范文一:直线和平面所成的角与二面角
直线和平面所成的角与二面角
知识要点
1.直线与平面所成角的范围
若θ表示直线与平面所成的角,则0°≤θ≤90°。
2.公式cosθ=cosθ1·cosθ2。
斜线AB 与平面α所成的角为θ1,A 为斜足,AC 在α内,且与AB 的射影成θ2角,∠BAC=θ, 则有 cosθ=cosθ1·cosθ2。
3
.公式
。
如图所示,在二面角α-l-β中,A ∈平面β,B ∈平面α,AD ⊥l 于D ,BC ⊥l 于C ,AD=m,
BC=n, CD=d, AB=l, 二面角α-l-β的平面角为φ
,则有:
4.公式S'=Scosθ。
。
如果平面多边形所在平面与平面
所成角为S' ,那么S'=Scosθ。
5. 向量知识
(1)
(2)
(3)a·b=|a|·|b|cosθ (其中θ是a 与b 的夹角)
(4)若a=(x1,y 1,z 1), b=(x2,y 2,z 2), 则:a·b=x1x 2+y1y 2+z1z 2。
典型题目
;
,这个平面多边形及其在平面内的射影的面积分别为S 、
例1.如图,在棱长为a 的正方体OABC-O'A'B'C' 中,E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点,且AE=BF。
(1)求证:A'F ⊥C'E ;
(2)当三棱锥B'-BEF 的体积取得最大值时,求二面角B'-EF-B 的大小。(结果用反三角函数表示)。
(1)证明:如图所示,以O 为原点建立空间直角坐标系,设AE=BF=x, 则A'(a,0,a), F(a-x,a,0), C'(0,a,a,), E(a,x,0)。
∵
(2)解:记BF=x, BE=y, 则x+y=a, 三棱锥B'-BEF 的体积
,∴ A'F ⊥C'E 。
,当且仅当,时,取得最大值。
过B 作BD ⊥EF 交EF 于D ,连B'D,B'D ⊥EF, ∴∠B'DB 是二面角B'-EF-B 的平面角。
在RtΔBEF
中,直角边,
则斜边上高
故二面角B'-EF-B
的大小为
。
,
例2.如图,在四面体ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E 、F 分别是AC ,AD 的中点。 (1)求证:平面BEF ⊥平面ABC ;(2)求平面BEF 和平面BCD 所成的角。
分析:证明两个平面互相垂直,就是要证明一个平面过另一个平面的一条垂线,这样就需证明一直线与平面上两相交直线垂直,而证明两直线互相垂直,证明向量的数量积为0就可以了。
解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,取A(0,0,a)。
由∠ADB=30°
可得:
B(0,0,0),
。
∴
∵
∴ EF ⊥平面ABC ,又EF 平面BEF 。
∴ 平面BEF ⊥平面ABC 。
∴ EF ⊥AB, EF⊥BC 。
(2)作EE' ⊥BC 于E'
,,作FF' ⊥BD 于F'
,,。
,
显然, ∴ BE ⊥DF 。 ∴
,
∴
。
∴
,即平面BEF 和平面BCD
所成的角为。
点评:利用判定定理结合向量运算证面面垂直是本例的特点之一。这种方法十分重要,应予掌握。
例3.在正四面体ABCD 中,AD=1,(1)求AD 与平面BCD 所成的角;(2)求相邻两个面所成的二面角。
解:(1)如图,因为四面体ABCD 是正四面体,所以A 在底面BCD 的射影是底面三角形BCD 的中心O ,延长DO 交BC 于E ,E 是BC 的中点,∠ADE 就为AD 与平面BCD 所成的角θ。
∴,
又,
∴
。∴
。
(2)在ΔAED中,因为E 是BC 的中点,所以AE ⊥BC ,DE ⊥BC ,所以∠AED 就是二面角A-BCD 的平面角α。
又。
∴
, ∴
。
∴AD 与平面BCD
所成的角是
,相邻两个面所成的二面角是。
点评:本例系常规题型,要掌握这类题目的解法。
例4.如图(1),ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD//BC,AB=BC=a, AD=2a,且PA ⊥平面ABCD ,PD 与平面ABCD 成30°角。
(1)若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证:BE ⊥PD ;(2)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(用反三角函数表示)
(1)证明:∵PA ⊥平面ABCD , ∴PA ⊥AB ,∵AD ⊥AB , ∴ AB ⊥平面PAD , ∴AB ⊥PD ,
又AE ⊥PD , ∴ PD ⊥平面ABE , ∴ BE ⊥PD 。
(2)设G 、H 分别为ED 、AD 的中点,连BH 、HG 、GB (图(1
)易知
∵G 、H 分别为ED 、AD 的中点, ∴ HG//AE。则∠BHG 或它的补角就是异面直线AE 、CD 所成的角,
,∴ BH//CD。
而
,,
,
在ΔBHG
中,由余弦定理,得,
∴
。∴ 异面直线AE 、CD
所成角的大小为。
例5.在120°的二面角P-α-Q 的两个面P 和Q 内,分别有点A 和点B 。已知点A 和点B 到棱的距离分别为2和4,且线段|AB|=10。
(1) 求直线AB 和棱a 所成的角 (2) 求直线AB 和平面Q 所成的角
解:如图,作AC ⊥a ,BD ⊥a ,垂足分别为C ,D
分别以
过C ,B 分别作BD ,a 的平行线,交于E 点,
∴CE ⊥a ,从而,得:∠ACE 就是二面角P-α-Q 的平面角,
∴ 依题设: (1) ∵ , 设 的单位向量为空间的基底{e1,e 2,e 3} 又∵ , ∴ (me2+4e3-2e 1) 2=100 展开:m 2+16+4+8me2·e 3-4me 2·e 1-16e 3·e 1=100 ∵ e 1·e 2=0, e2·e 3 =0, , ∴ m 2+20+8=100 从而,得。 ∴ 。 ∴ 异面直线 与α 所成的角为。 (2)作AF ⊥EC ,交EC 的延长线于F , ∴ α⊥平面ACE , α 平面Q , ∴平面ACE ⊥平面Q ,从而,得:AF ⊥平面Q ,连结FB ,则∠ABF 就是AB 与平面Q 所成的角, ∵ 上的射影 ,∴ ,∴ , 在RtΔAFB 中, ,∴ 直线AB 和平面Q 所成的角为:。 例6:如图,已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=60°。 (1)证明:C 1C ⊥BD ; (2)假定CD=2 , ,记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α-BD-β的平面角的余弦值; (3) 当 的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明。 解 :分别以 依题设中的条件,可知: 的单位向量e 1,e 2,e 3为空间的基底{e1,e 2,e 3} , (1) ∵ , ∴ ∴ C 1C ⊥BD 。 (2) 连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,∵ ∴ ∴ AC ⊥BD 。 又由(1)知:CC 1⊥BD , ∴ BD ⊥平面AA 1C 1C , ∴∠COC 1是二面角α-BD-β的平面角。 =m2[(e1) 2-e 1·e 2+e1·e 2-(e2) 2]=0 , 依题设, , 从而,得:, ∴ 即:二面角α-BD-β 的平面角的余弦值为 。 (3) 设 , 即: 由(2)可知:BD ⊥平面AA 1C 1C , ∴ BD ⊥A 1C ,由线面垂直的判定定理,知:如果A 1C ⊥DC 1,则A 1C ⊥平面C 1BD 成立, ∵ 又∵ ,∴ 展开: 整理:,∴ x=1。 以上各步可逆,所以x=1 时,即 时,CA 1⊥平面BC 1D 。 直线和平面所成的角与二面角 一、选择题(共45题,题分合计225分) 1.过正方形ABCD的顶点A作线段A A′⊥平面ABCD,若A A′=AB,则平面A′A B与平面A′CD所成的角度是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角的大小关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 C.不能确定 3.在直二面角α- l-β中,直线m ?α,直线n?β,且m、n均不与l垂直,则 A. m与n不可能垂直,但可能平行 B. m与n可能垂直,但不可能平行 C. m与n可能垂直,也可能平行 D. m与n不可能垂直,也不可能平行 4.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题: (1)若a//a,b//a,则a//b.(2)若a//a,a//?,则a//?. (3)若a??,???,则a//?. 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图△ABD≌△CBD,且△ABD为等腰三角形,∠BAD=∠BCD=90°,且面ABD⊥面BCD,则下列4个结论中,正 确结论的序号是 ①AC⊥BD②△ACD是等边三角形③AB与面BCD成60°角④AB与CD成60°角 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 1 ABCD-A1B1C1D1的底面A 1C1上取一点E,使AE与AB、AD 所成的角都为60°,则AE的长等于 7.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β,则α+β的范围为: A.0π/2 C.0≤α+β≤π/2 D.0θ C. φ=θ D.以上三种关系均有可能 ?且A?a13.直线l与平面α或60°角,l ???A,直线a,设l与a所成的角为 θ,则cosθ的取值范围是 ? 14.如图,等腰直角△ABC,沿其斜边AB边上的高CD对折,使△ACD与△BCD所在的平面垂直,此时∠ACB等于 A.45° B.60° C.90° D.120° 15.二面角α-MN-β=60o,直线AB与α、β分别交于A、B,AB⊥MN,若AB与α、β所成角分别是θ1、θ2,则 A.θ1+θ2=120o B.θ1+θ2>120o C.θ1+θ2 16.正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D点在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于 A.30° B.45° C.60° D.90 17.a、b表示直线,α、β、γ表示平面,有下列四个命题:(1)若α∩β=a,b?α,a⊥b,则α⊥β;(2)若α⊥β, α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;(3)若a不垂直于平面α,则a不可能垂直于α内的无数条直线;(4)若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β,其中不正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 18.α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α,以其中三个结论作为条件,另一个论断作为结论,则所得命题正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 19.正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,AB与CD所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90 20.对于直线m、n和平面α、β、?,下列命题中,正确命题的个数为 ①若m∥α,n⊥m,则n⊥α②若m⊥α,n⊥m,则n∥α③若α⊥β,?⊥β,则α∥?④若m⊥α,m?β,则 α⊥β A.1 B.2 C.3 D.4 21.平面α与平面β相交,m是α内的一条定直线,则下列结论正确的是 A.在β内必存在与m平行的直线 B.在β内必存在与m垂直的直线 C.在β内必不存在与m平行的直线 D.在β内不存在与m垂直的直线 22.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则() A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直 23.下列命题中错误的是 A.如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β B.如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β C.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面?,平面β⊥?,α∩β=l,那么l⊥? 24.如图,四边形BCEF、AFED都是矩形,且平面AFED⊥平面BCEF,则下列式子中正确的是 A.cosα=cosβ·cos? B.sinα=sinβ·cos? C.cosβ=cosα·cos? D.sinβ=sinα·cos? 25.一条直线与一个直二面角的两个面所成的角分别为?和?,则?+? A.≤90° B.≠90° C.≥90° D.无法确定 26.过正方形ABCD的顶点A作线段 A?A?平面ABC D.若A?B?AB,则平面A?AB与平而A?CD所成角的度数是 A.30° B.45° C.60° D.90° 27.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题: ⑴若a∥α,b∥α,则a∥b;⑵若a∥α,a∥β,则α∥β; ⑶若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 28.在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个 四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,那么,在四面体S-EFG中必有 A.SG⊥△EFG所在平面 B.SD⊥△EFG所在平面 C.GF⊥△SEF所在平面 D.GD⊥△SEF所在平面 29.设直线m、n和平面α、β,则下列命题中,正确的是 A.m∥n,m?α,n?β?α∥β B.m⊥α,m⊥n,n?β?α∥β C.m∥n,n⊥β,m?α?α⊥β D.m∥n,m⊥α,n⊥β?α⊥β 30.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题 ①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,a∥β,则α∥β;③若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 31.下列命题正确的是 A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b?平面β,则α⊥β B.若直线a⊥直线b,a⊥平面α,b⊥平面β,则α⊥β C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 32.已知二面角α-l-β的大小为60°,b和c是两条异面直线,则在下列四个条件中,能使b和c的角为60°的是 A.b∥α,c⊥β B.b∥α,c⊥β C.b⊥α,c⊥β D.b⊥α,c∥β 33.设平面α⊥平面β,直线a?α,直线b?β,且a⊥b,则 A.a⊥β B.b⊥α C.a⊥β与b⊥α中至少有一个成立 D.a⊥β与b⊥α同时成立 34.如图:过正方形ABCD的顶点A,引PA⊥平面AC,若PA=AB,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 A.30° B.45° C.60° D.90° 35.设二面角α-AB-β面上一点D,DP在α内与AB成45°,与平面β成30°角,则二面角α-AB-β的度数是 A.15° B.30° C.45° D.60° 36.自大于90°的二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无关 37.一个直角三角形的两个直角边长为a、b,沿斜边高折成直二面角,则两个直角边所夹角的余弦值为 39. 的长为 A.a B.a C.a D.a40.如果直线l、m与平面α、β、γ满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有 A. α⊥γ且l⊥m B. α⊥γ且m∥β C. m∥β且l⊥m D. α∥β且α⊥γ 41.有不同的直线a?b和不同的平面α?β?γ,给出下列三个命题: (1)若a∥α,b∥α,则a∥ B. (2)若a∥α,α∥β,则α∥β. (3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 42.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 43.已知直线a、b和平面α、β、γ,可以使α∥β的条件是 A.a?α,b?β,a∥b B.a?α,b?α,a∥β,b∥β C.α⊥γ,β⊥γ D.a⊥α,a⊥β 44.下列三个命题,其中正确命题的个数为 ①平面α∥平面β,β⊥平面γ,则α⊥γ ②平面α∥平面β,β∥平面γ,则α∥γ ③平面α⊥平面β,平面γ⊥β,则α⊥γ A.1 B.2 C.3 D.0 45.如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱 锥A-BC D.则在三棱锥A-BCD,下列命题正确的是 A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 二、填空题(共5题,题分合计20分) 1.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD和BF所成角的余弦值为 ____________________________. 2. 已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α; ②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线; ③若m?α, l?β,且l⊥m, 则α⊥β; ④若l?β,且 l⊥α,则α⊥β; ⑤若m?α, l?β,且α∥β,则m∥l. 其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 3.设有四个条件: ①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等; ②直线a∥b,a⊥平面α,b⊥β; ?,b?③a、b是异面直线,a,且a∥β,b∥α; ?? ④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线,其中能推出α∥β的条件有.(填写所有正确条件的代号) 4.一条直线与平面α相交于点A,在平面α内不过A点的直线与这条直线所成角的最大值为_________. 5.在空间,下列命题正确的是____________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) ①如果两条直线a、b分别与直线l平行,那么a∥b ②如果一条直线a与平面β内的一条直线b平行,那么a∥β ③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都有垂直,那么a⊥β ④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ,那么β⊥γ 三、解答题(共10题,题分合计110分) 1.已知:二面角α- l -β等于120°,AB=10,A∈α,B∈β. A、B到l的距离分别等于2和4. (1)求直线AB和平面β所成角的大小; (2)求异面直线AB和l所成角的大小. 2.已知M、N分别是正方体ABCD- A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点, 求(1)MN和CD′'所成的角(2)MN和AD所成的角. 3.已知:正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF 互相垂直点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM= BN= (1)求MN的长 (2)当a为何值时, MN的长最小 (3)当MN长最小时,求面MNA与MNB所成二面角α的大小 4.边长为1的正方形ABCD, PA⊥平面ABCD (1)求证:平面PAD⊥平面PCD; (2)若PA=PB,求AC与平面PCD所成的角. 5.已知△ABC,PA⊥平面ABC,PA= AB= BC= AC. AH⊥平面PBC,H为垂足, 求证:H不是△PBC的垂心. 6.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60°角,且侧面ABB1A1⊥底面ABC. (1)求证: B1C⊥C1A; (2)求二面角C1-AB-C的大小. 7.将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°, AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD; (2)求二面角A-BD-C的正切值; (3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值 . 8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点B、D、C1作截面,则二面角B-DC1-C的余弦值是多少? 9.如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直,E是BC的中点,则AE与平面BCD所 成角的大小为 . 10.两个正方形ABCD, CDEF拼接成直二面角,点M在BD上,N点在CE上,且BM=CN,CD= l. (1)求证: MN∥平面BCF, (2)设BM=t,MN= f (t),求函数f (t)的解析式, (3)求函数f (t)的定义域及最小值. 1.(2003北京春,19)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值. ? 直线和平面所成的角与二面角 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共45题,题分合计225分) 1.过正方形ABCD的顶点A作线段A A′⊥平面ABCD,若A A′=AB,则平面A′A B与平面A′CD所成的角度是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角的大小关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 C.不能确定 3.在直二面角α- l-β中,直线m?α,直线n?β,且m、n均不与l垂直,则 A. m与n不可能垂直,但可能平行 B. m与n可能垂直,但不可能平行 C. m与n可能垂直,也可能平行 D. m与n不可能垂直,也不可能平行 4.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题: (1)若a//a,b//a,则a//b.(2)若a//a,a//?,则a//?. (3)若a??,???,则a//? . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图△ABD≌△CBD,且△ABD为等腰三角形,∠BAD=∠BCD=90°,且面ABD⊥面BCD,则下列4个结论中, 正确结论的序号是 ①AC⊥BD②△ACD是等边三角形③AB与面BCD成60°角④AB与CD成60°角 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 6.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1C1上取一点E,使AE与AB、AD所成的角都为60°,则AE的长等于 5 6 A.3 B.4 C.2 D.3 7.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β,则α+β的范围为: A.0π/2 C.0≤α+β≤π/2 D.0θ C. φ=θ D.以上三种关系均有可能 13.直线l与平面α或60°角, l???A ,直线a??且A?a,设l与a所成的角为θ,则cosθ的取值范围是 ?1??1??1??1? ,1,10,??2?2??2??0,2?? B.?? C.?? D.?? A.? 14.如图,等腰直角△ABC,沿其斜边AB边上的高CD对折,使△ACD与△BCD所在的平面垂直,此时∠ACB等于 A.45° B.60° C.90° D.120° 15.二面角α-MN-β=60o,直线AB与α、β分别交于A、B,AB⊥MN,若AB与α、β所成角分别是θ1、θ2, 则 A.θ1+θ2=120o B.θ1+θ2>120o C.θ1+θ2<120o>120o> 16.正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D点在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于 A.30° B.45° C.60° D.90 17.a、b表示直线,α、β、γ表示平面,有下列四个命题:(1)若α∩β=a,b?α,a⊥b,则α⊥β;(2)若α⊥β, α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;(3)若a不垂直于平面α,则a不可能垂直于α内的无数条直线;(4)若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β,其中不正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 18.α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β; ④m⊥α,以其中三个结论作为条件,另一个论断作为结论,则所得命题正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 19.正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,AB与CD所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90 ? 20.对于直线m、n和平面α、β、,下列命题中,正确命题的个数为 ①若m∥α,n⊥m,则n⊥α②若m⊥α,n⊥m,则n∥α③若α⊥β,?⊥β,则α∥?④若m⊥α,m?β,则α⊥β A.1 B.2 C.3 D.4 21.平面α与平面β相交,m是α内的一条定直线,则下列结论正确的是 A.在β内必存在与m平行的直线 B.在β内必存在与m垂直的直线 C.在β内必不存在与m平行的直线 D.在β内不存在与m垂直的直线 22.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则() A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直 23.下列命题中错误的是 A.如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β B.如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β C.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面?,平面β⊥?,α∩β=l,那么l⊥? 24.如图,四边形BCEF、AFED都是矩形,且平面AFED⊥平面BCEF,则下列式子中正确的是 A.cosα=cosβ·cos? B.sinα=sinβ·cos? C.cosβ=cosα·cos? D.sinβ=sinα·cos? 25.一条直线与一个直二面角的两个面所成的角分别为?和 ?,则?+? A.≤90° B.≠90° C.≥90° D.无法确定 26.过正方形ABCD的顶点A作线段A?A?平面ABC D.若A?B?AB,则平面A?AB与平而A?CD所成角的度数是 A.30° B.45° C.60° D.90° 27.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题: ⑴若a∥α,b∥α,则a∥b;⑵若a∥α,a∥β,则α∥β; ⑶若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 28.在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成 一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,那么,在四面体S-EFG中必有 A.SG⊥△EFG所在平面 B.SD⊥△EFG所在平面 C.GF⊥△SEF所在平面 D.GD⊥△SEF所在平面 S G3 F G1 E G2 29.设直线m、n和平面α、β,则下列命题中,正确的是 A.m∥n,m?α,n?β?α∥β B.m⊥α,m⊥n,n?β?α∥β C.m∥n,n⊥β,m?α?α⊥β D.m∥n,m⊥α,n⊥β?α⊥β 30.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题 ①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,a∥β,则α∥β;③若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 31.下列命题正确的是 A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b?平面β,则α⊥β B.若直线a⊥直线b,a⊥平面α,b⊥平面β,则α⊥β C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 32.已知二面角α-l-β的大小为60°,b和c是两条异面直线,则在下列四个条件中,能使b和c的角为60°的是 A.b∥α,c⊥β B.b∥α,c⊥β C.b⊥α,c⊥β D.b⊥α,c∥β 33.设平面α⊥平面β,直线a? α ,直线b?β,且a⊥b,则 A.a⊥β B.b⊥α C.a⊥β与b⊥α中至少有一个成立 D.a⊥β与b⊥α同时成立 34.如图:过正方形ABCD的顶点A,引PA⊥平面AC,若PA=AB,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 A.30° B.45° C.60° D.90° 35.设二面角α-AB-β面上一点D,DP在α内与AB成45°,与平面β成30°角,则二面角α-AB-β的度数是 A.15° B.30° C.45° D.60° 36.自大于90°的二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是 A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.无关 37.一个直角三角形的两个直角边长为a、b,沿斜边高折成直二面角,则两个直角边所夹角的余弦值为 ab 2ab 2 ab 2 ab 2 A. a?b 2 B. a?b 2 C.a?b D. 2 a?b 22 38.过平面外的两个点A、B有无穷多个平面都与α垂直,则一定有 A.直线AB∥α B.直线AB与α成60°角 C.A、B两点在α的一条垂线上 D.A、B两点到α的距离相等 39.A为直二面角α-l-β的棱上的一点,两条长度都等于a的线段AB、AC分别在α、β内并且都与l成45°角, 则BC的长为 A.a B.a或3a C.a或2a D.a或5a 40.如果直线l、m与平面α、β、γ满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有 A. α⊥γ且l⊥m B. α⊥γ且m∥β C. m∥β且l⊥m D. α∥β且α⊥γ 41.有不同的直线a?b和不同的平面α?β?γ,给出下列三个命题: (1)若a∥α,b∥α,则a∥ B. (2)若a∥α,α∥β,则α∥β. (3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 42.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 43.已知直线a、b和平面α、β、γ,可以使α∥β的条件是 A.a?α,b?β,a∥b B.a?α,b?α,a∥β,b∥β C.α⊥γ,β⊥γ D.a⊥α,a⊥β 44.下列三个命题,其中正确命题的个数为 ①平面α∥平面β,β⊥平面γ,则α⊥γ ②平面α∥平面β,β∥平面γ,则α∥γ ③平面α⊥平面β,平面γ⊥β,则α⊥γ A.1 B.2 C.3 D.0 45.如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成 三棱锥A-BC D.则在三棱锥A-BCD,下列命题正确的是 A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 二、填空题(共5题,题分合计20分) 1.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD和BF所成角的余弦值为 ____________________________. 2. 已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α; ②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线; ③若m?α, l?β,且l⊥m, 则α⊥β; ④若l?β,且 l⊥α,则α⊥β; ⑤若m?α, l?β,且α∥β,则m∥l. 其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 3.设有四个条件: ①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等; ②直线a∥b,a⊥平面α,b⊥β; ③a、b是异面直线,a??,b??,且a∥β,b∥α; ④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线,其中能推出α∥β的条件有.(填写 所有正确条件的代号) 4.一条直线与平面α相交于点A,在平面α内不过A点的直线与这条直线所成角的最大值为_________. 5.在空间,下列命题正确的是____________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) ①如果两条直线a、b分别与直线l平行,那么a∥b ②如果一条直线a与平面β内的一条直线b平行,那么a∥β ③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都有垂直,那么a⊥β ④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ,那么β⊥γ 三、解答题(共10题,题分合计110分) 1.已知:二面角α- l -β等于120°,AB=10,A∈α,B∈β. A、B到l的距离分别等于2和4. (1)求直线AB和平面β所成角的大小; (2)求异面直线AB和l所成角的大小. 2.已知M、N分别是正方体ABCD- A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点, 求(1)MN和CD′'所成的角(2)MN和AD所成的角. 3.已知:正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF 互相垂直点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM= BN= a,(0?a?2) (1)求MN的长 (2)当a为何值时, MN的长最小 (3)当MN长最小时,求面MNA与MNB所成二面角α的大小 4.边长为1的正方形ABCD, PA⊥平面ABCD (1)求证:平面PAD⊥平面PCD; (2)若PA=PB,求AC与平面PCD所成的角. 5.已知△ABC,PA⊥平面ABC,PA= AB= BC= AC. AH⊥平面PBC,H为垂足, 求证:H不是△PBC的垂心. 6.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60°角,且侧面ABB1A1⊥底面ABC. (1)求证: B1C⊥C1A; (2)求二面角C1-AB-C的大小. 7.将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°, AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD; (2)求二面角A-BD-C的正切值; (3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值 . 8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点B、D、C1作截面,则二面角B-DC1-C的余弦值是多少 ? 9.如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直,E是BC的中点,则AE与平面BCD 所成角的大小为 . 10.两个正方形ABCD, CDEF拼接成直二面角,点M在BD上,N点在CE上,且BM=CN,CD= l. (1)求证: MN∥平面BCF, (2)设BM=t,MN= f (t),求函数f (t)的解析式, (3)求函数f (t)的定义域及最小值. 直线和平面所成的角与二面角答案 一、选择题(共45题,合计225分) 1.5621答案:B 2.5478答案:D 3.5511答案:A 4.5614答案:A 5.5618答案:B 6.5624答案:C 7.5627答案:C 8.5647答案:D 9.5661答案:D 10.5710答案:C 11.5718答案:C 12.5737答案:D 13.5740答案:C 14.5759答案:B 15.5766答案:D 16.5783答案:D 17.5794答案:C 18.5795答案:B 19.5815答案:C 20.6098答案:A 21.6099答案:B 22.6108答案:C 23.6109答案:A 24.6110答案:B 25.6111答案:A 26.6315答案:B 27.6330答案:A 28.6382答案:A 29.6408答案:C 30.6410答案:A 31.6481答案:B 32.5553答案:C 33.5769答案:C 34.6074答案:B 35.6093答案:C 36.6094答案:B 37.6095答案:C 38.6096答案:C 39.6097答案:B 40.6292答案:A 41.6301答案:A 42.6474答案:D 43.6477答案:D 44.6478答案:B 45.5651答案:D 二、填空题(共5题,合计20分) 2 4. 1.5480答案: 2.5636答案: ①④ 3.5782答案:②③ 4.6246答案:90° 5.6355答案: ①④ 三、解答题(共10题,合计110分) ?ABC?arcsin3 1.5484答案:(1)10 ?ABD?arcsin7 (2)5 ' 2.5487答案:(1)<> (2)?MN,AD??45? ?2 MN???a?2???1 3.5730答案:(1)?2??2 2 (2)最小值为2 ??arccos(?1 3) (3)所求二面角 4.5748答案:(2)AC与平面PCD成30?角. 5.5751答案:见注释 6.5502答案:(1)见注释 (2) ∠CDE=45° AE30 7.5805答案:(1)tg∠AFE=EF=2(2)异面直线AD与BC所成的角的余弦值为10. 3 8.6303答案:cosθ=3 9.6304答案:∠AEF=45°. 10.5752答案:(2)f(t)?t2?2t?1 f(22 (3)f(t)有最小值2)?2 二面角与法向量所成的角 摘要:二面角的大小与二面角的两半平面的法向量所成的角相等还是互补,这一问题一直困扰着许多的教师和学生~书中一直沿用观察法解决这一问题~同时也存在着观察的误差~本文用观察法为基础~以全新的角度解决这一问题。 关键词:观察法 二面角 法向量 相等与互补 正文: 第一部分:概述 α(一)二面角的定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的部分所组成 的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每 β个半平面叫做二面角的面,棱为l ,两个面分别为α l 、β的二面角记为α—l—β。 (二)二面角的平面角: α 一个平面垂直于二面角α—l—β的棱l且与两个半 A平面的交线分别是两条射线OA,OB,O为垂足,则 AOB叫做二面角αlβ的平面角, ?—— β显然取值范围:[0, π]。 l 由二面角的定义, BO 我们不难得到二面角的作图办法:定义法,垂面法,三垂线法等等。 定义: (如下图)其中(?)表示二面角内角,(?)表示二面角外角。 外角与内角之和为2π。 αα (?) ββ(?)ll (三)平面的法向量: 如果一条直线l与一个平面α垂直,那么这条直线的方向向量a与平面α也垂直,这条直线l叫平面α的法线,这个向量a叫平面α的法向量,记作α?α 对于平面法向量的求解,主要把握住两个概念: 一是垂直(只需要与平面内两个不共线向量垂直即可,原因可以用平面向量的基本定理和向量的运算来解释,也可以用线面垂直的判定定理来解释); 二是法向量只是方向向量(两个方程不可能解任意含有三个未知数的方程,由于只是方向向量,所以可以令其中一个非零未知数为任意非零常数即可)。 (三)法向量相对于二面角的方向 1 如左图,其中 α n3(1) n,n,都是平面α的法向量,n,n都是平1324 n1面β的法向量; n2 (2) n n的方向都向二面角角内,n n的方1234βl向都向二面角角外。 n4 第二部分:研究必要性 S实例一: (2009年高考全国卷2)18,如图,四棱 锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形SD? M底面ABCD,AD= ,DC=SD =2,点M 2 oDC在侧棱SC上?ABM=60 (?)证明:M是侧棱SC的中点; AB(?)求二面角S-AM-B的大小。 C1D1 实例二: A1B1(2008年高考全国卷2)19,如图,正四棱 柱ABCD-ABCD中,AA=2AB=4,点E在 11111ECC上且CE=3EC, 11CD(?)证明:AC平面BED; 1 (?)求二面角A-DE-B的大小。 1AB 从这两个例子我们不难发现: 第一个例子的二面角的大小显然是一个钝角,第二个例子就不太容易判断是锐角还是钝角,因此,书中一直提倡用观察法去判断二面角的大小是钝角还是锐角,难免存在一些因视角问题而产生的错误,而很多老师和学生常常对于这一问题上往往忽视它的重要性,但是我们更应该认识到数学是一门艺术,更是一门科学,要求的是简洁性与准确性,所以,研究这一性质是非常重要的。 第三部分:探究过程 我们先来观察平面的法向量相对于二面角的内角与外角的关系, 如下图所示: αα AA(1) (2) γγn1EEn1 P n2Pn2 ββllB OBOF 2 (3) (4) αα A γAγE PEn2n1 Pn1n2 ββll BOBO 过空间中任意一点作一个平面γ垂直于二面角α—l—β的棱l且与两个半平面的交线分别是两条射线OA,OB,O为垂足,则?AOB二面角α—l—β的平面角,在平面γ内任取一点P分别作PE?OA,PF?OB,垂足分别为E,F,显然直线PE,PF分别叫做平面α,β的法线,当然n,n分别叫做平面α,β的法12 向量, 观察:法向量的方向 1)同时向内,(2)同时向外,(3)(4)一个向内,一个向外 ( 发现:(1)(2)法向量所成的角与二面角的大小互补; 3)(4)法向量所成的角与二面角的大小相等。 ( 结论: 当法向量的方向都向二面角内或二面角外(简称:同向)时,法向量所成的角与二面角的大小互补; 当法向量的方向一个向内,另一个向外时(简称:异向)时,法向量所成的角与二面角的大小相等; 第四部分:解决问题 z D1C1实例二:(2)解: A1B1(如右图)建立空间直角坐标系D-xyz; n1依题意得: A(2,0,4),D(0,0,0),E(0,2,1),B(2,2,0) 1 En2ADAE,,,,,,(2,0,4),(2,2,3) 11 DyC BDBE,,,,,(2,2,0),(2,0,1)AB设平面ADE与平面BDE的法向量分别为: 1xn=(x,y,z),n=(x,y,z),则 11112222 3 ADxyxy,,,,,,,n02402111111,,,,,,,,,,22302xyzzyAE,,n01111111 BDxyyx,,,,,,,n022022222,,,,,,,,,202xzzxBE,,n022222 , 令y=x,,,,,1,(2,1,2),(1,1,2)则nn1212 n×n1612, cos,,,,,n,n12nn183612 6arccos所以二面角A-DE-B的大小为(原因是:n的方向向二面角外,n的11218 方向向二面角内;是异向,所以角的大小相同)。 第五部分:教育意义 对本知识点的研究,深化对二面角的认识,准确把握二面角的大小与二通过 面角两半平面的法向量所成的角相等(与互补)的关系,充分让学生体会数学的美,体现严格的逻辑性,准确性和简洁性,使之更加系统化,完整化,弥补了观察法所带来的严重不足;让学生充分认识到,我们的教育不是应试的教育,而是循序渐进的,完美的,科学的,理论联系实际的,不是猜出来,看出来的,而是有理有据的,不会让同学们在做这种题的时候心存怀疑,而是百分之百的准确化,轻轻的描一下平面的法向量,完全解决视觉所带来的不准确性。 当然,本文制作参考,如有不足,请给予批评指正。 参考资料:全日制普通高级中学教科书,必修,《数学》第二册,下B, p46,p49 2008~2009年全国普通高等学校统一考试全国卷二 4 二面角的两个半平面的法向量所成的角不二面角的关系 魏振方 齐名军 ,鹤壁职业技术学院,河南 鹤壁 458030, 【摘 要 】针 对 高 考 中 求 解 二 面 角 出 现 相 当 复 杂 、而 且 计 算 量 又 相 当 多 的 缺 点 ,本 文 提 出 新 的 求 解 二 面 角 的 方 法 ,也 就 是 说 用 定 位 向 量 的 方 法 来 求 解 即 用 二 面 角 的 两 个 半 平 面 的 法 向 量 所 成 的 角 来 确 定 二 面 角 的 大 小 更 为 简 便 通 过 实 验 验 证 这 种 方 法 有 效 而 且 简 单 易 算 而 且 易 于 ,。 ,, 学生理解和掌握。 关 键 词 二 面 角 法 向 量 夹 角 【】,, A Dihedral Angle of 2.5 PlaneNormal Vector of the Angle and Dihedral Angle Relation WEI Zhen-fang QI Ming-jun ,Hebi College of Vocation and Technology,Hebi Henan, 458030 , 【Abstract】Aiming at the college entrance examinatiionn solving dihedral appearqu ite complex, andits calculation quantity andons ciderable disadvantages, this papputer forward the new methodso ovfi ng the dihedralan ge,That s to say by ocating vector methodsto sove, namey the dihe- llillldral angle of 2.5 plane normal vector becomean gthele to determine the dihedralan gle size is more convenient.Verifiebyd experiments, this methios d effective ande asyto calculate, and easyfor studentsto understand andmas ter. 【Key words】Dihedralan gle; Vector;In cluded angle [4] 。 ,, 在高考中求二面角的试题屡见不鲜用二面角的两个半平面的法当一个法向量指向二面角内部另一个法向量指向二面角外部时[1]nnnn向 量所成的角来确定二面角的大小较似简便 但是在求解法向量时 。 , 如图 所示戒如图 所示二面角 3 4 , 为 了 叙 述 方 便 先 做 下 列 约 定 本文要解决的问题。 ,。 义 1 。 ,fixed vector 定,我们把指定始点位置的向量称为定位向量, 定 义 定 位 向 量 有 向 线 段 上的所有点都不在二面角内部 称 2 , ,,, 定 位 向 量 有 向 线 段 上存在二面角内部 该定位向量指向二面角外部,,, 的 点 称该定位向量指向二面角内部 显 然 定位向量的指向不长短无 ,,, 关 。 义 定把二面角某个半平面的法向量的始点取在该半平面的内3, 部使之成为定位向量该定位向量指向二面角内部简称该法向量指,,, 向 二 面 角 内 部 该定位向量指向二面角外部 简称该法向量指向二面 ,, 角 外 部 。 [3]显 然 ,一个法向量的定位向量,其 始 点位置可以取在该法向量所 属半平面内部的任何位置 其指向保持不变 ,。图 图 3 4 设 角 面 是二面的一个平面角半平的 ?AOAπ-CDπ, π,π-12 12 12 nn设 点 在 内 部 点 在 内 部 并 法向量分别取定为n1 ,n2 。 A1 π1 ,A2 π2 ,nn定 理 设分别是二面角的两 个 半 平 面 的 法 向 量 当 1,n1 ,n2 π,π,12 nnnn 的始点分别取在 则 所在直线不直线 把n1 ,n2 A1,A2 , n1 ,n2 OA, 1nn法 向 量 均指向二面角 内部戒均指向二面角外部时 角二 面 n1 , n2 , 在同 一 平 面 内垂 直 于 的 平 面 当戒过 OA.,O CD , ?AOA=0 ?AOA2 1212 n nn n当 法 向 量中有一个指向二面角内部 另 一 个 指θ=π- nnnnnnnnnn则 为 钝 角 指 向 若?<> nnnnnnnnnnnn则为 锐 角 ?<0 n2bb="">0,cos 作 者 简 介 魏振 方 本 科 讲 师 研 究 方 向 为 人 工 智 能 和 数 学 应 用 ,,1970,,,,。 — 科技视界Science& TechnologyVision 133 Science& TechnologyVision 科技视 界 职校科技科技?探索?争鸣 角 外 部 二 面 角 3 3 3,θ= 在高考中求解二面角复杂而且计算量 又相当大用定位向量的方, 法来求解即用二面角的两个半平面的法向量所成的角来确定二面角, 的大小更为简便 。 上 述 实 验 验 证 ,这种方法有效而且简单易算 ,而 且 易 于学生理解和掌握 。 【参 考 文 献 】 ,1,罗 爱 玲 .现代教育技术在数学教学中的应用[J] ,科 技 资 讯 ,2010,17(11),264- 227, ,2,欧 阳 玉 先.注 重 过 程 ,培 养 能 力[J].黑龙江科技信息 ,2012,17(4),64-67, ,3,陆 金 菊.试论向量在几何中 的 应 用[J],山西广播电视大学学报 ,2009,19(7),4 -图 5 5, ,4, 虞 根 贵 .探讨求二面角大小的最优方法[J] ,中 学 教 学 参 考 ,2011,13(41),64- 解 作 平 面 垂 足 为 点连 结 设 ,(?)PO?ABCD,O。 OB、OA、OD,OB 65, 不 交 于 点 连 结 于 是 AD E,PE, AD?PB ?AD?OB,PA=PD ?OA=OD ,5, 卢 玉 才 .立体几何不确定问题一例通[J] ,广 东 教 育 , 高 中 版 ,2010,7(11),74 -点 为 的 中 点 所 以 为 面 不 面 所 成E AD ,PE?AD。 ?PEB PAD ABCD 75, 3姨 二面角的平面角 ??PEB=120?, ??PEO=60?, 由已知可求得 PE= 2 ,责 任 编 辑 ,周 娜 , 上 接 第 页 找出不同学生回答戒表现的 特点以及特别之处 有 【参考文献】,114 , , ,1,Ji 针对性的进行点评 尽 量 避免重复和雷同 让学生感到被重视及认真 Peiying. Pragmatics and Pedagogy in College English Teaching [M]. ,,Shangha: Shangha Foreign LanguaEducge ationP ress,2008. ii对 待 而如果是课堂组织活动 提 问 等 环 节 则应以聆听为主 让 学 生 ,,,,,,’’2Lakoff,R . The logic of politeness: Or, ps and qs [A]. In CorumC . et al. (eds.) 分 展 示 自 己 不轻易打断指出其错误 体现出教师对学生的尊重 充,,。 Papers from the Ninth Regional Meeting of the Chicago Linguistic Society [ C]. 教师还应适时适度的使用礼貌语言 例 如 可 根 据 不学生亲密程度 ,ChicagoL inguistic Society, 197329: 2-305. 的 变 化 调整自己的话语和语气 对待刚接手的新生 采取较为正式的 ,。 , ,3,Brown, P&. Levinson, SUn. iversals in language usage: P oliteness phenomena 语 言 充 分 尊 重 对 方 也可树立教师的威信 在 不 学 生 熟悉之后则可使 ,,,[A]. // GoodyE . (ed.) Questions and Politeness[C]. Ca mbridge: Cambridge University 用更为随意甚至较为亲密 的 表 达 让学生感到亲切自然 使 师 生 关 系 ,,Press, 197825: 6289. - 为 融 洽 更。 ,,4Brown, P&. Levinson, S. Politeness: Some Universals in Language Usage[M]. Cambridge: Cambridge University Press,1987. 结 语 3 ,5,Leech, G. Principles of Pragmatics[M]. New York: Longman, 1983. ,,6Fraser,B. Perspectiveson Politeness [J]. Journla of Pragmatics, 1990(14):21 9- 礼貌作为一种重要的语用现象 ,对于高校英语课 堂教学有着非常 36. 重要的启示作用 教师需要在课堂教学中综合考虑各 项 因 素 合 理 得 。 、,,7Scollon, R. & Scollon, S. W. Intercultural Communication[M] . Oxford:B lackwell, 有针对性地运用礼貌原则 为学生创造一个轻松愉 悦 的 学 习 氛 围 体、,, 1995 .使学生由被动教转变为主动学 从教师的礼貌语言示 范中既学习英语 ,,8,顾 曰 国.礼 貌 、语 用 不 文 化[J].外语教学不研究,1992(4):10-17. 语 言 又体验英语语用 掌握英语国家的文化规则 社 会规范和价值取 ,,、,,9Kasper,G. & Schmidt,R. Developmental issues in interlanguage pragmatics [J]. 向 等 从而进一步实现提高学生语言应用不跨文化交 际等英语综合应 , Studiesi n Second LanguaAgecqu isition, 1996(18):149 -169. 用能力的教学目标 。 ,责 任 编 辑 ,杨 扬 , 134 科技视界 Science& TechnologyVision 转载请注明出处范文大全网 » 直线和平面所成的角与二面角范文二:直线和平面所成的角与二面角
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范文四:二面角与法向量所成的角
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