范文一:函数图像及其性质
上教考资源网 助您教考无忧 一. 教学内容:
函数图像及其性质(1)
二. 重点、难点
1. 函数自变量的取值范围
2. 用不同方法确定物体的位置
3. 直角坐标系内点的坐标特点
4. 坐标系中图形的变换与点的坐标的变化
5. 函数图像及其应用
【典型例题】
1y,xx,3例1. (1)在函数中,自变量的取值范围是( )
x,3x,0x,3x,,3A. B. C. D.
分析:分式函数,自变量的取值范围要求分母不等于零。
答案:A
yx,,2x(2)函数中,自变量的取值范围是____________.
分析:函数中含有二次根式,自变量的取值范围要求被开方数大于或等于零。
x?2答案:
xy,xx,13)函数的自变量的取值范围是 . (
分析:本题是(1)、(2)两类问题的综合。
x?0x,1答案:且
11,,xy,xx,2(4)函数中,自变量的取值范围是 .
分析:本题也是(1)、(2)两类问题的综合。形式更复杂一点,但是要能从复杂中挖掘出内在本质。
x,,10,,
,x,,20.,解:
x?,1x,2且 答案:
(5)如图所示,边长分别为1和2的两个正方形,其一边在同一水平线上,小正方形沿
t该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为,大正方形内除去小正方形部分的面
tSS积为(阴影部分),那么与的大致图象应为( )
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答案:A
yx,,2(6)一次函数的大致图象是( )
答案:B
,,,,BACABACBC1204,,?ABC例2. 如图,中,,请你建立适当的直角坐标
ABC,,系,并写出各点的坐标.
分析:恰当地建立直角坐标系可以使计算更简洁。
答案:答案不唯一。
yxBCBCBC解:如图,以所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,垂直平分线与的交
点为原点建立直角坐标系.
y,,,BACABAC120,A,故轴必经过点,
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1BOOCBC,,,2,,,,BCAABC302,.
23OAOCACB,,,,?tan2tan30Rt?AOC3?在中,.
,,23?,ABC0(20)(20),,,,,,,,,3,,
ABCDCEFGl2例3. 如图(单位:m),直角梯形以m/s的速度沿直线向正方形方向移动,
tABCDCEFGSABFE直到与重合,直角梯形与正方形重叠部分的面积关于移动时间的图象可能是( )
tS分析:重叠部分的面积应该是时间的二次函数,因此可以排除A、B,又重叠部分的面积S应该先随t的增加而增长,完全进入正方形后离开正方形时重叠部分的面积S应该先随t的增加而减小,所以应该选C.
答案:C
21,,,,?ABCA例4. (1)如图,直角坐标系中,的顶点都在网格点上,其中,点坐标为,?ABC则的面积为______平方单位.
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5答案:
,3PP(2)已知点在第四象限,它的横坐标与纵坐标的和为,则点的坐标是_________(写出符合条件的一个点即可).
14,,,,答案:如等
C03,,,COAB例5. 如图,在平面直角坐标系中,有一矩形,其中三个顶点的坐标分别为,O00,A40,,,,,B和,点在?O上.
B(1)求点的坐标;
(2)求?O的面积.
A40,C03,?B43,,,,,,,解:(1),,.
OBOA,4AB,3(2)连结,,,
22?,,,OBOAAB5.
2,,,OB,25,??O的面积.
例6. 一次函数图象如图所示,求其解析式.
分析:要看图象,得出一次函数图象经过哪两点。
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ykxb,,解:设一次函数解析式为,一次函数图象经过(0,-2)和(1,0)两点, 01,,,kb,,,,,,,20.kb,则
k,2,,,b,,2.,解得
yx,,22所以,一次函数解析式为.
A13,yax,ybxc,,,,12例7. 函数,的图象都经过点.
a(1)求的值;
cb(2)求满足条件的正整数,.
A13,yax,,,1?,a3解:(1)点在函数的图象上,.
A13,ybxc,,,,2?,,bc3(2)点在函数的图象上,.
b,1,b,2,,,?,,c,1(c,2;,,
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
x,3y,xx,41. 在函数中,自变量的取值范围是 ( ) x?,3x,4A. B.
x?,3x,4x?3x,4C. ,且 D. ,且
Pxx,2,,,x2. 在平面直角坐标系中,若点在第二象限,则的取值范围为( ) x,0x,202,,xx,2A. B. C. D.
,32,,,3. 在平面直角坐标系中,点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
ykxb,,kxb,,0AB4. 如图,一次函数的图象经过,两点,则的解集是( )
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上教考资源网 助您教考无忧 x,0x,2x,,3,,,32xA. B. C. D.
ahS5. 当三角形的面积为常数时,底边与底边上的高的函数关系的图象大致是( )
l′l′l6. 如图,把直线向上平移2个单位得到直线,则的表达式为( ) 11yx,,1yx,,122A. B.
11yx,,,1yx,,,122C. D.
?CACBC,,,904cm6cm,,Rt?ABCCCAP7. 如图,在中,,动点从点沿,
QCCBAB以1cm/s的速度向点运动,同时动点从点沿,以2cm/s的速度向点运动,其中
?CPQ一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动. 则运动过程中所构成的的面积
2y(cm)x(s)与运动时间之间的函数图象大致是( )
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10,PP,,00O的坐标为,将点绕着原点按逆时针方向旋转8. 在平面直角坐标系中,已知点
OPPOPOP,2PP1122126060O得点,延长到点,使,再将点绕着原点按逆时针方向旋转PP33得点,则点的坐标是___________.
y,,,?ABC?ABC?ABC在直角坐标系中的位置如图所示,如果与关于轴对称,9. 已知
,AA那么点的对应点的坐标为( )
(42),,(42),,,(42),,(42),A. B. C. D.
30,,,OA,2AB10. 如图,在平面直角坐标系中,点在第一象限,点的坐标为,,
?AOB,60.
A(1)求点的坐标;
yC?AOCAB(2)若直线交轴于点,求的面积.
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yA(20),CB11. 如图,?O的半径为1,过点的直线切?O于点,交轴于点. AB(1)求线段的长;
AC(2)求以直线为图象的一次函数的解析式.
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【试题答案】
1. C 2. C 3. B 4. C 5. B 6. D 7. C
,13,,,8.
9. D
AMx,AM10. 解:(1)过点作轴,垂足为.
1OMOA,,,,cos60212 则,
3AMOA,,,,sin60232 ,
(13),A? 点的坐标为.
ykxb,,AB(2)设直线的解析式为,
,3k,,,,,2,,kb,,3,,33,,b,(30kb,,(,,,,2 则有解得
333yx,,,22AB? 直线的解析式为.
3333yOC,?,,x,022 令,得.
113333?,,,,,,,SOCOM1?AOC2224 .
OB11. 解:(1)连结,
BC直线是?O的切线,
?,OBACOB,1,且.
2222ABOAOB,,,,,213Rt?ABO在中,.
?OAC,30Rt?ABO(2)由(1)得,在中,,
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323OC,OA,tan,OAC,2,,33Rt?AOC?在中,.
,,230,,,,,3,,C?点的坐标为.
ykxb,,AC设以直线为图象的一次函数的解析式为,依题意,得:
02,,kb,,,,23,b(,3,
,3k,,,,,3,23,b,(,3,解之,得
323yx,,,?33 所求的一次函数的解析式为.
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上教考资源网 助您教考无忧 一. 教学内容:
函数图像及其性质(2)
——反比例函数的图像和性质
二. 重点、难点:
1. 确定反比例函数的解析式
2. 反比例函数的图象及其性质
3. 反比例函数的应用
4. 反比例函数与一次函数的综合题
【典型例题】
(12),,例1. (1)图象经过点的反比例函数的表达式是 。
2y,,x 答案:
PEOFP(2)如图,是反比例函数图象在第二象限上的一点,且矩形的面积为,. 则反比例函数的表达式是 。
3y,,x答案:
yxx(0),(3)若矩形的面积为6,则矩形的长关于宽的函数关系式为 。
6y,x答案:
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ky,(tan45cos60)::,k,_____x(4)反比例函数的图象经过点,则.
1
2答案:
21m,y,mx例2. (1)已知反比例函数的图象在一,三象限,那么的取值范围是
______________。
1m,2答案:
2
yx,(2)反比例函数= 的图象位于( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
答案:D
6y,,Amm(2),,mx(3)若双曲线经过点,则的值为( )
3 A. B. 3
,3,3 C. D.
答案:C
,,A90,,B60ABCAB,1例3. 有一个Rt?,,,,将它放在直角坐标系中,使斜
3y,xxBCCA边在轴上,直角顶点在反比例函数的图象上,求点的坐标。 分析:问题中没有明确指明怎样放置直角三角形,所以要根据图形的放置方法进行分类
求解。
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解:本题共有4种情况.
ADBC?AD(1)如图?,过点作于,
33ADAB,,sin6022?A则,点的纵坐标为.
3y,xx,2OD,2将其代入,得. 即.
37DC,OC,ADC22 在Rt?中,. 所以,
7(),0C12即点的坐标为.
AEBC?AE(2)如图?,过点作于,
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上教考资源网 助您教考无忧 331AEOECE,,,,,2OC,222则. 所以.
1(0),C22即点的坐标为.
7(0),,C32根据双曲线的对称性,得点的坐标为,
1(0),,C42点的坐标为.
7171(0),(0),(0),,(0),,C2222所以点的坐标分别为:,,,.
I(A)R(),例4. (1)某种蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流与可变电阻之间的
,函数关系如图所示,当用电器的电流为10A时,用电器的可变电阻为 。
答案:3.6
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(2)某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺了若干块木块,构筑成一条临时近道。木板对地面的压强
2SmpPa,,,,是木板面积的反比例函数,其图象如下图所示。
(1)请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围;
20.2m(2)当木板面积为时,压强是多少,
6000Pa(3)如果要求压强不超过,木板的面积至少要多大,
600pS,,0,,S解:(1).
600p,,3000S,0.20.2(2)当时,.
3000Pa即压强是.
600?6000?S?0.1S(3)由题意知,,.
20.1m即木板面积至少要有.
k,3y,2yxk,,321x例5. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交,其中一个交点的纵坐标为6。
(1)求两个函数的解析式;
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yy,12x(2)结合图象求出时,的取值范围.
Am,6,,解:(1)由已知设交点
326mk,,4,,m,,,,?3,k,3,,6,,k,,5m,,
8y,,2?,,yx3101x,
310xy,,,,,,8,,y,2x,31080xx,,,(2)由方程组 得,
4x,,2x,,213,
4,,,x0yy,12x,,23由图象可知当或时
1ky,yx,,1yAC,xACPx2例6. 如图,直线分别交轴,轴于点,点是直线与双曲线
PBx,?APBB在第一象限内的交点,轴,垂足为点,的面积为4。
P(1)求点的坐标;
Q(2)求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点的坐标.
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上教考资源网 助您教考无忧 1yx,,1y,1y,0x,0x,,22解:(1),令,则;令,则,
,20,01,,,,,CA?点的坐标为,点的坐标为.
1,,1mm,,1yx,,1,,2,,PP2点在直线上,可设点的坐标为,
111,,?S,AB,PB,4,?(2,m)m,1,4,,,APB222,,又.
2?,,,mm62,12mm,,,4120即:,.
?,m2P点在第一象限,.
22,,,P?点的坐标为.
ky,?,,,,kxy224Px(2)点在双曲线上,.
4y,x?双曲线的解析式为.
4,y,,,x,x,2x,,4,,121,,,yx,,1y,2y,,1,1,2,,2解方程组得,
,,41,,,Q?直线与双曲线另一交点的坐标为.
ky,yaxb,,xAB,x例7. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点,与轴
1,,1,mOAAOC,,,5tan,,,2,,CB2交于点. 已知,点的坐标为。
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上教考资源网 助您教考无忧 (1)求反比例函数和一次函数的解析式;
x(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围.
ADx?AD解:(1)过点作轴于点.
Rt?ODA 在中,
AD1tan,,,AOCDO2 ,
?,2ADDO .
由勾股定理,得
22222AOADDOAD,,,,(5)5 .
ADADDO,?,,012,, .
A(21),,? 点.
ky,xA 点在反比例函数的图象上,
k?,1k,,2,2 ,解得.
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2y,,x? 反比例函数的解析式为 .
1,,2Bm,y,,,,2,,m,,4x 将代入中,得.
1,,?,B,4,,2,, .
12,,,ab,,,1,,,1AB(21)4,,,,,,,,4.ab,,,yaxb,,2,,,2 把分别代入中,得
ab,,,,23, 解得.
yx,,,23? 一次函数的解析式为 .
1x,,,,20x2 (2)由图象可知,当或时一次函数的值小于反比例函数的值。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
yx随1. 在某数学小组的活动中,组长为大家出了一道函数题:这是一个反比例函数,并且的增大而减小。请你写出一个符合条件的函数表达式_ ___。
I(A)R(),2. 在电压一定的情况下,电流与电阻之间满足如图所示的反比例函数关系,则IR关于的函数表达式为 。
3. 试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 。
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ky,kx4. 已知反比例函数的图象经过点(1,2),则的值是_________。
生活中能用反比例函数关系描述的实例,写出其函数表达式,并画出函数5. 请你举出一个
图象。
举例:
函数表达式:
ky,Ab(3),,ABx?BAOB,?xA6. 如图,反比例函数的图象经过点,过点作轴于点
3的面积为。
kb(1)求和的值。
yax,,1xAOAM:AM(2)若一次函数的图象经过点,并且与轴相交于点,求的
值。
6y,2yx,,11x7. 已知函数和.
(1)在所给的坐标系中画出这两个函数的图象;
(2)求这两个函数图象的交点坐标;
yy,12x(3)观察图象,当在什么范围内时,,
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【试题答案】
2y,xy,x1. 答案不惟一,例如,写出的关系式只要满足值为正数即可
6I,R2.
1y,,x3. 答案不唯一,比如等
4. 2
2yx5. 举例:要编织一块面积为2米的矩形地毯,地毯的长(米)与宽(米)之间的函数
2y,(x,0)x关系式为。
(只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可)
ABBOAb?,,(3),6. 解:(1)
1?S,AB,BO,3,AOB2
1b,|,3|,32 即
?,b2
ky,Ax 又点在双曲线上
?,,,,,k2(3)23
yax,,1A (2)点又在直线上
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3?,,,yx13
y,0x,3 当 时,
(30),?M 的坐标为
22?,,,,,AOABBO437
222AMABBM,,,,,4(23)4
?,AOAM:7:4
7. 解(,)
6x,,1x (2)解.
2xx,,,60
xx,,,23.,12
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上教考资源网 助您教考无忧 6y,2?,,yx1AB(23)(32),,,,,1x 与的两个交点坐标分别为.
yy,12,,,20xx,3(3)观察图象可知,当或时,.
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上教考资源网 助您教考无忧 一. 教学内容:
函数图像及其性质(3)
——二次函数的图像和性质
二. 重点、难点:
1. 确定二次函数的解析式
2. 二次函数的图象及其性质
3. 二次函数的应用
4. 二次函数与一次函数、反比例函数的综合题
三. 典型例题
2yaxbxc,,,,1例1. (1)已知抛物线经过点(1,2)与(,4),则a+c的值是 (
答案:3
22yxxyaxhk,,,,,,46()化为y,(2)将二次函数的形式: (
2(2)2x,,答案:
2yx,2y1(3)如果将二次函数的图象沿轴向上平移个单位,那么所得图象的函数解析式是______________(
2yx,,21答案:
(23),,xx,1(4)已知二次函数图象经过,对称轴,抛物线与轴两交点距离为4,求这个二次函数的解析式,
xx,1?解:抛物线与轴两交点距离为4,且以为对称轴(
(10)(30),,,,x?抛物线与轴两交点的坐标为(
yaxx,,,(1)(3)设抛物线的解析式(
(23),,又抛物线过点,
?,,,,3(21)(23)a(
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a,1解得(
2yxx,,,23?二次函数的解析式为(
2yxx,,,67(5)将函数进行配方,正确的结果应为( )
22yx,,,(3)2yx,,,(3)2 A. B.
22yx,,,(3)2yx,,,(3)2C. D.
答案:C
22yaxmn,,,()yxx,,,342mn(6)用配方法将二次函数写成形如的形式,则,
的值分别是 ( )
210210n,m,n,,m,,3333A. , B. ,
m,2n,6m,2n,,2C. , D. ,
答案:B
2yaxk,,,(1)AB,x例2. 在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴相交于点,CABCDD顶点为,点在这个二次函数图象的对称轴上(若四边形是一个边长为2且有一个60:内角为的菱形(求此二次函数的表达式(
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上教考资源网 助您教考无忧 解:本题共有4种情况(
xE 设二次函数的图象的对称轴与轴相交于点(
?CAD,:60ACBD2(1)如图?,当时,因为是菱形,一边长为,
DEBE,,13,所以,
(11),,(130),,CB所以点的坐标为,点的坐标为,
1a,k,,13解得,(
12yx,,,(1)13所以(
(00),?ACB,:60CA(2)如图?,当时,由菱形性质知点的坐标为,点的坐标为
(1,,3)(
ka,,,33,解得,
2yx,,,3(1)3所以(
122yxyx,,,,,,,,(1)13(1)3,3同理可得:,
所以符合条件的二次函数的表达式有:
122yxyx,,,,,,(1)13(1)3,3,
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122yxyx,,,,,,,,(1)13(1)3,3(
例3. (1)下列图形:
其中,阴影部分的面积相等的是( )
A. ?? B. ?? C. ?? D. ??
答案:C
ky,22ykxkx,,,1x(2)如果反比例函数的图象如图所示,那么二次函数的图象大致
) 为(
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A B C D
答案:B
Rt?AOBO例4. 如图,是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点与原点重合,
yOB,3x?BAO,30Rt?AOBBOAB点在轴上,点在轴上,,(将折叠,使边落
OBCBAD边上,点与点重合,折痕为( 在
BC(1)求直线的解析式;
2yaxbxc,,,CBAM(2)求经过,,三点的抛物线的解析式;若抛物线的顶点为,
BCM试判断点是否在直线上,并说明理由(
11???OBCDBCOBA,,,,,,903030,,22解:(1),
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3OC,OB,tan30:,3,,1Rt?COB3? 在中,,
10,,,C? 点的坐标为(
03,,,ykx,,3BCB? 又点的坐标为,设直线的解析式为, ?,,03k?,,k3 ,(
yx,,,33BC 则直线的解析式为:(
OB3OA,,,,33Rt?AOBtan303(2)在中,( ?A30,,, ,
B03,,,C10,,, 又,,
093,,,abc,,
,?,3c,,
,0,,,abc(,
34a,b,,3c,333 解之得:,,(
342yxx,,,3333? 所求抛物线的解析式为(
,,3332M2,,,,yx,,,2,,,,3,,33? 配方得:,顶点为(
3y,,,3?yx,,,33x,23 把代入,得:(
BCM? 顶点不在直线上(
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y1x例5. 已知两个关于的二次函数与
22yyaxkkyyxx,,,,,,,,,,()2(0)612y,17y222112xk,;当时,;且二次函数
x,,1的图象的对称轴是直线(
k(1)求的值;
yy,12(2)求函数的表达式;
yy12(3)在同一直角坐标系内,问函数的图象与的图象是否有交点,请说明理由(
22yaxkyyxx,,,,,,,()2612,112解:(1)由
2222yyyyxxaxkxxaxk,,,,,,,,,,,,,,()612()2610()2121得(
2y,172kk,,,61017xk,又因为当时,,即,
k,1k,,712k1解得,或(舍去),故的值为(
222yxxaxaxaxa,,,,,,,,,,,610(1)(1)(26)10k,12(2)由,得,
26a,x,,y2(1),a2所以函数的图象的对称轴为,
26a,,,,12(1),aa,,1于是,有,解得,
22yxxyxx,,,,,,,212411,12所以(
2yyx,,,,(1)2(12),11(3)由,得函数的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为; 22yyxxx,,,,,,24112(1)922由,得函数的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐
(19),,标为;
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yy12故在同一直角坐标系内,函数的图象与的图象没有交点(
2yaxbxca,,,,(0)C(01),lyax:3,,, 例6. 已知抛物线的顶点是,直线与这条抛物
yPQ,xNM线交于两点,与轴,轴分别交于点和(
xlP (1)设点到轴的距离为2,试求直线的函数关系式;
PN3:1MP (2)若线段与的长度之比为,试求抛物线的函数关系式(
2C01,,,?,,?,,bcyax011,,解:(1)抛物线的顶点是,(
N03,,,a,0l 如图1,,直线过点,
x?M 点在轴正半轴上(
xP2P2 点到轴的距离为,即点的纵坐标为(
1x,y,2yax,,,3a 把代入得,,
1,,,2,,a,,?P 点坐标为(
P 直线与抛物线交于点,
2yax,,1P?点在上,
21,,?2,a,,1,,a,,,
?,a1 (
yx,,,3l?直线的函数关系式为(
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PAx,PPy111PA(2)如图2,若点在轴的右边,记为(过点作轴于,
PAMP11?,??PMANMO,?RtRt???MPAMNO11ONMN,,( MP31,?,,,,,,MPPNMNMPPNPN3411111PN11,
MP3PA311?,,ON4MN4,即,
99ONPA,?,3,1P144,即点的纵坐标为(
93y,x,yax,,,344a把代入,得,
39,,,,,P44a,,1?点的坐标为(
2PPyax,,111l?又点是直线与抛物线的交点,点在抛物线上,
293,,?,a,,1,,44a,,,
9?,a20(
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92yx,,120?抛物线的函数关系式为(
PPBx,y22PB如图2,若点在轴的左边,记为(作轴于,
??PMBNMO,?RtRt???MPBMNO22,,
MP32PBMP22,?,,MPPN322?,PN12ONMN(,
MP3PB322,MNMPPNPN,,,?,2,222ON2MN2,即(
99ONPB,?,3,2P222,即点的纵坐标为(
39,,P,,2,,P22a,,2l由在直线上可求得,
P2又在抛物线上,
293,,?,a,,,1,,22a,,
9?a,14
92yx,,114?抛物线的函数关系式为(
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【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1. 请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 (
2y,ax,bx,c(a,0)a、b、c2. 请选择一组你喜欢的的值,使二次函数的图象同时满足
yyx,2x,2xx下列条件:?开口向下,?当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小(这样的二次函数的解析式可以是 (
3. 图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( )
hm,kn, A. B.
kn,h,0k,0C. D. ,
2y,x,6x,5x4. 已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线= ,满
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2y,x,6x,5yx足,0的的取值范围是 ,将抛物线向 平移 个单位,可得
2y,x,6x,9到抛物线(
122yxyxk,,,,,与25. 若二次函数的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是( ) A. 这两个函数图象有相同的对称轴
B. 这两个函数图象的开口方向相反
2,,,xk0C. 方程没有实数根
12yxk,,,2D. 二次函数的最大值为
aya,,(0)2yaxa,,x6. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A B C D
ky,2ykxkx,,2yxx,0x7. 在反比例函数中,当时,随的增大而增大,则二次函数的图象大致是( )
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A B C D
yyx,,22xAOBOAB8. 如图,直线与轴、轴分别相交于、两点,将?绕点顺时针AOB1190旋转得到?(
AOB11(1)在图中画出?;
AB11A(2)求经过、、三点的抛物线的解析式(
x?ABCBCBCD9. 如图,已知:是边长为4的等边三角形,在轴上,点为的中点,点
y(10),,ACAABEBP在第一象限内,与轴正半轴相交于点,点的坐标是,点是上的动CPA点(点与,两点不重合)(
AE(1)写出点,点的坐标(
632yxbxc,,,,7AE(2)若抛物线过,两点,求抛物线的解析式( PBPD,?PBDlllP(3)连结(设为的周长,当取最小值时,求点的坐标及的最小P值,并判断此时点是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由(
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yxCCD、AB10. 如图,二次函数的图象与轴相交于、两点,与轴相交于点,点是二
BD次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点、(
D (1)求点的坐标;
(2)求一次函数的表达式;
x(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围(
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【试题答案】
2y,x,4x,31.等
2yxx,,,,44a,0x,22. 等(本题答案不惟一,关键看是否同时满足?,?对称轴为
两个条件)
3. B
x,315,,x4. , , 上, 4(
5. C
6. A
7. D
8.(1)
2yaxbxc,,, (2)设该抛物线的解析式为:(
A(20),B(10),,(01),A11 由题意知、、三点的坐标分别是、、(
0,,,abc,,
,?,1,c,
,0=4abc,,2.,
1,a,,,,2,1,b,,,2,
c,1.,
,, 解这个方程组得
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112yxx,,,,1?22 抛物线的解析式是:(
(03),(123),EA的坐标是,点的坐标是( 9. 解:(1)点
632yxbxc,,,,EA(03)(123),,,7?(2)抛物线过两点, ,c,3,c,3,,?,,1363b,3,,,,bc23,,77,,得:,(
631332yxx,,,,377抛物线的解析式是:(
DFAC,GDFFG,DFDF(3)过点作,垂足为点,并延长至点,使得,
ACGCGCDCG,,,,DCAACGD则点关于的对称点为点(连结,则,(
DQDQQG,QBGAC再连结交于点,连结,则(
BPQG,,()QP当点运动到与点重合,即三点共线时,依“两点之间,线段最短”(这?PBD时的周长有最小值(
GGHx,H又过点作轴,垂足为点(
??ABCBC,4是等边三角形,,
?,,,,,,:DCAACGHCG60DCCG,,2,,
31?GH,CG,sin60:,2,,3CHCG,,122,(
(43),?OHOCCH,,,,,314G,即点的坐标为(
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?BHOBOH,,,,,145(
2222BGBHGH,,,,,5(3)27Rt?GBH在中,(
lBDBPDPBDBQDQBDBG,,,,,,,,,,272?PBD周长(
(30),ykxb,,(123),ACCA设线段的解析式,点的坐标为,点的坐标为,得:
,30kb,,k,,3,,,,,kb,,23b,33,,,,,(
yx,,,333AC线段的解析式:(
33yx,,55BG的解析式:( 同理可得线段
7,x,,,yx,,,3333,,,,3323,yx,,y,,,55,3,ACBG与的交点是方程组的解,得(
723(),33P则此时点的坐标是(
631332yxx,,,,377P此时点的坐标在上述(2)小题所求的抛物线上(
理由如下:
236313372y,yxx,,,,3x,3773把,代入中,左边,右边(
631332yxx,,,,377P故此时点的坐标在上述(2)小题所求的抛物线上(
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C(03),x,,110. (1)由图得,而对称轴
(23),,?D 点的坐标为(
ykxb,, (2)设一次函数,
y,3xy,,10,x,,2 把,;代入上式
32,,,kb,
,0,,kbk,,1b,1, 得 解得,
yx,,,1? 一次函数的关系式为
x,,2x,1 (3)当或时,一次函数的值大于二次函数的值(
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范文二:函数图像及其性质
函数y =x 的图像
定义域:值域:
R R
奇偶性:在R 上是奇函数单调性:在R 上是增函数
2
y =x 函数的图像
定义域:
R
值域:[0, +∞)
奇偶性:在R 上是偶函数单调性:在[0, +∞) 上是增函数
在(-∞, 0]上是减函数
函数y =x 的图像
3
定义域:值域:
R R
在R 上是奇函数奇偶性:
单调性:在R 上是增函数
一元二次函数
【例8】求当k 为何值时,函数y =-2x 2+4x +k 的图象与x 轴(1)只有一个公共点;(2)有两
个公共点;(3)没有公共点.
【解】令-2x 2+4x +k =0,则-2x 2+x +k =0的判别式?=b 2-4ac =16+8k
(1)当?=0,即16+8k =0,k =2时,方程有两个相等的实根,这时图象与x 轴只有一
个公共点;
(2) 当?>0,即16+8k >0,k >2时,方程有两个不相等的实根,这时图象与x 轴有
两个公共点;
(3) 当?<0,即16+8k>0,即16+8k><0,k>0,k><2时,方程有两个不相等的实根,这时图象与x>2时,方程有两个不相等的实根,这时图象与x>
公共点;
范文三:二、函数图像及其性质
二、函数图像及其性质
一、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0时,y=kx+b 即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b )和(-b ,0)两点的一条直线,我们称它为直k
线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到. (当b>0时,向上平移;当b<>
(1)解析式:y=kx+b(k、b 是常数,k 0)
(2)必过点:(0,b )和(-b ,0) k
(3)增减性: k>0,y 随x 的增大而增大;k<0,y 随x="">0,y>
(4)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y 轴;|k|越小,图象越接近于x 轴.
(5)图像的平移: 当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b 个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b>0时,将直线y=kx的图象向下平移b>
二、一次函数图像
☆一次函数y=kx+b(k≠0)中k 、b 的意义:
k(称为斜率) 表示直线y=kx+b(k≠0) 的倾斜程度;
b (称为截距)表示直线y=kx+b(k≠0)与y 轴交点的 ,也表示直线在y 轴上的 。
☆同一平面内,不重合的两直线 y=k1x+b1(k 1≠0)与 y=k2x+b2(k 2≠0)的位置关系: 当 时,两直线平行。 当 时,两直线垂直。
当 时,两直线相交。 当 时,两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程:
X 轴 : 直线 Y轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线
一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线
1、无论m 为何值,直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
2(2014年广东汕尾,第10题4分)已知直线y =kx +b ,若k +b =﹣5,kb =6,那么该直线不经过( )
A .第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
3. (2014年广东汕尾,第8题4分)汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶,1小时后进入高速路,继续以100千米/时的速度匀速行驶,则汽车行驶的路程s (千米)与行驶的时间t (时)的函数关系的大致图象是( )
A .
B .C .D .
4. (2014?孝感,第11题3分)如图,直线y =﹣x +m 与y =nx +4n (n ≠0)的交点的横坐标为﹣2,则关于x 的不等式﹣x +m >nx +4n >0的整数解为( )
5.(2014?四川自贡,第15题4分)一次函数y =kx +b ,当1≤x ≤4时,3≤y ≤6,则K 的值是.
6. (2014?德州,第8题3分)图象中所反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后,又去早餐店吃早餐,然后散步走回家.其中x 表示时间,y 表示张强离家的距离.根据图象提供的信息,以下四个说法错误的是( )
7. (2014?武汉,第14题3分)一次越野跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1400米,小明、小刚在此后所跑的路程y (米)与时间t (秒)之间的函数关系如图,则这次越野跑的全程为 米.
.
范文四:函数图像及其性质(一)
函数及其图像(第二讲)
一、知识点和方法概述
1、一次函数和正比例函数的概念及关系 一般地,如果y=kx+b(k, b是常数,且k≠0),那么,y 叫做x 的一次函数。特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k 是常数,且k≠0),这时,y 叫做x 的正比例函数。若无特殊要求,在一次函数和正比例函数中,自变量均可取一切实数。显然,正比例函数是一次函数的特例,即:正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数。
2、正比例函数图象的性质
1)正比例函数的图象是经过原点(0,0)及(1,k) 的一条直线;
2)(1) 当k>0时,直线经过一、三象限及原点,y 随x 的增大而增大;
(2)当k<0时,直线经过二、四象限及原点,y 随x="">0时,直线经过二、四象限及原点,y>
3)|k|越大,直线离y 轴越近,离x 轴越远。
3、一次函数图象的性质
1) 一次函数的图象是经过点(0,b )及(-b/k,0)的一条直线;
2) 当k>0时,直线必过一、三象限,y 随x 的增大而增大;当k<0时,直线必过二、四象限,y 随x="">0时,直线必过二、四象限,y>
3) |k|越大,直线离y 轴越近,离x 轴越远;
4) k相同的两条直线互相平行;b 相同的两条直线,都经过y 轴上同一点(0,b )。
此外,b 叫做直线y=kx+b的截距,或直线y=kx+b在y 轴上的截距;-b/k叫做直线y=kx+b在x 轴上的截距。
4、用待定系数法求函数解析式的一般步骤 1)设出所求函数的一般解析表达式;
2)把解析式中的系数当作未知数,列出方程或方程组; 3)求出方程或方程组的解代入函数解析式中,便得所求的解析式.
5、反比例函数的定义 一般地,函数y
k
(k为常数,k≠0)叫做反比例函数。 x
6、反比例函数图象的性质
1)反比例函数的图象是双曲线;
2)当k>0时,函数图象的两个分支分别 分布在第一、三象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小;
当k<0时,函数图象的两个分支分别分布在第二、四象限,在每个象限内,y 随x="">0时,函数图象的两个分支分别分布在第二、四象限,在每个象限内,y>
3)k 越大,双曲线离原点越远;
4)双曲线的两个分支都无限接近,但永不能达到x 轴和y 轴。 二、典型例题 (一)填空题:
1、(北京市顺义区)若abc 0,ac v 2,下面的图象中表示小强从家到学校的时间t (分钟)与路程s (千米)之间的关系是( )
(A ) (B ) (C ) (D )
6、(苏州市)如图,l 甲、l 乙分别是甲、乙两弹簧的长y (cm )与所挂物体质量x (kg )
之间的函数关系的图象,设甲弹簧每挂1kg 物体的伸长的长度为
k 甲cm ,乙弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为k 乙cm ,则k 甲与k 乙的
大小关系为( )
(A )k 甲>k 乙 (B )k 甲=k 乙 (C )k 甲
7、如图,正比例函数y =kx (k >0)与反比例函数y =
k
的图象x
相交于A 、C 两点,过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ,连结BC ,若△ABC 的面积为S ,则( )
(A )S =1 (B )S =2 (C )S =3 (D )S 的值不能确定
8、(常州市)已知一次函数y=k1x +b ,y 随x 的增大而减小,且k 2
b >0;反比例函数y =中的k 2与k 1值相等,则它们在同一坐标
x
系中的图象只可能是( )
(A ) (B) (C) (D) 9、函数y =kx +1与函数y =
k
在同一坐标系中的大致图象是( ) x
m 2+2m -1
10、(武汉市)若点(3,4)是反比例函数y =图象上一点,则此函数图象必经
x
过点( )
(A )(2,6) (B )(2,-6) (C )(4,-3) (D )(3,-4)
(二)填空题:
11、如果将一次函数y=kx+b中的b 减少一个单位,那么它的图象将向_____平移一个单位。 12、点M (-2,k )在直线y=2x+1上,点M 到x 轴的距离d=_____。 13、如图,l A 、l B 分别表示A 步行与B 骑车在同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系。
(1)B 出发时与A 相距 千米。
(2)走了一段路后,自行车发生故障,进行修理,所用的时间是 小时。 (3)B 出发后 小时与A 相遇。
(4)若B 的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进, 小时与A 相遇,相遇点离B 的出发点 千米。在图中表示出这个相遇点C 。 (5)A 行走的路程S 与时间t 的函数关系式为 。
14、某机动车出发前油箱内有油42升,行驶若干小时后,途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q (升)与行驶时间t (时)之间的函数关系如图所示,根据下图回答问题: (1)机动车行驶 小时后加油; (2)中途加油 升; (3)写出直线CD 的函数关系式 .
15、一束光线从y 轴上点A (0,1)出发, 经过x 轴上点C 反射后经过点 B (3,3),则光线从A 点到B 点经过的路线长是 ;直线BC 的解析式为 。
(三)解答题:
16、某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同,设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月租费是y2元,应付给出租车公司的月租费是y1元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图(1) 观察图象,回答下列问题:
(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算? (2)每月行驶的路程等于多少时,租两家的车费相同?
(3)如果该单位估计每月的行程约为2300千米,那么这个单位租哪家的车合算?
17、某工厂有甲、乙两条生产线先后投产,在乙生产线投产以前,甲生产线已生产了200t 成品;从乙生产线投产开始,甲、乙两条生产线每天分别生产20t 和30t 成品。
(1)分别求出甲、乙两条生产线投产后,总产量y(t)与从乙开始投产以来所用时间x (天)之间的函数关系式,并求出第几天结束时,甲、乙两条生产线的总产量相同;
(2)分别指出第15天和第25天结束时,甲、乙两条生产线哪条生产线的总产量高?
18、某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:“全球通”使用者先缴50元月基础费,然后每通话1分钟,再付电话费0.4元;“神州行”不缴月基础费, 每通话1分钟,付电话费0.6元(这里均指市内通话). 若一个月内通话x 分钟, 两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元。 (1)分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式;
(2)一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内通话费200元,则应选择哪种通讯方式较合算?
19、声音在空气中传播的速度y(米/秒) 是气温x(℃) 的一次函数,下表列出了一组不同气温时的音速:
(1)求y 与x 之间的函数关系式;
(2)气温x=22℃时,某人看到烟花5秒后才听到声响,那么此人与燃放的烟花所在地约距多远?
20、一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社,在一个月内(以30天计算),有20天每天可卖出100份,其余10天,每天可卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,若以报亭每天从报社订购报纸的份数为x,每月所获得的利润为y.
(1)写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围; (2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?
21、某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书金额y (元)与租书时间x (天)之间的关系如下图所示。
(1)分别写出用租书卡和会员卡租书金额y (元)与租书时间x (天)之间的关系式。
(2)两种租书方式每天的收费是多少元?(x<>
22、已知一次函数y=kx+b的图像与另一个一次函数y=3x+2的图像相交于y 轴上的点A ,且x 轴下方的一点B (3,n )在一次函数y=kx+b的图像上,n 满足关系式n =3-一次函数的解析式。
23、有两条直线l 1:y =ax +b 和l 2:y =cx +5,学生甲解出它们的交点为(3,-2);学生乙因把c 抄错而解出它们的交点为(, ) 试写出这两条直线的表达式。
4
,求此n
3144
范文五:对数函数图像及其性质
《对数函数及其性质》
人教A 版第二章 第2.2.2节
学校:广西师范大学 院系:数学科学学院 作者: 学号:
对数函数及其性质
一、教学设计理念
本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的学习背景,体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体,教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先,基于“人人有份”的数学教学思想,坚持面向全体学生,引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程,体现了学生为中心的教育教学理念。其次,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程,课堂教学要坚持以学生为主体,教师为主导的“双主”地位,结合学情,让学生参与数学基本活动,探究和挖掘数学知识本质,以恰时恰点的问题引导数学活动,培养学生的问题意识,孕育创新精神。遵循这样的理念,我对此课时进行了如下设计:
第一、 在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
第二、 在教学过程中努力做到生生对话、师生对话,并且在对话之后重视体会、总结、反思,力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
二、学情分析
(一)学习的知识起点
学生在前面已经学习了指数函数及其性质,用研究指数函数的方法,进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用,有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性,加深对对函数的思想方法的理解。
(二)学习的经验起点
大部分学生已经掌握了一些函数知识,具备一定学习函数的基本能力,如通过类比分析问题的能力;且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密,所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发,让学生体验对数函数来源于实践,通过教师课件的演示,通
过数形结合,让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象,让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律,从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。
三、教材分析
(一)教材的地位与作用
对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸,同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识,因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程,体现了数形结合的思想,同时蕴涵丰富的解题技巧,这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用,体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。
(二)重难点及突破方法
教学重点:理解并掌握对数函数的定义、图像与性质。
突破方法:结合前面指数函数的学习方法,数形结合,通过让学生动手画图、观察、猜想、归纳与概括、举证与评价等方法,建立对数函数模形,并将对数函数与指数函数联系起来从而得出其定义。运用数形结合与特殊到一般、分类讨论的数学研究方法以及变式练习,让学生掌握其图像和性质拓展与应用,达到熟练对数函数图像与性质的运用。
教学难点:底数a 对图象的影响及对数函数性质的探究。
突破方法:对于不同底数的对数函数,教师引导学生用“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”等思想方法来探究,让学生动手画图、观察图象,启发学生思考、实验、分析、归纳,从而深刻掌握底数a 对图象的影响及对数函数的性质。
四、目标设计
(一)知识与技能:
1、理解对数函数的定义;掌握对数函数的图象和性质及其简单应用。 2、通过具体实例,直观感受对数函数模型所刻画的数量关系;通过具体的函数图像的画法以及类比法逐步认识对数函数的特征;
(二)过程与方法:
1、学导法:通过实例创设问题情境,引导学生对对数函数解析式的理解;引导学生类比指数函数的研究思路,从图像特征分析对数函数的性质。
2、师生共同讨论法:指在调动学生参与的积极性,突出学生主体地位,通过教师必要指导,调动学生思维的积极性; (三)情感态度与价值观:
1、渗透由特殊到一般的思想,培养学生探索研究数学问题的素养,渗透数形结合、分类讨论的数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力、数形结合的能力。
2、通过学习对数函数与指数函数的图像特征和性质,让学生欣赏它们各具特点的位置关系,感悟数学世界的奇异美,培养学生的美学意识。
3、通过本节内容学习,培养学生不断探索发现新知的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
五、教法学法分析
(一)教法分析
新课标的建构主义学习观,强调以学生为中心,学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用,又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期,思维活跃,具有一定的独立性,喜欢新鲜事物,敢于大胆发表自己的见解,不过思维还不是很成熟.
在目标分析的基础上,根据建构主义学习观,及学生的认知特点,我拟采用“探究发现式”教学方法。让学生动手操作、发现规律、自行总结等几个环节,学生经历知识的形成过程,从而在心中形成概念。然而老师的辅佐提示、系统归纳似的知识在学生的脑中清晰起来,并为学生所掌握。整个课堂教法充分地体现了 “学生为主体,教师为主导”的“两为主”的教学思想。
(二)学法分析
新课程强调“以学生发展为核心”,强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。引导学生运用类比指数函数学习的方法来探究对数函数,因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历复习引入→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→自我提升的过程,这一过程将激发学生积极
参与到教学活动中来。
六、教学过程设计
教学流程设计:→复习引入,形成概念→尝试画图、形成感知→理性认识、发现性质→趁热打铁,拓展深化→自我提升的过程, (一)复习引入,形成概念
引例1:一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取5次,还有多长? (2)取多少次,还有0.125尺? 分析:
1?
(1)为同学们熟悉的指数函数的模型, 易得? ?
?2?
5
=
1 32
?1?
(2)可设取x 次, 则有 ?=0. 125
?2?
x
?1?
抽象出: ?=0. 125?
?2?
x
x =?
引例2:我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数,这个函数可以用指数函数y =2x 表示。
现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个??细胞,那么,分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数。根据2.2.1节指数函数与对数函数的关系
这个函数可以写成对数的形式就是x =log 2y 。如果用x a b =N ?log a N =b ,
表示自变量,y 表示函数,这个函数就是y =log 2x 。
引导学生观察这些函数的特征:含有对数符号,底数是常数,真数是变量,从而得出对数函数的定义:函数y =log a x (a >0,且a ≠1) 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。
提问:(1)在函数的定义中,为什么要限定a >0且a ≠1?
(2)为什么对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的定义域是(0,+∞)?组织学生充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解。
y
【教师总结】①根据对数与指数式的关系,知y =log a x 可化为a =x ,由指数的y
概念,要使a =x 有意义,必须规定a >0且a ≠1.
y y
②因为y =log a x 可化为x =a ,不管y 取什么值,由指数函数的性质,a >
0,所以x ∈(0,+∞) .
例题1:求下列函数的定义域
2
y =log x a (1) (2)y =log a (4-x ) (a >0且a ≠1)
分析:由对数函数的定义知:x >0;4-x >0,解出不等式就可求出定义域。
解:(1)因为x >0,即x ≠0,所以函数y =log a 的定义域为{
2
2
x 2
x |x ≠0}0,即x <4,所以函数y =log a
(4-x )
的定义域为{
x |x
4}
教师:当我们知道对数函数的定义之后,紧接着需要探讨什么问题? 学生:对数函数的图象和性质。 接着引出下一环节。
【设计意图】复习旧知导入新知是一个不可或缺的环节,通过回顾旧知识,使知识得到联系,只有从学生已所学的指数函数出发,才能让学生在脑中形成对数函数的概念。学生只有弄清了知识的来源,才会“顺其自然”地接受知识,这样处理,对数函数显得不抽象,学生容易接受,降低了新课教学的起点。
(二)尝试画图、形成感知
教师:学习指数函数是我们从哪着手去讨论指数函数的性质了呢? 学生:先画图象,再根据图象得出性质。
图一
师:同学们现在我们来观察图一,看看这些函数图像有什么特征呢?
学生分组讨论,并派代表进行发言,教师整合学生的答案,并适时补充。 教师引导学生先观察以2和1/2为底的对数函数图像的异同得出如下初步结讨论:相同点:①两个对数函数的图像都过点(1,0);②函数图像都在y 轴的右侧;不同点上是减函数。
在此过程中,教师通过让学生抢答的形式,增加课堂气氛,提高学生学习的积极性。
拓展探究:1、对数函数y =log 4x 与
在(0,+∞)上是递增函数,而
在(0,+∞)
y =log 1x
4
、y =log 3x 与 y =log 1x 的
3
图象有怎样的对称关系?
2、对数函数y = log a x (a>1),当a 值增大,图象的上升“程度”
怎样?
教师用运用多媒体演示作图的全过程并展示结果如图二;
图二
提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征,性质又如何?
学生讨论、交流。
有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确y = log a x (a>1)、y = loga x (0
【设计意图】所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动,才能纳入其认知结构中,才可能成为下一个有效的知识。学生动手画图,形成感知。学生合作探究,
交流成果,再脑中初步建立对数模型。学生只有经历了知识的形成过程才能做好的接受新知识的准备,如此一来便水到渠成。师生互动的形式更增加了课堂气氛,
使得知识在快乐中得到吸收。
(三)理性认识、发现性质
教师:当我们对对数函数的图象有了直观认识后,就可以进一步研究对数函
数的性质,提高我们对对数函数的理性认识。同学们,通常研究函数的性质时主要研究哪些方面?
学生:主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。 教师:现在,请同学们依照研究指数函数性质的途径,再次联手合作,根据
图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质
教师启发学生按a>1和0
学生自主探究、合作交流的的基础上填写以上表格。发扬团队协作精神,既要完成好各自的任务,又要在相互配合下,展示探究成果,教师做好组织、管理、启发、评价工作。
教师在学生总结的基础上,在投影屏上给出作图所需数据,给出性质简表,规范性质描述和强化所得的结论。
(四)趁热打铁,拓展深化
【设计意图】巩固所学新知,体现探究成果的应用,渗透数形结合思想、分
类讨论思想;尝试完成实际应用性问题,体现“数学是有用的、数学来源于生活”这一理念。预设任务的多元性,体现了分层教学的思想。
(五)对比总结、深化认识
步骤一、1、你能归纳出这节课的学习内容吗?
2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系? 3、你能谈谈这节课的收获和体会吗?
小组讨论,合作交流,由学生代表总结表达,教师补充。
步骤二、教师再对比指数函数得出表格,并用多媒体课件展出。 (1)对数函数的定义; (2)对数函数的图象; (3)对数函数的性质。
【设计意图】首先学生在教学反思中,整理知识,进一步巩固和提高对数函数及其性质。再把指数函数与对数函数类比、对比总结,使知识系统化,更易于学生
区分和掌握。适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律,有助于学生更好地学习、记忆和应用,发挥知识系统的整体优势,并为后续学习打好基础。 (六)布置作业
1)复习:复习本节课的所有知识.
(2)必做题: 习题2.2(A 组)第7、8题;(B 组)第2题.
x
y =log x y =22(3)思考题:对数函数与指数函数之间存在着什么关系?
(提示:从图象和性质来分析) (七) 板书设计
七、评价设计
(一)坚持以学生为主体,教师为主导的“双主”教学地位。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程,课堂教学要坚持以学生为主体,教师为主导的“双主”地位,结合学情,让学生参与数学基本活动,探究和挖掘数学知识本质。本节课采用作图,合作探究的方法让学生充分感知知识的形成过程并自行归纳,在解决问题的过程中培养学生获取新知识的能力,分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。教师在课堂中做好了引导、组织、管理、启发、评价工作,并与学生互动,使得学生在快乐中感受知识的魅力。
(二)注重学习方法的引领。授之以鱼,不如授之以渔。数学课堂不仅仅是知识的传授,更应该是渗透学习方法的引领、良好学习习惯的养育和数学思想方法的体悟。这些都需要教师画龙点睛和引领。课堂中教师引导学生运用类比、数形结合、分类讨论、特殊到一般以及转化的思想方法,帮助学生更好的了解对数函数的性质。
(三)教学过程设计中开头采用复习引入,结尾采用对比指数函数总结的方式,把知识联系起来,是知识系统化,更达到触类旁通的目的。