范文一:§1.6. 复变函数的极限与连续性
?1.6. 复变函数的极限与连续性 教学目的:能正确熟练地证明简单常见函数极限和函数连续问题( 重点:复变函数的极限概念的理解与应用;复变函数的连续的性质.复变函数的
极限与连续概念和实函数相应概念的区别与联系. 难点:复变函数的极限与联系概念和实函数相应概念的联系与区别. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合
教学过程:
1(极限与连续的定义
复变函数的极限与连续的定义形式与一元函数极限与连续类似,其定义如下, 【定义4】设定义在点集上, 为点集的聚点, 为一确定
的复数, 如果对任意的, 总存在,使得 当, 且
时, 总有 , 则称为当趋近于时的极 限,记为 (
0 注: 1 是指当在点集上沿任何方式趋近于时, 都以为极限, 因此在点集上沿某一方式趋近于时,的极限不 存在;或在点集上沿某两种方式趋近于时, 的极限都存在但值不
相等, 则不存在(
02. 记, , , ,
我们有如下定理: 关于复变函数的极限,
【定理 1】 设, 为点集的聚点,
,
则的充要条件是,
(
证明 由下面的不等式及极限的定义立即可得(
(
03. 类似于实函数, 关于复变函数我们也有极限的惟一性,局部有界性, 局部不等性,极限的四则运算性等性质, 但没有极限的不等式性质( 思考:写出复变函数极限的惟一性,局部有界性, 局部不等性,极限的四则运算性( 【定义5】设定义在点集上, , 如果对任意的, 总存 在,使得 当, 且时, 总有, 则称
在点(对于点集)连续. 结合定义4, 如果还是点集的聚点, 则在点连续,也就是(
类似于极限, 关于复变函数连续, 我们与实函数连续相类似的性质(如:连续的局部有界性,局部不等性,连续的四则运算性以及复合函数的连续性等) ( 【定理2】设定义在点集上, ,记 ,
, 则在点连续的充要条件是两个二元实函数,
都在点连续(
重要结论:1)连续函数的四则运算(商时,分母不为零)仍然连续;
2)两层复合的函数,若内外层均连续,则复合函数连续(
3)幂函数(为正整数)与一般的多项式函数
是复平面上的连续函数(有理函数
在除分母为0的点外的复平面上处处连
续(
同二元实函数一样,在有界闭区域上的复连续函数,具有性质: 1) 有界闭区域上的连续函数是有界的(
2) 有界闭区域上的连续函数,在上其模 至少取得最大值与
最小值各一次(
3) 有界闭区域上的连续函数在上是一致连续的,即对
,当,
其中 ,则有 (
思考:利用定理2说明函数, , 的连续性(
口答:,_______,7+2i______________ .
重要结论:复变函数的极限运算:型罗必达法则仍成立;对单值函数成立等
价无穷小;
成立;极限的四则运算性质仍成立(
复函中常用的等价无穷小有:时,
例1 问函数 在处有无极限(
解 的定义域是全平面除去的区域(当时,设
则
考虑从出发的方向角为的射线,则有
,显然对于不同的,上述极限不相同,故函 数在的极限不存在(
另证:因为 ,又因为, 所以 不存在,故 不存在. 练习:证明函数 在处无极限(
例2 讨论函数 在原点处的极限(
解 任取从原点出发的一条射线, 由于
( 故当沿此射线趋于零时 .
显然极限与射线的方向有关(所以不存在.
(如图1.20)
法二:令则
所以f(z)在z=0无极限.
法三:
令z沿直线y=kx趋向于零,有
显然,当k取不同的值时,u(x,y)趋向于不同的值
所以,不存在.
例3 求证: 在全平面除去原点和负实轴的区域上连续,在原点及负实轴上不连续(
证明 设为全平面除去原点和负实轴的区域
上任意一点,考虑充分小的正数,使角形区域与负实
轴不相交,由图形可以看出以为中心,到射线的距离为半径
所作的圆盘,一定落在上述角形区域内,即取满足,则当
时就有(因此在连续,由的任意性知
在所属区域内连续((如图)
设是负实轴上任意一点,则
及(
在原点处无意义.
故 在原点及负实轴上不连续(
例4 若, 则函数必在点
的某一去心邻域内有界(极限的局部有界性) (
证明 由极限的定义,取, 存在, 当时, 总有
,
从而 , 即, (
例5 设函数在点连续, 且, 则必在的某邻域内 恒不为零(连续的局部不等性) (
证法1 由连续的定义, 取, 存在, 当时, 总有
, 从而 ,
, (
证法2 记, . 因在点连续, 由定理2,, 都在点连续, 故
也在点连续, 再由二元实函数连续的局
部保号性知结论成立(
2(有界闭集上连续函数的性质
类似于闭区间上一元连续实函数的性质, 关于复变函数我们有如下定理: 【定理3】如果函数在有界闭集上连续, 则
(1) 在上有界(即存在正数, 使得对任意, 有
);
(2) 在上有最大值和最小值;
(3) 在上一致连续(
证明 记, 因在有界闭集上连续, 由定理2,
, 都在有界闭集上连续, 故也
在有界闭集上连续, 再由在有界闭集上二元实函数连续的有界性, 最值
性和一
致连续性知成立(
0 注: 1.函数在上一致连续是指对任意的, 总存在, 使得 对任意, 只要, 总有
0 2.函数在上不一致连续是指存在, 使得对任意总存在
总存在, 虽然, 但
0由2可得, 若存在中两个点列{}, {}, 使得
(), 但, 则在上一定不一 致连续(
例6 证明:在单位圆内不一致连续(
证明 取, (为正整数), 显然它们都属于单位圆
,且
但, 所以在上一定不一致连续( 提问:
1.若在处极限存在,则存在. (× )
2(在点处不连续(( )
3(在点-3处连续(( )
4.函数在点处连续的充要条件是( C )
A、处连续, B、处连续 C、处连续,D、处连续. 练习:
1. 写出下列函数的直角坐标表示和极坐标表示
(1) ; (2) (
解 记 , 则 (1) ,
(2) , (
2. 函数将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线?
(1); (2); (3); (4)(
解 记, , 则
比较两边的实部和虚部得 ,
(1)若, 则, 即w
平面上以原点为心, 为半径的圆周(
(2)若, 即, 则 , 即w平面上第二四象限的
角平分线(去掉原点).
(3)若, 则, , 从而,
, 即w平面上以为心, 为半径的圆周(
(4)若, 即, 则, 即(
3. 证明, 都在平面上连续( z
证明 因为在平面上连续, 由连续函数的四则运算性得 在平面上
连续.
记, . 因, 从而, ( 显然
, 都是平面上的二元连续函数(
由复变函数连续与实、虚部二元实函数连续的关系得 都在z平面上连续( 4. 讨论函数在原点的极限(
解 取沿从原点出发的射线趋于0, 由于, 所以
显然极限值与有关, 故不存在(
5. 证明: 若,且则函数必在点的某一去心邻域内恒不为
零(极限的局部不等性) (
证明 (证法1) 由极限的定义, 取, 存在, 当时, 总
有, 从而,
, (
(证法2) 记, . 因在点的极限存 在, 由复变函数的极限与实、虚部二元实函数极限之间的关系知, , 都在点的极限也存在, 故在点的极限也 存在, 且 再由二元实函数极限的局部保号性知结论成立(
小结:1(利用定义证明复函数极限是否存在以及复函数的连续问题时,注意将复函数问题
转化为实函数问题去解决(
2(复函数求极限的常用方法要熟记,特殊函数的极限要熟记;复函数极限存在与二
元实函数极限存在类似,要沿任意方向趋于定点(
易犯错误:复函数极限的存在判定以及复函数的连续的判定不知从何下手(
范文二:复变函数 第四节 复变函数的极限和连续
?1.4 复变函数的极限和连续 极限的定义
设函数为wf(z)在点在z的某空心,0
,临域0zz内有定义。若AC,,,,,,0
,,,, 0,(),使当0zz,,,,,,,,0,
时,有
,,f(z)A,则称A为f(z)当z趋于z是的极限,记为0
f(z)A或者f(z)A(zz),,,lim0z,z0
当zz时,指z在平面上从任何方向,,0
任何路径`
由定义可以得到
定理1.z,z时,0
f(z),A,f(z),A,0定理2 若
f(z),u(x,y),i,v(x,y),A,u,i,v00
z,x,iy,z,x,iy,000
则有
f(z),A,lim
z,z0
u(x,y),uv(x,y),vlimlim00x,xx,x00
,,yyyy00
由二元函数极限的运算性质,可得 定理3 f(z),A,g(z),B,limlim
,,zzyy00则
(1)f(z)g(z)AB,,,,,lim
z,z0
,,(2)f(z)g(z)AB,,, lim
z,z0
f(z)A,,(3)当B,0时,,lim,,g(z)Bz,z,,0
Rez
举例证明不存在lim
zz,0
证令zxiy,z沿直线ymx0时,,,,
Rezx1
,,limlim
zx,iy1,imz,0x,0
Rez上式随m不同而异,故不存在。lim
zz,0
复变函数的连续性
定义:w,f(z)在z的某个邻域内有定义,0
若当z,z时有f(z),f(z),则 00
称f(z)在z处连续。0
若f(z)在区域D处处连续,则称f(z)在D连续。
由定理2得
定理4,()(,)(,)在点w,fz,uxy,ivxy
连续(,)和(,)在z,x,iy,uxyvxy000
(,)都连续。xy00
由定义及定理3得
定理5在同一区域内,连续函数的和,差,积,商(分母不为0)仍连续,连续函数的复合函数也是连续函数。由定理4和5得,多项式
nw,p(z),a,az,?,az01n
在Z平面上处处连续,有理函数
p(z)
w,(p(z),q(z)为多项式)
q(z)
在除去分母为0的点外都连续
由定理4可以得
定理6w,f(z)在有界闭域D上处处连续,
则f(z)在D上也连续,且,M,0,使
f(z),Mz,D
证明:由定理fzuxyivxy4(),(,),(,)在D上处处连续,则函数uxyvxy在D(,),(,)
22 上也是处处连续,从而fzuv在D(),,上连续,由二元连续函数在D上处处连续必有界,即得。
0z,0,
,Imz举例:f(z),,z,0 ,1,z,
问f(z)在原点是否连续?
Imzy
解:,,y,0(z,0)
221,z1,,yx
Imz
故,0,f(0),f(z)在原点连续lim
1,zz,0
1zz
举例f(z),(,)(z,0)
2izz
试证f(z)在原点无极限,从而不连续
(即使补充定义)
,,
证明:令zr(cosisin),则,,
2211(zz)(zz),,,zzf(z),,,22izz2i,r
1,,,,2rcos,2rsin22ir
,sin2,
,从而f(z),0(沿正实轴,0)lim
z,0
,
f(z),1(沿arg,)lim
4z,0
故f(z)在原点无极限。
范文三:复变函数的极限
第2章 导 数
2.1 复变函数的极限 2.2 复变函数的连续性 2.3 导数 2.4 解析函数 2.5 调和函数 习题课
2.1复变函数的极限 1 复变函数极限的概念 2 复变函数极限定理
1 复变函数极限的概念 定义2.1 设函数意给定的正数
f (z ) 在z 0的某去心邻域内有定义,若对任
ε (不论它多么小).总存在正数δ(ε) ,使得适合不
等式0<|z ?z="">|z><δ(ε) 的一切z="" ,对应的函数值f="" (z="" )="">δ(ε)>
满足不等式
|f (z ) ?A |<>
那么,常数
A 就叫做函数f (z ) 当z →z 0时的极限,记作
或 f (z ) →A (z →z ). lim f (z ) =A 0z →z
例2.1 证明 若lim f (z ) =A ,则
z →z
lim|f (z )|=|A |. z →z
00
?
证 因为
lim f (z ) =A ,所以 z →z
0,当
对?
ε>0, δ(ε)
0<|z ?z="">|z><>
|f (z ) ?A |<>
|f (z )|?|A |≤|f (z ) ?A |,
成立.又因为
由极限的定义知:
lim|f (z )|=|A |. z →z
16
f (z ) =e 在z →0时极限不存在.
证 当z 沿实轴从0的右方趋向于0时,趋向了+∞.当z 沿实轴从0的左方趋向于0时,趋向了0.也就是说z 以不同的方式趋于原点时, f (z ) 趋于了不同的点.由函数极限定义即得
例2.2 证明函数
结论.
2 复变函数极限定理 定理2.1 设
f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) , z 0=x 0+i y 0, A =a +i b 那么
lim f (z ) =A z →z
(2.1) 的充要条件是
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim u (x , y ) =a
且
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim v (x , y ) =b .
(2.2) 证明 必要性 因为
lim f (z ) =A ,所以对ε>0, ?δ(ε) 0, z →z
?
当
0<|z ?z="">|z><δ(ε) 时,有|f="" (z="" )="" ?a="">δ(ε)>
ε成立.即当
0<δ(ε)>δ(ε)>
|(u ?a ) +i(v ?b )|<>
|u ?a |<ε, |v="" ?b="">ε,><>
依二元实函数极限的定义有
lim u (x , y ) =a (x , y ) →(x , y )
,
lim v (x , y ) =b . (x , y ) →(x , y )
充分性 因
为
式
(2.2),
所
以
当
0<δ(ε)>δ(ε)>
u ?a <, |v="" ?b="">,><>
而
|f (z ) ?A |=|(u ?a ) +i(v ?b ) |
≤|u?a|+|v ?b |.故当0<|z ?z="">|z><>
即
. lim f (z ) =A z →z
|f (z ) ?A |<>
定理2.2 设(Ⅰ)
, lim g (z ) =B 那么 lim f (z ) =A z →z z →z
; lim[f (z ) ±g (z )]=A ±B z →z
(Ⅱ)
; lim[f (z ) ?g (z )]=A ?B z →z
f (z ) (B ≠0) .
=(Ⅲ) lim z →z 0
2.2 复变函数的连续性 1复变函数连续的概念 2 复变函数连续的定理
1复变函数连续的概念 定义2.2 若
lim f (z ) =f (z ) ,则称函数f (z ) 在
0z →z
z 0处连续.若f (z ) 在区域D 内处处连续,则称函数f (z ) 在
区域D 内连续.
2 复变函数连续的定理 定理2.3 在不为零)在
例
z 0处仍连续.
2.3
z 0处连续的两个函数的和、差、积、商(分母在z 0处
讨
论
函
数
:
sec z , csc z , tan z , cot z , sh z , ch z 的连续性.
例2.4讨论函数arg z 的连续性. 例2.5讨论函数Ln z 的连续性.
定理2.4 如果函数h =g (z ) 在z 连续, 函数
0w =f (h ) 在h 0=g (z 0) 连续,那么复合函数
在
w =f [g (z ) ]
w =f (z ) ,它的模
z 0处连续.
上一定有界.
复平面上有界闭区域上连续的函数
|f (z )|在
2.3 导 数
1 导数的概念 2 导数的运算法则 3 函数可导的充要条件 4 高阶导数
1 导数的概念
f (z ) 在包含z 0的某区域D 内有定义,如果
f (z +Δz ) ?f (z ) f '(z 0) =lim Δz →0存在,那么我们说函数f (z ) 在z 可导(或可微),并称这个极限为
定义2.3 设
w =f (z ) 在z 0处的导数,记为f '(z 0) 即
f (z +Δz ) ?f (z ) . ????f '(z ) =lim 0Δz →0若记z =z +Δz ,则得到f '(z ) 的另一种表达式
00
f (z ) ?f (z ) f '(z 0) =z lim →z 00
函数
(z ∈D )
f (z ) ?f (z ) 因为f '(z ) =lim ,所以
0z →z 00
(z ∈D )
???Lim
[f (z ) ?f (z 0) ]=Lim [f (z ) ?f (z 0) z ?1z
z →z 0
z →z 0
(z ?z 0) =0
即在某点可导的函数在该点一定连续.
函数
f (z ) 的导函数???f '(z 0) 定义为
若
f (z +Δz ) ?f (z ) f '(z ) =lim .
Δz →0记,
w =f (z ) , Δw =f (z +Δz ) ?f (z )
f '(z 0) =,则
=lim .
Δz →0例2.6 证明(z )' =nz (n 为正整数).
n
n ?1
证 因为
(z +Δz )
n
k k n ?k
=∑C n z (Δz ) k =0
n
=(Δz )
n
1n ?12n ?22
+C n (Δz ) z +C n (Δz ) z + n n ?n n +C n (Δz ) z
所以
(z +Δz ) ?z (z )' =Δlim z →0n
n n
=Δlim[(Δz ) z →0
n ?1
1n ?2n ?1n ?
+C n (Δz ) z + +C n z
=nz
n ?1
f (z ) =|z |
解 设w =f (z ) ,则
例2.7 讨论函数
2
的可导性.
==(z +Δz ?
22
=+z .
若z =0,则
=0.
z =0
趋于不
若z ≠0,则在Δz 以不同的方式趋向于0时,
同的值,故由导数的定义知:
f (z ) =|z |
2
在除原点以外的复平面上处处不可导.
2 导数的运算法则
定理2.5 如果 (Ⅰ) (Ⅱ)
f (z ) 与g (z ) 在区域D 上可导,那么
[f (z ) ±g (z )]'=f '(z ) ±g '(z ) ;
[f (z ) g (z )]'=f '(z ) g (z ) +f (z ) g '(z ) ;
Ⅲ
)
(
?????
f (z ) =f '(z ) g (z ) ?f (z ) g '(z ) (g (z ) ≠0)
g (z )
?
????
定理2.6 设函数
'
.
f (z ) 在z 0可导, g (h ) 在
h 0=f (z 0) 处可导,则复合函数g [f (z ) ]在z 0处可导,且
g '[f (z 0)]=g '(h 0) f '(z 0) .
w =f (z ) , z =?(w ) 是两个互为反函数
定理2.7 设的单值函数,且
?'(w ) ≠0,那么
f '(z ) =.
3 函数可导的充要条件 定理2.8 函数内一点
f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 在定义域
z =x +i y 可导的充要条件是: u (x , y ) 和
v (x , y ) 在点(x , y ) 可微,并且在该点满足柯西—黎曼方程
=, =?.
证 必要性
f (z +Δz ) ?f (z ) =a +i b ,则 设f '(z ) =lim Δz →0?
?
?
?
f (z +Δz ) ?f (z ) =f '(z ) Δz +o (|Δz |)
=(a +b i)(Δx +i Δzy ) +o (|Δz |)
(|Δz |→0)
,
而作为函数的增量
f (z +Δz ) ?f (z ) =u (x +Δx , y +Δy ) ?u (x , y ) +
i[v (x +Δx , y +Δy ) ?v (x , y )] =Δu +i Δv ,
比较两式得
Δu =a Δx ?b Δy +o (|Δz |)
,
(|Δz |→0)
Δv =b Δx +a Δy +o (|Δz |)
(|Δz |→0) .
根据二元实变量函数可微的定义和可微的必要条件有
u (x , y ) , v (x , y ) 在(x , y ) 可微,且
==a , =?=?b .
充分性 设
f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 的二元实函数
u (x , y ) , v (x , y ) 在(x , y ) 处可微且在该点 =, =?,
则由二元实函数可微的必要条件知
Δu =Δx +Δy +o (|Δz |)
(|Δz |→0)
Δx +Δy +o (|Δz |) Δv =(|Δz |→0) .
,
故
f (z +Δz ) ?f (z ) =Δu +i Δv
=(Δx +Δy ) +i(Δx +Δy ) +o (|Δz |)
又因柯西—黎曼方程成立,所以
f (z +Δz ) ?f (z )
=(Δx +i Δy ) +(?Δy +Δx i) +o (|Δz |)
=Δz +i Δz +o (|Δz |)上式两边同除Δz 并令Δz →0得 f '(z ) =+i .
即函数f (z ) 在z 处可导,定理得证.
,
.
由定理2.8的证明过程可得
f (z ) 的求导?公?式?为
f '(z ) =+i =?i .????
例2..8 判定下列函数在何处可导. (a)
f (z ) =|z |;
(b)
f (z ) =e
z
.
解 (a) 由
f (z ) =|z |=+i ?0得
u =22
v =0.
当当
x +y =0时, u 不可微.
2
2
x +y ≠0时,C—R方程不成立.
由定理2.8综合以上, f (z ) =|z |在整个复平面上处处不可
导.(
(b) 由 从而
f (z ) =e =e (cosy +isin y ) 得 u =e cos y ,
x
z x
v =e sin y
x
?u =e x cos y =?v ;
?u =?e x sin y =??v . (x , y ) 可微,所以由定理2.8得e
z
在整个复平面上
而u , v 在任一点可导.且
x x ?u ?v (e)' =+i =e cos y +ie sin y
x z
=e (cosy +isin y ) =e .
z
4 高阶导数 称
w =f (z ) 的导数f '(z )
为函数
w =f (z ) 的一阶
导数.类似地,二阶导数为一阶导数的导数,三阶导数为二阶导数的导
数,…,一般地,
(n ?1) 阶导数的导数称为f (z ) 的n 阶导数,
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件
定义2.4若函数
f (z ) 不仅在z 0处可导,而且在z 0的某个邻
f (z ) 在z 0解析.如果函数f (z ) 在区
域内的任一点可导,则称域
D 内任一点解析,则称f (z ) 在区域D 内解析.
注意:由定义知,函数在区域D 内解析与在区域D 内可导是等价
的.但函数在一点解析与在该点可导是绝对不等价的.
2 初等函数的解析性 指数函数三
e
z
在整个复平面上解析.
角
函
数
sin z , cos z , sec z , csc z , tan z , cot z ,在其定
义域内解析;反三角函数的解析性要针对各反函数具体讨论.
双曲函数
sh z , ch z 在整个复平面上解析,反双曲函数的解
析性要针对各反函数具体讨论.
Ln z 在原点和负实轴上不可导,故Ln z 在原点和负实
轴上不解析.除去原点和负实轴以外,Ln z 处处可导,从而Ln z 的主值及各个分支函数处处解析.且??? Ln z
由于 当数时,
α为正整数和零时,z
α
在整个复平面上解析;当
α为负整
z
α
在除原点外的复平面上解析;
当
α为既约分数、无理数、复数时,z
α?1
.
α
作为指数函数与对数函
数的复合函数,在除去负半实轴和原点的复平面上解析.
不论
α为以上何种情况,在解析点上统一有
(z )' =αz
α
3 函数解析的充要条件
由函数在某点可导的充要条件立即可得: 定理2.9函数域
f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 在其定义
D 内解析的充要条件是: u (x , y ) 与v (x , y ) 在D 内可微,
并且满足柯西—黎曼方程
?u =?v , ?u =??v . 2
2
例2.9 讨论下列函数的解析性.
f (z ) =2x (1?y ) +i(x ?y +2y ) ; (b) f (z ) =.???
(a)
例2.10证明 若在某区域内任意一点为该区域上的常函数.
则f (z ) f (z ) ??=0,
5 调和函数
1 调和函数的概念
2已知解析函数的实部或虚部求其表达式
1 调和函数的概念
定义2.5 设二元实变量函数h (x , y ) 在区域D 内具有连续的二阶偏导数,并且满足拉普拉斯方程
h xx (x , y ) +h yy (x , y ) =0,
则称函数h (x , y ) 为D 内的调和函数.
定理2.10 设
f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 是区域D 内的解析函数
那么u (x , y ) 和v (x , y ) 均为D 内的调和函数.
定义2.6 设函数u (x , y ) 和v (x , y ) 都是D 内的调和函数,且满足柯西—黎曼方程,则称v (x , y ) 为u (x , y ) 的共轭调和函数.
2已知解析函数的实部或虚部求其表达式 方法一
例2.11 已知下面调和函数,求解析函数(a) u
f (z ) =u +i v .
=sh x sin y , (b) v
=x 2?y 2+2y .
解 (a) 因为 所以
?v ?u ?u ?v
=ch x sin y =; =s h x cos y =?. ?x ?y ?x ?y
v =∫ch x sin y d y =?ch x cos y +g (x ) ,
v x =?sh x cos y +g ' (x ) .
g ' (x ) =0.
从而
v =?ch x cos y +c
f (z ) =sh x sin y ?ich x cos y +i c (c 为实数).
(b) 因为 所以
?u ?u ?v ?v
=?2y +2=. =2x =?;
?y ?y ?x ?x
u =∫(?2x +2) d x =2x (1?y ) +g (y ) ,
u =∫?2x d y =?2xy +h (x ) .
对比以上两式得 故
2x +g (y ) =h (x ) . u =2x ?2xy +c .
=i z 2+2z +c (c 为实数).
f (z ) =2x ?2xy +c +i(x 2?y 2+2y )
方法二
定理2.11设u (x , y ) 是单连通域D 内的调和函数, (x 0, y 0) 为
D 内任意取定的点,则存在由
v (x , y ) =∫(x
(x , y )
0, y 0)
?u y d x +u x d y +c (c 为任意实数)
确定的唯一形式的v (x , y ) ,使
f (z ) =u +i v 是D 内的解析函数.
证 因为u (x , y ) 是D 内的调和函数,所以u 在D 内可微,且
??u ??u
() =?()
?x ?x ?y ?y
成立,由相关定理可设
v (x , y ) =∫(x
(x , y )
0, y 0)
?u y d x +u x d y +c (c 为任意实
数). 那么
?u ?u
d v (x , y ) =?d x +d y ,
?y ?x ?v ?u ?u ?v
=. =?,
?y ?y ?x ?x
f (z ) =u +i v 解析.
1212
例2.12 已知f (z ) 的虚部v (x , y ) =?x +y ,求一解析函
22
数f (z ) =u +i v ,且f (0) =0.
解 满足题设条件的 所以
u (x , y ) =∫(x
=
= =
(x , y )
v y y , ) 00
d x ?v x d y +c d x +∫(x
y
∫(x
x
(x , y )
v y , y ) 00
(x , y )
0, y 0)
?v x d y +c
∫x y 0d x +∫y x d y +c
xy +c .
1212
f (z ) =xy +c +i(?x +y ) .
22
由f (0) =0,得c =0.故
1212
f (z ) =xy +i(?x +y )
2 =?i 2
2
z .
2
习题课 1 本章小结 2 学习注意点 3 释疑解难
1 本章小结
1.函数极限、连续的概念 2.函数导数的概念和运算法则
定理1 函数f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 在定义域内一点z =x +i y 可导的充要条件是:
u (x , y ) 和v (x , y ) 在点(x , y ) 可微,并且在该点满足柯西—黎曼方程
?u ?v ?u ?u
, ==?.
?x ?y ?y ?x
3. 解析函数的概念、函数解析的充要条件
定理2 函数f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 在其定义域D 内解析的充要条件是: u (x , y ) 与
v (x , y ) 在D 内可微,并且满足柯西—黎曼方程
?u ?v ?u ?u
, ==?.
?x ?y ?y ?x
4. 解析函数与调和函数的关系,由解析函数的实部求其虚部和由虚部求其实部的方法 定理3 设f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 是区域D 内的解析函数,那么u (x , y ) 和v (x , y ) 均为
D 内的调和函数.
定理4 若v (x , y ) 是u (x , y ) 在D 内的共轭调和函数,则f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) 解析.
由解析函数的实部(虚部) 求其虚部(实部)的方法共有三种. 5. 初等函数的解析性
2 学习注意点
(1) 下面题目的求解过程错在何处?
i z 3?1
题目: 计算 lim .
z →i z +i
解: 令 z =i y , 则
i z 3?1i(iy ) 3?1
lim =lim =0.
z →i z +i y →1i y +i
答: 复函数求极限时, z →z 0表达的是z 在复平面上以任何方式趋于z 0,而不是某一种或几种逼近方式.
(2) 下面的解答错在何处? 题目: 求函数ln(1+z ) 的奇点. 解: 此函数的奇点为 z ≤?1.
答: 解答错在“z ≤?1”这个表达式上. 复数是不论大小的.正确的解答是: ln(1+z ) 的奇点为 z =x ≤?1.
(3) (罗必塔法则)若f (z ) 及g (z ) 在点z 0解析,且f (z 0) =g (z 0) =0, g'(z 0) ≠0,试证
z →z 0
lim
f (z ) f ' (z 0)
. =
g (z ) g ' (z 0)
f (z ) ?f (z 0) z ?z 0f ' (z 0) f (z )
=lim =证: ∵ lim ,
z →z 0g (z ) z →z 0g (z ) ?g (z ) g ' (z 0) 0
z ?z 0
∴ 结论成立.
注意: 在使用此运算法则时,要注意结论成立的条件,特别是f (z 0) =g (z 0) =0, g'(z 0) ≠0的要求.
(4) 应用定理2判定函数解析时,须注意:
定理的条件缺一不可,仅有u (x , y ) , v (x , y ) 可微或仅有C—R方程成立都不能推出函数解析的结论.
例如:函数f (z ) ==x ?i y ,虽然u (x , y ) =x ,v (x , y ) =?y 均可微,但不能由此推断f (z ) 的解析性.事实上,
Δz Δz +z ?z
. = lim
Δz →0Δz →0Δz Δz
此极限在Δz 沿Δx =0趋于0时值为-1,在Δz 沿Δy =0趋于0时值为1,故此极限值不
lim
存在,即函数f (z ) =在整个复平面上不可导,不解析.
从定理方面来看,由于
?u ?v =1≠=?1, 导致函数不解析. ?x ?y
x 3?y 3x 3+y 3
+i 2例如: 证明f (z ) =2(z ≠0), f (0) =0在原点满足C—R方程,但在22
x +y x +y
原点不解析.
x 3?y 3x 3+y 3
证: ∵ u =2, v =2,
x +y 2x +y 2
x ?0?v x ?0?u
=lim =1 , =lim =1, ?x x →0x ?0?x x →0x ?0
?v ?u ?y ?0y ?0
=lim =?1 , =lim =1. y →0y →0?y ?y y ?0y ?0
∴C—R方程在原点成立.
f (z ) ?0而lim 当z 沿y =0趋于原点时的极限为1+i ,沿y =x 趋于原点时的极限为z →0z ?0
1+i
, 故f (z ) 在原点不可导,不解析. 2
从定理方面来看,由于u , v 不可微???
(5) 应用定理1判定函数不可导时应注意: ① 避免出现类似如下解题过程的错误. 例如: 讨论f (z ) =x y +2i y 的可导性. 解: ∵
2
?u ?v =2xy ≠=2, ?x ?y
2
∴ 函数f (z ) =x y +2i y 在复平面上处处不可导. 答: 此题的结论是对的但结论成立的原因是错的. 首先,当xy =1时, 其次, 由2xy =
?u ?v
是成立的. =
?x ?y
?u ?v ?u ?v
==2 与 x 2==?=0 知C—R方程的两部分不能同?x ?y ?y ?x
时成立.从而函数在复平面上不可导. ② 下面的解题推导过程是正确的. 例如: 讨论函数f (z ) =i 2y 的可导性. 解: ∵
?u ?v =0≠=2 ?x ?y
?u ?v
在复平面上任何一点都成立,不论C—R方≠
?x ?y
∴ 函数f (z ) =i 2y 在复平面上处处不解析.
答: 此结论的推导过程是正确的,因为
程的另一部分成立与否,还是u (x , y ) , v (x , y ) 可微与否,定理1关于函数可导的充要条件都不成立,故函数f (z ) =i 2y 在复平面上处处不解析.
(3) 下面题目用两种解法得到的结果为什么不一样?
?x 3y (y ?i x )
z ≠0?32
题目:求证函数w =?x +y 的导数w ' (0) .
? 0 z =0?
x 3y (y ?i x )
?032
w (z ) ?w (0) x +y
=lim 解法一:∵ lim
z →0x +i y →0z ?0x +i y ?i x 3y
=lim 3
x +i y →0x +y 2
r 2cos 3θsin θ
====lim ?i
r →0r cos 3θ+sin 2θ
=0,
x =r cos θy =r sin θ
∴ w ' (0) =0. 解法二:因为w ' (0) =
?u ?x
+i
(0, 0)
?v ?x
, 而
(0, 0)
?u 3x 2y 4
=3 在(0, 0) 处无意义. 22?x (x +y )
所以 w ' (0) 不存在.
答: 第一种解法是正确的, 第二种解法因函数在z =0处可导, u (x , y ) , v (x , y ) 可微,得其偏导存在,但偏导未必连续,只有偏导连续时,才可先求偏导
(7) 下面的证明过程哪个地方出问题了? 题目: 证明函数h (x , y ) =x ?y 为调和函数. 证: ∵ h xx +h yy =2?2=0 ∴ h (x , y ) 为调和函数.
答: 此证明的问题出在推导结论的条件不够充分,依据调和函数的定义,还须说明h (x , y ) 具有连续的二阶偏导.
2
2
?u
再代入点(0, 0) . ?x
3 释疑解难
1. 设z =x +i y , 证明lim (2x +i y ) =4i .
z →2i
2
证明:因为 |2x +i y ?4i |≤2|x |+|y ?4|=2|x |+|y ?2||y +2|,
所以若?δ 0,使得0<|z ?2i="">|z><δ时,有 2|x="">δ时,有>
22
ε
2
, |y ?2||y +2|
ε
2
则可推出结论.
观察,当|y ?2|<>
|y +2|≤|y ?2|+4<>
从而|y ?2|<>
10
, 1}时,
|y
?2||y +2|
ε
10
?5
ε
2
.
再观察图2.1中,在|x |
ε
, |y ?2|
ε
ε
和, 1}中的较小者,即δ=, 1}. 从而,
41010
对?
εε
ε>0,?δ=min{
ε
10
, 1},
当0<|z ?2i="">|z><>
|2x +i y ?4i |<>
成立,即lim (2x +i y ) =4i . 图2.1
x →2i
22
2. 证明 当z 0不取到负半实轴和原点时有:
z →z 0
lim arg z =arg z 0.
证: 设z =x +i y , z 0=x 0+i y 0, w =cos arg z ,则
arg z =arccos w =arccos
x x +y
2
22
(0≤arg z ≤ π ) ,
arg z 0=arccos
x 0x 0+y 0=x
x 0
22
.
∵ lim
z →z 0
x x +y
2
2
x 0+y 0
2
2
2
,
∴ lim arccos
z →z 0
x +y
=arccos
x 0x 0+y 0
2
2
,
即
lim arg z =arg z 0.
z →z 0
当?π
arg z =?arccos
同理可得:
z →z 0
x x +y
2
2
,
lim arg z =arg z 0.
3 证明 设函数f (z ) 在z 0连续且f (z 0) ≠0,那么可以找到z 0的一个小邻域,在这个邻域内f (z ) ≠0.
证: ∵ lim f (z ) =f (z 0) ,
z →z 0
∴ lim f (z ) =|f (z 0) |,
z →z 0
∴ 对?ε>0, ?δ 当 |z ?z 0|<>
|f (z ) |?|f (z 0) |<>
成立.
当取ε=|f (z 0) |>0 时, ?δ1,当 |z ?z 0|<δ1 时,="">δ1>
|f (z ) |?|f (z 0) |<|f (z="" 0)="">|f>
成立, 即
0< |f="" (z="" )=""><2|f (z="" 0)="">2|f>
∴ 当 |z ?z 0|<δ1 时,="" f="" (z="" )="">δ1>
故结论成立.
4. 证明用极坐标表达的柯西—黎曼方程
1?u ?u 1?v ?v
, . ==?
r ?θ?r r ?θ?r
?u ?u ?u ?u ?x ?u ?y
=?+?=cos θ+sin θ证: ∵ (1)
?y ?r ?x ?r ?y ?r ?x
?u ?u ?u ?u ?x ?u ?y
=?+?=?r sin θ+r cos θ (2)
?y ?θ?x ?θ?y ?θ?x
?v ?v ?x ?v ?y ?v ?v
=?+?=cos θ+sin θ (3) ?r ?x ?r ?y ?r ?x ?y
?v ?v ?v ?v ?x ?v ?y
(4) =?r sin θ+r cos θ=?+?
?x ?y ?θ?x ?θ?y ?θ
利用?u ?v ?u ?v
=, =?比较上面的式(1)与(4)、式(2)与(3),即得极坐标形式的C ?x ?y ?y ?x
—R方程:
1?u ?u 1?v ?v
, . ==?
?r r ?θr ?θ?r
5. 设f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) ,并且u , v 偏导存在.求证: 对f (z ) 柯西—黎曼条件可写
成
?f ?u ?v
=+i =0. ???z +z ?z +z ?证: ∵u (x , y ) =u (, v (x , y ) =v (, ,
22i 22i
?u ?u 11?u 1
∴ =u ' 1+u ' 2=(?i
?z 22?x ?y 2i
?u ?u 11?u 1
=u ' 1?u ' 2=(+i , ?22?x ?y 2i
?v ?v 11?v 1
=v ' 1+v ' 2=(?i ?z 22?x ?y 2i ?v ?v 11?v 1
=v ' 1?v ' 2=(+i ) . ?22?x ?y 2i
?u ?v i ?v ?v 1?u ?f ?u
=(+i ) +(+i +i =
?y 2?x ?2?x ?y ??i ?u ?v 1?u ?v
(?) +(+
2?y ?x 2?x ?y
∴
=
∴ 柯西—黎曼方程
?u ?v ?u ?v ?f =, =?成立等价于=0. ?x ?y ?y ?x ?6. 若f (z ) 在上半复平面内解析,试证函数f (在下半复平面内解析. 证: ∵ f (z ) =u (x , y ) +i v (x , y ) ( y >0) 解析,
∴
?u ?v ?v =?=(y >0) ,
?x ?y ?(?y )
=
∵ ?∴?(?v )
(y <0) ,="">0)>
?v ?u ?u ==?(y >0) , ?x ?y ?(?y )
?u ?v ?(?v ) ==?(y <0) ,="" ?y="" ?x="">0)>
∴ u (x , y ), ?v (x , y ) 在y <0时c —r="" 方程成立,且四个偏导连续.="" ∴="u" (x="" ,="" y="" )="" ?i="" v="" (x="" ,="" y="" )="" 在y="">0时c><0(下半平面内)>0(下半平面内)>
7.证明 若v 是u 在D 内的共轭调和函数,那么v 在D 内的共轭调和函数是?u . 证: ∵ v 为u 的共轭调和函数,
∴ ∴
?u ?v ?u ?v
,=?, =
?x ?y ?y ?x ?(?u ) ?v ?(?u ) ?v
,=?, =
?y ?x ?y ?x
∴ ?u 为v 的共轭调和函数.
4 典型例题
e z ?1. 例1 计算 lim
z →∞z
e ?1
解: lim = lim w (ew ?1)
z →∞w →0z
当w =u +i v
1
沿u 轴正半实轴趋于0时,w (ew ?1) →∞.当w 沿u 轴负半实轴趋于0时,
z
w =
1z
1
11
e z ?1w w w (e?1) →0,故lim w (e?1) 的极限不存在,即lim 的极限不存在.
w →0
z →∞
z
例2 讨论下面函数的可导性、解析性 (a) f (z ) =
z ?233
; (b) f (z ) =x +i(1?y ) . ?x ?i y
e e
z
x
x
解: (a) f (z ) =(z ?2) e
=e (x cos y ?2cos y ?y sin y ) +ie (x sin y ?2sin y +y cos y )
方法一. ∵ f (z ) =(z ?2) e 为解析函数(z ?2) 和e 的积, ∴ f (z ) 在整个复平面上可导,解析. 方法二 ∵ u =e (x cos y ?2cos y ?y sin y ) , v =e (x sin y ?2sin y +y cos y ) ,
∴
x
z z
x
?u ?v
=e x (x cos y ?cos y ?y sin y ) =
?y ?x
?u ?v
=e x (siny ?x sin y ?y cos y ) =?
?y ?y
且u , v 可微
f (z ) 在整个复平面上解析. ∴
(b) ∵ u =x , v =(1?y ) ∴
3
3
?u ?v
=3x 2, =?3(1?y ) 2,
?y ?x
?u ?v
=0, =0, ?y ?x
C—R方程在x =0, y =1时成立,且u , v 可微. ∴ f (z ) 仅在z =i 处可导,在整个复平面上不解析. 例3 在定义域内 g(z ) =内解析.
证 ∵ g(z ) =
2
i θ
2
2
r e (r >0, ?π<><π) 解析,证明:g(z+1)="" 在x="">0, y >0i θ
2
r e 在定义域内解析,z 2+1在整个复平面上解析.
2
2
由复合函数的求导运算法则知, ∴
当 |z +1| >0 , π>arg (z +1) >?π时,函数g(z+1) 解析. 即 在 x ?y +1≤0 且 x ?y =0也就是x =0 且 |y |>1时,g (z 2+1) 不解析. 故当x >0, y >0时,g (z +1) 是解析的.
例4 判断下列命题的真假.若真,试证之;若假,请举出反例. (a) 若f ' (z 0) 存在,则f (z ) 在z 0处解析; (b) 若z 0是f (z ) 的奇点,则f (z ) 在z 0处不可导;
(c) 若u (x , y ) 和v (x , y ) 的偏导数存在,则f (z ) =u +i v 可导. 答:(a) 假命题.
例如:函数f (z ) =|z |在z =0处可导,但不解析.
(b) 假命题.
2
2
2
2
2
例如:z =0为函数f (z ) =|z |的奇点,但f (z ) 在z =0处可导.
(c) 假命题.
例如:设u (x , y ) =x , v (x , y ) =xy ,则u (x , y ), v (x , y ) 偏导存在,但当x +y ≠0时,
2
2
2
?u ?v ?u ?v =2x ≠=x , =0≠?=?y ,故f (z ) =u +i v 在整个复平面上除原点外不可?x ?y ?y ?x
例5 设f (z ) =my +nx y +i(x +lxy ) 为解析函数,试确定l , m , n 的值. 解: 设 u =my +nx y , v =x +lxy , 则
3
2
3
2
3
2
3
2
导.
?u ?u
=3my 2+nx 2, =2nyx ,?y ?x
?v ?v
=2lxy . =3x 2+ly 2,?y ?x
∵ f (z ) 解析,
?2nyx =2lxy ;
∴ ?2 222
?3x +ly =?(3my +nx ). ∴ n =l =?3, m =1.
例6 由u =2(x ?1) y , f (2) =?i 求解析函数f (z ) =u +i v . 解:方法一
∵ f (z ) =u +i v 是解析函数, ∴
?v ?u ?v ?u
,=2(x ?1) =?. =2y =
?x ?y ?y ?x v x =h ' (x ) =2(1?x ) , h (x ) =2x ?x 2+c ,
v =y +2x ?x +c .
2
2
∴ v =y 2+h (x ),
∴ f (z ) =2(x ?1) y +i(y 2+2x ?x 2+c ) . ∵ f (2) =?i ,
∴ f (2) =2(2?1) ?0+i(02+2×2?22+c ) =?i ,
∴ c ∴
=?1.
=?i(x 2+2xyi ?y 2) +2i(x +iy ) ?i
f (z ) =2(x ?1) y +i(y 2+2x ?x 2?1)
=?(z 2?2z +1) i
=?(z ?1) 2i .
方法二
∵ v =∫
(x , y )
(x 0, y 0)
?u y d x +u x d y +c
=∫=∫
(x , y )
(x 0, y 0) (x , y 0)
2(1?x ) d x +2y d y +c 2(1?x ) d x +∫
2x x 0
(x , y )
(x 0, y 0) (x , y 0)
2y d y +c
=2x ?x +y
2y y 0
+c
2
=y 2+2x ?x 2+c ,
∴f (z ) =2(x ?1) y +i(y +2x ?x ?c )
=?(z ?1) i +(1+c ) i .
2
2
∵ f (2) =?i ,
∴ f (2) =?i +(1+c ) i =?i ,
∴ c =?1.
∴ f (z ) =?(z ?1) 2i .
方法三
∵ f ' (z ) =u x +i v x =u x ?i u y
=2y ?2i(x ?1) =?2i(x +i y ) +2i =?2i(z ?1),
∴ f (z ) =?i(z ?1) 2+c . ∵ f (2) =?i , ∴ c =0.
∴ f (z ) =?(z ?1) i .
2
第6节 习 题
i z 3?1
2.1 计算: (a) lim ;
z →i z +i
2.2 描述 (a) e 形.
2.3 证明:设函数
x +i y
4z 2
. (b) lim 2z →1?i (z ?1)
2+i y
当x 趋于?∞;(b) e 当y 趋于∞时的情
f (z ) 在z 0连续,且f (z 0) ≠0,那么可以找到z 0
f (z ) ≠0.
f ' (z ) .
的一个小邻域,在这个邻域内
2.4 讨论下面函数的可导性,如果可导,求出
(a)
f (z ) =x 2+i y 2; (b) f (z ) =z Im(z ) .
2.5 证明以下各函数的f ' (z ) ,f ' ' (z ) 存在,并求之. (a) f (z ) =i z +2;
f (z ) =e ?x e ?i y ;
(c) f (z ) =cos x ch y ?i sin x sh y .
(b)
2.6 证明函数
x 3?y 3x 3+y 3
f (z ) =2+i 2(z ≠0), f (0) =0在22
x +y x +y
f (z )
原点满足柯西—黎曼方程,但在原点不解析。(提示:对lim 沿
z →0z
不同方向求极限)。
2.7 证明:e ,sin , cos 在复平面上任一点都不解析. 2.8 讨论下面各函数的解析性。
(a)
f (z ) =x 3+3x 2y i ?3xy 2?y 3i ;
x ?i y
(z ≠0) ; (b) f (z ) =2
2
x +y
y ) ?1;
(c) w =(3x ?2i
x 2+y 2
(d) w =;
3x ?3i y
(e) w
1+z
2.9 若函数f (z ) 在区域D 内解析,且满足下列条件之一,试证f (z ) 在D 内必为常数.
f (z ) 在D 内解析; (b) |f (z ) |在D 内为常数; (c) Re f (z ) 或Im f (z ) 在D 内为常数.
(a)
2.10 找出下列函数的奇点
=
1?z 4
4
.
2z +1
; (a) f (z ) =2
z (z +1)
sin z
(b) f (z ) =; 3
z
(d)
z 3+i
(c) f (z ) =;
z ?3z +2
(e)
f (z ) =ln(z +1) ;
f (z ) =
1
e z ?1;
1
(f) f (z ) =. 2
sin z
2.11 证明下面各函数为任意区域的调和函数。
=sin x sh y ; (b) v =cos 2x sh 2y .
2.12 证明下面u 或v 为调和函数,并求解析函数f (z ) =u +i v .
x 22
(a) u =3x ?3xy ; (b) u =;
22x +y
(c) u (e) v
=2e sin y ;
x
(a) u
?y
; (d) v =22
(x +1) +y
=e x (y cos y +x sin y ) +x +y ;
y
, f (2) =0. (f) v =2
2
x +y
范文四:复变函数的极限
复变函数的极限
于秀芝
(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国 )
摘要:这是一篇讨论复变函数极限的论文,把我们所熟悉的数学分析中实变函数极限的定义、
定理、性质,推广到复变函数中,并加以证明。但是实变函数极限的定义、定理、性质,并不完
全适用于复变函数。例如:复变函数的极限没有保序性、正性,复变函数没有左、右极限等等。
同时,复变函数极限的定义与数学分析中的二元函数极限的定义相似,故它又具有二元函数的某
些性质。本篇论文由四个方面组成。首先,我们讨论的是复变函数在某个定点时极限的定义,即
描述性极限的定义和表达式极限的定义。其次,我们讨论的是复变函数极限的定理,如Heine定
理、Cauchy 准则、复合函数极限的定理等等,并给出了详细的证明。再次,我们讨论的是复变
函数极限的性质,即唯一性、绝对值的极限、局部有界性、四则运算法则等等,同时,我们也给
了详细的证明。最后,我们讨论的是复变函数在无穷远点的极限。在这方面,我们将极限从有限
的定点逐渐引入到无穷远点,进而给出了函数在无穷远点处极限的定义、运算法则、定理,并给
予了相应的应用。
关键词:Heine 定理 Cauchy 准则 极限 复数列
Complex variable function limit
Yu Xiuzhi
(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)
Abstract:This is a discussion about complex variable function limit paper. It promotes the definition, theorem, nature of the real variable function limit to the complex variable function limit and performs to prove it .But the definition, the theorem, the nature of the real variable function limit aren’t completely suitable for the complex variablefunction.For example, complex variable
function limit doesn’t have order nature,positive nature , and complex variable function doesn’t have
left limit and right limit , and so on . Simultaneously,the definition of the complex variable function limit and the definition of the dual function limit of mathematica lanalysis is similar.So it also has some natures of dual function limit.This paper has four aspects.First,We discuss the defination of the complex variable function in some apex time , namely the definition of description limit and the definition of expression limit.Next,we discuss the theorem of the complex variable function limit.For example ,Heine theorem, Cauchy criterion,the theorem of composite function limit,and so on. And it has produced the detailed proof. Once more,we discuss the nature of the complex variable function limit. Namely unique nature , absolute value limit nature ,partially having nature, mathematical operations principle nature ,and so on . At the same time, we have also gave the detailed proof. Finally ,we discuss the complex variable function limit in the infinite point. In this aspect, we gradually introduce the limit from the limited fixed point to the infinite point, and then we have produced the definition and the theorem of limit in the infinite point . And we have gave the corresponding application.
Key words: Heine theorem Cauchy criterion Limit Duplicate sequence
1
一、复变函数极限的定义
1(定义
定义:设在点的去心邻域内有定义,当z趋于时 ,的极限zzfz()f,00
为, 或是,指的是可以任意接近,只要我们选的点zlim()fzw,wwwfz,()000zz,0
足够地接近,而不等于它。 z0
,定义?:,表明对每一个正实数,都存在一个正实数,lim()fzw,,0zz,0
,使得当:0<><><.>
2(几何意义
从几何意义上来说,这个定义指的是:的每一个邻域|,www,|,,,00
,有的一个去心邻域0<,使得其中的每一个z的像位于的邻z|>,使得其中的每一个z的像位于的邻z|>
域中。
,,,,zz注意:即使我们要考虑去心邻域0<>
,,,ww,求它们的像要添满整个邻域<中。>中。>
wfz()例如:如果为常数,那么z的像,总是整个邻域的中心点,0
2
,,,,一旦被找到,那么它还可以由更小的正实数代替,比如说。
定义?要求定义在的去心邻域内,当是的定义域内的一个内zzfz()f00
点时,这样的去心邻域当然总是存在的,我们可以通过如下的方式来把极限的定义拓宽到当是边界点的时候,只要让不等式中的z同时在区域内,z0
而且在去心邻域内。
iiz例1 我们将要证明:如果=在开圆内,那么 。 lim(),fzfz(),,,,zz,122
证明:点1位于的定义域的边界上,观察到当在区域时,有 ,,,z1f
i,,,fz() 2
izi= ,,, 22
,,,z1 = 2
因此,对于这样的z和任意的正实数,我们可以得到,当,012,,,,,,z时 ,有
i,,,,,fz() 2
,,,因此,当是等于或者小于的正实数时,在中的任意点都满01,,,,z足定义?中的条件,如下图所示:
3
如果是的定义域的内点,定义中的极限存在,定义?中的第二zf,0
个不等式应该对去心邻域内的所有的点z都成立。 0,,,,,,zz0
所以,符号表示z允许以任意的方式趋近于,而不是以某一zz,z00特定的方向趋近于。 z0
下面的例子要强调这一点 。
Zlim()fZ例2 如果,则极限不存在。 fZ(),Z,0,,
lim()fZ 证明:<反证法> 如果极限存在,则可以使点以任意的Zxy,(,)Z,0
方式趋于原点,而极限值是唯一的,但是是实数轴上的非零点,则Zx,(,0)此时
xi,0 fZ()1,,xi,0
0,iy且当是虚轴上的非零点,则此时。 Zy,(0,)fZ()1,,,0,iy
于是,让Z沿实数轴趋于原点时,我们发现极限值为1;
另一方向,让Z沿虚轴趋于原点时,我们发现极限值为-1。 但是,由复变函数极限值的唯一性知,函数的极限是不存在的。(该fz()函数沿实数轴和虚轴趋于原点的图象,为下图所示)
4
二、复变函数的定理
定理1 设,,,那么,lim()fzw,zxiy,,wuiv,,fz(),,uxyivxy(,)(,)0000000zz,0
当且仅当且。 lim(,)uxyu,lim(,)vxyv,00(,)(,)xyxy,(,)(,)xyxy,0000
证明:(充分性)假如且成立,那么lim(,)uxyu,lim(,)vxyv,00(,)(,)xyxy,(,)(,)xyxy,0000
的极限存在。设极限值为,即 。 wuiv,,lim()fzwuiv,,,fz()000000zz,0
由知道,对任意的正实数,都存在正实数,使得lim(,)uxyu,,,01(,)(,)xyxy,00
220()(),,,,,,xxyy当时,有: 001
,,,,,uu (1) 02
对上述的,由lim(,)vxyv,知,存在>0,使得当 ,,02(,)(,)xyxy,00
220()(),,,,,,xxyy时,有: 002
,,,,,vv (2) 02
,令取和中较小的数,由 ,,12
,,,,,,()(uivuiv00
= ,,,,,,,uuivv)(00
,,,uu+,,,vv ,00
和
22()()xxyy,,, 00
= ,,,,,()()xxiyy00
,= ()()xiyxiy,,,,00
由(1)(2)所述, 有
,,,,,,,,,,,()()uivuiv 0022
0,,,,,,()()xiyxiy成立,只要 即可. ,,00
5
这就是说,函数的极限存在。 fz()
(必要性)假使函数的极限存在 ,即 =. lim()fzwfz()0zz,0
,由此,对于每一个正实数,都存在一个正实数,使得 ,
< (3)="">
0,成立,只需 (4) ,,,,,()()xiyxiy,,00
但是 ,,,uu,,,,,,uuivv)(),,,,,()()uivuiv,,00000
,,,vv,,,,,,uuivv)(),,,,,()()uivuiv,,00000
并且
,,,,,()()xiyxiy00
,,,,,()()xxiyy,00
22()()xxyy,,, ,00
因此,由不等式(3)(4)可知, 成立,只需,,,uu,,,vv,,,,00
22()()xxyy,,,0, . ,,00
lim(,)uxylim(,)vxy这样就得到了 u,v . ,,00(,)(,)xyxy,(,)(,)xyxy,0000
1,in[]例3 求数列 { Z}= {}的极限。 n2
1,inlim[]解: ,,n2
2,,n,i = lim[.(cossin)],,n244
2nn,,n, = lim().(cossin)i,,n244
22nn,,nn, = lim().coslim().sini,,,,nn2424
= 0
6
定理2(复合函数的极限) 设 ,,且存在lim()fuw,lim()gzu,z000uu,zz,00
的一个空心邻域有定义,当在此邻域内时,有 ,则 gzu(),z0
. lim(())fgzw,0zz,0
证明:对于任给的0 ,由 可知,存在,使得:lim()fuw,,,,0,0uu,0当 时,恒有 0,,,,,,uu0
。 ,,,,,fuw()0
,,,再由的假设,知存在,使得当时,恒有0,,,,,,zzgz()0
。 0(),,,,,,gzu0
因此就有. ,,,,,fgzw(())0
根据复变函数极限的定义有
lim(())fgzw, . 0zz,0
定理3(Heine定理) 设函数在点的一个空心邻域内有定义,zfz()0
nlim()fzw,则 的充分必要条件是:对任何复数列{},且zzzn,,,()0n0zz,0
n恒有 zzn,,?(1,2)0
lim()fzw, . n0,,n
,,0,,0lim()fzw,证明:(必要性)因为,故对于任意的,都存在,0zz,0
0,,,,,,zz,,,,,fzw()使得当 时,有。 00
n,,0,0nN,又因为,故对于上述,存在N ,使得当 zzn,,,()0
,,,,,zz时,就有 。 n
nnN,0,,,,,,zz由已知又有,故当 时,有。 zzn,,?(1,2)00
nN,,,,,,fzw()于是,当时,就有 。 n0lim()fzw,故得。 n0,,n
7
(充分性):<反证法>若,则由极限的否定表述知,存在lim()fzw,0zz,0
,,0,使得对任何 ,都存在,使得 当 时,有,,0z0,,,,,,zz,00,
。 ,,,,,fzw(),,0
11依次取 , 则有数列,使得当时,有,,,,,,,zz0{}zn,?1,2nn0nnn
。 ,,,,,fzw()n00
nlim()fz这表明满足条件,且,(),但 {}zzz,()n,,n,?1,2zz,nn0n0n,,
,与充分性的假设矛盾。 w,0
从而有=。 lim()fzw0zz,0
推论: 设{}和{}为异于,但又趋于的数列,满足: zzzz1n2n00
lim()fzlim()fz,则lim()fz不存在。 ,1n2n,,nn,,zz,0
定理4(Cauchy准则) 复变函数在点处有极限的充分必要条zfz()0
,,0,,0件是:对任何给定的 ,都存在,使得
,<, ,:="" ,="">,>
0,,,,,,zz。 2,
,,0,,0lim()fz证明:(必要性)设=w,于是,对于任给的,都存在,0zz,0
,,,,,fzw()使得,当0,,,,,,zz0,,,,,,zz时,就有 。于是,当,0,1,2
0,,,,,,zz时,有 2,
,,,fzfz()() 12
,,,fzw(),,,fzw(),,1020
,,<+>+>
,= 。
zzz,zz,n,,n,?1,2(充分性)设{}是满足条件(),且()n0nn0
8
',,0,,0的任一复数列,对于任给的,按假设存在,使得当及0,,,,,,zz0
'''''时,就有 。 0,,,,,,zz,,,,,fzfz()()0
,,0NnN,对于上述的 ,因为(),故有,使得当时,zz,n,,n0就有。 ,,,,,zzn0
mN,nN,又因为(),故当,时,就有,zz,0,,,,,,zzn,?1,2n0m0
mN,nN,,于是当,时,有 0,,,,,,zzn0
。 ,,,,,fzfz()()mn由Cauchy 收敛准则知{}收敛。 fz()n
再由Heine定理知,在点的极限存在。 zfz()0
三、复变函数极限的性质
1((唯一性) 当一个函数在一个点存在极限,那么函数zfz()fz()0的极限值是唯一的。
lim()fzw,lim()fzw,证明:设,,那么,对于任意的正实数,存,0zz,zz,00
在正实数,和,使得: ,,
当0,,,,,zz,时,有,,,,,fzw()。 00,
当0,,,,,zz,时,有。 ,,,,,fzw()0,
,0,,,,,,zz,,因此,如果,其中为和 当中较小的一个,那么,0,,我们有
,,,ww[()]fzw,[()]fzw,,= || 010
,,,fzw(),,,fzw() + ,10
,,,,
, =2。
ww,,0,由于可以选得任意小,所以,。 10
9
即,即。 lim()fzww,,ww,0110zz,0
故极限是唯一的。
,,Zz,0z,0例4 设= +,,试证明:当时,的极限不存fz()fz(),,,
在。
-i,i,,,证明:设,则= re。 zre,
i,,i,rere于是 = + fz()ii,,,rere
22ii,,,= ee,
cos2,= 。
lim()0fz,,0当=时,即沿第一象限的角平分线趋于零时,有。 zz,0
,,=时,即沿这条直线趋于零时,有lim()1fz,。 当yx,zz,04
由于以不同的方式趋于零时,不趋于同一个值,因此,由复变fz()z
函数极限值的唯一性知,该复变函数的极限不存在。
ReZz,0z,0例5 设= ,,试证明:当时,的极限不存在。 fz()fz()Z
证明:设zxiy,,,则
ReZx= , Zxiy,
当z沿直线趋向于零时,有 ykx,
xlim ykx,,0,xiy
xlim ,x,0,xikxykx,,0
1。 ,1,ik
kfz()显然,当取不同值时,趋于不同的值。
10
ReZlim所以,由复变函数极限值的唯一性知,不存在。 z,0Z
,,Z2iz,0z,0例6 设=[](),试证:当时,的极限/,fz()fz(),,,
不存在。
证明:设,则 zri,,(cossin),,
2cossinrir,,?2 = fz()22ir
sin2,= 。
于是,
lim()0fz,0,0 当z 沿着正实数趋向于时,=,此时,我们得到:。 z,0
,0,lim()1fz,当z沿这条直线趋于时,=,此时,我们得到:。 yx,z,04而由复变函数极限值的唯一性知,该极限不存在。
lim()fzw,2((绝对值的极限) 如果,则。 lim()||||fzw,00zz,zz,00
,,,0,,,0lim()fzw,证明:由于,则有,,使得,,,,,,,,zzz:000zz,0
有 ,,,,,fzw()0
而
,, ,,,,,fzw() 0
,,, fzw() ,0
,,
lim(),,,,, fzw故。 0zz,0
lim()fzw,z3((局部有界性) 如果,则复变函数在点的某一fz()00zz,0
空心邻域内有界。
,,,,lim()fzw,证明:已知,则由复变函数极限的定义有,,存在0zz,0
,,,,z:0,,,,,,zz, ,有 0
11
,,,,fzw()10
, ,,,, , ,fzw()0
, , ,fzw(),0
<1>1>
-11 , ,,, ,fzw(),,0故有
+1。 , ,w , ,fz(),0即在点的某一空心邻域内有界。 zfz()0
4((四则运算法则) 设lim()fzw,,且 lim()FzW,, 00zz,zz,00
那么
lim[()()]fzFzwW,,, (1) 00zz,0
lim[()()]fzFzwW,,, (2) 00zz,0
lim[()()]fzFzwW, (3) 00zz,0
并且如果 W,0 ,有 0
wfz()0 (4) ,limzz,0FzW()0
证明:(1)、(2)。
令 ,,则 fzuxyivxy()(,)(,),,FzUxyiVxy()(,)(,),,
lim(,)uxyu,,xx,0,yy,,0lim()fzw,, ,0zz,0lim(,)vxyv,,xx,0yy,,0,
lim(,)UxyU,,xx,0,yy,,0 lim() FzW,, ,0zz,0lim(,)VxyV,,xx,0yy,,0,
12
根据二元实变函数极限的运算法则,有
lim[(,)(,)]uxyUxyuU,,,(,)(,)xyxy,,00
lim[(,)(,)]vxyVxyvV,,,(,)(,)xyxy,,00
而
fzFz()(),
[(,)(,)][(,)(,)]uxyUxyivxyVxy,,,,
于是,
lim[()()]fzFz,zz,0
= [(,)(,)][(,)(,)]uxyUxyivxyVxy,,,
= wW,00
= , = 且证明(3):令fz()uxyivxy(,)(,),Fz()UxyiVxy(,)(,),
, , ,那么,根据已知条件和定理1zxiy,,wuiv,,WUiV,,000000000
有,
当趋于(,)xy时,相应的函数u, v, U, V 的极限均存在,并且(,)xy00
分别为u,v,U和V。 0000
所以,乘积 = 。 fzFz()()()()uUvVivUuV,,,
(,)xy()uUvV,当趋于时,其极限的实部和虚部的分量分别为(,)xy000000
vUuV,和()。 0000
z因此,由定理1,当趋于时 ,有极限 fzFz()()z0
()()uUvVivUuV,,, 00000000
wW且它等于 ,即该等式成立。 00
fz()fz()证明(4):已知 = ,Fz() Fz()
13
由运算法则(3)有
wfz,lim()0zz,0
fz() ,lim[()]Fz,zz,0Fz()
fz() ,lim()Fzlim,zz,zz,00Fz()
fz() Wlim,,0zz,0Fz()
wfz()0,0又,故 有。 W,lim0zz,0FzW()0
2n例7 求多项式的极限。 pzaaZaZaz(),,,,?,012n解:由极限的定义知
limcc,,且 limzz,, 0zz,zz,00
这里和是任意的复数,并且由四则运算法则和数学归纳法知, cz
nn ( ) limzz,n,?1,20,zz0
2n所以,多项式 pzaaZaZaz(),,,,?,012n
lim()()pzpz,当趋于z时的极限是多项式在该点的取值,即。 z00zz,0
例 8 计算下列极限
zzzz,,,22z,1 (1) , ; 2z,1
zi,zi, (2) , ; 2zz(1),
1z,, (3) , ; 21,z
zzzz,,,22(2)(1)zz,,lim解: = lim2z,1z,1z,1(1)(1)zz,,
14
(2)z, = limz,1(1)z,
3= 2
zi,zi,lim = lim2zi,zi,zz(1),()()zzizi,,
1 = limzi,zzi,()
1 = - 2
2t11z, = (令) limlim22z,,t,0,ztt11,
= 0
四、复变函数在无穷远点处的极限
1(把无穷远点引入复平面,并且使用与之相关的极限,在很多时,
候是很方便的,这样的平面被成为扩充复平面,要观察无穷远点,可以
z,0把复平面想象为以原点为中心的球面,沿赤道的投影平面上的每个
p点都对应球面上一个点。 z
N
P
Z
15
点由通过点和北极的直线与球面的交所确定,我们以同样的方式pz
可以知道除北极点外,球面上的每一点都对应平面上的一个点,让球pz
N面上的北极点对应无穷远点,这样,我们就可以使扩充的复平面和球面上的点之间建立一一的对应关系,这样的球面被成为黎曼球面,对应的部分则被成为球极投影。
可以看到复平面上,以原点为中心的单位圆的外部与上半球面除去赤道和北极点的部分外均相对应,并且对每一个正实数,在复平面上的,
11圆周外的点,都对应于离北极点很近的点,因此,我们把集合,,,z,,,z,,叫做的一个邻域。 ,,
约定:当说一个点,我们指的是有限的平面。 z
现在可以很容易地给出下述式子的含义,lim()fzw, ,其中或者zw000zz,0
取,或者是它们都取。 ,,
2、定义。
M,0(1)称复变函数在无穷远点附近有定义,如果存在,使得fz()
,,,zM的定义域包含所有满足的点。 fz()z
,C (2)设函数w在无穷远点附近有定义,,如果对任意给定fz()0
,,0M,0,z:,,,zM的,都存在,使得,。则称时以z,,,,,,,fzw()fz()0
lim()fzw,w为极限,记为。 00z,,
3(运算法则
lim()fzw,lim()gzv,设 ,。则 00zz,zz,00
lim[()()]fzgzwv,,, (1) ; 00zz,0
lim[()()]fzgzwv,,, (2) ; 00zz,0
16
(3) ; lim[()()]fzgzwv,00zz,0
wfz()0 (4) (); v,0,lim0zz,0gzv()0
此时的,可以同时为,或者其中之一为无穷。 zw,00
cC,要求:+= ,+c(),,cc,,,,,,,(,0)cCc,,,c,,,,,,,,
c,,0= ,,?=,, ,,,,(,)cCc,,,(,)cCc,,,(,)cCc,,,,,,,ccc,,0,,(,但可为),,;其中?,,0cCc,,,0cccCc ,,,,,,,(,0),,,0,可以应用下面即将谈到的洛必达法则进行计算。
4. 定理及应用。
定理5:如果和分别是和平面上的点,那么 zwwz00
1lim()fz,,, 当且仅当。 (1),lim0zz,zz,00fz()
1lim()fzw,fw,lim()(2),当且仅当 。 00z,,z,0z
1lim()fz,,(3),当且仅当 。 ,lim0z,,z,01f()z
lim()fz,,证明:(1) 由知,对于每一个正实数,都存在一个正实,zz,0
,数,使得当0,,,,,,zz时,有 0
1,,,fz() (4) ,
z0,,,,,,zz这就是说,当点位于点的去心邻域时,点位于的wfz,()z,00
1,,,w0,,,,,,zz邻域,因为(4)可以被写成:当时,有 0,
1,,,,,0。 fz()
1,由此,便得到。 lim0zz,0fz()
17
lim()fzw,,(2) 由知,对于每一个正实数,都存在一个正实数,,0z,,
1使得当时,有 ,,,z,
(5) ,,,,,fzw()0
1如果以代替,就可以得到以下的结果: zz
1当时,有 . ,,,,,fw()00,,,,,,z0z
lim()fz,,最后,(3)的第一个极限 可以被解释为: z,,
1,对于每一个正实数,都存在一个正实数,使得当,,,z时,有,,
1。 ,,,fz(),
1如果以代替,就可以得到以下的结果 zz
1当时,有; 00,,,,,,z,,,,,,1f()z
这就给出了(3)的第二个极限。
z,1lim0,例如,据观察 ,由于,有 z,,1iz,3
iz,3lim,,, z,,1z,1
2,i32,zzlimlim由于 ,3z,z,0012,z1,z
2 ,
2zi,lim有 2 ,z,,z,1
1,1322,zzlimlim更进一步,由于 ,3z,z,0022,z,13z
0 ,
321z,lim有 =。 ,2z,,z,1
18
,,,,定理6:(洛必达法则型) 设函数与在()0,,,,,,zzfz()gz()0,
'内可微,且。如果 gz()0,
, lim()gz,,zz,0
'fz()fz()那么,只要极限存在(或为),则极限也存在(或limlim,'zz,zz,00gz()gz()
'fzfz()()为),且。 ,limlim,'zzzz,,00gzgz()()
'fz(),,1证明:设(有限)。于是,任给正数,都存在,,,0,limA1'zz,0gz()
使得当:时恒有 0,,,,,,zz0
fz'() (1) ,,,,,A'gz()记,我们来估计 zz,,,10,
fz()fzfz()(),fzfz()(),fz()11 + (2) ,,,A,,,,,,A,gz()gzgz()(),gzgzgz()()(),11对(2)右端的第二项之商应用Cauchy中值公式,然后对该项用不
等式(1),我们得到
'fzfz()(),f(),1 = 的 (3) ,,,A,,,,,A'gzgz()(),g(),1
,,,,,,,,,zz其中。为估计(2)的右端的第一项,我们来看 01
fzfzfz()()(),fz()11 ,,gzgzgz()()()
fzfzgzgzfz()()()()(),,111 , ,,gzgzgzgz()()()(),1
fz()fzfz()(),1 ,,,gzgzgz()()(),1
19
fzgzfzfz()()()(),111 ,,,,gzgzgzgz()()()(),1
1fzfz()(),1 ,,,,,,,[()()fzgz11,,,gzgzgz()()()1
1 ,,,,,,,,,,,,[()(()fzgz11,,gz()
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,,1这里我们用到(3)和,并已令。由于Mfzgz,,,,,,,,,,,,()(()11
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参考文献:
[1]《复变函数论》(第三版),钟玉泉,高等教育出版社,北京,2004。 [2]《数学分析》(第三版),尹景学,高等教育出版社,北京,2004,5。 [3]《复变函数与积分变换》(第四版),李建林,西北工业大学出版社。 [4]《复变函数与应用》(原书第七版),邓冠铁,机械工业出版社。 [5]《复变函数学习辅导》(第四版),路之阳,西安科技大学出版社。
[6]《复变函数》,杨纶标,科技出版社。
下面是诗情画意的句子欣赏,不需要的朋友可以编辑删除!!
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谢谢!!!!!
1. 染火枫林,琼壶歌月,长歌倚楼。岁岁年年,花前月下,一尊芳酒。水落红莲,唯闻玉磬,但此情依旧。
2. 玉竹曾记凤凰游,人不见,水空流。
3. 他微笑着,在岁月的流失中毁掉自己。
4. 还能不动声色饮茶,踏碎这一场,盛世烟花。
5. 红尘嚣 浮华一世转瞬空。
6. 我不是我 你转身一走苏州里的不是我 。
7. 几段唏嘘几世悲欢 可笑我命由我不由天。
8. 经流年 梦回曲水边 看烟花绽出月圆。
9. 人生在世,恍若白驹过膝,忽然而已。然,我长活一世,却能记住你说的每一话。 10. 雾散,梦醒,我终于看见真实,那是千帆过尽的沉寂。
11. 纸张有些破旧,有些模糊。可每一笔勾勒,每一抹痕迹,似乎都记载着跨越千年万载的思念。
12. 生生的两端,我们彼此站成了岸 。
13. 缘聚缘散缘如水,背负万丈尘寰,只为一句,等待下一次相逢。 14. 握住苍老,禁锢了时空,一下子到了地老天荒
15. 人永远看不破的镜花水月,不过我指间烟云 世间千年,如我一瞬。 16. 相逢一醉是前缘,风雨散,飘然何处。
17. 虚幻大千两茫茫,一邂逅,终难忘。相逢主人留一笑,不相识,又何妨。 18. 天下风云出我辈,一入江湖岁月催;皇图霸业谈笑间,不胜人生一场醉。 19. 得即高歌失即休,多愁多恨亦悠悠,今朝有酒今朝醉,明日愁来明日愁。 20. 直道相思了无益,未妨惆怅是清狂。
21. 看那天地日月,恒静无言;青山长河,世代绵延;就像在我心中,你从未离去,也从未改变。
22. 就这样吧,从此山水不相逢。
23. 人天自两空,何相忘,何笑何惊人。
24. 既不回头,何必不忘。 既然无缘,何须誓言。 今日种种,似水无痕。 明夕何夕,君已陌路。
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25. 有缘相遇,无缘相聚,天涯海角,但愿相忆。有幸相知,无幸相守,苍海明月,天长地
久。
26. 相见得恨晚,相爱的太慢,进退让我两难。缘过了远分,缘过了聚散,是否回
头就能够上岸
27. 天凉了,凉尽了天荒 地老了,人间的沧桑,爱哭了,这么难舍 心都空了,想放不能
放。天亮了,照亮了泪光 泪干了,枕边地彷徨
28. 心微动奈何情己远.物也非,人也非,事事非,往日不可追
29. 渺渺时空,茫茫人海,与君相遇,莫失莫忘。
30. 如果换我先开口,日子是否还一样细水长流
31. 也许是前世的姻 也许是来生的缘 错在今生相见 徒增一段无果的恩怨 32. 人道海水深,不抵相思半。海水尚有涯,相思渺无畔。 33. 醉眼看别人成双作对,
34. 无人处暗弹相思泪。
35. 终于为那一身江南烟雨覆了天下,容华谢后,不过一场,山河永寂。 36. 千秋功名,一世葬你,玲珑社稷,可笑却无君王命。
37. 凤凰台上凤凰游,负约而去,一夜苦等,从此江南江北,万里哀哭。 38. 嗟叹红颜泪、英雄殁,人世苦多。山河永寂、怎堪欢颜。 39. 风华是一指流砂,苍老是一段年华。
40. 夜雨染成天水碧。有些人不需要姿态,也能成就一场惊鸿。 41. 你要记得,紫檀未灭,我亦未去。
42. 谁在岁月里长长叹息。
43. 汉霄苍茫,牵住繁华哀伤,弯眉间,命中注定,成为过往。 44. 红尘初妆,山河无疆。 最初的面庞,碾碎梦魇无常,命格无双。 45. 江南风骨,天水成碧,天教心愿与身违。
46. 山河拱手,为君一笑 。
47. 如是颠簸生世亦无悔。
48. 荏苒岁月覆盖的过往,白驹过隙,匆匆的铸成一抹哀伤。 49. 那被岁月覆盖的花开,一切白驹过隙成为空白。
50. 褪尽风华,我依然在彼岸守护你。
51. 那些繁华哀伤终成过往,
52. 请不要失望,平凡是为了最美的荡气回肠。
53. 你的路途,从此不见我的苍老。
54. 长歌当哭,为那些无法兑现的诺言,为生命中最深的爱恋,终散作云烟。 55. 随你走在天际,看繁花满地。
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56. 我自是年少,韶华倾负。
57. 你要记得,那年那月,垂柳紫陌洛城东。
58. 苍茫大地一剑尽挽破,何处繁华笙歌落。
59. 寄君一曲,不问曲终人聚散。
60. 谁将烟焚散,散了纵横的牵绊;听弦断,断那三千痴缠。61. 清风湿润,茶烟轻扬。重温旧梦,故人已去。
1. 水滴虽小,却可以折射出太阳的光彩。
2. 梦落三千尺愁深似海,繁华遗落散满地。记忆轮回里,我举杯,在奈何桥上满口饮尽。
3. 人生没有轮回,就像花,人活一世,花开一季、人生如花,花似梦。
4. 生活的苦涩和美好给了我对人生的领悟,如今,千山万水走遍,我发现自己再也不愿离开文学的蓝天,再也不愿离开那个让我痴迷的文学舞台。
5. 在烟雨红尘中,轻拾季节花瓣飘落的音符,组成美妙曲符,然后,倚在时光的路口,撷一缕明媚,许自己一份唯美的怀想,与快乐、浪漫相约,闲淡清欢。
6. 未经历坎坷泥泞的艰难,哪能知道阳光大道的可贵;未经历风雪交加的黑夜,哪能体会风和日丽的可爱;未经历挫折和磨难的考验,怎能体会到胜利和成功的喜悦。挫折,想说恨你不容易
7. 燕子斜飞人家,炊烟零乱,柳絮飘飘,弥漫了山里人家。
8. 这样知解自己的生命即使是心灵空荡我也无所畏惧
9. 中秋之曰不可能岁月明如水,偶然的暗淡,恰似镜子的背后之面,有所缺憾,人生才会是积翠如云的空濛山色。
10. 在经受了失败和挫折后,我学会了坚韧;在遭受到误解和委屈时,我学会了宽容;在经历了失落和离别后,我懂得了珍惜。
11. 曾经盛开的蔷薇,虽经风吹雨打,但和着微风,还有屡屡暗香飘过。
12. 我只希望,不管三年,五年,或是十年以后。某一天,我们相遇,还能相认,你大喊一声,我想死你了。那一刻,我定会泪流满面。我们是朋友,永远的朋友。
13. 最爱的未必适合在一起,相爱是让彼此做自己。
14. 时间断想,时间不断。流逝,像是水,可弯可直,像是风,可柔可刚。
15. 如果说人生是一望无际的大海,那么挫折则是一个骤然翻起的浪花。如果说人生是湛蓝的天空,那么失意则是一朵飘浮的淡淡的白云。
16. 云层雾气,缠着几户古木人家,清新自然,如诗如画。
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17. 我喜欢你,只是一个现在;我爱你,却是一整个未来。
18. 夜雨染成天水碧。有些人不需要姿态,也能成就一场惊鸿。
19. 再大的风不会永不停息,在浓得雾不会经久不散,风息雾散仍是阳光灿烂。
20. 牵着时光的衣襟,走进芳菲五月,轻轻地将春光拥入怀中,于一抹素白流韵中,弹奏一曲江南的婉韵,把盏,将似水流年浅斟轻酌。
21. 我穿越轮回而来,在奈何桥相思盈袖,凄然守候。莫落泪,纵若水落三千尺东流,云动八万里西散,我依旧会化身城碟,翩翩起舞跨过奈何桥与你相会。
22. 如果我爱你,我就会理解你,通过你的眼睛去看世界。我能理解你,是因为我能在你身上看到我自己,在我身上也看到了你。
23. 似乎风在转向,送走了缓缓袭来的味道,又将刚刚溜走的风,静静地换回来。
24. 生活告诉我,童话只不过是小孩子幻想的游戏。
25. 人生就像穿着一件长满虱子的华丽睡袍,外表美丽,而内心却充满了干啊和恐慌。
26. 必须用另一种真实方式来代替时光里已经逝去的东西
27. 岁月,依一抹浅香于心间,看年华向晚,闻花香送暖。给时光一个浅浅的回眸;给自己一份微笑从容。沉淀,馨香;念起,温暖。
28. 人生的起起落落间,总会有一些情怀需要安静回味;总会有一些伤痛需要独自体会;总会有一段路需要一个人走;总会有一些事需要坦然面对。
29. 疏影横斜水清浅,暗香浮动月黄昏。
30. 心若没有栖息的地方,到哪里都是在流浪。
31. 今后,我会从尘世中的纷争走出,远离喧嚣,把岁月打磨成诗,让自己的文字静如睡莲,动如涟漪,无论何时都能描绘成美丽的水墨丹青。
32. 全是理智的心,恰如一柄全是锋刃的刀,它叫使用它的人手上流血。——泰戈尔
33. 我们都不擅长表达,以至于我们习惯了揣测。去肯定,去否定,反反复复,后来我们就变得敏感而脆弱。
34. 心心念念的往事、曾经深爱过的人、年少琐碎的过往,它们就像缠绕之间的一阵风,来的缱绻,去的时候让人来不及挽留。
35. 如果在乎的没有那么多,想要的没有那么多,生活便会简单得很多。
36. 在极度的喧嚣中,独自微笑独自平静是憾,落花是美的,淡淡的书香,淡淡的花香,淡淡的馨香。
37. 曾芬芳过的那片土地,幸福的花儿虽早已凋谢,只留下风雨吹打的痕迹。
38. 辗转半世红尘,缘去缘灭,空留满池伤痕。雨花迟落,霜雪纷飞,池水泛冰,已益处月的苍凉。
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39. 一条古道,一匹瘦马,一个人影,被落日的余晖缓缓拉长。
40. 我们人生的大幕才刚刚拉启:刀光剑影,英雄本色;是非恩怨,儿女情常。
41. 我们要去流浪,虔诚地定格住每一寸记忆;我们要去成长,潇洒地忘却掉每一条纹路。
42. 嗅着昨日芬芳遗留的气息,寻寻觅觅,仍不见踪迹。邂逅了一场烟火,终还是那般凄凉。迷失的夜晚,点缀了无数颗孤单的星星,不知道那是否有属于我的一颗。
43. 像这样轻飘飘的日子和平平静静的心情,也算是生活中的一种享受吧。
44. 想着远方的你,绝美的笑容,只为你一个人展露,那一泓羞涩的笑容,悄悄。
45. 细碎的声音,如羞涩的蓓蕾,夜暮花影,轻浅六月,寂寂流年,拢一阙清绝,归隐在宋词里。
46. 夕阳沉落在海水深处却不见浪花翻滚,淡淡的只留下一个让人沉思的背影。落雨是晚风中的殇,带着晨曦的翘首滑落最后的伤痕!雨尽含羞,淡抹嫣红!
47. 无影击碎了泪水,岁月在那个光年划下的痕迹原来是一刀一刀地刻在了我的心上。
48. 我收拢了梦想的翅膀,我停却了信念的脚步,却再也作不回曾经的那一天。
49. 我宁愿用尽此生,为那些尘世的硝烟尘雾,潸然泪下,为菩提落花,为世间繁华。
50. 阳光依旧在,我们穿越光影,沿着历史的足迹继续前行,创造美好生活,走向美丽明天!
51. 洋溢着春日的微笑,坚强了外表,却虚伪了内心,脆弱了,是不敢触及的。
52. 也许,就在那一刻里,梦境还在,柔情亦在。
53. 一个人的戏,自己独自导演,诠释精彩。在剧中尽情释放着自己的喜怒哀乐。笑得凄然绝美;哭得肝肠寸断。
54. 但生命中被你刻上痕迹的那些岁月无法抹去。
55. 往事悠然一笑间,不必空忧。我们一路走来,只是为了告别往事,走入下一段风景。倘若让忧伤填补了生命的空白,就真的是亵渎了生命。
56. 人生只有回不去的过去,没有过不去的当下。上帝只会给你过得去的坎,再不好过的生活,再难过的坎,咬咬牙,也就过去了。
57. 我一直以为山是水的故事,云是风的故事,你是我的故事。可是却不知道,我是不是你的故事。
58. 生命并不是一场竞赛,而是一段旅程。如果你在途中一直都试图给他人留下深刻印象,超过别人,那你就浪费了这段旅程。
59. 比如新的朋友新的感情新的思绪我想要知道的
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60. 我以为我已经将爱情忘记,将你忘记。可是有一天,我听到一首歌,我的眼泪就出来了。因为这首歌,我们曾一起听过。
61. 忍花开花落,云卷云舒,品人生似棋。
62. 我离开你这一种信仰又会以怎样全新的姿势去面临更深沉的挑战
63. 人生路,路迢迢,谁道自古英雄多寂寥,若一朝,看透了,一身清风挣多少。
64. 只有夕阳站在那里。灵魂像无数的雪花飘过,光明闪烁,渐渐清醒。
65. 终于为那一身江南烟雨覆了天下,容华谢后,不过一场,山河永寂。
66. 荏苒岁月覆盖的过往,白驹过隙,匆匆的铸成一抹哀伤。
67. 忘川水不枯,记忆不散;奈何桥不断,思卿不弃;今夕,彼岸花又放,佳期约又到,我轮回践约而来,等你归来。红尘路上,伊人在否?
68. 十年生死两茫茫,不思量,自难忘,千里孤坟,无处话凄凉,纵使相逢应不识,尘满面,鬓如霜。
69. 天空飘过一朵云,有时是晴,有时是阴。但白昼终归还是白昼。
70. 我知道回不去,但还是会想念会回忆会心疼到无法自拔。
71. 天空不曾留下鸟的痕迹,但是我已飞过、在大地上画满窗子,让所有习惯黑暗的眼睛都习惯光明。
72. 人生首先要是望远镜,看远;再就是显微镜,看细;接下来是放大镜,看透;其次是太阳镜,看淡;最后是哈哈镜,笑看生活。
73. 我不是公主,也不会有等待救赎我的王子。
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范文五:函数极限连续要点
函数、极限和连续要点总结
一函数
1.理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值,并会作出简单的分段函数图像。会建立简单实际问题的函数关系式。
2.理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性,会判断所给函数的类别。
3.了解函数y=?(x )与其反函数y=?-1(x )之间的关系(定义域、值域、图象),会求单调函数的反函数。
4.理解和掌握函数的四则运算与复合运算,熟练掌握复合函数的复合过程。
5.掌握基本初等函数及其简单性质、图象。
6.了解初等函数的概念及其性质。
二极限
1.理解极限的概念,会求数列极限及函数在一点处的左极限、右极限和极限,了解数列极限存在性定理以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则(包括数列极限与函数极限)。
3.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
4.了解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和
等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。
三连续
1.理解函数在一点连续与间断的概念,会判断简单函数(含分段函数)的连续性,理解函数在一点连续与极限存在的关系。
2.会求函数的间断点及确定其类型。
3.掌握闭区间上连续函数的性质,会运用零点定理证明方程根的存在性。
4.了解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限。
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