数! (" )和! (满足定理’中的(和(的后半部分条件,即[! (],($)*)**)$() $)!" #$() $)! *%! ! $! *$! *如函数但(" )不存在%$() ! $! *
所以应用变量替换法确定函数的极限时一定要考虑其成立的条件,谨防差之毫厘,谬之千里%
[参考文献]
]华东师范大学数学系+数学分析[, ]北京:人民教育出版社,[#+#-. /+
[]吉林大学数学系+数学分析[, ]北京:人民教育出版社,’+#-0-+
[]同济大学数学教研室+高等数学[, ]北京高等教育出版社,/+#--’+
[]四川大学高等数学教研室+高等数学[, ]北京:高等教育出版社,1+#--2+
[责任编辑清达]
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范文二:型复合函数极限的公式法求解及实现
178
福建电脑2008年第6期
幂指型复合函数极限的公式法求解及实现
曾晓红,申云成
(云南省昭通师范高等专科学枝计算机科学系云南昭通657000)
针对睡钟类问题,介绍一种易于理解的求解方法,并给出求解公式,通过计算机实现求解。
【关键宇】:摹指型复合函数;公式解法;实现
引言
【摘要】:微积分中,两个重要极限无疑是一个比较重要的内容。而常见的摹指型复合函数极限的求解方法比较复杂.
令
微积分是数学的一个重要分支.应用范围非常广泛。无论是一=…=一.mU:Ⅱ=一J.V=一J戗Ⅳ戤V
口
口
三-_。鱼;三.贝|J:Ⅳ:三毛v:鱼工
计算机科学、工程学、经济学、社会学等的研究都要用到微积分的知识。对微积分而言。极限是一个贯穿始终的重要概念。微积
分的创立与发展都和对”极限”概念的认识密切相关。
数学分析中,极限的定义是:设函数,红J在点X.0的某一个空心邻域内有定义,口是一个确定的数.若对任给的正数蜀总存在
显然,r_∞,则有l一∞,俨?∞,故:
些!!:壹::::些!!:芝兰二
慨(?+争¨。吼(?+∥“
某一个正数占,使得当D<I譬刊西时,都有l侬J.刊<占,则称侬J在茸
趋向于翱时.以口为极限。这个定义借助不等式,通过占和口之间的关系。定量地、具体地刻划了两个”无限过程”之间的联系。借助极限.可以从有限认识无限,从”不变”认识”变”,从量变认识质变。从近似认识准确。
在众多极限中.为什么称
‘一一
坠峨坠卅
=
smx..一1.,
lira■■2l,limO+二)‘2e
这两个极限为重要极限呢?一方面。是由于这两个极限是求解三
声『
=
}
o
角函数的昙和幂指型函数的l。桥梁;另一方面,如果÷型三角函
数和1。型幂指型函数的极限的求解.只能用极限的定义求解的话.那实在是太麻烦了。更重要的是,通过两个重要极限来求解
2:粤罂‘而’
-.
类极限计算机求解
利用计算机实现上述幂指型函数极限的快速求解。并体现求解的推导过程。如图l所示。上部分是
,甜+c、“d
挈三角函数和1。型幂指型函数的极限.能够加深对极限的四则
运算法则和两个重要极限本身的理解。同时。能够培养要极限求解过程中灵活使用初等变换的能力。
1罂‘石万J
求解过程的公式推导,下部分是通过输入参数,求解
1、卿嘉尸类极限求解、罂临’类极限求解
求解
要求输入的参数是整数。
。脚∞“4
也婴≮i了一
琏罂∞州(口≠o’七≠o,皿6’c’z胸为常麴
类型的极限,在高等数学中较为常见,而这类题给人的第一印象就是太繁锁,往往不知道从何下手。正确的解题思路是:利用
limO+马r:e
l—-毋
工
求解.把
x]罂"tax'l"c'-¨
向
l—imO+}
方向变形求解。
h}.1H*
O
西
竺坼土盟一I凹
尸2哕1
j—m
l+三
?一
aX
h}Ⅱ*
p
.1
r
Q
芝≯燮缈芝争
图2求解幂指型函数极限(输人参数以后)
(;F转第144页)
144
福建电脑
2008年第6期
识符(变量和标号)的名字、安排注释以及程序的视觉组织等。Z5测试
G.Myem给出了经典的测试规则:测试是为了发现程序中的错误而执行程序的过程.好的测试方案极可能发现迄今为止尚未发现的错误.成功的测试是发现了至今为止尚未发现错误的测试。从而得出一个推论:成功的测试在于发现迄今尚未发现的缺陷。所以测试人员的职责是设计这样的测试用例.它能有效地揭示潜伏在软件里的缺陷。
测试准则是测试的指南.现总结如下几条测试原则:
?适应性维护——为了适应外部环境变化(包括软件工具、
硬件环境或业务流程修改)而进行的软件修改称为适应性维护。
.完善性维护——为了对原有软件中的功能进行扩充、完
善的修改。称为完善性维护。
.预防性维护——是对软件可能出现的”故障”所进行的预
防性维护活动。
在软件维护中。影响维护工作量的因素主要有以下五种:(1)系统的大小
系统规模越大,其功能就越复杂,软件维护的工作量也随之增大。
(2)系统年龄
系统使用时间越长。所进行的修改就越多。而多次的修改可能造成系统结构变得混乱。由于维护人员经常更换。程序变得越来越难于理解。加之系统开发时文档不齐全。或在长期的维护过程中文档在许多地方与程序实现变得不一致.从而使维护变得十分困难。
(3)数据库技术的应用
使用数据库可以简单而有效地管理和存储用户程序中的数据.还可以减少生成用户报表应用软件的维护工作量。
(4)先进的软件开发技术
在软件开发过程中.如果采用先进的分析设计技术和程序设计技术。如面向对象技术、复用技术等。可大大减少维护工作
量。
。
?8∞0原则:80%的缺陷聚集在20%的模块。
?应该从”小规模”测试开始.逐步进行”大规模”测试。?测试工作应该由开发者和测试者共同完成。
.测试只能证明缺陷存在。不能证明缺陷不存在。因此.尽量使测试的工作量适中.不要”彻底地无休止测试”。
.应该在测试开始之前制定测试计划。
?测试应该循序渐进。按步骤进行。
图2是开发测试的V型关系.反映了测试和前面开发步骤的关系。
(5)其它一些因素
如应用的类型、数学模型、任务的难度、开关与标记、IF嵌套深度、索引或下标数目等。对维护工作量也有影响。
3.结束语
图2测试和开发步骤的关系
2.6维护
本文简要地描述了开发数据库管理系统的一般模式.并强调了开发模式规范化的必要性和重要性.我们在此模式的指导下几个数据库管理系统都顺利开发成功.由此证明本模式的正确性和实用性。
参考文献:
1.萨师煊..王JI-.敷据库系统导论IM】.北京:高等教育出麓社.20042.张海藩.软件工程导论【M】.北京:清华大学出版社.20033.陈平.楮年.软件设计师【M】.北京:清华大学出版社.2004
维护是整个开发过程中经历时问最久的过程.用户会常常发现软件错误或提出新的要求.因此维护需要花费大量的工作.从而直接影响了软件维护的成本。实践证明维护往往需要花费整个开发时间的百分之七十。
一般情况下软件维护可以分成四种类型:
.改正性维护——为了纠正在软件使用过程中暴露出来的
软件错误而对软件进行的修改。称为改正性维护。
(上接第178页)
图2显示了输人参数后等待求解的界面。由于若要幂指函数中的系数相同,所以,输入分子中的系数后,分母中的系数自动产生。图3显示了计算后的结果。
公式求解
lX血,-'I。O(I+≥。一。
一
蜘(蒹尸
的方法;另一方面.可以通过计算机快速求解。验证手工计算结
果。
。蚓置
图3求解幂指蛐敷极限(计算结果)
.。。+,。
,。壁士堡窑苎烹=定的实际性。一方面.可以帮助学习者掌握一种与众不同的利用
3、结毒草。。。+
…。。…一。。.。主i萎i:孟:磊:.二.o。;二≥;;釜;王:.人民.F电出版社.
狐.4~………一。
~
一
徽灞个12005耋的摹擂型复舍函敦撂计南北职业拉术学院学X≥:譬毒森敷.办生.福建电脑.2006年第四期
幂指型复合函数极限的公式法求解及实现
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
曾晓红, 申云成
云南省昭通师范高等专科学校计算机科学系,云南,昭通,657000福建电脑
FUJIAN COMPUTER2008,24(6)0次
参考文献(6条)
1. 曾晓红 基于遗传优化和模糊推理PID及MATLAB仿真[期刊论文]-微计算机信息 2006(12)2. 华东师范大学数学系 数学分析 1980
3. 李明君 对两个重要极限的再认识和应用[期刊论文]-青岛远洋船员学院学报 2000(04)4. 李照勤 关于两个重要的幕指型复合函数探讨[期刊论文]-河北职业技术学院学报 2005(01)5. 曾晓红 连续随机数的产生[期刊论文]-福建电脑 2006(04)6. 张洪举 Visual FoxPro 6.0~9.0解决方案与范例大全 2006
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_fjdn200806110.aspx
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范文三:复合函数极限条件
书中这样定义:
设函数y = f[g(x)]是由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若lim(x->x0)g(x) = u0, lim(u->u0)f(u) = A,且存在δ > 0,当x 属于x0的去心δ邻域时,有g(x)不等于u0,则lim(x->x0)f[g(x)] = A
u 与u0的接近程度是用0 < |u="" -="" u0|="">< δ描述的,u="" -=""> u0的过程中不等于u0
函数在某点的极限值是自变量逼近这一点时函数值无限接近的一个值,这个值与函数在这一点的函数值无关
如果能进一步针对这条举出反例就更好了,
g(x)=xsin(1/x)
若u ≠0,f(u)=0
若u=0,f(u)=1
在0的去心邻域中,f(g(x))有定义
(*) 对任意的正数δ ,在0的去心δ 邻域中,都有无数个点使得g(x)=0, 而f(g(x))=f(0)=1
lim{x→0}g(x)=0
lim{u→0}f(u)=0
而根据(*),lim{x→0}f(g(x))不存在。
可见这个条件确实不能去掉。如果f(u)在u0处连续,那么这个复合函数的极限运算法则仍然是成立的,g(x)是否在其他点取值u0并无影响,因而很多时候在实际应用这条法则时并不去验证这条,因为我们通常面对的是连续函数。确实是这样的,因为g(x)在0的任意去心邻域内总是存在使得g(x)为0的点,而f(0) = 1 =/= lim(u->0)f(u)。所以就不存在0的某个去心邻域使得|f(g(x))-0|能够小于任意ε>0,自然极限也就不存在了。
另一种情况:设lim(u->u0)f(u) = A,且f(u)在u0的某个去心邻域是连续函数,那么就有f(u0) = lim(u->u0)f(u) = A,再设lim(x->x0)g(x) = u0,那这时候就不用考虑在x0的某个去心邻域中,g(x) =/= u0这个条件了,因为g(x) =u0时,|f(g(x)) - A| = 0 < 任意ε="">0 。
范文四:复合函数极限的应用
V01(41,No(12 第4l卷第12期 数学的实践与认识
ANDTHEORY MATHEMATICS IN PRACTICE Jun(,20112011年6月
复合函数极限的应用
黄秋梅,范周田,张汉林
(北京工业大学应用数理学院,北京100124) 摘要:利用复合函数极限的运算法则给出收敛数列与其子列的关系、海涅定理以 及数列重排的另一种证明,把三个重要的定理归结为复合函数极限的应用,将大学 数学里三个重要但理解起来相对困难的定理纳入统一简单的框架(
关键词:复合函数的极限;收敛数列与其子列;海涅定理;数列的重排
在数学分析和高等数学的教学中,复合函数的极限运算法则一直是一个重要而又应用广
泛的定理(本文试图通过复合函数的极限给出收敛数列与其子列的关系、函数极限与数列极
限的关系以及数列重排的基本结果,将大学中几个教学中的难点归结为复合函数的应用,大 大简化教师教学及学生学习的难度(
1复合函数的极限运算法则 定理设函数Y=,函(z)】是由函数Y=,(珏)与函数缸=g(x)复合而成,,胁(茁)】在点 XO 的某去心邻域内有定义,若lira,(u)=A,lira 9(z)=UO且存在60>0,当z?fjr(zo,如)
时,
有夕(z)?UO,则
恶舳(z)】=撬m)=A
这是大部分教材中出现的复合函数的极限运算法则的具体形式( 事实上,利用无穷小和无穷 大的分类,可将复合函数极限的具体表现形式分为196种,详
见文|11 ( 2复合函数极限运算的应用
现在我们利用复合函数的极限运算法则得到收敛数列与其子列的关系、函数极限与数
列极限的关系(海涅定理)以及数列重排的基本结果,具体给出如下三个推论( 推论1(收敛数列与其子列的关系)数列{z。}收敛于A的充要条件是它的任意子数列
也眵敛于A
证明充分性:显然,数列(【z。’是其自身的一个子数列,由{z。)的任一子数列均收敛可 知{z。}也收敛(
收稿日期:2011—03-06 资勘项耳:北京市自然科学基金(1122002);北京工业大学博士科研启动基金(xo00601220l101)
万方数据
255黄秋梅,等:复合函数极限的应用 12期
必要性:设{z。。)是数列{茁。】l的任一子数列(令
nk=9(南)z。=(fCn) ,
显然有 nk=(30zn=A, lim,(n)=lira ,lira 9(七)=,lim 由复合函数的极限运算法则知
’?1’uu熙‰2恕fig(k)]2熙m)2熙铲虑—?oo A胃—+o。 T‘一L^J 下面再利用复合函数极限的运算法则得到函数极限与数列极限之间的关系,即海涅定
理( 推论2(函数极限与数列极限的关系:海涅定理)lim,(z)=A的充分必要条件是:
z。=zo且‰?zo),相应对 于函数f(x)的定义域内任意收敛于zo的数列{z。)(1im
的函数
f(x)=A( 值数列,(茁。)必收敛,且Lim,(z。)=lira 证明作为复合函数
极限运算法则的应用,我们只给出必要性的证明( 令z。=gCn)( 由lim zn=X0知, n—}?
n—{o。恕9(佗)。熙n—’?Xn=X0
再由复合函数的极限运算法则知:
lira f(x。)=lim,(9(n))=lira,(z)=A 利用复合函数的极限运
算法则,我们还可以得到收敛数列与通过打乱秩序重排后的新数
列(即:原数列的重排)极限之间的关系( 定义所谓数列的重排就是打乱一个数列原有的排列顺序,而按照某个新的顺序排列,从 而得到的一个新的数列(
例如:百1,i1,j1,虿1,l,于1,否 就是数列1,上121,可,虿 ,去,11,而 ,?1,的一个重排(1,虿 1,虿1,
一般地,设{z。}为一数列,如果映射妒是?到?双射(一一的,映上的),则数列{,(。),
就是数列{z。}的一个重排( 例如,若妒m)=2n一1,则数列{去)经过变换妒后变成一个新的数列 {矗与】(,很明显经 过重排后的数列也可以看作原来数列的一个子数列( 更弱一点的条件,若妒是?到?的映
射,且妒-1存在,这时数列(,(。))也可看作数列
{z。}的一个重排(推论 3设数列{z(P(n)}是数列{zn)的一个重排?如果也‰zn=A,则 A? 艘恐,(n)5 证明要证lim,(。)=A,利用复合函数极限的运算法则,只要证,lim
妒(n):?即可(
事实上,对VM>0,存在n1,n2, ,nM,使得妒(n1)=1,妒(n2)=2, ,妒 ?M)=M( 取N=max{n1,n2 ,,扎^f),于是当7l>N时,就有I妒(n)l>M从(
而tim妒(扎)=o。(
由lim z。=A及复合函数的运算法则知,lim z妒(。)=A( 推广推论3也可推广至级数的重排,只不过上面推论仅适合于绝对收敛的级数(而级 数的重排的各种结论也更复杂(在此不予赘述(
万方数据
25641卷数学的实践与认识
上面三个定理,大多数教材是利用函数或数列极限的严格数学定义逐一论证(而利用复
合函数极限的运算法则,可将上面三个定理归入统一简单的理论框架(
收敛数列与其子列的关系、函数极限与数列极限的关系以及数列的重排都可看作复合
函数极限运算法则的基本应用(三个结论都是数学分析和高等数学中的难点,但是通过复合
函数的运算法则这个工具,可以将三个结论的证明大大简化,这也充分说明了复合函数的极
限运算法则的重要性和应用的广泛性(
参考文献 【1】黄秋梅,范周田,张汉林,无穷小与复合函数的极限【J】(数学的实践与认识,
2011(41)( [2】范周田,张汉林(高等数学(第二版)(上册[M】(北京:机械工业出版社,2008( [3】同济大学应用数学系(高等数学(第五版)(上册【M】(北京:高等教育出版社,
2002( f4]陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中(数学分析(上册[M】(北京:高等教育出版
社,1983 [5】华东师范大学数学系(数学分析(上册[M】(北京:高等教育出版社, 2000。
of for FunctionsThe Limits Applications Compound
Han-linHUANG Qiu-mei,FAN Zhou-tian,ZHANG
ofofApplied University Technology,Beijing 100124,China) (CollegeSciences,Beijing
Abstract:In this use the rule of the limits for functions to paper,we compound provide relation between number and its for the sequence simple proofs convergent subsequence, three difficult but Heine’S the of number theorem,and sequence(These rearrangement and theorems therefore Carl be teachers students accepted by easily(important
of number and its sequence subsequence, Keywords:limits compound functions,convergent Heine’8 of number sequencetheorem,the rearrangement
万方数据
范文五:EXCLE复合函数使用公式
EXCLE 复合函数使用公式:
隔行汇总吗?在求和的单元格输入 =SUM(IF(MOD(ROW(C2:C45),2)=1,C2:C45)) 后按ctrl+shift+enter转换为数组函数。 其中“C2:C45”是你要求和的数据区,
奇数行求和=sumproduct(mod(row(a1:a601),2)*a1:a601), 偶数和求和=sumproduct((1-mod(row(a1:a601),2))*a1:a601) 函数=SUMPRODUCT(A1:A3*F1:F3),两列相乘求和公式
表格两行相邻乘积求和公式:A1*A2+B1*B2+C1*C2+D1*D2+E1*E2
=SUMPRODUCT(A1:E1,A2:E2)
可以用公式:
同列相邻两个单元格相乘求和公式=SUMPRODUCT(G3:G543,G4:G544,MOD(ROW(G3:G543),2))
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