范文一:全概率公式的应用
全概率公式的应用及推广
1. 全概率公式
1.1全概率公式 1.1.1 公式简述 全概率公式的内容简述如下:
设事件 , n A A A 12, , (或 , n A A A 12, , , ) 为样本空间 Ω的一个分割或完全事件
组,即满足: (1)()12A A i j =≠
(2)1
n
i i A ==Ω∑(或 1
i i A ∞
==Ω∑)
则对 Ω中任一事件 B ,有
()()()1
|n
i
i
i P B P A P B A ==
?∑或 ()()()1
i
i
i P B P A P BA ∞
==?∑ (1.1.1)
证明
()11
n n
I
i i B B B BA ==??
=Ω== ??? ,且 12, , , n AB AB AB 互不相容
所以又由可加性可得
()()()1
1n n
i i
i i P B P BA P BA ==??
==
???
∑
再将 ()()()|i i i P B P A P B A = , i =1, 2,
, n 代入上式即得(1.1.1)式. 分析 (1)从形式上看,公式的右边 ()()1
|n
i i i P A P B A =?∑比左边 ()P B 复杂,实质上,
定理中给出的条件
一个分割, 并且公式中一些事件的概率和条件概率能从题设中求得. 它体现了
(2)全概率公式的最简单形式:假如 0() 1P A <,即 ,="" a="" a="" 构成样本空间的一个分="">,即>
() () (|) () (|) P B P A P B A P A P B A =+
(3)条件 12, , , n A A A 为将本空间的一个分割,可改成 12, , , n A A A 互不相容,且
1
n
i
i B A =?
,则(1.1.1)式仍然成立.
1.1.2 应用例证
例 1 (摸奖模型 ) 设在 n 张彩票中有一张奖券 , 求第二人摸到奖券的概率是多 少 ?
解 设 i A 表示
因为 1A 是否发生会影响到 2A 发生的概率 , 有 ()()21211|0, |1
P A A P A A n ==-
同时 , A A 是两个概率大于 0的事件, ()()
1111, n P A P A n
n
-==
可由全概率公式得
11212121111() () (|) () (|) 01
n P A P A P A A P A P A A n n
n n
-=+=
?+
?=-
同理可得
341() () () n P A P A P A n
====
这说明,抽奖时,不论先后,中奖机会是均等的.
例 2 甲文具盒内有 2支蓝色笔和 3支黑色笔, 乙文具盒内也 2支蓝色笔和 3支黑 色笔. 现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒, 然后再从乙具盒中任取两支. 求 最后取出的两支笔都为黑色笔的概率.
解 以 i A 记为从甲文具盒中取出放入乙文具盒中的黑色笔数, 0,1, 2i =. 以 B 记最后取出的两支笔都为黑色笔,则
2023
0251() 10
P A C
=
=
, 1123
125
3() 5
P A C
=
=
, 0223
225
3() 10
P A C
=
=
.
而
243
027
3(|) 21
P B A C
=
=
, 023
4
127
6(|) 21
P B A C
=
=
, 0225
227
10(|) 21
P B A C
=
=
.
因此
2
1
3
6
6
31023() () (|) 1021
1021
102170
i i i P B P A P B A ==
=
?
+
?
+
?=∑
.
分析 012, , A A A 是构成样本空间的一个分割 , 这是应用全概率公式的典型题型. 总结
(1) 由上述两可以总结出应用全概率公式问题的一般解题思路 ①确定所求事件,并依题意将样本空间进行正确分割;
②列出已知数据,在例 1中求事件 2A 发生概率 2() P A 时,将 ()()11, P A P A , 条件概率 ()()2121|, |P A A P A A 写出或求出,一般使用古典概率的方法
③ 将 已 知 数 据 代 入 全 概 率 公 式 . 将 ()()11, P A P A 与 对 应 的 条 件 概 率
()
(
)
2121
|, |P A A P A A 用乘法公式后相加,即求出 2() P A . (2) 全概率公式中的 () P B 称为全概率, 它的本质是一种平均概率. 因为事件 B 的 出现概率依赖于各个事件 12, , , n A A A . 在各个事件下, 事件 B 的条件概率 (|) i P B A 是不同的.概率 () P B 是这些条件概率 (|) i P B A 的加权平均值.这样可以更好的记 忆全概率公式.
2. 推广全概率公式的矩阵表示
2.1. 推广全概率公式的矩阵表示 2.1.1全概率公式的推广
在第一章对全概率公式的条件和结论作如下改动 , 就可以得到推广的全概率 公式 .
设 n 个 12, ,..., n A A A 事件互不相容 , 且 1
n
j j A ==Ω∑,m 个事件 12, ,..., n B B B 中的 i B
(i = 1 ,2 , ? ,m) 只能与事件 12, ,..., n A A A 之一同时发生 , 1
n
i i
j
j B B A
==
∑(i=1,2,…,m) 则
有 P (i B )=
1
() (/) n
j
i j j P A
P B A =∑ (i=1,2,…,m)
2.1.2 推广的全概率公式的矩阵表示
因为 P (i B )=1
() (/) n
j i j j P A P B A =∑ (i=1,2,…,m)
即 11112121() () (/) () (/) ... () (/) n n P B P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 21212222() () (/) () (/) ... () (/)
n n P B P A P B A P A P B A P A P B A =+++
.........
1122() () (/) () (/) ... () (/)
m m m n m n P B P A P B A P A P B A P A P B A =+++
按矩阵的乘法 , 有
12() () () m P B P B P B ???????????
? = 111212122211(/)
(/) (/) (/) (/)
(/) (/)
(/)
(/) n n m m m n P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A ???
??????
???
12() ()
() n P A P A P A ??
??
?
????
???
[1] 峁诗松 , 程依明 , 濮晓龙 . 概率论与数理统计教程 [M]. 北京:高等教育出版社 ,2005. [2] 李贤平 , 沈崇圣 , 陈子腾 . 概率论与数理统计 [M]. 上海 : 复旦大学出版社 ,2003. [3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 . 高等代数 (第三版 ) [M]. 北京:高等教
育出版社 ,2003.
范文二:全概率公式的教学研究
全概率公式的教学研究
[摘要 ]全概率公式是概率论教学中的一个教学难点 . 使用全概 率公式的关键是找到完备事件组, a1, a2…, an. 本文将通过典型 的例题,帮助学生认识到,完备事件组就是题目中所有的并列的原 因构成的集合,并充分的利用这一点来解题 .
[关键词 ]全概率公式 完备事件组 原因组
全概率公式是概率论中的基本公式,也是教学中的一个难点 . 它 将计算一个复杂事件的概率问题,转化为在不同原因下的简单事件 的概率的求和问题 . 由于涉及全概率的题目多样而复杂,所以学生 在学习这部分内容时,往往无从下手 . 事实上,只要帮助学生明确 以下两个问题,自然会豁然开朗 .
问题 1:什么时候使用全概率公式?
问题 2:如何使用全概率全概率公式?
我将通过下面的例题,来回答上面的问题 .
例 1:人们为了解一支股票未来一定时期内的价格变化, 往往会去 分析影响股票价格的因素,比如利率的变化 . 现假设人们经分析估 计,利率下调的概率为 60%,利率不变的概率为 40%.根据经验,人 们估计在利率下调的情况下,该支股票上涨的概率为 80%,而在利 率不变的情况下,其价格上涨的概率为 40%,求该支股票将上涨的 概率 .
分析:从公式的结构 可以看出,关键是寻找完备事件组, a1,
范文三:全概率公式的推广及应用
全概率公式的推广及应用
学号:2008211546
哈尔滨师范大学
学士学位论文
题 目全概率公式的推广及应用
学 生
指导教师 讲师
年 级2008级
专 业数学与应用数学
系 别数学系
学 院数学科学学院
哈 尔 滨 师 范 大 学
学士学位论文开题报告
论文题目 全概率公式的推广及应用
学生姓名
指导教师
年 级 2008级
专 业 数学与应用数学
2011年12月
课题来源:
由系论文指导文员会提供
课题研究的目的和意义: 目的:研究概率的目的是帮助人们更加了解概率的内容,了解概率在生活中的应用。用概率去估算问题的可能性,从而减少失败。为人们提供了方便。
意义:全概率公式是概率论中很重要的公式,在概率论的计算中起着很重要的作用.对全概率公式进行仔细地分析,用例子说明了它的用法及它所适用的概型;为了解决实际问题的需要。我们将全概率公式进行了推广,用例子说明了推广的全概率公式在实际应用中所适用的概型比全概率公式的更广.
国内外同类课题研究现状及发展趋势: 研究现状:概率论广泛的应用与生活中,例如正概率安全分析已经广泛的应用于核电中,它对核电厂的设计,运行的作用日益受到重视,然而PSA在研究堆中德应用却不像在核电厂中应用的那样广泛,世界各国对其要求也不同。调研了国内外PSA在研究堆中的应用情况,分析的应用的目标、范围和依据。PSA在研究堆中的应用常根据实际需要来决定分析的。 发展趋势:概率在生活中应用广泛,涉及到生活中的各个领域,预测地震,人们购买彩票。对于无法预测的事情,我们可以估算大概发生的可能性。概率论就是通过随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的概率之小,抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平,用概率来指导决策减少错误与失败等等,显示了概率在人们生活中越来越重要的作用。
课题研究的主要内容和方法,研究过程中的主要问题和解决办法: 主要内容:概率论中经常要从已知的简单事件的概率去求未知的复杂事件的概率,即将
复杂事件分解为若干个简单事件,通过这些简单事件的概率来求复杂事件的概率。形成定理就是我们经常用到的全概率公式。
主要方法:本文通过诱导法,原因结果法,图形结合法三种方法展开对全概率公式的研究。
主要问题:在研究的过程中,往往在一些实验里会出现几种问题。一、将古典概型误认为独立重复试验。二、弄错基本事件的个数。三、一定在某个位置发生与一定发生的混淆。四、“等可能”与“非等可能”分辨不清引发错误。五、“有序”与“无序”的判断不准导致错误。除此之外,概率问题还有结果难以检验的特点。 解决方法:概率问题的解决主要是要和另外知识结合的,如古典概型中要结合排列组合知识,几何概型中要结合较多的平面几何知识等。要注意,概率问题比较抽象,要培养兴趣,提高解决问题的能力。
课题研究起止时间和进度安排:
1选定课题(2011.11.10?2011.11.11)
2收集资料,研究有关课题 2011.12.1?2011.12.9
3完成开题报告 2011.12.10?2011.12.20
4完成初稿 2012.3.16?2012.3.30
5.请指导教师指导完成论文 2012.4.1?2012.4.30
课题研究所需主要设备、仪器及药品:
外出调研主要单位,访问学者姓名:
指导教师审查意见:
指导教师 (签字) 年月
教研室(研究室)评审意见:
____________教研室(研究室)主任(签字) 年月
院(系)审查意见:
____________院(系)主任 (签字) 年月
学 士 学 位 论 文
题 目全概率公式的推广及应用
学 生宋雨?
指导教师王敏慧 讲师
年 级2008级
专 业数学与应用数学
系 别数学系
学 院数学科学学院
哈尔滨师范大学
2012年4月 目 录 摘要 1
关键词 1
1、 全概率公式的基本理论 11.1完备事件组 11.2全概率公式1
2、 全概率公式的推广及其应用 12.1全概率公式的推广 22.1.1全概率公式的推广定理1及其应用 22.1.2全概率公式的推广定理2及其应用 32.1.3全概率公式的推广定理3及其应用 42.1.4全概率公式的推广定理4及其应用.52.2全概率公式的应用 62.2.1全概率公式在摸球模型中的应用 62.2.2全概率公式在实际比赛中的应用 62.2.3全概率公式在医疗诊断中的应用 14
3 总结 16
参考文献 17
外文摘要 18全概率公式的推广及应用 宋雨?
摘要:全概率公式是概率论中很重要的公式,在概率论的计算机中起着很重要的作用。对全概率公式进行仔细地分析,用例子说明了它的用法及它所适用的概型;为了解决实际问题的需要。我们将全概率公式进行了推广,用例子说明了推广的全概率公式在实际应用中所适用的概型比全概率公式的更广。准确运用全概率公式以及它的推广形式,重要弄清楚事件间相互影响的次序,恰当地设出完备事件组。此外,本文结合实例说明了全概率公式的推广定理在产品检查、医疗诊断以及统计决策等中的应用。
关键词: 全概率公式完备事件组 推广 应用
目前,社会在飞速发展,市场竞争日趋激烈,决策者必须综合考察以往的信息及现状从而做出综合判断,决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。
概率论对医学的渗透与结合,已成为现代医学领域的显著特征。利用数学
方法,充分利用好全概率公式及其推广形式,定量地对医学问题进行相关分析,使其结论更具有可信度,更有利于促进对病人的对症实施。利用好全概率公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列列不确定的问题中。全概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下又发事件的概率,有助于把握随机事件间的相互影响关系,为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式会给我们解题带来很大方便,而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围,成为我们解决更复杂问题的有效工具。1、全概率公式的基本理论 1.1 完备事件组 在了解全概率公式之前,我们先来看一下完备事件组的概念。 如果个事件。满足下列两个条件: (1)。两两互不相容; (2) 那么,我们称这个个事件。构成样本空间的一个划分,也称构成一个 完备事件组。为了下面推广全概率公式的需要,我们首先介绍一下“全概率公式”。
1.2 全概率公式 设个事件构成样本空间的一个划分,是一个事件。当 时则有: 在很多实际问题中,由于随机事件的复杂性,很难直接求得,但却很容易找到的一个完备事件组,且一般和会在题目中告诉你, 或可以通过计算得到,那么就能用全概率公式求出 。全概率公式在 实际生活中有广泛的应用,从下面几个例子中可以加深对它的了解。
全概率公式的推广及其应用 2.1全概率公式的推广当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关,而这列事件自身并不构成样本空间,添加某些事件后才构成样本空间的分割,而这些事件对复杂事件的发生没有影响时,可将全概率公式以下推广。
2.1.1 全概率公式推广定理1及其应用
设是一列事件,添加后,或其自身构成样本空间的 一个分割,则对任一事
件, 当有。证明: 例4、设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击,每人击中目标的概率为 ,一人击中目标被摧毁的概率是,两人击中目标被摧毁的概率是,三 人击中目标被摧毁的概率是3,求目标被摧毁的概率。解:令“目标被摧毁”,“有个人击中目标”其中。 虽然不构成样本空间的分割,但添加“三人均未击中”后 就够成的分割,而于是,得:
当试验的随机过程不少于两个的时候,在影响目标事件的每一个试验过程中分 别建立完备事件组,全概率公式可推为推广定理2。2.1.1 全概率公式推广定理2及其应用 设和是先后两个实验过程中的划分,为 目标事件,当 时, 则有:。证明: 例5、已知两个箱子中各装有3个不合格品和5个合格品,现从第一箱中任取 一个产品放入第二箱,再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中,问此时从第一箱 中取出一个产品是合格品的概率。 解:设 表示“从第一箱中取出 个合格品放入第二箱中” 0,1,;表示“从第二箱中取出个合格品放入第一箱中”0,1 ;表示“再从第一 箱中取出一个合格品”。由题意得: 故由全概率推广公式得: 下面我们再将全概率公式推广至条件全概率公式的情形。 1.4.3 全概率公式推广定理3及其应用 设 为样本空间的一个分割,即 互不相容且
范文四:浅析全概率公式的应用_吴静
第9卷 第1期2008年3月福建医科大学学报(社会科学版)
Journal of Fujian M edical univ ersity (Socia l Science Editio n) Vo l. 9, No. 1M ar. 2008
浅析全概率公式的应用
吴 静, 陈 莉
(福建医科大学数理计算机教学部, 福建福州350004)
摘要:归纳总结全概率公式的理解方法、求解问题的分析方法、解题步骤以及应用此公式时应注意的事项等几点教学体会, 旨在使学生能够真正理解和掌握全概率公式, 从而更好地解决这类实际问题。 关键词:全概率公式; 事件; 完备事件组
中图分类号:O211 文献标识码:A 文章编号:1009-4784(2008) 01-0038-04
概率论的重要研究课题之一, 是如何从已知简单事件的概率求出未知复杂事件的概率。对于一些复杂事件, 有时不易直接求出它的概率, 这时往往将它转化为若干个易于计算的简单事件的和事件, 从这些简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率, 全概率公式正好起到了这样作用。全概率公式是5概率论6中的重要公式之一, 在概率论的教学中, 它既是一个重点又是一个难点。笔者根据多年来的教学实践, 归纳总结出对公式的理解方法、求解此类问题的分析方法、解题步骤以及应用此公式时应注意的事项等几点教学体会, 以使学生能够真正理解和掌握全概率公式, 从而更好地解决这类实际问题。
一、全概率公式的推导与理解
全概率公式是由概率的加法公式和乘法公式推导出来。
(一) 全概率公式的推导 定理(全概率公式)
[1]
的n 个事件A 1, A 2, , , A n 中的一个同时发生, 即B =i =E 1B A i , 其中BA 1, BA 2, , , BA n 显然也互不相容, _由加法和乘法公式得:
P (B ) =P (B A 1+, +BA n ) =P (BA 1) +P (B A 2) +, P(B A n )
=P (A 1) P (B /A 1) +P (A 2) P (B/A 2)
+
, +P (A n ) P(B/A n )
=i E P (A i ) P (B/A i ) =1
n
n
图1 全概率公式的推导示意图
:设A 1, A 2, , , A n 两两互
n
(二) 全概率公式的理解
要使学生能正确而熟练地运用全概率公式, 首先必须对公式的内涵有一个清楚的了解。能否利用全概率公式, 关键是寻找一完备事件组, 所谓完
n
不相容, 且P (A i ) >0, 若i =E 1A i =U, B A A 1+A 2+, A n , 则P(B) =i =E 1P(A i ) P (B/A i ) 。
如图1所示, 由于事件B 能且只能与互不相容
收稿日期:2007-12-06
作者简介:吴 静(1963-) , 女, 讲师。
n
备事件组就是具备了完全性(i E A i =U ) 与互不相容=1
) )
性(A i A j =V ) 的一组事件A i (i =1, 2, , n ) 。亦即全概率公式的适用条件为:
(1) A i A j =V(i X j , i, j =1, 2, , , (2) i E A i =U =1
(3) P (A i ) >0(i =1, 2, , , n)
全概率公式的基本思想就是将一个复杂事件的概率分解成若干个互不相容的简单事件的概率之和。分解的关键是如何找出互不相容的事件组A 1, A 2, , , A n , 使得复杂事件B 的出现必然有事件A i 之一伴随出现, 然后将B 剖分给A i , 如图1将事
n
n
例1. 某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药, 三地的供货量分别占40%, 35%和25%, 且用这三地的药材能生产出优
完备事
件组
等品的概率分别为0. 65、0. 70和0. 85, 求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率。
[1]
件B 分解为B =i =E 1BA i , 到了这一步只要用一次加法公式和乘法公式便可得到全概率公式。
这里的BA i 就是所谓的/简单事件0, 因为利用概率的乘法公式, 容易求得它们发生的概率为P (BA i ) =P(A i ) P (B/A i ) 。其中P (A i ) 是考虑导致事件B 发生时的若干个不同假设情况的概率, 它们往往是已知的或能求出的; P (B/A i ) 所表示的是在若干个假设事件A i 发生的条件下事件B 发生的概率, 它可以从题目的已知条件直接得出或间接导出。 二、应用全概率公式的一般方法和步骤 (一) 判断问题可否采用/全概率公式0求解 若我们从问题的条件中可以找到一个事件组A 1, A 2, , , A n (即文中所述的完备事件组) , 而该事件组当且仅当其中之一发生时, 事件B 才可能发生, 并能求出它们的概率P (A i ) , 同时可以求得在事件组A 1, A 2, , , A n 发生的条件下事件B 发生的条件概率P (B/A i ) (i =1, 2, , , n) , 那么即可利用全概率公式求得P (B) 。
(二) 找出完备事件组及其相关概率
认真分析题目意思, 根据已知条件, 找出完备事件组, 这些完备事件组A 1, A 2, , , A n 往往是考虑事件B 发生时的全部假设情况, 将这些假设情况一一列出, 并由题意得出相应的概率P(A i ) , 根据题意找出或求出在A i 发生的条件下事件B 发生的条件概率P (B/A i ) (i =1, 2, , , n ) , 这样就可直接运用全概率公式求解此类问题了。
=0. 7175
所以从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率为0. 7175。
例2. 某医院采用?、ò、ó、?四种方法医治某种癌症, 在该癌症患者中采用这四种方案的百分比分别为0. 1、0. 2、0. 25、0. 45, 其有效率分别为0. 85、0. 80、0. 70、0. 60, 求到该院接收治疗的患者, 治疗有效的概率为多少?
解:令B={治疗有效}, A i ={采用第i 种方法}
)
图2 例1示意图
解:题目分析:由于不知道任意取出的药品究竟是甲、乙、丙三地中的哪一地的药材生产出的, 所以直接求它为优等品的概率很困难, 但取出的该药品总是由甲、乙、丙三地中的某一地药材生产出的, 即三者必居其一。因此可设A i (i =1, 2, 3) 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地, B={抽到优等品}(如图2所示) 。依题意可知产地A i (i=1, 2, 3) 构成了完备事件组, B 发生时必以A i (i =1, 2, 3) 之一为先决条件, 这样总是可以把B 分解到A i 上的, 因此可以利用全概率公式计算P (B ) 。并由已知条件得P (A i ) =0. 4, P (A 2) =0. 35, P (A 3) =0. 25, P (B/A 1) =0. 65, P (B/A 2) =0. 7, P (B /A 3) =0. 85, 由全概率公式得:
P (B) =P(B/A 1) P (A 1) +P(B/A 2) P (A 2) +P (B /A 3) P (A 3)
=0. 65@0. 4+0. 7@0. 35+0. 85@0. 25
(i =1, 2, 3, 4) , 依题意可知诸A i 为完备事件组, P (A 1) =0. 1, P (A 2) =0. 2, P (A 3) =0. 25, P (A 4) =0. 45, P(B/A 1) =0. 85, P (B /A 2) =0. 80, P (B/A 3) =0. 70, P (B/A 4) =0. 60, 则由全概率公式得: P(B ) =i =E 1P (B/A i ) P(A i )
=0. 85@0. 1+0. 80@0. 20+0. 70@0. 25
+0. 60@0. 45=0. 69
所以到该院接收治疗的患者, 治疗有效的概率为0. 69。
三、应用全概率公式应注意的几点事项 (一) 使用全概率公式的关键是寻找一完备事件组
如何找出完备事件组A 1, A 2, , , A n ? 这是应用全概率公式的一个重点也是一个难点。一般地说, 具体问题具体分析, 但下列两点可予以考虑:(1) 全概率公式中的条件可等价地改写成/事件B 能且仅能与A 1, A 2, , , A n 之一同时发生0, 即把事件组A 1, A 2, , , A n 看成导致事件B 发生的一个原因或一种假设情况, 而这些原因或假设情况的概率是已知的或能求出的, 用找原因的方法求A 1, A 2, , , A n 比较方便。(2) 对于一个复合试验, 如果要求的概率是最后一个试验结果的一个概率, 则可把倒数第二个试验的样本空间进行划分。也就是说, 如果要求的事件B 的发生受到事件组A 1, A 2, , , A n 发生的影响, 亦即要使事件B 发生必须先发生事件组A 1, A 2, , , A n , (这里的事件B 就是前面所说的最后一个试验结果, 事件组A 1, A 2, , , A n 即构成了前面所说的倒数第二个试验的样本空间) , 那么事件组A 1, A 2, , , A n 就是我们所要寻找的完备事件组。
(二) 弄清事件B 与完备事件组A 1, A 2, , , A n 的关系
如图1所示, 事件B 与完备事件组A 1, A 2, , ,
n
4
A 1, A 2, , , A n 划分时, 所有基本事件就被归类于A 1, A 2, , , A n 中, 这样事件B 中的基本事件也必然归于A 1, A 2, , , A n 中, 也就是说B 中的基本事件被分配到完备事件组A 1, A 2, , , A n 之中了, 那末当A 1, A 2, , , A n 划分U 时也就划分了B, 所以B =
i =1n
E BA i 。
利用全概率公式求复杂事件B 的前提条件是
事件B 的发生与一系列互不相容的事件有关。需要说明的是, 这列互不相容事件本身并不一定完全构成样本空间U, 往往需要添加某些事件后才能构成样本空间U, 而添加的这些事件对复杂事件的发生没有任何影响, 也就是说尽管任一事件B 有时是被完备事件组中的部分事件划分了(即B 的元素并不一定是参与划分者的全部元素) , 但总可以广义地认为是被全部事件划分了, 只是没参与划分的事件是没分着B 的任何元素, 与B 的积为不可能事件, 在这种情况下, 全概率公式仍可使用。这样, B 就可以表示成B 分别与完备事件组中各个事件的积之和(如图3所示) , 即B =B A 2+BA 3+, +BA n -1, 就可以改写成B =BA 1+BA 2+, +B A n (其中BA 1=a, BA n =a)
。
图3 事件B 与完备事件组的关系示意图
(三) 应用全概率公式时, 应特别注意条件概率的计算
[2]
首先要弄清楚条件概率的概念, 例如对条件概率P (B/A ) 的定义中, /在A 发生的前提下0这一说法在实际问题中有许多类似的提法, 如/事件A 已经出现的条件下0、/给定, , 0、/已知,,0、/在,, 的假设下0、/当,, 发生时0等等, 在实际应用中要把握其本质, 具体问题具体分析, 善于把描述实际问题的文句转换成概率统计课程中所熟悉的
A n 的关系为B =BA 1=BA 2+, BA n , 即B =i E BA 。=1这是因为任何一个事件都可认为是由样本空间U 中的若干个基本事件构成的, 当U 被完备事件组)
)
/语言0, 避免解题时理解错误或是不知如何下手, 导致条件概率计算的错误。
总之, 在教学过程中通过对全概率公式的推导、例题的讲解以及一些应用全概率公式的注意事项等的强调, 加强引导学生对全概率公式的理解, 使学生能够熟练掌握应用全概率公式的方法和技
巧, 从而很好地解决这类实际问题。参考文献:
[1]张选群. 医用高等数学[M ]. 4版. 北京:人民卫生出版社, 2004.
[2]徐信之, 高尚华. 概率与统计学习指导书[M ]. 北京:高等教育出版社, 1994.
(编辑:马川建)
A nalysis of the A pplication of Formula of T otal Probability
WU Jing, CH EN Li
(Dep ar tment of Phy sics &M athematics &Comp uter Science,
F uj ian Medical University , Fuz hou 350004, China)
Abstract:This paper summ ar izes som e teaching ex perience, including how to under stand the fo rmula of total probability, how to find solutio ns w ith sensible analysis and pr ocedures, and w hat are supposed to be taken for attention in the application of this for mula. T he autho rs attempt to help students completely understand and g rasp this form ula so as to better solve practical pro blems.
Key words:for mula of total probability; event; com plete event g roup
鸣 谢
在过去的一年中, 5福建医科大学学报(社会科学版) 6得到了我校及兄弟院校许多专家学者的鼎力协助, 在此谨对协助审稿的所有专家表示衷心感谢, 并希望今后能继续得到各位的支持与帮助。因篇幅有限, 以下谨列出部分审稿专家的名单(按汉语拼音音节顺序排列) :
陈传林 陈金华 陈锦秀 陈庆强 陈兴明 陈亚兵 池志伟 冯 欣 高松龄姜小鹰 郝 模 何少颖 黄爱民 黄丽英 黄淑瑜 黄远振 黄子杰 梁敬阳李毅中 李永苍 林大熙 林德馨 林孟夏 林默君 林榕发 吕述珩 潘 琰阮鼎勋 沈国星 沈建箴 苏建新 苏振芳 王国祥 王卫平 吴均林 吴小南徐国兴 许斗斗 许丽英 许红峰 许能锋 许智坚 薛常明 姚华英 叶一舵游小留 张 白 张鹏飞 张文昌 张喜奎 郑兰英 郑 鸣 郑逸芳 郑又贤郑振佺 周瑞祥
)
范文五:全概率公式的应用及推广
目 录
摘要............................................................................................................... . .............2 关键词 ...................................................................................................................... .2 一、 全概率公式的基本理论 . .................................................................................... .2 1.1完备事件组 ...................................................................................................................2 1. 2全概率公式 ................................................................................................................. 2 二、 全概率公式的其应用 ......................................................................................... 3 2.1 全概率公式在实际比赛中的应用 ..................................................................... 3 2.2 全概率公式在医疗诊断中的应用………....................................................................4 三、 全概率公式的推广.......................................................................................................... 4 3.1全概率公式的推广定理1及其应用……......................................................................5 3.2全概率公式的推广定理2及其应用……......................................................................6 3.3全概率公式的推广定理3……..................................................................... .................7 3.4推广全概率公式的的矩阵表示.................................................................. .................7 四、总结………………………………………………………………………………………………………………………………8 五、参考文献…………………………………………………………………………………9
全概率公式的应用及推广
摘要:全概率公式是概率论中很重要的公式,在概率论的计算机中起着
很重要的作用。对全概率公式进行仔细地分析,用例子说明了它的用法及它所适用的概型;为了解决实际问题的需要。我们将全概率公式进行了推广,用例子说明了推广的全概率公式在实际应用中所适用的概型比全概率公式的更广。准确运用全概率公式以及它的推广形式,重要弄清楚事件间相互影响的次序,恰当地设出完备事件组。此外,本文结合实例说明了全概率公式的推广定理在产品检查、医疗诊断以及统计决策等中的应用。
关键词: 全概率公式 完备事件组 推广 应用
目前,社会在飞速发展,市场竞争日趋激烈,决策者必须综合考察以往的信息及现状从而做出综合判断,决策概率分析这门学科越来越显示其重要性。
概率论对医学的渗透与结合,已成为现代医学领域的显著特征。利用数学方法,充分利用好全概率公式及其推广形式,定量地对医学问题进行相关分析,使其结论更具有可信度,更有利于促进对病人的对症实施。利用好全概率公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列列不确定的问题中。全概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下又发事件的概率,有助于把握随机事件间的相互影响关系,为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式会给我们解题带来很大方便,而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围,成为我们解决更复杂问题的有效工具。
一、全概率公式
1.1 完备事件组
在了解全概率公式之前,我们先来看一下完备事件组的概念。 如果n 个事件 (1) (2)
A 1,. ... A n
。满足下列两个条件:
A 1,. ... A n
。两两互不相容;
A 1,. ... A n
A 1 ... A n =Ω;
那么,我们称这个n 个事件
完备事件组。
。构成样本空间Ω的一个划分,也称构成一个
为了下面推广全概率公式的需要,我们首先介绍一下“全概率公式”。
1.2全概率公式
(1) 设n 个事件构成样本空间的一个划分, B 是一个事件. 当
P (B ) >0, P (A i ) >0,
n
i =1, 2, , n
时则有:
P (B ) =
∑P
i =1
A (i P ) B (A i |
, ) (1)
n
?n ?
证明:B =B Ω=B ?= (BA I
?i =1?i =1
),且AB 1, AB 2, , AB n 互不相容
所以又由可加性可得
?n ?
P (B )=P (BA i )?=
?i =1?
n
∑P (BA )
i
i =1
,n代入上式即得(1)式.再将P (B i )=P (A i )P (B |A i ),i=1,2,
(2)全概率公式的最简单形式:假如0
<1,即a ,="" a="">1,即a>
P (B ) =P (A ) P (B |A ) +P (A ) P (B |A )
(3)条件A 1, A 2, , A n 为将本空间的一个分割,可改成A 1, A 2, , A n 互不相容,且
n
B ?
A ,则(1)式仍然成立.
i
i =1
二、全概率公式的应用
2.1 全概率公式在实际比赛中的应用
例1、某射击小组共有20名射手, 其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级
射手8人,一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4. 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率?
分析:问题实质上涉及到两个部分:第一, 选出的射手不知道是哪个级
别的, 由全概率公式知, 都应该考虑到, 才为全面. 第二, 某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的, 记为:A i =“选出的i 级射手”,i =1, 2, 3,则A 1, A 2, A 3构成一个完备事件组,有:
A 1 A 2 A 3=Ω,且A i A j =?,i ≠j ,i 、j =1, 2, 3 由题意:P (A 1)
=
420
, P (A 2) =
820
, P (A 3) =
820
B =“选出的射手能通过选拔进入比赛”,要求:P (B ) =? 则:P (B ) = =
P (A 1) P (B |A 1) +P (A 2) P (B |A 2) +P (A 3) P (B |A 3)
420
?0.9+
820
?0.7+
820
?0.4
=62%
即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%. 这个数比0.9、
0.7都小,但比0.4大,就是因为三种可能性都考虑到了.
例2 甲乙两个比赛射击,每次射击胜者得1分,每次甲胜的概率为α,
乙胜的概率为β,平局概率为γ,( α+β+γ=1).比赛进行到一方比对方多2分为止,多2分者获胜,求甲获胜的概率.
解 由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的,设B为甲获胜的
概率,考虑前两次比赛作为条件以A1作为第一、二甲胜的概率,A2作为第一、二次均平局的概率,A3作为第一、二次各胜一局的概率,A1,A2,A3满足定理1的条件但不满足一般的全概率公式,由定理1知:
P (B ) =P (A 1) P (B /A 1) +P (A 2) P (B /A 2) +P (A 3) P (B /A 3) ;
易知 P (B /A 1) =1, P (B /A 2) =P (B ), P (B /A 3) =P (B ) ; 所以 P (B ) =α2+γP (B ) +2αβP (B ) ; 即 P (B ) =
2.2 全概率公式在医疗诊断中的应用
α
1-γ
2
2
-2αβ
.
例3、据调查,在50个耳聋人中有4人色盲,在9950个非耳聋人中有796
人色盲,分析两种疾病是否相关.
分析:设事件A 为耳聋人,事件B 为色盲人,P (A ) =p ,
则P (A ) =1-p . 依题意可得,P (B |A ) =
由全概率公式,P (B ) =∑
i =1n
450
=0.08, P (B |A ) =
7969950
=0.08
P (A i ) P (B |A i )
=P (B ) =P (A ) P (B |A ) +P (A ) P (B |A ) =p ?0.08+(1-p )?0.08 =0.08
所以,P (B ) =P (B |A ) =P (B |A ) =0.08, 事件A 与事件B 相互独立. 经过以上分析得出结论:耳聋与色盲无关.
概率论对医学的渗透于结合,已经成为现代医学领域的显著特
征。利用数学方法,充分利用好全概率公式,定量的对医学问题进行相关的分析没士气结论更具有可信度,更有利于促进对病人的对症施药。
三、全概率公式的推广
当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关,而这列事件自身并不构成
样本空间,添加某些事件后才构成样本空间的分割,而这些事件对复杂事件的发生没有影响时,可将全概率公式作以下推广. 3.1全概率公式推广定理1及其应用
设A 1, A 2, ???, A n , ???是一列事件,添加C 1, C 2, ???, C m 后,或其自身构成样本空间Ω的一个分割, P (A i )>0, i =1, 2, ???, 则对任一事件B , 当P (B |C k )=0, k =1, 2, ???, m , 有P (B )=∑
i =1∞
P
(A i )P (B
|A i
).
证明:B
∞
=B Ω=
∞
i =1
A i B BC 1 BC 2 BC m
P (B ) =∑
i =1
P (A i B ) +
∑P (BC )
k
k =1
m
=∑
i =1
∞
P (A i ) P (B |A i ) +
∑P (B |C )
k
k =1
m
∞
=∑P (A i ) P (B |A i )
i =1
例4、 设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击,每人击中目标的概率为
p
,一人击中目标被摧毁的概率是p ',两人击中目标被摧毁的概
率是2p ',三人击中目标被摧毁的概率是3p ',求目标被摧毁的概率.
解:令B =“目标被摧毁”,A i =“有i 个人击中目标”i =1, 2, 3,
p (A 1)=C 3p (1-p )=3pq ,
1
2
2
p (A 2)=C 32p 2(1-p )=3p 2q ,
p (A 3)=p 3其中q =1-p .
虽然A 1、A 2、A 3不构成样本空间Ω的分割,但添加C =“三人
均未击中”后就构成Ω的分割,而p (B |C )=Q 于是,得:
3
P (B )=
∑p (A )p (B |A )=3pq
i
i
i =1
2
?p '+3p q ?2p '+p ?3p '
2
3
=3pq (q 2+2pq +p 2)=3pp '
当试验的随机过程不少于两个的时候,在影响目标事件的每一个试验过程
中分别建立完备事件组,全概率公式可推广为推广定理2.
3.2 全概率公式推广定理2及其应用
设A i (i =1, 2, ???, n )和B j (j =1, 2, ???, m )是先后两个试验过程中的划
分,C 为目标事件. 当 P (C )>0, P (A i )>0, P (B j )>0, P (A i B j )>0, i =1, 2, ???, n , j =1, 2, ???, m 时,
则有 : P (C )=∑∑
i =1
j =1n
m
P (A i )P (B j |A i )P (C |A i B j ).
n
证明:P (C ) =
n
P (C A i ) =P ( A i C )
i =1
n
n
m
i =1
=∑
i =1
P (A i C ) =
∑
i =1
P (A i C B j )
j =1
=∑
i =1
n m n m
P ( A i B j C ) =
j =1
∑∑
i =1
j =1
P (A i B j C )
=∑∑
i =1
j =1
n m
P (A i ) P (B j |A i ) P (C |A i B j )
例5、已知两个箱子中各装有3个不合格品和5个合格品,现从第一箱中
任取一个产品放入第二箱,再从第二箱中任取一个产品放入第一箱中,问此时从第一箱中取出一个产品是合格品的概率.
解:设A i 表示“从第一箱中取出i 个合格品放入第二箱中”i =0,1 ;
B j 表示“从第二箱中取出j
个合格品放入第一箱中”j =0,1 ;
C 表示“再从第一箱中取出一个合格品”. 由题意得: P (A 0)=
38
, P (A 1)=
58
, P (B 0|A 0)=
49
, P (B 1|A 0)=
59
, P (B 0|A 1)=
39
, P (B 1|A 1)=
69
P (C |A 0B 0)=
58
, P (C |A 0B 1)=
68
, P (C |A 1B 0)=
48
, P (C |A 1B 1)=
58
故由全概率推广公式得:
P (C )=
∑∑P (A )P (B
i
i =0
j =0
11
j
|A i )P (C |A i B j )=
58
.
3.3 全概率公式推广定理3
设A 1, A 2, ???, A n 为样本空间Ω的一个分割, 即A 1, A 2, ???, A n 互不相容
且 A =Ω, P (A i )>0, i =1, 2, ???, n ,B , C 为两个事件, 当
i
i =1n
P (C )>0, P (A i C )>0时,有P (B |C )=
n
∑P (A
i =1n
i
|C )P (B |A i C ). 特别当C
分
别与A 1, A 2, ???, A n 独立时,P (B |C )=∑
i =1
P (A i )P (B |A i C ).
n
证明: 设B , C 为两个事件,根据加法公式,有P (B C )=∑
i =1
P (A i B C ).
当P (C )>0, P (A i C )>0(i =1, 2, ???, n )时
P (A i B C )=P (A i C )P (B |A i C )=P (C )P (A i |C )P (B |A i C ).
n
所以P (B |C )=P (C )∑P (A i |C )P (B |A i C ).
i =1
故P (B |C ) =
P (BC ) P (C )
n
=
∑P (A
i =1
i
|C ) P (B |A i |C )
而当C 与A 1, A 2, ???, A n 独立时,有:P (A i |C )=P (A i ),
n
此时:P (B |C )=
∑P (A )P (B |A C ).
i
i
i =1
3.4. 推广全概率公式的矩阵表示
对全概率公式的条件和结论作如下改动, 就可以得到推广的全概率公式.
n
设n 个A 1, A 2,..., A n 事件互不相容, 且∑A j =Ω,m 个事件B 1, B 2,..., B n 中的B i
j =1
n
(i = 1 ,2 , ?,m) 只能与事件A 1, A 2,..., A n 之一同时发生, B i =
n
∑B A
i
j =1
j
(i=1,2,…,m)
则有
P (B i )=
∑P (A
j =1
j
) P (B i /A j ) (i=1,2,…,m)
推广的全概率公式的矩阵表示
n
因为P (B i )=∑P (A j ) P (B i /A j ) (i=1,2,…,m)
j =1
即 P (B 1) =P (A 1) P (B 1/A 1) +P (A 2) P (B 1/A 2) +... +P (A n ) P (B 1/A n )
P (B 2) =P (A 1) P (B 2/A 1) +P (A 2) P (B 2/A 2) +... +P (A n ) P (B 2/A n )
.........
P (B m ) =P (A 1) P (B m /A 1) +P (A 2) P (B m /A 2) +... +P (A n ) P (B m /A n )
按矩阵的乘法, 有
?P (B 1) ??P (B 1/A 1)
???
P (B 2) P (B 2/A 1) ??= ?
?? ? ???
?P (B m ) ??P (B m /A 1)
P (B 1/A 2) P (B 2/A 2)
P (B m /A 1)
P (B 1/A n ) ??P (A 1) ?
???
P (B 2/A n ) P (A 2)
? ?? ?? ?
???
P (B m /A n ) ??P (A n ) ?
四、总结
随着社会的飞速发展,市场竞争的日趋激烈,决策者必须综合考察