范文一:二倍角公式
二倍角公式
一、教学目标
1、知识与技能:
① 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
② 运用上述公式进行简单的三角函数式求值、化简。
2、过程与方法:
① 理解二倍角公式引入的意义。
② 研究三角函数化简求值的方法。
3、情感态度与价值观:
鼓励学生大胆猜想,勇于实践的探索精神。
二、教学重点
二倍角公式的推导、C 2α的两种变形公式及应用。
三、教学难点
理解“二倍”的实质并会简单应用。
四、教学方式
讲练结合,启发指导,做中学习。
五、教学课时
2课时
六、教学过程
(一)复习导引
复习和角公式(加法定理)sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β)
从一般化到特殊化。让学生把公式中的β替换成α,从而推导二倍角公式
(二)知识整理,帮助建构
1.让学生把公式中的β替换成α,从而推导二倍角公式
sin2α=2sinαcos α
cos2α=cos2α-sin 2α
2tan αtan2α= 1-tan 2α
2.利用平方关系sin 2α+ cos2α=1让学生推导余弦二倍角公式的其它两种形式:
cos2α=cos2α-sin 2α=2 cos2α-1
=1-2sin2α
3. 引导学生记住公式特征,特别是二倍与二次的关系。
4. 巩固公式,做几个简单的求值题。
sin(450+450) cos(300+300) tan(600+600)
(三)例题与练习(例题讲解,示范技能;做中学习,同化顺应)
π1. 例1. 已知cos α=-3/4, α∈(, π) ,求sin2α,cos2α,tan2α的值。 2
Note: 1)求tan2α所用的并非公式法, 而是定义法, 因此方法并不唯一, 提示学生下课后用其
他方法再算。
求cos2α所用的方法并不唯一, 提示学生下课后用其他两种方法再算
2)对于tan2α的两种求法,各有优劣。定义法易做但是如果说sin2α,或者cos2α
1
求错了,它一定错。反之,用公式法来做比较繁,但是出错少. 提示学生下课后用
其他方法再算。
π2. 学生练习:已知cos α=-12/13, α∈(, π) ,求sin2α,cos2α,tan2α的值 2
3. 例2. 用二倍角公式求下列各式的值: ππππ22(1)sin cos ; (2) cos8-sin 8 1212
12tan 22. 50
2π(3) -sin ; (4) 202121-tan 22. 5
(启发,让学生完成)
1ππ1π1解:(1)原式= (2sin cos )= sin = 21212264
(2)原式=cos(2?π
8)= cosπ2= 42
(3) 原式= 1π1π1π3(1-2sin2)= cos(2?)= cos = 212212264
(4) 原式=tan450=1
Note:1.有些形式作适当变形可以用公式,要注意系数的变化;
2.倍角公式具有相对性,比如4α可以表示2α的倍角,α可以表示成αα的倍角,可22
α的倍角,亦即如下列公式: 4
αααsin =2sincos 244
ααcos α=cos2-sin 2 22
2tan 2αtan4α= 1-tan 22α
4. 学生练习:P13,题1的5 个小题。 以表示成
5.学生练习(机动):化简cos 4x x -sin 4 22
6. 作业:P13,题6的4个小题
(四)课堂小结
本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白一般到特殊的思想,并能正确熟练的运用二倍角公式进行解题。
七、板书设计
二倍角公式
π sin2α=2sinαcos α 例1. 已知cos α=-3/4, α∈(, π) ,求sin2α,cos2α,tan2α的值。 2
ππ2tan αππ22 tan2α= 例2(1)sin cos ; (2) cos8-sin 812121-tan 2α
sin 2α+ cos2α=1
2 cos2α=cosα-sin α 22
1π2tan 22. 50
2 cos2α=cosα-sin α (3) -sin ; (4) 2121-tan 222. 5022
=2 cosα-1
2 =1-2sinα 2
八、教学后记 本节课的实施从整体上说是比较顺利的,教学目标基本达到.在我的引导下,学生的思维活动展开的比较充分,在课堂上学生积极参与探索,学习的热情较高,在对公式的理解,思想方法分析能力, 逻辑的体会,以及运算推理能力的提高等方面都有较大的进步。针对上课情况反映出来的问题,现在我谈谈在上完这节课之后的感想,作一反思,以便更好的服务于课堂教学。本次课堂最大的不足就是时间安排欠缺,为了不超时,最后的一个公式逆运用的相关例题没有进行讲解,留待下次在讲,影响了本次课的整体效果,对学生没有放手,没有发挥学生的学习的主动性,应多多将问题交给学生自主独立思考,让学生更能体会学习数学的乐趣。
3
范文二:二倍角公式
§1两角和与差的三角函数
教学目标:1、通过推导两角差的余弦公式,体会向量与三角函数的联系
2、掌握两角和差的余弦,能正确运用这些公式进行简章的三角函数式的
化简、求值和恒等式的证明。
教学重、难点:两角差角的余弦公式的推导 教学过程: 一、问题情境:
1、情境:由向量的数量积运算法则可知:
cos x +sin x =(cosx ,sin x ) ?(1,1)
(cosx ,sin x ) ?(1,1)=θ=θ
其中θ为向量(cosx ,sin x ) 与向量(1,1)的夹角,于是有
cos x +sin x =x -)
4
π
π
cos(x -) 可以用x , 的三角函数值来表示
44
π
2、问题:cos(α-β) 能否用α的三角函数与β的三角函数值来表示呢? 二、学生活动
OP 1=(cosβ,sin β), OP 2=(cosα,sin α) OP 1?OP 2=
OP 1?OP 2=|OP 1||OP 2|cos(β-α)
三、数学建构
1、两角差的余弦公式:cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β C α-β 两角和的余弦公式:cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β C α+β 思考:用“-β”代替“β”的换元法体现在图形上具有什么几何意义?
四、数学运用:
例1、利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式 (1)cos(
例2、利用两角和(差)的余弦公式,求cos750,cos150,sin150, tan150
例3、已知sin α=
π
-α) =sin α (2)sin(-α) =cos α 22
π
2π33π
, α∈(, π),cos β=-, β∈(π, ) ,求cos(α+β) 的值。 3252
111
) ,且cos α=,cos(α+β) =-,求β的值 2714
11
(2)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求cos(α-β) 的值
231212
(3)已知cos(α-β) =-,cos(α+β) =,且
1313
π3π
α-β∈(, π), α+β∈(, 2π) 求cos 2α,cos 2β
22
例4、(1)已知α, β∈(0,
练习:(1)在三角形ABC 中,若sin A sin B
A 、内部 B 、外部 C 、一边上 D 、不确定
π
44
(2)cos(α+β) =,cos(α-β) =-, a =(cosα,sin α), b =(cosβ,sin β)
55
则a ?b =
(3)y =sin x -cos x , x ∈R 的值域为 五、小结与作业:
§1 两角和与差的余弦作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
5π
) = ( ) 1、cos(2x -
2
A 、 sin 2x B 、 -sin 2x C 、 cos 2x D 、 -cos 2x
2、sin 200
cos500
-sin 700
cos 400
= ( A 、
12 B 、 -12 C 、
D 、
3、已知sin α=35,cos β=12
13
,cos(α-β) 的值 ( A 、 63336365
B 、 ±65 C 、 ±65或33633365 D 、±65或±65
二、填空题
4、cos 240
cos360
-cos660
cos540
=5、cos(α-β)cos(α+β) +sin(α-β)sin(α+β) 6、cos580
sin370
+sin1220
sin530
=
7、cos(π+θ) +cos(π
33
-θ) =
8、已知sin α=1517, α∈(π2, π) ,则cos(π
3
-α) = 三、解答题
9、(1)α, β∈(0,π
2),sin α=35,cos β=5
13求cos(α+β) (2)sin α=23,cos β=-3
4
, α, β在第二象限,求cos(α-β)
)
)
10、
π
2
<><>
3π123
,cos(α-β) =,sin(α+β) =-,求cos 2α,cos 2β 4135
11
、α, β∈(0,
π
2
), tan α=α+β) =-
11
,求cos β 14
12、已知cos(α+β) =
11
,cos(α-β) =,求tan α?tan β35
§2两角和与差的正弦
教学目标:1、由两角和与差的余弦推导出两角和与差的正弦
2、利用两角和与差的正弦公式进行求值。 教学重点:sin(α±β) 的推导及应用。 教学难点:利用公式求值过程中的角的变换。 教学过程:
一、引入:问题:已知cos(α±β) ,如何求sin(α±β)
sin(α+β) =cos[-(α+β)]
2
二、建构数学:
π
sin(α+β) =sin(α-β) =三、数学应用: 例1、已知:sin α=
例2、已知cos(α+β) =
2π33π
, α∈(, π),cos β=-, β∈(π, ) ,求sin(α+β) 3252
54π
,cos β=, αβ∈(0,) ,求sin α 1352
练习:P 98 2、3、6、7 例3
、求y =
1sin x x 的最大值,周期。 2
练习:求下列函数的最值与周期
(1
)y x +cos x
(2
)y =
x -1
2
sin x 推广:y =a sin x +b cos x 的最值。
小结:
§2两角和与差的正弦作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题:
1、cos10cos50-cos80cos 40的值 ( )
A 、
11 B 、 - C
D 、
222、已知cos θ=-
123ππ
, θ∈(π, ) ,则sin(θ+) 的值 ( ) 1324
A 、
-
1 B 、
- C 、
D 、
26262626
c βo s (-
i n (α+) βc o s 3、若s α) s i n +β0β=i n (α2+) βs i n (+,则s 2α) -β=( )
A 、 1 B 、 -1 C 、 0 D 、 ±1
4、已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m ,且β为第三象限角,则cos β=
( )
A 、
B 、
C 、
D 、
5
、3sin x x =x +?), ?∈(-π, π) ,则?= ( ) A 、 -
π
6
B 、
π5π5π C 、 - D 、
666
二、填空题 6、α, β∈(0,
π
35
),sin α=,cos β=,则sin(α+β) =2513
7
、y =x +cos x 的最大值 对称轴方程 8、0<>
π
34
<><π,sin α=",cos(α+β)" =-,则sin="" β="">π,sin>
11tan α
,sin(α-β) =,则=210tan β
9、sin(α+β) =
三、解答题:
10、已知sin(α+β) =a ,sin(α-β) =b ,求证: sin αcos β= 11、已知
1
(a +b ) 21
cos αsin β=(a -b )
2
π
4
<><>
π
2
且sin(α+β) =
412,cos(α-β) =,求513
cos 2α,sin 2α, tan 2α
12
、已知:a =-1), b =(sinx ,cos x ), x ∈R , f (x ) =a ?b
(1)求f (x ) 的表达式
(2)求f (x ) 的周期、值域、单调区间。
§3两角和与差的正弦(二)
教学目标:比较灵活运用和与差的三角函数进行化简、求值、证明
教学重点:利用公式化简与证明、求值 教学难点:同上
教学方法:启发引导体会化归思想的运用 教学过程:
复习:cos(α±β) =
(±β=) s i n α
例1、 求证:
练习:求证:(1)cos(α+β)cos(α-β) =cos (2)sin(α+β)sin(α-β) =sin
例2、已知sin β=m sin(2α+β) 其中m ≠1, α≠k π+求证:tan(α+β) =
22
sin(2A +B ) sin B
-2cos(A +B ) =
sin A sin A
α-sin 2β
α-sin 2β
π
2
, α+β≠k π+
π
2
,
1+m
tan α 1-m
2cos100-sin 200
例3、求的值。
cos 200
例4、已知sin(α+β) =
练习:已知sin α+sin β=
课堂小结:
21tan α,sin(α-β) =-,求的值。 35tan β
11
,cos α-cos β=,求cos(α+β) 23
§3两角和与差的正弦(二)作业
班级 姓名 学号 得分
一、填空题
1、?
ABC 中,若sin A =
2、?ABC 中,若cos A =sin(A +B ) =B =412,cos B =,则cos C =513
353、?ABC 中,若sin A =,cos B =,则cos C = 513
α-2sin(-α) 4
、= 2sin(+α) α3
sin120+cos300sin180
= 5、cos120-sin 300sin180
6、?ABC 中,若2cos B sin A =sin C ,则?ABC 的形状一定是
7、已知cos α+cos β+cos γ=0,sin α+sin β+sin γ=0,则cos(α-β) =
二、解答题
8、已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,求sin(α+β)
π
sin 70+cos150sin80
9、计算: 000cos 7-sin15sin8
10、已知α, β∈(0,π3),sin α=x ,cos β=y ,cos(α+β) =-,求函数y =f (x ) 的25
解析式,并求其定义域。
πf (x ) =-a ?b +2a +b , x ∈[0,]11
、已知a =(a ), b =(cos2x ,sin 2x ) 若函数4
且f (x ) 值域为[-5,1],求a , b 的值。
§4两角和与差的正切(一)
教学目标:1、两角和与差的正切公式及其应用
2、运用公式解决问题,进一步体会化归思想的作用
教学重点:两角和与差的正切公式的推导及运用
教学难点:运用公式化简、求值、证明
教学方法:启发引导、探究
教学过程:
一、复习引入:
求sin150,cos150, tan150
如何用α, β的三角函数值表示tan(α+β), tan(α-β) 的值
二、建构数学
tan(α+β) =tan(α-β) = 求tan 750, tan1050
三、数学应用
例1、已知tan α, tan β是x +5x -6=0的两根,求tan(α+β)
2
1+tan150
=例2
、求证明:1-tan150
练习P 104 1、2、3、4、5
例3、α+β=π+k π, k ∈Z ,求证:(1+tan α)(1+tan β) =2 4
练习:tan100tan 2000+tan 200) 的值
例4、三个相同的正方形相接,求证:α+β=π
4
课堂小结:
§4两角和与差的正切(一)作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1、tan(-1650) 的值 ( )
A 、
2 B 、
2 C 、
2 D 、
2
12, tan(α-β) =-,则tan(β-2α) = ( ) 25
1111A 、 B 、 - C 、 D 、 - 128812
2π1π3、若tan(α+β) =, tan(β-) =,则tan(α+) = ( ) 5444
131331A 、 B 、 C 、 D 、 18222262、已知tan α=
4、tan 6730' -tan 2230' = ( )
A 、 1 B 、
二、填空题 00 C 、 2 D 、 4
sin150+cos150
= 5、sin150-cos150
6、已知A =20, B =25,则(1+tan A )(1+tan B ) =7、(1+tan1)(1+tan 2)(1+tan3) (1+tan 44)(1+tan 45) = 0000000
tan 550-tan 3850
8、=001-tan(-305) tan(-25)
三、解答题
9、已知m =tan(α+β), n =tan(α-β) ,且mn ≠1,求证:tan 2α=
m +n 1-mn
10、已知tan(α-
β1α1α+β) =, tan(β-) =,求tan 22232
11、已知tan α, tan β是方程3x +5x -7=0的两根,求下列各式的值
(1)tan(α+β) (2)
2sin(α+β) (3)cos 2(α+β) cos(α-β)
§5两角和与差的正切(二)
教学目标:利用tan(α±β) 公式进行三角函数式化简、求值、证明
教学重、难点:公式综合运用
教学方法:讲练结合
教学过程:
一、复习回顾
tan(α±β) =
tan α+tan β=tan α-tan β=二、例题选讲
例1、在斜三角形ABC 中,求证:tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C
一般地:A +B +C =n π, tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C
?ABC 中,tan A +tan B +tan C >0, ?ABC 形状为
例2、已知tan α=
例3
、求tan 25+tan3525tan35的值。
00001ππ, tan β=-2,0<><,>,><><π,α+β的值>π,α+β的值>
例4、两座建筑物AB 、CD 的高分别为9m ,15m ,从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD =45,求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD 。 0
C
A
450-B
练习P 105 3、4 P 106 4
§5两角和与差的正切(二)作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1
、tan100tan 2000+tan 200) 的值 ( )
A 、
B 、 1 C 、
D 、
2、?ABC 中,已知tan A , tan B 是方程3x 2+8x -1=0的两个根,则tan C =(
A 、 2 B 、 -2 C 、 4 D 、 -4
3、tan α, tan β
是方程x 2++4=0两根且α, β∈(-π, π
22) ,则α+β为(
A 、 π
3 B 、 -2ππ2ππ2π
3 C 、 3或-3 D 、-3或3
二、填空题
4
=
5、已知tan 2α=2, tan(α-β) =-1,则tan(α+β) =
6、?ABC 中sin A =1,cos B =1
2,则tan (A +B ) =7、tan α=1
2,则tan(α+π
4) =8
、tan(π-θ) +tan(π+θ) +π-θ) tan(π
6666+θ) =
三、解答题
9、已知tan(α-β) =1
2, tan β=-1
7, α, β∈(0,π) ,求tan (2α-β)
) )
10、tan α, tan β是方程x -3x -3=0的两个实根,求2
sin 2(α+β) -3sin(α+β)cos (α+β)-3cos 2(α+β) 的值。
11、已知sin α=a sin(α+β)(a >1) ,求证:tan(α+β) =
sin β cos β-a
§6 二倍角的三角函数<一>
教学目标:1、能从和角公式中推导出倍角公式
2、能用倍角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式的证明
教学重、难点:二倍角公式的应用 教学过程:
一、问题情境
我们已经知道函数y =sin x 与y =sin 2x 的图像之间的位置关系(图略) 那么角α的三角函数与角2α之间有怎样的数量关系呢? 二、建构数学
对于和角公式S (α+β) , C (α+β) , T (α+β) 中,令β=α,我们会得到什么结论呢?
sin 2α=2sin αcos α S 2α
cos 2α=cos 2α-sin 2α C 2α tan 2α=
2tan α
T 2α 2
1-tan α
其中公式还可以变形为
cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
sin 2α=cos 2α=
上述公式称为二倍角公式 三、数学运用 例1、已知sin α=
练习:已知sin α=0.8, α∈(0,
第 21 页
12π
, α∈(, π) ,求sin 2α,cos 2α, tan 2α的值 132
π
2
) ,求sin 2α,cos 2α的值。
例2、计算
(1)sin375sin105-4cos 2230' (2)
练习:P 108 1 例3、求证:
练习:P 108 4
例4、若已知sin(
2
11
- 00
1+tan151-tan15
1+sin 2θ-cos 2θ
=tan θ
1+sin 2θ+cos 2θ
π
π1πsin 4α
+α)sin(-α) =, α∈(, π) ,求 44621+cos 2α
小结:
1、和角公式、倍角公式的关系 2、倍角公式
第 22 页
§6 二倍角的三角函数<一>作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题 1、已知sin α=
43
,cos α=-,则2α是 ( ) 55
A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 2、已知sin(x -π
4) =3
5
,则s n
i 2x 的值等于 A 、
825 B 、 71625 C 、 25
3
的值是 A 、sin 2 B 、 -c o s 2 C 、
2 4、函数y =cos 2x -sin 2x +2sin x cos x 的最小值是 A 、
B 、
C 、 2 二、填空题
5、若tan x =2,则tan(
π
4
+2x ) =6、化简:2sin(450
+α)sin(450
-α) =7、设tan α=13,则12
sin 2α+cos 2
α= 8、已知cos 2θ=-13
,则sin 6θ+cos 6
θ=
三、解答题 9、已知tan(π
4
+θ) =3,求sin 2θ-cos 2θ-1的值。
第 23 页
( D 、 -1625
( D 、
( D 、 -2
)
)
)
444
,求sin α+cos α的值 5
1
(2)已知sin α+cos α=,求sin 2α的值
2
3π
, 2π) (3)已知α∈
(2β1α1
(4)已知tan(α-) =, tan(β-) =-,求tan(α+β) 的值。
10、(1)已知cos α=
222第 24 页
3
§7二倍角的三角函数(二)
教学目标:1、进一步掌握和运用倍角公式
2、掌握和运用降幂公式的运用 教学重、难点:降幂公式的运用。 教学过程: 一、复习与练习 1、完成下列公式
sin 2α=cos 2α=tan 2α= 2、sin α=
1αα
, 2π<><3π,sin +cos="">3π,sin>
二、新知
降幂公式:
cos 2α=
1+cos 2α1-cos 2α1-cos 2α
,sin 2α=, tan 2α= 221+cos 2α
2
三、例题选讲 例1、化简:sin (α-
例2
、求证:sin500(10) =1
第 25 页
π
) +sin 2(α+) -sin 2α 66
π
例3、已知α, β
为锐角,sin α=
,求α+2β的值 β=
1010
例4、在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个面积最大?
练习:P 110 1、 2
小结:1、降幂扩角公式
2、利用三角函数缩小角的范围
第 26 页
§7二倍角的三角函数(二)作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1、log 2(sin150cos150) 的值为 ( ) A 、 -1 B 、
1
2
C 、 2 D 、 -2 2、函数f (x ) =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为 ( A 、
π4 B 、 π
2
C 、 π D 、 2π 3、已知
5π2<><>
( A 、 s i α B 、 cos α22 C 、 -s i α2 D 、 -c o α
2
4、化简sin 4x 1+cos 4x ?cos 2x 1+cos 2x ?cos x
1+cos x
( A 、 1 B 、 -1 C 、 tan x D 、 tan x
2
二、填空题
5、(1)sin 2
150
-cos 2
150
= (2)sin150
cos150
= (2)2tan 22.501-tan 222.50 (4)sin150-cos150
=sin150+cos150
=6、sin 3αcos3αsin α-cos α
=7、等腰三角形底角的正弦为4
5
,则顶角的余弦为
第 27 页
) )
)
三、解答题 8、已知tan α=
11
, tan β=,且α, β都是锐角,求α+2β的值 73
9、已知半径为R 的圆中,内接矩形ABCD ,求 (1)矩形ABCD 的周长的最大值。 (2)矩形ABCD 的面积的最大值。
第 28 页
§8二倍角的三角函数习题课
教学目标:进一步提高学生思维能力、解决问题的能力
教学重、难点:公式的灵活运用。 教学过程: 一、知识点回顾 1、倍角公式: 2、降幂扩角公式: 二、例题选讲 例1、计算
(1)sin18cos36 (2
)
1 -
sin100cos100
317π7πsin 2x +2sin 2x
451241-tan x
π
例3、化简:
(1)cos 20cos 40cos60cos80 (2)cos αcos2αcos4α cos2
第 29 页
n
α (α≠k π, k ∈Z )
例4、(1)求证:sin 3α=3sin α-4sin α (2)求证:cos3α=4cos α-3cos α (3)利用sin36=cos54,求sin18的值。
3
3
x x π x πx π
例5
、已知向量a =(2cos, tan(+)), b =+), tan(-)) ,令
2242424
f (x ) =a ?b ,求函数f (x ) 的最大值、最小正周期,并写出f (x ) 在[0,π]上的单调
区间。
小结:
第 30 页
§8二倍角的三角函数习题课作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
(cos1、
π
12
-sin
π
12
) ?(cos
π
12
+sin
π
12
) = ( )
A 、
2、若
11 B 、 - C 、 D 、
221+c o s α
o s αs n i -α等于 ( )=2,则c
s n i α1123
A 、 B 、 - C 、 D 、
5555
3、化简(sin
α
+cos ) 2+2sin 2(-) 的结果为 ( )
2242
απα
2+sin α B 、2α-A 、 2 C
、
π
) D
、2α+)
44
π
4、已知等腰三角形ABC 的腰为底的2倍,则顶角A 的正切值是 ( ) A 、
B 、
C 、
D 、
二、填空题 5、(1) sin
5ππ
cos = (2)sin100cos 200cos 400= 1212
6、设M =sin50+cos50, N =cos70+sin70,则M , N 的大小关系为 7、函数y =
1-cos x
图象的对称中心是
sin x
4
4
8、若等式sin α+cos α=m 能够成立,则m 的取值范围
三、解答题
9、?ABC 的三个内角为A , B , C ,求当A 为何值时,cos A +2cos 大值,并求出这个最大值。
10
、已知函数y =
B +C
取得最 2
1cos 2x x cos x +1, x ∈R 2(1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合 (2)求该函数的单调增区间
(3)该函数的图象可由y =sin x , x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到?
§9 几个三角恒等式
教学目标:1、通过和差化积公式和积化和差公式的推导,让学生经历数学探索
和发现过程,激发数学发现的欲望和信心 2、提高三角变换的能力
教学重、难点:三角变换的能力的提高 教学过程: 一、知识点回顾
s (α+β) = s (α-β) = c (α+β) = c (α-β) =
二、新课讲授
1、由s (α+β) 与s (α-β) 中,你能否得到sin α?cos β的表达式吗?
1
sin α?cos β=[sin(α+β) +sin(α-β)]
2
类比可得,
上述为积化和差公式。
注意:重过程推导,不需记忆结论。
2、问题:能否将等式sin(α+β) +sin(α-β) =2sin α?cos β变成sin α+sin β的形式吗? 推导过程:
故,sin α+sin β=2sin 类比可得,
α+β
2sin
cos
α-β
2
sin α-sin β=2cos
α+β
2
α-β
2
22α+βα-β
cos α-cos β=-2sin sin
22
上述公式称为和差化积公式。
三、例题选讲 例1.设tan
cos α+cos β=2cos
α+β
cos
α-β
α
2
=t
2t 1-t 22t
,cos α=, tan α=(1) 求证:sin α= 1+t 21+t 21-t 2
2
(2) 当t =2时,利用以上结果求3cos
α
2
-2sin α+sin 2
α
2
的值。
sin α+11α1
=tan +
1+sin α+cos α222
b
(2)已知tan θ=,求证:a cos 2θ+b sin 2θ=a
a
例2.(1)证明:
§9 几个三角恒等式的作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题 1. 已知cos(α+β) =
44,cos(α-β) =-,o s c αo s β的值为 ( )则c 55444
A 、 0 B 、 c 、 0或 D 、 0或±
552、当3π<><>
的化简结果为 A
、
α
απ2
+
π
4
) B
α
+π24) C
、2-4) 3、化简tan αtan 2α
tan 2α-tan α
的结果为 A 、 s i n α
2 B 、cos 2α C 、 s i n α D 、二、填空题 4、已知tan(
π
4
+θ) =3,则sin 2θ-2cos 2θ=
5、f (tanx ) =sin 2x ,则f (-2) =sin 706、
+cos150sin80
cos 70-sin150sin80
=三、解答题
7、证明:(1)cos αcos β=1
2
[cos(α+β) +cos(α-β)] (2)cos α-cos β=-2sin α+β2sin α-β
2
5
( )
D
α-π
24
)
( )
cos α
8、(1
)证明半角公式:sin
α
2
=α =20
(2)已知cos θ=-,180<><>
35θθ
和cos 的值。
22
§10本章复习
教学目标:1、理顺本章知识结构
2、对公式要能灵活运用,提高学生分析问题解决问题的能力。
教学重、难点:1、知识体系的梳理 2、和差角公式、倍角公式的推导及其应用。
教学过程:
一、复习与训练:
1、三角公式的推导过程图:参照P 116 2、基础训练
(1)sin80cos 25+sin10sin 25= (2)已知
sin α+cos α
=2,则sin 2α=
sin α-cos α
(3
=
tan αtan 2α
=tan 2α-tan α
43
(5)若cos(α+β) =,cos(α-β) =-,则tan αtan β=
55
(4)二、例题选讲
例1、(1
)化简:cot 20cos10tan70-2cos40 (2)已知sin 2α=a ,cos 2α=b ,求tan(α+
π
4
) 的值。
例2、已知α, β为锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0 求α+2β的值。
例3、已知-π
2
5
(1)求sin x -cos x 与tan x 的值
3sin 2x x x x (2)求
-2sin cos +cos 2
tan x +cot x
的值。
例4、设函数f (x ) =-
11-2cos 2x +2a cos x +2a π2(0≤x ≤2
) (1)求f (x ) 的最大值M (a )
(2)若f (x ) 的最大值为3,求a 的值。
备
例
:
例
5
、
在
?ABC 中,
c o A +s
2B +c o C =s -2
-c A o B
小结:
求证C
:
§10本章复习作业
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1、sin15cos15-sin 255sin15的值为 ( )
11 C 、 - D 、
222
1
n t α的值为 ( )2、已知sin(α+β) =1, tan β=,则a 311
A 、 -3 B 、 - C 、 3 D 、
33
α+s i βn +s γi =n 0α, +c o s β+c o s γ=α(-β ) 3、已知s i n ,则c o s
A 、 0 B 、
( )
A 、 1 B 、 -1 C 、
11
D 、 - 22
cos 2x
4、当0
4cos x sin x -sin 2x 11
A 、 B 、 C 、 2 D 、 4
42
π
二、填空题
5、函数y =sin 2x cos 2x 的最小正周期为121
sin α+sin 2α=42
sin 2αcos α
?= 7、化简:
1+cos 2α1+cos αsin150cos50-sin 200
= 8、求值000
cos15cos5-cos 20
6、已知tan α=2,则三、解答题
A B B C C A tan +tan tan +tan tan =1 222222
(2)已知:tan A +tan B +tan A tan B =1,求角C 的度数
9、在?ABC 中(1)求证:tan
10、已知sin α+sin β=a ,cos α+cos β=b ,求cos(α-β) 的值。
11
、已知sin αα=m -1,求实数m 的取值范围。
12、已知函数f (x ) =sin x +2sin x cos x +3cos x , x ∈R (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的最大值
(3)由函数y =sin x 怎样变换得到函数y =f (x ) 的图象。
2
2
范文三:二倍角公式
二倍角的正弦〃余弦和正切
潘 佩 明
课题:二倍角的正弦〃余弦和正切
教学目标:1、掌握二倍角的正弦·余弦和正切。
2、运用二倍角公式进行简单三角函数式的求值·化简及
时性恒等式的证明。
3、通过倍角公式的推导,培养学生的逻辑推理能力。
教学重点:二倍角公式及其应用。
教学难点:二倍角公式,同角三角函数的基本关系式,诱导公式
的综合运用。
教学方法:自学,点拔,红习相结合的方法。
教学手段:投影仪辅助教学。
教学过程:
一、 新课引入:
sin2α=2sinαcos α
cos2α=cosα-sin α
tan2α=
观察:上面三个公式的左边是关于角α的二倍角的正弦·余弦和正切函数,右边是关于单角α的三角函数,我们把这组公式叫做二倍角的正弦·余弦和正切公式
二、 学习新课
1、 展示学习目标
2、 请同学们参照阅提纲阅读课本P49
阅读提纲
(1) cos2α=2cos α-1与cos2α=1-2sin α是怎样推导出来的?
(2) 倍角公式与和角公式有怎样的关系? 2222
(3) 倍角公式中α的取值范围是什么?
(4) 倍角公式的作用是什么?
3、 通过提问的方式,解决上述问题,检查自学情况。
第一大题大多数同学能自行解决,通过学生回答,教师板书公式,指出三倍角的余弦公式共有三个,并分析各自的特点。通过第二个问题的解答,使学生明确倍角公式与和角公式的关系(倍角公式是和角公式的一种特殊情况)。由和角公式中角的取值范围及倍角公式与和角公式的关系,学生不难回答第(3)个问题,使学生在运用公式时注意角α的取值范围。第(4)个问题强调倍角公式的作用,运用倍角公式,可用单角的三角函数表示二倍角的三角函数,它是单角与二倍角的三角函数相互转化的桥梁,在三角函数式求值·化简·证明中起着至关重要的作用。同时教师说明,对二倍角应作广义的理解,诸如4α是2α的二倍角。α是α/2的二倍角,α/3是α/6的二倍角等等,熟悉两个角的二倍关系是运用二倍角公式的前提。
达标练习(一)
不查表,求下列各式的值:
(1)2sin15·cos15 (2)cos -sin
(3) 2cos -1 (4)1-2sin 75
(5)2tan22.5/(1-tan22.5)
4、 通过上题,同学们基本上掌握了公式的逆用,请同学们阅读课本P.50例1、
例2,学习如何运用倍角公式进行求值和恒等证明。
5、 检查自学情况,强调应注意的问题。
例1、 例2难度不大,学生自学没有多大障碍,但为了引导学生掌握自学方法,强
调解题时应注意的问题,可设置如下几个问题:
(1) 例1中根据已知条件求cos α, 为什么根号前取负号?(强调运用公式
sin2α+cos2α=1求sin α或sin 或cos α时,注意根据角所在的象限确定所求值
的符号)。
(2) 例1中求tan2α为什么不运用二倍角的正切公式?(具体问题具体分析,
培养学生辩证唯物主义观点)。
(3) 例1还有其它解法吗?(一题多解,培养学生思维的灵活性)。
(4) 例2的证明过程中,运用了哪能些三角函数的公式?(强调公式的综合
运用)。
达标练习(二)
1、 已知cos φ=- ,且180<φ<270,求sin2φ,cos φ,tan2φ的值。
2、 求证: 00202200022
(1) sin θ(1+cos2θ)=sin2θcos θ
(2) 2sin( /4+α)sin( /4-α)=cos2α
(3) (1+sin2θ-cos2θ)/(1+sin2θ+cos2θ)=tanθ
6、 通过自学、自练,回答以下问题,归纳所学知识。
(1) 已知一个角的正弦值(或余弦值)和角所在的象限,运用二倍角公式可
求它的二倍角的正弦、余弦和正切值,如果已知一个角的正切值及角所在的象限,能否求出它的二倍角的正弦、余弦和正切值呢?由此可得出什么结论?(如果已知一个角的正弦、余弦和正切三个值中的一个以及角所在象限,不仅可求出其余的两个值,还可以求出这个角的二倍角的正弦、余弦和正切值。)
(2) 通过例题的学习和练习题的解答,我们在运用公式时应注意什么问题?
(不仅要掌握公式正逆两种运用,还要注意公式的综合运用。)
三、 达标检测:
(一) 填空题:
1、 sin 〃cos =
2、 (sin +cos )(sin -cos )=
3、 - =
(二) 选择题:
1、已知:sinx= , 则sin2( ) 的值为( )
(A ) (B ) (C ) (D )
2、若90<α<180,则 的值为( )
(A )sin α(B )cos α(C )-sin α(D )-cos α
四、 小结:
通过本节课的学习
1、 掌握地倍角公式的推导方法。
2、 掌握二倍角公式的结构特点以及公式(T 2a )成立的条件。
3、 在运用公式时,不仅要会直接运用公式,还要掌握公式的逆用。
五、 布置作业:P 练习4、5题,P 习题3题
515400
范文四:二倍角公式教案
【课题】 1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式(二)
【教学目标】
知识目标:
掌握二倍角公式,能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简. 能力目标:
学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高.
【教学重点】
本节课的教学重点是二倍角公式.
【教学难点】
难点是公式的推导和运用.
【教学设计】
明确二倍角的概念.二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数.二倍角余弦公式的三种形式同等重要,要分析这三种公式各自的形式特点.例9中,要想利用正弦二倍角公式,必须首先求出余弦函数值.求cos 2α时,使用的公式有利用同角三角函数关系、利用cos α和利用sin α的三类公式可供选择.选用公式cos 2α=1-2sin 2α的主要原因是考虑到sin α是已知量.例10中,讨论系求sin 求sin
α
2
角的范围是因为利用同角三角函数关
α
2
时需要开方.旨在让学生熟悉:只要具备二倍角关系,就可以使用公式.教材在
α
4
时,利用了升幂公式,由讨论
α
2
角的范围来决定开方取正号还是负号.虽然这里就
是实际上使用半角公式,但是教材与大纲中,都没有引入半角公式的要求,因此,不补充半角公式,只作为二倍角余弦变形的应用来介绍.例11是三角证明题.证明的基本思路是将角用半角来表示,再进行三角式的化简.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
1课时.(45分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】
范文五:二倍角公式学案
二倍角公式学案
学习目标:
? 知识与技能:掌握倍角公式的推导,明确α的取值范围;
? 过程与方法:能应用倍角公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明. ? 情感态度与价值观:通过本节学习,进一步培养提高学生的归纳推理能力,树立由一般到特殊的归纳以及探究意识.
教学重点:二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形。
教学难点:倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式
的综合应用.
一. 复习回顾
写出两角和的正弦、余弦、正切公式
sin(α+β) =cos(α+β) =
t an(α+β) =二. 合作探究 sin 2α=co s 2α=
t an 2α=
备注:
1、公式是用单角三角函数来表达二倍角的三角函数.
2、对“二倍角”定义的理解:不仅“2α”是“α”的二倍角,而且“α”是
α
2
的二 倍角,“4α”是“2α”的二倍角。
3、公式成立条件:S 2α、C 2α在任何条件下均成立,T 2α 成立,则需tan α有意义且1-tan 2α≠0,即α≠k π±ππ
4且α≠k π+2
,(k ∈Z ) 4、“倍角”与“二次”的关系:升角——降次,降角——升次 . 要用联系的观点看世界.
三. 典型例题
例1、已知 5π 求
sin α
=
13,α∈(2
,π),sin 2α, cos 2α, tan 2α
例2:不查表,求下列各式的值
1. sin 15 cos 15
=
2. cos 2π-sin 2π=2t an 822. 5
8
3. 4.
1-t an 222. 5
=1-2sin 275 =
四、归纳总结:
1、这节课你学到了什么知识?
¤倍角公式及应用; ¤它是和角公式的特例,它的发现与证明体现了一般到特殊的数学归纳推理方法。
2、通过这节课的学习,你有什么感悟?
¤今后要勇于探索、勇攀高峰,探索—无极限; ¤客观世界是联系的,不是孤立的; ¤学习既要独立思考,又需要团体合作。
五、思维拓展:
1. 若tan θ=3, 求sin 2θ-cos 2θ的值。
2. 求函数y =cos 2x -sin 2x 的周期和最值。
六、作业:
第一层次: P144
、练习 A 2 、 3 、 4 第二层次:练习B 2、3
一>一>