范文一:空间几何体的概念、表面积和体积
考点1 空间几何体的概念、表面积和体积 1. (2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)已知长方体的各个顶点都在表面积ABCDABCD,111116π为的球面上,且,,则四棱锥的体积为________. ABAD,3AAAD,2DABCD,11
【考点】四棱锥的体积.
46【答案】 3
ADa,【分析】ABAD,3 ,,?设,则ABa,3, AAAD,2AAa,211
22222又因为长方体的对角线是其外接球的直径,? (2)8rADABAAa,,,,1
2222?,又?,? 4πr,16πra,2ra,,,42
1146?. VSAA,,,,,,,,2622DABCDABCD,11333
第1题图 FGQ27
2((江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则这个圆锥的高是______.
【考点】圆锥的侧面展开图.
3【答案】
【分析】?圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,
3?圆锥的轴截面为边长为2的正三角形,则圆锥的高h=2×sin60?=. 3((江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)底面边长为2,高为1的正四棱锥的侧面积为________.
【考点】四棱锥的侧面积.
42【答案】
22【分析】正四棱锥底面边长为2,高为1,则侧面的高h,,,112,故此正四棱锥的
1侧面积. S,,,,,422422
4((淮安都梁中学2015届高三10月调研)已知圆锥的高为4,底面半径为3,则圆锥的侧面积为 (
【考点】圆锥的侧面积(
15π 【答案】
【分析】圆锥的高为4,底面半径为3,所以圆锥的母线为5
1圆锥的侧面积:.s ,,,6π515π2
5((南通市2015届高三第三次调研)已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm,其表面
3展开图如图所示,则该空间几何体的体积V, cm(
zl073
第5题图
【考点】空间几何体,几何体的展开图,棱柱、棱锥的体积(
21,【答案】 6
【分析】由该几何体的表面展开图只该几何体为一个正方体和一个正四棱锥的组合,则其体
1223积V=. 111,,,,,326
6((2015江苏苏州市高三上调考)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为SSSS、,则有: = ( 1212
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)(
【答案】3:2(
【分析】由题意可得:圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,
S所以等边圆柱的表面积为:=6π, 1
S球的表面积为:=4π( 2
SS所以圆柱的表面积与球的表面积之比为:=3:2( 12
故答案为:3:2(
7((2015江苏高考冲刺压轴卷(三))正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使
ABCD点B与点C间的距离为,此时四面体外接球表面积为 ( 3
【考点】立体几何中的边角关系和球的表面积公式.
7π【答案】
ADCD,ABBCAC,,,2【分析】正?ABC中,,;,,AD,3ADBD,
BDCD,,1;将四面体ABCD还原成三棱柱,可以得到一个直棱柱。如图(1).其底面中
3心到B、C、D三个点的距离均为1,到外接球的球心O的距离为;?外接球的半EE2
37222径为;?外接球的表面积为. SR,,4π7πR,,,1()22
JSY65 JSY66
图(1)
第7题图
8((15江苏模拟(三))已知正四棱锥的底面边长是2,这个正四棱锥的侧面积为16,则该正四棱锥的体积为 .
415【答案】 3
,则一个侧面的面积为4,根据三角形面积公式可得侧【分析】因为正四棱锥的侧面积为16
4151 Vsh,15面的高为4,则正四棱锥的高为,根据正四棱锥的体积,可得V=.33
ABCAC9((15南通市直调考)如图,各条棱长均为2的正三棱柱ABC,中,M为的11111
ABC中点,则三棱锥M,的体积为 ( 1
第9题图 cqn02 【考点】棱锥的体积(
23【答案】 3
【分析】?各条棱长均为2的正三棱柱ABC,中,M为的中点, ABCAC11111
1413,,??平面ACM,且=,S,,,,, 222BMBM?AMC112
1123,,SBM?三棱锥M,的体积:====( V,,23VABC?AMC1BAMC,MABC,11133310. (15南京师大附中高三上学期12月月考数学试卷)已知三棱锥S,ABC的所有顶点都
?ABC在球O的球面上,是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2;则此棱锥的体积为________(
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积(
2【答案】 6
【分析】根据题意作出图形:
设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为O,则OO?平面ABC, 11
延长CO交球于点D,则SD?平面ABC( 1
233?, CO,,,1323
3622?, OO,,,1()133
26OO?高SD=2=, 13
?ABC?是边长为1的正三角形,
3?, S,?ABC4
13262?( V,,,,三棱锥SABC,3436
第10题图 FGQ54 11. (15南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研)已知一个圆锥的侧面展
2,开图是一个半径为3,圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为_____. 3
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)(
22【答案】 ,3
2,【分析】?圆锥侧面展开图是一个圆心角为,半径为3的扇形 3
2,?圆锥的母线长为l=3,底面周长即扇形的弧长为×3=2π, 3
2,,,,r?底面圆的半径r=1,可得底面圆的面积为
22hr,,,,,39122又圆锥的高
122故圆锥的体积为. V,,,,,2233
12. (15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷)正方形铁片的边长为8cm,以它的
π一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形,用这块扇形铁片围成一个43圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于 cm( 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)(
7π【答案】
π【分析】由题意知,弧长为×8=2π, 4
即围成圆锥形容器底面周长为2π,
所以圆锥底面半径为r=1,
可得圆锥高h=3, 7
1132所以容积V=π×h=π×1×3=πcm. 77r33
ABC13. (15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷)在直三棱柱,中,AC=4,ABC111
BCCB=2, =2,?ACB=60?,E、F分别是,的中点( AAAC111
(1)证明:平面AEB?平面; BCF1
(2)设P为线段BE上一点,且EP=2PB,求三棱锥P,的体积( BCF11
第13题图 Abc11
【考点】平面与平面垂直的判定,三棱锥的体积( 【解】(1)证明:在?ABC中,?AC=4,BC=2,?ACB=60?,
2223BCACAB由余弦定理得AB=2,?+ =, ?AB?BC(由已知AB?BBBB,?BC=B, 11
BBCC?AB?平面(又?AB?平面ABE, 11
BBCC故平面ABE?平面, 11
BCF即平面AEB?平面( 1
BC(2)取的中点H,连结EH, 11
13则EH?AB且EH=AB=, 2
BBCC由(1)AB?平面, 11
?EH?平面, BBCC11
?EP=2PB,
11123?== =( ,VVSEH,PBCF,EBCF,?BCF1111113339
第13题图 Abc12 14. (15南京一中等五校联考)已知圆锥的底面半径为3,体积是12π,则圆锥侧面积等于
______(
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台)(
【答案】15 π
【分析】设圆锥的高为h,底面半径为r,
?圆锥的底面半径为3,体积是12, π
12π,,,33hhπ12π?, 3
即h=4,
2222lrh,,,,,345?圆锥的母线长,
?圆锥的侧面积S=πrl=3×5=15, ππ
故答案为:15( π
范文二:空几何体的表面积和体积
几何体的表面积和体积
一、公式总结:
(一)知识框架
(1)
知识框架(2)
(二)题型方法归纳
1、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
【答案】A
A.24 B.48 C.54 D.72
【答案】A
【解析】还原为如图所示的直观图,
根据三视图可以画出原几何体EF
-ABCD ,如图所示,则
V =AD ?S △ABC -
,故选
A.
1118(5-2)S △ABC =?3?4?5-?3?5=322
A
.6+ B
.6+ C .3 D .3
【答案】D
【解析】由三视图可知,该几何体是由三棱柱和三棱锥组成,
V EF -ABCD =V ADE -HCG +V C -BFGH
=
11
?4?4?4+?4?4?4=160233,故选A.
考点:1、三视图;2、三棱柱、三棱锥体积.
4、已知某几何体的三视图如图所示,其中,主(正)视图,左(侧)视图均是由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接直角三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
1118
?2?2?1+??2?2?1=
323. 故体积为2
考点:三视图
【方法点睛】三视图的原则是“长对正,宽相等,高平齐”,一般三视图还原直观图的方法,如果正视图,和侧视图是三角形,那一定是锥体,如果正视图,和侧视图是矩形,那么这个几何体是柱体,如果正视图是多边形,侧视图是三角形,俯视图也是三角形,那就是锥体,还有就是一些组合体,要注意是哪些几何体组合在一起,或是几何体削去一部分时,要灵活运用补形,一般可还原为长方体或是正方体,再分割.
2、某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( )
考点:三视图.
3、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
16032352
A .3 B .32 C .3 D .3
14π1++236
C. A
. B .
【答案】C
12π1
+6 D .32
【解析】由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部
分是半球,所以根据三视图中的数据可得
V =
14π211
??+??1?1?1=2332
1
. 6选C.
6、 球被平面所截得的截面圆的面积为,且球心到的距离为
考点:三视图,几何体的体积.
【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽. 由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.
5、已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2,3,4,则该长方体的外接球的表面积等于( )
圆的半径为,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角
A .13π
B .25π C .29π
D .36π
形,满足勾股定理,我们易求出该球的半径即
,进
距离为的平面截球所得的截面圆的面积是,我们易求出截面面积为
,故答案为
.
点睛:本题考查的知识点是球的体积和表面积公式,由与球心小圆的半径是,则大圆的半径
,球的表
【解析】平面所截得的截面圆的面积为,即小圆的面积为,
,则球的表面积为__________.
对角线的中点,
从而求得
2
R =
,再代入球的表面
积公式可得S =4πR =9π.
8、将边长为2的正?ABC 沿BC 边上的高 角
【答案】
AD 折成直二面
B -AD -C , 则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积
为__________.【答案】5π
【解析】外接球半径
2R =?R =
考点:外接球.
?S =4πR 2=5π
9、一个四面体的所有棱长都等于a ,则该四面体的外接球的体积等于 .
a 3
【答案】C
【解析】
=,
,选C.
而求出球的表面积.
7、长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 . 【答案】9π
【解析】∵球心O 为长方体的体对角线的中点,
【解析】由题意可得这个正四面体内接于边长为
a
2的正方
22
4πR =π=29π所以外接球的表面积等于
=体,所以该四面体的外接球的直径为,外
4π33
) =π接球的体积等于3 考点:外接球体积
【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P ,A ,B ,C 构成的三条线段PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA =a ,PB =b ,PC =c ,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R 2=a 2+b 2+c 2求解.
考点:外接球的表面积
【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P ,A ,B ,C 构成的三条线段PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA =a ,PB =b ,PC =c ,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R 2=a 2+b 2+c 2求解.
R =
∴
2
,S =4πR =9π.
考点:1、长方体的外接球;2、球的表面积公式.
【方法点晴】本题考长方体的外接球、球的表面积公式,涉及分数形结合思想和转化化归思想,考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力,综合性较强,属于中档题型. 首先利用数形结合思想可判断:球心O 为长方体的体
10、已知一个多面体的三视图如图所示:其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形,俯视图是边长为1的正方形,若该多面体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为
.
圆锥侧面积:
S 圆锥侧=πrl =π 3=125π
=42π+18π+15π=75π
.
∴几何体的表面积为S 考点:表面积.
.
13、如图,一个圆锥的底面半径为2cm ,高为6cm ,其中有一
【答案】9π
3
【解析】由三视图知该几何体为底面半径为3、高为4的4个
个高为xcm 的内接圆柱.
【答案】3π
【解析】由三视图知几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,∴四棱锥的外接球即是边长为1
的正方体的外接球,∴外接球的直径为S =4π?=3π
??.
2
圆锥,所以所求体积
V =
31
??π?32?443=9π.
(1)试用x 表示圆柱的侧面积;
(2)当x 为何值时,圆柱的侧面积最大.
考点:空间几何体的三视图及体积.
【方法点睛】根据三视图求几何体的体积或表面积时,要求根据三视图想象出几何体的形状,还原出该几何体的直观图,然后由三视图得出几何体的尺寸,因为必须掌握基本几何体(柱、锥、台、球)的三视图以及各种组合体的三视图.
12、某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得,三视图中的正视图和侧视图如图所示,求该几何体的表面积.
S =4πx -
【答案】(1)
2π2
x , x ∈(0,6) 3;(2)圆柱的高
2
为3cm 时,它的侧面积最大为6πcm .
试题分析:(1)由题意得作出结合体的轴截面,根据轴截面的比例关系列出方程,求出圆柱的底面半径,再表示出圆柱的侧面积;(2)由(1)求出的侧面积的表达式,根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值. 试题解析:(1)S 圆柱侧
考点:三视图.
【名师点睛】本题考查三视图,属基础题;解三视图相减问题的关键在于根据三视图还原几何体,要掌握常见几何体的三视图,比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体,并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系;有时候还可以利用外部补形法,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体
11、一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是两个全
【答案】S
=75π.
=
2πrx =2π(2-
x 2π2
) x =4πx -x , x ∈(0, 6) 33
4π
=32(-)
3时,这个二次函数有
3
等的三角形,俯视图是4
于 .
试题分析:所求表面积为圆柱侧面积加上圆锥侧面积.
个圆,则该几何体的体积等
试题解析:圆柱侧面积:
S 半球
x =-
S 圆柱=2πr h =πd h =42π
(2)由(1)知当
;
最大值为6π,
半球表面积:
1= 4πr 2=18π2;
∴当圆柱的高为3cm 时,它的侧面积最大为6πcm 2
考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台)的侧面积与体积;二次函数的性质.
【解析】
14、如图,在四边形
(Ⅰ)所以几何体的表面积为
ABCD 中,AD ⊥DC ,AD //BC ,
S =π?22+2π?2?1+π?2?=8+π
(II )体积为
(,
考点:由三视图求面积、体积.
点评:本题主要考查三视图的应用,以及三棱柱的体积和表面积公式,要求熟练掌握柱体的体积公式和表面积公式.
16、
AD =3,CD =
2,AB =∠DAB =45 ,四边
形绕着直线
V =π?22?1+
120?π?22?2=π33.
AD 旋转一周.
考点:1、柱体、锥体的结构特征;2、简单组合体;3、几何体的表面积、体积.
15、如图是一个几何体的三视图(单位:cm ). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.
B
(I )求所形成的封闭几何体的表面积; (II )求所形成的封闭几何体的体积.
【答案】
(I)
(
8+π
20
π3;(II ).
试题分析:四边形
ABCD 绕着直线AD 旋转一周所形成的封
【答案】试题分析:由三视图可以得到该几何体的直观图,根据空间几何体的表面积和体积公式即可求解.
试题解析:解:(1)由三视图可知该几何体为平放的三棱柱,直观图为:
(2)由三视图可知,该棱柱的高BB'=3,底面等腰三角形ABC 的底BC=2,三角形ABC 的高为1,
【解析】解:(1)设
则腰AB=AC=
,
的最小正周期为
,依题意可得
闭几何体为一个底面半径为2,母线为l 的圆柱及一个底面半径为2,高为2的圆锥的组合体. (I )先求出圆锥的侧面积,再求出圆柱的侧面积和一个底的面积.(II )几何体的体积为圆锥的体积加圆柱的体积之和. 试题解析:过点B 作BE 因为
⊥AD 于点D ,
AB =∠DAB =45 ,所以BE =2,
=1
∴三棱柱的体积为表面积为
(cm 3
),
,于是得
所以DE
所以四边形
ABCD 绕着直线AD 旋转一周所形成的封闭几
.
=2+6+6
这时,
,将点
代入得
何体为一个底面半径为2,母线为1的圆柱及一个底面半径为
2,高为2的圆锥的组合体.
【答案】解(1
)
即
,又
f (x ) =x cos x -cos 2x =
1+cos 2x 12x -
2=2x -12cos 2x -2 故
sin(2x -π
) -
1(2)由
=62 ∴T =
2π
2=π
2k π-
π
π
(2)令
2
≤2x -
6
≤2k π+
π
2,解得
k π-
π
6
≤x ≤k π+
π
3
故
的取值集合
∴f (x ) [k π-
π
的递增区间为
6
, k π+
π
3
],k ∈Z
17、已知向量a
=(1, 2) ,b =(-3, 1) .
【解析】
(1)求a -2b ;
求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法 (2)设a, b的夹角为θ, 求cos θ的值.
【答案】(Ⅰ)
a
-2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0);
cos θ=a ? 1?(-3) +2?1 a b
?b
=
+(-3)
2
22
(Ⅱ)
+1
-2=10
.
218
、已知函数
f (x ) x cos x -cos x (x ∈R )
(1)把函数化为A sin(ωx +?) +B 的形式,并求函数
f (x ) 的最小正周期; (2)求函数
f (x ) 单调增区间.
第七讲:几何体表面积和体积(教师) 4.9
二、题型巩固:
1、如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
【解析】由三视图可知该几何体是一四棱锥,底面是长和宽分别为4
14V =?4?1?1=
33, 和1的矩形,高为1,则其体积为
形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在,当正视图和侧视图完全相同时,它的的正视图和俯视图分别可能是( )
故选C. 考点:三视图.
【方法点晴】本题主要考查三视图,属于较易题型. 应注意把握三个视图的位置和尺寸:主视图在图纸的左上方, 左视图在主视图的右方, 俯视图在主视图的下方;主视图与俯视图长应对正(简称长对正), 主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐), 左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等), 若不按上述顺序放置,则应注明三个视图名称.
3、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A .
A. B. C. D. 【答案】C
a , b B.a , c C. c , b D.b , d
【答案】A
【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的正方形伞(方盖),所以其正视图和侧视图是一个圆,因为俯视图是从上向下看,相对的两个曲面在
同一个圆柱的侧面上,所以俯视图是有两条对角线且为实线的正方形,故选A.
D.1
考点:几何体的三视图.
5、一个三棱锥的正视图和俯视图如下图所示,则该三棱锥的侧视图可能为( )
【解析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱, 底面面积故体积
,高,故选C.
,
2、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
1
A .412 B.3 C.3
【答案】B
【解析】由三视图知:几何体是三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,高为2,底面是直角边长为1的等腰直角三角形,
∴几何体的体积
V =
2
考点:由三视图求面积、体积.
A .3 B.4、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程
4
中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构
C. 3 D.2
【答案】C
111??1?1?2=323.故选:B .
成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣和(牟和)在一起的方形伞(方盖). 其直观图如下左图,图中四边
【答案】D
【解析】根据几何体三视图的规则““长对正、宽相等、高平齐”的原则”,则该三棱锥的侧视图可能为选项D ,故选D. 考点:空间几何体的三视图.
6、如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,
积是( )
何体的表面积为( )
则该几何体的体
A. 16π B.4π C.π D.2π 【答案】B
【解析】由图中的三视图分析可知,三棱锥的直观图如下图所示,M
为Rt ?ACB 斜边的中点,MA =MB =MC =1,
A .48π B.36π C.24π D.12π 【答案】C
【解析】由题意得,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面半径为r
又PM
D.7π
则点M 到三棱锥四个顶点
=3,母线长l =5 的一个圆锥,所以该圆锥
28
π3A .7
π
28π3 B. C.
π
3
⊥底面ABC ,根据主视图的高为1,所以MP =1,
【解析】几何体为圆台,体积是
P , A , B , C 的距离都相等,所以
=1,所以表面积为
的表面积为S 选C .
=πr 2+πrl =π?32+π?3?5=24π,故
1
(S 1+S 2+3
选C.
h =
(12+22+1?2) ?1=
7π3,
M
为三棱锥外接球的球心,外接球半径R
,故选
B.
考点:几何体的三视图及表面积的求解.
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及圆锥的表面积的求解,着重考查了推理和运算能力及空间想象能力,属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则,还原出原几何体的形状,本题的解答中根据几何体的三视图得出原几何体的形状及数量关系是解答的关键,试题比较基础属于基础题.
9、棱长均为1的正四棱锥的体积为__________.
【答案】
=,底面为正方形,
S =4πR 2=4π
考点:圆台体积
【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
7、已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为( )
考点:三棱锥的外接球.
【思路点晴】本题通过三视图考查三棱锥的外接球表面积,首先根据三视图画出直观图,确定三棱锥中点、线、面的位置关系,然后找到三棱锥外接球的球心,求出外接球的半径,从而计算得到外接球的表面积. 本题主要考查学生将平面几何图形转化为空间几何图形的能力,考查空间想象能力.
8、有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几
【解析】
11= 面积为1
,所以体积为3
考点:正四棱锥的体积
【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.
(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系,列方程(组) 求解. 10、某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是______cm ,体积是_____cm
.
2
3
【答案】
3
3
f (x ) =x cos x -cos 2x =
1+cos 2x 112x -
2x -cos 2x -222 =π1
sin(2x -) -
62 =
∴T =
2π
=π2
【解析】由三棱锥的正视图知,三棱锥的高为1
,底面边长为
,所以该三棱锥的体积V
11??2?21=32. 【考点】三棱锥的三视图及体积.
=
【方法点睛】根据三视图求几何体的体积或表面积时,要求根据三视图想象出几何体的形状,还原出该几何体的直观图,然后由三视图得出几何体的尺寸,因为必须掌握基本几何体(柱、锥、台、球)的三视图以及各种组合体的三视图.
2k π-
(2)令
π
2
≤2x -
π
6
≤2k π+
π
2,解得
k π-
π
6
≤x ≤k π+
π
3
[k π-
=(1, 2) ,b =(-3, 1) . 12、已知向量a
(1)求a -2b ;
【答案】20+(2)设a, b的夹角为θ, 求cos θ的值.
∴f (x ) 的递增区间为
【解析】
π
6
, k π+
π
3
],k ∈Z
14、(10分)()如图,建造一个容积为16m ,深为2m ,宽为2m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为120元/m,池壁的造价为80元/m,求水池的总造价.
2
2
3
8.
【解析】由题意得,该几何体为三棱柱,故其表面积
S =2?
1
?4?2+22+4?2+2?=20+2
【答案】(Ⅰ) a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0);
a ?b
cos θ==
a ?b
1?(-3) +2?1+(-3) 2
22+1
=
1
V =?4?2?2=
8
2体积,故填:20+8.
-
(Ⅱ)
2
10
.
【答案】2880
【解析】分别设长、宽、高为am ,bm ,hm ;水池的总造价为y 元,则V=abh=16,h=2,b=2,∴a=4m,∴S底=4×2=8m,S 侧=2×(2+4)×2=24m,
∴y=120×8+80×24=2880元.
15、(2015银川校级月考)如图是一个几何体的三视图,其中正视图与左视图都是全等的腰为为2的正方形,
的等腰三角形,俯视图是边长
2
2
考点:1. 三视图;2. 空间几何体的表面积与体积.
11、已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .
13
、已知函数
f (x ) =x cos x -cos 2x (x ∈R )
A sin(ωx +?) +B 的形式,f (x ) 并求函数
(1)把函数化为
的最小正周期; (2)求函数
f (x ) 单调增区间.
【答案】解(1
)
V=2×2×2+×π×1=8+π(m )
33
考点:由三视图求面积、体积.
点评:本题考查三视图复原几何体形状的判断,几何体的表面
【答案】60°
积与体积的求法,考查空间想象能力与计算能力. 【解析】
(1)画出该几何体;
(2)求此几何体的表面积与体积. 【答案】(1
)该几何体的直观图如图所示
(2
)
,
.
【解析】解:(1)该几何体的直观图如图所示 (2)作斜高EF ⊥BC ,连接EO ,OF ,由正视图可知:
,在Rt △EOF 中:,
∴
,
.
16、如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 60° .
【解析】解:设圆锥的母线长为R ,底面半径为r , 18、如下图,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高则:πR=2πr , 为3的圆柱,求圆柱的表面积.
∴R=2r,
∴母线与底面所成角的余弦值
=
=, ∴母线与底面所成角是60°. 故答案为:60°.
17、某个几何体的三视图如图所示(单位:m )
(1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积.
【答案】2(13) π
【解析】解:设圆柱的底面半径为r ,高为h ′.圆锥的高h =
42-22
=23,又∵h ′=3,∴h ′=1r 23-32. ∴223r =1. ∴S 2表面积=2S 底+S 侧=2πr +2πrh ′=2π+2π3=
2(13) π.?12分
【答案】试题分析:通过三视图判断几何体的特征,(1)利用19、已知向量a =(cosx , -1
2) 三视图的数据求出几何体的表面积;
, b =x ,cos2x )
, x ∈R ,
(2)利用组合体的体积求出几何体的体积即可.
f (x ) =a ·b 试题解析:解:由三视图可知,该几何体是由半球和正四棱柱
设函数
.
组成,棱柱是正方体棱长为:2,球的半径为1,
f (x ) (1)该几何体的表面积=正方体的表面积+半球面面积﹣球的底
(Ⅰ) 求
的最小正周期;
面积.
∴S=6×2×2+2π×12
﹣π×12
=24+π(m 2
). (Ⅱ) 求
f (x )
??0, π?
在?
2?
?上的最大值和最小值. (2)该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积,
T =
2π【答案】(Ⅰ)
2=π-1(Ⅱ)最小值2,最大值1
【解析】(Ⅰ)
1
cos x x -
cos 2x =f (x ) =a ·b
=2
1
2x -cos 2x =sin(2x -π) 26.
小值为
-
1
2.
考点:1. 三角函数图像与性质;2. 三角函数的恒等变换;3. 三角函数的最值. 【解析】
T 2πππ=-=362,试题解析:解:(Ⅰ)由图可得A =1,2
所以T
2π
T ==πf (x ) 2所以的周期. ????7分
(Ⅱ)解:当
=π 所以ω=2
sin(3π+α) ?cos(α-4π)
21、化简: cos(-α-5π) ?sin(-π-α)
x ∈[0,
[-,
π
2时,
6]
](2x -
π
6
) ∈[-
π5π
6, 6
]
,由
ππx =sin(2?+?) =16时,f (x ) =1,可得 6当,
|?|
y =sin x 在
当当
2x -
π5π
6
sin(π+α) ?cos αcos α
【答案】原式=cos(π+α) ?[-sin(π+α)]=cos α=1
22
、已知函数
上的图象可知
π
6
=-
π
6,即x
=0时,f (x ) 取最小值
π
3时,
-
12,
因为
ππ?=
6 2, 所以
f (x ) =sin(2x +
π
)
6
f (x ) =2cos 2x +x cos x -1.
2x -
π
6
=
π
2,即
x =
f (x ) 取最大值1. ????
π) 2部
所以
f (x ) 的解析式为
(1)求函数
f (x ) 的最小正周期;
13分
g (x ) =f (x ) -cos 2x =sin(2x +
(Ⅱ)
π
6
) -cos 2x
π[0,]
f (x ) 在区间2上的最小值和最大值.
(2)求函数
【答案】(1)
f (x ) =A sin(ωx +φ) (A >0, ω>0,|φ|
20、函数
分图象如图所示.
=sin 2x cos
ππ
+
cos 2x sin -cos 2x 66
=
1
2x -cos 2x 2
f (x ) =2cos 2x +23sin x cos x -1
π=sin(2x -)
6
(Ⅰ)求(Ⅱ)设x ∈[0,
=cos 2x +3sin 2x
1π=2(cos 2x +sin 2x ) =2sin(2x +)
226
T =
周期为
0≤x ≤
因为
f (x ) 的最小正周期及解析式;
g (x ) =f (x ) -cos 2x ,求函数g (x ) 在区间
πππ5π
-≤2x -≤
2,所以666
πππx =2x -=
3时,g (x ) 有最大值,最大值为1;62,即当 2x -
-
2π
=π. 2
π
2 ∴62 时,
sin(2x +
π
]
2上的最大值和最小值.
f (x ) =sin(2x +
π)
6; (Ⅱ)最大值为1;最
ππ=-66,即x =0,g (x ) 有最小值,最小值为
(2)
0≤x ≤
π
≤2x +
π
6
≤
7π
6
∴当
2x +
π
6
=
ππ
6
) =1
此时
【答案】(Ⅰ)
1
2. .
f (x ) max =2
∴当
2x +
π
6
=
π17πsin(2x +) =-62 此时6 时,
f (x ) min =-1
【解析】 23
、已知函数(Ⅰ)求函数
f (x ) 2x -2sin 2x .
f (x ) 的最大值;f (x ) 的零点集合
(II )求函数
【答案】(I )因为
f (x ) =3sin 2x -(1-cos 2x )
=sin(2x +
π
6
) -1,
2x +
所以,当函数
π
6
=2k π+
π
2
,即
x =k π+
π
6
(k ∈Z )
时,
f (x ) 取得最大值1.
(II )解法1 由(I )及
f (x ) =0得
sin(2x +
π
6
) =
1
2,
2x +
所以
π
6
=2k π+
π
6
,或
2x +
π
6
=2k π+
5π, 6即
x =k π, 或x =k π+
故函数
π
3
f (x ) 的零点的集合为
{x |x =k π, 或x =k π+
π
3
, k ∈Z }
范文三:空间几何体的表面积和体积例题
例题讲解:
2[例1]一个长方体全面积是20cm,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.
解析:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
2(xy,yz,zx),20(1),依题意得: ,(2)4(x,y,z),24,
2222由(2)得:x+y+z+2xy+2yz+2xz=36(3)
222由(3),(1)得x+y+z=16
,即, ,,
所以, ,:,,:。
点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。
例, 如图,所示,在平行六面体 ,, ,,中,已知 , , ,, ,, ,,,,,,,
, , 。 ,,3
(,)求证:顶点 在底面 ,,上的射影?在 ,的平分线上; ,
(,)求这个平行六面体的体积。
图, 图,
解析:(,)如图,,连结 ?,则 ? 底面 ,,。作?? 交 于?,作?? ,交,,
,于?,连结 ?, ?。由三垂线定得得 ? , ? ,。 ? ?, ,,,,,,
, , ? ? , ? , ? ?, ,,,,
从而?? ??。
,点?在 ,的平分线上。
,13(,) ? ,,, , ,223
3AM2, ? 。 ,2cos4
99,, ,又在 , ? 中, ? ? , , ,,,22
3232,302V,5,4,, ? ,平行六面体的体积为。 ,22
例, 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是2,3,6
( )
(, ,(, ,( (,362
解析:设长方体共一顶点的三边长分别为! ,,,,,,,,则对角线,的长为32
222, ;答案,。 a,b,c,6
点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素 棱长。 [例4]如图,三棱柱ABC—ABC中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EBC将三棱柱分11111成体积为V、V的两部分,那么V?V= ____ _。 1212
解析:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V+V,Sh。 12
?E、F分别为AB、AC的中点,
1?S=S, ?AEF4
1117S,V=h(S+S+)=Sh 134124
5V=Sh-V=Sh, 2112
, , ,, 。 ,,
点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。
题型,:锥体的体积和表面积
例 (, ,上海,, )在四棱锥 , ,,中,
,底面是边长为,的菱形,?, ,, ,对角线 ,
与 ,相交于点?, ??平面 ,,, 与平面 ,,
, , 所成的角为, ,求四棱锥 , ,,的体积,
, 解析:(,)在四棱锥 ,,中,由 ? 平面?
,, 得 ?是 与平面 ,,所成的角,
? , 。
在 , ? 中 ? , , , 由 ? ?,
33于是 ? ?,! , ,而底面菱形的面积为,。
133,四棱锥 , ,,的体积 , ,。 3
点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。
例, (, ,京皖春文,, )在三棱锥 ,中, , , ,且 , , ,
5 。(如图所示)
(,)证明: , ,;
(!)求侧面 ,与底面 ,所成二面角的大小;
图
(,)求三棱锥的体积 。 , ,
解析:(,)证明: , ,
, , ,。
又 : , ,
, 平面 ,。
由于 ,即 ,由三垂线定理,得 。 , , , , ,
(!) , ,, , ,。
, , 是侧面 , 与底面 ,所成二面角的平面角。
22在 , , 中, , , ,得 , , 。 5SB,BC
AC51,,在 , ,中 , , , , ,,,, , , SC102
, , , ,即侧面 ,与底面 ,所成的二面角的大小为, 。
(,)解:在 , ,中,
2222 , SC,AC,10,5,75
2511 , , , ,222
12512531,,75,, 。 , , , 3263
点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的
洞察力,并进行一定的逻辑推理。
题型,:锥体体积、表面积综合问题
例, ,,是边长为,的正方形, 、 分别是 、 ,的中点, 垂直于正方形 ,,所在的
平面,且 ,,,,求点 到平面 ,的距离,
解析:如图,取 的中点?,连接 、 ?、,,、 构造三棱锥 , 。
3,2242×4232,设点 到平面 的距离为,, ,,, ,,?,。 4
2222GOCOGC,,,,,,,()32218422 。
而 , 平面 ,,,且 ,,,。
11SEFGOh??,由VV,,得 BEFGGEFB,,?EFB36
点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 为顶点, 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法,从而简化了运算。
A 例, (, ,江西理,,,)如图,在四面体
ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个
面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、OD,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设F
F四棱锥A,BEFD与三棱锥A,EFC的表面积分别是
S,S,则必有( ) 12BEA(S,SB(S,S 12 12
CC(S=SD(S,S的大小关系不能确定 12 12
解析:连? 、? 、?,、?,,
则 , , , ,,,, ,? ,? ? ,
, , , 又 , , ,,,,,, ,? ,,? ,? , , ,
而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 , , , , , , , ,, , ,又面 公共,故选,
点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。
例 (, ,北京理,,,)如图 ,,,在多面体 ,, ,,中,上、下底面平,,,,行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于,两点, 上、下底面矩形的长、宽分别为,, 与!,,,且!,,,,, ,两底面间的距离为,。
(,)求侧面 与底面 ,,所成二面角的大小; ,,
(!)证明: ~面 ,,;
(,)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式 ,来计算 已知它的体积公估中截面
h式是 ( , ),试判断 与 的大小关系,并加以证明。 上底面中截面下底面估6
(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)
(,)解:过 ,作底面 ,,的垂直平面,交底面于 ?,过,,
作 ?,垂足为 。 ,,
如图所示: 平面 ,,~平面 ,,, , , ,,,,,,,
, ?, ,
, 为所求二面角的平面角 过,作, ?,垂足为 ,,,
由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等,故四边形 ?,,,图 为等腰梯形。
2h1, (,, ),又 ,,,,! (,, ), ,,b,d2
2h2h, !,,,! ,即所求二面角的大小为!,,,! ,b,db,d
(!)证明: ,,,是矩形 ,,的一组对边,有 ~,,,
又,,是面 ,,与面,, 的交线,
, ~面,, 。
是面 与面,, 的交线,
, ~ 。
是平面 ,,内的一条直线, 在平面 ,,外,
, ~面 ,,。
(,) , 。 估
证明: ,,,, !,,
ha,cb,da,cb,d, , (cd,ab,4,,),,h估62222
h ,,, ,!, ,(! ,)(, ),,(! ,)(, ), 12
h (!,,)(,, ), 。 12
, , 。 估
点评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体(拟柱体)中,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题,是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。
,例, (,)(, ,全国, )如果棱台的两底面积分别是 、 ,,中截面的面积是 那么( )
,,2S,S,S, ( ( ,(, , , , ,( ,, , S,SS 00
(,)(, ,全国,,)已知正六棱台的上、下底面边长分别为,和,,高为,,则其体积为( )
3333 (,, (,, ,(,, ,(,
解析:
(,)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为 ;
33,,3(,)正六棱台上下底面面积分别为: ,, ,,,, ,, ,上下44
13h(S,S,S,S),283,,,, ,,答案 。 台下下上上3
点评:本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用 特例法 来解,此种解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型,:圆柱的体积、表面积及其综合问题
范文四:空间几何体的表面积和体积
【目录名称】1.3空间几何体的表面积和体积 【目录ID 】11887
【单选题】题型一 求四棱柱的表面积和体积
将一个边长为a 的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了( ) 【A 】6a 2 【B 】12a 2 【C 】18a 【D 】24a 2 【答案】B 【考查点】
【点拨】如何将边长为a 的正方体切成27个全等的小正方体?将正方体的棱长三等分即可。
【解析】将正方体的棱长三等分,则每个小正方体的棱长为
2
a
,边长为a 的正方体3
a 22a 2
的表面积为S 1=6a ,每个小正方体的表面积为6?=,则27个小正方体的
932a 2
=18a 2. 故表面积增加了S 2-S 1=12a 2. 故选B. 表面积为S 2=27?3
【本题结束】
【单选题】题型一 求四棱柱的表面积和体积——变式训练1
一个长方体长宽高的长为1∶2∶3,表面积为198,这个长方体体积为( ) 【A 】1622 【B 】162 【C 】812 【D 】81 【答案】B 【考查点】
【点拨】设长方体长宽高的长分别为a 、2a 、3a ,则该长方体的体积为
V =a ?2a ?3a =6a 3,
表面积为S =2(a ?2a +a ?3a +2a ?3a ) =22a 2.
【解析】如图示:,设长方体的长为a ,则宽为2a ,高为3a ,
则表面积S =2[2a 2+3a 2+6a 2]=22a 2=198,解得a =3
V =a ?2a ?3a =6a 3=6?(3)3=162,故选B. 【本题结束】
【单选题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积
两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( )
【A 】1∶2∶3 【B 】1∶7∶19 【C 】3∶4∶5 【D 】1∶9∶27 【答案】B 【考查点】
【点拨】圆锥被分割成一个圆锥和两个圆台,圆台AB-CD 的体积=圆锥P-CD 的体积减去圆锥P-AB 的体积;圆台CD-EF 的体积等于圆锥P-EF 的体积减去圆锥P-CD 的体积; 根据
PA AB 1PC CD 21
==,==和圆锥的体积计算公式V =S 底?h 分别求出它PC CD 2PE EF 33
们的体积V 1, V 2, V 3.
【解析】如图示
CD //EF
:已知PA =AC =CE ,过A 作AB //EF ,过C 作
圆锥被分成的三部分分别是圆锥P-AB ,圆台AB-CD ,圆台CD-EF ,记它们的体积分别为V 1, V 2, V 3. ∵
PA AB 1PC CD 2==,== PC CD 2PE EF 3
1
V 1=πAB 2?PA
3
1117
V 2=πCD 2?PC -V 1=π(2AB ) 2?2PA -πAB 2?PA =πAB 2?PA
3333117119
V 3=πEF 2?PE -V 2-V 1=π(3AB ) 2?3PA -πAB 2?PA -πAB 2?PA =πAB 2?PA
33333∴V 1:V 2:V 3=1:7:19,故选B.
【本题结束】
【简答题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积——变式训练1
三棱锥的三个侧面两两垂直,且三个侧面面积分别为S 1、S 2、S 3,求它的体积.
111
【答案】V P -ABC =S 底?h =?AB ?AC ?AP
332
【考查点】
【点拨】如图:可以证明:三个侧面两两垂直,则它们的交线
也两两垂直。可得交线a ,b ,c 两两垂直,故三棱锥的体积
111
V P -ABC =S 底?h =?AB ?AC ?AP .
332
【解析】下面证明:三个面两两垂直,则它们的交线也两两垂直 设α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,α
β=a ,βγ=b ,γα=c
在a 上取一点P 作m ⊥γ,则m 在α内也在β内,所以m 和a 重合,所以a ⊥γ。 即a ⊥b ;a ⊥c 同理b ⊥c .
已知三个侧面的面积分别为S 1、S 2、S 3,不妨设S ?ABC =S 1、S ?ABP =S 2、S ?APC =S 3
111
即S 1=bc 、S 2=ac 、
S 3=ab ,∴abc
222
1111
∴V P -ABC =S 底?h =?AB ?AC ?AP =abc =.
3326
【本题结束】
【简答题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积——变式训练2
在△ABC 中∠C =90°,AC =8,BC =6,以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周,求所得到的几何体的表面积. 【答案】(1)96π;(2)144π;(3)【考查点】
【点拨】分别以AC 、BC 、AB 为旋转轴,以两条直角边AC 、BC 为旋转轴得到的是几何体是一个圆锥,以斜边AB 为旋转轴,得到的是两个圆锥的组合体。 【解析】分三种情况:分别以AC ,BC ,AB 为旋转轴,如下图示:
336
π 5
(1)当以AC 边所在的直线为轴旋转一周时,得到的几何体是一个圆锥(如图(1),它的母线长为AB ,底面圆半径为BC =6.由勾股定理,得
AB ===10.
∴这时圆锥的表面积=π?6?10+π?62=60π+36π=96π.
(2)当以BC 边所在直线为轴旋转一周时,得到的几何体也是一个圆锥(如图(2)),它的母线长为AB =10,底面圆半径为AC =8. ∴圆锥表面积=π?8?10+π?82=80π+64π=144π.
(3)当以AB 边所在直线为轴旋转一周时,得到的几何体是底面是同圆,母线长分别是AC 和BC 的两个圆锥(如图(3)). 作CD ⊥AB 于D .
∵∠ACB =90°,∴△ACD ∽△ABC .
∴
AC ?BC 8?6CD AC ==4. 8. .∴CD ==
AB 10BC AB
192
π. 5
∵以AC 为母线的圆锥的表面积=π?4. 8?8=以BC 为母线的圆锥的侧面积=π?4. 8?6=∴所求几何体的表面积=【本题结束】
144
π, 5
192144336
π+π=π. 555
【简答题】题型二 求三棱锥、圆锥的表面积和体积——变式训练3
已知矩形ABCD ,AD =2,CD =4,求矩形绕其一边旋转一周得到的几何体的表面积和体积。 【答案】 【考查点】
【点拨】分两种情况:分别为矩形的长为旋转轴、以矩形的宽为旋转轴。得到的几何体都是圆柱。
【解析】分别以CD 、AD 为旋转轴旋转一周,得到的图形如下图所示:
①以CD 为旋转轴,则圆柱的母线长l =h =4cm ,圆柱的上下底面的半径为
r =2cm .
根据圆柱的表面积公式S =2πr (r +l ) =2π?2(2+4)=24π(cm2) . 根据圆柱的体积公式V =S ?h =24π?4=96π(cm3) .
②以AD 为旋转轴,则圆柱的母线长为l =h =2cm , 圆柱的上下底面的半径为
r =4cm .
根据圆柱的表面积公式S =2πr (r +l ) =2π?4(4+2)=48π(cm2) . 根据圆柱的体积公式V =S ?h =48π?2=96π(cm3) . 【本题结束】
【单选题】题型三 求棱柱、圆柱的表面积和体积
有一种圆柱体形状的笔筒,底面半径为4 cm,高为12 cm. 现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色,笔筒厚度忽略不计). 如果每0.5 kg涂料可以涂1 m2,那么为这批笔筒涂色约需涂料( )
【A 】1.23 kg 【B 】1.76 kg 【C 】2.46 kg 【D 】3.52 kg 【答案】D 【考查点】
【点拨】利用公式计算出100个笔筒的表面积,笔筒的表面积由两个圆形笔筒底面、两个圆柱侧面组成,根据每0.5 kg涂料可以涂1 m2,从而可以求出需要多少涂料。
【解析】S 侧面=2πr ?h =2?0.04?0.12π=0.0096π
S 底面=πr 2=(0.04)2π=0.0016π
∴每一个笔筒的表面积有:S =2(S 侧面+S 底面) =2(0.0096π+0.0016π) =0.0224π. 故100个笔筒的表面积为S 总=100S =2.24π≈7.8776m 2
又∵每0.5 kg涂料可以涂1 m2,故总共需要涂料约7.8776?0.5=3.52kg . 故选D. 【本题结束】
【简答题】题型三 求棱柱、圆柱的表面积和体积——变式训练1
六角螺帽(正六棱柱挖去一个圆柱)毛坯的底面六边形边长是12mm ,高是10mm ,内孔直径是10mm (如下图),求此螺帽的表面积.
【答案】 【考查点】
【点拨】螺帽由正六棱柱挖去一个圆柱组成,此螺帽的表面积包括六棱柱的6个侧面面积、两个正六边形面积减去圆柱的两个底面面积、一个圆柱侧面面积。 【解析】设螺帽的表面积为S ,则S =S 棱柱侧+2S 棱柱底+S 圆柱侧-2S 圆柱底
1而S 棱柱侧
=c ?h =12?6?10=720(mm 2) ,S 棱柱底=6??122=mm 2) .
2S 圆柱侧=2πrh =2π?5?10=100π(mm 2) , S 圆柱底=πr 2=π?52=25π(mm 2) .
∴S =720+2?100π-2?25π=720+50π(mm 2).
答:螺帽的表面积为(720+50π) mm 2. 【本题结束】
【简答题】题型三 求棱柱、圆柱的表面积和体积——变式训练2
如图
求 V P -B B 'C 'C :V ABC -A 'B 'C '. 【答案】 【考查点】
B C -A B C 中,P 为A A ,三棱柱A 上一点, ''''
【点拨】方法一利用将三棱柱补成平行六面体的思想;方法二利用棱柱体积的分割
思想。
1
【解析】方法一:设 S 的距离为 . h ,则V S h =S , A AB 到平面B C C '''P -B B C C B B C C ''''
3
把三棱柱 A 为相邻侧面的平行六面体,此B C -A B C 接补成以D D C C 和B B C C '''''''平行六面体体积为原三棱柱体积的两倍.
V 1P -B BC 'C ' V S h A B C -'A B C ''
2V A B C -ABC '''
1
S h
2 13S h 2
方法二:V =-V V -V P -B B C C A B C -A B C P -A B C P -A B C ''''''''
设S ?ABC =m ,棱柱的高为h ,则三棱柱的体积V ABC -A 'B 'C '=m ?h
1111
V P -ABC +V P -A 'B 'C '=mh 1+mh 2=m (h 1+h 2)=mh , 其中h 1是点P 到底面ABC 的距
3333
离,h 2是点P 到上底面A 'B 'C '的距离,且h 1+h 2=h . ∴V P -BB 'C 'C =V ABC -A 'B 'C '-V P -ABC -V P -A 'B 'C '=mh -1m ?h =2mh .
3
3
∴V P -AB 'C 'C :V ABC -A 'B 'C '=
2
. 3
【本题结束】
【简答题】题型四 球的截面问题
球的半径为8,经过球面上一点作一个平面,使它与经过这点的半径成45°角,则这个平面截球的截面面积为32π. 【答案】 【考查点】
【点拨】球的任何截面都是圆。
【解析】
如图示: ,O 点为球心,点M 为截面的圆心,则AN 为圆M 的直径,
OA =ON , ∴OM ⊥NA ,∠OAN =45?且OA =
8,AM =OAcos 45?=8= ∴S =πAM 2=32π. 【本题结束】
【简答题】题型四 球的截面问题——变式训练1
在半径为5cm 的球面上有A 、B 、C 三点,已知AB =6.4cm ,BC =4.8cm ,
CA =8cm ,那么过这三点的平面和球心距离为【答案】 【考查点】
【点拨】要求点到平面的距离,关键是找出或作出该点在平面内的射影,点A 、B 、C 三点都在球上,则球心O 到三点的距离相等,即OA =OB =OC ,则球心O 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心,可以判断△ABC 为直角三角形,CA 为斜边,那么球心在底面的射影为斜边AC 的中点,从而利用勾股定理进行求解
【解析】
如图示:,根据分析可知,OD ⊥面ABC ,且点O 为CA 中点 显然AB 2+BC 2=AC 2,∴△ABC 为直角三角形,BD =
1
AC =4 2
在Rt ?ODB 中,∠ODB =
90,根据勾股定理有OD 3cm . 故球心O 到平面的距离为3cm. 【本题结束】
【简答题】题型四 球的截面问题——变式训练2
已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心O 的距离等于球半径的一半,且AB =
BC =CA =2,则V O -ABC 【答案】 【考查点】
64π=9
【点拨】点A 、B 、C 三点在球面上,故OA =OB =OC ,∴点O 在平面ABC 内的射影为
△ABC 的外心,又因为AB =BC =CA =2,故点D 为△ABC 的中心,已知
O D =
1O A ,利用勾股定理可求出球心到平面ABC 的距离OD ,再利用三棱锥的体2
1
积公式V O -ABC =S 底?h 即可进行求解.
3
【解析】如图示:
∵AB =BC =CA =2,故△ABC 为等边三角形,
1
∴S ?ABC =?22?sin 60=2
点D 为点O 在平面ABC 内的射影,∵OA =OB =OC ,∴点D 为△ABC 的外心,又△ABC 为正三角形,故点D 为
△ABC 的中心 ∴BD =AD =CD =
, 3
1R 42
又∵OD =OA =,根据勾股定理OB 2=OD 2+BD 2,解得R =,∴BD =
33
22
112V O -ABC =S 底?OD ==.
3339
【本题结束】
【单选题】题型五 根据三视图的平面图求图形的面积与体积
如图,一个空间多面体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( )
.
【A 】 【B 】 【C 】 【D 】1 【答案】A 【考查点】
16
1312
【点拨】如图示:选取正方体的一角, 三棱锥
P -ABD 的三视图是全等的等腰直角三角形, 且AB =AD =AP =1,根据三棱锥的
1
体积公式V =S 底?h 进行求解.
3
1111
【解析】V =S 底?h =?AB ?AC ?AP =,故选A.
3326
【本题结束】
【单选题】题型五 根据三视图的平面图求图形的面积与体积——变式训练1 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm ),则该几何体的表面积及体积为( )
【A 】24πcm 2,12πcm 2 【B 】15πcm 2,12πcm 2 【C 】24πcm 2,36πcm 2 【D 】以上都不正确 【答案】A 【考查点】
【点拨】根据三视图可以判断出该几何体为圆锥,且母线长为5,底面直径为6,
1
根据圆锥的体积公式V =S 底?h 和表面积公式S =πr (r +l ) 进行计算.
3
【解析】根据三视图可知,r =3,l =
5
11
根据公式有V =S 底?h =πr 2=12πcm 3
33
S =πr (r +l ) =π?3(3+5) =24π,故选A.
【本题结束】
【单选题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算 球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于( ) 【A 】
1
【B 】1 【C 】2 【D 】3 2
【答案】D 【考查点】
4
【点拨】根据公式有πR 3=4πR 2,∴R =3. 故选D.
3
【解析】选D. 【本题结束】
【简答题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算——变式训练1
球的表面积扩大为原来的4倍,则它的体积扩大为原来的____倍 【答案】8 【考查点】
【点拨】表面积扩大为原来的4倍,即半径扩大为原来的2倍,根据球的体积公式
4
V =πR 3,可知体积扩大为原来的8倍.
3
【解析】根据S =4πR 2知,表面积扩大为原来的4倍,即半径扩大为原来的2倍,
4
根据球的体积公式V =πR 3,可知体积扩大为原来的8倍.
3
【本题结束】
【单选题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算——变式训练2 木星的体积约是地球体积的30倍,则它的表面积约是地球表面积的( ) 【A 】60倍 【B 】60倍 【C 】120倍 【D 】12030倍 【答案】C 【考查点】
【点拨】木星的体积是地球体积的
,也就是
2R 木
3R 木3地
R
简,从而得到
R
2地
=120,即木星的表面积是地球的表面积的120倍.
433
R 地【解析】依题意得V 木地
,即πR 木
3∴
3
R 木3R 地
2R 木
2R 木2R 地
=(
3R 木3R 地
) ===120.
2323
S 木S 地
=
R
2地
=120,故选C.
【本题结束】
【单选题】题型六 球的半径、表面积、体积之间的比例运算——变式训练3
已知体积相等的正方体、等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)、球的表面积分别为S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系为( )
【A 】S 1>S 2>S 3 【B 】S 1<S 3<S 2 【C 】S 2<S 3<S 1 【D 】S 2<S 1<S 3 【答案】A 【考查点】
【点拨】不妨设正方体的棱长为a ,球的半径为R ,等边圆柱的底面半径为r , 根据体积相等得:
4
V =πR 3=a 3=2πr 3,从而表示出S 1、S 2、S 3进行比较大小。
3
【解析】设球的半径为R 、正方体的棱长为a , 等边圆柱的底面半径为r , 且它们的体积都为V ,
4 则:V =πR 3=a 3=
2πr 3, ∴R =
a
,r =
3∴S 3=4=S 1==
S 2=2π2π?2= ∴S 3
【本题结束】
【简答题】题型七 正四面体的外接球、内切球
一个棱长都为a 的正四面体的四个顶点全部在同一个球面上, 则此球的表面积为【答案】 【考查点】
【点拨】如下图示,A 、B 、C 、D 四点共球面,则OA =OB =OC =OD =R , R 为球的半径,
且AB =AC =AD =a ,∴点A 、O 在底面BCD 的射影E 为?BCD 的外心,又∵
?BCD 为正三角形,∴点E 为?
BCD 的中心,BE =
Rt ?ABE ,AE =
和Rt ?OBE 中利用勾股定理有:OB 2=OE 2+BE 2, AB 2=BE 2+(AO +OE ) 2, 从而求出球的半径R ,
根据公式S =4πR 2求解。
【解析】如图
:体, AB =AC =AD =a ,
, 四面体A-BCD 为正四面
∴点A 在底面BCD 上的射影为正三角形BCD 的中心,
又∵点A 、B 、C 、D 四点在同一球面上,故OA =OB =OC =OD =R ∴球心O 在底面BCD 上的射影为正三角形BCD 的中心, ∴点A 、点O 在底面BCD 的射影共点,且为?BCD 的中心 已知正四面体的棱长为a ,取CD 中点F ,连接BF 、AF ,设OE =b
∴BE =
2
BF =
,AE ==
3又∵AE =AO +OE =
2a ) .
3
在Rt ?OBE 中,根据勾股定理有OB 2=OE 2+
BE 2,即R 2=b 2+??R =?解得?
?b =??
22
,根据球的表面积公式S =4πR 2=4π?6a =3πa .
1623
【本题结束】
【简答题】题型七 正四面体的外接球、内切球——变式训练1
正四面体的棱长为a ,在正四面体内作一个球与正四面体的四个面相切,则球的体积为___. 【答案】 【考查点】
【点拨】求球的体积,关键是求出球的半径或直径,利用棱锥的等体积公式
4
V A -BCD =V O -BCD +V O -BCA +V O -BAD +V O -ACD 求出内切球的半径,根据公式V =πr 3求得
3
球的体积.
【解析】如图示:
12
∵四面体为正四面体,∴四面体A-BCD
各个面的面积为S =a 2sin 60=
2BE =
,AE =, 根据V A -BCD =V O -BCD +V O -BCA +V O -BAD +V O -ACD ,且S BCD =S ABC =S ABD =S ACD
11111
∴S ?BCD ?AE =S ABC ?r +S ABD ?r +S AcD ?r +S ?BCD ?r 33333433即AE
=
r ,∴r =AE =
=
344443V =πr 3=π) =.
33【本题结束】
【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积
已知正方体外接球的体积是【A
】 【B
】【答案】D 【考查点】
32
π,那么正方体的棱长等于( ) 3
【C
】 【D
3【点拨】正方体外接球,故球的直径等于正方体的对角线长,若正方体的棱长为a ,球的半径为R
,则有AD =2R ==.
【解析】如图:
∵正方体外接球,故有2R = 又∵正方体的外接球的体积为∴a =
设正方体AD 的棱长为a ,球的半径为R ,
324
π,根据球的体积公式V =πR 3得R =2
33
,故选D. =【本题结束】
【简答题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变式训练1
表面积为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积. 【答案】 【考查点】
【点拨】球内接正四棱柱,即正四棱柱外接球,此时球的直径等于正四棱柱的对角线的长
【解析】如图:
∵4πR 2=324π,∴R =9,
∴14+
2
设球的半径为R ,正四棱柱底面边长为a ,
=182,∴a 2=64,∴a =8.
)
2
∴S 四棱柱=2a 2+4a ?14=64?2+32?14=576. 【本题结束】
【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变式训练2
与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为( ) 【A 】
ππππ 【B 】 【C 】 【D 】 2643
【答案】B 【考查点】
【点拨】根据球的表面积公式S =4πR 2知,关键是求出球的直径或半径;已知球与正方体的各个面都相切,故球的直径等于正方体的棱长。
解:
如图示:
设正方体AC 1的棱长为a ,正方体的有六个面,且
每个面都是正方形,所以正方体的表面积为S 1=6a 2;
∵球与正方体的各个面都相切,∴球的直径等于正方体的棱长,即2R =a ,R =
a
2
a
根据球的表面积公式S 2=4πR 2=4π() 2=πa 2.
2
S 2πa 2π
∴=2=. 故选B. S 16a 6【本题结束】
【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变式训练3
棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切,则球的体积为( )
π2
π4 【A 】4π 【B 】 【C 】3 【D
】
4【答案】C 【考查点】
23323
【本题结束】
【单选题】题型八 正方体的外接球、内切球、内部膨胀球的表面积与体积——变式训练4
有一棱长为a 的正方体框架,其内放置一气球,是其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为( ) 【A 】πa 2 【B 】2πa 2 【 C】 3πa 2 【D 】4πa 2 【答案】B 【考查点】
【点拨】要求球的表面积,关键是求出球的半径或者直径;由题意气球充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状),与棱长为a 的正方体框架相切,球的半径就是正方体面对角线的一半.求出半径,即可求出球的表面积.
范文五:空间几何体的表面积和体积(教案)
41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积
一.命题走向
由于本讲公式多反映在考题上,预测008年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式;
(2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题;
二.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式
表中S 表示面积,c ′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h ′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。
四.典例解析
例1.一个长方体全面积是20cm 2,所有棱长的和是24cm ,求长方体的对角线长.
解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得:?
(1) ?2(xy +yz +zx ) =20
(2) ?4(x +y +z ) =24
由(2)2得:x 2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)
由(3)-(1)得x 2+y2+z2=16 即l 2=16
所以l =4(cm)。
点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。
例2.如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若E 、F 分别为AB 、AC 的中点,平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分,那么V 1∶V 2= ____ _。
解:设三棱柱的高为h ,上下底的面积为S ,体积为V ,则V=V1+V2=Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点,
∴S △AEF =
1S, 4
V 1=
1117
h(S+S+S ?)=Sh
41234
V 2=Sh-V1=
5
Sh , 12
∴V 1∶V 2=7∶5。
点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。
例3.(2006上海,19)在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠DAB =60 ,对角线AC 与BD 相交于点O ,PO ⊥平面ABCD ,PB 与平面ABCD 所成的角为60,求四棱锥P -ABCD 的体积?
解:(1)在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD, 得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角,∠PBO=60°。
在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ,
于是PO=BOtan60°=3,而底面菱形的面积为2。 ∴四棱锥P -ABCD 的体积V=
1
×2×3=2。 3
点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 例4.(2006江西理,12)如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ,且与BC ,
DC 分别截于E 、F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,
设四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积分别是S 1,S 2,则必有( )
A .S 1S 2 C .S 1=S2 D .S 1,S 2的大小关系不能确定
C
解:连OA 、OB 、OC 、OD ,
则V A -BEFD =V O -ABD +V O -ABE +V O -BEFD
V A -EFC =V O -ADC +V O -AEC +V O -EFC 又V A -BEFD =V A -EFC ,
而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故S ABD +S ABE +S BEFD =S ADC +S AEC
+S EFC 又面AEF 公共,故选C
点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。
例5.(1)(1998全国,9)如果棱台的两底面积分别是S 、S ′,中截面的面积是S 0,那么( ) A .2
S 0=S +S B .S 0=S S C .2S 0=S +S ′ D .S 02=2S ′S
(2)(1994全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为( ) A .32
B .28
C .24
3
D .20
3
解析:(1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为A ; (2)正六棱台上下底面面积分别为:S 上=6322
·2=6,S 下=6·4=243,44
V 台=h (S 上+S 上?S 下+S 下) =28,答案B 。
点评:本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种
解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。
题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题
例6.(2000全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
13
1+2πA .
2π1+4π1+2π B . C .
4ππ1+4π
D .
2π
解析:设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+(2πr )2=2πr 2(1+2π). S 侧=h 2=4π2r 2, ∴
S 全1+2π=。答案为A 。 S 侧2π
点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。
例7.(2003京春理13,文14)如图9—9,一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水. 若放入一个半径为r 的实心铁球,水面高度恰好升高r ,则
R
。
r
解析:水面高度升高r ,则圆柱体积增加πR 2·r 。恰好是半径为r 的实心铁球的体积,因此有
R 23432πr =πR 2r 。故=。答案为。
3r 33
点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
例8.(1)(2002京皖春,7)在△ABC 中,AB =2,BC =1.5,∠ABC =120°(如图所示),若将△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( ) A .
(2)(2001全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为全面积是( )A .3π B .3
解析:(1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差,又∵求得AB =1。
∴V =V C -ADE -V B -ADE =(2)∵S =
9
π 2
B .
7π 2
C .
5
π 2
D .
3π 2
3,则这个圆锥的
π C .6π D .9π
1513π
,答案D 。 ?π?3?-?π?3?1=
3232
11
ab sin θ,∴a 2sin60°=, 22
∴a 2=4,a =2,a =2r ,
∴r =1,S 全=2πr +πr 2=2π+π=3π,答案A 。
点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
例9.(2000全国文,12)如图所示,OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( ) A .
111
B . C . 222
D .
1
2
解析:如图所示,由题意知,
13πr 2h =1
6
πR 2h , ∴r =
R
2
. 又△ABO ∽△CAO , ∴r OA R 22
OA =R ,∴OA =r ·R =
2, OA =R 2
, ∴cos θ=
OA R =1
2
,答案为D 。 点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。
例10.已知过球面上A , B , C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,AB =BC =CA =2,求球的表面积。
解:设截面圆心为O ',连结O 'A ,设球半径为R ,
则O 'A =
23?2?2=3
, 在Rt ?O 'OA 中,OA 2
=O 'A 2
+O 'O 2
,
∴R 2
=(212
3+4
R , ∴R =
43
, ∴S =4πR 2
=
64
9
π。 点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。
且
例11.如图所示,球面上有四个点P 、A 、B 、C ,如果PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA=PB=PC=a ,求这个球的表面积。
解析:如图,设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ,圆心为O ′,球心到该圆面的距离为d 。
在三棱锥P —ABC 中,∵PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA=PB=PC=a ,
∴AB=BC=CA=2a , 且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′。
由正弦定理,得
2a 6
=2r,∴r=a 。
sin 60?3
又根据球的截面的性质,有OO ′⊥平面ABC ,而PO ′⊥平面ABC ,
222
∴P 、O 、O ′共线,球的半径R=r +d 。又PO ′=PA -r =a -
2
2
322
a =a , 33
∴OO ′=R -
33
a =d=R -r ,(R-
22
33
a ) 2=R2 – (
62a ) ,解得R=a , 32
∴S 球=4πR 2=3πa 2。
点评:本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R=
a , 下略。 2
题型9:球的面积、体积综合问题
例12.(1)(2006四川文,10)如图,正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点A , B , C , D 在球O 的同一个大圆上,点P 在球面上,如果V P -ABCD =则球O 的表面积是( )
A .4π B .8π C .12π D .16π
(2
,求球的表面积和体积。
解析:(1)如图,正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点
16
,3
S ABCD =2R 2,点P 在球面上,PO ⊥底面ABCD ,PO=R,A , B , C , D 在球O 的同一个大圆上,
V P -ABCD =
16116
,所以?2R 2?R =,R=2,球O 的表面积是16π,选D 。 333
(2)作轴截面如图所示,
CC '=
,AC ==
设球半径为R , 则R =OC +CC '
=+=9
∴R =3,
∴S 球=4πR =36π,V 球=
2
222
22
43
πR =36π。 3
点评:本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。
例13.表面积为324π的球,其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。
解: 设球半径为R ,正四棱柱底面边长为a ,
则作轴截面如图,AA '=
14,AC =又∵4πR =324π,∴R =9,
∴AC =
2
,
=a =8,
∴S 表=64?2+32?14=
例14.在半径为13cm 的球面上有A , B , C 三点,AB =BC =AC =12cm ,求球心到经过这三点的截面的距离。
解:设经过A , B , C 三点的截面为⊙O ',
设球心为O ,连结OO ',则OO '⊥平面ABC ,
∵AO '=
2
12?=,
3
∴OO '==11, 所以,球心到截面距离为11cm .
例15.在北纬45圈上有A , B 两点,设该纬度圈上A , B
两点的劣弧长为球半径),求A , B 两点间的球面距离。
R (R 为地4
解:设北纬45圈的半径为r ,
则r =
R ,设O '为北纬45圈的圆心,∠AO ' B =α,
4
∴αr =
∴α=
R α=R , R ,∴244
,∴AB =
π
2
=R ,
∴?ABC 中,∠AOB =
π
3
,
所以,A , B 两点的球面距离等于
π
R . 3
点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,
例16.地球半径为R ,A 、B 两地都在北纬45°线上,且A
、B 的球面距离为 两地经度的差. 解:90度
,求A 、B
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为a ,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全=a ;
2
(2)体积:V=
23
a ; 12
2
a ; 2
(3)对棱中点连线段的长:d=
(4)内切球半径:r=
6
a ; 12
a ; 4
(5)外接球半径 R=
(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高) 。 2.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面 体有下列性质:
如图,在直角四面体AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面ABC 是锐角三角形;
②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心;
③体积 V=④底面△ABC =
2
1
abc ; 6
a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2;
12
⑤S △ABC =S△BHC ·S △ABC ; 2222
⑥S △BOC =S△AOB +S△AOC =S△ABC
1111
=+2+2; 22
OH a b c
1
a 2+b 2+c 2; ⑧外切球半径 R=2
⑦
⑨内切球半径 r=
S ?AOB +S ?BOC -S ?ABC
a +b +c
3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图,圆锥的顶角为β,母线与下底面所成角为α,母线为l ,高为h ,底面半径为r ,则
α=cosα+
βh
= , l 2
β
=90°?2
cosα=sin
r = . 2l
②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α,母线为l ,高为h ,上、下底面半径分别为r ′、r ,则h=lsinα,r-r ′=lcosα。
③球的截面
用一个平面去截一个球,截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;
(3)球心和截面距离d, 球半径R ,截面半径r 有关系:
r=R -d .
4.经度、纬度:
经线:球面上从北极到南极的半个大圆;
2
2
纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;
经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。
纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
5. 两点的球面距离:
球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们两点的球面距离公式:(其中R 为球半径, 为A,B 所对应的球心角的弧度数)
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