范文一:数列通项公式之累加法与累乘法
1. 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1,a 1=1,求数列{a n }的通项公式。
2. 已知数列
3. 已知数列{a n }满足a n +1=a n +2?3n +1,a 1=3,求数列{a n }的通项公式。
4. 已知数列
式.
{a n }中,a 1=2, a n =a n -1+2n -1(n ≥2) ,求数列{a n }的通项公式; {a n }中,a 1=2, (n +2) a n +1-(n +1) a n =0(n ∈N +) ,求数列{a n }的通项公
5. 已知数列中: a1=1,a n =
6. 已知数列{a n }满足a 1=
n -1n a n -1(n ≥2), 确定数列{a n }的通项公式 2n a n ,求a n ,a n +1=3n +1
7. 在数列{a n }中,a 1=-1, a n +1=2a n +4?3n -1, 求通项公式a n 。
8. 已知数列{a n }满足a n +1=2a n +3?5n ,a 1=6,求数列{a n }的通项公式。
范文二:类型二2007-2016高考数列累加法求通项 典型的错位相减法求和
类型二2007-2016高考数列累加法求通项 典型的错位相减
法求和
类型二: 累加法累乘法求通项 典型的错位相减法求和
1.(2009全国卷?理)(本小题满分12分)
在数列{an}中,a1?1,an?1?(1?)an?
(I)设bn?1nn?1 n2an,求数列{bn}的通项公式 n
(II)求数列{an}的前n项和Sn
:(I)由已知有an?1an11??n?bn?1?bn?n n?1n22
1(n?N*) n?12 利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn?2?
(II)由(I)知an?2n?
nn, 2n?1nnkk?Sn=?(2k?k?1)??(2k)??k?1 2k?1k?1k?12
n
而?(2k)?n(n?1),又?k?1
nk是一个典型的错位相减法模型, k?12k?1n
易得n?2kn?2??4 =n(n?1)S?4???nn?1k?1n?122k?12
12n?kn,k?N*,且Sn的最大值为8. 22. 2012高考江西理16(本小题满分12分) 已知数列{an}的前n项和Sn??
(1)确定常数k,求an;
(2)求数列{9?2an的前n项和Tn。 2n
?1212122n?kn取最大值,即8??k?k?k,故k?4,222979从而an?Sn?Sn?1??n(n?2),又a1?S1?,所以an??n 222
9?2ann23n?1n?T?b?b???b?1??????n?1 (1) 因为bn?,n12nnn?12n?2222222
11n1nn?2所以Tn?2Tn?Tn?2?1????n?2?n?1?4?n?2?n?1?4?n?1 222222N
解: (1)当n?k?时,Sn??
3((2013年高考山东卷(文))设等差数列?an?的前n项和为Sn,且S4?4S2,a2n?2an?1
(?)求数列?an?的通项公式;an?2n?1
(?)设数列?bn?满足bb1b21??????n?1?n,n?N* ,求?bn?的前n项和Tn。a1a2an2
Tn?3?2n?3 n2
4.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理))设等差数列?an?的前n项和为Sn,且S4?4S2,a2n?2an?1.
(?)求数列?an?的通项公式;
(?)设数列?bn?前n项和为Tn,且 Tn?
列?cn?的前n项和Rn.
解:(?)设等差数列
由an?1??(?为常数).令cn?b2n(n?N*).求数n2?an?的首项为a1,公差为d, S4?4S2,a2n?2an?1得
4a1?6d?8a1?4d???a1?(2n?1)?2a1?2(n?1)d?1,
解得,a1?1,d?2
*a?2n?1(n?N) n因此
(?)由题意知:Tn???n
2n?1
n
2n?1?n?12n?2 所以n?2时,bn?Tn?Tn?1??
故,cn?b2n?2n?21n?1?(n?1)()*2n?1(n?N) 24
11111Rn?0?()0?1?()1?2?()2?3?()3?????(n?1)?()n?1
44444所以, 111111Rn?0?()1?1?()2?2?()3?????(n?2)?()n?1?(n?1)?()n
44444 则4
311111Rn?()1?()2?()3?????()n?1?(n?1)?()n
44444 两式相减得4
11n?()1??(n?1)()n
41?4 13n?1Rn?(4?n?1)94整理得
13n?1R?(4?)nn?1cn??94所以数列数列的前n项和
5.(2009山东卷文)(本小题满分12分)
等比数列{an}的前n项和为Sn, 已知对任意的n?N ,点(n,Sn),均
在函数?y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. (1)求r的值;
(11)当b=2时,记 bn?n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an
x解:因为对任意的n?N?,点(n,Sn),均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为
常数)的图
像上.所以得Sn?bn?r,
当n?1时,a1?S1?b?r, 当n?2
时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1, 又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)bn?1
(2)当b=2时,an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?
则Tn?n?1n?1n?1 ??n?1n?14an4?22234n?1????? 2223242n?1
1234nn?1Tn??????? 345n?1n?2222222
121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2 2222222
11?(1?)n?113n?131n?1 ??n?2??n?1?n?2 1422221?2
所以Tn?31n?13n?3???? 22n2n?122n?1
6.[2014?四川卷] 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x),2x的图像上(n?N*)(
(1)证明:数列{bn}为等比数列;
1(2)若a1,1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2,求数列{anb2n}ln 2
的前n项和Sn.
19(解:(1)证明:由已知得,bn,2an,0,
b,当n?1时,2an,1,an,2d. bn
故数列{bn}是首项为2a1,公比为2d的等比数列(
(2)函数f(x),2x在点(a2,b2)处的切线方程为y,2a2,(2a2ln 2)(x,a2),
1其在x轴上的截距为a2,. ln 2
11由题意知,a2,2, ln 2ln 2
解得a2,2,
2所以d,a2,a1,1,an,n,bn,2n,anbn,n?4n.
,于是,Sn,1×4,2×42,3×43,?,(n,1)×4n1,n×4n,
,4Sn,1×42,2×43,?,(n,1)×4n,n×4n1,
n,1n,1,4,42nn,14n,1(1,3n)4因此,Sn,4Sn,4,4,?,4,n?4,n?4, 33
,(3n,1)4n1,4所以,Sn,9
7.[2014?安徽卷] 数列{an}满足a1,1,nan,1,(n,1)an,n(n,1),n?N*.
?a?(1)证明:数列?n是等差数列; ??
(2)设bn,3n?an,求数列{bn}的前n项和Sn.
an,1aan,1a?an?a18(解: (1)证明:由已知可得1,,1,所以?n是以,1为首1??n,1nn,1n
项,1为公差的等差数列(
由(1)得1,(n,1)?1,n,所以an,n2, n a(2)
从而可得bn,n?3n.
,Sn,1×31,2×32,?,(n,1)×3n1,n×3n,?
,3Sn,1×32,2×33,?,(n,1)3n,n×3n1.?
?,?得,2Sn,3,3,?,3,n?3
(2n,1)?3n1,3所以Sn,. 4,12nn,13?(1,3n)3n1,3n,1(1,2n)?n?3,, 21,3,
8. 2015高考安徽,文18已知数列?an?是递增的等比数列,且a1?a4?9,a2a3?8. (?)求数列?an?的通项公式;
(?)设Sn为数列?an?的前n项和,bn?an?1,求数列?bn?的前n项和Tn. SnSn?1
【答案】(?)an?2
【解析】 n?12n?1?2(?) n?1 2?1
(?)由题设可知a1?a4?a2?a3?8,
又a1?a4?9, 可解的?
3?a1?1?a1?8或?(舍去) ?a4?8?a4?1由a4?a1q得公比q?2,故an?a1qn?1?2n?1. a1(1?qn)1?2n
??2n?1 (?)Sn?1?q1?2
又bn?an?1S?Sn11 ?n?1??SnSn?1SnSn?1SnSn?1
所以Tn?b1?b2?...?bn???S?S?????S?S???...???S?S???S?S
2?3?n?1?1n?1?1?2?n?11??11??11?11
?1?1
2n?1?1.
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前n项和,以及利用裂项相消法求和.
【名师点睛】本题利用“若m?n?p?q,则aman?apaq”,是解决本题的关键,同时考生发现bn?
础运算能力.
9、(2016年高考山东卷理)
已知数列?an? 的前n项和Sn=3n2+8n,?bn?是等差数列,且an?bn?bn?1.
(?)求数列?bn?的通项公式; an?1S?Sn11是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基?n?1??SnSn?1SnSn?1SnSn?1
(an?1)n?1
(?)令cn?. 求数列?cn?的前n项和Tn. (bn?2)n
【答案】(?)bn?3n?1;(?)Tn?3n?2n?2.
【解析】
试题分析:(?)根据an?Sn?Sn?1及等差数列的通项公式求解;(?)根据(?)知数列?cn?的通项公式,再用错位相减法求其前n项和. 试题解析:(?)由题意知当n?2时,an?Sn?Sn?1?6n?5, 当n?1时,a1?S1?11,
所以an?6n?5.
设数列?bn?的公差为d,
?a1?b1?b2?11?2b1?d由?,即?,可解得b1?4,d?3,a?b?b17?2b?3d231??2
所以bn?3n?1.
(6n?6)n?1
n?1(?)由(?)知cn?, ?3(n?1)?2n(3n?3)
又Tn?c1?c2?c3?????cn,
得Tn?3?[2?22?3?23?4?24?????(n?1)?2n?1],
2Tn?3?[2?23?3?24?4?25?????(n?1)?2n?2], 两式作差,得
?Tn?3?[2?22?23?24?????2n?1?(n?1)?2n?2]
4(2n?1)?3?[4??(n?1)?2n?2] 2?1
??3n?2n?2
所以Tn?3n?2n?2
范文三:类型二2007-2016高考数列累加法求通项 典型的错位相减
类型二: 累加法累乘法求通项 典型的错位相减法求和 1.(2009全国卷?理)(本小题满分12分)
11n,在数列中, aaa,,,,1,(1){}a11nn,nnn2
an (I)设,求数列的通项公式 b,{}bnnn
(II)求数列的前项和 {}aSnnn
aa11nn,1:(I)由已知有 ,,?,,bbnn,1nn,2nn12
1* 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () b,,2nN,{}bnnn,12
n(II)由(I)知,,2, annn,12
nnnkk= S(2),,,(2)?kk,,,n,1,1kk22,1,,11kkk
nnk而,又是一个典型的错位相减法模型, (2)(1)knn,,,,,1k2,1,1kk
nn,2kn,2,,4易得 = Snn(1),?,,4,nn,1,,11kn222,1k
2. 2012高考江西理16(本小题满分12分)
12S,,n,kn已知数列{a}的前n项和,,且S的最大值为8. k,Nnnn*2
(1)确定常数k,求a; n
,a92n{}(2)求数列的前n项和T。 nn2
1112222,k,4Snkn,,,nkN,,8,,,,kkk解: (1)当时,取最大值,即,故,n222
979aSSnn,,,,,an,,(2)aS,,从而,又,所以 nnn,111n222
92,an231nn,nb,,Tbbb,,,,,,,,,,??1(1) 因为, nn12n,1221nn,,nn222222
1112nnn,TTT,,,,,,,,,,,,,22144?所以 nnnnnnnn,,,,,21211222222
,,naSa,2a,1S,4S3((2013年高考山东卷(文))设等差数列的前项和为,且, nn2nn42
,,aan,,21(?)求数列的通项公式; nn
bbb1*n12(?)设数列满足 ,求的前项和。,,,,nbbT,,,,,, 1,nNnnnnaaa212n
23n, T,,3nn2
aS4.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理))设等差数列的前n项和为,且,,nn
SS,4aa,,21,. 422nn
a(?)求数列的通项公式; ,,n
a,1n*,bT,,Tcb,,(?)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数,,()nN,nnnnn2n2
cR列的前n项和. ,,nn
a,,and1解:(?)设等差数列的首项为,公差为,
SS,4aa,,21422nn由,得
4684adad,,,,11,anand,,,,,,(21)22(1)1,11,
a,1d,21解得,,
*an,,21()nN,n因此
n,,,Tnn,12(?)由题意知:
nn,1bTT,,,,,nnn,1nn,,12n,222所以时,
221n,n,1cbn,,,,(1)()*nn221n,()nN,24故,
1111101231n,Rn,,,,,,,,,,,,,,,0()1()2()3()(1)()n44444所以, 1111111231nn,Rnn,,,,,,,,,,,,,,,,0()1()2()(2)()(1)()n444444则
3111111231nn,Rn,,,,,,,,,,,()()()()(1)()n444444两式相减得
11n,()1n44,,,n(1)()14,14
131n,R,,(4)nn,194整理得
131n,R,,(4)nn,1c,,n94所以数列数列的前n项和 5.(2009山东卷文)(本小题满分12分)
,等比数列{}的前n项和为, 已知对任意的 ,点,均在函数nN,aS(,)nSnnn
x且均为常数)的图像上. bbr,1,,ybrb,,,(0
(1)求r的值;
n,1,(11)当b=2时,记 求数列的前项和 {}bTnbnN,,()nnn4an
,xnN,,点,均在函数且均为常数)的图解:因为对任意的(,)nSbbr,1,,ybrb,,,(0n
n像上.所以得, Sbr,,n
n,1当时,, aSbr,,,11
nnnnn,,,111n,2当时,, aSSbrbrbbbb,,,,,,,,,,()(1)nnn,1
n,1br,,1又因为{a}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 abb,,(1)nn
nnn,,,111nn,,11(2)当b=2时,, abb,,,(1)2b,,,nnnn,,114422a,n
2341n,T,,,,,?则 n2341n,2222
12341nn,T,,,,,,? n34512nn,,222222
1211111n,T,,,,,,,?相减,得 n234512nn,,2222222
11,,(1)31n,311n,n,1122,,,,, nn,,12n,2142222,12
31133nn,,所以 T,,,,,nnnn,,1122222x*6.[2014?四川卷] 设等差数列{a}的公差为d,点(a,b)在函数f(x),2的图像上(n?N)( nnn
(1)证明:数列{b}为等比数列; n
12(2)若a,1,函数f(x)的图像在点(a,b)处的切线在x轴上的截距为2,,求数列{ab}122nnln 2
的前n项和S. n
19(解:(1)证明:由已知得,b,2a,0, nn
b,n1d当n?1时,,2a,a,2. ,n1nbnd故数列{b}是首项为2a,公比为2的等比数列( n1x(2)函数f(x),2在点(a,b)处的切线方程为y,2a,(2aln 2)(x,a), 22222
1其在x轴上的截距为a,. 2ln 2
11由题意知,a,,2,, 2ln 2ln 2
解得a,2, 2n2n所以d,a,a,1,a,n,b,2,ab,n?4. 21nnnn23n,1n于是,S,1×4,2×4,3×4,?,(n,1)×4,n×4, n23nn,14S,1×4,2×4,?,(n,1)×4,n×4, nn,1n,1,4,44(1,3n)42nn,1n,1因此,S,4S,4,4,?,4,n?4,,n?4,, nn33n,1,4(3n,1)4所以,S,. n9*7.[2014?安徽卷] 数列{a}满足a,1,na,(n,1)a,n(n,1),n?N. ,n1n1n
a,,n,,(1)证明:数列是等差数列; ,,n
n(2)设b,3?a,求数列{b}的前n项和S. nnnn
aa,,aaa,,an1n1nnn1,,18(解: (1)证明:由已知可得,,1,即,,1,所以是以,1为首,,n,1nn,1nn1
项,1为公差的等差数列(
an2(2)由(1)得,n, ,1,(n,1)?1,n,所以ann
n从而可得b,n?3. n12n,1nS,1×3,2×3,?,(n,1)×3,n×3,? n23nn,13S,1×3,2×3,?,(n,1)3,n×3.? nnn,1),33?(1,3(1,2n)?312nn,1n,1?,?得,2S,3,3,?,3,n?3,,n?3,, n1,32
n,1(2n,1)?3,3所以S,. n4
aaaaa,,,9,8.8. 2015高考安徽,文18已知数列是递增的等比数列,且 ,,n1423
a(?)求数列的通项公式; ,,n
an,1abST,b(?)设为数列的前n项和,,求数列的前n项和. ,,,,nnnnnSSnn,1
n,122,n,1【答案】(?)(?) a,2nn,121,
【解析】
(?)由题设可知, a,a,a,a,81423
a,1a,8,,11又, 可解的或(舍去) a,a,9,,14aa,8,144,,
n,1n,13由得公比,故. a,aq,2a,aqq,2n141
nn(1,)1,2aqn1(?) ,,,2,1Sn1,1,2q
aSS,11nnn,,11又 b,,,,nSSSSSSnnnnnn,,,111
,,,,,,11111111,,,,,,,,,...,,,,,,...,,,,Tbbb所以 n12n,,,,,,SSSSSSSS1223nn,11n,1,,,,,,
1. ,1,n,12,1
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前n项和,以及利用裂
项相消法求和.
aa,aa【名师点睛】本题利用“若,则”,是解决本题的关键,同时m,n,p,qmnpq
aSS,11nnn,,11考生发现是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基b,,,,nSSSSSSnnnnnn,,,111
础运算能力.
9、(2016年高考山东卷理)
2ababb,,.已知数列 的前n项和S=3n+8n,是等差数列,且 ,,,,nnnnnn,1
b(?)求数列的通项公式; ,,n
n,1(1)a,nc(?)令c,. 求数列的前n项和T. ,,nnnn(2)b,n
n,2b,3n,1【答案】(?);(?). T,3n,2nn
【解析】
试题分析:(?)根据及等差数列的通项公式求解;(?)根据(?)知数列ca,S,S,,nnnn,1的通项公式,再用错位相减法求其前n项和.
n,2试题解析:(?)由题意知当时,, a,S,S,6n,5nnn,1
n,1当时,, a,S,1111
所以. a,6n,5n
d设数列的公差为, b,,n
,,abb11,2b,d,,1121由,即,可解得, b,4,d,3,,1a,b,b17,2b,3d2231,,
所以. b,3n,1n
n,1(66)n,n,1(?)由(?)知, cn,,,,3(1)2nn(33)n,又, T,c,c,c,,,,,cn123n
2341n,得, Tn,,,,,,,,,,,,,,3[223242(1)2]n
3452n,, 23[223242(1)2]Tn,,,,,,,,,,,,,,n
两式作差,得
23412nn,,,,,,,,,,,,,,,,Tn3[22222(1)2]n
n4(21),n,2n,,,,,,3[4(1)2] 21,
,2nn,,,32
n,2所以 T,3n,2n
范文四:类型二2007-2016高考数列累加法求通项 典型的错位相减法求和
类型二 : 累加法累乘法求通项 典型的错位相减法求和 1. (2009全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12分)
在数列 {}n a 中, 111
1
1, (1) 2
n n n n a a a n ++==++ (I )设 n
n a b n
=
,求数列 {}n b 的通项公式 (II )求数列 {}n a 的前 n 项和 n S :(I )由已知有
1112n n n a a n n +=++11
2
n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列 {}n b 的通项公式 : 1
1
22
n n b -=-(*n N ∈) (II )由(I )知 1
22n n n a n -=-
, ∴n S =11(2) 2n
k k k k -=-∑111(2) 2n n
k k k k
k -===-∑∑
而
1
(2) (1) n
k k n n ==+∑, 又 1
1
2n
k k k
-=∑
是一个典型的错位相减法模型, 易得
11
12
42
2n
k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1) n n +1242n n -++- 2. 2012高考江西理 16(本小题满分 12分) 已知数列 {an }的前 n 项和 kn n S n +-=2
2
1, *N k ∈, 且 S n 的最大值为 8. (1)确定常数 k ,求 a n ; (2)求数列 229{
n
n
a -的前 n 项和 T n 。 解 : (1) 当 n k N *
=∈
时, 212n S n kn =-
+取最大值, 即 22211822
k k k =-+=, 故 4k =, 从而 19(2) 2n n n a S S n n -=-=-≥,又 1172a S ==,所以 9
2n a n =-
(1) 因为 19222n n n n a n b --==, 1222
123112222
n n n n n n
T b b b ---=+++=+++++ 所以 212111112
22144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-
3. (2013年高考山东卷 (文) ) 设等差数列 {}n a 的前 n 项和为 n S , 且 24
4S S =, 122+=n n a a
(Ⅰ)求数列 {}n a 的通项公式; 21n a n =-
(Ⅱ)设数列 {}n b 满足
*12121
1, 2
n n n b b b n N a a a +++=-∈ ,求 {}n b 的前 n 项和 n T 。 2332
n n
n T +=-
4. (2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) ) 设等差数列
{}n a 的前 n 项和为 n S , 且
424S S =, 221n n a a =+.
(Ⅰ)求数列 {}n a 的通项公式 ;
(Ⅱ)设数列 {}n b 前 n 项和为 n T , 且 1
2
n n n
a T λ++=(λ为常数 ). 令 2n n c b =*() n N ∈. 求数 列 {}n c 的前 n 项和 n R . 解:(Ⅰ)设等差数列 {}n a 的首项为 1a , 公差为 d ,
由
424S S =, 221n n a a =+得
11114684(21) 22(1) 1a d a d a n a n d +=+??
+-=+-+?,
解得 ,
11a =, 2d =
因此
21n a n =-*
() n N ∈ (Ⅱ)由题意知 :
12n n n T λ-=-
所以 2n ≥时 ,
11
21
22n n n n n n n b T T ----=-=-
+
故 ,
1
221221(1)() 24n n n n n c b n ---==
=-
*() n N ∈ 所以 01231
11111
0() 1() 2() 3() (1) () 44444n n R n -=?+?+?+?+???+-?, 则 1231111111
0() 1() 2() (2) () (1) () 4
44444n n
n R n n -=?+?+?+???+-?+-? 两式相减得 1231311111() () () () (1) () 4
44444n n
n R n -=+++???+--?
11()
1
(1)() 414n n
n -=---
整理得 1131(4)
94n n n R -+=-
所以数列数列 {}n c 的前 n 项和 1131
(4) 94n n n R -+=-
5. (2009山东卷文 ) (本小题满分 12分)
等比数列 {n a }的前 n 项和为 n S , 已知对任意的 n N +
∈ ,点 (, ) n n S ,均在函数
(0x y b r b =+>且 1, , b b r ≠均为常数 ) 的图像上 .
(1)求 r 的值; (11)当 b=2时,记 1
() 4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列 {}n b 的前 n 项和 n T 解 :因为对任意的 n N +∈, 点 (, ) n n S ,均在函数 (0x
y b r b =+>且 1, , b b r ≠均为常数 ) 的图 像上 . 所以得 n n S b r =+, 当 1n =时 , 11a S b r ==+,
当 2n ≥时 , 1111() (1) n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为 {n a }为等比数列 , 所以 1r =-, 公比为 b , 所以 1(1) n n a b b -=- (2)当 b=2时, 11(1) 2n n n a b b --=-=, 11
111
4422
n n n n n n n b a -++++===? 则 2341
2341
2222n n n T ++=
++++ 3451212341222222
n n n n n T +++=+++++ 相减 , 得 2345121211111
2222222
n n n n T +++=+++++-
31211(1) 1112212
n n n -+?-++--12311422n n n +++=--
所以 11
3113322222n n n n n n T ++++=
--=- 6.[2014·四川卷 ] 设等差数列 {a n }的公差为 d , 点 (a n , b n ) 在函数 f (x ) =2x 的图像上 (n ∈ N *) . (1)证明:数列 {b n }为等比数列;
(2)若 a 1=1, 函数 f (x ) 的图像在点 (a 2, b 2) 处的切线在 x 轴上的截距为 2-1
ln 2求数列 {a n b 2n }的前 n 项和 S n .
19. 解:(1)证明:由已知得, b n =2a n >0,
当 n ≥ 1时, b +b n
2a n +1-a n =2d .
故数列 {b n }是首项为 2a 1,公比为 2d 的等比数列.
(2)函数 f (x ) =2x 在点 (a 2, b 2) 处的切线方程为 y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2) ,
其在 x 轴上的截距为 a 2-1
ln 2
.
由题意知, a 21ln 2=2-1
ln 2
解得 a 2=2,
所以 d =a 2-a 1=1, a n =n , b n =2n , a n b 2
n =n ·4n .
于是, S n =1×4+2×42+3×43+?+(n -1) ×4n -
1+n ×4n ,
4S n =1×42+2×43+?+(n -1) ×4n +n ×4n +
1,
因此, S n -4S n =4+42+?+4n -n ·4n +1=4n +1-43n ·4n +1=(1-3n ) 4n +1
-43
所以, S n =(3n -1) 4n +
1+4
9
7.[2014·安徽卷 ] 数列 {a n }满足 a 1=1, na n +1=(n +1) a n +n (n +1) , n ∈ N *.
(1)证明:数列 ????
?
a n 是等差数列;
(2)设 b n =3n ·a n ,求数列 {b n }的前 n 项和 S n .
18. 解: (1)证明:由已知可得 a n +1n +1a n 1a n +1n +1-a n =1,所以 ?????a n n 是以 a 1=1为首
项, 1为公差的等差数列.
(2)由 (1)得 a n 1+(n -1)·1=n ,所以 a n =n 2,
从而可得 b n =n ·3n .
S n =1×31+2×32+?+(n -1) ×3n -
1+n ×3n ,①
3S n =1×32+2×33+?+(n -1)3n +n ×3n +
1. ② ①-②得-2S n =31+32+?+3n -n ·3n +1
3·(1-3n ) 1-3
n ·3n +1=(1-2n ) ·3n +
1-32,
所以 S n =(2n -1) ·3n +
1+34
.
8. 2015高考安徽,文 18已知数列 {}n a 是递增的等比数列,且 14239, 8. a a a a +== (Ⅰ)求数列 {}n a 的通项公式; (Ⅱ)设 n S 为数列 {}n a 的前 n 项和, 1
1
n n n n a b S S ++=
,求数列 {}n b 的前 n 项和 n T .
【答案】 (Ⅰ) 1
2n n a -=(Ⅱ) 1122
21
n n ++--
【解析】
(Ⅰ)由题设可知 83241=?=?a a a a , 又 941=+a a , 可解的 ??
?==8141a a 或 ???==1
8
41a a (舍去)
由 3
14q a a =得公比 2=q ,故 1112--==n n n q a a .
(Ⅱ) 122
1211) 1(1-=--=--=
n n
n n q q a S 又 11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
==-
所以 1113221211
111... 1111... ++-=???? ??-++???? ??-+???? ??-=+++=n n n
n n S S S S S S S S b b b T
1
2111--
=+n .
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、 性质, 等比数列的前 n 项和,以及利用裂 项相消法求和 .
【名师点睛】本题利用“若 q p n m +=+,则 q p n m a a a a =”,是解决本题的关键,同时 考生发现 11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-
是解决本题求和的关键 , 本题考查了考生的基 础运算能力 .
9、 (2016年高考山东卷理)
已知数列 {}n a 的前 n 项和 S n =3n 2+8n , {}n b 是等差数列,且 1. n n n a b b +=+ (Ⅰ)求数列 {}n b 的通项公式;
(Ⅱ)令 1
(1) . (2) n n n n
n a c b ++=+ 求数列 {}n c 的前 n 项和 T n .
【答案】 (Ⅰ) 13+=n b n ; (Ⅱ) 223+?=n n n T . 【解析】
试题分析:(Ⅰ) 根据 1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解; (Ⅱ) 根据 (Ⅰ) 知数列 {}n c 的通项公式,再用错位相减法求其前 n 项和 .
试题解析:(Ⅰ)由题意知当 2≥n 时, 561+=-=-n S S a n n n , 当 1=n 时, 1111==S a , 所以 56+=n a n . 设数列 {}n b 的公差为 d ,
由 ???+=+=322
211b b a b b a ,即 ???+=+=d b d b 321721111,可解得 3, 41==d b ,
所以 13+=n b n .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 11(66) 3(1) 2(33)
n n n n
n c n n +++==+?+, 又 n n c c c c T +???+++=321,
得 23413[223242(1) 2]n n T n +=??+?+?+???++?,
345223[223242(1) 2]n n T n +=??+?+?+???++?,
两式作差,得
234123[22222(1) 2]
n n n T n ++-=??+++???+-+?
22
4(21)
3[4(1) 2]
21
32n n n n n ++-=?+-+?-=-? 所以 223+?=n n n T
范文五:累加法
1、 已知{a n }满足a n +1
=a n +2,且a 1=1,求a n
2、 已知{a n }满足a n +1=a n +2n -3,且a 1=1,求a n
3、 已知{a n }满足a n
=3n -1+a n -1(n ≥2) ,且a 1=1,求a n
11a =a +4、 已知数列{a n }满足a 1=,n +1,求a n n 2n +n 2
5、已知数列{a n }满足a n +1
6、已知数列{a n }满足a n +1
7、已知数列{a n }满足2a n +1
=a n +2n +1, a 1=1,求数列{a n }的通项公式 =a n +2?3n +1,a 1=3,求数列{a n }的通项公式 =2a n +3?5n ,a 1=6,求数列{a n }的通项公式
8、已知数列{a n }满足a 1=
2n ,a n +1=a n ,求a n 3n +1
9、已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1
10、已知a 1=1,a n +1
11、数列{a n }中,a 1=1,na n +1
12、数列{a n }中,a 1=
=a n +n 2+n ,求a n =a n +2n ,求a n =(n +1) a n +1(n ≥1) ,求a n 11a =a +,n +1,求a n n 24n -12
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