范文一:史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(1)
第二章
λ-矩阵与矩阵的JordanJd标准形
λ
--矩阵的基本概念
定义:设aijj(λ)(i=1,2,",m;j=1,2,",n)为数域F上的多项式,则称
?a11(λ)a12(λ)?a(λ)a(λ)2122?A(λ)=
?""?
?am1(λ)am2(λ)"a1n(λ)?
?"a2n(λ)?
""?
?
"amn(λ)?
为多项式矩阵或λ-矩阵.
aij(λ)(i=1,",m;j=1,",n)中最高的次数为A(λ)
的次数的次数。
特例: :数字矩阵, ,特征矩阵λE?A.定义如果
λ
-矩阵A(λ)中有一个
r
阶(r≥1)
子式不为零,而所有
r+1阶子式(如果有的话)
全为零,则称A(λ)的秩为
r,记为
rankkA(λ)=r
零矩阵的秩为0。
定义一个n阶λ-矩阵称为可逆的,如果有一个n阶λ-矩阵B(λ),满足满足
A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E
这里
E
B(λ)称为A(λ)矩阵的逆是n阶单位矩阵。
?1
矩阵,记为A(λ)
。
定理2.1.1一个n阶λ-矩阵A(λ)可逆的充分必要条件是detA(λ)是一个非零的常数。条件个非零常数
定义变换:(1)(2)(3)
下列各种类型的变换叫做λ-矩阵的初等下列各种类型的变换,叫做
矩阵的任二行(列)互换位置;非零常数c乘矩阵的某一行(列);
矩阵的某行(列)的?(λ)倍加到另一行矩阵的某一行倍加到另行(列)上去,其中?(λ)是λ的的一个多项式。个多项式对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种λ矩阵得初等矩阵
P(i,j),)P(i(c)),))P(i,j(?))
??1?%?P(i,j)=?????
????1P(i,j(?))=?
???
0%1%
?(λ)???1???1?
P(i(c))=??0?,
??%?
????1??
?
?i
行%???
j行
1?%c
%i列
?
??
??
?
??
1
定理对一个m×n的λ-矩阵A(λ)的行作初等行变换,相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A(λ)。对A(λ)的列作初等列变换,相当于用相应的n阶初等矩阵右乘A(λ)。
P(i,j)=P(i,j),
?1
?1
P(i(c))=P(i(c)),
?1?1
P(i,j(?))=P(i,j(??)).
定义如果A(λ)经过有限次的初等变换之后变成
B(λ),则称A(λ)与B(λ)等价,记之为
A(λ)
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