范文一:偏微分方程
偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
参考书目
《数学物理方程》, 王明新, 清华大学出版社。 《工程技术中的偏微分方程》, 潘祖梁,浙江大学出版社。 《数学物理方程》,姜礼尚, 高教出版社。
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一. 偏微分方程的基本概念
x = ( x1 , x2 ,? , xn ) u ( x) = u ( x1 , x2 ,? , xn )
自变量 未知函数
?u ?u ? mu F ( x1 ,? , xn , u , ,? , ,? , m1 m2 )=0 mn ?x1 ?xn ?x1 ?x2 ? ?xn
偏微分方程的一般形式
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一些概念
PDE的阶: m = m1 + m2 + ? + mn 古典解 PDE 的解 广义解 线性PDE 非线性PDE 半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE
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是指这样一个函数,它满足方程, 并且在所考虑的区域内有m阶连 续偏导数。
PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 线性PDE: 全体都是线性的。例如:
n ? 2u ?u aij ( x1 ,? , xn ) + ∑ b j ( x1 ,? , xn ) + c( x1 ,? , xn )u = f ( x1 ,? , xn ), ∑1 =j 1 ?xi ?x j ?x j i, j n
其中是给定的函数。 aij , b j , c, f
主部 线性PDE的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分.
aij , b j , c 常系数线性PDE: 系数均为常数.
不然称为变系数的. 齐次线性PDE:
f ≡ 0.
不然称为非齐次的.
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拟线性PDE: PDE中对最高阶导数是线性的。例如:
?u ?u ? 2u ?u ?u aij ( ,? , = f( , u , x1 ,? , xn ) ,? , , u, x1 ,? , xn ). ∑1 ?x ?x ?xi ?x j ?x1 ?xn i, j = 1 n
n
半线性PDE: 拟线性PDE中,最高阶导数的系数仅为 自变量的函数。例如:
? 2u ?u ?u ∑1 aij ( x1 ,? , xn ) ?x ?x = f ( ?x ,? , ?x , u, x1 ,?, xn ). i, j = 1 i j n
n
完全非线性PDE: PDE中对最高阶导数不是线性的。
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举例(未知函数为二元函数)
1.
?u =0 ?x
解为:
u = f ( y)
?ξ = x ? ?η = x ? at
?u ?u +a =0 2. ?t ?x
变换
?u a =0 ?ξ
解为: u = f ( x ? at )
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举例(未知函数为二元函数)
3.
? 2u =0 ?x?t
解为: u = g ( x) + h(t )
? 2u ? 2u ? a2 2 = 0 4. ?t 2 ?x
变换
?ξ = x ? at ? ?η = x + at
解为:
u = g ( x ? at ) + h( x + at )
? 2u =0 ?ξ?η
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` 举例(未知函数为二元函数)
5.
? 2u ? 2u + 2 =0 2 ?y ?x
不易找出其通解,但还 是可以找出一些特解
任意解析函数 f (z ) 的实部和虚部均满足方程。
1 ln r
也是解
r = x2 + y2
KDV方程 特解都不易找到
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?u ?u ? 3u + 3 =0 + 6u 6. ?t ?x ?x
7. 8. 9.
ut + uu x = eu
2 v x v xx + v y v yy = v 2
拟线性PDE 拟线性PDE
a ( x, y )(v xx + v yy ) = e v (v x + v y )
半线性PDE
10.
ut + u x = sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
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11.
(ut ) + (u x )
2
2
= u2
举例(多元函数)
? 2u ? 2u ? 2u + 2 + 2 =0 2 ?x ?y ?z ? u ? u ? u ?u + 2+ 2 = 2 ?x ?y ?z ?t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
? u ? u ? u ? u + 2+ 2 = 2 2 ?x ?y ?z ?t
2 2 2 2
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波动方程
11
二. 定解问题的适定性
定解 问题 PDE 初值条件 定解条件 边值条件 初、边值条件 初值问题、边值问题、混合问题
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经典的定解问题举例
波动方程的初值问题(一维)
?? u 2 ? u + f ( x, t ), t > 0, x ∈ R ? 2 =a 2 ?t ?x ? ?u ( x, t ) = ? ( x) t =0 ? ? ?u ? ( x, t ) = ψ ( x ) ? ?t t =0 ?
2 2
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经典的定解问题举例
热传导方程的初值问题(一维)
? ?u 2 ? u + f ( x, t ), t > 0, x ∈ R ? =a 2 ? ?t ?x ?u ( x, t ) t =0 = ? ( x) ?
2
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经典的定解问题举例
二维调和方程的边值问题
? ? 2u ? 2u + 2 = 0, ( x, y ) ∈ ? ? R 2 ? 2 ? ?x ?y ? ?(α ( x)u + β ( x) ?u ) = g ( x) ? ?n ?? ?
α = 1, β = 0 α = 0, β = 1
α > 0, β > 0
第一边值问题(Dirichlet) 第二边值问题(Neumann)
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第三边值问题(Robin)
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经典的定解问题举例
热传导方程的初、边值问题
? ?u ? 2u = a 2 2 + f ( x, t ), t > 0,0
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何为适定性?
存在性 唯一性 连续依赖性(稳定性) 稳定性:只要定解条件的偏差足够小,相 应的定解问题解的偏差也将非常小. 若PDE在附加条件及求解域的一定要求下,它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为 稳定的,就称定解问题在相应的函数类中为适定的。
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适定性
三. 物理模型与定解问题的导出
弦振动方程的导出
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弦振动方程与定解问题
一长为L的柔软均匀细弦,拉紧后,当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时,开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内, 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用, 弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不 断变化,但它们遵循物理的运动规律。由此可以建 立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
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取弦的平衡位置为OX轴,运动平面为XOU U P O Q U P Q L 在时刻 t ,弦线在 x 点的位移为 u(x, t) X
α2
T ( x + ?x)
α1
O
此为上图中PQ 的放大图示
x + ?x
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T (x) x
X
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假设弦线是均匀的,弦作微小振动,故可认为
?S ≈ ?x
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据 Hooke定律,弦上各点的张力 T 的
大小与时间 t 无关。 再由于弦是柔软的,弦上各点的张力 T 的方向正是弦 的切线方向。
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设 ρ 为弦的线密度(单位长度的质量),f 0 ( x, t ) 为作用在 弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位长度的 力),根据牛顿第二定律,
T ( x + ?x) cos α 2 ? T ( x) cos α1 = 0
? 2u ρ?x 2 = T ( x + ?x) sin α 2 ? T ( x) sin α1 + f 0 ?x ?t
?u tan α1 = ?x ( x ,t ) ?u tan α 2 = ?x ( x + ?x ,t )
cos α1 ≈ 1 cos α 2 ≈ 1
(*1) (*2)
sin α1 ≈ sin α 2 ≈
?u ?x ?u ?x
( x ,t )
?u
( x + ?x ,t )
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(*1)
T ( x + ?x) ≈ T ( x)
这表明张力的大小与 x 也无关,即
T ≈ T0
(*2) ,微分中值定理
常数
? 2 u ( x, t ) ? 2u ( x , t ) ≈ T0 ?x + f 0 ( x, t )?x, ρ?x 2 2 ?t ?x x ∈ ( x, x + ?x)
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令 ?x → 0 ,可得微分方程方程
? 2u ? 2u ρ 2 = T0 2 + f 0 ?t ?x
弦是均匀的,故
a =
2
ρ 为常数,记
,
T0
ρ
ρ
f0
= f ( x, t )
方程改写为
2 ? 2u 2 ? u =a + f ( x, t ) 2 2 ?t ?x
(0 0)
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为
弦振动方程。
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为了具体给出弦的振动规律,除了列出它所满足的方程 外,由于弦开始时的形状和弦上各点的速度,对弦振动 将有直接影响,由此必须列出初始条件
u ( x, 0) = ? ( x),
或者(以及)边界条件
已知端点的位移 已知在端点受到垂直 于弦的外力的作用
?u ( x,0) = ψ ( x) ?t
u (0, t ) = g (t ), u ( L, t ) = h(t )
?T ?u ?x = g (t ),
x =0
T
?u ?x
= h(t )
x=L
已知端点的位移与所受外 力作用的一个线性组合
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四. 二阶线性方程的分类
两个自变量,齐次
? 2u ? 2u ? 2u ?u ?u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ?x ?x?y ?y ?x ?y
(1) 主部 目的: 通过自变量的非奇异变换来简化方程 的主部,从而据此分类。
?ξ = ξ ( x, y ) ? ?η = η ( x, y )
非奇异
ξx ξ y ≠0 ηx η y
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u ( x, y )
复合求导
?ξ = ξ ( x, y ) ? ?η = η ( x, y )
u (ξ ,η )
?u ?u ?ξ ?u ?η = + ?x ?ξ ?x ?η ?x ?u ?u ?ξ ?u ?η = + ?y ?ξ ?y ?η ?y
? 2u ?ξ ?η ? 2u ?η 2 ?u ? 2ξ ?u ? 2η ? 2u ? 2u ?ξ 2 = ( ) +2 + ( ) + + 2 2 2 2 ?x ?ξ ?x ?ξ?η ?x ?x ?η ?x ?ξ ?x ?η ?x 2 ? 2u ?η ?η ?u ? 2ξ ?u ? 2η ? 2u ? 2u ?ξ ?ξ ? 2u ?ξ ?η ?η ?ξ ( )+ 2 = + + + + ?x?y ?ξ 2 ?x ?y ?ξ?η ?x ?y ?x ?y ?η ?x ?y ?ξ ?x?y ?η ?x?y ? 2u ? 2u ?ξ 2 ? 2u ?ξ ?η ? 2u ?η 2 ?u ? 2ξ ?u ? 2η ( ) +2 ( ) + + = + 2 2 2 2 ?ξ ?y ?η ?y 2 ?y ?ξ ?y ?ξ?η ?y ?y ?η
?y
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? 2u ? 2u ? 2u ?u ?u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ?x ?x?y ?y ?x ?y (1) ? 2u ? 2u ? 2u * ?u * ?u * * * * + a22 2 + b1 + b2 +c u = a11 2 + 2a12 0 ?ξ ?ξ?η ?η ?ξ ?η (2)
系 数 ?ξ ?η ?ξ ?η ?η ?ξ ?ξ ?η * 之 + a12 ( + a12= a11 ) + a22 间 ?x ?x ?x ?y ?x ?y ?y ?y (3) 的 ?η 2 ?η ?η ?η 2 * 关 + a22 ( ) a22 = ( ) + 2a12 a11 系 ?x ?x ?y ?y
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?ξ 2 ?ξ ?ξ ?ξ 2 + a22 ( ) a = ( ) + 2a12 a11 ?x ?x ?y ?y
* 11
其他系数之间的关系
? 2ξ ? 2ξ ? 2ξ ?ξ ?ξ * + a22 2 + b1 + b2 b1 = a11 2 + 2a12 , ?x ?x?y ?y ?x ?y
(3*)
? 2η ? 2η ? 2η ?η ?η + a22 2 + b1 + b2 b = a11 2 + 2a12 , ?x ?x?y ?y ?x ?y
* 2
c* = c( x(ξ ,η ), y (ξ ,η ))
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考虑
?z 2 ?z 2 ?z ?z + a22 ( ) = 0 a11 ( ) + 2a12 ?x ?x ?y ?y
如若能找到两个相互独立的解
(4)
z = ? ( x, y )
那么就作变换
z = ψ ( x, y )
?ξ = ? ( x, y ) ? ?η = ψ ( x, y )
* * a11 a12 0 = =
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从而有
引理
假设 z = ? ( x, y ) 是方程 ?z 2 ?z 2 ?z ?z + a22 ( ) = 0 a11 ( ) + 2a12 ?x ?x ?y ?y
(4)
的特解,则关系式 ? ( x, y ) = C 是常微分方程
a11 (dy ) 2 ? 2a12 dxdy + a22 (dx) 2 = 0
的一般积分。反之亦然。
(5)
由此可知,要求方程(4)的解,只须求出常微 分方程(5)的一般积分。
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定义
称常微分方程(5)为PDE(1)的特征方程。 称(5)的积分曲线为PDE(1)的特征曲线。
a11 (dy ) 2 ? 2a12 dxdy + a22 (dx) 2 = 0
a12 ± dy = dx
a ? a11a22 a11
2 12
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(6)
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记
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22
定义
方程(1)在点M ( x, y ) 处是
双曲型:若在点M处,有 ?( x, y ) > 0 椭圆型:若在点M处,有 ?( x, y )
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双曲型PDE
dy = dx a12 ±
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22 > 0
2 a12 ? a11a22 a11
右端为两相异 的实函数
它们的一般积分为 ? ( x, y ) = C ,
?ξ = ? ( x, y ) 由此令 ? ?η = ψ ( x, y )
ψ ( x, y ) = C
,方程(1)可改写为 双曲型方程的 第一标准型
? 2u ?u ?u = A +B + Cu ?ξ?η ?ξ ?η
?s = ξ + η ? ? t = ξ ?η
? 2u ? 2u ? = ?s 2 ?t 2 A1
?u ?u + B1 + C1u ?s ?t
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双曲型方程的 第二标准型
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抛物型PDE
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22 = 0
dy a12 = dx a11
由此得到一般积分为 由此令
? ( x, y ) = C ,
?ξ = ? ( x, y ) ,其中ψ ( x, y ) 与 ? ( x, y ) ? ?η = ψ ( x, y )
独立的任意函数。
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由于
* 11
? ( x, y ) = 0
a12 = a11 ? a22
?ξ 2 ?ξ ?ξ ?ξ 2 + a22 ( ) a = ( ) + 2a12 a11 ?x ?x
?y ?y 2 ? ?ξ ?ξ ? ? =0 + a22 = ? a11 ? ?x ?y ? ? ? 由此推出 ?ξ a = a11 ?x ? = ? a11 ? ? =0
* 12
?η ?ξ ?η ?η ?ξ ?ξ ?η + a12 ( + ) + a22 ?x ?x ?y ?x ?y ?y ?y ?η ?η ? ?ξ ?ξ ?? ? ?? a11 + a22 + a22 ?? ?y ? ?x ?x ?y ?? ?
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而
?η 2 ?η ?η ?η 2 + a22 ( ) ≠ 0 a = a11 ( ) + 2a12 ?x ?x ?y ?y
* 22
因此,方程(1)可改写为
? 2u ?u ?u = A +B + Cu 2 ?η ?ξ ?η
抛物型方程的标准型
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椭圆型PDE
dy = dx a12 ±
2 ?( x, y ) = a12 ? a11a22
2 a12 ? a11a22 a11
右端为两相异 的复数
由此推出两族复数积分曲线为
? ( x, y ) = C , ? * ( x, y ) = C
其中
? ( x, y ) = ?1 ( x, y ) + i? 2 ( x, y )
? * ( x, y ) = ?1 ( x, y ) ? i? 2 ( x, y )
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?ξ = ?1 ( x, y ) 由此令 ? ?η = ? 2 ( x, y )
,
ξ + iη
满足方程(4)
? (ξ + iη ) 2 ? (ξ + iη ) 2 ? (ξ + iη ) ? (ξ + iη ) + a22 ( a11 ( ) + 2a12 ) =0 ?x ?x ?y ?y
* * * a11 ? a22 ) + ia12 = 0 (
* * * a11 = ≠ 0, a12 = a22 0
从而方程(1)可改写为 ? 2u ? 2u ?u ?u + = A +B + Cu 2 2 ?ξ ?η ?ξ ?η 椭圆型方程的标准型
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例1
x 2u xx + 2 xyu xy + y 2u yy = 0
抛物型方程
?( x,y ) = ( xy ) 2 ? x 2 y 2 = 0
dy xy y = 2 = dx x x y ξ = 令 x η= y y = c1 x
ξx ηx
y ξy ? 2 = x ηy 0
1 x ≠0 1
y uηη = 0
2
uηη = 0
y y u ( x, y ) = g ( ) y + h ( ) x x
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u (ξ ,η ) = g (ξ )η + h(ξ )
例2
utt ? a 2u xx = 0
双曲型方程
?(t,x) = a 2 > 0
dx = ±a dt
x + at = c1 x ? at = c2
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例3
Tricomi方程
椭圆型 抛物型 双曲型
y>0 y=0 y
yu xx + u yy = 0
?( x,y ) = ? y
? 0) ? = ?= 0, (y = 0) ?> 0, (y
± ?y dy = dx y
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y>0
dx ± i
2 x±i 3
y dy = 0
y3 = C
?ξ = x ? 3 2 2 ? ?η = 3 y ?
1 uξξ + uηη + uη = 0 3η
y
dx ±
? y dy = 0
(? y )3 = C
2 x± 3
uξη
1 = (uξ ? uη ) 6(ξ ? η )
浙江大学数学系
3 ? 2 ξ = x ? (? y ) 2 ? ? 3 ? 3 2 ?η = x + (? y ) 2 ? 3 ?
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作业: P.21-22 Ex 12, 13 (1,2), 14(1) 助教关于作业的点评:做得都挺好. 常见问题: 下面方程
? 2u ? 2u ? 2u ?u ?u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ?x ?x?y ?y ?x ?y 中, 系数 a12 与 2a 混淆.
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范文二:偏微分方程
论文题目:偏微分方程的来源与发展 课程:数学物理方程 姓名:卢江
学号:162210012
专业:轮机工程
偏微分方程的来源与发展
摘要:“数学物理方程”是以物理、工程技术和其它科学中出现的偏微分方程为主要研究对象,并且主要介绍求偏微分方程精确解方法的一门数学基础课程。本文简单介绍了偏微分方程发展的来源、发展历程及特点、解决问题的方法,给出了偏微分方程的发展趋势。
关键词:偏微分方程;模型; 发展阶段; 历程。
一、偏微分方程问题的来源以及模型的建立
偏微分方程由起初研究直接来源于物理与几何的问题发展到一个独立的数学分支,它内容庞杂,方法多样。偏微分方程讨论的问题不仅来源于物理、力学、生物、几何和化学等学科的古典问题,而且在解决这些问题时应用了现代数学的许多工具。近几十年来,该领域的研究工作,特别是对非线性方程的理论、应用以及计算方法的研究起到了极大的推动作用,十分活跃。
用数学方法处理应用问题时,首先是要建立合理的数学模型。在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了,不少问题需要用多个变量的函数来描述。这样建立的数学模型在很多情况下是偏微分方程。比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量; 速度、电场的引力等,不仅在数值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量; 物体在一点上的张力状态的量叫做张量。这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系,这就要用多个变量的函数来表示。研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程,这种方程就是偏微分方程。
物质总是在时间和空间中运动着的。虽然物质的运动形式千差万别,然而却具有共同的量的变化规律。客观世界的一切事物的运动和变化在数学上的反映就是变量的概念。事物的运动和变化又是相互依赖、相互制约的,反映在数学上,就是变量之间的关系,从而又形成了函数的概念。由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数,却容易建立变量及其导数 ( 或微分) 间的关系式,即微分方程。如果一个微分方程中出现的未知函数只含
一个自变量,这个方程叫做常微分方程; 如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。因此微分方程分为常微分方程和偏微分方程。因为自然现象中可能含有一个变量,更可能含有多个变量。由于自然现象往往是由多种因素决定的,描写这类现象的状态函数一般是多变量的,所以,自然现象的数学模型用得最多的是偏微分方程。大学的《偏微分方程》课程讲的正是这方面的内容。问题在于怎样从数学模型的角度去认识它,如何把它作为解决具体问题的技术手段。
自然界中的各种必然过程,比如物理、力学和工程技术中所抽象出来的那些物理量的状态和相互关系,一般地可以建立三类典型的偏微分方程,即双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程。在《偏微分方程》或《数学物理方程》中,它们又分别被称为波动方程 ( 或振动方程) 、热传导方程、位势方程( 或拉普拉斯方程和泊松方程) 。
如果客体是属于各种波动现象或振动现象,诸如电磁波的波动过程,水波、声波等各种机械波的波动过程,弦的振动过程等,都可以用双曲型偏微分方程来表示。因为这类客体的量变规律具有共性,它们在适当条件下都可以抽象成理想化的状态,双曲型偏微分方程恰好提供了在理想化状态下处理该类客体中各种量之间相互依存及发展变化的模式。如果说“双曲型偏微分方程”这一名称典型的刻画了纯数学中数量关系和空间形式的特征的话,那么“波动方程”( 或“振动方程”) 这一名词则形象地反映了客体的质与量的特征,它更倾向于应用数学,所以它不是出现在纯数学中,而是成为《数学物理方程》中的术语。
同理,客体若是自然界中各种输运现象,诸如热传导过程、分子扩散过程等,都可以用抛物型偏微分方程。《数学物理方程》中热传导方程正是从该类客体共有的已知科学规律出发,运用现成的纯数学工具而建立的数学模型。
如果自然界中各种稳定的物理现象,诸如稳定的温度分布、浓度分布、静电场、无旋稳定恒电流场等与时间无关的自然现象,那么就可以建立位势方程( 拉普拉斯方程和泊松方程) 这样的数学模型,这正是纯数学中椭圆型偏微分方程进入稳定的物理现象的桥梁。
自然界是一个特大的系统,必然现象不过是其中的一个子系统。而波动现象、
输运现象和稳定的物理现象,又是必然现象的下一个层次的三个子系统。与此相对应,作为描述必然现象的数学模型的经典数学,它也有双曲型、抛物型和椭圆型偏微分方程这三个子系统。因此,同是自然界中的必然现象,仍有次一级层次的质的不同。究竟应该建立哪种数学模型,就要具体问题具体分析。
当然,对于特定的具体问题,要确切地了解其运动,仅有反映共同运动规律的微分方程是不够的,还要考虑所研究对象处于怎样的待定“历史”和“环境”之中。历史状况体现在以某一时刻为开始的初始运动状态,叫做初始条件,而周围环境的影响则表现在边界上的实际状况,叫做边界条件。一个微分方程只有加上确定的初始条件和边界条件以后,才构成特定问题的数学模型,这就是《数学物理方程》中微分方程的“定解问题”。
二、偏微分成方程发展的过程及特点
十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1747 年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,明确导出了弦的振动所满足的偏微分方程,并给出了其通解。提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。达朗贝尔发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》被看作是偏微分方程论的开端。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程发展的影响是很大的。
1749 年,欧拉发表的论文《论弦的振动》讨论了同样的问题,并沿用达朗贝尔的方法,引进了初始形状为正弦级数的特解。18 世纪,计算两个物体之间的引力问题,引出另一类重要的偏微分方程———位势方程,它是 1785 年拉普
拉斯( P. S. Laplace,1749 - 1827) 在论文《球状物体的引力理论与行星形状》中导出的,现在通常称为“拉普拉斯方程”。
随着物理学所研究的现象从力学向电学以及电磁学的扩展,到 19 世纪,偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。1822 年,法国数学家傅立叶( J . Fourier,1768 - 1830) 发表的论文《热的解析理论》,研究了吸热或放热物体内部任何点处的温度变化随时间和空间的变化规律,导出了三维空间的热传导方程。
傅立叶解决了特殊条件下的热传导问题,也就是满足边界条件和初始条件的偏微分方程的求解。并且得到结论: 可以将区间上的任何函数表示为我们通常所称的傅立叶级数。
19 世纪导出的著名偏微分方程还有麦克斯韦电磁场方程、粘性流体运动的纳维 - 司托克斯方程以及弹性介质的柯西方程等,所有这些方程都不存在普遍解法。
和常微分方程一样,求偏微分方程显式解的失败,促使数学家们考虑偏微分方程解的存在性问题。柯西是研究偏微分方程解的存在性的第一人。柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅发展为非常一般的形式,现代文献中称有关的偏微分方程解的存在唯一性定理为“柯西 - 柯瓦列夫斯卡娅定理”。柯瓦列夫斯卡娅是历史上第一位女数学博士,历史上为数不多的杰出女数学家之一,也是俄国科学院历史上第一位女院士,为此俄国科学院还专门修改了院章中不接纳女性院士的规定。
偏微分方程包含的内容可从一个例子的研究加以介绍。
弦振动是一种机械运动,当然机械运动的基本定律是质点力学的 F = ma,但是弦并不是质点,质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而,如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段,每一小段抽象地看作是一个质点,这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。
无界弦自由振动问题
无界弦的自由振动问题即是满足下面条件的偏微分方程:
对于该偏微分方程,我们可用类似常微分方程初始问题的解法,先求出通解,然后把初始条件代入通解,以确定任意常数,从而求得初始问题的解。
用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。上述例子是无界弦自由振动方程,它属于数学物理方程中的波动方程,也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,带有边界条件的微分方程问题也叫做边值问题。
三、偏微分方程的发展趋势
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等方面进行发展。
到了 20 世纪随着科学技术的不断发展,在科学实践中提出了数学物理方程的新问题,电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支( 如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等) 也有了迅速发展,为深入研究,可研究偏微分方程提供了有力的工具。因而,20 世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展,这些发展呈如下特点和趋势:
1. 在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程,即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题,由于研究的深入,也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究,难度大得多,然而对线性偏微分方程的已有结果,将提供很多有益的启示。
2. 实践中的问题是由很多因素联合作用和相互影响的。所以其数学模型多是非线性偏微分方程组。如反应扩散方程组、流体力学方程组、电磁流体力学方程组、辐射流体方程组等,在数学上称双曲 -抛物方程组。
3. 偏微分方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域,甚至在经济等社会科学领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。
4. 一个实际模型的数学描述,除了描述过程的方程外,还应有定解条件 ( 如初始条件及边值条件) 。传统的描述,这些条件是线性的,逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的,特别是非局部的。对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域。
5. 偏微分方程与数学其他分支的关系发生了变化。例如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用,为研究线性及微分方程提供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统完善。再就是计算机的广泛应用,计算方法的快速发展,特别是有限元方法的广泛应用,使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验。
偏微分方程将随着科技的不断进步而不断的发展与完善。对一些重要的偏微分方程开展以有多方面的应用前景,并可望在新兴学科或边缘学科的开发中发挥作用。
参考文献
[1] 陈祖墀. 偏微分方程( 第三版) [M ]. 北京: 高等教育出版社,2008.
[2] ( 美) William F. Lucas,著,朱煜民 周宇虹,译. 微分方程模型[M ]. 北京: 国防科技大学出版社,1998.
[3] 奥列尼克,著,郭思旭,译. 偏微分方程讲义( 第 3 版)
[M ]. 北京: 高等教育出版社,2008.
[4] ( 美) 哈伯曼( Haberman. R. ) . 实用偏微分方程英文版
( 第 4 版) [M ]. 北京: 机械工业出版社,2005.
范文三:偏微分方程
二维热传导方程式的解
微积分学
函数?· 导数?· 微分?· 积分[显示]基础概念
[显示]一元微分
[显示]一元积分
[显示]多元微积分
[显示]微分方程
[显示]相关数学家
查
论
编
偏微分方程(英语:partial differential equation,缩写作PDE)指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。
偏微分方程分为线性偏微分方程式与非线性偏微分方程式,常常有几个解而且涉及额外的边界条件。
目录
[隐藏]
1 记号及例子1.1 拉普拉斯方程
1.2 泊松方程
1.3 波动方程式
1.4 热传导方程式
2 分类2.1 一阶偏微分方程
2.2 二阶偏微分方程
2.3 混合形式方程
3 偏微分方程有关问题3.1 适定问题
4 解析法解偏微分方程4.1 分离变量法
4.2 特征线法
4.3 积分变换
4.4 变量变换
4.5 基本解
4.6 叠加原理
5 数值法解偏微分方程
6 参考文献
记号及例子[编辑]
方程式中常以u为未知数及偏微分,如下:
用于空间偏微分的梯度运算子
时间偏微分
,线性偏微分方程式的例子如下:
拉普拉斯方程[编辑]
适用于重力场问题的求解
泊松方程[编辑]
适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。
波动方程式[编辑]
未知函数u(x,y,z,t):
热传导方程式[编辑]
其中k代表该材料的热导率
分类[编辑]
一些线性二阶偏微分方程可以分为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这种分类便于在解偏微分方程时寻找初始条件提供依据。
一阶偏微分方程[编辑]
主条目:一阶偏微分方程
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二阶偏微分方程[编辑]
表达式为:
其中A,B,C为参数并且取决于x,y。如果在xy平面上有
,该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。可变形为:
该二阶偏微分方程可分类为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆方程,起分类方式为:
: 椭圆方程;
: 抛物线方程;
:双曲线方程。
混合形式方程[编辑]
如果偏微分方程的系数不是一个常数,该偏微分方程可能不属于以上几种类别之一,而可能是混合形式方程。一个简单的例子为Euler–Tricomi方程:
360doc
该方程称为椭圆双曲线方程。因为当x < 0时是椭圆形式,当x=""> 0时是双曲线形式。
偏微分方程有关问题[编辑]
适定问题[编辑]
偏微分方程解中任意函数的出现必然产生解的各种差异,考虑到几乎不知道这些解的详情,在大多数问题中惯常的目标是找满足合适的和确定的条件(例如在空间的边界处和某固定时刻)的那些解,要求这些条件可以确定唯的解是自然的要求。
而且还有更进一步的考虑,即这些条件的大小或量的微小改变在解本身也带来相应地小的改变。
法国数学家阿达马强调后一方面,当解不连续地依赖于原始数据变化时称此问题是不适定的或提得不正确的
不适定的例子
对于双变量的Laplace方程:
在边界条件
和
之下,符合条件的解为
当360doc时 其数据在360doc处360doc和360doc的指定值趋于0,而360doc的值在无穷大的范围内震荡,所以这个解不适定。
解析法解偏微分方程[编辑]
一些有效的解析法解偏微分方程方法:
分离变量法[编辑]
主条目:可分离变数的偏微分方程
通过分离变量法减少偏微分方程中的变量,将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。
特征线法[编辑]
主条目:特征线法
沿着一阶偏微分方程的特征线,偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。
积分变换[编辑]
利用积分法,将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程,方便求解。一般为傅里叶变换分析。
变量变换[编辑]
通过适当的变量变换,可以简化偏微分方程的求解。一个典型的例子为Black–Scholes方程:
可以简化为热力方程:
通过如下变换:
基本解[编辑]
非齐次偏微分方程可通过寻找基本算子,然后通过带有初始条件的卷积来解答。 该法常用于信号处理中通过冲激响应来求解滤波器。
叠加原理[编辑]
因为一个线性齐次偏微分方程解的重叠也可看做一个解,所以可以通过交叉重叠这些解得到偏微分方程的一个解。
数值法解偏微分方程[编辑]
在众多求解偏微分方程的数值方法中,三种应用最广的方法为有限元法(Finite Element Method, FEM)、有限体积法(Finite Volume Method, FVM)和有限差分法(Finite Difference Method, FDM)。其中,有限元法占主要地位,尤其是它的高效高阶版本—hp-FEM。其它版本的有限元法还有:广义有限元法(Generalized Finite Element Method, FFEM)、扩展有限元法(eXtended Finite Element Method, XFEM)、无网格有限元法(Meshfree Finite Element Method)、离散迦辽金有限元法(Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM)等。
参考文献[编辑]
规范控制NDL: 00563088
范文四:偏微分方程
R.Glowinski
P.Neittaanmaki
Partial Differential
Equations
2008.292pp
Hardcover
ISBN 9781402087578
R.歌娄温斯基等著
250多年来,偏微分方程是人们认知自然现象进而促使科学发展的最重要的工具。力学、物理学以及它们在工程中的应用都得益于偏微分方程在建模和设计上的影响。偏微分方程在数学中有很特殊的地位,起初自然现象的偏微分方程是由微积分和物理推理相结合而导出的,以偏微分方程的形式来表达守恒定律,从而导致了波动方程、热传导方程、弹性方程、流体的欧拉和纳维-斯托克斯方程、电磁学的麦克斯韦方程组等等。本书是一本汇集偏微分方程多个高层次主题的著作,收录了国际知名专家们关于偏微分方程不同主题的论文,从久远的力学和物理学到当前的微电子学和财政学。这些论文着重于建模和计算方面。
全书分六大部分,由16篇论文组成。第一部分间断的伽辽金和混合有限元方法,包括3篇论文。1.间断伽辽金法;2.扩散方程在多面体网格上的混合有限元方法;3.二维椭圆型蒙日-安培方程的数值解:最小二乘法。第二部分线性和非线性双曲问题,包括3篇论文。4.二阶发展问题的高阶时间步长和最佳CFL条件;5.计算电磁学中的两种显式时域非结构网格算法的比较;6.冯诺依曼三点悖论。第三部分区域分解方法,包括2篇论文。7.求解间断系数波动问题的基于拉格朗日乘子区域分解方法;8.区域分解和电子结构计算。第四部分自由表面、移动边界和谱几何问题,包括4篇论文。9.有限元和有限体积罚因子方法的数值分析;10.复杂自由表面流体流动的数值方法;11.在剪切流中软骨细胞黏附与分离的建模和模拟;12.在环表面上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值计算。第五部分反问题,包括2篇论文。13.纽曼边界条件形状优化问题的定域方法;14.耗散现象建模的降阶。第六部分财政学(期权定价),包括2篇论文。15.美式期权列维过程的校准;16.美式期权定价的算子分裂法。
全书内容丰富,通俗易懂,适用性强,对从事偏微分方程理论研究和应用及其相关领域的工程师、科研人员和研究生具有重要的参考价值。
陈涛,硕士
(中国传媒大学理学院)
Chen Tao,Master
(School of Science,Communication
University of China)
范文五:偏微分方程
编辑本段偏微分方程简介
在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已 ?
偏微分方程
经显得不够了,不少问题有多个变量的函数来描述。比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;速度、电场的引力等,不仅在数值上有不同,而且还具有方向,这些量叫做向量;物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量,等等。这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系,这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出,对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示,只能是理想化的,如介质的密度,实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限,这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程,这种方程就是偏微分方程。
编辑本段起源
微积分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二 ?
偏微分方程
阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶,他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
编辑本段内容
偏微分方程是什么样的?它包括哪些内容?这里我们可从一个例子的研究加以 ?
偏微分方程
介绍。
弦振动是一种机械运动,当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma,但是弦并不是质点,所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而,如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段,每一小段抽象地看作是一个质点,这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。
弦是指又细又长的弹性物质,比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候,弦总是绷紧着具有一种张力,这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动,虽然只因其所接触的一段弦振动,但是由于张力的作用,传播到使整个弦振动起来。
用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型,一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程,它属于数学物理方程中的波动方程,也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件,就是初始条件和边界条件。
拿上面所举的弦振动的例子来说,对于同样的弦的弦乐器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也就不同。
天文学中也有类似情况,如果要通过计算预言天体的运动,必须要知道这些天体的质量,同时除了牛顿定律的一般公式外,还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态,就是在某个起始时间,这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候,总会有类似的附加条件。
就弦振动来说,弦振动方程只表示弦的内点的力学规律,对弦的端点就不成立,所以在弦的两端必须给出边界条件,也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。
当然,客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”,如定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等),也有“没有边界条件的问题”,如着重研究不靠近两端的那段弦,就抽象的成为无边界的弦了。
在数学上,初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性,是作为解决问题的依据;定解条件却反映出具体问题的个性,它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体,就叫做定解问题。
求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解,然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说,在实际中通解是不容易求出的,用定解条件确定函数更是比较困难的。
偏微分方程的解法还可以用分离系数法,也叫做傅立叶级数;还可以用分离变数法,也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题,分离变数法可以求解无界空间的定解问题;也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程,而且初始条件也一并考虑到,解出常微分方程后进行反演就可以了。
应该指出,偏微分方程的定解虽然有以上各种解法,但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的,只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。
常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,在数学上是拉普拉斯方程的边值问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。
解法:1,首先变为标准型,看是哪种类型,如椭圆型,双曲型。抛物型。
2,归结为四大基本方程:波动,热传导,传输,
3。按其解法解决