范文一:正n边形的面积
正 n 边形的面积(外接圆半径为 1) 为 n/2*sin(2*pi/n)。只要 n 够大,我们的 pi 就够精确。这里 pi 近似等于 内接正 n 边形面积。
一下为代码:
>>> import math
>>> def pivalue(n):
return n/2*math.sin(2*math.pi/n)
第一句, 有一个 import , 是为了加载 math 模块, math 模块里定义了各种数学函数与实现。 可以使用 dir (math ) 来查看相关信息。这样添加了模块 math 后,就可以像 math.sin(x)这样使用 sin 函数。看起来是不是很简单。
这个先放在一边,有人会问,你这什么程序,你用 pi 的值来计算 pi 的值,哪有这样的啊。呵呵,我知道错了, 那我现在先假设我们有办法来计算外接正多边形的面积了好吧,但是精度一定不会比我们这个算法高。
运行一个值看看,
>>> pivalue(10)
2.9389262614623659
好像精度不行啊。我们换一种方式来 ,刚计算的是外接圆的面积,那这次我们用内切圆看看。内切圆面积(半 径 1)用外切正 n 边形面积近似。
外切正 n 边形面积:n*tan(pi/n).
这些都可以从 sin(x)~x, 及 tan (x ) ~x 看出。
同样我们也写一个 pivalue1程序。为了方便我们建立一个模块,或者说新建一个 .py 文件,类似于 MATLAB 众的 m 文件。如下:
# -*- coding: cp936 -*-
#给出 pi 计算方式。
from math import * #引用 math 模块
def pivalue1(n):
return n/2*sin(2*pi/n)
def pivalue2(n):
return n*tan(pi/n)
这些代码很简单,保存在 pivaluetest.py 文件中。这里可以理解一下 import 一句使用与表达方式的不同,直接 import math 则在以后使用其中的函数时必须要 math.XX().而 from math import *,则可以直接使用,具体有 优有弊,
我们推荐使用比如我们要用 sin 函数,我们可以这样申明:
from math import sin
同样我们也计算一下 n=10时的值。在文件后面追加下列代码:
print pivalue1(10),pivalue2(10)
结果是:
2.93892626146 3.24919696233
发现 pivalue1(10)的精度比 pivalue2(10) 的精度差不多。
以下我们介绍一种外推方法可以得到相当高的精度。
三、组合方法与函数调用
其实作为数值计算来说,前面的基本应用已经可以让我们可以入门写一些东西了。再加上一些控制语句,及算法 思想,就可以写出各种复杂程度的程序。为了我们的可视化需求,也许我们还要需要写一些基于界面的编程。这 里我不做深入的讨论。现在我们希望我们能借助最少的语法上的知识,来对 python 有一定的理解。
我们继续上面的 pi 的计算。虽然我们写了两个函数,每个函数都可以计算出 pi 的近似值,(我们在计算内接多 边形与外切多边形上,使用了 pi 的值,但是这里不影响我们在讨论外推技术上的理解。使用 pi 的目的不过是让 我们更容易的去使用代码来计算多边形的面积,如果使用其他的代数方法,则会有喧宾夺主之嫌。
红色部分,是外切多边形。即是 pivalue2(n )的值。而蓝色的是 pivalue1(n )的值。他们的关系式 : pivalue1(n)= n/2*sin(2*pi/n) 和 pivalue2(n)=n*tan(pi/n)
考察第一个公式 , 记 h=1/n.
记:S(n)=1/(h*2)*sin(2*pi*h)
在 0点展开, S(n)=1/(2*h)*[2*pi*h-(2*pi*h)^3/3!+O(h^5)]=pi-pi^3*(2*h)^2/3!+O(h4)
同样记:Q(n)=1/h*tan(h*pi)=pi+pi^3*h^2/3+O(h4)
连列这两个等式,解出
pi=1/3*(S(n)+2Q(n))+O(h4)
在代码后面加上如下代码:
print (pivalue1(10)+2*pivalue2(10))/3
得出结果
3.14577339537 。
在回想一下我们的 pivalue1(10)和 pivalue2(10)的值:2.93892626146 3.24919696233。 这两个数字误差 在 0.2, 即 10的 -1次方。
而组合后的结果是(-3)次方的精度。而,组合前的函数,到 n=100才能达到这个精度。
若想要计算出 3.1415926的精度,则需要 n=26000。
组合时, n=200就足够。追加以下代码:
print (pivalue1(200)+2*pivalue2(200))/3
print pivalue1(26000),pivalue2(2600)
结果为:
3.14159267909
3.14159262301 3.1415941825 。
由此,我们可以看到组合方法在数值计算中的优势。
四、外推
在回顾我们刚才的公式:
pi=1/3*(S(n)+2Q(n))-O(h4)
pi<1>1>
也就是知道 pi 的上限。同样我们可以知道 pi 的下限。
再把那两个展开式拿下来:
由此我们可知道
S(n)=pi-pi^3*(2*h)^2/3!+O(h4)
Q(n)=pi+pi^3*h^2/3+O(h4)
其实 Sn 就是下限,但是这个上限太难计算了。我们仍然希望通过组合方式可以得到。
计算 (4*Q(2n)-Q(n))/3可知:
(4*Q(2n)-Q(n))/3=pi-O(h^4)
所以 pi>(4*Q(2n)-Q(n))/3
修改代码:(最终代码为:)
# -*- coding: cp936 -*-
#给出 pi 计算方式, pivaluetest.py
from math import * #引用 math 模块
def pivalue1(n):
return n/2*sin(2*pi/n)
def pivalue2(n):
return n*tan(pi/n)
print 4*pivalue2(2*200)/3-pivalue2(200)/3,'<' ,'pi','<',(pivalue1(200)+2*pivalue2(200))/3 print pivalue1(26000),pivalue2(26000)
计算结果:
>>>
3.14159264721 < pi=""><>
3.14159262301 3.14159266888
>>>
五、结束语
以上是以个 python 计算的例子。使用 python 写程序做计算比较方便,即使是那些具有较多的矩阵运算的 PDE 的 求解也会和 matlab 一样的方便。困难只会处在对算法本身的理解上。
最后仍然要推荐那本《用 python 做科学计算》,确实是非常不错的书,尤其是书中给出了非常多的数值计算与 图形处理等的软件包。并且也给了很详细的解释。非常不错。强强强烈推荐
范文二:正n边形的面积公式及其过程
正n 边形的面积公式及其过程
? 用的公式或定理:
1,三角形的内角和为π(弧度)。
2,三角形已知两边及其夹角求面积:S?=0.5*a*b*sin C。 3,正弦定理。?面积公式(边长a, 边数n ) S=0.5*n*a2sin (2π/n)*(sin(π/2-π/n)) 2。
? 推导过程:正弦定理知,在同一个三角形中,三角形的每边与每
角的正弦之比相等。即,a/sinA=b/sinB=c/sinC。如果知道其两边长度(a,b ),及其夹角C ,可以求出它的面积:S ?=0.5*a*b*sin C ;把正n 边形从其中心向各个顶点划分为n 个全等的等腰三角形。其中,底边是已知边长,顶角即心角2π/n。求得底角为π/2-π/n,求腰长(即外接圆半径)r 为a/sinβ*sinθ(β是顶角,θ是底角),用公式S ?=0.5*a*b*sin C,有S/n=(a/sinβ*sinθ) 2sin β/2;即: S=0.5*n*(a/sinβ*sinθ) 2*sinβ。
范文三:141 正n边形的面积Sn
141 正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142 正三角形面积?3a/4 a表示边长
143 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360?,因此k?(n-2)180?/n=360?化为(n-2)(k-2)=4
144 弧长计算公式:L=n兀R/180
145 扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b2)
a^3-b^3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|?|a|+|b|
|a-b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b
|a-b|?|a|-|b| -|a|?a?|a|
一元二次方程的解 -b+?(b2-4ac)/2a -b-?(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
Δ=b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
Δ=b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
Δ=b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根="">0>
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2)
cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2)
tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA))
ctg(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+?+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+?+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+?+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+?n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+?+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径)
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB (注:角B是边a和边c的夹角)
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (注:(a,b)是圆心坐标)
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (注:D^2+E^2-4F>0)
抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2π*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π*r^2h
编辑本段基本公式
(1)抛物线
y = ax^2 + bx + c (a?0)
就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c
置于平面直角坐标系中
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下="">
(a=0时为一元一次函数)
c>0时函数图像与y轴正方向相交
c< 0时函数图像与y轴负方向相交="">
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
(当然a=0且b?0时该函数为一次函数)
还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值和对称轴
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px
x^2=2py x^2=-2py
(2)圆
球体积=(4/3)π(r^3)
面积=π(r^2)
周长=2πr =πd
圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D^2+E^2-4F>0
(一)椭圆周长计算公式
按标准椭圆方程:长半轴a,短半轴b 设 λ=(a-b)/(a+b)
椭圆周长 L=π(a+b)(1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384 + ......)
简化:L?π[1.5(a+b)- sqrt(ab)]
或 L?π(a+b)(64 - 3λ^4)/(64 - 16λ^2)
(二)椭圆面积计算公式
椭圆面积公式: S=πab
椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。
椭球物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*π*高 (3)三角函数
和差角公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ;sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA ;
cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB ;cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB ;
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB);
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ;
cot(A+B)=(cosAcotB-1)/(cosB+cotA) ;
cot(A-B)=(cosAcotB+1)/(cosB-cotA) ;
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan^2A) ;cot2A=(cot^2A-1)/2cota ;
cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a ;
sin2A=2sinAcosA=2/(tanA+cotA);
另:
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+??+sin[α+
2π*(n-1)/n]=0 ;
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+??+cos[α+
2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 ;
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0;
四倍角公式:
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式:
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式:
sin6A=2*(cosA*sinA)*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^
6)
七倍角公式:
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA
^4+7*tanA^6)
八倍角公式:
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式:
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式:
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2)
cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2)
tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA))
cot(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B); 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ;
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) ;-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) ;
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 ;
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) ;
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ;
cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB; -cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB ;
降幂公式
sin²(A)=(1-cos(2A))/2=versin(2A)/2;
cos²(α)=(1+cos(2A))/2=covers(2A)/2;
tan²(α)=(1-cos(2A))/(1+cos(2A));
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接
圆半径
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角
诱导公式
公式一:
弧度制下的角的表示:
sin(2kπ+α)=sinα (k?Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k?Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k?Z)
cot(2kπ+α)=cotα (k?Z)
sec(2kπ+α)=secα (k?Z)
csc(2kπ+α)=cscα (k?Z)
角度制下的角的表示:
sin (α+k?360?)=sinα(k?Z)
cos(α+k?360?)=cosα(k?Z)
tan (α+k?360?)=tanα(k?Z)
cot(α+k?360?)=cotα (k?Z)
sec(α+k?360?)=secα (k?Z)
csc(α+k?360?)=cscα (k?Z)
公式二:
弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=,sinα (k?Z)
cos(π+α)=,cosα(k?Z)
tan(π+α)=tanα(k?Z)
cot(π+α)=cotα(k?Z)
sec(π+α)=,secα(k?Z)
csc(π+α)=,cscα(k?Z)
角度制下的角的表示:
sin(180?+α)=,sinα(k?Z)
cos(180?+α)=,cosα(k?Z)
tan(180?+α)=tanα(k?Z)
cot(180?+α)=cotα(k?Z)
sec(180?+α)=,secα(k?Z)
csc(180?+α)=,cscα(k?Z)
公式三:
sin(,α)=,sinα(k?Z)
cos(,α)=cosα(k?Z)
tan(,α)=,tanα(k?Z)
cot(,α)=,cotα(k?Z)
sec(,α)=secα(k?Z)
csc,α)=,cscα(k?Z)
公式四:
弧度制下的角的表示:
sin(π,α)=sinα(k?Z)
cos(π,α)=,cosα(k?Z)
tan(π,α)=,tanα(k?Z)
cot(π,α)=,cotα(k?Z)
sec(π,α)=,secα(k?Z)
cot(π,α)=cscα(k?Z)
角度制下的角的表示:
sin(180?,α)=sinα(k?Z)
cos(180?,α)=,cosα(k?Z)
tan(180?,α)=,tanα(k?Z)
cot(180?,α)=,cotα(k?Z)
sec(180?,α)=,secα(k?Z)
csc(180?,α)=cscα(k?Z)
公式五:
弧度制下的角的表示:
sin(2π,α)=,sinα(k?Z)
cos(2π,α)=cosα(k?Z)
tan(2π,α)=,tanα(k?Z)
cot(2π,α)=,cotα(k?Z)
sec(2π,α)=secα(k?Z)
csc(2π,α)=,cscα(k?Z)
角度制下的角的表示:
sin(360?,α)=,sinα(k?Z)
cos(360?,α)=cosα(k?Z)
tan(360?,α)=,tanα(k?Z)
cot(360?,α)=,cotα(k?Z)
sec(360?,α)=secα(k?Z)
csc(360?,α)=,cscα(k?Z)
公式六:
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα(k?Z)
cos(π/2+α)=—sinα(k?Z)
tan(π/2+α)=,cotα(k?Z)
cot(π/2+α)=,tanα(k?Z)
sec(π/2+α)=,cscα(k?Z)
csc(π/2+α)=secα(k?Z)
角度制下的角的表示:
sin(90?+α)=cosα(k?Z)
cos(90?+α)=,sinα(k?Z)
tan(90?+α)=,cotα(k?Z)
cot(90?+α)=,tanα(k?Z)
sec(90?+α)=,cscα(k?Z)
csc(90?+α)=secα(k?Z)
?
弧度制下的角的表示:
sin(π/2,α)=cosα(k?Z)
cos(π/2,α)=sinα(k?Z)
tan(π/2,α)=cotα(k?Z)
cot(π/2,α)=tanα(k?Z)
sec(π/2,α)=cscα(k?Z)
csc(π/2,α)=secα(k?Z)
角度制下的角的表示:
sin (90?,α)=cosα(k?Z)
cos (90?,α)=sinα(k?Z)
tan (90?,α)=cotα(k?Z)
cot (90?,α)=tanα(k?Z)
sec (90?,α)=cscα(k?Z)
csc (90?,α)=secα(k?Z)
3
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=,cosα(k?Z)
cos(3π/2+α)=sinα(k?Z)
tan(3π/2+α)=,cotα(k?Z)
cot(3π/2+α)=,tanα(k?Z)
sec(3π/2+α)=cscα(k?Z)
csc(3π/2+α)=,secα(k?Z)
角度制下的角的表示:
sin(270?+α)=,cosα(k?Z)
cos(270?+α)=sinα(k?Z)
tan(270?+α)=,cotα(k?Z)
cot(270?+α)=,tanα(k?Z)
sec(270?+α)=cscα(k?Z)
csc(270?+α)=,secα(k?Z)
4
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2,α)=,cosα(k?Z)
cos(3π/2,α)=,sinα(k?Z)
tan(3π/2,α)=cotα(k?Z)
cot(3π/2,α)=tanα(k?Z)
sec(3π/2,α)=,secα(k?Z)
csc(3π/2,α)=,secα(k?Z)
角度制下的角的表示:
sin(270?,α)=,cosα(k?Z)
cos(270?,α)=,sinα(k?Z)
tan(270?,α)=cotα(k?Z)
cot(270?,α)=tanα(k?Z)
sec(270?,α)=,cscα(k?Z)
csc(270?,α)=,secα(k?Z) (4)反三角函数
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arc sin x+arc cos x=π/2
arc tan x+arc cot x=π/2 (5)数列
等差数列通项公式:an,a1,(n-1)d
等差数列前n项和:Sn=[n(A1+An)]/2 =nA1+[n(n-1)d]/2
等比数列通项公式:an=a1*q^(n,1);
等比数列前n项和:Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n (n?1)
某些数列前n项和:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+?+(2n-1)=n^2
2+4+6+8+10+12+14+?+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+?+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+?n^3=(n(n+1)/2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+?+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 (6)乘法与因式分解
因式分解
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2?2ab+b^2=(a?b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3?3a^2b+3ab^2?b^3=(a?b)^3
乘法公式
把上面的因式分解公式左边和右边颠倒过来就是乘法公式 (7)三角不等式
-|a|?a?|a|
|a|?b<=>-b?a?b
|a|?b<=>-b?a?b
|a|-|b|?|a+b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b
|a|-|b|?|a-b|?|a|+|b|
|z1|-|z2|-...-|zn|?|z1+z2+...+zn|?|z1|+|z2|+...+|zn|
|z1|-|z2|-...-|zn|?|z1-z2-...-zn|?|z1|+|z2|+...+|zn|
|z1|-|z2|-...-|zn|?|z1?z2?...?zn|?|z1|+|z2|+...+|zn| (8)一元二次方程
一元二次方程的解wx1= -b+?(b^2-4ac)/2a x2= -b-?(b^2-4ac)/2a
根与系数的关系(韦达定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a
判别式?= b^2-4ac=0 则方d程有相等的个实根
?>0 则方程有两个不相等的两实根
?<0>0>
编辑本段对数基本性质
如果a>0,且a?1,M>0,N>0,那么:
1、a^log(a)(b)=b
2、log(a)(a)=1
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M?N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n
编辑本段公式分类
公式表达式
圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注:(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注:?=D^2+E^2-4F>0
抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c' *h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4π*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2π*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=π*r2h
图形周长 面积 体积公式
长方形的周长=(长+宽)?2 c =2〔a+b〕
正方形的周长=边长?4 c=4a
长方形的面积=长?宽 s=ab
正方形的面积=边长?边长 s=a2
三角形的面积=底?高?2
已知三角形底a,高h,则S=ah/2
已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= ?[p(p - a)(p - b)(p - c)]
(海伦秦九韶公式) (p= (a+b+c)/2)
和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=absinC/2
设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2
设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r
已知三角形三边a、b、c,则S= ?{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}
(“三斜求积” 南宋秦九韶) 注:秦九韶公式与海伦公式等价
| a b 1 |
S?=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
【| a b 1|
| c d 1| 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 | e f 1 |
ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值, 如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小~】
秦九韶三角形中线面积公式:
S=?[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
平行四边形的面积=底?高
梯形的面积=(上底+下底)?高?2
直径=d=2r
圆的周长=πd= 2πr
圆的面积= πr^2
长方体的表面积=
(长?宽+宽?高+高?长)?2 s=2〔ab+bc+ca〕
长方体的体积 =长?宽?高 v=abc
正方体的表面积=棱长?棱长?6 s=6a^2
正方体的体积=棱长?棱长?棱长 v=a^3
圆柱的侧面积=底面圆的周长?高 s=ch
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 s=2?r^2
圆柱的体积=底面积?高 v=sh
圆锥的体积=底面积?高?3 v=sh?3
柱体体积=底面积?高
平面图形
名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长 C=4a S=a^2
长方形 a和b,边长 C=2(a+b) S=ab
三角形 a,b,c,三边长 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2
h,a边上的高 =ab/2?sinC
s,周长的一半 =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
A,B,C,内角 =a^2sinBsinC/(2sinA)
编辑本段概率公式
定义:p(A)=m/n,
全概率公式(贝页斯公式 )
某事件A是有B,C,D三种因素造成的,求这一事件发生的概率
p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)
其中p(A/B)叫条件概率,即:在B发生的情况下,A发生的概率
伯努力公式
是用以求某事件已经发生,求其是哪种因素的概率造成的
好以上例中已知A事件发生了,用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大,C因素,D因素同样也求(
古典概型 P(A)=A包含的基本事件数/基本事件总数
几何概型 P(A)=A面积/总的面积
条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数
概率的性质
性质1(P(Φ)=0.
性质2(有限可加性)(当n个事件A1,?,An两两互不相容时: P(A1?...?An)=P(A1)+...+P(An)(
性质3(对于任意一个事件A:P(A)=1-P(非A)(
性质4(当事件A,B满足A包含于B时:P(BnA)=P(B)-P(A),P(A)?P(B)(
性质5(对于任意一个事件A,P(A)?1(
性质6(对任意两个事件A和B,P(B-A)=P(B)-P(AB)(
性质7(加法公式)(对任意两个事件A和B,
P(A?B)=P(A)+P(B)-P(A?B)
范文四:141正n边形的面积Sn
141 正n边形的?面积Sn=pnrn/2 p表示正n?边形的周长?
142 正三角形面?积?3a/4 a表示边长?
143 如果在一个?顶点周围有?k个正n边?形的角,由于这些角?的和应为3?60?,因此k?(n-2)180?/n=360?化为(n-2)(k-2)=4
144 弧长计算公?式:L=n兀R/180
145 扇形面积公?式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2
146 内公切线长?= d-(R-r) 外公切线长?= d-(R+r)
乘法与因式?分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b2)
a^3-b^3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式? |a+b|?|a|+|b|
|a-b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b
|a-b|?|a|-|b| -|a|?a?|a|
一元二次方?程的解 -b+?(b2-4ac)/2a -b-?(b2-4ac)/2a
根与系数的?关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
Δ=b2-4ac=0 注:方程有两个?相等的实根?
Δ=b2-4ac>0 注:方程有两个?不等的实根?
Δ=b2-4ac<0 注:方程没有实?根,有共轭复数?根="">0>
三角函数公?式
两角和公式?
sin(A+B)=sinAc?osB+cosAs?inB sin(A-B)=sinAc?osB-sinBc?osA
cos(A+B)=cosAc?osB-sinAs?inB cos(A-B)=cosAc?osB+sinAs?inB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAt?anB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAt?anB)
ctg(A+B)=(ctgAc?tgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgAc?tgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A?=2tanA?/(1-tan2A?) ctg2A?=(ctg2A?-1)/2ctga?
cos2a?=cos2a?-sin2a?=2cos2?a-1=1-2sin2?a
半角公式
sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2)
cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2)
tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA))
ctg(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinA?cosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosA?sinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosA?cosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinA?sinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAc?osB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAc?osB
ctgA+ctgBs?in(A+B)/sinAs?inB -ctgA+ctgBs?in(A+B)/sinAs?inB
某些数列前?n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+?+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+?+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+?+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+?n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+?+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (注: 其中 R 表示三角形?的外接圆半?径)
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2acco?sB (注:角B是边a?和边c的夹?角)
圆的标准方?程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (注:(a,b)是圆心坐标?)
圆的一般方?程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (注:D^2+E^2-4F>0)
抛物线标准?方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
直棱柱侧面?积 S=c*h 斜棱柱侧面?积 S=c'*h
正棱锥侧面?积 S=1/2c*h' 正棱台侧面?积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积? S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积? S=4pi*r2
圆柱侧面积? S=c*h=2π*h 圆锥侧面积? S=1/2*c*l=π*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角?的弧度数r? >0 扇形面积公?式 s=1/2*l*r
锥体体积公?式 V=1/3*S*H 圆锥体体积?公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积? V=S'L 注:其中,S'是直截面面?积, L是侧棱长?
柱体体积公?式 V=s*h 圆柱体 V=π*r^2h
编辑本段基本公式
(1)抛物线
y = ax^2 + bx + c (a?0)
就是y等于?a乘以x 的平方加上? b乘以x再?加上 c
置于平面直?角坐标系中?
a > 0时开口向?上
a < 0时开口向?下="">
(a=0时为一元?一次函数)
c>0时函数图?像与y轴正?方向相交
c< 0时函数图?像与y轴负?方向相交="">
c = 0时抛物线?经过原点
b = 0时抛物线?对称轴为y?轴
(当然a=0且b?0时该函数?为一次函数?)
还有顶点公?式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))
就是y等于?a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐?标的x
k是顶点坐?标的y
一般用于求?最大值与最?小值和对称?轴
抛物线标准?方程:y^2=2px
它表示抛物?线的焦点在?x的正半轴?上,焦点坐标为?(p/2,0) 准线方程为?x=-p/2
由于抛物线?的焦点可在?任意半轴,故共有标准?方程y^2=2px y^2=-2px
x^2=2py x^2=-2py
(2)圆
球体积=(4/3)π(r^3)
面积=π(r^2)
周长=2πr =πd
圆的标准方?程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注:(a,b)是圆心坐标?
圆的一般方?程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D^2+E^2-4F>0
(一)椭圆周长计?算公式
按标准椭圆?方程:长半轴a,短半轴b 设 λ=(a-b)/(a+b)
椭圆周长 L=π(a+b)(1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384? + ......)
简化:L?π[1.5(a+b)- sqrt(ab)]
或 L?π(a+b)(64 - 3λ^4)/(64 - 16λ^2)
(二)椭圆面积计?算公式
椭圆面积公?式: S=πab
椭圆面积定?理:椭圆的面积?等于圆周率(π)乘该椭圆长?半轴长(a)与短半轴长?(b)的乘积。
以上椭圆周?长、面积公式中?虽然没有出?现椭圆周率?T,但这两个公?式都是通过?椭圆周率T?推导演变而?来。常数为体,公式为用。
椭球物体 体积计算公?式椭圆 的 长半径*短半径*π*高 (3)三角函数
和差角公式?
sin(A+B)=sinAc?osB+cosAs?inB ;sin(A-B)=sinAc?osB - sinBc?osA ;
cos(A+B)=cosAc?osB - sinAs?inB ;cos(A-B)=cosAc?osB + sinAs?inB ;
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAt?anB);
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAt?anB) ;
cot(A+B)=(cosAc?otB-1)/(cosB+cotA) ;
cot(A-B)=(cosAc?otB+1)/(cosB-cotA) ;
倍角公式
tan2A?=2tanA?/(1-tan^2A) ;cot2A?=(cot^2A-1)/2cota? ;
cos2a?=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a ;
sin2A?=2sinA?cosA=2/(tanA+cotA);
另:
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+??+sin[α+
2π*(n-1)/n]=0 ;
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+??+cos[α+
2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 ;
tanAt?anBta?n(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0;
四倍角公式?:
sin4A?=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A?=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A?=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式?:
sin5A?=16sin?A^5-20sin?A^3+5sinA?
cos5A?=16cos?A^5-20cos?A^3+5cosA?
tan5A?=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式?:
sin6A?=2*(cosA*sinA)*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A?=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A?=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^
6)
七倍角公式?:
sin7A?=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A?=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A?=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA
^4+7*tanA^6)
八倍角公式?:
sin8A?=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A?=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A?=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式?:
sin9A?=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A?=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A?=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式?:
sin10?A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10?A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10?A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2)
cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2)
tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA))
cot(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinA?cosB=sin(A+B)+sin(A-B); 2cosA?sinB=sin(A+B)-sin(A-B) ;
2cosA?cosB=cos(A+B)+cos(A-B) ;-2sinA?sinB=cos(A+B)-cos(A-B) ;
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 ;
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) ;
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAc?osB; tanA-tanB=sin(A-B)/cosAc?osB ;
cotA+cotB=sin(A+B)/sinAs?inB; -cotA+cotB=sin(A+B)/sinAs?inB ;
降幂公式
sin²(A)=(1-cos(2A))/2=versi?n(2A)/2;
cos²(α)=(1+cos(2A))/2=cover?s(2A)/2;
tan²(α)=(1-cos(2A))/(1+cos(2A));
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形?的外接
圆半?径
余弦定理 b^2=a^2+c^2-2acco?sB 注:角B是边a?和边c的夹?角
诱导公式
公式一:
弧度制下的角的表?示:
sin(2kπ+α)=sinα (k?Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k?Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k?Z)
cot(2kπ+α)=cotα (k?Z)
sec(2kπ+α)=secα (k?Z)
csc(2kπ+α)=cscα (k?Z)
角度制下的角的表?示:
sin (α+k?360?)=sinα(k?Z)
cos(α+k?360?)=cosα(k?Z)
tan (α+k?360?)=tanα(k?Z)
cot(α+k?360?)=cotα (k?Z)
sec(α+k?360?)=secα (k?Z)
csc(α+k?360?)=cscα (k?Z)
公式二:
弧度制下的?角的表示:
sin(π+α)=,sinα (k?Z)
cos(π+α)=,cosα(k?Z)
tan(π+α)=tanα(k?Z)
cot(π+α)=cotα(k?Z)
sec(π+α)=,secα(k?Z)
csc(π+α)=,cscα(k?Z)
角度制下的?角的表示:
sin(180?+α)=,sinα(k?Z)
cos(180?+α)=,cosα(k?Z)
tan(180?+α)=tanα(k?Z)
cot(180?+α)=cotα(k?Z)
sec(180?+α)=,secα(k?Z)
csc(180?+α)=,cscα(k?Z)
公式三:
sin(,α)=,sinα(k?Z)
cos(,α)=cosα(k?Z)
tan(,α)=,tanα(k?Z)
cot(,α)=,cotα(k?Z)
sec(,α)=secα(k?Z)
csc,α)=,cscα(k?Z)
公式四:
弧度制下的?角的表示:
sin(π,α)=sinα(k?Z)
cos(π,α)=,cosα(k?Z)
tan(π,α)=,tanα(k?Z)
cot(π,α)=,cotα(k?Z)
sec(π,α)=,secα(k?Z)
cot(π,α)=cscα(k?Z)
角度制下的?角的表示:
sin(180?,α)=sinα(k?Z)
cos(180?,α)=,cosα(k?Z)
tan(180?,α)=,tanα(k?Z)
cot(180?,α)=,cotα(k?Z)
sec(180?,α)=,secα(k?Z)
csc(180?,α)=cscα(k?Z)
公式五:
弧度制下的?角的表示:
sin(2π,α)=,sinα(k?Z)
cos(2π,α)=cosα(k?Z)
tan(2π,α)=,tanα(k?Z)
cot(2π,α)=,cotα(k?Z)
sec(2π,α)=secα(k?Z)
csc(2π,α)=,cscα(k?Z)
角度制下的?角的表示:
sin(360?,α)=,sinα(k?Z)
cos(360?,α)=cosα(k?Z)
tan(360?,α)=,tanα(k?Z)
cot(360?,α)=,cotα(k?Z)
sec(360?,α)=secα(k?Z)
csc(360?,α)=,cscα(k?Z)
公式六:
弧度制下的?角的表示:
sin(π/2+α)=cosα(k?Z)
cos(π/2+α)=—sinα(k?Z)
tan(π/2+α)=,cotα(k?Z)
cot(π/2+α)=,tanα(k?Z)
sec(π/2+α)=,cscα(k?Z)
csc(π/2+α)=secα(k?Z)
角度制下的?角的表示:
sin(90?+α)=cosα(k?Z)
cos(90?+α)=,sinα(k?Z)
tan(90?+α)=,cotα(k?Z)
cot(90?+α)=,tanα(k?Z)
sec(90?+α)=,cscα(k?Z)
csc(90?+α)=secα(k?Z)
?
弧度制下的?角的表示:
sin(π/2,α)=cosα(k?Z)
cos(π/2,α)=sinα(k?Z)
tan(π/2,α)=cotα(k?Z)
cot(π/2,α)=tanα(k?Z)
sec(π/2,α)=cscα(k?Z)
csc(π/2,α)=secα(k?Z)
角度制下的?角的表示:
sin (90?,α)=cosα(k?Z)
cos (90?,α)=sinα(k?Z)
tan (90?,α)=cotα(k?Z)
cot (90?,α)=tanα(k?Z)
sec (90?,α)=cscα(k?Z)
csc (90?,α)=secα(k?Z)
3
弧度制下的?角的表示:
sin(3π/2+α)=,cosα(k?Z)
cos(3π/2+α)=sinα(k?Z)
tan(3π/2+α)=,cotα(k?Z)
cot(3π/2+α)=,tanα(k?Z)
sec(3π/2+α)=cscα(k?Z)
csc(3π/2+α)=,secα(k?Z)
角度制下的?角的表示:
sin(270?+α)=,cosα(k?Z)
cos(270?+α)=sinα(k?Z)
tan(270?+α)=,cotα(k?Z)
cot(270?+α)=,tanα(k?Z)
sec(270?+α)=cscα(k?Z)
csc(270?+α)=,secα(k?Z)
4
弧度制下的?角的表示:
sin(3π/2,α)=,cosα(k?Z)
cos(3π/2,α)=,sinα(k?Z)
tan(3π/2,α)=cotα(k?Z)
cot(3π/2,α)=tanα(k?Z)
sec(3π/2,α)=,secα(k?Z)
csc(3π/2,α)=,secα(k?Z)
角度制下的?角的表示:
sin(270?,α)=,cosα(k?Z)
cos(270?,α)=,sinα(k?Z)
tan(270?,α)=cotα(k?Z)
cot(270?,α)=tanα(k?Z)
sec(270?,α)=,cscα(k?Z)
csc(270?,α)=,secα(k?Z) (4)反三角函数?
arcsi?n(-x)=-arcsi?nx
arcco?s(-x)=π-arcco?sx
arcta?n(-x)=-arcta?nx
arcco?t(-x)=π-arcco?tx
arc sin x+arc cos x=π/2
arc tan x+arc cot x=π/2 (5)数列
等差数列通?项公式:an,a1,(n-1)d
等差数列前?n项和:Sn=[n(A1+An)]/2 =nA1+[n(n-1)d]/2
等比数列通?项公式:an=a1*q^(n,1);
等比数列前?n项和:Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n (n?1)
某些数列前?n项和:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+?+(2n-1)=n^2
2+4+6+8+10+12+14+?+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+?+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+?n^3=(n(n+1)/2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+?+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 (6)乘法与因式?分解
因式分解
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2?2ab+b^2=(a?b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3?3a^2b+3ab^2?b^3=(a?b)^3
乘法公式
把上面的因?式分解公式?左边和右边?颠倒过来就?是乘法公式? (7)三角不等式?
-|a|?a?|a|
|a|?b<=>-b?a?b
|a|?b<=>-b?a?b
|a|-|b|?|a+b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b
|a|-|b|?|a-b|?|a|+|b|
|z1|-|z2|-...-|zn|?|z1+z2+...+zn|?|z1|+|z2|+...+|zn|
|z1|-|z2|-...-|zn|?|z1-z2-...-zn|?|z1|+|z2|+...+|zn|
|z1|-|z2|-...-|zn|?|z1?z2?...?zn|?|z1|+|z2|+...+|zn| (8)一元二次方?程
一元二次方?程的解wx?1= -b+?(b^2-4ac)/2a x2= -b-?(b^2-4ac)/2a
根与系数的?关系(韦达定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a
判别式?= b^2-4ac=0 则方d程有?相等的个实?根
?>0 则方程有两?个不相等的?两实根
?<0>0>
编辑本段对数基本性?质
如果a>0,且a?1,M>0,N>0,那么:
1、a^log(a)(b)=b
2、log(a)(a)=1
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M?N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n
编辑本段公式分类
公式表达式?
圆的标准方?程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注:(a,b)是圆心坐标?
圆的一般方?程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注:?=D^2+E^2-4F>0
抛物线标准?方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
直棱柱侧面?积 S=c*h 斜棱柱侧面?积 S=c' *h
正棱锥侧面?积 S=1/2c*h' 正棱台侧面?积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积? S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积? S=4π*r2
圆柱侧面积? S=c*h=2π*h 圆锥侧面积? S=1/2*c*l=π*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角?的弧度数r? >0 扇形面积公?式 s=1/2*l*r
锥体体积公?式 V=1/3*S*H 圆锥体体积?公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积? V=S'L 注:其中,S'是直截面面?积, L是侧棱长?
柱体体积公?式 V=s*h 圆柱体 V=π*r2h
图形周长 面积 体积公式
长方形的周?长=(长+宽)?2 c =2〔a+b〕
正方形的周?长=边长?4 c=4a
长方形的面?积=长?宽 s=ab
正方形的面?积=边长?边长 s=a2
三角形的面?积=底?高?2
已知三角形?底a,高h,则S=ah/2
已知三角形?三边a,b,c,半周长p,则S= ?[p(p - a)(p - b)(p - c)]
(海伦秦九韶?公式) (p= (a+b+c)/2)
和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形?两边a,b,这两边夹角?C,则S=absin?C/2
设三角形三?边分别为a?、b、c,内切圆半径?为r
则三角形面?积=(a+b+c)r/2
设三角形三?边分别为a?、b、c,外接圆半径?为r
则三角形面?积=abc/4r
已知三角形?三边a、b、c,则S= ?{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}
(“三斜求积” 南宋秦九韶?) 注:秦九韶公式?与海伦公式?等价
| a b 1 |
S?=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
【| a b 1|
| c d 1| 为三阶行列?式,此三角形A?BC在平面?直角坐标系?内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 | e f 1 |
ABC选区?取最好按逆?时针顺序从?右上角开始?取,因为这样取?得出的结果?一般都为正?值, 如果不按这?个规则取,可能会得到?负值,但不要紧,只要取绝对?值就可以了?,不会影响三?角形面积的?大小~】
秦九韶三角?形中线面积?公式:
S=?[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中Ma,Mb,Mc为三角?形的中线长?.
平行四边形?的面积=底?高
梯形的面积?=(上底+下底)?高?2
直径=d=2r
圆的周长=πd= 2πr
圆的面积= πr^2
长方体的表?面积=
(长?宽+宽?高+高?长)?2 s=2〔ab+bc+ca〕
长方体的体?积 =长?宽?高 v=abc
正方体的表?面积=棱长?棱长?6 s=6a^2
正方体的体?积=棱长?棱长?棱长 v=a^3
圆柱的侧面?积=底面圆的周?长?高 s=ch
圆柱的表面?积=上下底面面?积+侧面积 s=2?r^2
圆柱的体积?=底面积?高 v=sh
圆锥的体积?=底面积?高?3 v=sh?3
柱体体积=底面积?高
平面图形
名称 符号 周长C和面?积S
正方形 a—边长 C=4a S=a^2
长方形 a和b,边长 C=2(a+b) S=ab
三角形 a,b,c,三边长 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2
h,a边上的高? =ab/2?sinC
s,周长的一半? =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
A,B,C,内角 =a^2sinB?sinC/(2sinA?)
编辑本段概率公式
定义:p(A)=m/n,
全概率公式(?贝页斯公式?)
某事件A是?有B,C,D三种因素?造成的,求这一事件?发生的概率?
p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)
其中p(A/B)叫条件概率?,即:在B发生的?情况下,A发生的概?率
伯努力公式?
是用以求某?事件已经发?生,求其是哪种?因素的概率?造成的
好以上例中?已知A事件?发生了,用柏努力公?式可以求得?是B因素造?成的概率是?多大,C因素,D因素同样?也求(
古典概型 P(A)=A包含的基?本事件数/基本事件总?数
几何概型 P(A)=A面积/总的面积
条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的?基本事件数?/B包含的基?本事件数
概率的性质?
性质1(P(Φ)=0.
性质2(有限可加性?)(当n个事件?A1,?,An两两互?不相容时: P(A1?...?An)=P(A1)+...+P(An)(
性质3(对于任意一?个事件A:P(A)=1-P(非A)(
性质4(当事件A,B满足A包?含于B时:P(BnA)=P(B)-P(A),P(A)?P(B)(
性质5(对于任意一?个事件A,P(A)?1(
性质6(对任意两个?事件A和B?,P(B-A)=P(B)-P(AB)(
性质7(加法公式)(对任意两个?事件A和B?,
P(A?B)=P(A)+P(B)-P(A?B)
范文五:正n边形面积的一种计算方法[宝典]
正多边形面积的一种计算方法
[摘要]:
关键词:正n边形 面积 推导应用
1. 引言
正多边形的应用广泛,已经涉及到生活的方方面面,在机械制造和工程建筑中经常会涉及到求正N边形面积的问题,本文给出了一个通用的求正N边形面积的方法。
2. 正多边形概念
正多边形是指正n边形指具有n(正整数n?3)条相等边的正多边形,其内角和为
[1]180(n-2)?,每个内角度数为180?(n-2)/n,外角和为360?。正多边形有一个重要性质是:任何一个正多边形都可作一个外接圆,多边形的中心就是所作外接圆的圆心,所以每条边的中心角,实际上就是这条边所对的弧的圆心角,因此这个角就是
[2]360度?边数,图一所示是正三角形和正五边形及其外接圆。
图1 正三角形和正五变形及其外接圆
3. 正多边形面积计算公式的推导
正 n 边形每个内角为(1-2/n)*180 或者表示为(n-2)*180/2角度。也可以用弧度表示为 (n?2)π/n 或者 (n?2)/(2n) 。正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上,每个正多边形都有一个外接圆。当且仅当正多边形的边数 n 的奇质数因子是费马数n > 2 的正多边形的对角线数目是n*(n-3)/2,如 0、2、5、9、... 等,这些对角线将多
边形分成 1、4、 11、24、... 块。
当n=3时,s=(1/2)*t*(t*cot(?/3)/2)*3; 当n=4时,s=(1/2)*t*(t*cot(?/4)/2)*4; 当n=5时,s=(1/2)*t*(t*cot(?/5)/2)*5; ……
当n=n时,s=(1/2)*t*(t*cot(?/n)/2)*n; 即正 n 边形的面积为:
其中 t 是边长。正多边形的面积还等于多边形的周长与边心距离乘积的一半。边心距离是多边形中心到边的垂直距离。
4. 正多边形面积计算公式的应用 例:已知正n边形的周长为60,边长为a(
(1) 当n=3时,请直接写出a的值;
(2) 当n=6时,请计算正多边形的面积s。
解析:根据与正多边形的周长和边数的关系c=n*a,可求出当n=3时,a=20;由上
述的正n边形面积公式的,当n=6时,s=50×sin60。 参考文献:
[1] 立四.初中几何[M].北京:人民教育出版社,2011-3. [2] 正多边形[Z/OL]. http://baike.baidu.com/link?url=
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