范文一:2018年上海理工大学高等数学考研复试核心题库
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2018年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(一) ......................................................... 2 2018年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(二) ......................................................... 9 2018年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(三) ....................................................... 17 2018年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(四) ....................................................... 24 2018年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(五) ....................................................... 29
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2018年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(一)
特别说明:
1-本资料为学员内部使用,整理汇编了 2018考研复试重点题及历年复试常考题型。
2-资料仅供复试复习参考,与目标学校及研究生院官方无关,如有侵权、请联系我们立即处理。 ———————————————————————————————————————— 一、解答题
1. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 :
(1)
(2)
(3)
【答案】 (1)原方程可写成
令 即 有 则原方程成为 分离变量 , 得
积分得 即
代入 并整理 , 得通解
(2)由初始条件 x=0, y=1得 c=-l.于是所求特解为
令 有 则原方程成为 分离变量 , 得 积分得
将 代入上式并整理 , 得通解 代入初始条件 X=l, y=2, 解得 C=2.于 是所求特解为
(3)将原方程写成 令 有 则原方程成为
整理并分离变量 , 得 积分得
故 代入 并整理 , 得通解 以初始条件 x=l, y=l定出 C=l.故所求
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特解为
2. 若函数
恒满足关系式
就称为 k 次齐次函数,验证 k 次
齐次函数满足关系式
其中 f 存在一阶连续偏导数 . 【答案】 为简化计算 ,
可令 则
两边同时 t 求导 , 得
则上式对一切实数 t 都成立 . 令 , 得
.
3. 指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面:
(1) x=0; (2) 3y-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) ;
(5) y+z=1; (6) x-2z=0; (7) 6x+5y— z=0.
【答案】 (1) ~(7)的平面分别如图(a )?(g )所示 . (1) x=0表示 坐标面 . (2) 3y — 1=0表示过点 且与 y 轴垂直的平面 .
(3) 2x-3y-6=0表示与 z 轴平行的平面 .
(4)
表示过 z 轴的平面 .
(5) y+z=1表示平行于 x 轴的平面 . (6) x-2z=0表示过 y 轴的平面 . (7) 6x+5y-z=0表示过原点的平面
.
(a ) (b ) (c ) (d )
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(e ) (f ) (g )
图
4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 :
(1) x=l时 y=l;
(2) x=0
时
(3) x=0
时
(4)
x=0
时
【答案】 (1)原方程可以表示成伯努利方程
即
令 则
且原方程化为一阶线性方程
解得
将
代人上式 , 得
即原方程的通解 由初始条件
x=l, y=1, 得 C=l, 故所求特解为
(2)令
则原方程化为 分离变量并积分 得 即
代入初始条件 X=0,
得
从而有
于是
代入初始条件 x=0, y=0, 得 故所求特解为
(3
)在方程 两端同乘以
则有
即
于是
代入初始条件
得
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故有
即 并因 时 , 故上式开方后
取
分离变量并积分 得
代入初始条件 x=0,
得
故所求特解为
即
(4
)由原方程对应齐次方程的特征方程
解得
故对应齐次方程的通解
为
因
不是特征方程的根 , 故令
是原方程的特解 , 并代入原方程 , 得
比较系数得
故
且原方程的通解为
并有
代入初始条件 x=0, y=0
,
有
即
故所求特解为
二、计算题
5. 将下列函数展开成 x 的幂级数:
(1)
; (2) .
【答案】 (1)因
, 而
故
(2)因
范文二:上海理工大学_2009-2010_第二学期_高等数学_试卷(A)
2009-2010学年第二学期《高等数学 A 》试卷(A )
一 填空题
(1)已知 xy xe z =,则 =??x z =??y
z ; (2)空间曲线 ?
??=+=142
2y y x z 上点 ()5, 1, 1处的切线与 OX 轴正向的夹角 =α ; (3)与向量 ()1, 2, 1-=α平行的单位向量为 ;
(4)将积分 ()
d x y x f dy I y ??+=1
0022化为极坐标系下的二次积分 ; (5)若 L 是圆周 ()π20sin , cos ≤≤==t t a y t a x ,则 ()
=+L ds y x
22 (6) 设 ()u f 可微, 且 ()10='f , 则 ()224y x f z -=在点 ()2, 1处的全微分 ()=2, 1dz
二 计算下列各题:
(1) ()()()x y x xy 1
0, 0, 1lim -→; (2)已知 ??
? ??=x y xyf z , ()u f 可导,求 y z y x z x ??+??; (3)已知函数 ()y x z z , =由方程 z x e z xy +=+确定,求
y z x z ????, 。
三 求解下列各题:
(1)设 ()()()????+=
-+10
-100110, , 2x x dy y x f dx dy y x f dx I , ○ 1画出积分区域的图形; ○ 2交换该积分的积 分次序。 (2)求由曲面 222y x z +=及 2226y x z --=所围立体的体积。
四 计算下列积分 (1)求 ydx x dy xy I L 22-=
,其中 L 是依逆时针方向绕圆周 222a y x =+一圈的路径; (2)求 ??∑++=
zdxdy ydzdx dydz z I 2,其中 ∑为曲面 ()1001022≤≤--=z y x z 的上侧。
五 某厂要用铁板做成一个体积为 34m 的无盖长方体水箱, 问长、 宽、 高各取多少时, 才能使用料最省。 (要求用多元函数微分学知识求解)
六 平面 π过平面 041=+-z x :π和 052=++z y x :π的交线,且与平面 012843=+--z y x :π的夹角为 4
π,求平面 π的方程。
七 计算下列各题:
(1)判别级数 ∑∞=+1
3cos n n n n π是绝对收敛还是条件收敛,还是发散? (2)求幂级数 ∑∞=++11
1
n n n x 的收敛域与和函数;
(3)将 ()?????≤≤≤=πππx x x f 2, 020, 1 在 []π, 0上展开成余弦级数,并写出它的和函数。
范文三:2017年上海理工大学高等数学复试仿真模拟三套题
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2017年上海理工大学高等数学复试仿真模拟三套题(一) . ..................................................... 2 2017年上海理工大学高等数学复试仿真模拟三套题(二) . ..................................................... 7 2017年上海理工大学高等数学复试仿真模拟三套题(三) . ................................................... 14
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2017年上海理工大学高等数学复试仿真模拟三套题(一)
说明:本资料为2017复试学员内部使用,严格按照2017复试常考题型及难度全真模拟预测。 ————————————————————————————————————————
一、解答题
1. 设曲线L 的方程为
(1)求L 的弧长。
(2)设D 是由曲线L ,直线x=1,x=e及x 轴所围平面图形,求D 的形心的横坐标。 【答案】(1
)
。
(2)
2. 设D 是由曲线
,直线
及x 轴所围成的平面图形,V x ,V y 分别是D 绕x ,求a 的值。
轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积,若
【答案】
3. 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分,求这曲线方程.
,切点为(z ,y ). 依条件,切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y(x )别为2x 与2y ,于是切线的斜率
积分得代入初始条件
,即
。
,分离变量得
。
得C=6。故曲线方程为xy=6。
4. 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H(亨)和电源电压E=20sin 5tV (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后,电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意,有
,即
其中,记
,则
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故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯,可写成
二、计算题
5. 设在xOy 面上有一质量为M 的质量均匀的半圆形薄片,占有平面闭区域
,过圆心。垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ,OP=a。
求半圆形薄 片对质点P 的引力。
【答案】 积分区域
,于是
由于D 关于y 轴对称,且质量均匀分布,故F x =0。又薄片的面密度
所求引力为
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6. 求曲线
在对应于t=1的点处的切线及法平面方程。
【答案】曲线在对应于t=1的点位
,该点处的切向量
于是曲线在该点处的曲线方程为
即
所求法平面方程为
即
7. 求下列函数的导数:
【答案】(1)(2)(3)
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范文四:2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库
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2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(一) ......................................................... 2 2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(二) ......................................................... 9 2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(三) ....................................................... 15 2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(四) ....................................................... 20 2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(五) ....................................................... 25
2017年上海理工大学高等数学考研复试核心题库(一)
说明:本资料为学员内部使用,整理汇编了2017考研复试重点题及历年复试常考题型。 ————————————————————————————————————————
一、解答题
1. 设有一质量为m 的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=cv(其中C 为常数,v 为物体运动的速度,试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。)
【答案】根据牛顿第二定律,
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
,得
得
并依据题设条件,
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解(即下落的距离与时间的关系)为
2. 设二阶导数且
(1)
;(2)
是由方程。
。
,两边同时微分得
又
,则
故
。
所确定的函数,其中
具有
【答案】(1)由方程
(2)由(1)可得,
3. 验证形如程,并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
即
得
的微分方程,可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
,并
将
代入上式,
有
后,便是原方程的通解。
,可分离变量得
积分得
,代入
4. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
(l )曲线在点(x ,y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
(2)曲线上点P (x ,y )处的法线与z 轴的交点为Q ,且线段PQ 被y 轴平分.
,它在点(x ,y )处的切线斜率为y ',依条件,有y '【答案】(l )设曲线方程为y=y(x )=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
,
故该点处法线斜率为(2)设曲线方程为y=y(x ). 因它在点P (x ,y )处的切线斜率为y '.
,于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上,故点Q 的坐标是(-x ,0)方程为
,即微分
二、计算题
5.
求函数
在曲线
上点
处,沿曲线在
该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导数。
【答案】先求曲线在给定点的切线方向 因为
,所以曲线在点
。又
故
处的切线的方向向量可取为
6. 试确定积分区域D ,使二重积分达到最大值.
大于所围的
【答案】由二重积分的性质可知,当积分区域D 包含了所有使被积函数等于零的点,而不包含使被积函数平面闭区域时,此二重积分的值达到最大.
7. 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】(l )所给二次积分等于二重积
分
。
D 可改写为
,于是
(图1)
小于零的点,即当D 是椭圆
,其
中
图1 图2
(2)所给二次积分等于二重积
分
。
又D 可表示为
,因此
(图2)
(3)所给二次积分等于二重积分其中
,其
中
,
。
范文五:上海理工大学 2011-2012 第二学期 高等数学A 试卷(A)
2011-2012学年第二学期《高等数学 A 》试卷(A )
一 填空题
(1)已知 ()()5, 4, , 1, 2, 3--=-=x b a ,且 b a ⊥,则 =?b a ;
(2)设 ()22ln y x z +=,则 =??==11
y x x z
;
(3) ()()???-+=22022
030, , x R R R R
x dy y x f dx dy y x f dx I 在极坐标系下的累次积分为 (4) 设 L 是 xoy 平面上顺时针方向绕行的简单闭曲线, 并且 ()()12342=++-L
dy y x dx y x , 则 L 所围成的平面区域的面积为 ;
(5)已知 ()x f 是以 π2为周期的函数,在 (]ππ, -上的表达式为 ()x x f =,若 ()x f 展开成
Fourier 级数为 ()∑∞
=++1
0sin cos 2n n n nx b nx a a , 则 Fourier 级数的和函数 ()x s 的间断点的集合为: .
二 计算下列各题
(1)求通过 z 轴和点 ()2, 1, 3--A 的平面方程 .
(2)求曲面 4=+z y z x
e e 在点 ()1, 2ln , 2ln 处的切平面方程 .
(3)求点 ()4, 0, 2M 到直线
222111-=-+=-z y x 的距离 . (4)求函数 22
2y x e z +-=的极值 .
三 求解下列积分问题
(1)计算 ()??+D
dxdy y x ,其中 D 是顶点 ()()()0, 21, 10, 0B A O , , 的三角形区域 .
(2)计算 ???Ω
=
zdxdydz I ,其中 2220:y x a z --≤≤Ω. (3)计算 y x y
x L ++2
2, 122=+y x L :. (4)求平面 522=++z y x 被 x y x 222=+锁截有限部分的面积 .
四 求幂级数 ()n n n x n 211121∑∞=---的收敛域及和函数 .
五 判断下列级数的收敛性
(1) ∑∞=???? ?
?+1111n n n ; (2)
()∑∞=---11ln 211n n n n
. 六 已知 ()()?+L
dx y ydy x 232?在全平面上与路径无关,其中 ()x ?具有一阶连续导数,且 ()10=?.
(1)求 ()x ?;
(2) 对 于 ()1中 的
()x ?, 若 L 为 曲 线 x e y --=1上 相 对 于 x 从 0变 到 ∞+, 求 ()()+L
dx y ydy x 232?的值 .
七 设 ()t f 具有二阶连续导数, ()??
? ??=+=r f y x g y x r 1, , 22,且 ()()2111=''='f f , ,求 12222=???? ????+??r y g x g 的值 .
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