范文一:基本初等函数求导公式
基本初等函数求导公式
,,,1,(C),0,(x),,x (1) (2)
,,(sinx),cosx(cosx),,sinx (3) (4)
xxxx,,(a),alna(e)e, (5) (6)
11,,(logx),(lnx),axlnax (7) (8) ,
函数的和、差、积、商的求导法则
u,u(x)v,v(x) 设,都可导,则
,,,,,(u,v),u,v(Cu),CuC (1) (2) (是常数)
,,,uuv,uv,,,,,(uv),uv,uv,,, (3) 2vv,, (4)
反函数求导法则
I,x,,(y),(y),0y,f(x)y 若函数在某区间内可导、单调且,则它的反函数在对应
Ix区间内也可导,且
dy1,1dxdx,f(x),,dy,(y) 或
复合函数求导法则
y,f(u)u,,(x)f(u),(x)y,f[,(x)] 设,而且及都可导,则复合函数的导数为
dydydu,dxdudx或
常用积分公式表?例题和点评
? (为常数) kxkxcd,,k,
1,,,1? ,,,,,xxxcd(1),,,1
321112xxxcd,,特别~, , d2xxc,, dxc,,,2,,,3xxx
1? dln||xxc,,,x
xaxxx?, 特别~ dedexc,,axc,,,,lna
? sindcosxxxc,,,,
cosdsinxxxc,,? ,
12? dcscdcotxxxxc,,,,2,,sinx
12? dsecdtanxxxxc,,,2,,cosx
1x1?,特别~ darcsin(0)xca,,,darcsinxxc,,222,,aax,1,x
11x1?,特别~ darctan(0)xca,,,darctanxxc,,222,,aaax,1,x
11ax,? dln(0)xca,,,22,2aax,ax,
11xa,或 dln(0)xca,,,22,2axa,xa,
? tandlncosxxxc,,,,
? cotdlnsinxxxc,,,
,lncsccotxxc,,1,cscddxxx,,? x,,,lntan,csinx,2,
,lnsectanxxc,,1,secddxxx,,? x,,,,,,lntan,,ccosx,,,24,,,
(0)a,122? x,,dlnxxac,,,22,xa,
2(0)a,axx2222? ,,,,,,darcsinaxxaxc,22a
2a,(0)xa222222? xax,d,,,,,,,lnxaxxac,22
abxbbxsincos,,axaxesindebxxc,,,22,,ab,? ,bbxabxsincos,axax,ecosdebxxc,,22,,ab,,
123xn,?,递推公式, ,,dxc,,,,nn,12222212nn,,()2(1)()2(1)axnaaxna,,,,
跟我做练习
(一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式)
2axbxc,,例24 含根式的积分
22?[套用公式?] xxxxx,,,,,,45d(2)1d(2),,
x,2122,,,,,,,,(2)1ln(2)(2)1xxx 22
122? xxxxxxxx,,,,,,,45d(24)445d,,,,2
1222 ,,,,,,,,xxxxxxx45d(45)245d,,2
,(请你写出答案)
112,,,,,,,ln(2)(2)1xx? dd(2)xx,,,,,,22xxx,,,,45(2)1
[套用公式?]
21d(45)1xx,,xx1(24)4,,,,2dx? ddxx,2222,,,,22xxxx,,,,4545xxxx,,,,4545
,(请你写出答案)
2322xx,,22222? 54d3(2)d(2),,,,,,xxxxx,,,,arcsin3(2)x,,232
[套用公式?]
122? xxxxxxxx54d(42)454d,,,,,,,,,,,,2
1222 ,,,,,,,,,54d(54)254dxxxxxxx,,2
,(请你写出答案)
dd(2)xx,x,2?[套用公式?] ,,,arcsin222,,3543(2),,,,xxx
2(42)4d,,xx,,xxd11d(54)d,,xxx,,,2? 2222,,,,,2,25454,,,,xxxx5454,,,,xxxx,(请你写出答案)
1例25 求原函数. dx4,1,x
解 因为
424222222 1,x,(1,2x,x),2x,(1,x),(2x),(1,2x,x)(1,2x,x)
所以令
1AxBCxD,,(A,B,C,D为待定常数),,4221,xxxxx,,,,2121
22()(21)()(21)AxBxxCxDxx,,,,,,, ,22xxxx,,,,2121,,,,
22从恒等式(两端分子相等),可得方程组 (Ax,B)(x,2x,1),(Cx,D)(x,2x,1),1
B,D,1(常数项),
,A,2B,C,2D,0(一次项系数), ,,2A,B,2C,D,0(二次项系数),
,A,C,0(三次项系数),
1111A,,B,,C,,,D,解这个方程组(在草纸上做),得. 因此, 222222
1111xx,,,1222222 ,,ddxxdx422,,,1,xxxxx,,,,2121右端的第一个积分为
11x,1(22)21(22)d11xxx,,,222dddxxx,,, 2222,,,,4xxxxxxxx,,,,,,,,214221422121
21d(21)11xx,,,,dx(套用积分公式) 222,,44221xx,,,,21,,x,,,,,,22,,,,
112 ,,,,,ln(21)arctan(21)xxx4222
类似地,右端的第二个积分为
11,,x112222 dln(21)arctan(21)xxxx,,,,,,2,xx,,214222
所以
212111xx,,1,,,,,lnarctan(21)arctan(21)xx dx42,1,x42212222xx,,
212112xxx,,,,lnarctan(见下注) 221,x422122xx,,
tantan,,,tan(),,【注】根据,则 ,,1tantan,,,,
(21)(21)222xxxx,,,,, tanarctan(21)arctan(21)xx,,,,,,22,,2(1)1,,xx1(21)(21),,,xx因此,
2x arctan(21)arctan(21)arctanxx,,,,21,x
dxdx例26 求. [关于,见例17] ,,,,,,(01)(01),,,,1cos,x1cos,x
x解 令(半角替换),则 t,tan221,txxx22222, coscossin2cos111x,,,,,,,,2xx2221,t22sec1tan,22
2 dd(2arctan)dxtt,,21,t
于是,
d12dxt2dt,,d2t ,222,,,,,1,,,,,1t,,,,,1cos1(1)(1)xtt,,12,t,1,2,,1,1t
21,,x21,,,,arctantc,,arctantanc 22221,,1,11,,,,,
【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律,但不像求它们的微分或导数
yyx,()那样规范化.这是因为从根本上说,函数的导数或微分可以用一个“构造性”的公式
yxhyx()(),,,,d()dyyxx, 或 yx()lim,h,0h
确定下来,可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算,其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如,有理函数的原函数可能不再是有理函数,初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单,可是它的原函数不能表示成初等函数 ,譬如
x21esinx,xed,d,d,dxxxx等 ,,,,lnxxx
都不能表示成初等函数.因此,一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数,只是初等函数中的很小一部分.尽管如此,我们毕竟可以求出足够多函数的原函数,而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此,读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.
范文二:基本初等函数求导公式
基本初等函数求导公式 : (1) 0) (='C (2) 1
) (-='μμμx x
(3) x x cos ) (sin='
(4) x x sin ) (cos-='
(5)
x x 2
sec ) (tan=' (6)
x x 2csc ) (cot-=' (7) x x x tan sec ) (sec='
(8) x x x cot csc ) (csc-='
(9) a a a x
x ln ) (='
(10) (e) e x x '=
(11) a x x a ln 1
) (log=
'
(12) x x 1) (ln=
',
(13) 21) (arcsinx x -=
'
(14) 21) (arccosx x --
='
(15)
21(arctan) 1x x '=+
(16)
21(arccot) 1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则 设 ) (x u u =, ) (x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±) ( (2) u C Cu '=') ((C 是常数)
(3) v u v u uv '+'=') ( (4) 2
v v u v u v u '-'=
'
???
??
反函数求导法则
若函数 ) (y x ?=在某区间 y I 内可导、单调且 0) (≠'y ?,则它的反函 数 ) (x f y =在对应区间 x I 内也可导,且
) (1) (y x f ?'=
' 或
dy dx dy 1=
复合函数求导法则
设 ) (u f y =, 而 ) (x u ?=且 ) (u f 及 ) (x ?都可导, 则复合函数 )]([x f y ?=的导数为
dy dy du
dx du dx =或 () () y f u x ?'''=
上述表中所列公式与法则是求导运算的依据,请读者熟记.
2. 双曲函数与反双曲函数的导数 .
双曲函数与反双曲函数都是初等函数, 它们的导数都可以用前面 的求导公式和求导法则求出. 可以推出下表列出的公式:
范文三:基本初等函数求导公式
基本初等函数求导公式
' (1) (C ) =0 ' (3) (sinx ) =cos x
2
'(tanx ) =sec x (5)
μμ-1
'(x ) =μx (2)
' (4) (cosx ) =-sin x
2'(cotx ) =-csc x (6)
' (7) (secx ) =sec x tan x
x x
'(a ) =a ln a (9)
' (8) (cscx ) =-csc x cot x
x x
'(e) =e (10)
(11)
(loga x ) '=
1
x ln a
(lnx ) '=
(12)
1x ,
(arcsinx ) '=
(13)
1-x 2
11+x 2
(14)
(arccosx ) '=-
1-x 2
11+x 2
(arctanx ) '=
(15)
(arccotx ) '=-
(16)
函数的和、差、积、商的求导法则
设
u =u (x ) ,v =v (x ) 都可导,则
(u ±v ) '=u '±v ' (uv ) '=u 'v +u v '
(Cu ) '=C u '(C 是常数)
(1) (2)
(3)
'
?u ?u 'v -u v ' ?=2v v ?? (4)
反函数求导法则
若函数
x =?(y ) 在某区间I y 内可导、单调且?'(y ) ≠0,则它的反函数y =f (x ) 在对应
I 区间x 内也可导,且
dy 1=
1dx f '(x ) =
dy ?'(y ) 或
复合函数求导法则
设y =f (u ) ,而u =?(x ) 且f (u ) 及?(x ) 都可导,则复合函数y =f [?(x )]的导数为
dy dy du =
dx du dx 或
2. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出.
可以推出下表列出的公式:
倒数关系:tan α ·cot α=1 sin α ·csc α=1 cos α·sec α=1 商的关系:
平方关系:
两角和公式
两角和公式
cos (α+β)=cosαcos β-sin αsin β cos (α-β)=cosαcos β+sinαsin β sin (α+β)=sinαcos β+cosαsin β sin (α-β)=sinαcos β -cosαsin β
tan (α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tan αtan β) tan (α-β)=(tanα-tan β)/(
1+tanαtan β) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
编辑本段三角和公式
sin (α+β+γ)
=sinα·cos β·cos γ+cosα·sin β·cos γ+cosα·cos β·sin γ-sin α·sin β·sin γ
cos
(
α+β+γ
)
=cosα·cos β·cos γ-cos α·sin β·sin γ-sin α·cos β·sin γ-sin α·sin β·cos γ
编辑本段和差化积
sin θ+sinφ =2sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-
φ)/2]
和差化积公式
sin θ-sin φ=2cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cos θ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cos θ-cos φ= -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
编辑本段积化和差
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos (α-β)] /2 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cos αsin β=[sin(α+β)-sin (α-β)]/2
二倍角
正弦
sin2A=2sinA·cosA 余弦
半角公式
tan^2(α/2)=(1-cos α)/(1+cosα) sin^2(A/2)=[1-cos(A)]/2 cos^2(A/2)=[1+cos(A)]/2
半角公式
范文四:初等函数基本求导、积分公式
(1)(c ') =0
(2)(x α) '=αx α-1(α为任意实数)
(3)(a x ) '=a x ln a
(4)(e x ) '=e x
(5)(loga x ) '=
(6)(lnx ) '=1 x ln a 1 x
(7)(sinx ) '=cos x
(8)(cosx ) '=-sin x
(9)(tanx ) '=sec 2x
(10)(cotx ) '=-csc 2x
(11)(secx ) '=sec x tan x
(12)(cscx ) '=-csc x cot x
(13)(arcsinx ) '=1
-x
-1
-x 22 (14)(arccosx ) '=
(15)(arctanx ) '= 1 1+x 2
-1(16)(arc cot x ) '= 1+x 2
(1)?kdx =kx +C (k 是常数) (2)?x μdx =1x μ+1+C μ+1
1(3)?dx =ln |x |+C x
(4)?e x dx =e x +C a x
+C (5)?a dx =ln a x
(6)?cos xdx =sin x +C
(7)?sin xdx =-cos x +C (8)?
(9)?1=?sec 2xdx =tan x +C 2cos x 12=csc xdx =-cot x +C 2?sin x
1=arctan x +C 1+x 2(10)?
(11)?1
-x 2=arcsin x +C
(12)?sec x tan xdx =sec x +C
(13)?csc x cot dx =-csc x +C
(14)?sh x dx =ch x +C
(15)?ch x dx =sh x +C
(16)?tan xdx =-ln |cos x |+C
(17)?cot xdx =ln |sin x |+C
(18)?sec xdx =ln |sec x +tan x |+C
(19)?csc xdx =ln |csc x -cot x |+C 1dx =22a +x
1dx =(21)?22x -a
1dx =(22)?2a -x 2(20)?1x arctan +C a a 1x -a ln ||+C 2a x +a 1a +x ln ||+C 2a a -x
(23)?
(24)?x =arcsin +C a a 2-x 2dx
x 2±a 2
221=ln(x +x 2±a 2) +C (25)?
a 2x x a -x dx =arcsin +a 2-x 2+C 2a 2
范文五:初等函数基本求导、积分公式
初等函数基本求导公式
,,1, (c),0
,,,1,(x),,x(,,2,为任意实数,
xx,(a),alna,3,
xx,(e),e,4,
1,(logx),,5, axlna
1,,6, (lnx),x
,,7, (sinx),cosx
,,8,(cosx),,sinx
2,(tanx),secx,9,
2,(cotx),,cscx,10,
,,11,(secx),secxtanx
,,12,(cscx),,cscxcotx
1,(arcsinx),,13, 21,x
,1,(arccosx),,14, 21,x
1,(arctanx),,15, 21,x
,1,(arccotx),,16, 21,x
初等函数基本积分公式,《应用统计》必备知识~要求记住,
(1)(是常数) kkdx,kx,C,
1,,,1(2)xdx,x,C ,,1,
1(3) dx,ln|x|,C,x
xx(4) edx,e,C,
xaxadx,,C(5) ,lna(6) cosxdx,sinx,C,
(7) sinxdx,,cosx,C,
12(8)dx,secxdx,tanx,C ,,2cosx
12(9)dx,cscxdx,,cotx,C ,2,sinx
1dx,arctanx,C(10) 2,1,x
1dx,arcsinx,C(11) ,21,x(12) secxtanxdx,secx,C,
(13) cscxcotdx,,cscx,C,
sh x dx,ch x,C(14) ,
ch x dx,sh x,C(15) ,
tanxdx,,ln|cosx|,C(16) ,
cotxdx,ln|sinx|,C(17) ,
secxdx,ln|secx,tanx|,C(18) ,
(19) cscxdx,ln|cscx,cotx|,C,
11x(20) dx,arctan,C22,aaa,x
11x,a(21) dx,ln||,C22,2ax,ax,a
11a,x(22) dx,ln||,C22,2aa,xa,x
1xdx,arcsin,C(23) ,22aa,x
dx22,ln(x,x,a),C(24) ,22x,a
2axx2222a,xdx,arcsin,a,x|,C(25) ,2a2
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