范文一:湍流模型
湍流模型概述
湍流是一种复杂的非稳态三维流动 , 通常把瑞流定义为具有随机性、 扩散性、 高雷诺数、 三维祸量脉动性、 耗散性及连续性特征的复杂流动。 虽然瑞流具有多 种特性 , 但瑞流不是流体本身具有的某些特征而是流体流动的特征 , 仍是一种连续 流动 , 仍然同层流一样满足流动的基本方程。从数学的观点看 , 瑞流是 N-S 方程的 通解 , 求解端流与求解层流无本质区别 , 目前己具有足以求解瑞流问题的有关方程 式。 端流还可以看作是由多种大尺度祸流和小尺度祸流组成的特殊流动。 大尺度 的祸流主要由流动的边界条件和流动区域的几何形状所决定 , 是引起流场中低频 脉动的主要原因 ; 小尺度的祸流主要是點性力所决定 , 是引起流场中高频脉动的主 要原因。 瑞流的物理量的脉动特点就是由于流体内各种不同尺度祸流的随机运动 造成。
用数值方法直接计算瑞流单元运动规律时 , 计算网格尺寸要小于瑞流单元 尺度 , 并在瑞流单元尺度内计算 N-S 方程的通解。但是在实际工程中具有重要意 义的不是端流的精细结构 , 而是瑞流对于时间的平均 (时均 ) 效应。 因此 , 雷诺首先提 出了将 N-S 方程对某一时间比例尺取平均 , 得到时均 N-S 方程。虽然瑞流的 N-S 方程经过时均化处理后方程式的形式可以保持不变 , 但是出现了脉动应力项 (雷诺 应力 ), 因此需要提出相应的端流模型 (一个或一组数学方程 ) 使时均方程得到封闭。 这种方法按雷诺应力方程模型化方法的不同可分为两类 :一类是直接就雷诺应力 建立模型化方程的雷诺应力方程模型 ; 另一类是在雷诺应力与局部时均速度梯度 成比例的 Boussinesq 假设下引入的瑞流黏度系数模型。 另一种瑞流数值计算方法 是亚网格尺度模拟 , 即大祸模拟 (LES),由 N-S 方程出发直接模拟大尺度祸流 , 小尺度 祸流的影响可以通过近似模型来考虑。但是由于大祸模拟计算量仍很大 , 也只能 模拟一些简单的情况。
工程上通常需要深入了解的是温度场、时均速度场、瑞流脉动时均特性等 , 并不需要了解瑞流产生和发展的详细过程。因此 , 利用雷诺提出的时均值的概念 来研究瑞流运动的方法是一种有效的简化 , 从 N-S 方程导出瑞流平均运动方程和 雷诺方程 , 还导出了连续性方程和能量方程等基本方程。雷诺平均法将瑞流物理 量代入不可压缩瞬态连续性方程、 动量方程得到端流平均运动的连续性方程和动 量方程。 但是在雷诺时均方程组中除了瞬态连续性方程和动量方程外还有一项是
雷诺应力 , 代表瑞流的影响 , 要使方程组实现封闭必须用适当的方式求解雷诺应力。 但是在推导雷诺应力方程时出现了更高阶的关联项 , 而且未知量数目的增加比方 程数目的增加还要快。所以 , 目前一般釆用二阶以下速度相关量的瑞流应力方程 , 然后作适当的物理假设使方程组实现封闭 , 这就是通常所说的瑞流模型或瑞流模 式。
雷诺时均方程近似法中端流模型按照雷诺应力方程模型化方法的不同可分 为雷诺应力方程模型和瑞流點性系数模型。 雷诺应力方程模型能够充分体现瑞流 输运的本质 , 同时也是目前模拟复杂的流体流动过程较为适宜的瑞流模型。瑞流 點度系数模型的建立是基于端流各向同性的假设前提下 , 按照 Boussinesq 形式将 瑞流模型或端流封闭的任务归结为寻求瑞流點度或有效點度的表达式。 根据方程 组中包含的湍流量偏微分方程数量来划分瑞流模型 , 可以分为一下三类。
(1)零方程模型。零方程模型是由湍流平均运动方程和连续性方程组成的方程组 , 通过把方程组中的雷诺应力假设为平均物理量的某种代数函数使方程组实现封 闭。 零方程模型或代数模型是从边界层中两个类比的简单物理设想出来的。 第一 个类比是层流黏性与瑞流點性的类比 ; 第二个类比是时均运动与脉动的量纲对比。 (2)—方程模型。一方程模型是在零方程模型的基础上增加一个瑞流量的偏微分 方程 , 再把雷诺应力作适当的假设使方程组实现封闭。
(3) 二方程模型。 二方程模型是在零方程模型基础上增加了瑞动能和端动能耗散 率两个偏微分方程 , 然后再设法使方程组实现封闭。目前 , 使用最多的湍流模型不 是零方程和一方程模型 , 这是因为计算机技术已经可以满足二方程模型求解的需 要了。
范文二:湍流模型
湍流模型推导
对纳维斯托克斯方程做时间平均处理,即采用雷诺平均法(RANS :Reynolds-Averaged Navier-Stokes ),可以得到湍流基本方程。
对于任意变量φ,按照雷诺时间平均法,可以拆分为如下格式:
φ=+φ'
“-” 表示对时间的平均,上标“’”代表脉动量。
按照=
1
?T
?
t +?T
t
φdt 计算平均值,将流动变量u i 和p 转换成时间平均和脉动值之和
u i =+u ',p =+p '
为了使方程组更具有封闭性,必须模化雷诺应力,引入模型使方程组封闭。其方法之一是湍流粘性系数法。按照基于Boussinesq 的涡粘假设湍流粘性系数法有
??u i ?u j
-ρu i u j =μt +
?x
?j ?x i ?2???- ρk +μt ?u i ?δij ?3 ?x i ????
上述方程式中μt 为涡粘系数,u i 为时均速度,δij 是Kronecker 符号,k 为湍流动能(当
i =j 时,δij =1;当i ≠j 时,δij =0)。
k =
u i u i 2
确定涡粘性系数μt 就是整个湍流模型的目标关键,确定湍流粘性系数法具体可以分为零方程模型、一方程模型、和二方程模型等等。
一 零方程模型
零方程模型也可称作代数模型,直接建立雷诺应力和时均值的代数关系,从而把涡粘系数和时均值联系到一起的模型。
1 混合长度模式
混合长度模式是基于分子运动的比拟,在二维剪切层中导出的。混合长度l 类比分子运动自由程,在经历混合长度的横向距离上,脉动速度正比于混合长度及流向平均速度梯度,即:
u '∝l
?U
(1.1-1) ?y
而粘性系数应当正比于脉动速度和混合长度之积(分子粘性系数正比于自由程和分子热运动速度之积),从而涡粘系数有如下的估计式:
v t ∝u 'l ∝l 2
?U
(1.1-2) ?y
在湍流输运中,涡粘系数和沃扩散系数之比定义为普朗特数Pr t ,即:
Pr t =v t t (1.1-3)
工程计算中通常采用Pr t =0. 8~1. 0。
给定混合长度表达式后,混合长度模式得以封闭。 在边界层的近壁区,混合长度和离避面的距离成正比:
l =κy (1.1-4)
κ=0. 4,即Karman 常数。利用混合长度模式,可以导出湍流边界层中平均速度的对
数律。在自由剪切湍流中,混合长度和我剪切层的位移厚度成正比。
在一般三维湍流中,Smagorinsky 建议涡粘系数公式为:
1/2
v t =l 2(2S ij S ij ) (1.1-5)
由于代数涡粘模式应用方便,在早期简单的混合长度模式以后,在各种其他模式的代数涡粘模式相继问世。目前在工程上广泛使用的代数模式是Baldwin-Lomax 模式。
2 B-L 湍流模型
1978年,Baldwin 和Lomax 提出了代数湍流模型——B-L 湍流模型,这是一个双层流动模型,内层的湍流强度由普朗特混合长度决定,外层的湍流强度由由平均流动和长度尺度决定。其中普朗特混合长度的应变率采用涡量表示。
湍动能的平均流动方程的影响是可以忽略的。 涡粘系数如下
?(v t )inn , y ≤y c
v t =?
()v , y >y c ?t out
(1.2-1)
内层涡粘系数
(v t )inn =l 2Ω (1.2-2)
Ω=ijk
?U
是当地的平均涡量绝对值;l 是考虑壁面修正的混合长度: ?x j
l =ky 1-e -y
(
+
/A +
) (1.2-3)
κ=0. 4,即Karman 常数,A +=26,y +=u τy /υw 。υw 是壁面处的流体运动粘度系数,u τ是壁面摩擦速度,u τ=w /ρ。
外层涡粘系数是
(v t )out =CF wake F Kleb (y ) (1.2-4)
式中,F wake 是y max F max 与C wk y max 小值。
u
2
+v 2+w 2
max
-
u
2
+v 2+w 2
min
]/F
2
max 中的最
F wake 称为尾流函数;F max 和y max 分别是函数F (y )=y Ω1-exp -y +/A +的最大值和最
大值的坐标;F kleb (y )是边界层外层的间歇性修正,称为Klebaboff 间歇函数:
[()]
F kleb =1+5. 5(C kleb y /y max )
式中,C wk =1,C =0. 02668,C Kleb =0. 3。
[
6-1
]
(1.2-4)
代数模式的最大优点是计算量少,只要附加粘性模块,就可以利用通常的Navier-Stokes 数值计算程序,所以它是最受工程师欢迎的方法。代数模式没有普适性,不过它比较容易针对特定的流动状态做各种修正。比如,Baldwin-Lomax 模式主要适用于小曲率的湍流边界层。对于有压强梯度和曲率的湍流边界层,可以在混合长度上加以修正。
代数模式的最大缺点是它的局限性,代数表达式中雷诺应力或标量通量中和当地的平均变形率和平均标量梯度有关。代数模式完全忽略湍流统计量之间关系的历史效应,而历史效应很难做局部的修正。B-L 湍流模型在工程计算中存在的主要不足是,对于强逆压梯度的非平衡湍流边界层;分离区附近以及分离区内部的流动;激波/附面层相互干扰流动;超声速及高超声速激波附近存在剧烈涡量变化的流动等,其计算精度明显无法满足工程需要。
二 一方程模式
为了弥补混合长度模型的湍流动能未反映湍流发展过程,提出了一方程模型,如SA 湍流模型。
SA 湍流模型
SA 湍流模型最近这些年变的比较流行,因为它对计算复杂流动有很强的鲁棒性,相比于B-L 湍流模型,SA 湍流模型中的湍流的涡粘度场是连续的;而相比于k -ε模型,SA 湍流模型占用的CPU 和内存更少,并且鲁棒性也不错。
SA 湍流模型是基于另外一个涡粘性的输运方程,这个方程含有对流项,扩散项和源项,此应用是Spalart 和Allmaras 1992年提出的,Ashford 和Powell (1996年)对此进行了改进以避免生成项出现负值。
湍流粘度如下
~f v t =v v 1(2.1-1)
~是湍流的脉动速度,f 由下式定义 其中,v v 1
f v 1=
χ3χ3+c v 1
(2.1-2)
~与分子粘度v 的比值,即 其中χ是湍流的脉动速度v
~v
χ= (2.1-3)
v
~由输运方程获得 湍动能的脉动量v
?v ~1~?v ~]-c v ~~+V ??v ={??[v +(1+c b 2)v b 2?v }+Q ?t σ (2.1-4)
式中,V 表示平均速度,Q 表示源项,σ,c b 2为常数。
源项包括生成项和耗散项,即
~P (v ~)-v ~D (v ~) (2.1-5) Q =v
其中,
~P (v ~)=c S v ~ (2.1-6) v b 1~??v ~~v D (v )=c w 1f w ? (2.1-7)
?d ?
2
生成项可由下式获得
~
S =Sf v 3+
f v 2=
1
~v
f (2.1-8) 22v 2
κd
1+χ
c v 23
;f v 3=
(1+χf v 1)(1-f v 2) (2.1-8)
χ
式中,d 表示到壁面的最小距离,S 表示涡量的大小
在生成项中,f w 由下式获得
6
?1+c w ?3
f w =g g 6+c 6?? (2.1-9)
w 3??
6
其中
g =r +c w 2(r -r );r =22 S κd (2.1-10)
6
~v
SA 湍流模型中的常数值如下:
c w 1=c b 12+(1+c b 2,c w 2=0. 3,c w 3=2,c v 1=7. 1,c v 2=5,c b 1=0. 1355,
c b 2=0. 622,κ=0. 41,σ=
三 二方程模型
1 标准k -ε模型
以一方程模型为基础,引入湍流耗散率ε。该模型是由Spalding 和Launder 于1972年
提出的。湍流耗散率ε定义为:
μ??u i '?
?ε= (3.1-1) ρ??x k ??
湍流粘性系数μ,可表示为k 和ε的函数:
μt =ρC μ
在标准k -ε模型中,k 和ε的输运方程为 k 方程
k 2
ε
(3.1-2)
μi ?(ρk )?(ρku i )??? +=μ+?
?t ?x i ?x j ?σk
??
??k ?? ??x ?+G k +G b -ρε-Y M +S k ?j ?? (3.1-3)
ε方程
μi ?(ρε)?(ρεu i )???
+=μ+?
?t ?x i ?x j ?σε??
??ε?εε2
? ??x ?+C 1εk (G k +C 3εG b )-C 2ερk +S ε
??j ?(3.1-4)
式中,G b 是由浮力引起的生成项,对于不可压缩流体而言,G b =0。对于可压流体,则有:
G b =βg i
μi ?T
Pr i ?x i
(3.1-5)
其中,Pr i 是湍流普朗特数,在该模型中湍流普朗特数Pr i =0. 85,g i 是重力加速度,β是热膨胀系数:
β=-
1?ρ
ρ?T (3.1-6)
G k 是湍动能k 的产生项,是由平均速度梯度引起的:
??u ?u j
G k =μi i +
?x
?j ?x i
??u i ? (3.1-7) ??x ?j
针对不可压流体而言,Y M =0。对于可压流体来说,则:
Y M =2ρaM t 2 (3.1-8)
式中,a 是声速,a =
RT ;M t 是湍动马赫数,M t =k a 2。
在标准k -ε模型中:C μ=0. 09,σε=1. 3,C 1ε=1. 44,C 2ε=1. 92,σk =1. 0。 标准k -ε模型是最简单的完整两方程湍流模型,具有适用范围广,比较经济和相对合理的精度等优点,在工业流场和热交换模拟中有非常广泛的应用。
标准k -ε模型的主要缺点是:①标准k -ε模型假设雷诺应力和当时当地的平均切变率成正比,所以它不能反映雷诺应力沿流向的松弛效应;②标准k -ε模型是各向同性的,不能反映雷诺应力的各向异性,尤其是近壁湍流,雷诺应力具有明显的各向异性;③标准k -ε模型不能反映平均涡量的影响,而平均涡量对雷诺应力的分布确实有影响,特别是在湍流分离流中,这种影响是十分重要的。
在标准k -ε湍流模型中,增加了两个输运方程,即湍动能k 和湍流耗散率ε,会有4个线性模型和2个非线性模型。
2 线性k -ε模型
在线性模型中,湍流的雷诺应力张量与平均应力张量成线性关系。
2 ?2''?w '')ij =2μt ?(-ρw (?w )δij ?-ρk δij S -?ij
?
3
?3
~~?w ?w 1?j
S ij = i +
2 ??x j ?x i
已经应用的线性模型如下:
Chien 提出低雷诺数的k -ε(1982年);
Hakimi 提出扩展壁面函数(1997年);
Launder 和Sharma 提出另外一种低雷诺数的k
(3.2-1)
?
? (3.2-2) ??
-ε模型(1974年);
Yang 和Shih 叶提出了一种低雷诺数的k -ε模型;
上述4中模型中的常数或函数如C μ,C ε1,C ε2,σk ,σε,f μ,f 1,f 2,D ,E 和
k 0. 5y k 2
T ,如下表所述,其中,Re t =,Re y =
v v ε
3 非线性k -ε模型
非线性模型是建立在线性模型的基础上,其中,低雷诺数的模型以Yang&Shih模型为基础,高雷诺数的模型建立在标准的k -ε模型基础上。
3.1 低雷诺数模型
生成项改为
?f μγRi t i 4 -w ?w =1-
3A 1+f μs 1+γRi t i
?
?
?kTS -2ρkI ?3?
C τ222?2?2
-kT 2S -S Ω+ΩS -S ? 33
A 2+s +ω3??
C τ322?2?2
-kT 2S -S Ω+ΩS -S ? A 2+s 3+ω33?? (3.3-1)
{}{}
T 已经在表1中列出,并且
T =(f t 1/T w +f t 2/T w );T w =
12S v /ε
1/3
A 2
2S
(3.3-2)
2
f t 1=1-
1+
2
2
;f t 2=1-
f t 1
1+Re t /70
(3.3-3)
~~?w ?w 1?j
S ij = i +
2 ??x j ?x i ~~?w ???w 1j
?;Ωij = i +?2 ???x j ?x i
?
? ?
? (3.3-4)
s =T 2S 2;ω=T -2Ω2;Ri t 2=-ωs =ω
C τ2=46;C τ3=-7;A 1=4; A 2=1000,γ=0. 2
3.2 高雷诺数模型
此模型可从低雷诺数模型修改得到,改动如下:①f μ统一设置成定值;②T '用T 代替。生成项变成:
γRi t i ?4f μ? ?kTS -2ρkI -w ?w =1-
3A 1+s 1+γRi t i ?3
??C τ222?2?2
-kT 2S -S Ω+ΩS -S ? 33
A 2+s +ω3??
C τ322?2?2
-kT 2S -S Ω+ΩS -S ? A 2+s 3+ω33?? (3.3-5)
{}{}
s 和ω根据下式改正,即
s =T 2S 2 (3.3-6)
ω=T -2Ω2 (3.3-7)
系数C τ2,C τ3,A 1和γ保持不变。
需要说明的是高雷诺数非线性模型使用壁面函数,而它是建立在标准k -ε模型的基础
上。
4 RNG k -ε湍流模型
RNG k -ε湍流模型是从暂态N-S 方程中推出的,使用了一种叫“renormalization group ”的数学方法。解析性是由它直接从标准k -ε模型变来,还有其它的一些功能。
???k ??+G k +G b -ρε-Y M +S k (3.4-1) (ρk )+?(ρku i )=? αμk eff ?t ?x i ?x j ??x j ??
2??????εεε?+C 1ε(G k +C 3εG b )-C 2ερ(ρε)+(ρεu i )= αεμeff -R ε+S ε ?t ?x i ?x j ??x j ?k k ?
(3.4-2)
G k 是由层流速度梯度而产生的湍流动能,G b 是由浮力而产生的湍流动能,Y M 由于在
可压缩湍流中,过渡的扩散产生的波动,C 1,C 2,C 3 是常数,αk 和αe 是k 方程和e 方程的湍流Prandtl 数。
在RNG 中消除尺度的过程由以下方程:
?ρ2k d ?
其中
??v ?=1. 72? (3.4-3) d v ?3
?-1+C v v ?
?=μeff /μ v
C v ≈100
上述方程是一个完整的的方程,从中可以得到湍流变量怎样影响雷诺数,使得模型对低雷诺数和近壁流有更好的表现。
在大雷诺数限制下上述方程得出
μt =ρC μ
k 2
ε
(3.4-4)
C μ=0. 0845来自RNG 理论,有趣的是这个值和标准k -ε模型总的0.09很接近。
湍流在层流中受到漩涡得影响,通过修改湍流粘度来修正这些影响。有以下形式:
μt =μt 0f αs , Ω, ? (3.4-5)
ε??
?k ?
这里的μt 0是方程(3.4-3)或方程(3.4-4)中没有修正的量。Ω是考虑漩涡而估计的一个 量,αs 是一个常量,取决于流动主要是漩涡还是适度的漩涡。在选择RNG 模型时这些修改主要在轴对称、漩涡流和三维流动中。对于适度的漩涡流动,αs =0. 05而且不能修改。对于强漩涡流动,可以选择更大的值。
Prandtl 数的反面影响αk 和αe 由以下公式计算:
α-1. 3929
α0-1. 0. 6321
α-2. 3929α0-2. 0. 3679
=
μmol
(3.4-6) μeff
这里α0=1. 0,在大雷诺数限,αk =αe ≈1. 393。
RNG 和标准k -ε模型的区别在于:
C μρη3(1-η/η0)ε2ε2
(3.4-7) R ε=3
1+βηk
这里η=Sk /ε,η0=4. 38,β=0. 012。
这一项的影响可以通过重新排列方程清楚的看出。利用方程(3.4-7)方程(3.4-2)的
三四项可以合并,方程可以写成:
2??????εεε*?+C 1ε(G k +C 3εG b )-C 2ερ(ρε)+(ρεu i )= αεμeff (3.4-8)
?t ?x i ?x j ??x j ?k k ?
*
这里C 2ε由下式给出:
*
C 2ε=C 2ε+
C μρη3(1-η/η0)1+φη3
(3.4-9)
**
η≈3. 0,当η<η0,r 项为正,按照对数,给定c="" 2这和标准k="" -εc="" 2ε要大于c="" 2ε。ε≈2.="">η0,r>
模型中的C 2ε十分接近。结果,对于适度的应力流,RNG 模型算出的结果要大于标准k -ε
*
模型。 当η>η0,R 项为负,使C 2ε要小于C 2ε。和标准k -ε模型相比较,e 变大而k 变
小,最终影响到粘性。结果在rapidly strained流中,RNG 模型产生的湍流粘度要低于标准k -ε模型。
因而,RNG 模型相比于标准k -ε模型对瞬变流和流线弯曲的影响能作出更好的反应,这也可以解释RNG 模型在某类流动中有很好的表现。 模型中常数:C 1ε=1. 42,C 2ε=1. 68。
5 标准k -ω湍流模型
标准k -ω模型是一种经验模型,是基于湍流能量方程和扩散速率方程。
由于k -ω模型已经修改多年,k 方程和ω方程都增加了项,这样增加了模型的精度。 标准k -ω模型的方程
?????k (ρk )+(ρku i )= Γk ?t ?x i ?x j ??x j
?
?+G k -Y k +S k (3.5-1) ??
??ω???+G ω-Y ω+S ω (3.5-2) (ρω)+?(ρωu i )=? Γω ?t ?x i ?x j ??x j ??
在方程中,G k 是由层流速度梯度而产生的湍流动能,G ω是由ω方程产生的,Γk 和Γω表明了k 和ω的扩散率,所有的上面提及的项下面都有介绍。 Y k 和Y ω由于扩散产生的湍流,
对k -ω模型,扩散的影响
Γk =μ+
μt
(3.5-3) σk
Γω=μ+
μt
(3.5-4) σω
这里σω和σk 是ω、k 方程的湍流能量普朗特数。湍流粘度μt 计算如下:
μt =α*
*
ρk
(3.5-5) ω
系数α使得湍流粘度产生低雷诺数修正。公式如下:
*?α0+Re t /R k
α=α 1+Re /R
t k ?*
*
∞
??? (3.5-6) ?
这里
Re t =
湍流模型中各个项定义如下:
ρk
(3.5-7) μω
G k 表示湍流的动能,其表达式如下:
G k =-ρu i u j
?u j (3.5-8)
?x i
为计算方便,Boussinesq 假设:
G k =μt S 2 S 为表面张力系数。
ω定义如下:
G ω=α
ω
k
G k 系数α有如下定义:
α=
α∞??
α α0+Re t /R ω*
1+Re /R
???
t ω?其中R ω=2. 95,注意,在高雷诺数的k -ω模型中,α=α∞=1
k 的定义如下:
Y k =ρβ*f β*k ω 其中
?χk ≤0f =?
1β*
??1+680χ2k ?
1+400χ2
χk >0
k 而
χ1?k ?ω
k ≡
ω?x j ?x j
β*=β*i [1+?*F (M t )] β**?4
i =β∞
4/15+(Re t /R β)? ? ?1+Re t /R β4? ?
?*=1. 5
R β=8
β*
∞=0. 09
(3.5-9)
3.5-10)
3.5-11) 3.5-12)
3.5-13)
3.5-14)
3.5-15)
3.5-16) ( ( ( ( ( ( (
ω定义如下:
Y ω=ρβf βω2 (3.5-17)
其中
f β=
1+70χω
(3.5-18)
1+80χω
χω=
Ωij Ωjk S ki
βω*∞
3
(3.5-19)
?u ?u j 1?
Ωij = i -
2 ??x j ?x i ?
? (3.5-20) ??
?βi **?
β=βi ?1-?F (M t )? (3.5-21)
?βi ?
对可压缩性修正
?0
F (M t )=?2
2
M -M t 0?t
其中
M t ≤M t 0M t >M t 0
(3.5-22)
M t 2≡
2k
(3.5-23) a 2
M t 0=0. 25 (3.5-24)
a =RT (3.5-24)
*
注意,在高雷诺数的k -ω模型中,βi *=β∞;在不可压缩的公式中,β*=βi *。
模型的常数项:
**
=0. 09,βi =0. 072,R β=8, α∞=1,α∞=1,α0=,β∞
1
9
R k =6,R ω=2. 95,?*=1. 5,M t 0=0. 25,σk =2. 0,σω=2. 0
6 SST k -ω湍流模型
SST k -ω湍流模型比较适合对流减压区的计算,另外它还考虑了正交发散项从而使
方程在近壁面和远壁面都适合。 SST k -ω流动方程:
?????k (ρk )+(ρku i )= Γk ?t ?x i ?x j ??x j ?
?+G k -Y k +S k (3.6-1) ??
??ω???+G ω-Y ω+D ω+S ω (3.6-2) (ρω)+?(ρωu i )=? Γω ?t ?x i ?x j ??x j ??
在方程中,G k 是由层流速度梯度而产生的湍流动能,G ω是由ω方程产生的,Γk 和Γω表明了k 和ω的扩散率,Y k 和Y ω由于扩散产生的湍流。 有效扩散项方程:
Γk =μ+
μt
(3.6-3) σk
Γω=μ+
μt
σ ω
其中σω和σk 是ω、k 方程的湍流能量普朗特数。湍流粘性系数μt 计算如下:μk 1
t =
ρω
max ??1ΩF 2??
α*, α?
1ω?其中
Ω=2Ωij Ωij σ1
k =F σ-F 1/k , 1+11/σk , 2
σ1
k =
F 1/σω, 1+1-F 1/σω, 2
其中Ω*
ij 表示旋率,α见式(3.5-6),F 1和F 2定义如下
F 4
1=tanh (Φ1
)
Φ??k 5001=min ??max μ??4ρk ?
? ?0. 09ωy , ρy 2ω?, ?σω, 2D +ωy 2?? ?
F 1=tanh (Φ42)
Φ=max ? k 500μ?
1 2?0. 09ωy , ρy 2ω?? ?
其中y 为到另一个面的距离。D +
ω为正交扩散项的正方向。
k 项与标准k -ω模型相同。
ω项定义如下
G α
ω=
v G k t
(3.6-4) (3.6-5)
(3.6-6)
(3.6-7)
(3.6-8)
(3.6-9) 3.6-10) 3.6-11)
3.6-12)
3.6-13)
( ( ( (
注意,这个公式与标准k -ω模型不同,区别在于标准k -ω中,α∞为一常数,而SST 模型中,方α∞程如下:
α∞=F 1α∞, 1+(1-F 1)α∞, 2 (3.6-14)
其中
βi , 1κ2
α∞, 1=*- (3.6-15)
*β∞σω, 1β∞α∞, 2
其中κ=0. 41,
βi , 2κ2
=*- (3.6-16)
*β∞σω, 2β∞
βi , 1=0. 075,βi , 2=0. 0828
SST 模型建立在标准k -ω模型和标准k -ε模型基础上。综合考虑,得到正交发散项
D ω。其方程为:
D ω=2(1-F 1)ρσω, 2
模型中常数:
1?k ?ω
(3.6-17)
ω?x j ?x j
α1=0. 31,σω, 2=2. 0,βi , 1=0. 075,βi , 2=0. 0828 σk , 1=1. 176,σω, 1=2. 0,σk , 2=1. 0,
其他的常数与标准k -ω模型的相同。
四 二阶矩湍流模型
以上介绍的湍流模型都是建立在Boussinesq 涡粘假设的基础上的,这些模型在工程上
应用比较方便,但是这些模型的缺点是它们的局部性,抛弃涡粘系数的概念,而从雷诺应力输运方程出发,则雷诺应力的历史效应就可以模拟。雷诺应力是一点脉动速度的2阶矩,因此雷诺应力输运方程的封闭模型又称2阶矩模型。
1 雷诺应力(RSM )湍流模型
雷诺应力模型包括用不同的流动方程计算雷诺压力,u i u j ,从而封闭的动量方程组,准确的雷诺压力流动方程要从准确的动量方程中得到,其方法是,在动量方程中乘以一个合适的波动系数,从而得到雷诺平均数,但是在方程中还有几项不能确定,必须做一些假设,使方程封闭。
雷诺应力流动方程:
???????
+p kj u i +ik u j +ρu i u j +ρu k u i u j =-ρu i u j u k μu u i j ??
?t ?x k ?x k ?x k ??x k ?
()()[])
C ij D T , ij
D L , ij
??u i '?u 'j ??u j ??u i ??u i '?u j
? ?-ρ u i u k +u j u k ρβg i u j θ+g j u i θ+p +-2μ?- ? ?x ?x ?x ?x ?x k ?x k k k ?j i ?? ? G ij
()
(4.1-1)
P ij
εikm +u i u m εjkm -2υΩk u j u m
F ij
)
φij
εij
在这些项中,C ij ,D L , ij ,P ij ,F ij 不需要模型,D T , ij ,G ij ,φij ,εij 需要建立模型 方程使方程组封闭。
Dily-Harlow 建立了如下的梯度发散模型:
D T , ij
?=C s
?x k
?k u k ?u u ?
ρu l i j ? (4.1-2) ε?x l ????μt ?u i u j
σk ?x k ?
?
? (4.1-3) ??
但这个方程数值稳定性不好,需简化为如下方程:
D T , ij
?=?x k
Lien 和Leschziner 用此方程在类似的平面剪切流动中得到σk 值为0.82,注意,在标准的k -ω模型中,σk 为1.0。
线形应力应变φij 的求解方法为:
φij =φij , 1+φij , 2+φij , ω (4.1-4)
其中,φij , 1为慢压力应变项,φij , 2为快应力应变项,φij , ω为壁面反射项。
φij , 1计算如下:
φij , 1=-C 1ρ
其中C 1=18
ε?2?u u -δk ij ? (4.1-5) ?i j
k ?
3
?
φij , 2计算如下:
φij , 2=-C 2?(P ij +F ij +G ij -C ij )-δij (P +G -C )? (4.1-6)
?
?
23
??
其中,C 2=0. 60,P ij ,F ij ,C ij 和G ij 在公式(4.1-1)中给出,P =
11
P kk ,G =G kk 和22
C =
1
C kk 。 2
壁面反射项φij , ω主要为壁面处应力再分配,抑制应力的垂直分量,而加强平行壁面的分
量,其方程为:
φij , ω
ε?33k 3/2?u m n k n m δij -u i u k n k n j -u j u k n k n i ?=C 1' u k
k ?22?C l εd
'+C 2
ε?
k ?
φkm , 2n k n m δij -φik , 2n k n j -φjk , 2n k n i ?
3
232
?k ?C l εd
3/2
(4.1-7)
'=0. 5,C 2'=0. 3,n k 为壁面处的一个单元,d 为到壁面的距离,C l =C μ/κ,其中,C 1
C μ=0. 09,常数k =0. 4187。
3/4
G ij 的方程为:
?T ?T ?? (4.1-8) G ij =βg i +g j
Pr t ??x j ?x i ??
其中Pr t 为湍流的普朗特数,值为0.85. β为热膨胀系数。对于理想气体,其表达式为:
μt ?
μ
G ij =t
ρPr t
发散张量εij 定义为:
??ρ?ρ? g i ? (4.1-9) +g j ?x ?x i ?j ??
εij =δij (ρε+Y M ) (4.1-10)
其中根据SARKAR 模型,Y M =2ρεM t 2是一个附加的扩散项,湍流MACH 数定义为:
23
M t =
k
(4.1-11) 2a
其中a 为音速,但流体为理想气体时,这个方程很理想。发散率ε的计算类似于标准k -ε方程:
μt ?????
(ρε)+(ρεu i )=? μ+ ?t ?x i ?x j ?σε
????ε?1εε2???x ?+C ε12[P ii +C ε3G ii ]k -C ε2ρk (4.1-11) ?j ??
其中σε=1. 0,C ε1=1. 44,C ε2=1. 92,C ε3由式(3.4-2)流场重力方向的方程得到。
涡流粘性系数μt 的方程为:
μt =ρC μ
其中C μ=0. 09。
k 2
ε
(4.1-12)
2 v 2-f 湍流模型
尽管上述的那些湍流模型对于流场的模拟结果已经相对比较准确了,但是对于低雷诺数
k -ε湍流模型,需要引入阻力方程来修正固体壁面涡粘系数的不合理的渐进特性。只要这
种阻力效应的目的是表示壁面的动能阻塞,Durbin (1991)提出了使用湍流应力取代湍动能来定义湍流粘度。因此,他介绍了一种新的v -f 湍流模型,而这种模型并不需要任何阻力方程,其中v 2表示湍流应力,f 表示再分配。
目前流行的v -f 湍流模型是是由Lien 和Kalitzin (2001)提出的,这个模型建立在高雷诺数的k -ε模型的基础上,并增加了两个额外的方程,即湍流应力方程和再分配方程。
2
2
Dk ?
=P k +Dt ?x j
??
v +v t σk ??
??k ???x ?j
?
? ??(4.2-1)??ε???x ?j
?
? (4.2-2) ??
D εC ε1P k -C ε2ε?
=+Dt T ?x j Dv 2ε?
=kf -6v 2+Dt k ?x j
??
v +v t σε??
??
v +v t σk ????v 2?
????x ? (4.2-3) ?j ?
2
L ?f -f
22
(C 1-1)?v 22?=+--C
T
?k
?
3??
P k 5v 2
(4.2-4) -
k T k
涡粘性系数由式v t =C μv 2T 计算,而湍流时间T 和特征长度L 由下列两式定义:
????k v ?0. 6k ? ? ??, T =min max , 6 2 ? ε? ?ε?6C μv S ????? (4.2-5)
4?????k 2?k v ???, C η L =C L max min , 342 ?? ε?ε6C μv S ????? (4.2-6)?
方程中包括应变,这是Durbin (1995)引入的约束条件,以克服停滞点时产生的高应力,湍流时间和特征长度通过Kolgomorov 尺度联系到一起。这个模型中的参数如下:C μ=0. 22,
σk =1,σε=1. 3,C ε1=1. 4 1+0. 05
C η=70。
?
?
?
k 2?v
????,C 1=1. 4,C 2=0. 3,C L =0. 23,??C ε2=1. 9,??
对二阶矩模型评价如下:
(1)二阶矩模型基于雷诺应力输运方程,它包括雷诺应力发展过程,注入流线曲率、旋转系统等非局部性效应已经包含在雷诺应力的输运方程之中,因此它能较好地预测复杂湍流。
(2)在雷诺应力再分配项的模拟中,快速项φij 仍然采用局部性假设,这对于强非均匀湍流场的预测将产生明显的偏差。
(3)近壁的雷诺应力耗散具有强各向异性,各向同性的耗散格式有待改进。 (4)雷诺应力的梯度耗散模型基本上是合理的,但应当考虑非各向同性的扩散。 目前,RANS 湍流模型是目前预测复杂湍流的最主要的工具,即使有朝一日计算机直接数值模拟复杂湍流成为现实,快速而又准确预测湍流特性的模型仍然是工程师们欢迎的方法。毋庸置疑,湍流统计模型需要不断发展和完善。
然而,我们又看到现有的湍流统计模型攒在致命的缺点:没有一个模式能够对所有的湍流运动给出满意的预测结果。一种常用的模式只能对某一类湍流运动给出满意的预测结果。例如,缓变的切边湍流,或近似平衡的湍流,B-L 的代数涡粘模型是做够好的。对于非平衡的切边湍流,例如有分离的湍流边界层,非线性k -ε模型或SA 一方程粘性系数模型可优先考虑。对于复杂几何边界的湍流,在计算条件许可的条件下,二阶矩模型可以考虑。
总之,湍流统计模型发展的目标是明确的,即简单易行,适应面广。
范文三:fluent湍流设置
湍流边界条件设置
在流场的入口、出口和远场边界上,用户需要定义流场的湍流参数。在FLUENT 中可以使用的湍流模型有很多种。在使用各种湍流模型时,哪些变量需要设定,哪些不需要设定以及如何给定这些变量的具体数值,都是经常困扰用户的问题。本小节只讨论在边界上设置均匀湍流参数的方法,湍流参数在边界上不是均匀分布的情况可以用型函数和UDF(用户自定义函数)来定义,具体方法请参见相关章节的叙述。
在
大多数情况下,湍流是在入口后面一段距离经过转捩形成的,因此在边界上设置均匀湍流条件是一种可以接受的选择。特别是在不知道湍流参量的分布规律时,在边
界上采用均匀湍流条件可以简化模型的设置。在设置边界条件时,首先应该定性地对流动进行分析,以便边界条件的设置不违背物理规律。违背物理规律的参数设置
往往导致错误的计算结果,甚至使计算发散而无法进行下去。
在Turbulence Specification Method (湍流定义方法)下拉列表中,可以简单地用一个常数来定义湍流参数,即通过给定湍流强度、湍流粘度比、水力直径或湍流特征长在边界上的值来定义流场边界上的湍流。下面具体讨论这些湍流参数的含义,以保证在设置模型时不出现违背流动规律的错误设置:
(1)湍流强度(Turbulence Intensity)
湍流强度I的定义为:I=Sqrt(u’*u’+v’*v’+w’*w’)/u_avg (8-1)
上式中u',v' 和w' 是速度脉动量,u_avg是平均速度。
湍流强度小于1%时,可以认为湍流强度是比较低的,而在湍流强度大于10%时,则可以认为湍流强度是比较高的。在来流为层流时,湍流强度可以用绕流物体的几何特征粗略地估算出来。比如在模拟风洞试验的计算中,自由流的湍流强度可以用风洞的特征长度估计出来。在现代的低湍流度风洞中,自由流的湍流强度通常低于0.05%。
内流问题进口处的湍流强度取决于上游流动状态。如果上游是没有充分发展的未受扰流动,则进口处可以使用低湍流强度。如果上游是充分发展的湍流,则进口处湍流强度可以达到几个百分点。如果管道中的流动是充分发展的湍流,则湍流强度可以用公式(8-2)计算得到,这个公式是从管流经验公式得到的:
I=u’/u_avg=0.16*Re_DH^-0.125 (8-2)
其中Re_DH是Hydraulic Diameter(水力直径)的意思,即式(8-2)中的雷诺数是以水力直径为特征长度求出的。
(2)湍流的长度尺度与水力直径
湍流能量主要集中在大涡结构中,而湍流长度尺度l则是与大涡结构相关的物理量。在充分发展的管流中,因为漩涡尺度不可能大于管道直径,所以l 是受到管道尺寸制约的几何量。湍流长度尺度l 与管道物理尺寸L关系可以表示为:
l = 0.07L (8-3)
式中的比例因子0.07 是充分发展管流中混合长的最大值,而L则是管道直径。在管道截面不是圆形时,L可以取为管道的水力直径。
湍
流的特征长取决于对湍流发展具有决定性影响的几何尺度。在上面的讨论中,管道直径是决定湍流发展过程的唯一长度量。如果在流动中还存在其他对流动影响更大
的物体,比如在管道中存在一个障碍物,而障碍物对湍流的发生和发展过程起着重要的干扰
作用。在这种情况下,湍流特征长就应该取为障碍物的特征长度。
从上面的分析可知,虽然式(8-2)对于大多数管道流动是适用的,但并不是普遍适用的,在某些情况下可以进行调整。
在FLUENT 中选择特征长L或湍流长度尺度l的方法如下:
1)对于充分发展的内流,可以用Intensity and Hydraulic Diameter(湍流强度与水力直径)方法定义湍流,其中湍流特征长度就是Hydraulic Diameter(水力直径)HD。
2)对于导向叶片或分流板下游的流场,可以用Intensity and Hydraulic Diameter(湍流强度与水力直径)定义湍流,并在Hydraulic Diameter(水力直径)中将导向叶片或分流板的开口部分的长度L 定义为特征长度。
3)如果进口处的流动为受到壁面限制且带有湍流边界层的流动,可以在Intensity and Length Scale 面板中用边界层厚度delta_99 通过公式l=0.4*delta_99计算得到湍流长度尺度l。最后在Turbulence Length Scale(湍流长度尺度)中输入l的值。
(3)湍流粘度比
湍流粘度比mu_t/mu与湍流雷诺数Re_t成正比。湍流雷诺数的定义为:
Re_t=k*k/(Epsilon*nu) (
8-4)
在高雷诺数边界层、剪切层和充分发展的管道流动中的数值较大,其量级大约在100 到1000 之间。而在大多数外部流动的自由流边界上,湍流粘度比的值很小。在典型情况下,其值在1 到10 之间。
(4)推导湍流变量时采用的关系式
为了从前面讲到的湍流强度I,湍流长度尺度L和湍流粘度比mu_t/mu 求出其他湍流变量,必须采用几个经验关系式。在FLUENT 中使用的经验关系式主要包括下面几种:
1)从湍流强度和长度尺度求出修正的湍流粘度
在使用Spalart-Allmaras 模型时,可以用湍流强度I和长度尺度l求出修正的湍流粘度,具体公式如下:
nu~=Sqrt(1.5)*u_avg*I*L (8-5)
在使用FLUENT 时,如果在Spalart-Allmaras 模型中选择Intensity and Hydraulic Diameter(湍流强度与水力直径)选项,则修正的湍流粘度就用这个公式求出。其中的长度尺度l则用式(8-3)求出。
2)用湍流强度求出湍流动能
湍流动能k与湍流强度I的关系如下:
k=1.5*(u_avg*I)^2
(8-6)
如果在使用FLUENT 时没有直接输入湍流动能k和湍流耗散率Epsilon的值,则可以使用Intensity and Hydraulic Diameter(湍流强度与水力直径)、Intensity and Length Scale(湍流强度与长度尺度)或Intensity and Viscosity Ratio(湍流强度与粘度比)等方法确定湍流动能,而确定的办法就是使用上面的公式(8-6)。
3)用长度尺度求出湍流耗散率
长度尺度l与湍流耗散率之间的关系为:
epsilon=C_mu^0.75*k^1.5/l (8-7)
式中C_mu为湍流模型中的一个经验常数,其值约等于0.09。
在没有直接输入湍流动能k和湍流耗散率epsilon的情况下,可以用Intensity and Hydraulic
Diameter(湍流强度与水力直径)或Intensity and Length Scale(湍流强度与长度尺度)等办法,利用上述公式确定湍流耗散率epsilon。
4)用湍流粘度比求出湍流耗散率
湍流耗散率epsilon与湍流粘度比mu_t/mu 和湍流动能k的关系如下:
epsilon=rho*
C_mu*k^2/mu*(mu_t/mu)^-1 (8-8)
式中C_mu为湍流模型中的一个经验常数,其值约等于0.09。
在没有直接输入湍流动能k 和湍流耗散率epsilon的情况下,可以用Intensity and Viscosity Ratio(湍流强度与粘度比)定义湍流变量,实际上就是利用上述公式算出湍流耗散率epsilon。
5)湍流衰减过程中湍流耗散率的计算
如果计算风洞阻尼网下游试验段中的流场,可以用下式求出湍流耗散率Epsilon:
epsilon=delta_k*U_farfield/L_farfield (8-9)
式中delta_k是湍流动能k 的衰减量,比如可以设为入口处k 值的10%,U_farfield是自由流速度,L_farfield是自由流区域的长度。(8-9)式是对高雷诺数各向同性湍流衰减指数律的线性近似,其理论基础是衰减湍流中湍流动能k的方程:
U*(partial derivative of U with respect to x)= -epsilon (8-10)
如果用这种方法计算epsilon,还需要用(8-8)式检验计算结果,以保证湍流粘度比mu_t/mu不过大。虽然这种方法在FLUENT 中没有使用,但是可以用这种方法估算出自由流中的湍流耗散率epsilon,然后再用(8-6)式确定k,最后在Turbulence Specification Method(湍流定义方法)下拉列表中选择K and Epsilon( k 和Epsilon )并k和Epsilon的计算结果输入到相应的栏目中。
6)用长度尺度计算比耗散率
如果知道湍流长度尺度l,可以用下式确定omega:
omega=k^0.5/(C_mu^0.25*l) (8-11)
式中C_mu和长度尺度l的取法与前面段落中所述相同。在使用Intensity and Hydraulic Diameter(湍流强度与水力直径)或Intensity and Length Scale(湍流强度与长度尺度)定义湍流时,FLUENT 用的就是这种方法。
7)用湍流粘度比计算比耗散率
omega的值还可以用mu_t/mu 和k通过下式计算得出:
omega=rho*k/mu*(mu_t/mu)^-1 (8-12)
在使用Intensity and Viscosity Ratio(湍流强度与粘度比)方法定义湍流时,FLUENT就是使用上述关系式对湍流进行定义的。
8)用湍流动能定义雷诺应力分量
在使用RSM(雷诺应力模型)时,如果用户没有在Reynolds-Stess Specification Method(雷诺应力定义方法)的Reynolds-Stress Components(雷诺应力分量)选项中直接定义雷诺应力的值,则雷诺应力的值将由给定的k值计算得出。假定湍流是各向同性的,即:
Average(u’_i* u’_j)=0 (8-13)
且: Average(u’_aphla* u’_aphla)=2k/3 (8-14)
如果用户在Reynolds-Stress Specification Method(雷诺应力定义方法)下拉列表中选择K or Turbulence Intensity(k或湍流强度I)时,FLUENT就用这种方法定义湍流。
(5)在大涡模拟方法(LES)中定义进口湍流
在使用速度进口条件时,可以将湍流强度作为对LES 进口速度场的扰动定义在边界条件中。在实际计算中,根据湍流强度求出的随机扰动速度分量与速度场叠加后形成LES 算法边界上的、随机变化的速度场。
在FLUENT 中选择特征长L或湍流长度尺度l的方法如下:
范文四:湍流模型-大涡模拟
1大涡模拟
目前计算机的计算能力仍对数值模拟紊流时所采用的网格尺度提出了严格的限制条件。人们可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构,但却无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。大涡模拟的思路是:直接数值模拟大尺度紊流运动,而利用次网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响[2]。大涡模拟较直接数值模拟占计算机的内存小,模拟需要的时间也短,并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。所以随着计算机的发展,大涡模拟越来越收到国内外研究者的关注,并且认为大涡模拟将是最有前景的湍流模型。
使用大涡模拟的时候,要注意以下4个问题[3]:
1) 用于N-S方程进行过滤的函数。
2) 彻底经过经验封闭的模型(包括传统亚格子模型和其它封闭方法)。
3) 足够多的边界条件和初始条件。
4) 使控制方程在空间和时间上离散的合适数值方法。
不可压缩常粘性系数的紊流运动控制方程为N-S方程[4]:
?ui?uiuj1?P?(γ?2Sij)
?t+?x=-+
jρ?xi?xj
1-1)
(
式中:S 拉伸率张量,表达式为:Sij=(?ui/?xj+?uj/?xi)/2;γ分子粘性系数;ρ流体密度。根据LES基本思想,必须采用一种平均方法以区分可求解的大尺度涡和待模化的小尺度涡,即将方程(1-1)中变量u变成大尺度可求解变量。与雷诺时间平均不同的是LES采用空间平均方法。设将变量ui分解为方程(1-1)中i和
'次网格变量(模化变量)ui',即ui=i+ui,i可以采用leonard提出的算式表示
为:
(1-2)
单而被广泛使用
i(x)=?G(x-x')ui(x')dx'-∞+∞式中G(x-x')称为过滤函数,显然G(x)满足 ?+∞-∞G(x)dx=1常用的过滤函数有帽型函数(top—hat)、高斯函数等。帽型函数因为形式简??1/?x-x'≤?/2') = G (x - x ? x-x'>?/2??0 (1-3)
这里?为网格平均尺度,三维情况下,?=(?1?2?3)1/3,?1,?2,?3分别为x1,x2,x3方向的网格尺度。当?→0时,LES即转变为DNS。
将过滤函数作用与N-S方程的各项,得到过滤后的紊流控制方程组:
?i?(uiuj)1?P?(γ?2Sij)+=-+?t?xjρ?xi?xj (1-4)
由于无法同时求解出变量i和uiuj,所以将uiuj分解成uiuj=ui?uj+τij,τij即称为次网格剪切应力张量(亦称为亚格子应力)。
由此动量方程又可写成:
?(2Sij)?τij?i?(ui?uj)1?P+=-+γ-?t?xjρ?xi?xj?xj(1-5)
式中τij代表了小窝对大涡的影响。
上述叙述的过滤器属于非均匀过滤器,实际应用中还有均匀过滤器,例如盒式过滤器、高斯过滤器、谱空间低通过滤器等等。
为了能够对τij进行模化,学者们提出了亚格子模型。
2 亚格子模型
大涡模拟的基本思想就是对可解尺度湍流(或者讲大尺度湍流)直接数值求解,但对不可解尺度湍流对可解湍流的影响由亚格子模型进行模化。亚格子模型一般有以下集中类型[5]:唯象论的亚格子涡粘和涡扩散模型及其改进模型、结构性亚格子模式、理性亚格子模式和其它亚格子模式。目前,在大涡模拟中经常广泛采用的亚格子模型有标准的Smagorinsky模型、动态涡粘性模型、动态混合模型、尺度相似模型、梯度模型、选择函数模型等[6]。其中Smagorinsky模型被广泛应用。
2.1 亚格子涡粘和涡扩散模型[1]
不可压缩湍流的亚格子涡粘和涡扩散模型采用分子粘性和分子热扩散形式,即
1τij=2νtSij+δijτkk(2-1) 3
Ti=κt? (2-2) ?xi
以上公式中νt和κt分别称为亚格子涡粘系数和亚格子涡扩散系数;Sij=(1/2)?[(?ui/?xj)+(?uj/?xi)]是可接尺度的变形率张量。式(2-1)第2项是为了满足不可压缩的连续方程,当Sij收缩是(Sij=0)等式两边可以相等。涡粘和涡扩散模型的最大优点是计算方便,只要增加一个涡粘系数和涡扩散系数的模块,就可以利用N-S方程的数值计算方法和程序。此外,整体上亚格子湍动能耗散或亚格子标量能量耗散总是正值,因此涡粘和涡扩散模型的计算稳定性和鲁棒性也较好。
将亚格子应力的涡粘模型公式(2-1)代入到(1-5)式中,变形得
?ui?ui?ui?uj?pτkk?+uj=-(+)+[(ν+νt)(+)] (2-3) ?t?xi?xiρ3?xi?xi?xi
?ui=0 (2-4) ?xi
2.2 Smagorinsky模型
Smagorinsky模型是由Smagorinsky于1963年提出来的,该模型是第一个亚
格子模型。文献[7]中是这样介绍Smagorinsky模型的:
广泛用于大涡模拟中的涡粘模型认为亚格子应力的表达式如下:
1 τij-δijτkk=-2νTSij3 1963年Smagorinsky定义了涡粘系数:
(2-6) 式中Sij=(1/2)?[(?ui/?xj)+(?uj/?xi)]是可接尺度的变形率张量,νT是涡粘系数。νT=(CS?)2S (2-7)
式中S=(2SijSij)1/2是变形率张量的大小,?是过滤尺度,CS无量纲参数,称为Smagorinsky系数。
需要指出的是(2-7)式是根据各向同性湍流的能量输运推到的公式,在实际应用中会发现Smagorinsky模型的一个致命的缺陷就是耗散过大。故文献[8]描述的动态Smagorinsky模型可以弥补一些Smagorinsky模型的缺点。
动态Smagorinsky模型是基于为了减小Smagorinsky模型过大耗散的Germano等式而得来的,1991年Lilly进行了改进。文献[1]对动态Smagorinsky模型进行了详细的阐述。
为了表示简便,以?1过滤的可解速度用上标“—”表示,以?2过滤的可解速度用上标“~”表示,一次过滤的Smagorinsky模型的亚格子偏应力公式为
(τ)ijf1-(τkk)fδij=2(τij)fSij=2CD?2
1SSij3(2-8)
式中CD是取代Smagorinsky系数的动态系数,?1是一次过滤的过滤长度。
假设过滤尺度?1、?2都是在惯性子区范围内,则以?2尺度过滤的亚格子应力的系数应当和?1果过滤的系数相等,即
τ
()ijg1-(τkk)gδij=2(τij)gSij=2CD?2
2SSij3(2-9)
这里需要Garmano等式,故附上式(2-10)。
L
由于(τij)fgij=(τij)fg-[(τij)f]g(2-10) =(τij)g,将式(2-8)和(2-9)带入(2-10),有
可令 ~~1Lij-Lkkδij=2CD[?2
2SSij-?2
1Sij]3
(2-11) 1Lij-Lkkδij=CDMij3 (2-12)
由(2-12)不能直接结算系数CD,因为它是超定方程。有几种方法解决超定问题。
1) 变形率张量收缩法
将式(2-7)两边同乘以可解尺度的变形率张量,关于CD的方程就确定了。实际计算表明,这种方法计算的模式系数很不规则,计算的稳定性较差。
2) 最小误差法
令式(2-12)两边的平方差最小,即
?1(Lij-Lijδij-CDMij)2=0(2-13) ?CD3
由上式可得
CD=MijLij
MijMij (2-14)
最小误差法较之变形率张量收缩法有很大的该进,但是还是有缺陷,故用下式改进。
CD=MijLij
MijMij (2-15)
以上介绍的物理模型都是在物理空间的大涡模拟,文献[1]还介绍了谱空间的涡粘模式,这里就不多做介绍。
3 定解条件
虽然有了亚格子模型,大涡模拟方程已经封闭了,但是还需要合适、并且足够多的定解条件才可以完全求解出结果。定解条件包括初始条件和边界条件。初始条件要考虑湍流是均匀的还是切变的。边界条件包括:固体壁面、周期条件、渐近条件、进口条件、出口条件和可压缩湍流的附加边界条件等等。在文献[1]和相关的论著中有更详细的讲解这里就不介绍了。
至于使控制方程在空间和时间上离散的合适数值方法并不属于本论文的研究内容。在文献[9]中,D. Fauconnier等人介绍了一种动态最优化的有限差分格式,该动态格式是由泰勒级数展开式推导而来的,经过论证这种方法可以减小离散误
差,并且得到的结果和理论上的预测值很接近。
一、 湍流数值模拟方法简介
目前的湍流数值模拟可以分为直接数值模拟方法(DNS)和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指直接求解瞬时的湍流控制方程(N-S方程),无需对湍流流动作任何简化或近似;而非直接数值模拟方法是不直接计算湍流的脉动特性,而是设法对湍流作某种程度的近似和简化处理,依赖所采用的近似和简化方法不同,非直接数值模拟可以分为大涡模拟和Reynolds平均法。
直接数值模拟(DNS)理论上可以得到相对准确的计算结果,但是由于湍流是多尺度的不规则流动,要获得所有尺度的流动信息,需要很高的空间和时间分辨率,也就是需要巨大的计算机内存和耗时很大的计算量,目前还无法应用于真正意义上的工程计算。
工程上广泛应用的是Reynolds平均法,这种方法的核心是不直接求解瞬时的N-S方程,而是想办法求解时均化的Reynolds方程。这种方法的优点是不计算各种尺度的湍流脉动,只计算平均运动,因此它的空间分辨率低,计算工作量小。缺点是模型没有普适性。
范文五:fluent湍流模型总结
一般来说,DES和LES是最为精细的湍流模型,但是它们需要的网格数量大,计算量和内存需求都比较大,计算时间长,目前工程应用较少。
S-A模型适用于翼型计算、壁面边界层流动,不适合射流等自由剪切流问题。 标准K-Epsilon模型有较高的稳定性、经济性和计算精度,应用广泛,适用于高雷诺数湍流,不适合旋流等各相异性等较强的流动。
RNG K-Epsilon模型可以计算低雷诺数湍流,其考虑到旋转效应,对强旋流计算精度有所提供。
Realizable K-Epsilon模型较前两种模型的有点是可以保持雷诺应力与真实湍流一致,可以更加精确的模拟平面和圆形射流的扩散速度,同时在旋流计算、带方向压强梯度的边界层计算和分离流计算等问题中,计算结果更符合真实情况,同时在分离流计算和带二次流的复杂流动计算中也表现出色。但是此模型在同时存在旋转和静止区的计算中,比如多重参考系、旋转滑移网格计算中,会产生非物理湍流粘性。因此需要特别注意。专用于射流计算的Realizable k-ε模型。 标准K-W模型包含了低雷诺数影响、可压缩性影响和剪切流扩散,适用于尾迹流动、混合层、射流、以及受壁面限制的流动附着边界层湍流和自由剪切流计算。 SST K-W模型综合了K-W模型在近壁区计算的优点和K-Epsilon模型在远场计算的优点,同时增加了横向耗散导数项,在湍流粘度定义中考虑了湍流剪切应力的输运过程,适用更广,可以用于带逆压梯度的流动计算、翼型计算、跨声速带激波计算等。
雷诺应力模型没有采用涡粘性各向同性假设,在理论上比前面的湍流模型要精确的多,直接求解雷诺应力分量(二维5个,三维7个)输运方程,适用于强旋流动,如龙卷风、旋流燃烧室计算等。
!!!!!
所以在选择湍流模型时要注意各个模型是高雷诺数模型还是低雷诺数模型,前者采用壁面函数时,应该避免使用太好(对壁面函数方法)或太粗劣(对增强函数处理方法)的网格。而对于低雷诺数模型,壁面应该有好的网格。另外fluent 对壁面函数除了有增强处理以外,还有非平衡处理。(FLUENT首选标准壁面方程组,它能很好的计算出以壁面为边界的流动情况。但是,当流体流动分离太大。以致于远远偏离了理想条件时,就不太适用了,在其他情况下,剪切应力及平衡假设大大限制了壁面方程的通用性。相应的,当近壁面流动处于高压之下时,当流动处于不平衡状态时,这些假设就不在成立了。不平衡方程组提供了处理以上情况的方法)非平衡壁面函数被推荐使用在包含脱流、回流和冲击的复杂流动当中。 但是考虑到壁面函数的局限性(对近壁面的影响无效),壁面函数方法的局限性(y+应用于壁面函数)
标准的壁面函数能够为大多数高雷诺数的边界限制流提供合理、精确的预测。而非平衡
壁面函数主要是在有大的压力梯度或是不平衡程度很高时被使用。然而,当流动条件与基本的壁面函数的理想条件相差太大时,壁面函数方法将不可靠。例如:
? 雷诺数较低或有近壁面影响(例如:通过一条小裂缝或者粘性很大得流动,低速率流) ? 沿壁面有大量的耗散
? 巨大的压力梯度导致边界层分离
? 受到强大的强迫力(例如:旋转盘附近的流动,浮力流)
? 在靠近壁面区域流动具有高的三维特性(例如:Ekman螺旋流动,强烈扭曲的三维边
界层)
你必须在使用近壁面模型方法的同时,在靠近壁面的区域内要有足够的网格的分辨率。FLUENT为这些情况提供了增强的壁面处理。这个方法在k??模型和雷诺应力模型中得以使用。
增强的壁面函数其实是对粘性底层采用了增强壁面处理使得等同于双层模型,但因为采用了壁面函数,使得不需要过于精细的网格。
y+>30(网格不太精细)时,采用双层模型可以提高计算精度;但Y+<>
Laminar sublayer (y+ <>
Buffer region (5 < y+=""><>
Turbulent region (y+ > 30)
增强的壁面函数(Enhanced Wall Treatment)对于y plus大于30的有很好的作用,对于5到30的也能求解,但对于laminar 底层,对求解非常敏感,特别是在高雷诺数的情况下。所以对于高雷诺数的湍流流动,可以先选择增强的壁面函数设置,然后计算完以后,通过计算的y plus对网格进行修改。