范文一:2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题
1、 (2008江苏 ) 设 a , b , c
为正实数,求证:
333111a b c
+++abc ≥
2、 (2010辽宁理数) 已知 均为正数,证明:,并确定 为何值时,等号 成立。
3、 (2012江苏理数) 已知实数 x , y 满足:11|||2|36x y x y +
-<, ,="">,>
y <>
4、 (2013新课标 Ⅱ ) 设 均为正数 , 且 , 证明 : (Ⅰ) ; (Ⅱ) .
5、 (2012福建) 已知函数 f (x )=m -|x -2|,m ∈ R, 且 f (x +2)≥0的解集为 [-1,1].
(1)求 m 的值 ; (2)若 a , b , c ∈ R, 且 1a 12b +13c
=m , 求证 :a +2b +3c ≥9
c b a , , 36) 111(2222≥+++++c
b a c b a c b a , ,
6、 (2011浙江)设正数 z y x , , 满足 122=++z y x .
(1)求 zx yz xy ++3的最大值; (2)证明:
26
125111113≥+++++xz yz xy
7. (2017全国新课标 II 卷 ) 已知 33
0, 0, 2a b a b >>+=。证明:
(1) 55()() 4a b a b ++≥; (2) 2a b +≤。
8.(2017天津 ) 若 , ,则 的最小值为 ___________. 9. 【 2015高考新课标 2,理 24】设 , , , a b c d 均为正数,且 a b c d +=+,证明:
(Ⅰ)若 ab cd >
>
>
+a b c d -<>
10. 【 2015高考福建,理 21】选修 4-5:不等式选讲
已知 0, 0, 0a b c >>>,函数 () ||||f x x a x b c =++-+的最小值为 4.
(Ⅰ ) 求 a b c ++的值; (Ⅱ ) 求
2221149a b c ++的最小值.
11. 【 2015高考陕西,理 24】 (本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲
已知关于 x 的不等式 x a b +<的解集为 {}24x="" x="">的解集为><>
(I )求实数 a , b 的值; (II
+的最大值.
【均值不等式】
例题 1:已知 y x , 均为正数,且 y x >,求证:3221222+≥+-+
y y xy x x .
例题 2:已知 z y x , , 均为正数.求证:
z y x xy z zx y yz x 111++≥++.
变式:设 z y x , , 为正数,证明:()()()()y x z z x y z y x z
y x +++++≥++2
223332.
【柯西不等式】
例题 1:若正数 c b a , , 满足 1=++c b a ,求
121121121+++++c b a 的最小值.
变式:若 21, 32x ??∈- ??
?
例题 2:已知 z y x , , 是正数.
()1若 1=+y x , 求 y y x x +++2222的最小值; ()2若 1222=+++++z z y y x x , 求证:1222222≥+++++z
z y y x x .
变式 1:设 0, , >c b a , 1=++c b a ,求证:
53222≥-+-+-c c b b a a .
变式 2:已知正数 y x , 满足 xyz z y x =++,求
zx yz xy 211++的最大值.
【能力提升】
1、 设 c b a , , 均为正实数,求证:
b a c a c b c b a +++++≥++111212121.
范文二:2014届高考数学三轮冲刺历年真题备选题库:基本不等式与柯西不等式
第5节 基本不等式与柯西不等式考点一 基本不等式及其应
用
xy1((2013福建,5分)若2,2,1,则x,y的取值范围是( ) A([0,2] B([,2,0]
C([,2,,?) D((,?,,2]
解析:本题主要考查基本不等式,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运
1xyxyx,yxyx,yx算求解能力(?2,2?22?2,22(当且仅当2,2时等号成立),?2?,?221,y?,得x,y?,2,故选D. 4
答案:D
xy222((2013山东,5分)设正实数,,满足,3,4,,0.则当取得最大值xyzxxyyzz212时,,,的最大值为( ) xyz
A(0 B(1
9C. D(3 4
解析:本题考查基本不等式、二次函数的性质等基础知识,考查等价转化的数学思想方
xyxy1法,考查运算求解能力,考查分析问题和解决问题的能力.,,22,3xy,4yxy4zx,,3yx12121212,,2?,1,当且仅当x,2y时等号成立,此时z,2y,,,,,,,,,1,1?1,24,3xyzyy,y,当且仅当y,1时等号成立,故所求的最大值为1.
答案:B
z223((2013山东,5分)设正实数x,y,z满足x,3xy,4y,z,0.则当取得最小值xy时,x,2y,z的最大值为( )
9A(0 B. 8
9C(2 D. 4
解析:本题主要考查基本不等式的应用,考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想(
22zx,3xy,4yxyxy44,,,,3?2 ?,3,1,当且仅当x,2y时等号成立,因此xyxyyxyx
222222z,4y,6y,4y,2y,所以x,2y,z,4y,2y,,2(y,1),2?2. 答案:C
4((2012福建,5分)下列不等式一定成立的是( )
12A(lg(x,),lg x(x,0) 4
1B(sin x,?2(x?kπ,k?Z) sin x
2C(x,1?2|x|(x?R)
1D.,1(x?R) 2x,1
1132解析:取x,,则lg(x,),lg x,故排除A;取x,π,则sin x,,1,故排除B;242
1取x,0,则,1,故排除D. 2x,1
答案:C
11ab((2009?天津,5分)设>0,>0.或3是3与3的等比中项,则,的最小值为( ) 5abab
A(8 B(4
1C(1 D. 4
ab2ab解析:?3是3与3的等比中项,?(3),3?3.
a,b即3,3,?a,b,1.
1a,ba,bba11此时,,,,2,(,)?2,2,4(当且仅当a,b,取等号)( ab2abab
答案:B
x6((2012山东,4分)若对任意x>0,a恒成立,则a的取值范围是________( ?2,3x,1x
x解析:若对任意x>0,?a恒成立, 2,3x,1x
x只需求得y,的最大值即可( 2,3x,1x
因为x>0,所以
x111y,,?,,当且仅当x,1时取等号, 2,3x,115x1x,,32 x?,3xx
1所以a的取值范围是[,,?)( 5
1答案:[,,?) 5
考点二 不等式的实际应用
1((2010江苏,5分)将边长为1 m的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成
2,梯形的周长,两块,其中一块是梯形,记s,s的最小值是________( ,则梯形的面积
解析:如图,设AD,x(0<><1),则de,ad,x,>1),则de,ad,x,>
?梯形的周长为x,2(1,x),1,3,x,
32又S,x, ?ADE4
332?梯形的面积为,x, 44
243x,6x,9?s,×(0<><1),>1),>
,83,3x,1,,x,3,?s′,×, 223,,1x,
11令s′,0得x,或3(舍去),当x?(0,)时,s′<0,s递减;>0,s递减;>
1当x?(,1)时,s′>0,s递增; 3
1323故当x,时,s的最小值是. 33
323答案: 3
2((2012江苏,4分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于
1地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点(已知炮弹发射后的轨迹在方程y,kx,2022(1,k)x(k,0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关(炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标
a不超过多少时,炮弹可以击中它,请说明理由(
122解:(1)令y,0,得kx,(1,k)x,0,由实际意义和题设条件知x,0,k,0, 20
k202020故x,,?,10,当且仅当k,1时取等号( 21,k21k,k
所以炮的最大射程为10千米(
122(2)因为a,0,所以炮弹可击中目标?存在k,0,使3.2,ka,(1,k)a成立 20
222?关于k的方程ak,20ak,a,64,0有正根
222?判别式Δ,(,20a),4a(a,64)?0 ?a?6.
所以当a不超过6(千米)时,可击中目标(
范文三:不等式高考真题
(2009宁夏海南)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
如图,O 为数轴的原点,A , B , M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点,设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和.
(1)将y 表示为x 的函数;
(2)要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值?
(2010新课标)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数f (x ) =2x -4 + 1。
(Ⅰ)画出函数y=f (x ) 的图像:
(Ⅱ)若不等式f (x ) ≤ax 的解集非空,求n 的取值范围
2011新课标.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数f (x ) =|x -a |+3x ,其中a >0.
(I )当a=1时,求不等式f (x ) ≥3x +2的解集.
(II )若不等式f (x ) ≤0的解集为{x|x ≤-1},求a 的值.
1
范文四:高考证明不等式的不等式方法
高考中证明不等式常见技巧
广东仲元中学高三数学组
证明不等式的方法,除了常用的比较(作差以及作商)法之外,还有一些技巧,下面举例给予说明。 一、 构造函数
思路:为了证明f (x ) >g (x ) 在集合D 上成立,可以构造函数h (x ) =f (x ) -g (x ) ,研究函数h (x ) 的单调性,从而得到所需要的不等式。 例1:(2009年广东理科试题)
已知曲线C n :x 2-2nx +y 2=0(n =1,2, ) .从点P (-1,0) 向曲线C n 引斜率为k n (k n >0) 的切线
l n ,切点为P n (x n , y n ) .
(Ⅰ)求数列{x n }与{y n }的通项公式; (Ⅱ
)证明:x 1?x 3?x 5? ?x 2n -1<简解: (ⅰ)x="" n="">简解:>
x
n y n
n , y n =n +
1 (Ⅱ
x n ==
y
n
<>
不等式,这是分步得分的有效途径。)
设t =
(换元法是高考重点考察的数学方法,(0,,
,那么只需证明t
3善于换元,可以大大简化运算。)
构造函数:f (t ) =t t , 再研究函数f (t ) 的单调性以及最值即可。 熟记几个比较重要的不等式:
ln x 例2:设函数f (x ) =ln x -px +1 (Ⅰ)研究函数f (x ) 的极值点; (Ⅱ)当p >0时,若对任意的x >0,恒有f (x ) ≤0,求p 的取值范围; ln 22ln 32ln n 22n 2-n -1 (Ⅲ)证明:2+2+ +<(n ∈n="" ,="" n="" ≥2).="">(n> 2(n +1) 23n 简解:(I ) 当p ≤0时,f '(x ) >0, f (x ) 在(0, +∞) 上无极值点 当p >0时,,f (x ) 有唯一的极大值点x =(Ⅱ)p 的取值范围为[1,+∞) (Ⅲ) 分析:不等式左侧为n -1项和,右侧为一个式子,可以通过放缩将右侧的式子拆分成n -1项 和。 1 p , n ∈N , n ≥2(这是经常使用的一个不等令p =1,由(Ⅱ)知,ln x -x +1≤0, ∴ln x ≤x -1 式) ∴ln n ≤n -1,(换元是关键) ∴ ln n 2n 2-11 ≤2=1-2 2n n n 2 2 ln 22ln32ln n 2111∴2+2+ +2≤(1-2) +(1-2) + +(1-2) 23n 23n =(n -1) -( 111111111111 +2+ +2) <(n -1)="" -()="" ++="" +)="(n" -1)="" -(-+-+="">(n> 23n 2334n n +12?33?4n (n +1) 1112n 2-n -1 , (将2放缩成=(n -1) -(-) = 2n +12(n +1) n 反思:(综合测试3) 1 为使用裂项法奠定了基础) n (n +1) 已知函数f (x ) =ln x -x +1(x ∈[1, +∞)) ,数列{a n }满足a 1=e , a n +1 =e (n ∈N *) . a n (Ⅰ)略 (Ⅱ)略 (Ⅲ)求证:1?2?3? ?n ≤e n (n -1) 2 (n ∈N *). 简解: 此不等式左侧为n 个式子相乘,而右侧为一个式子,参考例2的思路,即可。 (Ⅲ)f '(x ) = 1 -1, x ≥1, ∴f '(x ) ≤0, ∴f (x ) 递减, x ∴f (x ) ≤f (1) ,即f (x ) ≤0, 也就是ln x ≤x -1, 于是ln 1+ln 2+ +ln n ≤0+1+ +(n -1) ,即 ln(1?2?3? ?n ) ≤ n (n -1) , 2 n (n -1) 2 故1?2?3 ?n ≤e 反思:(综合测试8) . 设数列{a n }、{b n }满足a 1= 112 , 2na n +1=(n +1) a n 且b n =ln(1+a n ) +a n , n ∈N *. 22 (1)求数列{a n }的通项公式; (2)对一切n ∈N *, 证明 a n 2 <> a n +2b n 2 (3)记数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n , 证明:2B n -A n <> 简解:(1)∴a n =n 2 (2)先用分析法“追根溯源” n a 222 a n +2b n 1212 ?b n -a n -a n <0?b n="" -a="" n="ln(1+a" n="" )="">0?b> 22 (“追根溯源”是证明不等式的常见思路,这样就可以找到关键所在) 下面只需证明ln(1+x ) (1)求函数f (x ) 的最小值; x e ?1??2??n -1??n ? (2)若n ∈N ,证明: ?+ ?+ + . +>?> e -1?n ??n ??n ??n ? * n n n n 第二问: 根据基本不等式e ≥x +1再放缩即可 k -k n -k n k ) ≤e -k 由于e ≥x +1, 令x =-, 则-+1≤e n , 即( n n n x x 令k =0,1,2, n -1, 以上诸式相加即可. (二)数学归纳法 数学归纳法证明不等式要注意格式的规范性。 例3:(2009年广东理科试题) 已知曲线C n :x 2-2nx +y 2=0(n =1,2, ) .从点P (-1,0) 向曲线C n 引斜率为k n (k n >0) 的切线l n ,切点为P n (x n , y n ) . (Ⅰ)求数列{x n }与{y n }的通项公式; (Ⅱ )证明:x 1?x 3?x 5? ?x 2n -1 x 简解:这里只证明第(Ⅱ)的左侧。 :x 1?x 3?x 5? ?x 2n -1 当n =1时 , x 1= 1, 命题成立; 2 假设n =k 时, 命题成立, 即x 1?x 3?x 5? ?x 2k -1 则当n =k +1时 , x 1?x 3?x 5? ?x 2k -1x 2k +1 x 2k +1= 2(k +2) 24k 2+16k +162 =>1, 2 2(k +2) 4k +8k +3故 <> 2(k +2) ∴当n =k +1时, 命题成立 故x 1?x 3?x 5? ?x 2n -1 . 有些不等式的证明若使用数学归纳法,将会比较困难。如: (广州市2010年高三调研测试)(本小题满分14分)设S n 为数列a n }的前n 项和,对任意的n ∈N , * { 都有S n =(m +1)-ma n (m 为常数,且m >0) . (1)求证:数列a n }是等比数列; (2)设数列a n }的公比q =f (m ),数列{b n }满足b 1=2a 1, b n =f (b n -1) (n ≥2,n ∈N ) ,求 * { { 数列{b n }的通项公式; 2 (3)在满足(2)的条件下,求证:数列b n 的前n 项和T n {} 89. 18 简解: (1) 2a n m . =(n ≥2)(2)b n =2n -1(n ∈N *) a n -11+m (3)证明:由(2)知b n =所以需要证明4+ 24 ,则b n 2= 2 2n -1(2n -1) 44489 ,此不等式若使用数学归纳法,将很困难。 ++ +<> 925(2n -1)18 (三)放缩法 放缩法不仅是一种独立的方法,而是证明不等式的一种技巧。 例4:(2010年五校合作自主选拔通用基础测试) x +41 ,设x 1=3, x n +1=f (x n ), n =1,2,3,..., 证明:x n -2 1 思路分析:所证明不等式的右侧为n -1,可以联系到一个等比数列的通项。所以将 3 函数f (x ) = x n -2适当放大。x n -2= 下面分析常数q 应该是多少。 x n -1+41 -2=x n -1-2? x n -1+1x n -1+1 不等式x n -2 x n -2 所以q =3 那么只要证明x n >2即可,这可以用数学归纳法证明。请自己完成。 此外,迭代的方法也是相当重要的, 是高考试题中经常出现的方法! 例5:(2009年重庆文科试题) 已知a 1=1, a 2=4, a n +2=4a n +1+a n , b n = (Ⅰ)求b 1, b 2, b 3的值; (Ⅱ)设c n =b n b n +1, S n 为数列{c n }的前n 项和,求证:S n ≥17n ; (Ⅲ)求证:b 2n -b n 思路分析::(Ⅰ)(Ⅱ)略 (Ⅲ)所证明不等式的左侧为b 2n -b n ,其中的b 2n , b n 并不是连续的两项,所以需要将中间的项补齐,利用三角不等式a -b ≤a -c +c -b 。 a n +1 , n ∈N *. a n 11 ?n -2. 6417 b 2n -b n =(b 2n -b 2n -1) +(b 2n -1-b 2n -2) +... +(b n +1-b n ) ≤b n +1-b n +b n +2-b n +1+ +b 2n -b 2n -1 当n ≥2时,有b n +1-b n =|4+ b -b 111 -4-|=|n n -1|≤|b n -b n -1| b n b n -1b n b n -117 ≤ 1111 |b -b |≤ ≤|b -b |=?,以下略。 n -1n -22117217n -1417n -1 在放缩进行不等式的证明时,有时候要把握放缩的“火候”,例如证明: 4+ 44489 (n ≥2) ++ +<> 925(2n -1)184 2 (2n -1) 411444 =-,所以T n =4+++ +2 2n 2n -2n -1n 925(2n -1) 4?11??11?1??1+ -?+ -?+ + -? 9?23??34??n -1n ?401189+-< =.若从第2项开始放大,只能证明出一个比较“宽松”的命题,只有从第392n=""> <> 项开始放大,才会得到需要的结果。 (四)绝对值不等式的证明 绝对值不等式的证明除了使用前面所言的三角不等式a -b ≤a -c +c -b 之外,还有另外一些办法。 例6:(2010年全国高中数学竞赛一试) ' 已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +c (a ≠0), 当0≤x ≤1时,f (x ) ≤1, 试求a 的最大值 简解: 13 g (x ) =f ' (x ) =3ax 2+2bx +c ,g (0)=c , g (1)=3a +2b +c , g () =a +b +c 24 1 将a , b , c 用g (0),g (1),g () 表示即可。 2 31 a =g (1)-2g () +g (0), 22 则 311 a =g (1)-2g () +g (0)≤g (1)+2g () +g (0)≤4,以下略。 222 这是一种变量置换,在不等式证明中比较常见。 以上是不等式证明中的一些常用方法与技巧,要举一反三,不能照搬硬套,无招胜有招才是最高境界。 练习1:(2006年广东高考试题) A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x ) 组成的集合:①对任意的x ∈[1,2],都有?(2x ) ∈(1,2);②存在常数L (0 设?(x ) ∈A ,任取x 1∈(1,2),令x n -1=?(2x n ) ,n =1,2, ,证明:给定正整数k ,对任意的正整数p , L k -1 |x 2-x 1| 成立不等式|x k +p -x k |≤ 1-L 练习2:(2001年全国高考试题) 已知i ,m ,n 是正整数,且1 i i (I) 证明 n i A m ; (II) 证明 (1+m ) n >(1+n ) m . (本问请思考两种方法) 练习3:(综合测试1). 已知函数f (x ) = 12 x +ln x . 2 (1)求函数f (x ) 在[1,e]上的最大值、最小值; (2)求证:在区间[1,+∞) 上,函数f (x ) 的图象在函数g (x ) =(3)求证:[f '(x )]n -f '(x n ) ≥2n -2(n ∈N *). 23 x 的图象的下方; 3 练习4 :已知函数f (x ) =a ≠±b ,求证:f (a ) -f (b ) 已知a , b , c ∈R ,函数f (x ) =ax 2+bx +c , g (x ) =ax +b 。 当x ≤1,有f (x ) ≤1。 (1)证明:c ≤1;(2)证明:当x ≤1时,g (x ) ≤2。 练习7:数列{a n }中,a 1=2,对一切正整数有a n +1=a 1a 2.... a n +1。 求证: a +b 1+a +b ≤ a 1+a + b 1+b 111111 ++???+≥++???+n 对一切正整数都成立。 a 1a 2a n 242 11 , x n +1=, n ∈N *。证明: 21+x n 练习8:(2009年陕西高考)已知数列{x n }满足:x 1= n -1 1?2? x n +1-x n ≤? ? 6?5? n 2 练习9:设f (x ) =e +e ,求证:f (1)f (2)???f (n ) >(e 练习10:(2010年韶关模拟试题) 已知数列{a n }满足a 1=a (a ≠-2), a n +1= x -x n +1 +2) (n ∈N *) (4n +6) a n +4n +10 。 2n +1 (1) 求证数列? ?a n +2? ?是等比数列,并求出通项a n ; ?2n +1? (2) 如果a =1时,设数列{a n }的前n 项和为S n ,试求出S n ,并证明当n ≥3时,有 11111+++???+<。 s="" 3s="" 4s="" 5s="" n="">。> 练习11: 已知数列 {a n }各项均不为0,其前n 项和为S n ,且对任意n ∈N * 都有(1-p ) S n =p -pa n (p 为大于1的常数), 2n 1+C 1a +C a + +C n 1n 2n a n f (n ) =记. 2n S n (1) 求数列a n 的通项公式; (2) 试比较f (n +1) 与 p +1 f (n ) 的大小(n ∈N *); 2p 2n -1 p +1??p +1?? ?1- ?? p -1???2p ??? (3) 求证 当n ∈N *时. (2n -1) f (n ) 剟f (1)+f (2)+ +f (2n -1) 柯西不等式的证明 摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问 题迎刃而解。 关键词:柯西不等式 证明 应用 柯西(Cauchy)不等式 222222222,,ab,R,i,1,2?n ,,,,,a,a,?,ab,b,?,b ,,ab,ab,?,abii12n12n1122nn a,a,?,a,0b,ka等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证i,1,2?n12nii明介绍如下: 222证明1:构造二次函数 ,,,,,,f(x),ax,b,ax,b,?,ax,bnn1122 22222nnaaaxabababxbbb,,,,,,,,,,,2= ,,,,,,12112212nnnn 22n aaa,,,,012n 恒成立 ?,fx0,, 2nn2222,,,,,,,,,,,,,440abababaaabbb ,,,,,,nnnn11221212 22222nnabababaaabbb,,,,,,,,,,即 ,,,,,,11221212nnnn aaan12,,,当且仅当 即时等号成立 axbxin,,,01,2,,iibbb12n证明(2)数学归纳法 22abab (1)当时 左式= 右式= n,1,,,,1111显然 左式=右式 2222222222,,,,,,,aabbabababab当 时, 右式 n,2,,,,,,,,121211222112 222,,,,,,ababaabbabab2右式 ,,,,,,112212121222 aa12abab,,仅当即 即时等号成立 2112bb12 n,1,2故时 不等式成立 (2)假设时,不等式成立 kk,,,,2nk,,, 22222kkabababaaabbb,,,,,,,,,,即 ,,,,,,11221212kkkk aaa,,,,0b,ka当 ,k为常数, 或时等号成立 in,1,2ii12k 222222,,,,,aaa设 ,,,,,bbb12k12k Cababab,,,, 1122kk 22222,,,,,,,,,,abbab则 ,,,,,,,,,kkkkk11111 2222,,,,,CCababCab2 ,,kkkkkk,,,,,,111111 22222222?,,,,,,,,aaaabbbb ,,,,,,121121kkkk 2,,,,,abababab ,,,,112211kkkk aaa,,,,0b,ka当 ,k为常数, 或时等号成立 in,1,2ii12k即 时不等式成立 nk,,1 综合(1)(2)可知不等式成立 柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃 而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛。举例,证明不等式: 222abc,,333abc,,,例1:已知正数满足 证明 abc,,abc,,,13 证明:利用柯西不等式 23131312,,222222222abcaabbcc,,,,, ,,,, ,, 222333,,,,,,,,222,,,,,,,abcabc ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2333,,,,,abcabc abc,,,1,,,,,, 222222又因为 在此不等式两边同乘以2,再加上abcabbcca,,,,,abc,, 222abcabc,,,,,3得: ,,,, 2222333222abcabcabc,,,,,,,,3 ,,,,,, 222abc,,333abc,,,故 3 2222例2:已知实数abc,,,d满足, 试求a的最值 abcd,,,,2365abcd,,,,3 解:由柯西不等式得,有 1112,,222236bcdbcd,,,,,,, ,,,,,,236,, 2222236bcdbcd,,,,,即 ,, 22由条件可得, 53,,,aa ,, 236bcd解得,当且仅当,, 时等号成立, 12,,a121316 11a,2代入时, bcd,,,1,,max36 21a,1 时 bcd,,,1,,min33 参考文献:1 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期 J,, 2柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社 M,, 3李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社 M,, 4用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004年第七期 J,, 转载请注明出处范文大全网 » 2018年高考备考+均值不等范文五:柯西不等式的证明