范文一:子空间方法辨识
1. 子空间辨识方法直接利用输入输出数据估计得到系统状态空间模型。
2.
3. 子空间辨识的目标:
给定一个未知的单入单出或多入多出系统,假定系统的输入测量值为u ,输出测量值为 y 在系统可能存在输入、输出、状态噪声的情况下,估计出系统的状态空间模型。
4.
5. 几何工具: 正交投影,斜向投影。
无噪声子空间辨识方法:
确定性系统。。。。
推出:
设
:
可以得到:
其中Y是可知的,需要消除U,最简单的方法是子空间正交投影法,数学表达式是:
故有:
将上面得到的就消除了U。
,右乘
,得,这样
只要求得,系统状态空间矩阵A和C就可以利用广义可观测矩阵计算得到。
做一个近似变换。
进
行
的估计为SVD
分。
解
,
因为X
未知,需要对将
令,故有:
这样就可以得到系统矩阵A和C。
下面确定系统矩阵B和D以及初始状态x(0)。 将
输
出
方
程
写
成
以
下
形
式
:
,
此时假设为两输入两输出系统:
因此y(0)的B,D,x(0)部分可以由下式表示:
将式
用比例矩阵表示,为:
范文二:GPS空时抗干扰子空间投影方法
第28卷第5期 2007年5月
通信学报
Joumal on Communicadons
Vbl.28NO.5 Mav 2007
GPS空时抗干扰子空间投影方法
郭艺1,张尔扬1,沈荣骏2
f1.国防科学技术大学 电子科学与工程学院,湖南长沙410073;2.解放军总装备部科学技术委员会,北京100080)
摘要:根据GPs接收机接收信号、噪声和干扰的特点,将子空间投影方法与空时信号处理相结合,利用基于数 据域相关相减结构多级维纳滤波器(csA—MwF)的前向递推多级分解特性构造出空时二维干扰子空间,进一步求出 空时抗干扰最佳权。与传统的特征值分解方法相比,该方法避免了估计接收数据协方差矩阵及其特征分解运算, 计算量大幅下降,同时抗干扰性能不受影响,适合多变环境和小数据样本情况。该方法结构简单,具有较高的可 行性和实用性。仿真结果验证了该方法对窄带和宽带干扰均有效。
关键词:GPS;空时处理;子空间投影;多级维纳滤波
中图分类号:TN911.7;TN957.52文献标识码:A 文章编号:1000.436X(2007)05.0062.05
Inter蠡erence suppression in GPS receiVer using
space—time subspace projection techIliques
GUO Yil,ZHANG Er—yan91,SHEN Rong.jun2
(1.School of Elec呐Ilic Science蛐dEngineering,NUDT,Changsha410073,China;
2.General Equjpment D印artfnent of PLA,Be对ing 100080,china)
Abstmct:A new
approach was proposed for
intefference suppression in GPS receiVer.It combines subspace projection wim space—tiⅡle processing based on me characters of GPS signal,noise aIld j趣mers,Space—time interference subspace is const九Jcted using me multistage decomposition stmcture of me MWF based on me con.elation subtractiVe architecmre. Then the optimal filter is educed.Comparing with conVemional eigenValue decomposition technique,me memod proposed avoids
me estimation of receive data coVariance manjx alld its eigenValue decomposition,reduces me computation while the anqammer perfb咖a王1ce is not a行的ted.The pedbnnallce in numerical simulation demonstrates 匝at it is eff毡ctive and ef!ficient to bom narrowband and wideband interference.
1【ey words:GPS:space—tirne processing;subspace projection;multistage Wiener filtering
l 引言
联合空时处理是一种先进的信号处理技术,广 泛应用在雷达…和通信【21领域,2000年R.L.Fante首 次提出将这一技术应用到GPS接收机抗干扰中”J, 取得良好效果,但计算复杂度高成为其实现中的主 要瓶颈。本文针对GPs接收机所接收有用信号、噪 声和干扰的特点,将子空间投影方法引入到空时处 理当中,利用空时二维接收数据构造出干扰子空 间,将信号空时方向矢量投影到干扰子空间的正交
收稿日期:2006一04.04;修回日期:2007.01.20 子空间中,得到所求滤波器权值。该方法避免了协 方差矩阵估计及其求逆等复杂运算,大幅度降低运 算量,同时抗干扰性能保持不变。仿真结果验证了 该方法的有效性。
文中第2节简要介绍GPs空时联合接收机结构 及其权值最优解,并针对GPs抗干扰具体特点,推 导出权值最优解的子空间投影表示方法;第3节利 用基于数据域相关相减结构多级维纳滤波器的前 向递推多级分解特性实现一种新的构建干扰予空 间的有效方法,进一步求得空时抗干扰最佳权,在
第5期 郭艺等:GPS空时抗干扰子空间投影方法 ?63?
不影响抗干扰性能的前提下使计算量大幅下降;最 后对该方法进行了仿真验证。
2空时联合处理
GPS联合空时接收机处理结构如图l所示, (’.,。。】,m=1,2,…,M;n=1,2,…,Ⅳ为空时二维权系数。 用MⅣ×1维向量W表示处理器的权矢量。则
W=【%1w12…w1Ⅳw21w22
…w2ⅣwM】wM 2…wM^,】T
图l空时联合处理结构图
其接收信号可表示为
x(足)=ss(宓)+∑嘎鼻(足)+靠(七) (1) f=l
其中,J(妫,S表示GPS信号及其空时二维导向矢 量;-『f(妨,口l表示第i个干扰及其空时方向矢量;拜(动 表示接收噪声复矢量。R=EO盯H)为接收数据协方差 矩阵。该处理器可描述为一个有约束的最优化问题 眠p。=arg嚼nwHRw s.t.w%=1(2) 可推出最优空时二维处理器的解为
wjpc=(IsH只一s)~足一s=只。inR-1s (3) 其中,PoIIli。为一常数,代表最小输出功率,可省略。 根据IDC—GPS.200【4】规定,GPS接收信号功率通常 约为一157dBw,相比接收干扰和噪声非常微弱,因 此计算足时可忽略信号项
眠pt=露一s=(仃2,+A,RJA?)一s (4) 其中,山=陋。,口:,…,nD】,玛=E(ⅣH)。根据矩阵 求逆引理
仃2足一=(,+盯之如毛A岁)一
=J—A,(仃2Rjl+A?A,)“A于 (5) 强干扰条件下,噪声项也可忽略不计
盯2R一=j一^(A岁山)~A岁=哎 (6) 其中,群表示与干扰子空间A,,正交的子空间的投 影矩阵
眠pt=哎s=IJ一只,)s (7) 通过上述推导,空时抗干扰最佳权的求解问题 最终归结为干扰子空间投影矩阵P^的求解即干扰 子空间的估计问题,从而避免式(3)中高阶协方差矩 阵R的估计和求逆。
3空时子空间投影抗干扰
干扰子空间估计的传统方法为特征值分解 (EVD)方法。首先利用接收数据估计协方差矩阵 夤=y工i工_肛,其中而为肘陬1维空时接收数据矢 量z(力的i时刻采样值。接着对应做特征值分解, 较大特征值所对应的特征向量即为干扰子空间的 基矢量。这种方法运算量约为O[(^州)3】,对于联合 空时这种自由度较高的处理,计算复杂,不利于实 时处理,因此需要寻找简单、有效的干扰子空间估 计方法。注意到干扰子空间的构成不一定基于协方 差矩阵的特征向量,任何向量只要能构成干扰子空 间均可,下面研究利用多级维纳滤波器前向递推的 多级分解特性实现一种新的构建干扰子空间方法。 3.1多级维纳滤波器及其性质
多级维纳滤波器(MwF)是J.S.Goldstein于1998年提出的一种有效降维方法【5】,其结构如图2所示。 整个过程由分析滤波器和综合滤波器组成,这里重 点研究分析滤波器。分析滤波器是金字塔形树状结 构,分解过程的每一级分成两个子空间,一个在上 一级的互相关矢量方向上,另一个在互相关矢量的 垂直方向上;与上一级互相关矢量垂直的空间再做 同样的分解,这样逐级分解,每一级维数减一,形 成分析滤波器。用矩阵表示为
图2多级维纳滤波器结构图
巩WF=阶f2,…,l删】
MN一2MN—l
=[.1ll,曰。如,…,n曰,‰删一。,n曰,](8) r=l r=1
?64? 通信学报 第28卷
由文献[6】的分析可知,向量f,,江{1,2,…,删)相互 正交,并且
span{fl,f2,…,fD J
=span{啊,尺%啊,R:^1,.一,R:叫^,) (9) 其中1≤D≤删,R。.为接收数据协方差矩阵。忽 略GPS有用信号项将R。做特征值分解
MN
j
氏=∑五V,V?=¨4∥+《EV● (10) 其中特征值丑>五>…>乃>如+。=…=‰=《, y,=h,V2,…,l,D],K=[_l'D+1,l,D+2,…,V圳】。定义干 扰子空间即为彰=span{v。,v。,…,,,口】,噪声子空间即 为嚷=spall{l,D+1,VD+2,…,l’删),并且蛾=null{哆)。 证明下列性质。
性质1干扰子空间和噪声子空间可由多级维 纳滤波器前向分析滤波向量f,,l={l,2,…,删}构成 span㈣f2,…,fD)=span{_I,l,Vz,…,yD)_卿 (11) span{乞州乞+2,…,f删}
=span{V洲,VD协…,’'州Ⅳ)-蛾 (12) 证明 由式(9)可知,存在一满秩矩阵 P∈C胍D,使得
[f】,f:,…,如]=[啊,R‰噍,R:I}ll,…,R:_1%]P (13) 令Ff=[f,,f。,…,如],瓦=[如小如Ⅲ…,f删],由于 y尸yj=JD,盱K=,删一D,则由式(10)得
R黑=¨/1夕哕+《2”KW (14) 其中,尺:’表示R。的i次方。由多级维纳滤波器知, 吨=f,=■如在干扰子空间中,从而时噍=o。又因 为yyJH+KF=J枷,则把式(14)代入式(13)得 I=形哕如,■爿,哼.izl,…,¨么∥’哼啊】尸 I=形哕红,K4皑_}11,…,K4D。1’哕
=■‘Q+P
=KQP (15) 易得Q=Ⅳ?啊,/1,y?啊,…,/1P”y7.fzl]∈cD×D是满秩 矩阵。由于尸、Q均为满秩矩阵,式(11)即可得证。 由于f。,f-{l,2,…,枷】相互正交.则ffj-口『,i D+l,D+2,…,删, 贝U
span{fD+1,fD+2,…,f村Ⅳ)=null {谚『)=或,即式(12)得证。
性质2若空时接收数据协方差矩阵心秩为 D,则多级维纳滤波器作(删一1)级分解后,自第D
级以后的(M—D一1)个观测数据均是白噪声的随机 过程,目为
工;。’(七)=(n玑)行(n
i=D,D+1,…,们Ⅳ一1(16) 其中上标()∞’表示秩为D的情况,下标()i表示 MWF的第f级。
证明 不失一般性假设有P个干扰源,其中包 括宽带干扰和窄带干扰,尹≤D。式(1)忽略信号项 可写为
x乳七)=∑口。工(足)+,l(七) (17)
经过i(,≥D)级分解后观测数据为
x尸’(庀)=E工竺’(足)=EE一。x翌(七)
一~3l密巩p㈣ =(善!曰。][喜口;zc良,+照c七,] ={n曰。}【∑口;z(良)+照(七)l
\m=l /Ll-l J
(18)
户
由于∑口;z(七)项在干扰子空间中,由命题1易知 l=l
l l
n曰。互n(J—f。f:)∈nuu{哆),i≥D (19) 撙2{用27
f,血巩他郴)]:D n曰。II∑口。l(_i:)I=D
\m=f /L1.1J
(20) 将式(20)代入式(18),式(16)即可得证。
3.2子空间投影抗干扰步骤
由性质1可知,利用多级维纳滤波器前向滤波 的多级分解特性可以实现GPs空时接收信号处理 中干扰和噪声子空间的构造,再根据式(7)即可求出 最佳权值。本文采用基于数据域相关相减结构多级 维纳滤波(CSA—MwF)
初始化:以(n)=五(n),工。(,z)=卫(,z),i=1迭代:t=E{《,工¨(,z)}删Ef《,(n)t一,(,z)刈 di(H)=f,zI-】(,z)
工f(咒)=工.‘(咒)一‘喀(n)
if lx;(,z)r≤么,stop
else, f=f+1
第5期 郭艺等:GPs空时抗干扰子空问投影方法 ?65?
权值计算:w叩。=(J一玎H)s,
r=[f1,f2,…,fj】
3.3性能分析
由3.2节可知,本文方法对干扰子空间秩D的 估计采用一种固定门限判别技术,这种方法假定在 MwF每一级分解过程中噪声的统计特性不变,而
实际由式(16)知噪声经过(n曰。)滤波后其统计特 性必然有所变化,导致干扰子空间秩的估计西有所 偏差,即D<><删,使部分噪声子空间基矢量也 用于干扰抑制。下面来分析其对抗干扰性能的影="">删,使部分噪声子空间基矢量也>
设西一D=p,由文献[8】分析可知,在6=D时, 其归一化信噪比与特征值分解方法相同,均为 E{㈣Mw)_E{姗小气竿(21) 其中,L为估计协方差矩阵的采样向量个数。可以 看出,L>>D时毗帜损失很小。当引入噪声子空间 基矢量t(f>D)时,子空间投影将会对输出毗撇产 生影响,这种影响可表达为式(21)乘以一个罚函数。 由于一(f>D)在噪声子空间内有随机相位,因此 册嘶斗塞尝}小呻{尝}
:l一旦:型=望 (22) 最后可得
E{洲}=等?黜(23)
由式(23)可知,随着西的增大,抗干扰性能将逐渐 下降。
4仿真实验
仿真实验采用3元线阵,阵源间隔d=允/2,时 间延迟单元数为5。干扰入射方向范围为[0。,180。】, 期望卫星信号入射角秒=90。。
信号功率范围:仿真中采用L1CA码,根据 IDC—GPS.200【41规定,GPS接收信号功率最低为 一159.6dBw,实际通常约为一157dBw。热噪声密度 为一205dBw/Hz,以码片速率采样,则C/A码接收 机处理带宽为1MHz,带内热噪声功率约为 一145dBW,信噪比SⅣRz(一157)一(一145)=一12dB。 仿真中取鼢识≤一10dB。
干扰:设干扰源有效辐射功率(ERP)为2w,则 通过链路计算公式职P=,,一G,+L。+L,可计算 得,当干扰距接收机的直线距离在26.6km范围内 时,干信比脚可达到34.7dB,当干扰距距离在 8.5km范围内时,JSR可达到44.6dB。仿真中窄带 干扰取干噪比孙侬为50dB,宽带干扰取干噪比孙限 为20dB。
图3中实线和虚线分别指5个窄带干扰和3个宽带干扰情况下输出Sz胀随西变化情况,5个 窄带干扰归一化频率分别为{o.2、o.35,o.5,o.65, o.8),入射角分别为{50。,105。,135。,155。,20。};3个 宽带干扰,干扰带宽为接收机带宽,入射角分别为 {35。,70。,120。}。由图3可知无论窄带干扰还是宽带 干扰,MwFD方法与EVD方法抗干扰效果基本相 同,在干扰子空间的秩D附近达到最优,随西进 一步增大性能略有下降,这与3.3节的理论分析一 致,但性能下降幅度比理论值小,这是由于图中 输出&撇为解扩后的结果,GPS有用信号是高扩 展比扩频信号,噪声子空间基矢量的影响在解扩 后进一步减弱。需要说明的是窄带干扰所构成干 扰子空间的秩与窄带干扰数目基本相等;而宽带 干扰所构成干扰子空间的秩要大于宽带干扰数 目,因此当宽带干扰或混合干扰情况下,干扰子 空间的秩并不是干扰源个数的简单相加。EVD方 法需要估计协方差矩阵并对其做特征值分解,其 所需复数乘法数约为D[(删)3+L(删)2】,而本文 MwFD方法避免了协方差矩阵估计和特征分解等 复杂运算,其所需复数乘法数约为研觑(枷)], 计算量减少一个数量级,特别适用于联合空时这 种自由度高的处理。
图4为3个窄带干扰和2个宽带干扰的混合 干扰情况下,输出s删R随采样点数L的变化情况。 3个窄带干扰归一化频率分别为fo.2,o.5,o.81,入 射角分别为{30。,70。,120。};2个宽带干扰,干扰带 宽为接收机带宽,入射角分别为{45。,135。}。可看 出本文MWFD方法与EvD方法性能基本相同, 在L>30的情况下,其抗干扰性能基本达到最优, 适合快变化小样本环境下的GPS接收机抗干扰要 求。
要
薹
丑
舞
图3输出&撇随西变化关系
5结束语
图6空对响应二维谱
本文针对GPS接收信号特点,提出用空时子空 间投影进行抗干扰的新方法。并在深入分析多级维 纳滤波器(MWF)前向分解特性的基础上,提出用基 于数据域相关相减结构的多级维纳滤波器 (CSA—MWF)来估计干扰子空间,进而求出空时最佳 权。同其他传统方法相比,本文方法结构简单,抗 干扰能力强,计算量小,是一种简单实用的抗干扰 有效方法。
圃.酬.黧臀:仆,; 参考文献:
圈4输出酣M?随£变化关系
7……’
图5为相同混合干扰情况下,输出舢豫随输 入鲫限的变化情况。同样看出2种方法性能基本相 同,并且输出跚ⅣR随输入鼢限增大呈线性增长。
晏
蒉
弓|
舞
≮氨入SN黜穗
图5输出硎忱随输入孙傻变化关系
图6为本文方法在混合干扰情况下所求最佳权 的空时响应二维谱,从图中可以直观看到,在3个 窄带干扰对应空频面上的3个凹坑,2个宽带干扰 对应2个横跨频率的凹沟,而信号到达角方向对应 一个凸起,这样在有效抑制干扰的同时,保证了信 号无失真。 【1】王永良,彭应宁.空时自适应信号处理【M】.北京:清华大学出版 社,2000.
wANG Y L,PENG Y N.space-Time Ad叩tiVe Processing[M].Be巧ing: Tsinghua umVers畸Press,2000.
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【3】 FANfrE R L,VACCARo J J.Wideballd cancellation of interfcrence in a GPS receive amy【J】. IEEE Tr卸sactions on Aerospace 卸d Elec仃oIlic SysteIlls,2000,(4):549—564.
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[5】 GOLDSTEIN J S,REED I S,SCHARF L L A multistage representation of lhe wiener filtef based on onhogonal projectionsⅢ IEEE Tr柚sactions on Info册ation Theory,1998,(11):2943—2959. [6J HONIG M L,XIAo、Ⅳ.Perfomance of reduced—rank Iinear inte卜 fercnce suppressionⅢ.1EEE Transactions on InfonIlation neo以 2001,(7):1928一1946.
【7】
眦KS D C,GoLDSlE烈J
S.Emcient arcllj妣tures for ilIlplementhlg
(下转第72页)
通信学报
第28卷
延时女(抽样数) (a)语音分块的互相关函数
参考文献:
延时I(抽样数)
(b)回波通道有ERLE收剑曲线
图5实验结果
[1】
LU
Y,MoRRJS
J
M.Gabor
expallsio for ad印tiVe
echo canc∈llation
[J].IEEE
Signal
Pmcess Mag,1999,16(2),68—80.
[2】
LU Y.Enhancing echo
cancellation
Via
estimation of
delay[J]IEEE
(上接第66页)
adaptiVe
algorithms[A】.Proceedings
of
me 2000
Applications
Symposium[C】2000.29—41. [8】
z删AN
M.
Propenies of
Hung?Tumer
projections a11d
meir
rela廿onship to
ttle
eigencanceller[A】.
Conference
Record
of
the
Thinietll Asilomar Conference
on
Signals,Systems aIld
Computers[C】.
Lexington,MA,USA,1996.1176—1180.
作者简介:
TraIls
Signal Pmcessing,2005,53(11):4159—4168.
[3】 何振亚.自适应信号处理[M】.北京:科学出版社,2002.
HE Z Y.AdapbVe Signal
Processing[M】.Be玎ing:Publishing
House of
Science.2002. [4]
SUGIYAMA A,IKEDA S.A
fast
conVe唱ence algoritllm
for sparse—
tap
adaptiVe
FIR filters
identifying
an
unknown number
of dispersiVe
regions[J】.IEEE Trans
Signal Process,2002,50(12):3008-3017
[5】
CARl甩R G C.Coherence and
Time
Delay Estimations[M】.New
York:
IEEE.1993.
[6]
DUTTWEILER
D
L.Subsampling
to
estimate
delay with
application
t0
echo
carmhng[J】删阻TransSignal PIDcess,1999,31(10):10901099
作者简介:
朱幼莲(1964.),女,江苏武进人, 江苏技术师范学院教授,主要研究方向为 自适应信号处理、图像编码。
鲁有宏(1959一),男,江苏南京人,博士,美国电子 工程师,主要研究方向为自适应信号处理、DSP应用。
史国栋(1956.),男,江苏溧阳人,江苏技术师范学
院教授、博士生导师,主要研究方向为广义系统理论、智能 信息处理。
张尔扬(194l一),男,浙江宁波人,
国防科技大学教授、博士生导师,中国通 信学会会士,中国电子学会高级会员,主
要研究方向为军用无线通信与网络技术、 空间通信与组网。
郭艺(1978一),男,陕西西安人,国 沈荣骏(+1936一),男,安徽合肥人,中国工程院院士, 防科技大学博士生,主要研究方向为扩频 高级工程师,国防科技大学兼职博士生导师,主要研究方向 通信、信号处理等。
为航天测控、通信总体。
范文三:欧氏空间子空间正交补的代数方法研究
第 25 卷第 3 期 大 学 数 学 Vol. 25 , ?. 3 2009 年 6 月 COLL EGE MA T H EMA TICS J un. 2009
欧氏空间子空间正交补的代数方法研究
张力宏 , 刘鹏飞
()吉林师范大学 数学学院 ,吉林 四平 136000
n n [摘 要 ] 在 n 维欧氏空间中 , 对其任意的非零子空间 V ,有子空间 V 使 V ?V , 且 = V 2 1 2 ? V .1 1 2
本文对这一几何问题利用齐次线性方程组给予了代数方法的又一种证明. [关键
词 ] 欧氏空间 ;正交补 ;齐次线性方程组 ;基础解系
() [ 中图分类号 ] O151 [ 文献标识码 ] C [ 文章编号 ] 167221454 20090320190203
本文中所用符号及术语均来自文[ 1 ].
解析几何的研究内容是用代数方法解决几何问题. 而线性代数的许多研究内容都有几何背景 , 可以
n 找出几何直观. 例如 , 在实数域上的 n 维欧氏空间就是 2 维平面和 3 维几何空间的自然推广 , 有很 好的几何背景. 因此 , n 维欧氏空间就是典型的用代数方法研究几何问题的实例.
3 3 π设是 3 维几何空间. 在中研究平面与直线的位置关系时 , 有一种特殊情况 , 即平面与直线
3 ππl 垂直相交. 当与 l 都通过坐标原点时 , 这个典型的几何问题可以抽象为代数问题 :平面确定的
3 3 一个 2 维子空间 W , 直线 l 确定的一个 1 维子空间 T , T ?W , 且= T ? W . 将这一问题推广 , 就得
3 3 出 n 维欧氏空间的子空间的正交补问题 ,中平面方程的建立恰恰是根据这一原理而给出的. 中 任何向量α, 可唯一分解为α=α+α, 其中α?W ,α?T. 目前的许多高等代数教材或线性代数与解 1 2 1 2 析几何
[ 1 - 6 ] n 教材, 对的子空间 W 的正交补问题都进行了比较充分的研究 , 但它们的共同特点是都将 这一问题视为代数问题而用抽象的线性空间理论进行讨论的. 本文的主要目的是利用齐次线性方程组 这
n 一典型的代数方法对 的子空间 W 的正交补问题进行研究 , 同时也对齐次线性方程组的解空间与 系数矩阵的行向量组生成的子空间进行了几何解释 , 从而体现出代数与几何的内在联系.
设为实数域 , 则上 n 元向量集合
n ? = { ( a, a, , a) | a} .1 2 n i n 关于矩阵的加法和数乘运算构成实数域 上的一个 n 维线性空间. 定义的一个内积运算
(α,β) = ab+ ab+ + ab,1 1 2 2 nn n n 其中α= ( a, a, , a) ,β= ( b, b, , b) 是中任意向量 , 则可以证明关于这个内积运算构成 1 2 n 1 2 n
上一个 n 维欧氏空间.
(αβ) αβαβ如果有 ,= 0 , 则称与正交 , 记作?. n 设 V ,V 是的非零子空间 , 如果对任意的α?V ,β?V 有α?β, 则称 V 与 V 正交 , 记作 V ?1 2 1 2 1 2 1
n ?V . 此时易见 V + V = V ? V . 如果还有 V + V = ,则称 V 为 V 的正交补 ,记作 V = V . 显然 V 与2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 V 互为正交补.2
n 定理 n 维欧氏空间的任何非零子空间都存在正交补.
n 证 设 V ?0 是的子空间 , dimV = r , 令1 1
α= ( a, a, , a) , i = 1 , 2 , , ri i1 i2 in
为 V 的一个基底 , 则 V = L (α,α, ,α) . 作齐次线性方程组1 1 1 2 r
[ 收稿日期 ] 2006212226
第 3 期 张力宏 ,等 :欧氏空间子空间正交补的代数方法研究 191
ax+ ax+ + ax = 0 , 11 1 12 2 1 n n
ax+ ax+ + ax = 0 ,21 1 22 2 2 n n ()1
ax+ ax+ + ax = 0 ,n1 1 n2 2 nn n
注意到β= ( c, c, , c) 是 (1) 的一个解当且仅当α?β. 令 (1) 的一个基础解系为1 2 ni
β= ( c) , , c, , ci = 1 , 2 , , n - r ,i i1 in i2 ? n 则 V = L (β,β, ,β) 为 (1) 的解空间. 可以证明 = V ? V , 且 V ?V , 得 V = V .2 1 2 n - r 1 2 1 2 2 1
如果将子空间正交补问题视为几何问题 , 则该证明就是用更直观 、具体的代数手法给予解决 , 同时 给出了齐次线性方程组解空间的几何解释. 即如果令
αβ 1 1
αβ 2 2A = , B = ,
αβ r r
则 V 与 V 互为正交补当且仅当 V , V 互为齐次线性方程组1 2 1 2
xx1 1
xx2 2
A = 0 , B = 0
x x r r
的解空间. 同时应该看到求已知子空间正交补问题与求已知齐次线性方程组基础解系以及已知一个齐
[ 7 ] 次线性方程组的基础解系求该齐次线性方程组问题是一致的.
3 3 3 例 1 在中 , x Oy 面是的一个 2 维子空间 , 记作 V , z 轴是的一个 1 维子空间 , 记作 V ,1 2 3 ? ?则= V ? V , 且 V ?V , 所以 V = V , V = V . 又知 V 有基底ε= ( 1 , 0 , 0) ,ε= ( 0 , 1 , 0) , 作齐次1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 线性方程组
x + 0 y + 0 z = 0 ,
0 x + y + 0 z = 0.
显然ε= (0 , 0 , 1) 是该方程组的一个基础解系 , 恰是 V 的一个基底 , 所以 V 就是该齐次线性方程组的 解3 2 2 空间. 当然 , V 亦是齐次线性方程组1
x + 0 y + z = 0 0
的解空间.
n 中 , 当子空间 V 是 V 的正交补时 , V 中任何向量α 有唯一的分解式 , 即 α =β+β, 其中2 1 1 2 β?V β,?V ,β?β, 称β为α在 V 上的垂直投影.1 1 2 2 1 2 1 1
4 例 2 在中 , 设α= (1 , - 1 , - 1 , 1) ,α= ( 1 , - 1 , 0 , 1) ,α= ( 1 , - 1 , 1 , 0) , V = L (α,α,α) ,1 2 3 1 1 2 3
?求 V . 1
解 作齐次线性方程组
x- x- x+ x= 0 , 1 2 3 4
x- x+ x= 0 , 1 2 4
x- x+ x= 0 .1 2 3
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 1
A = 1 - 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 , 1 - 1 1 0 0 0 2 - 1 0 0 0 1
? ( ) γ() (γ) 得 rank A= 2. 解得基础解系= 1 , 1 , 0 , 0, 所以 V = L . 1 4 例 3 在中 ,设 V = L (α,α,α) ,其中α= (1 , - 1 , - 1 , 1) ,α= (1 , - 1 , 0 , 1) ,α= (1 , - 1 , 1 , 0) ,1 1 2 3 1 2 3 β= (2 ,4 ,1 ,2) ,求β在 V 上得垂直投影β.1 1 ? ? ? 解 设β=β+β,β?V ,β?V , 由例 2 ,γ= ( 1 , 1 , 0 , 0) , V = L (γ) , 则 β?V = L (γ) , 令1 2 1 1 2 2 1 1 1
大 学 数 学 第 25 卷192 2 2 2 β= kγ= ( k , k , 0 , 0) ,有β=β- β= (2 - k , 4 - k , 1 , 2) . 又知 (β,β) = 2 k - k+ 4 k - k= 0 , 即 k= 3 k , 注 意到β| 2 1 2 1 2
V , 所以 k ?0 , k = 3 , 即β= ( - 1 , 1 , 1 , 2) .1 1
[ 参 考 文 献 ]
() [ 1 ] 北京大学数学系. 高等代数 第三版[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2003.
[ 2 ] 蓝以中. 高等代数简明教程[ M ] . 北京 :北京大学出版社 ,2002.
[ 3 ] 赵连昌 ,刘晓东. 线性代数与几何[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2001.
[ 4 ] 陈志杰. 高等代数与解析几何[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2000.
[ 5 ] 张力宏. 高等代数[ M ] . 北京 :人民教育出版社 ,2002.
[ 6 ] 王仁发. 代数与解析几何[ M ] . 长春 :东北师范大学出版社 ,1999.
() [ 7 ] 刘学鹏. 线性代数理论中几个问题的逆向问题[J ] . 大学数学 ,2005 ,21 6:118 - 121.
Algebra Method Studies on Orthocomplement of Euclidean Subspace
Z H A N G L i2hong , L IU Peng2f ei
()Department of Mathematics , Jilin Normal University , Siping , Jilin 136000 , China
Abstract : In the Euclidean space of n2dimensio n , to it s random subspace V , there have subspace V such that V ?1 2 1
n V and = V ? V . This article given another kind of proof using algebra method by system of homogeneous linear2 1 2 equations to the geometry question.
Key words : Euclidean space ; orthocomplement ; system of homogeneous linear equations ; basic system of solutions
范文四:独立子空间分析 一种基于动态独立子空间分析的过程监控方法_高翔
系 统 仿 真 学 报?
Vol. 20 No. 13
2008年7
月 Journal of System Simulation Jul., 2008
第20卷第13期
一种基于动态独立子空间分析的过程监控方法
高 翔,刘 飞
(江南大学自动化研究所,无锡 江苏 214122)
摘 要:独立元分析(ICA)是近年来盲信号分离领域的
热点问题,传统的ICA方法只能寻找信号
与信号间的独立元,对信号组与信号组之间的独立性分析
却无能为力。独立子空间分析法(ISA)则通过寻求矢量峭
1
度最大化,对信号组之间进行独立性研究。根据这一理论提
出动态独立子空间分析过程监控方法,针对过程变量自相关
问题,构建时间序列子空间,随采样时间动态更新子空间数
据,对其进行独立性研究,达到过程监控的目的。以TE过
程为背景的仿真研究,验证了该方法的有效性。
关键词:独立分量分析;动态独立子空间分析;过程监控;
TE过程
中图分类号:TP206.3 文献标识码:A 文章编
号:1004-731X (2008) 13-3589-04
Process Monitoring Method
Based on Dynamic Independent Subspace Analysis
GAO Xiang, LIU Fei
(Institute of Automation, Southern Yangtze University, Wuxi 214122, China)
Abstract: Independent component analysis (ICA) is a focus in blind source separation researches recently. Traditional ICA method can only search for the independent component between signals, and be helpless to analyze the independence between signal groups. Independent Subspace Analysis (ISA) can research the independence of signal groups by searching for the maximum of vector kurtosis. According to this theory, the Dynamic independence of
2
subspace (DISA) was studied by considering the self-correlation of the variables of the process, composing the time-series subspace and updating its data with the lapse of time, which makes the process monitoring method available. At last, the simulation results of TE process reveal this method is very effective.
Key words: ICA; dynamic independent subspace analysis; process monitoring; TE process
引 言
独立元分析(Independent Component Analysis,ICA)是
近几年信号处理领域兴起的一个热点问题,它基于信号的高
阶统计量,以非高斯信号源为研究对象,在信号源和传输通
道参数先验知识未知的情况下,按照信号间统计独立的原
则,对多路观测到的混合信号进行变换,从而较好地分离出
独立的信号分量。由于ICA着眼于信号的统计特性,特别适
用于对大规模的数据群进行分析与处理,因此在生产过程结
构日益复杂,过程变量与数据采样日益增多,数据间的耦合
关系日益增强的工业过程中,基于ICA的过程监控方法发挥
着越来越重要的作用。
实例表明,ICA能够对同一采样时刻的不同变量进行独立
性分析,在过程监控中取得了较好的效果[1]。然而,ICA只
解决了观测变量之间的独立性(空间相关)问题,忽略了同
3
一变量在不同时间测量值之间的相关性(序列相关)。从这个角度讲,现有的ICA过程监控方法并不完善。文献[2]
收稿日期:2007-03-21 修回日期:2007-06-05 基金项目:国家高技术研究发展计划(863计划)课题(2007AA04Z198);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-05-0485);江南大学创新团队发展计划。 作者简介:高翔(1983-), 男, 山东青岛人, 硕士生, 研究方向为工业系统过程监控与故障诊断; 刘飞(1965-), 男, 安徽宣城人, 教授, 博导, 研究方向为先进控制理论及应用、复杂系统性能分析与综合、工业过程监控与诊断等。
对在此基础上的动态化方法也作了研究,但其中对不同时刻的不同变量同时进行独立性分析的做法并没有严格的理论依据。
文献[3]提出了以矢量峭度作为信号的非高斯性度量原则,对不同的信号进行分组,分析了信号组之间的独立性问题。这一将独立性研究对象从信号拓延到信号组的思想,具有很好的理论意义。本文提出的动态独立子空间分析过程监控方法(Dynamic Independent Subspace Analysis,DISA),吸收了其中的矢量观点,结合时间序列思想,通过引入监控数据的时间窗来构造子空间框架,随采样时间动态更新子空间数据,再利用矢量峭度最大化准则对变量子空间进行独立性研究,最终达到过程监控的目的。在原有的ICA体系中纳入的
4
动态化子空间方法,使基于ICA思想的过程监控方法更加完善,仿真实例表明它在应用中具有更好的灵敏性与鲁棒性。
1 独立子空间分析
独立子空间分析模型如下:
?x1??A11”A1M??s1?
????x=As或?%#??#?=?#??#? (1) ??xM????AM1”AMM????sM??
其中A为混合矩阵,Aij?Rd×d,x与s为混合信号与独立
iTiT
分量信号,xi=[x1i,”,xd]?Rd×1与si=[s1i,”,sd]?Rd×1分
? 3589 ?
2008年7月 系
统 仿 真 学 报 Jul., 2008
别是是x和s的子空间,M是子空间个数。结合公式(1),
令:
?x1??x?2
x(k)=???RMd×1 (8) M
?#?
y=BTx=?BTjxj=BTAs (2) ??
j=1
?xM?
其中,Bj?Rd×d,B?RMd×d,y?Rd×1,即利用解混矩
5
阵BT
其中:
提取x中的独立分量y,使y成为独立子空间s的估计。
参照标量峭度定义,可定义y的矢量峭度如下: kurt(y)=E[(yy)]-3(E[yy])
T
xi=[xi(k)xi(k?1)”xi(k?d+1)]i=1”M作为其子空间,xi(k)表示第i个变量在第k时刻的采样值。
与已有的ICA监控方法类似,动态独立子空间分析监
T
2T2
(3)
根据文献可知,若限定:
控方法将包含序列相关信息的动态分析数据集投影到相互
y=s=1 (4) 独立的子空间,通过分析这些子空间的变化情况进行监控。
由于投影所得的子空间对过程的影响大小不一,因此先用
[3]
则当矢量峭度kurt(y)取得最大值时,y成为s的一个估计。
根据上述矢量峭度的理论基础,结合现有ICA方法的数据分析过程,独立子空间分析方法的数据混合与分离流程图如图1所示:
6
Euclidean范数(L2)对正交矩阵W的每个行子空间进行计算并按大小排序,对独立子空间的影响权重进行评估,再设置占优独立子空间个数r,将所有的独立子空间分为r个占作为两个重要的监控统计优子空间与M?r个残差子空间,量的计算依据。
DISA监控方法的具体步骤为:
?设置时间窗长度d,构造动态分析数据集X; ?对X进行中心化;
s
?计算白化矩阵,对X进行白化,得到白化数据Z;
y
?令p=1,随机设置Wp初值,根据文献[3]所述的式(9)进行迭代计算,其中Wp是W的子空间;
图1 独立子空间分析的数据混合与分离流程框图
解混矩阵BT分为白化矩阵V与正交矩阵WT两部分,使混合信号x经矩阵V白化后得到的信号z具有单位范数,,有VA=1,又根据图1即z=1。由z=VAs与式(4)
所示,有y=WVAs,进而可导出WW=Id×d。根据图1,,即有: 可得y=Wz,结合式(3)
kurt(y)=E[(yTy)2]-3(E[yTy])2
T
7
T
T
Wp=E[(ZTWpWpTZ)(ZZTWp)]-3dWp (9) ?对Wp正交规范化,若Wp收敛,则令p=p+1,直至p=M时停止;否则返回步骤?。
?计算解混矩阵BT=WTV
?计算BT的行矢量的范数,从大到小依次排序,设置将BT分为占优部分BT占优独立子空间个数r,d与残差部分
T?1T
BTe,并用W=(BV)计算相应Wd与We: =E[(zTWWTz)2]-3(E[zTWWTz])2 (5)
?BTd?T
B=综上,通过y估计独立子空间s问题可转化为:在?T?,W=[WdWe] (10)
?Be?
WTW=Id×d的限制下,使式(5)所表示的矢量峭度最大化。
?计算Y(k)=BTX(k)及Y的占优部分
由文献[3]可知:
Yd(k)=BTdX(k)与残差部分Ye(k)=BTeX(k); T
=4sign(kurt(WTz))×?计算I2、Ie2、SPE三个统计量: ?W
I2(k)=Yd(k)TYd(k) (11)
8
[E[(zTWWTz)(zzTW)]-3E[zTWWTz]E[(zzTW)] (6)
?kurt(Wz)
故迭代法计算正交矩阵W的公式为:
W(k+1)=E[(zTW(k)WT(k)z)(zzTW(k))]-当WT(k+1)W(k)?Id×d时,算法收敛。
Ie2(k)=Ye(k)TYe(k) (12)
SPE=(X(k)?Y(k))T(X(k)?Y(k)) (13)
3E[zTW(k)WT(k)z]E[(zzTW(k))] (7) ?计算I2、Ie2、SPE的控制限,作为判断故障的阈值[1]。
3 仿真研究
本文以田纳西,伊斯曼过程(Tennessee-Eastman
2 基于DISA的过程监控方法
在用DISA方法进行过程监控前,先要构造动态分析数据集X。设过程变量数为M,设置时间窗长度d,采样数为N,则动态分析数据集可表示为:X=[x(1)x(2)”x(k)”x(N)]?RMd×N,X中的每一列
Process ,TEP)作为化工过程的仿真平台。这一取材于美国Tennessee Eastman公司化工厂的仿真过程主要包括反应器、冷凝器、气液分离器、解吸塔、循环压缩机5个典型的反应单元。它具有8种成分:A、C、D、E是反应物,B为催化剂,F为副产物,G、H是最终的产品。整个过程包含了12
9
x(k)对应每一采样时刻k: ?3590?
2008年7月 高翔,等:一种基于动态独立子空间分析的过程监控方法 Jul., 2008
个控制变量、41个过程变量。数据每隔3min采样一次,每次仿真时间为48h,通过22次不同运行状况(包含正常情况与21种不同的故障情况)的仿真构成。
本文设时间窗d=3,主要独立子空间个数为7,用99,的控制限进行监控,故障均在第160个采样点引入。
以故障4为个案研究对象。它涉及反应器冷却水入口温
度的一个阶跃变化,其明显效应是引起反应器冷却水流速的阶跃变化。故障发生时,反应器中温度突然升高,而其他
50个测量变量和控制变量仍保持稳定,每个变量的均值和标准差的变化小于2,。图3,5给出了ICA与DISA的三个统计量检测结果对比。
图2 TEP工艺流程图
70605040302010
9080706050403020100
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000 100 200 300
400 500 600 700 800 900 1000
t t
10
图3 ICA(左)与DISA(右)的I2统计量对比 25020015010050
35030025020015010050
0 100 200 300 400500 600 700 80090010000100200300400500 600 700 800 900 1000
t t
图4 ICA(左)与DISA(右)的Ie2统计量对比
?3591?
2008年7月 系 统 仿 真 学 报 Jul., 2008
200
180160120100806040200
55050045040035030025020015010050
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000 100 200 300
400500 600 700 8009001000
t t
图5 ICA(左)与DISA(右)的SPE统计量对比
SPE
SPE
及故障诊断方法[J]. 系统仿真学报,2006,18(11):
11
3220-3223. (YANG Yinghua, WU Yinghua, CHEN Xiaobo, QIN Shuhai. Process
地将故障与正常状况明显地区分开来。 Monitoring and
Fault Diagnosis Based on Independent Component
Analysis Method [J]. Journal of System Simulation, 2006, 18(11): 误报率(正常过程采样序列中报错点与采样点的比
值)
3220-3223.)
与漏检率(故障过程采样序列中漏报点与采样点的比值)
是
[2] Jong-Min Lee, ChangKyoo Yoo, In-Beum Lee. Statistical monitoring
衡量监控方法好坏的两个重要标准,它们反映了监控方法
的of dynamic processes based on dynamic independent component
analysis. [J]. Chemical Engineering Science (S0009-2509), 2004, 59: 灵敏性与鲁棒性。虽然两个方法的三个监控指标都
出现了不
2995-3006.
同程度的误报和漏检,但DISA较ICA有一定优势,图3
,
[3] Alok Sharma, Kuldip K Paliwal. Subspace independent
12
component
5的三个监控指标的误报率与漏检率见表1、2。 analysis
using vector kurtosis [J]. Pattern Recognition (S0031-3203),
2006, 39: 2227-2232.
表1 ICA和DISA监控对故障4的误报率
[4] Wenfu Ku, Robert H. Storer, Christos Georgakis. Disturbance
SPE I2 Ie2 detection and isolation by dynamic principal component analysis [J]. ICA 0.2062 0.0063 0.0250 Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems (S0169-7439),
1995, 30: 179-196. DISA 0.1646 0 0
[5] Jin Wang, S. Joe Qin. A new subspace identification approach based
on principal component analysis [J]. Journal of Process Control 表2 ICA和DISA监控对故障4的漏检率
(S0959-1524), 2002, 12: 841-855. SPE I2 Ie2
[6] 张建明,林亚平,吴宏斌,杨格兰(独立成分分析的
研究进展[J](系
ICA 0.1138 0.0125 0.1638
统仿真学报,2006,18(4):992-997. (ZHANG Jianming, LIN
Yaping,
13
DISA 0 0 0.0426
WU Hongbin, YANG Gelan. Advances of Research in Independent
图中可以看出,DISA与ICA的三个监控指标都能准确
分析图3,5及表1、2可知,基于DISA的监控灵敏性与
鲁棒性方面均优于ICA。经仿真验证,TE过程中变量在不
同时间的确具有相关性,对于TE过程的其它故障模式,
DISA也能达到比ICA更好的过程监控效果。
Component Analysis [J]. Journal of System Simulation 2006, 18(4): 992-997.)
[7] Aapo Hyv?rinen. Fast and robust fixed point algorithms for
independent component analysis [J]. IEEE Transactions on Neural Networks (S1045-9227), 1999, 8(3): 622-634. [8]
张道信,吴小培,沈谦,郭晓静(独立分量提取的在线算
法及其应用[J](系统仿真学报,2004,16(1):17-19. (ZHANG
Daoxin, WU Xiaopei, SHEN Qian, GUO Xiaojing. Online Algorithm of Independent Component Analysis and Its Application [J]. Journal of System Simulation, 2004, 16(1): 17-19.) [9]
郭晓静,吴小培,张道信,等(基于独立分量分析的脑电
消噪与特征提取[J](系统仿真学报,2003,15(2):287-289.
14
(GUO Xiaojing, WU Xiaopei, ZHANG Daoxin, KONG Min, FENG Huanqing. Removing Artifacts and Extracting Patterns in EEG Based on ICA [J]. Journal of System Simulation, 2003, 15(2): 287-289.)
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[8] 王颖, 谢剑英. 一种自适应蚁群算法及其仿真[J]. 系统
仿真学报.
2002, 14(1): 31-33.
4 结论
在基于矢量峭度的独立子空间分析理论上,提出了一种
DISA监控方法。该方法利用监控过程的序列相关,补充
了ICA监控方法在变量的时间域信息利用方面的不足。以
TE过 程为仿真实例,证实了DISA具有比ICA更好的灵敏
15
性与鲁棒性。
参考文献:
[1]
杨英华,吴英华,陈晓波,秦树凯(基于独立源分析的过
程监测
(上接第3588页)
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[5] Bullnheimer B, R F Hartl, et al. Applying the Ant System to the
Vehicle Routing Problem [C]// Meta-Heuristics: Advances and Trends
?3592?
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17
范文五:线性空间--子空间
线性空间子空间
子空间就是线性空间的非空集合对于其中的运算也构成一个空间,而span{ v1,v2...,vn }表示由v1,v2...,vn 张成的子空间,即v1,v2...,vn 所有可能的线性组合构成的子空间。子空间是空间,从而子空间存在着基底,子空间的任何一个基底张成的空间就是这个子空间本身。综上:子空间可以看成一些向量张成的空间,而由一些向量v1,v2...,vn 张成的空间span{ v1,v2...,vn }一定是一个子空间。
2、R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。按照子空间的判断方法,只需要验证对其加法和数乘运算封闭即可。这里的加法是向量加法,数乘是数和向量的数乘。
易知,对于过原点的直线来说,其上任意两点对应的两个向量(原点为起点,直线上的点为终点对应的向量)必共线,从而可知相加之后,起点仍选为原点,终点必落在原来的直线上,因此,对加法封闭。其次,对于数乘,很容易验证也封闭。
故,R3中的一条通过原点的直线是R3的子空间。
对于不过原点的直线,构不成子空间。
3、请用Rn空间为例子解释下子空间的定义或者是说概念。
这里关键是理解子空间的概念以及其判定方法:
只需要所给线性空间的非空子集合对于线性空间本身的两个运算:加法和数乘封闭即可!
比如:向量(0,0,。。。,0)本身构成Rn的一个零维子空间,
因为这个集合只有一个元素0,0+0=0,k0=0,所以对加法和数乘封闭。
向量(1,0,。。。,0)的倍数的全体就构成Rn的一个一维子空间,
因为这个集合的元素都是(1,0,。。。,0),易知
(1,0,。。。,0)的倍数相加仍是它的倍数,且任何一个数k乘以它的倍数仍是它的倍数, 即 k*d(1,0,...,0)=kd*(1,0,...,0)
所以对加法数乘封闭。
向量(1,0,...,0)和(0,1,0,...,0)的所有线性组合构成Rn的一个2维子空间等。
同样道理,可知对加法数乘都封闭。