范文一:正切函数
B
C 图
7-1-2
E H 图 7-1-3
正切函数
1. 学 习目标
认识锐角的正切的概念。
2、会利用计算器求一个锐角的正切。 3、了解正切值随锐角的增大而增大。
4、 经历操作观察思考求解等过程, 感受数形结合的数学思想方法, 初步学会利 用计算器进行计算的方法。
教学重点:锐角的正切的概念
教学难点:锐角的正切的概念,感受数形结合的数学思想方法 知识要点
(1)∠ A 的对边与邻边的比值是∠ A 的正切, 记作
(2)∠ A 的邻边与对边的比值是∠ A 的余切,记作
典例剖析
例 1 如图(1) ,∠ A=30°,∠ C=90°,根据三角函数定义求出 30°的正切、余切值.
B
C
(1) (2) 3)
例 2. 如图,∠ A=15°,∠ C=90°,求出 15°正切、余切值 .
3、 如图 7-1-2, 在 Rt △ ABC 中, ∠ ACB=90°, CD ⊥ AB 于 D , 若 BD :AD=1:
4,试求 tan ∠ BCD 的值。
4、 如图 7-1-3,△ ABC 中, AE ⊥ BC 于 E , D 是 AC 边上的一点, DH ⊥ BC 于 H , BD 交 AE 于 F 。
已知 DH :BD=3:4,求∠ BFE 的正切值。
分析 求 tan ∠ BFE ,在△ BFE 任何一边长都不知的情况下,很是困难。 而题设 DH :BD=3:4,在 Rt △ BDH 中,求∠ BDH 的正切值却轻而易举。 而不难知道∠ BFE=∠ BDH ,
C B
A C
(第 11题
)
(第 12题 )
随堂演练
1. 设 Rt △ ABC 中,∠ C =90°,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,根据下列 所给条件求∠ B 的正切值:
(1)a =3,b =4; (2)a =6 ,c =10.
2. 在直角三角形 ABC 中,∠ C =90°, a =9, b =12,则 tan B ·cot B= .
3. tan1°? tan2°??? tan87°? tan88°? tan89°.
4. 如图,∠ A=75°,∠ C=90°,求出 75°正切、余切值.
5. 3tan (α+10°) =1
7
中,斜边的中线 AD=6, AC=43,求∠ BAD 的正切值。
延伸与拓展
8.已知平行四边形 ABCD 中, AB=BD=CD,且 DB ⊥ AB ,求 tan ∠ CAB 、 tan ∠ DAC 的值 . 才
9. Rt △ ABC 中, ∠ C=90°, 3BC , 则 tanA= tanB= . 10.等腰三角形的底边为 10cm ,周长为 36cm ,则其底角的正切值 是 。
11.如图,已知矩形 ABCD 的两边 AB 与 BC 的比为 4:5, E 是 AB 上的 一点, 沿 CE 将△ EBC 向上翻折, 若 B 点恰好落在边 AD 上的 F 点, 则 tan ∠ DCF= 。
12.如图, Rt △ ABC 中,∠ C=90°, BC=3, AB=5, D 为 AC 上一点, 且△ BCD 与△ BDA 的面积之比为 1:3,试求∠ CDB 的正切值。
B
图 7-2-1 图 7-2-2 第七章 锐角三角函数(2)
正弦余弦 (1)
学习目标
1、认识锐角的正弦、余弦的概念
2、会用计算器求一个锐角的正弦、余弦
3、了解锐角的正弦值随锐角的增大而增大。余弦值随锐角的增大而减少
4、 经历操作观察思考求解等过程, 感受数形结合的数学思想方法, 初步学会利 用计算器进行计算的方法。
教学重点:锐角的正弦、余弦的概念
教学难点:锐角的正弦、余弦的概念, 感受数形结合的数学思想方法
典型例题
例 1 使用计算器,求下列正弦值或余弦值 (精确到 0.0001) 。 ⑴ sin38°16' ; ⑵ sin38°16'41'' ; ⑶ cos20°8' ; ⑷ cos78°43'16'' 。
例 2、在△ ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 5a =, 12b =, 16c =,下面四个式中错误的有 ( )。
① sin 516A =;② cos 34A =;③ tan 512A =;④ sin 3
4
B =
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 例 3 如图 7-2-1,在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别是 a 、 b 、 c , a :b =2:3,求 sinA :sinB 的 值。 例 4、如图 7-2-2,在 Rt △ ABC 中 ,∠ ACB=90°, BC=6, CD ⊥ AB 于 D , AC=8。 试求:
⑴ sinA 的值; ⑵ cos ∠ ACD 的值; ⑶ CD 的长。
随堂演练
1、 sin15°21'12''= ; ⑷ cos78°15'24'' . 2.如图, P 是∠ α的边 OA 上一点,且 P 点坐标为(3,4) ,则 sin α= , cos α .
3.如图△ ABC 中,∠ C=90°, sinA=3
5
,则 BC :AC=( )
A . 3:4 B . 4:3 C . 3:5 D . 4:5 4.在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°, AC=4, BC=3,则 cosB=( )
A . 45 B . 35 C . 43 D . 34
(第 2题 ) (第 6题 ) 图 7-2-4 5.一辆汽车沿倾斜角为 α的斜坡前进 500米,则它上升的最大高度是 ( )
A . 500sin α B . 500sin α C . 500cos α D . 500
cos α
6.已知△ ABC 中,∠ C=Rt∠, AC=m,∠ BAC=α。 (如图 ) 求△ ABC 的面积。 (用 α的三角函数及 m 表示 ) 7. “曙光中学”有一块三角形状的花圃 ABC ,现可直接测量到 ∠ A=30°, AC=40m, BC=25m。请你求出这块花圃的面积。
8.在 Rt △ ABC 中,∠ C= 90, AB=26, sinB=135, D 上 BC 上一点, BD=2
1
AC ,求
出 tan ∠ DAC 的值。
9.已知 sin α=5
3
, 求 cos α、 tan α的值。
10、在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C
的对边,且 c =x 的 方
程 (
)()
2230b x a x b ++-=有
两 个 相 等 的 实 数 根 , 又 方 程 ()2210sin x A x -5sin 0A +=的两实数根的平方和为 6,求△ ABC 的面积。
第七章 锐角三角函数(3) 正弦余弦 (2)
教学目的
1、进一步认识锐角的正弦、余弦的概念
2、会用计算器求一个锐角的正弦、余弦
3、了解锐角的正弦值随锐角的增大而增大。余弦值随锐角的增大而减少
4、 经历操作观察思考求解等过程, 感受数形结合的数学思想方法, 初步学会利 用计算器进行计算的方法。
教学重点:利用正弦余弦的有关概念解决问题。 教学难点:利用正弦余弦的有关概念解决问题。 典型例题 例 1、 如图 7-2-4, BC ⊥ AD 于 C , DF ⊥ AB 于 F , S △ AFD :S△ EFB =9, ∠ BAE=α, 求 sin α+cosα的值;分析 由已知易证 Rt △ AFD ∽ Rt △ EFB ,再根
据 S △ AFD :S △ EFB =9,可得 AF :EF=3, AF=3EF;由勾股定理可求出
,从而容易求得 sin α, cos α的值。
(第 3题 )
图 7-2-5 图
7-2-6 (第 3题 )
(第 4题 ) (第 7题 )
例 2、如图 7-2-5,∠ ACB=90°, CD ⊥ AB ,垂足为 D ,且 CD=3, AC=5,则 cosB 等于 ( )
A . 35 B . 45 C . 512 D . 34
例 3、 如图 7-2-6,在菱形 ABCD 中, AE ⊥ BC 于点 E , EC=1,
cosB=5
13,求这个菱形面积。
例 4、已知 α
sin 1α-,再求该式当 α=20°时的
值。
随堂演练
1.△ ABC 中,∠ C=90°,若 tanA 1
2
=,则 sinA= 。 2.△ ABC 中,∠ C=90°, AC=
5
13
AB ,则 sinA= , tanB= 。 3. 如图, 自动扶梯 AB 段的长度为 20米, 倾斜角 A 为 α, 高度 BC 为 米 (结果用含 α的三角函数表示 ) 。
4.某校为扩大高中招生,正在施工增盖教学楼,一推土机沿北
偏东 54°方向的 OP 工地线来回推土, 它的噪声对位于 O 点正东方
向 200m 处的一教室 A 已造成污染,则当推土机在距 O 点 m处时,推 土机的噪声对教室 A 污染最大。 (精确到 0.01)
5.△ ABC 中,∠ C=90°, BC=2, AB=3,则下列结论正确的是 ( )。
A . sin A =
B . 2cos 3A =
C . 2sin 3
A =
D . tan A =
6. 1993年版人民币的一角硬币正面图案中有一个正九边形,如果这个正九边 形的半径是 R ,那么它的边长是 ( )。
A . Rsin20° B . Rsin40° C . 2Rsin20° D . 2Rsin40°
7.如图,在△ ABC 中,∠ C=90°, sinA=2
5
, D 为 AC 上 一点,∠ BDC=45°,
DC=6,求 AB 的长。
8、已知△ ABC 中, 90=∠C , 3cosB=2, AC=2, 则 AB= .
图
7-3-2
图 7-3-3
图 7-3-4
9、如图 11,已知△ ABC 的面积为 3,且 AB=AC,现将△ ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到△ EFA .
(1)求四边形 CEFB 的面积;
(2)试判断 AF 与 BE 的位置关系,并说明理由; (3)若 15=∠BEC ,求 AC 的长.
7.3特殊角的锐角三角函数 教学目的
知道 30°、 45°、 60°等特殊角的三角函数值,并会求一些简单的含有特殊角的三角函数 表达式的值。
会根据特殊角的正弦、余弦值知道该锐角的大小。
经历操作观察思考求解等过程,感受数形结合的数学思想方法。
教学重点:利用的三角函数有关概念解决问题。
教学难点 :利用三角函数的有关概念解决问题。感受数形结合的数学思想方法
例 1 如图 7-3-2, 在 Rt △ ABC 中, ∠ C=90o, D 为 BC 上一点, ∠ DAC=30o, BD=2,
AB=求 AC 的长。
分析 所求线段 AC 与与已知边角不在同一直角三角形中, 不能直接求得。 从结论出发:设 AC=x,则在 Rt △ ACD 中,可求得 CD ,进而求得 BC ,由 222
AC BC AB +=可得 x 值。
例 2 如图 7-3-3,在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时, 梯子的顶端在 B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在 D 点,已知∠ BAC=60o, ∠ DAE=45o,点 D 到地面的垂直距离
DE=,求点 B 到地面垂直距离 BC 。 分析 梯子在移动过程中,长度没有发生变化,即 AB=AD,可先解 Rt △ ADE , 求得 AD ,再解 Rt △ ABC ,求得 BC 。
例 3 把两块相同的含 30o角的三角尺 ABC 和 BDE 如图 7-3-4所示放置,若
AD=,求三角尺各边的长。
分析 只要求得三角尺一边的长,就可求得其余两边的长。由
AD=, AB=BD,易求得 AB 的长。 1. sin30o的值等于 ( ) A.
12
B
C
. 1 2.计算 5sin30o+2cos2
45o-tan 2
60o的值是 ( ) A
B .
1
2
C . 12
-
D . 1
3.下列计算错误的是 ( )A. sin 60sin 30sin 30-=
B . 2
2
sin 45cos 451+=
C . sin 60tan 60cos 60
=
D. cos30
cos30sin 30
=
(第 5题 ) (第 6题 ) (第 7题 ) 4
.计算 2
2sin 60tan 45-??- ?
,结果正确的是 ( )
A.
9
4
B . 94
-
C .
114
D . 114
-
5. 如图, 修建抽水站时, 沿着倾斜角为 30o的斜坡铺设管道, 若量得水管 AB 的长度为 80m , 那么点 B 离水平面的高度 BC 的长为 m。
6.如图在倾斜角为 30o的楼梯的表面
铺地毯,地毯的长度至少需要 m (精确到 0.1m) 。 7. 把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A'B'C'D' 的位置, 它们的重叠部分 (图 中的阴影部分 ) 的面积是正方形 ABCD 面积的一半,若
AA' 是 。 8.计算
1) 2sin 603tan 30-+-
(2)22
cos 604530sin 30cos 30
+
++ 8. 如图 1, 正方形 ABCD 和正三角形 EFG 的边长都为 1, 点 E F , 分别在线段 AB AD , 上 滑动,设点 G 到 CD 的距离为 x ,到 BC 的距离为 y ,记 HEF ∠为 α(当点 E F , 分别与
B A , 重合时,记 0α=) .
(1)当 0α=时(如图 2所示) ,求 x y , 的值(结果保留根号) ;
(2) 当 α为何值时, 点 G 落在对角形 AC 上?请说出你的理由, 并求出此时 x y , 的值 (结 果保留根号) ;
(3)请你补充完成下表(精确到 0.01) :
(4)若将“点 分别在线段 上滑动”改为“点 分别在正方形 边上滑动” .当滑动一周时,请使用(3)的结果,在图 4中描出部分点后,勾画出点 G 运动 所 形 成 的 大 致 图 形 . (参 考 数 据 :
1.732sin150.259sin 750.966=
=, , . )
D
图 7-4-1 图 7-4-2
H
7.4由三角函数值求锐角 教学目的
1、 会根据锐角的正弦、余弦值,利用科学计算器求该锐角的大小 2、 进一步体会三角函数的意义。
教学重点:根据锐角三角函数值确定锐角大小。 教学难点:不同型号计算器的运用方法。 例 1、 (1)已知 α是锐角,且 tan α=0.8434,下列各值中,与 α最接近的是 ( )。 A . 40o14' B . 40o8' C . 40o9' D . 40o15' (2)\已知下列锐角的正弦值或余弦值,求锐角 (精确到 1') (1)已知 sin α=0.8130,求锐角 α; (2)已知 cos β=0.8130,求锐角 β;
例 2 如图 7-4-1,在△ ABC 中,∠ ACB=90o, BC=4, AC=5, CD 试求∠ ACD 的度数。 (精确到 0.1度 ) 。
例 3 如图 7-4-2,一只小虫从点 A 出发沿着图中的折线到点 B 处取食,请你计算出小虫一共走了多长的路程。 (精确到 0.1) (每 小格是边长为 1的正方形 ) 并计算小虫在 D 点处转过的角度 (精确
到 1°)
例 4、已知方程 ()2410x m x m -++=的两根恰好是一个直角三角
形的两个锐角的余弦,求 m 的值及两个锐角的度数。
1、利用计算器,根据下列三角函数值,求锐角 α(精确到 1' ).
(1)已知 sin α=0.5786,则 α= ; (2)已知 cos α=0.07846,则 α= ;
(3)已知 tan α=0.3252,则 α= ; (4)已知 tan α=2.3314,则 α= ;
2、在△ ABC 中,∠ A=90o,∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,已知 a=10, c=8,使用计算器求∠ B 的度数 (精确到 1') 。
3、在△ ABC 中,∠ C=90o,∠ A=35o47' , BC=31.5cm,使用计算器求 AB 的值 (结 果精确到 0.1) 。
图 1
图 2
B (E A (F D
图 3
H D
A
C
B
图 4
(第 4题 )
A
4、 如图, 在△ ABC 中,∠ ACB=90o, BC=4, AC=5, CD ⊥ AB 。 试求∠ ACD 的度数 (精 确到 1') 。
5.求适合下列各式的锐角
(1) 2sinA=1 (2) 2cosA -=0 (3)tan(α+20)=√ 3 (4) cos (α-10)=
2
3
, 6.若∠ B 是一个 Rt △ ABC 的一个内角,且 sinB=
2
,求 cos 2B 的值。
7、已知函数 y=2x-4与 x 轴相交成的锐角为 α,求 α的两个三角函数值 .
8. 在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°, BC :AC=3 :4,求 sinA 、 cosA 的值.
9、已知锐角 A 、 B 满足∠ A +∠ B=90°,则下列关系正确的是 ( ) A. sinA=sinB B.sinA=cos(90°-B ) C. sinA=cosB D.cosA=cosB 10、已知 A 是锐角,且 sinA=m+2,则 m 的取值范围是 . 11、已知锐角 α满足 sin α+cos α=1.4, 求 sin α-cos α的值 .
12. 在下图中,已知∠ C=90°,点 D 在 BC 上, BD=4, AD=BC, cos ∠ ADC=0.6 .求:(1)DC的长; (2) sinB的值.
范文二:正切表
角度 弧度 正弦值 正切值 角度 弧度 正弦值 正切值 10.0174530.0174520.017455065530.9250240.7986361.327044778 20.0349070.0348990.034920769540.9424780.8090171.376381874 30.052360.0523360.052407778550.9599310.8191521.428147957 40.0698130.0697560.069926811560.9773840.8290381.482560915 50.0872660.0871560.087488662570.9948380.8386711.539864907 60.104720.1045280.105104233581.0122910.8480481.600334468 70.1221730.1218690.122784559591.0297440.8571671.664279416 80.1396260.1391730.140540832601.0471980.8660251.732050736 90.157080.1564340.158384438611.0646510.874621.804047678 100.1745330.1736480.176326978621.0821040.8829481.880726382 110.1919860.1908090.194380306631.0995570.8910071.962610415 120.209440.2079120.212556558641.1170110.8987942.050303742 130.2268930.2249510.230868187651.1344640.9063082.144506812 140.2443460.2419220.249327998661.1519170.9135452.246036655 150.2617990.2588190.267949188671.1693710.9205052.355852235 160.2792530.2756370.286745381681.1868240.9271842.475086709 170.2967060.2923720.305730676691.2042770.933582.605088905 180.3141590.3090170.32491969701.221730.9396932.747477241 190.3316130.3255680.344327607711.2391840.9455192.904210678 200.3490660.342020.363970228721.2566370.9510573.077683313 210.3665190.3583680.383864028731.274090.9563053.270852364 220.3839720.3746070.404026218741.2915440.9612623.487414154 230.4014260.3907310.424474808751.3089970.9659263.732050474 240.4188790.4067370.445228677761.326450.9702964.010780547 250.4363320.4226180.466307649771.3439040.974374.331475421 260.4537860.4383710.487732579781.3613570.9781484.704629572 270.4712390.453990.509525439791.378810.9816275.14455337 280.4886920.4694720.531709421801.3962630.9848085.67128103 300.5235990.50.577350257811.4137170.9876886.313750529 310.5410520.5150380.600860606821.431170.9902687.115368462 320.5585050.5299190.624869339831.4486230.9925468.144344764 330.5759590.5446390.649407579841.4660770.9945229.514362165 340.5934120.5591930.674508502851.483530.99619511.43004897 350.6108650.5735760.700207523861.5009830.99756414.30066099 360.6283190.5877850.726542512871.5184360.9986319.08112723 370.6457720.6018150.753554033881.535890.99939128.63623177 380.6632250.6156610.781285608891.5533430.99984857.28987464 390.6806780.629320.809784014901.570796137320539.63 400.6981320.6427880.839099611
410.7155850.6560590.869286716
420.7330380.6691310.900404022
430.7504920.6819980.932515062
440.7679450.6946580.965688749
450.7853980.7071070.999999973
460.8028510.719341.035530285
470.8203050.7313541.07236868
480.8377580.7431451.110612483
490.8552110.754711.150368373
500.8726650.7660441.191753557
510.8901180.7771461.234897118
520.9075710.7880111.279941591
切边=型钢宽×正切值
范文三:正弦函数值查询表
正弦函数值查询表
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正弦函数值查询表
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正弦函数值查询表
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82.8{0.9921} 87.2{0.9988}
82.9{0.9923} 87.3{0.9989}
83.0{0.9925} 87.4{0.9990}
83.1{0.9928} 87.5{0.9990}
83.2{0.9930} 87.6{0.9991}
83.3{0.9932} 87.7{0.9992}
83.4{0.9934} 87.8{0.9993}
83.5{0.9936} 87.9{0.9993}
范文四:71正切71正切71 正切71正切正切函数正切值
?7.1正切
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义,会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。 教学重点:
理解并掌握正切的含义,会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点:
计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程:
一、观察回答:如图某体育馆,为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡,你是怎么判断的,
图(1) 图(2) [点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形 答:图 的台阶更陡,理由
二、探索活动
1、思考与探索一:
除了用台阶的倾斜角度大小外,还可以如何描述
台阶的倾斜程度呢,
? 可通过测量BC与AC的长度,
? 再算出它们的比,来说明台阶的倾斜程度。
(思考:BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系,)答:_________________.
? 讨论:你还可以用其它什么方法,
能说出你的理由吗,答:________________________. 2、思考与探索二: B 3(1)如图,一般地,如果锐角A的大小已确定, B2 B1我们可以作出无数个相似的RtABC,RtABC, 1122
RtABC……,那么有:Rt?ABC?_____?____…… 3311A 根据相似三角形的性质, C1C2C 3
A BC11B 得:,_________,_________,…… AC1斜边c (2)由上可知:如果直角三角形的一个锐角的 对边a 大小已确定,那么这个锐角的对边与这个角的
C 邻边的比值也_________。 对边b A 3、正切的定义
如图,在Rt?ABC中,?C,90?,a、b分别是?A的对边和邻边。我们将?A的对边a与邻边b的比叫做?A_______,记作______。
即:tanA,________,__________
(你能写出?B的正切表达式吗,)试试看.
4、牛刀小试
A 根据下列图中所给条件分别求出下列图中?A、?B的正切值。
B C
131 3
2 C A B 5 B C 1 A
(通过上述计算,你有什么发现,___________________.) 5、思考与探索三:
怎样计算任意一个锐角的正切值呢,
(1)例如,根据书本P39图7—5,我们可以这样来确定tan65?的近似值:当一个点从点O出发沿着65?线移动到点P时,这个点向右水平方向前进了1个单位,那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知,tan65?的近似值为2.14。
(2)请用同样的方法,写出下表中各角正切的近似值。
θ 10? 20? 30? 45? 55? 65?
tanθ 2.14 (3)利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
(4)思考:当锐角α越来越大时,α的正切值有什么变化, 三、随堂练习
EA D1、在Rt?ABC中,?C,90?,AC,1,AB,3, CC
BB则tanA,________,tanB,______。
A A 2、如图,在正方形ABCD中,点E为
BCAD的中点,连结EB,设?EBA,α,则tanα,_________。 A B四、请你说说本节课有哪些收获, A 五、作业p40 习题7 .1 1、2
六、拓宽与提高
1m 1、如图是一个梯形大坝的横断面,
根据图中的尺寸,请你通过计算判断
左右两个坡的倾斜程度更大一些, 1.22.52、在直角坐标系中,?ABC的三个顶点的坐标 m m 分别为A(,4,1),B(,1,3),C(,4,3), (单位:米) 试求tanB的值。
范文五:正切函数教案
函数y=Asin(wx+φ) 的图象作法
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质教案
吴平原
【教材分析】
《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修4中的内容,是正弦函数和余弦函数图像的继续,本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。
【教学目标】
1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质;会求含有的三角式的性质;会应用正、余弦的值域来求函数和函数
的值域
2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯.
3. 在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦.
【教学重点难点】
教学重点:正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点:应用正、余弦的定义域、值域来求含有的函数的值域
【学情分析】
知识结构:在函数中我们学习了如何研究函数,对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。 心理特征:高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式,并了解了三角函数的周期性,但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强;能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入,往往会造成错误的结果。
【教学方法】
1.学案导学:见后面的学案。
2.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1.学生的学习准备:预习“正弦函数和余弦函数的性质”,初步把握性质的推导。
2.教师的教学准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
二、复 习导入、展示目标。
(一)问题情境
复习:如何作出正弦函数、余弦函数的图象?
生:描点法(几何法、五点法),图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点
引入:研究一个函数的性质从哪几个方面考虑?
生:定义域、值域、单调性、周期性、对称性等
提出本节课学习目标——定义域与值域
(二)探索研究
给出正弦、余弦函数的图象,让学生观察,并思考下列问题:
1. 定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 (或 ).
2. 值域
(1)值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以 ,
即
也就是说, 正弦函数、余弦函数的值域都是 .
(2)最值
正弦函数
①当且仅当时, 取得最大值
②当且仅当时, 取得最小值
余弦函数
①当且仅当时, 取得最大值
②当且仅当时, 取得最小值
3. 周期性
由知:
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义:对于函数 , 如果存在一个非零常数 , 使得当取定义域内的每一个值时,
都有 , 那么函数就叫做周期函数, 非零常数叫做这个函数的周期.
由此可知, 都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数 , 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
根据上述定义, 可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数, 都是它的周期, 最小正周期是 .
4. 奇偶性
由
可知: ()为奇函数, 其图象关于原点对称
( ) 为偶函数, 其图象关于轴对称
5. 对称性
正弦函数的对称中心是 ,
对称轴是直线 ;
余弦函数的对称中心是 ,
对称轴是直线
(正(余) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴(中轴线) 的交点).
6. 单调性
从的图象上可看出:
当时, 曲线逐渐上升, 的值由增大到
当时, 曲线逐渐下降, 的值由减小到
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数, 其值从增大到 ; 在每一个闭区间上都是减函数, 其值从减小到 .
余弦函数在每一个闭区间上都是增函数, 其值从增加到 ; 余弦函数在每一个闭区间上都是减函数, 其值从减小到 .
三、例题分析
例1、求函数y=sin(2x+ ) 的单调增区间.
解析:求函数的单调增区间时,应把三角函数符号后面的角看成一个整体,采用换元的方法,化归到正、余弦函数的单调性.
解:令z=2x+,函数y=sinz的单调增区间为[, ].
由 ≤2x+≤得 ≤x ≤
故函数y=sinz的单调增区间为 [, ](k∈Z)
点评:“整体思想”解题
变式训练1. 求函数y=sin(-2x+ ) 的单调增区间
解:令z=-2x+,函数y=sinz的单调减区间为[, ]
故函数sin(-2x+ ) 的单调增区间为[ , ](k∈Z).
例2:判断函数的奇偶性
解析:判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,然后再看与的关系,对
(1)用诱导公式化简后,更便于判断.
解:∵ =,
∴
所以函数为偶函数.
点评:判断函数的奇偶性时,判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤. 变式训练2. )
解:函数的定义域为R ,
=
===
所以函数)为奇函数.
00例3. 比较sin250、sin260的大小
解析:通过诱导公式把角度化为同一单调区间,利用正弦函数单调性比较大小
解:∵y=sinx在[, ](k ∈Z ),上是单调减函数,
0000 又 250<260 ∴="" sin250="">sin260
点评:比较同名的三角函数值的大小,找到单 调区间,运用单调性即可,若比较复杂, 先化间;比较不同名的三角函数值的大小,应先化为同名的三角函数值,再进行比较.
变式训练3. cos
解:cos
由学生分析,得到结论,其他学生帮助补充、纠正完成。
五、反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
课堂小结:
1、数学知识:正、余弦函数的图象性质,并会运用性质解决有关问题
2、数学思想方法:数形结合、整体思想。
七、板书设计
正弦函数和余弦函数的性质
一、正弦函数的性
质 例1
二、余弦函数的性
质 例2 定义域、值域、单调、奇偶、周期对称 例3
八、教学反思
(1)根据学生学习知识的发展过程,在推导性质的过程中让学生自己先独思考,然后小组交流,再来纠正学生错误结论,充分体现了学生的主体性,让学生活起来。
(2)关注学生的表达,表现,学生的情感需求,课堂明显就活跃,学生的积极性完全被调动起来,很多学生想表达自己的想法。这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。
(3)判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的,帮助学生辨析,缩短认识这些知识的时间,减少再出现类似错误的人数,在学生学习困惑时给与帮助。
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