范文一:因式分解知识点
因式分解
知识点
因式分解定义,提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤。
理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法,掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法,能把简单多项式分解因式。
多项式的因式分解,就是把一个多项式化为几个整式的积(分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止(分解因式的常用方法有:
(1)提公因式法
am,bm,cm,m(a,b,c), 如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式(
(2)运用公式法,即用
22a,b,(a,b)(a,b),
222 写出结果( a,2ab,b,(a,b),
3322a,b,(a,b)(a,ab,b)
(3)十字相乘法
2x,px,q,对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q,a+b=p的a,b,如有,
22ax,bx,c(a,0),则对于一般的二次三项式寻找满足 x,px,q,(x,a)(x,b);
2ax,bx,c,(ax,c)(ax,c).aa=a,cc=c,ac+ac=b的a,a,c,c,如有,则 1212122112121122(4)分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行(
(4)分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行(
分组时要用到添括号:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
练习:
1. 分解下列因式: 2n+1nn-1(1).10a(x,y),5b(y,x) (2).a,4a,4a (3).x(6x,1),1
12255(4).2ax,10ay,5by,6x (5).1,a,ab, b (6).xy,9xy 4
225 (7).,4x,3xy,2y (8).4a,a
解题指导:
221(下列运算:(1) (a,3),a,6a,9 (2) x,4,(x ,2)( x ,2)
111222222(3) ax,axy,a,a(x,ax) (4) x, x, ,x,4x,4,(x,2)其中是因式分解,1644
且运算正确的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 22(若x,2(m,3)x,16 是一个完全平方式,则m的值是( ) (A),5 (B)7 (C),1 (D)7或,1 2222223((x,y)(x,1,y),12,0,则x,y的值是 ; 4(分解下列因式: 3322(1).8xy(x,y),2(y,x) (2).x,2xy,x,xy (3).,3m,2m,4
2225(,、,、;为?ABC三边,利用因式分解说明,,,,2,;,;的符号
独立训练:
1(填上适当的数或式,使左边可分解为右边的结果:
12222(1)9x,( ),(3x, )( , y), (2).5x,6xy,8y,(x )( ,4y). 522(矩形的面积为6x,13x,5 (x>0),其中一边长为2x,1,则另为 。 23(把a,a,6分解因式,正确的是( )
(A)a(a,1),6 (B)(a,2)(a,3) (C)(a,2)(a,3) (D)(a,1)(a,6)
122222224(多项式a,4ab,2b,a,4ab,16b,a,a, ,9a,12ab,4b中,能用完全平方公式分解4
因式的有( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 25(若x,mx,n,(x,4)(x,3) 则m,n的值为( )
(A) m,,1, n,,12 (B)m,,1,n,12 (C) m,1,n,,12 (D) m,1,n,12.
2529(代数式y,my, 是一个完全平方式,则m的值是 。 4
xy2210(已知2x,3xy,y,0(x,y均不为零),则 , 的值为 。 yx
范文二:因式分解知识点
因式分解
概述
定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。 注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x^2+x=-x(3x-1)) 基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意:把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b) 2;
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
完全立方公式:a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b) 3.
公式:a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如:a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。
(3)分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握:
①等式左边必须是多项式;
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式:
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
竞赛用到的方法
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。 比如:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。 同样,这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。
2. x3-x2+x-1
解法:=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。
3. x2-x-y2-y
解法:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
图示如下:
×
c d
例如:因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如:x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5).
⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上,x2+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数;
2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数
⑻换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时,可以令y=x2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1).
也可以参看右图。
⑼求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x
3)……(x-xn) .
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,
则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1.
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
⑽图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn).
与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。
例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.
作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2
则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
⑾主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 ⑿特殊值法
将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105,
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 .
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值, 则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。
⒀待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4.
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).
也可以参看右图。
⒁双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y为未知数,其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解:图如下,把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
双十字相乘法其步骤为:
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+
2)(3y+6);
③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。
多项式因式分解的一般步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。”
几道例题
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.
解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(补项) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33:
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).
(分解因式的过程也可以参看右图。)
当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。
3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。
分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a、b、c是△ABC的三条边,
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0,
即a=c,△ABC为等腰三角形。
4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
因式分解四个注意:
因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考
例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误
例2把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的错误。 考试时应注意:
在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的。
因式分解的应用
1、 应用于多项式除法。
2、 应用于高次方程的求根。
3、 应用于分式的运算。
考查题型:
1.下列因式分解中,正确的是( )
12122(A) 1- x–2 x – 2 = - 2(x- 1) 44
(C) ( x- y ) –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
22(D) x –y – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2222.下列各等式(1) a- b = (a + b) (a–b ),(2) x–3x +2 = x(x–3) + 2
(3 ) 111122 2-2-( x - ) 2- x –y ( x + y) (x – y ) x x23
从左到是因式分解的个数为( )
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
23.若x+mx+25 是一个完全平方式,则m的值是( )
(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
24.若x+mx+n能分解成( x+2 ) (x – 5),则m= ,n= ;
25.若二次三项式2x+x+5m在实数范围内能因式分解,则m= ;
26.若x+kx-6有一个因式是(x-2),则k的值是 ;
7.把下列因式因式分解:
3222(1)a-a-2a (2)4m-9n-4m+1
222 (3)3a+bc-3ac-ab (4)9-x+2xy-y
8.在实数范围内因式分解:
222(1)2x-3x-1 (2)-2x+5xy+2y
考点训练:
1. 分解下列因式:
2n+1nn-1(1).10a(x-y)-5b(y-x) (2).a-4a+4a
3(3).x(2x-y)-2x+y (4).x(6x-1)-1
122(5).2ax-10ay+5by+6x (6).1-a-ab- b 4
*(7).a+4 (8).(x+x)(x+x-3)+2
5522(9).xy-9xy (10).-4x+3xy+2y
52(11).4a-a (12).2x-4x+1
22(13).4y+4y-5 (14)3X-7X+2
解题指导:
1.下列运算:(1) (a-3)=a-6a+9 (2) x-4=(x +2)( x -2)
121122222(3) ax+axy+a=a(x+ax) (4) x+ =x-4x+4=(x-2)其中是因式分解,且运算正确1644
的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
22.不论a为何值,代数式-a+4a-5值( )
(A)大于或等于0 (B)0 (C)大于0 (D)小于0
23.若x+2(m-3)x+16 是一个完全平方式,则m的值是( )
(A)-5 (B)7 (C)-1 (D)7或-1
2222224.(x+y)(x-1+y)-12=0,则x+y的值是 ;
5.分解下列因式:
366(1).8xy(x-y)-2(y-x) *(2).x-y
32(3).x+2xy-x-xy *(4).(x+y)(x+y-1)-12
222(5).4ab-(1-a)(1-b) (6).-3m-2m+4
33*4。已知a+b=1,求a+3ab+b的值
2225.a、b、c为⊿ABC三边,利用因式分解说明b-a+2ac-c的符号
26.0<a≤5,a为整数,若2x+3x+a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a
独立训练:
2222331.多项式x-y, x-2xy+y, x-y的公因式是 。
2.填上适当的数或式,使左边可分解为右边的结果:
12222(1)9x-( )=(3x+ )( - y), (2).5x+6xy-8y=(x )( -4y). 5
3.矩形的面积为6x+13x+5 (x>0),其中一边长为2x+1,则另为 。
24.把a-a-6分解因式,正确的是( )
(A)a(a-1)-6 (B)(a-2)(a+3) (C)(a+2)(a-3) (D)(a-1)(a+6)
122222225.多项式a+4ab+2b,a-4ab+16b,a+a-12ab+4b中,能用完全平方公式分解因式的有4
( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
6.设(x+y)(x+2+y)-15=0,则x+y的值是( ) 222422
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5
27.关于的二次三项式x-4x+c能分解成两个整系数的一次的积式,那么c可取下面四个值中的( )
(A) -8 (B) -7 (C) -6 (D) -5
28.若x-mx+n=(x-4)(x+3) 则m,n的值为( )
(A) m=-1, n=-12 (B)m=-1,n=12 (C) m=1,n=-12 (D) m=1,n=12.
2529.代数式y+my+是一个完全平方式,则m的值是 。 4
xy2210.已知2x-3xy+y=0(x,y均不为零),则 + 的值为 。 yx
11.分解因式:
222(1).x(y-z)+81(z-y) (2).9m-6m+2n-n
222242*(3).ab(c+d)+cd(a+b) (4).a-3a-4
4422*(5).x+4y *(6).a+2ab+b-2a-2b+1
12.实数范围内因式分解
2222(1)x-2x-4 (2)4x+8x-1 (3)2x+4xy+y
范文三:因式分解知识点
一、知识要点:
1、因式分解的意义:把一个多项式化成几个整式的积的形式, 叫做多项式的因式分解。
注意:因式分解与整式乘法的联系与区别。 如:()()b a b
a
b
a -+
=
-2
2
属于因式分解, ()()2
2b
a
b
a
b
a -
=
-
+属于整式乘法。
2、因式分解的方法:
(1)提取公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公 因式提到括号外面, 将多项式写成因式乘积的形式。 这种分解因式的 方法叫做提取公因式法。即:
(). c
b
a
m
mc
mb
ma +
+
=
+
+
(2)运用公式法:如果把乘法公式反过来应用,就可以把多项式 写成积的形式,达到分解因式的目的。这种方法叫做公式法。如:① 平方差公式 :()()b
a
b
a
b
a -
+
=
-2
2
② 完全平方和(差)公式 :()2
2
22b
a
b
ab
a ±
=
+
±
(3)分组分解法:运用加法交换律、结合律把多项式分组后, 应用上述方法(1) 、 (2)来分解因式。
(4)十字相乘法:型如 ()()()q
x
p
x
pq
x
q
p
x +
+
=
+
+
+
2。
3、因式分解的一般步骤:
(1) 对任意多项式分解因式,都必须首先考虑提取公因式。
(2)对于二次二项式,考虑应用平方差公式分解。
(3) 对于二次三项式, 考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。
(4)对于四项以上的多项式,考虑用分组分解法。
范文四:因式分解知识点归纳
因式分解知识点回顾 1 、因分解的式概念把一个多项:分解成式个整几的式积的式,叫形做式分因解 。因式解分整和式乘互为法逆算 运2常、用的因式分方解:法( )提取1公式法: 因a m m? ? bmc? ma(? b ? )c 2()运用式公: 平方差法式:公 a ? 2b 2? (a? b(a)? )b ;完平全公方式 :a 2 2ab ??b 2 (a ? b)? (23十字)乘相法 x: 2 ? a ?(b ) x ?ba? ( x ?)ax(? )
b
式分解因一般的骤步 (:)如果1项多式的各有公项因,那式么提公先式因;( )2提公出因式无或因式可提,再考公虑否运用公可或十式字乘相;法(3) 对二三项次式,先应尝用试十相乘字分解法,不行再的用求根公式法 。(4)后考虑最用组分分解
法
a ? 5、a同底幂的数法法乘则 : a?m
n
m? n
(m, n 都是 正整)数
同底数幂
相,乘数不底变,数相指。注加底数意可是多以项式或单式。项如: ( a b?) 2?(a ?b)3? a ( ?)b 5、6幂乘的法则: 方a m ()n ? an m( , m n是都整正数 幂的)乘,底数方变,指不相数。如: (?35 乘 ) ? 231 0的乘方法则幂可以逆用:即a mn ? a(m ) n? ( an) 如m:4 6? (42 ) 3? (3 4 2) 7积、乘的法则方 (a:b n)? an b n n 是正(整)数积的乘 ,方等各于因数方乘积。的如 : ? (x 2 yz)= ( 2? ? ( )x) ?( y ? )z ?3?x2y z
3 25 5 53 2 55 1 5 015
8、底同数的除法法幂: a ?则a ?
ma n
m?
n
(
a ? 0, m n,都 正是整,数 m且 ?n
) 43 33
同
底幂数相,底除不数,指变数减。如相 :ab( ) (ab)? ?( a)b? a 9、b零数和负指数;
指 a ? 1 ,0即任不等于何的零的数零方等次 于。
1
1 ( ?a 0 , p正整是) ,数一个不即于等的零数的? p 次方于等这个的 p 数方次的数。倒a p1 3 1 ?3 如: ? 2() 2 ? 8ap ??
1、0项式的乘法单则法单:式与单项式相项乘,他把的系数们,同相母分字相别乘对,只于在一单项个式 里含有字母,则的同它的连指作数为积一的因个。式注意: ①积系数的于等各式因数的积系先,确符定,再计算绝号对。 值②相字同相母,运乘同底用幂数的法乘法则。 ③在一个单项只式含里的字母,有则连同它的数作为积指一的个因式 ④项单式法乘法对于三则以个上单的式相乘同样适用项 ⑤单项式乘。以项式单,果结仍一是单个式。项 如:? 2 x y23 z ?3 xy ?1、单项式1乘以项式,就是用单项多式去多项式乘每一的,项把所得的再相加积 ,即m( a ? b? c )?ma ? m b? c( mm, a, b, 都是单项式c) 意:注①积是 个多项一,式项数其与多式的项项数相。同② 运算要时意注的符号,积项式的多一项每都包括它面的前号符。 在混③运算合
时,要意运算顺注序,结有同果项的要类合并类项。同 如] :2x (2 ? x3 ) ?y 3y( x ? y )12多、项与式项式多相乘的法; 则项多与式多项式相,乘先用项式的每多项一以乘一个多项式的另一项每,再所的把的积相加。如
:
(3 a ?2)(a ?b 3) b(x ? )5x ? (6
)三、
识点知析分
1.:同底数、幂幂的算运 a:· am=an+nmm(n, 都是整正)数 (.a)n=amn(m,n m是正整都数)
.例题1 .若2 例题 2 . 若
5a? 2
6? ,4则 a=
;
若2 7 ?3n ?(? 3 )8 ,则 n=
x2 ?1
? 12,求 5 (x? ) 2209 ? 0 x值。的3
n例题
3 计.算 ? x? 2 y?练习 1 .若a 2n
?
?
? 2? y x? ??
.
2
m?
3 ,则 a6 n
=
2. 4设x=y81,且-9 =27xy-,则 x1- 等于y
。
2.
的乘积
方
(ab
n)an=b(nn 正为整数).的乘方,等于把积积的每个因一分别乘式,方把再所的幂得乘.相
题例1. 计 算 ?n: ?m
??
3p
?
? ?m?? n? ?? n? m??
p4
3
.法公式
平乘差公式:方 a? b??a? ??b? a 2? b2 完平全方和式:公 ? a ?? b a?2 ? 2a b?b 2
2
完全方平公差:式 a?? b?? a2? a2b? b 2
2
例题
1. 利平方用差式计算公200:9 ×0207200-8
20207. 200 7 20?80? 200 63 (.a2-b3+-d) (a+cb23-cd)-例题 2
利.用方平公差式算:计2
考
点、一式分因的解概 念因分解的式念:概把个多一式项解分几成个式整的的形式积,叫因做式解分 。式分因解整式乘和互为法逆算运 1下列、从左右是到式因分解是的 () 2 22 A. x a-b()=x-bxa . xB-1+ =yx-1()(x1)++y 2C . x- =(x+11()x1- D.)ax+ xb+=xca(b++c
2 )2 、2若4 a ? kba ? b 9可因以分解式 (2为 ?a3 )b ,则 2 k值的为______
3
、知 已 a正为整数,试断判 a 2? 是奇a还是偶数?
数
24、已关知于 x 的次二项式 三x? m x? n一有因式 (个 ?x ) 5,且m n+=7,1试 m求,n的值
点考 提取二公式法 提取因因公式:法 am? m b mc ? m(a ?? ? b)c 因公:一个多式式每项一都项有的相同含因式,叫做这的多项个各项的式公因式找 公式的方法:1因、系数各系数为最大的公数 约2字、是相同字母 母、字母的3次数相同-字的母低最次 数习题3
2 12将、多式项 2a 0b 1?2a b 分解c式因应提,取的因公是式(
)A、b
a
B 4a 、2b
C
、a4
b
、D4a b2
2c已知、(19 x 31?)1(x3? 1 7) ? 13(x? 71(11) x ?2)3 可因式解分为 (ax ?)(8xb? ) ,其c中 a,b,c 为 均整数,则 ab+c+ 等于() A 、12 -、-B2 3、分3因解 (式1 )a6( a b)? 4b(a? ?b)
C、
3
8
D、2 (2) 7a3( x ?y) ? 6b( y ? x)
n
?1 nn 2?( 3) ?x x x
?(4)
( ?3)2011 (?3)?2100
4、先分解因,式在算计值 求()1( 2x ?1) 2(x3? 2 )? 2 x (?)(13x? )2 2 x(1? ?2 x )(3 ? x) 其中 2=x1.
5(
)2( a ?2 )(a ? 2
a ?1) ? (2 a?)12( ? )
a其中
=18
a
4 22 25 、已多项式知 x 2?120x ? 201x1? 2 12 有一个因式为 x 0 ?xa ? 1另,个因一为式 x b?x? 2 012,
求a+b 的值
22 53 、若 6ba? 1 0 ,?因用式分解法求 ?ba( ba ab ??b )的值
、已知7 ,bac ,满足 ba ?a ?b ? c b b? ? c c?a? ? a ?c3 ,求 a(? 1)(b ? 1 (c ? 1)) 的。值 (a,,c 都b是整正)
数考
三点、乘用公法分式因解式平 方差公 式a2 b? 2? ( ? b)aa ? b)( 运平用方公式分差解的多式是项次二项,这两项须必是方式平且这,项的符号两相 习题反 1下列、式各中,能用平方公差分式因解的是式 ) A( x 2 ? 、y2 4、2分下解因列式
(2) 13 ? 1x2
B
、 x2? 22 y?1
C
?、 x ?2 4y 2
D、 x2? ?4y 2
2) ((x ? 2) x (? ) ?4 x2?
4(
)3( x? y 2) (?x ?y)2
(4)
x3 xy ?2
(5)
(a ? b 2 )? 1
()69 a(? )2 ? b30a2 (?b )2 ? 25a ( ?b)2
()
7
2009 ?2 011 010 22 ?1
3
、若 为n正数整, (则n2 ? 1 ? )(n2?1 )定能一被 整除82
2
全完方式
平a ? 22a ? b b ? (a2? )b 2
运用全完方平式分公解多项的是三式项,式符且首合方,平尾平,方尾两首倍中间的特点放,其中首 尾项两符的必须相号,同间项的中号符正均可负。习题 1 、多项在式① x?2xy ? y
22
② ?x? 2yx ?y③ x ?xy y
+ 2 2
2
2
4④x? 14x +中能用完全平,方公式
2
解分因式的(有 A、②①
)B、 ③ C②、①④ D②、
④
2
下、因式列分解中,正的有确 ①(
)
4a ?
a3 b2 ? a4( ? ab2 ) ②2 x2 y ? x2y? xy ?x (yx? 2 )③? a? a b ?a ?c?a a( ? ?bc ④
) 222 a9bc 6a 2 ?b ?3bac3( ? 2a)⑤ x 2y? x y2 ?x (xy ?y )3 3 3 A、
个0 、1B C个、 个 2D5 个 、)
3、如果 x2
? 2m ( 3) ?x ?1 是一个6全完平式方那么 m, 应为(A、- 54、分 因解式 (1 )x 2 ?m4m x ?2m( )2 a 22- 4 a ?2B 、 C、7 D、3 7-或
(31 ) ?
x
?32 2 x?x
(4)
( x2? 3)2 ? ( x ? )3
2(5)
8x y 2 8x?y? 2 y
(6
()x 22-x)2 y2+y 2(x -22xy)+y4
()74x 1-2yx+9y-4x+6y- 3
2
2
5、已知
a ? b? 2 , b ? a2,求
3 1 a1b ? 2b 2 ? ab a32 2
6
证明代数、式 x? y ?10 x ?8 y ? 45 值总的正是数2
2
2
22 222 7、已知 a b,c ,别分 是A?B 的C边三,长试较 (比 a ?b? c )与 4a b 的大小
点四、考字十相法乘( )二1次系项为 1数 的二三次项 式并 a ? 且 b等于一次项数
系x2
?x p ? q中如,能果常数项把 q分 解两成因式 a、个b 积的,
p的 ,那值么 它就可以把次二项三式x 2? xp? q 解分
成 2 ?x p ?xq ? 2x? a ??b? x ? ab? x?? a?? x? b?例题
解 1讲、分因解式 : x ? 25 x?6 分析: 将6 成分
两个相数,乘且这两数的个和要于 5。 由等于6 2=× 3=(-2) ×-3()1= 6×=-1)(× (- )6 从,可中以发现有 只 2 × 3分解适合的即 2+3,= 15
2 解:2x 2? 5 x ? 6=x ? 2 (? ) 3 ?x 2? 3 1 = ( x3? 2 (x)? )31 2×+13×=5 用方此法进行分解的键关:将常数 项解成分个两因数的, 且这两个积因的数代数要等和于次一的系项数
。2 例题解讲 2分、解因式: ? x7 x? 6
解:
原=式 2x ? [(?1)? ?(6)x] ?( 1?)(?)6 (=x ? 1 )( x? )6练习 分2解因式(1 ) x 1?4x? 2
4
11 -1-6 (- 1+(-))= 6-72
() x3? 4 x ?5
2(2) ? a15 a ?36
2
(4)x ? x ?
(25)y ? 2 y 1?5
2
2 ()6x ?1 x0 24
?22 、二次项数不系 1 为二次三项的式—— x ?ab ? xca1 条: 件1() a? 1a2
a
1c 2 a2c 2)(c ? 1cc2 b? 1c2 a ?2a 1c 3)( b ? 1c2a? a 2c 12 分 解结: ax ? 果x ? bc= a( 1x? c1 )a( 2 ?xc 2) 2例 题讲 1解分、因解式: x3 ?11x ? 1
0析: 分1- 3 25-(- )6(-5+= -)1 21解 3x: ?11x ? 1 0 = x ?( 2(3x)? 5
) 2分因式:解 1)(5 x 7?x 6? 2 2()3 x ?7 ? 2x
(
3)1 0x2 ? 17 x ?3
(4 ) 6 ?y 2? 1y1? 01
3、二
项次数为 系 的多1式项
b
2 例题解、分解因式: a 2 讲 8ab ? ?218分 :将析 b看成常 ,把数多原式项成关看于a 的 次二项式,利用十三相乘字进行法解分 。1 8b1 - 6b18 b(-+1b)= 6-8
2b b 2 =a 2 ?[ b8? (? 61)ba] ?8 b (?1?b6 )=(a ? b8)(a? 1b) 6解 a:? 8a b? 1 8
分2因式(解)1 x 3?x y? 2y
2
2
22 2( m) ? m6n ?n
8
2 (2) a3? ab ? b
6
、二4次项系不数为 1的多项式 例 讲题解
2
x 2 ?7 xy? 6y 2
-2y1 2-y (-3y3+()-y)4= 7-
y
x 2 y ? 32xy? 2
把 xy 看一作个整 体 1 -11-2 -1)+(-2)(= -
3解:
式原= x ( 2 ?)y2 ( x 3?y
)
:解式原 (=xy ? 1)( xy ?2)
分解因
式 :() 15x ? 71 yx ? 4 y
2
2
2 2 (2)
ax ?6ax ? 8
考
点五因、分解式的用 1应分解、下列因式2 (
1) 3x? 3
2)(x y 4 ?
3x 2
3 2 (3)
x 6 x ? ?27
x 2 24)(a ? b ? b 2 ?1
、2计下算各列 题1) ((42 ? aa4 ? ) 1 (?2 ? a1)( 2) a2(? b 2?c2 ? 2ab) ? (a ?b? )
c
3解、方 程1( 16) x(? 12)? 25 (x ?)22(2 )( x2? 3) 2? 2( x? 3
)、4果实如数 ? b ,a且
0a ? b 1a ? ? ,1那么 ab+ 值等的_于______ 1_0b ?a ? 1b
5、
1?2 32 2 ?2 452 ? 6 20022 ? 92001 20121 2? 02212 ? ? ? ...... ? ?1 ? 2? 435 6? 2009 ?01202 101 ?2 102
2
6、若多项式x ? a x 1? 能分解成两2整系个数一次因的式的乘,试积确定合符件的条整数a 的(值写
出
3个)
7
先、变再求值形( 1)知已2 x? y
?1
34 34 , xy? 4 ,求 x y2 ? y x值的 16
2 2
2)(已知 3 x 8? x?2 0? ,求 ?1 2x? 32 x 的值
8已知、 a、b、c 为三形角边三且,足 满a b+ c+-a -bbc-ca= 0,试说该三明形角是等三边角
2形
2
2
9
两、正整数个平方的等差 于19,求5出这两正整数
个
01、阅下读列因式解分过程的,回答问题
1 ?
x? (x x? ) ?1x( x? 1)2? 1 ?( )x1 ?[x ?x( x ? 1]) ? 1(? x 2 () 1 ?) ?x 1 (? x)
3(1 )述分上解式的因方式__是_______共,用_了____次_。( 2)若 分解 1 ? x ?( xx ? 1) ?x( x 1)? ?2 ... x?( ? 1)x022 , 1 则需上 述 法 方______ 次 结 果 为 ,______________________ _3)( 分因式解1 ? ? xx(x ?1) ?x(x ?1 )2 ? ...? (x x ?)1n(n 为正 整数)
范文五:知识点总结因式分解
因式分解
概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,如下:
1、 提公因式法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例题:
(1)2x2y-xy (2)6a2b3-9ab2
(3)x(a-b)+y(b-a) (4)ax+ay+bx+by (5)ab+b2-ac-bc (6)ax+ax-b-bx (7)ax-a-x+1
(8)m(x-2)-n(2-x)-x+2
(9)(m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m) (10)7a
n?1
2
?21an?7an?1
(11)a3+a2b+a2c+abc (12)2ax+3am-10bx-15bm (13).先化简再求值
(2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(3x-2)2-x(2x+1)(2-3x)(其中,
x?
3
2)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
平方差公式 a?b?(a?b)(a?b) 完全平方公式
2
2
a2?2ab?b2?(a?b)2
3
3
2
2
立方和、立方差公式 a?b?(a?b)?(a?ab?b) 补充:欧拉公式:
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
3
3
3
2
2
2
?
1
(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2
333
特别地:(1)当a?b?c?0时,有a?b?c?3abc
例题
1. 把a?2a?b?2b分解因式的结果是( ) A. (a?b)(a?2)(b?2)
C. (a?b)(a?b)?2
B. (a?b)(a?b?2) D. (a2?2b)(b2?2a)
2
2
2
2
2
2:已知a、b、c是?ABC的三条边,且满足a?b?c?ab?bc?ac?0,试判断?ABC的形状。 3. 已知:a?
2
111
m?1,b?m?2,c?m?3, 222
2
2
求a?2ab?b?2ac?c?2bc的值。 4. 已知a?b?c?0,a3?b3?c3?0, 求证:a?b?c?0
5. 若x3?y3?27,x2?xy?y2?9,求x2?y2的值。 6. 分解因式:
(1)(a?2)?(3a?1) (2)x(x?2y)?x(2y?x)
(3)a(x?y)?2a(x?y)?(x?y) 7. 已知:x?
8. 若a,b,c是三角形的三条边,求证:a?b?c?2bc?0 9. 已知:????1?0,求?
2
2001
2
2
2
555
2252
2234
11
??3,求x4?4的值。 xx
的值。
3
3
3
10. 已知a,b,c是不全相等的实数,且abc?0,a?b?c?3abc,试求 (1)a?b?c的值;(2)a(?)?b(?
1
b1c1c111
)?c(?)的值。aab
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例题
1. 把多项式2a(a2?a?1)?a4?a2?1分解因式,所得的结果为( )
A.(a2?a?1)2C.(a?a?1)
2
2
B.(a2?a?1)2D.(a?a?1)
2
2
2. 分解因式x5?x4?x3?x2?x?1 3.求方程x?y?xy的整数解
4.分解因式:1?m2?n2?2mn?_____________。 5.分解因式:x2?y2?x?y?____________ 6. 分解因式:x3?3x2?4x?12?____________ 7. 分解因式:m2(n2?1)?4mn?n2?1
8. 已知:a2?b2?1,c2?d2?1,且ac?bd?0,求ab+cd的值。 9. 分解因式:x3?2x?3
11. 已知:a?b?c?0,求a3?a2c?abc?b2c?b3的值。 12. 分解因式:a5?a?1
13. 已知:x2?y2?z2?0,A是一个关于x,y,z的一次多项式,且x3?y3?z3?(x?y)(x?z)A,试求A的表达式。
14. 证明:(a?b?2ab)(a?b?2)?(1?ab)2?(a?1)2(b?1)2
4、 十字相乘法
利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是:
对于二次项系数为1的二次三项式x?px?q,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积,并且a+b为一次项系数p,那么它就可以运用公式:
2
x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)
例题
1. 把下列各式分解因式:
(1)x?10x?9;
4
2
(2)7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y);
(3) 已知x?6x?x?12有一个因式是x?ax?4,求a值和这个多项式的其他因式. (4) 分解因式:5a2b2?23aby?10y2. 2.把下列各式分解因式:
(1)x?7x?6; (2)x?5x?36; (3)4x4?65x2y2?16y4; (4)a?7ab?8b; (5)6a?5a?4a; (6)4a?37ab?9ab. 3.把下列各式分解因式:
(1)(x2?3)2?4x2;(2)x2(x?2)2?9; (3)(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2; (4)(x2?x)2?17(x2?x)?60;
4.已知2x?7x?19x?60有因式2x-5,把它分解因式. 5.已知x+y=2,xy=a+4,x3?y3?26,求a的值
3
24
3
2
6
42
24
6
33
6
4
2
4
2
4
2
2
5、拆、添项法
将多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个符号相反的项,使得便于用分组分解法进行分解因式。
例题
1.(1)x3?9x2?26x?24 (2)a3?3a2?3a?2 2.、 (1) x6?4x4?9x2?36 (2) 3a3?7a2?4 3、a2?2b2?3c2?3ab?4ac?5bc
3115x?4、(1)a3?2a2?12a?15 (2)、4x3?
2
2
5、求多项式P?2a?8ab?17b?16a?4b?2059的最小值,并求P最小时a,b的值. 6:5ab?23aby?10y.
7、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
22
2
6、配方法
步骤:1提:提出二次项系数;
2配:配成完全平方; 3化:化成平方差;
4分解:运用平方差分解因式。
配方法是一种“通法”,就是说只要是能分解的二次三项式,都能用配方法来分解。
例题
25222
1、x?4x? =(x? );y2y?=(y)
4
2、方程x?8x?5?0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是3、配方法解方程x??x??两边应同时加上。 4、解下列方程
(1)、4x+4x-1=0 (2)、x?2x?5?0
2
2
?
2
2222
(3)、3x-2x-4=0 (4)、x-2ax=b-a (a、b是常数)
5:无论x为何实数,代数式x?4x?4.5的值恒大于零。你同意这种说法吗?说出你的理由。
2
7、 换元法
将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,用一个新字母替代它,从而简化运算过程,分解后要注意将新字母还原;有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,
然后进行因式分解,最后再转换回来。
例题
1、(x2?xy?y2)(x2?xy?2y2)?12y4 2、 (x?1)4?(x?3)4?272
3、(6x?1)(2x?1)(3x?1)(x?1)?x2 4、(x4?x2?1)2?(x4?x2?3) 5、(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2) 6、(x2?4x?8)2?3x(x2?4x?8)?2x2 7、 (2x2?3x?1)2?22x2?33x?1
(20002?2006)(20002?3997)*2001
8、
1997*1999*2002*2003
8、 主元法
主元法:在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构。先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 例题
1:x2y?y2z?z2x?x2z?y2x?z2y?2xyz
2:(1)a2(b?c)?b2(c?a)?c2(a?b) (2)x2?y2?3x?y?2 3:(1)x2?xy?2y2?x?7y?6 (2)x2?xy?6y2?x?13y?6 4:x3?(2a?1)x2?(a2?2a?1)x?(a2?1)
5:对方程a2b2?a2?b2?2004,求出至少一组整数解。
6:已知在ABC中,a2?16b2?c2?6ab?10bc?0(a、b、c是三角形三边的长),求证:
a?c?2b。
7、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
9、待定系数法
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。
这一部分中,通过一系列题目的因式分解过程,同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法,步骤,技巧等。
例题
1、 分解因式2、分解因式
3、 在关于x的二次三项式中,当10,求这个二次三项式。 4、 已知多项式
两个整系数多项式的乘积。 5、 已知
6、若a是自然数,且7、分解因式8、若多项式9、二次三项式当式是_______.
时其值为
-3,当 能被
整除,求证:
的值是一个质数,求这个质数。 _______. 能被
整除,则n=_______.
时其值为5 ,这个二次三项
时,其值为0;当
时,其值为0;当
时,其值为
的系数都是整数。若是奇数,证明这个多项式不能分解为
时其值为2,当
10、m, n是什么数时,多项式11、多项式
12、若多项式
13、若多项式14、求证:
当
能被整除?
能分解为两个一次因式的积,则k=_____. 能被
整除,则
_______.
2 时的值均为0,则当x=_____时,多项式的值也是0。
不能分解为两个一次因式的积。