范文一:命题与证明湘教版
《命题与证明》湘教版练习题(1) 姓名 学习在于勤奋,数学就要多练。
1. 、证明:菱形的两条对角线交点到一组邻边的距离相等。
已知:
求证:
证明:
2、证明:菱形的两条对角线的平方和等于它的四条边长的平方和。
已知:
求证:
证明:
3、证明:顺次连接正方形的四边中点得到的四边形是正方形。
已知:
求证:
证明:
4、证明:两条直线被第三条直线所截,如果内错角不相等,那么这两条直线必相交。
已知:
求证:
证明
5、证明:顺次连接菱形的四边中点得到的四边形是矩形。
已知:
求证:
证明
6、证明:等腰梯形的对角线交点与同一底的两个端点的距离相等。 已知:
求证:
证明
7、证明:菱形的面积等于它的两条对角线长度乘积的一半。
已知:
求证:
证明
8、证明:平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等。 已知:
求证:
证明
范文二:命题与证明教案
命题与证明教案(九年级上册)
第二章 命题与证明
主要内容:
定义与命题、公理与定理以及证明。
本章是学生用逻辑推理的方法对命题进行研究的开始,是今后学习证明的基础。
通过本章的学习应了解定义与命题的含义,会判断真假命题,能改写命题的形式,理解公理与定理,理解证明的必要性,掌握证明的书写格式,能灵活运用公理、定理、定义进行田径逻辑推理,提高演绎推理的能力。 重点:命题、公理与定理以及证明。 难点:命题的证明。
课时安排:本章约为10课时
定义与命题(1)
【教学目标】
1.了解定义的含义. 2.了解命题的含义.
3.了解命题的结构,会把一个命题写成“如果??那么??”的形式.
【教学重点、难点】
重点:命题的定义.
难点:象范例中第(3)题,这类命题的条件和结论不十分明显,改写成“如果?那么?” 形式学生会感到困难,是本节课的难点.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
(1)阅读新华社酒泉2005年10月11日这篇报导:
神舟六号载人飞船将于10月12日上午发射,??神舟六号飞船搭乘两名航天员,执行多天飞行任务.按计划,飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空,运行在轨道倾角42.4°、近地点高度为200千米、远地点高度为347千米的椭圆轨道上,实施变轨后,进入343千米的圆轨道.
要读懂这段报导,你认为要知道哪些名称和术语的含义?
(2)什么叫做平行线?(在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线).
什么叫做物质的密度?(单位体积内所含某一物质的质量叫做密度). 二、合作交流,探求新知 1.定义概念的教学
从以上两个问题中引入定义这个概念:
对一个概念的特征性质的描述叫做该概念的定义.
象问题(1)中的轨道倾角、近地点高度、远地点高度、变轨的含义必须有明确的规定,即需要给出定义. 请说出下列名词的定义:
(1)无理数;(2)直角三角形;(3)矩形 学生阅读教材P35---36 2.命题概念的教学 教师提出问题:
判断下列语句在表述形式上,哪些对事情作了判断?哪些没有对事情作出判断? (1)对顶角相等; (2)画一个角等于已知角;(3)两直线平行,同位角相等; (4)a,b两条直线平行吗? (5)鸟是动物; (6)若a则a=b.
答案:句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断,句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断.其中 (1)(3)(5)判断是正确的(真),(7)判断是错误的(假).
在此基础上归纳出命题的概念:
叙述一件事情的句子(陈述句),如果要么是真的,要么是假的,那么称这个陈述句是一个命题.
如果一个命题叙述的事情是真的,那么称它是真命题,如果一个命题叙述的事情是假的,那么称它是假命题。
象句子(1)(3)(5)(7)都是命题;句子(2)(4)(6)都不是命题.
说明:讲解定义、命题的含义时,要突出语句的作用.命题属于判断句或陈述句,且都对一件事情作出判断.与判断的正确与否没有关系. 3.命题的结构的教学
告诉学生现阶段我们在数学上学习的命题可看做由条件(或题设)和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题可以写成“如果??那么??”的形式,其中以“如果”连接的部分是条件,“那么”连接的部分是结论.如“两直线平行, 同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行,那么同位角相等”. 三、师生互动 运用新知
下面通过书本中的范例介绍如何找出一个命题的条件和结论,并改写成“如果??那么??”的形式.
例1 指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果??那么??”的形式: (1)三条边对应相等的两个三角形全等; (2)在同一个三角形中,等角对等边; (3)对顶角相等; (4)同角的余角相等;
2
=4,求a的值; (7)若a
2
=b,
2
(5)三角形的内角和等于180°; (6)角平分线上的点到角的两边距离相等.
分析:找出命题的条件和结论是本节课的难点,因为命题在叙述时要求通顺和简练,把命题中的有些词或句子省略了,在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去. (1)“三条边对应相等”是对两个三角形来说的,因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去,即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”,结论是“这两个三角形全等”.可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等,那么这两个三角形全等”. (2)学生可能会说条件是“在同一个三角形中”,结论是“等角对等边”.教学时可作这样引导:“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等,`然后提问学生,一个三角形满足什么条件时,有两条边相等?这个命题的条件是什么?结论是什么?
值得注意的是,命题中包含了一个前提条件:“在一个三角形中”,在改写时不能遗漏. (3)可作如下启发:对顶角指两个角的关系,相等指两个角相等.把“两个角”添补上去,写成“是对顶角的两个角相等”,这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”,结论是“两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”. (4)条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”.
(5)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”.这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”; (6) 如果“一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角的两边距离相等”. 例2 下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题? (1)若a<><-a;>-a;>
(3)在ΔABC中,若AB>AC,则∠C>∠B吗? (4)两点之间线段最短; (5)解方程x-2x-3=0; (6)1+2≠3.
答案:(1)(2)(4)(6)是命题,(3)(5)不是命题. 四、应用新知 体验成功 (1)书P39 做一做部分 (2)P36 1,2 P40 1 五、总结回顾,反思内化
学生自由发言,这节课学了什么?教师做补充.
2
??
三个内容:?
?命题的的结构:通常命?
概念的定义:命题的定义:
题是由条件和结论两部
分组成
教学后记:
定义与命题(2)
【教学目标】
知识目标:理解真命题、假命题的定义,了解什么是证明与举反例; 能力目标:会判断一个命题的真假,了解什么是互逆的命题和逆命题。 情感目标:通过对真假命题的判断,培养学生树立科学严谨的学习方法。
【教学重点、难点】
重点:判断一个命题的真假是本节的重点。 难点:公理、命题和定义的区别。
【教学过程】
(一):合作学习:
1:复习命题的定义,思考下列命题的条件是什么?结论是什么?
2
(1) 边长为a(a>0)的等边三角形的面积为√3/4a.
(2) 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
2
(3) 对于任何实数x,xb,b>c,∴a>c
C. ∵a⊥b,b⊥c,∴a⊥c 2. 像“Hi,你好!”、“明天的天气好吗?”这样的语句命题(是或不是),其理由是
。 3. 把命题“等角的补角相等”改成“如果??那么??”的形式为 4. 我们学过许多公理,请你写出一个公理是
5. 如果一个定理的逆命题也是定理,我们称这两个定理为互逆定理,试举例说明:原定理 ,逆定理。 6. 命题“如果|a|=|b|,那么a=b”的逆命题是(填“原”或“逆”)命题错误,请举一个反例说明 。 7. 已知如图∠ABC=∠DEF;AB=DE,要证明△ABC≌△DEF,
(1)若以SAS为依据,还需补一个条件为 ; (2)若以ASA为依据,还需补一个条件为 ; (3)若以AAS为依据,还需补一个条件为 。
8. 如果AB⊥CD,垂足为O,那么∠AOC=90°,则它的条件是,结论是 9. 要证明四边形ABCD是正方形,从边考虑,需证考虑,只需证 的菱形是正方形,从对角线考虑,可证 的平行四边形是正方形。
10. 下列命题中①同旁内角互补,两直线平行;②全等三角形的周长相等;③直角都相等;④在同一个三角形中等边对等角。它们的逆命题是真命题的是 。 二、选择题(每小题4分,共40分) 11. 下列语句中,不是命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 碧波荡漾
C. 互补的两个角相等
D. 中国是世界上人口最多的国家 12. “两条直线相交,只有一个交点”这个命题的条件是( )
A. 两条直线
B. 交点
C. 只有一个交点
D. 两直线相交
13. 在证明过程中,对已学过的公理、定义、定理和已知条件中,可作推理的依据是( )
A. 公理、定义、已知条件 B. 公理、定理、定义
C. 公理、定理、已知条件
D. 公理、定理、定义、已知条件 14. 已知MN是线段AB的垂直平分线,下列说法正确的是( )
A. 与AB距离相等的点在MN上 B. 与点A和点B距离相等的点在MN上 C. 与MN距离相等的点在AB上
D. AB垂直平分MN
15. 下列对“全等三角形”这一概念的定义,叙述正确的是( )
18. 下列命题的逆命题是假命题的是( ) A. 有三条边对应相等的两个三角形全等 B. 等底等高的两个三角形的面积相等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等
19. 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,举例错误的是(
) A. 设这个角是45°,它的余角是45°,但45°=45° B. 设这个角是30°,它的余角是60°,但30°”“<”),理由如下: 过点E作EF∥BC交AC于F(请你完成以下解答过程) D
B
C
(3)拓展结论,设计新题:
在等边△ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,
AE=2,则CD的长为。
25. 某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°),现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间,并使小棒两端落在两射线上。
活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直, A1A2为第1根小棒。
思考:(1)小棒能无限摆下去吗 (填“能”、“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3=1 ①O
②若记小棒A2n-1A2n的长为an(n为正整数,如A1A2=a1,A3A4=a2,?) 求出此时a2,a3的值,并直接写出an(用含n的式子表示) 活动二:如图乙所示,点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,且AA1=A1A2
思考:(3)若已经向右摆放了3根小棒,则θ1θ2θ3θ的式 子表示。 (4)若只能摆放4根小棒,求θ的范围。
A6
A4
A4
A2
Aθ2
2 θ1
θ3 A A1
A3
A5
A
A1
A3
范文五:命题与证明(教案)
14.2命题与证明
命题与证明涉及平面几何所要研究的基本内容之一,也是以后复杂图形研究的重要基础.在知识学习的同时,命题与证明逐步渗透了推理论证的格式,并介绍了命题的结构和证明的步骤,所以命题与证明也是推理论证的入门阶段,命题与证明的内容是很重要的基础知识,是关系到今后几何学习的重要阶段,是中考考查的热点之一.
一、知识点回顾
1.定义、命题、公理和定理的含义.
(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子.
(2)命题:可以判断是正确或错误的句子叫做命题.
其中正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
(3)命题是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,这种命题可写成“如果??那么??”的形式.其中用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论.
(4)公理:如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫公理.
(5)如果一个命题可从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的命题叫定理.如“三角形的内角和等于180°”等.
注意:定理是正确的命题,但正确的命题不一定是定理.
2.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别.
这四者都是句子,都可以判断真假,即定义、公理和定理也是命题,不同的是定义、公理和定理都是真命题,都可以作为进一步判断其他命题真假的依据,只不过公理是最原始的依据,而命题不一定是真命题,因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.
3.证明
(1)根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等,经过逻辑推理,来判断—个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
(2)证明真命题的一般步骤是:
①根据题意,画出图形;
②根据题设、结论,结合图形,写出已知、求证;
③经过分析,找出由已知推出结论的途径,写出证明过程,并注明依据.
命题的证明步骤与格式是本节的主要内容,是学习数学必具备的能力,在今后的学习中将会有大量的证明问题;另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性.
推论证明的思路和方法.因为它体现抽象思维能力,如果同学们对逻辑的理解不深刻,往往找不出最优的思维切入点,证明的盲目性很大,因此对证明的思路和方法的训练是十分必要.
(1)学习命题与证明主要以对比理解为主,通过比较各种术语之间的异同,理解其内在含义.
(2)概念辨析法的一般步骤是:①分析研究题目所给条件和问题;②回忆有关概念的内涵和要点;③用概念去辨析题目所给条件与问题;④进行分析、判断、推理,综合得出正确结论.
(3)证明一个假命题的方法是举一个反例,证明一个命题是真命题,可用分析法、综合法或分析综合法.
二、思想方法
灵活运用转化的思维方法是平面几何证明的基本思想方法.如变更发散命题,通过变更命题的形式,力求变换思维角度,多方位思考、多渠道辟径,对于每个知识点挖掘其深邃的内涵,拓展其广阔的外延,从而有利于培养创造性思维能力.
命题与证明渗透的思想方法还有特殊与一般、逻辑推理思想等.在进行命题的证明时,体会命题证明的必要性,证明的步骤及格式,会根据一些简单的命题画出图形,并结合图形写出已知、求证,进行推理论证,并且会注明每一步推理的理由.
三、易错点归纳
1.命题的结论和题设分辨不清
【例1】 将下列命题改写成“如果??,那么??”的形式.
(1)同角的余角相等; (2)直角都相等.
[误解](1)常有以下几种错误改写:
如果是同角,那么余角相等;
如果两个角是同角,那么它们的余角相等;
如果同一个角是余角,那么余角相等.
(2)常有以下几种错误改写:
如果是直角,那么相等;
如果直角等于90°,那么直角都相等;
如果两条直线互相垂直,那么直角都相等.
[正解] (1)如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等;
(2)如果两个角都是直角,那么这两个角相等.
[剖析与指导] 产生改写错误的主要原因是:(1)在命题的题设和结论不很分明时,分辨不清哪是题设,哪是结论;(2)不能正确地理解一些概念名称,如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的地位和意义:(3)缺乏把简单句变换成复合句的语法知识.
命题的改写是命题教学的基础,在命题学习中,首先要掌握命题的构造,分清命题的题设是什么?结论是什么?然后才能在这个基础上进行命题的改写.
对于命题的改写,特别是题设和结论不很分明的命题的改写,应注意以下几点:
(1)命题的“缩句”练习.命题是判断一件事情的语句.为明确语句中各词语的含义及地位确定这语句中的“主词”和“宾词”,可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习.如把命题“同角的余角相等”缩写成“余角相等”,由此知道主词是“余角”,宾词是“相等”;又命题“两条平行线被第三条直线所截,同位角的平分线平行”可以缩为:“两个角的平分线平行”,由此得主词为“两个角的平分线”.宾词为“平行”.
(2)主词的数量表达方法.当主词的对象在数量上包含有“无数个”时,一般在主词前面加上“任意两个”或就写“两个”来表达这“无数个”.如同角的余角可以有无数个,在改写时一般只需写成“同角的任意两个余角”,或写成“同角的两个余角”.又如直角也有无数个,在改写时只需写成“任意两个直角”或“两个直角”.
(3)改写方法.把命题的主词连同它的修饰部分.经过重新组织或添加一些词语.写成“如果??”部分,宾词写成“那么??”部分,把它们连接成一个完整的句子,就得到改写成的命题.
2.文字语言与“图形语言”转换出现障碍
【例2】对命题:“同角的补角相等”.画图,并写出已知、求证.(不证明)
[误解] 如图1
已知:∠AOB与∠COD是同角,
∠BOE是∠AOB的补角,
∠DOF是∠COD的补角.
求证:∠BOE=∠DOF.
[正解]如图
2
已知:∠CPD是∠AOB的补角,∠EQF是∠AOB的补角.
求证:∠CPD=∠EQF.
[剖析与指导]这类题目不仅要求分清命题的题设和结论,而且要求能够把文字叙述的命题正确地“翻译”为图形和符号语言.这两方面都是困难的.尤其是“翻译”---图形化、符号化,更是练习中的主要障碍.但这也正是继续学习几何的基础和必备的技能.
对于把文字命题“翻译”成图形,与前面所提及的“读句画图”问题是一致的.把文字命题“翻译”成符号语言表示,即用已知、求证表示出来,一般分为两个步骤完成:(1)按照题意,画出图形;(2)分清命题的题设和结论,然后结合图形,用符号语言写成已知、求证.在“已知”项中写出题设,在“求证”项中写出结论.
[误解]中的错误主要是在画图时把“同角”理解成等角,并且把一个角的补角画成邻补角,变成了与原命题意义不同的“新”命题了.
3.证明时推理依据不准确
学习几何,必须学会证明,初学几何证明,往往会出现推理根据颠三倒四,拿着题设当结论,推理过程不严谨,甚至是错误的现象,现将其常见错误剖析几例,以期达到“治病”或“预防”之目的。
【例3】 已知:∠1+ ∠2=180°
求证:∠3=∠4。
【错证】:∵∠1+∠2=180°(已知);
∴l1∥l2(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=∠4(同位角相等,两直线平行)
【剖析与指导】错证推理依据不对,其实质是混淆了平行线的判定与性质。 正确的证明方法如下:
∵∠1+∠2=180°(已知);
∴l1∥l2(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠3=∠4(两直线平行,同位角相等)
四、中考热点透视
纵观近几年来全国各地的中考试题,涉及本章内容的常见题型有:填空题、选择题、作图题、计算题、证明题.作为基础知识在综合题中也时有出现.主要考查的内容有真命题和假命题的判定,平行线的判定和性质,三角形内角和定理及其外角定理.由于几何的推理论证是训练逻辑思维能力的基本手段之一,因此本章内容显得十分重要.
例1(2006安徽中考题)如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=55o,则∠2的度数
为 ( )
A.35o B.45o C.55o D.125o
解析:本题主要考察平行线的性质.
∵直线a∥b(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=55o(已知)
∴∠3=∠1=55o。
∵AB⊥BC(已知),
∴∠ABC=90o(垂直定义)
又∠2+∠ABC+∠1=180o
∴∠2=35o(等式的性质).
例2(2006黑龙江鸡西市中考题)如图,AB∥CD,
∠B=68,∠E=20,则∠D的度数为 .
解析:∵AB∥CD(已知)
∴∠B=∠CFE=68o(两直线平行,同位角相等)
而∠CFE=∠D+∠E(三角形内角和定理的推论)
∴∠D=68o-20o=48o。
五、方法技巧总结
例1 有大、小两个正方形,大正方形的一个顶点和小正方形的中心重合.转动大正方形,重叠部分的形状会不断地变化.问在转动过程中,重叠部分的面积会变化吗?
00
解析 做这道题时,我们首先应该想象着或动手画一画,让大正方形在我们的眼前转起来,好像看到了重叠部分随着大正方形的转动而变化成不同的形状.接着,我们又发现,在转动过程中,重叠部分永远是小正方形中的一部分,而且转动一周,重叠部分会变化出无数个不规则的四边形,还会出现四个正方形(图1)和四个三角形(图2)(在图中画一画,看一看四个正方形和四个三角形分别出现在哪里,它们的面积是怎样的).
最后,我们来看看那些不规则的四边形吧:在小正方形中过中心点画两条延长线(图中的虚线),于是,小正方形被分成了四部分(图3).很容易看出,这四部分的形状、大小是完全相同的,重叠部分的面积占小正方形的四分之一.无论大正方形转到哪儿,重叠部分的面积永远占小正方形的四分之一,是不会变的.
将一般的位置转换成特殊的位置情形,体现解题的技巧性和灵活性。
例2 如图1,已知AB∥CD,求证:∠BED=∠B+∠D.
分析:题中有平行条件,由此联想到平行线的性质,想到它所对应的图形.经对照发现,图中没有截AB、CD的线,所以我们要添截线.
方法1:延长BE交CD于F,如图2所示.
方法2:延长DE交AB于F,如图3所示.
方法3:连结BD,如图4所示.
方法4:过E点任作一线交AB于M、交CD于N,如图5所示.
许多几何题都是转化为我们熟悉的、简单的问题加以解决的.在这个转化过程中,也常需要作辅助线.如例中,如果将结论转化为∠BED-∠B=∠D,这样我们又得到:
方法5:以EB为一边在∠BED内部作∠BEF=∠B,或过E点作EF∥AB,如图6所示.
有些几何题目条件比较分散,条件与结论难于联系,这时往往需要巧妙地添辅助线,将条件加以集中,便于利用.