范文一:变化率与导数
第8课时 变化率与导数
42
1. (2010江西卷)若f (x ) =ax +bx +c 满足f '(1)=2,则f '(-1) =
A .-4 B .-2 C .2 D .4
2. (2010全国Ⅰ新卷) 曲线y =
x
在点(-1,-1)处的切线方程为 x +2
(A )y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-2 3. (2010全国Ⅰ新)曲线y =x -2x +1在点(1,0)处的切线方程为 (A )y =x -1 (B )y =-x +1 (C )y =2x -2 (D )y =-2x +2
4. (2011湖南).曲线y =
2
sin x 1π
-在点M (,0) 处的切线的斜率为( )
sin x +cos x 24
A .-
11
B . C
. D
22
-
1
2在点
1-??2
a , a ?处的切线与两个坐标围成的三角形的面??
5. (2010全国Ⅱ卷)若曲线y =x 积为18,则a =
(A )64 (B )32 (C )16 (D )8
6. (2010全国Ⅱ卷)若曲线y =x +ax +b 在点(0,b ) 处的切线方程是x -y +1=0,则
(A )a =1, b =1 (B) a =-1, b =1 (C) a =1, b =-1 (D) a =-1, b =-1
7. 【2012高考重庆文8】设函数f (x ) 在R 上可导,其导函数f '(x ) ,且函数f (x ) 在x =-2处取得极小值,则函数y =xf '(x ) 的图象可能是
2
2
+lnx 则 ( ) x
11
A .x=为f(x)的极大值点 B .x=为f(x)的极小值点
22
8. 【2012高考陕西文9】设函数f (x )=
C .x=2为 f(x)的极大值点 D .x=2为 f(x)的极小值点
9. 【2012高考湖南文9】设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f '(x ) 是f(x)的导函数,当x ∈[0, π]时,00;②f (0)f (1)0;④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 【答案】C .
考点:导数。 难度:难。
分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来做。
解答:f (x ) =x -6x +9x -abc , a
23
2
=3(x 2-4x +3) =3(x -1)(x -3)
导数和函数图像如下:
(x )
由图f (1) =1-6+9-abc =4-abc >0,
f (3) =27-54+27-abc =-abc <>
且f (0) =-abc =f (3) <0, 所以f="" (0)="" f="" (1)="">0, f (0) f (3) <>
第8课时 变化率与导数答案 1. 【答案】B
【解析】考查函数的奇偶性,求导后导函数为奇函数,所以选择B
2. 【答案】A 解析:y '=
2
,所以k =y '2
(x +2)
x =-1
=2,故切线方程为y =2x +1.
x x +2-22
,由反比例函数==1-
x +2x +2x +2
另解:将点(-1, -1) 代入可排除B 、D ,而y =
2
y =-的图像,再根据图像平移得在点(-1, -1) 处的切线斜率为正,排除C ,从而得A .
x
3. 【答案】A
2
解析:y '=3x -2,所以k =y '
x =1
=1,所以选A .
4. 答案:B 解析:y ' =
cos x (sinx +cos x ) -sin x (cosx -sin x ) 1
=,所以
(sinx +cos x ) 2(sinx +cos x ) 2
y '|
x =
π4
=(sin
1
+cos ) 2
44
=
1
。
2
5. 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的计算能力..
1-1-31-31-3
222
【解析】y ' =-x , ∴k =-a ,切线方程是y -a =-a 2(x -a ) ,令x =0,
2221
-3-113
y =a 2,令y =0,x =3a ,∴三角形的面积是s =?3a ?a 2=18,解得a =64.
222
故选A.
6. 【解析】A :本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵
y '=2x +a
x =0
=a
,∴ a =1,(0,b ) 在切线x -y +1=0,∴ b =1
7. 【答案】C
【解析】:由函数f (x ) 在x =-2处取得极小值可知x <-2,f '(x="" )="">-2,f><0,则xf '(x="" )="">0;
x >-2,f '(x ) >0则-2
【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题.
8. 【答案】D.
21x -2
+=2,令f ' (x )=0,则x =2. 2x x x
21x -2
当x <2时,f '="" (x="" )="">2时,f><>
x x x 21x -2
当x >2时,f ' (x )=-2+=2>0.
x x x
【解析】f ' (x )=-
即当x <2时,f (x="" )是单调递减的;当x="">2时,f (x )是单调递增的. 所以x =2是f (x )的极小值点.故选D . 9. 【答案】B
【解析】由当x ∈(0,π) 且x ≠
ππ
时 ,(x -) f '(x ) >0,知
22
?π??π?
x ∈?0, ?时, f '(x ) <0, f="" (x="" )="" 为减函数;x="" ∈="" ,π?时,="" f="" '(x="" )="">0, f (x ) 为增函数
?2??2?
又x ∈[0, π]时,0<f (x ) <1,在R 上的函数f (x ) 是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出y =sin x 和y =f (x ) 草图像如下,由图知y=f(x)-sinx在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.
10. 【答案】C .
考点:导数。 难度:难。
分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来做。
解答:f (x ) =x -6x +9x -abc , a
23
2
=3(x 2-4x +3) =3(x -1)(x -3)
(x )
由图f (1) =1-6+9-abc =4-abc >0,
f (3) =27-54+27-abc =-abc <>
且f (0) =-abc =f (3) <0, 所以f="" (0)="" f="" (1)="">0, f (0) f (3) <>
范文二:变化率与导数
导数的概念及运算
【知识要点】
1. 平均变化率:
f (x 2) -f (x 1) ?f
=
?x x 2-x 1
?x →0
2. 导数的概念:一般地,函数y =f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率是lim =lim
f (x +?x ) -f (x )
?x
?f
,称它为y =f (x ) 在x =x 0处的导数,记为f '(x 0) 或y '
?x →0?x
f (x +?x ) -f (x )
f '(x 0)=lim
?x →0?x
x =x 0
,即:
3. 导数的几何意义:函数y =f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) ,就是曲线y =f (x ) 在点
P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率,切线方程为y -f (x 0) =f '(x 0)(x -x 0)
4. 导函数:如果f (x ) 在开区间(a , b ) 内任一点x 都是可导的,则称f (x ) 在区间(a , b ) 内可导,这时,对区间(a , b ) 内的每一个确定的值x ,都对应一个确定的导数f '(x ) ,于是在区间(a , b ) 内,f '(x ) 构成一个新的函数,把这个函数称之为函数f (x ) 的导函数,简称为导数. 5. 八个初等导数公式
n n -1
(1)(C ) '=0(2)(x ) '=nx (3)(sinx ) '=cos x (4)(cosx ) '=-sin x
(5)(e x ) '=e x (6)(a x ) '=a x ln a (7)(lnx ) '=
11(8)(loga x ) '= x x ln a
【典型例题】
1. 利用导数定义求极限 导数的定义: f '(x 0) =lim
?x →0
f (x +?x ) -f (x ) f (x ) -f (x 0) , 其演变形式为f '(x 0) =lim
?x →0?x x -x 0
例1已知定义在R 上的函数f (x ) 在x =0处的导数f '(0)=1,求m i l
?x →0
f 2(x ) -f (x )
x -x 0
的值.
例2
极限lim 的值为( ).
?x →0 B. 2x C. 1
02x
02. 函数y =f (x ) 的平均变化率为
?y ??x
,变化率为y
?lim x →0?x
?2t (0≤t ≤2) 例3一物体在直线上运动,其运动方程为S =?
??1?2
t 2+2(2
(1)求此物体从t =1到t =3所经过的路程S 和它在这段时间内的平均速度v ;(2)求此物体在t =1时的瞬时速度v 1、在t =3时的瞬时速度v 3; (3)求此物体在t =2时的瞬时速度v 2.
3. 函数y =f (x ) 在点x 0处的斜率为函数y =f (x ) 在x 0处的导数
例4已知曲线y =2ax 2+
1过点P ,求该曲线在点P 处的切线方程.
4. 导数的应用
例5向高为8m 、底面边长为8m 的倒放的正四棱锥形容器内注水,其速度为每分钟4立方米,求当容器内水深为5米时,水面上升的速度.
【课堂练习】
1. 若f '(x 0) =3,则lim
h →0
f (x 0+h ) -f (x 0-3h )
=( ).
h
A.3 B.6 C.9 D.12
2. 函数f (x ) 的定义域为开区间(a , b ) ,导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图像如图所示,则函数
f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极小值点( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4 3. 一物体的运动方程是S =4. 设曲线y =
1
,在在t =3时它的瞬时速度是,加速度是t
x +1
在点(3,2) 处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a =( ). x -1
11
A. 2 B. C. - D. -2
22
5. 已知函数f (x )(0≤x ≤1) 的图像是点(0,0)和点(1,0)间的一段圆弧(如图所示),若
0
A.
f (x 1) f (x 2) f (x 1) f (x 2)
B. <>
x 1x 2x 1x 2f (x 1) f (x 2)
D.以上说法都不对. >
x 1x 2
的速度从路灯在地面上射影点C
C.
6. 路灯距离地面为8m ,一个身高为1.6m 的人以84沿某直线离开路灯,那么在此人离开C 点3min 时,人影长度的变化率为( ). A.
7777 B. C. D. 20222324
2
7. 已知抛物线y =ax +bx +c 过点(1,1),且在点(2,-1) 处与直线y =x -3相切,求此抛
物线的解析式.
8. 设函数f (x ) =ax -
b
,曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0. x
(1)求f (x ) 的解析式;
(2)证明:曲线y =f (x ) 上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
【课后作业】
1. 在平均变化率的定义中,自变量的增量?x 满足( ).
A. ?x >0 B.?x <0 c.?x="" ≠0="" d.?x="">0>
2. 下列各式正确的是( ). A. y 'C. y '
x =x 0
x =x 0
f (x 0-?x ) -f (x 0) f (x 0-?x ) -f (x 0)
B. f '(x 0) =lim
?x →0?x →0?x ?x
f (x 0+?x ) +f (x 0) f (x 0) -f (x 0-?x ) =lim D. f '(x 0) =lim ?x →0?x →0?x ?x =lim
3. 过原点的直线与曲线y =x 2+1相切,若切点在第二象限内,则该直线的方程是( ). A. y =-2x B. y =2x
C. y =
x D. y = 2
4. 已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x +8x -8,则曲线y =f (x ) 在点
(1,f (1))处的切线方程是( ).
A. 2x -y -1=0 B. x -y =0 C. 3x -y -2=0 D. 2x +y -3=0
2
5. 设函数f (x ) =g (x ) +x ,曲线y =g (x ) 在点(1,g (1))处的切线方程为2x -y +1=0,
则曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处切线的斜率为( ). A. 4 B. -
2
11 C. 2 D. - 42
6. 若曲线f (x ) =ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是. 7. 若函数f (x ) 在x =a 处的导数为A ,即f '(a ) =A . 求:(1)lim
?x →0
f (a +?x ) -f (a -?x ) f (a +4t ) -f (a +5t )
(2)lim
t →0?x t
范文三:变化率与导数
1.1. 变化率与导数
1.1.2导数的概念及其几何意义
聊城二中 魏清泉 学习目标:理解导数的概念并会运用概念求导数。 学习重点:导数的概念以及求导数
学习难点:导数的概念
教学过程:
一、导入新课:
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义
不同,但从函数角度来看,却是相同的,都是研究函数的增量与自变量的增量
的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课:
1.设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时,则y,f(x)x,xx,x,x00函数相应地有增量,如果时,与的Y,f(x),y,f(x,,x),f(x),y,x,0,x00
,y,y比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这,x,x
/y个极限值叫做函数在处的导数,记作,即 y,f(x)x,x,0xx0
fx,,x,fx()()/00fx, ()lim0,x,0,x
注:1.函数应在点的附近有定义,否则导数不存在。 x0
2.在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,而可能,y,x
为0。
,y3.是函数对自变量在范围内的平均变化率,它的几何意义y,f(x)x,x,x
是过曲线y,f(x)上点(x,f(x))及点(x,,x,f(x,,x))的割线斜率。 0000
fx,,x,fx()()/00fx,4.导数是函数y,f(x)在点x的处瞬时变化()lim00,x,0,x
1
率,它反映的函数在点处变化的快慢程度,它的几何意义是曲y,f(x)x0
线上点()处的切线的斜率。因此,如果在点y,f(x)x,f(x)y,f(x)x000
可导,则曲线在点()处的切线方程为y,f(x)x,f(x)00
/。 y,f(x),f(x)(x,x)000
5.导数是一个局部概念,它只与函数在及其附近的函数值有关,y,f(x)x0
与无关。 ,x
6.在定义式中,设,则,当趋近于0时,趋近于,x,x,,xx,x,x,xx,x000
因此,导数的定义式可写成
fx,,x,fxfx,fx()()()()/000。 fx,,()limlim0,x,ox,x0,xx,x0
fx,,x,fx()()007.若极限不存在,则称函数在点处不可导。 y,f(x)xlim0,x,0,x
8.若在可导,则曲线在点()有切线存在。反之不然,f(x)xy,f(x)x,f(x)000
若曲线在点()有切线,函数在不一定可导,并y,f(x)x,f(x)y,f(x)x000且,若函数在不可导,曲线在点()也可能有切线。 y,f(x)xx,f(x)000
一般地,,其中为常数。 lim(a,b,x),aa,b,x,0
特别地,。 lima,a,x,0
如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个y,f(x)(a,b)
//,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数。x,(a,b)f(x)f(x)
//称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,也可记作,y,f(x)f(x)y即
,yfx,,x,fx()()//,,, f(x)ylimlim,x,0,x,0,x,x
/y函数y,f(x)在x处的导数就是函数y,f(x)在开区间,0xx0
///y(x,(a,b))上导数在x处的函数值,即,。所以函数(a,b)f(x)f(x),00xx0
/y,f(x)在x处的导数也记作。 f(x)00
2
注:1.如果函数在开区间内每一点都有导数,则称函数在y,f(x)y,f(x)(a,b)
开区间内可导。 (a,b)
2.导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导
函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值。它们之间的关系是函
/数在点处的导数就是导函数在点的函数值。 y,f(x)xxf(x)00
/3.求导函数时,只需将求导数式中的换成就可,即,xf(x)x0
fx,,x,fx()() lim,x,0,x
4.由导数的定义可知,求函数的导数的一般方法是: y,f(x)
(1).求函数的改变量。 ,y,f(x,,x),f(x)
,yf(x,,x),f(x),(2).求平均变化率。 ,x,x
,y/(3).取极限,得导数,。 ylim,x,0,x
5(集合意义:一般地,已知函数的图象是曲线C,P(),Qy,f(x)x,y00()是曲线C上的两点,当点Q沿曲线逐渐向点P接近时,割x,,x,y,,y00
线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P,即趋向于0时,如果,x割线PQ无限趋近于一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.
,y此时,割线PQ的斜率k,无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说,当,xPQ,x
,yk,趋向于0时,割线PQ的斜率的极限为k.即函数在处的导数y,f(x)xPQ0,x
就是曲线C在P()处的切线的斜率。 x,y00
三 例题讲析
2例1.求在,,3处的导数。 y,2x,1x
2例2.已知函数 y,x,x
/(1)求。 y
2(2)求函数在,2处的导数。 y,x,xx
3
2例3 判断曲线在点P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程. y,2x
四 小结:
理解导数的概念并会运用概念求导数。
五 练习与作业:
1.求下列函数的导数:
(1); (2) y,3x,4y,1,2x
23 (3) (3) y,3x,12xy,5,x
22.求函数在,1,0,1处导数。 y,x,1
3.求下列函数在指定点处的导数:
122(1); (2); y,x,x,2y,x,x,0003
22(3) (4). y,(x,2),x,1y,x,x,x,,100
4.求下列函数的导数:
2(1) (2); y,4x,1;y,10,x
32(3) (4)。 y,2x,3x;y,2x,7
25.求函数在,2,0,2处的导数。 y,x,2x
112y,x6. 判断曲线在(1,)处是否有切线,如果有,求出切线的方程. 22
4
范文四:变化率与导数
第一学时 变化率
学习目标:1、通过对气球膨胀率的分析,从函数的角度理解气球平均膨胀率的含义;
2、通过对高台跳水的分析,从函数的角度理解平均速度的含义;
3、通过大量实例的分析,理解平均变化率的含义;
学习重点:平均变化率.
学习难点:平均变化率.
学法指导:导数具有丰富的实际背景和广泛应用,本节课我们将通过气球膨胀率、跳水问
题等大量实例的分析从函数的角度理解平均变化率的含义为后面导数概念的
学习打下良好的基础
复习回顾:
问题1:请大家回忆球的体积公式,并完成下面的问题
(1)已知球的的半径R =2,求该球的体积V ;
(2)已知球的体积V =36π,求该球的半径R 。
由上面的练习我们可以得到这样的结论:
从函数的角度来看, 球的体积V 可以看成是关于球的半径R 的函数V =f (R ) =
球的半径R 可以看成是关于球的体积V 的函数R =f (V ) =
自主学习:
问题2:请同学们教材72页有关“气球膨胀率”的内容,完成下列问题.
1、空气容量V 从0增加到1L 时,气球的平均膨胀率为
空气容量V 从1L 增加到2L 时,气球的平均膨胀率为 = ;
空气容量V 从2L 增加到2. 5L 时,气球的平均膨胀率为 = ;
空气容量V 从2. 5L 增加到4L 时,气球的平均膨胀率为 = ;
这说明随着气球半径的增加,气球的平均膨胀率再 ;
2、思考:当空气容量V 从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为多少?
3、如果知道气球的平均膨胀率大小的变化,那么你是否可以判断气球体积的变化,气球半径的变化?
问题3:阅读教材73页有关“高台跳水”的内容,完成以下问题
1、请同学们计算运动员在0. 2≤t ≤0. 3这段时间里的平均速度
2、请同学们计算运动员在0≤t ≤
是静止的吗?
3、通过运算我们可以看到平均速度有正,有负,也有零,正负代表其运动方向,每个时
间段内的平均速度的绝对值有大小关系,因此平均速度可以描述运动员在某个时间段内运动的快慢。
4、你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?如果有,用什么描述运动员的运动状态会更好?
问题4:阅读教材第73页有关“平均变化率”的内容,注意以下几点:
1、将式子65这段时间里的平均速度,思考运动员在这段时间里49f (x 2) -f (x 1) 称为函数y =f (x ) 从x 1到x 2平均变化率 x 2-x 1
?y 的形式,其中?y = ,?x = ?x 2、平均变化率可表示为
3、x 2可以表示成x 1+?x
4、?x 表示一个整体符号
5、完成教材74页“思考”栏目
第一学时 变化率
1、某物体的运动方程是s =10t +5t (s 的单位:m ,t 的单位为:s ),求物体在20到2
20+?t 时间段的平均速度
2、已知曲线y =
3、已知函数y =f (x ) =x 上两点A (4, 2), B (4+?x , 2+?y ) ,求曲线的割线AB 的斜率 1求函数f (x ) 从x 1=1到x 2=1+?x 的平均变化率。 x
4、教材第79页习题3.1 A组 1.
第二学时 导数的概念
学习目标:1、理解运动物体在某时刻的瞬时速度;
2、理解函数在某处的导数与瞬时变化率的关系;
3、掌握函数在某处的导数的概念,表示方式;
4、在解决问题的过程中,体会逼近思想.
学习重点:函数在某处的导数.
学习难点:函数在某处的导数.
学法指导:在运动物体某时段内的平均速度与某时刻的瞬时速度的学习过程中,明确两者
之间的关系,通过探究用逼近的思想理解函数在某处的导数的概念.
复习回顾:
问题1: 上节课中我们学习了平均变化率的概念,并体会了其物理意义和几何意义,请
同学们试着写一写,并完成下面的题目。
已知一运动物体的运动方程为s =4t -0. 3t (s 的单位:m ,t 的单位为:s ),求物体在2到2+?t 时间段的平均速度
自主学习:
问题3:我们可以根据平均变化率的物理意义计算某运动物体在某时间段内平均速度,如
果让你计算该物体在某时刻的速度时,将如何办?请同学们阅读教材74页,完成以下问题
1、你对瞬时速度的理解是什么?它与平均速度的区别是什么?
2、观察表格,完成75页的“观察栏目”
3、从物理的角度看,瞬时速度与平均速度有怎样的关系?
4、式子lim 2h (2+?t ) -h (2) =-13. 1表示什么意思?用自己的话把“当t =2,?t 趋近?x →0?t
于0时,平均速度v 趋近于确定值-13. 1”翻译一下。
问题3:请同学们完成教材75页“探究”栏目
问题4:请同学们认真阅读教材75页,完成以下几个问题
1、函数的瞬时变化率一定要指出在某处的瞬时变化率即在x =x 0处的瞬时变化率
2、函数f (x ) 在x =x 0处得瞬时变化率怎样书写?与函数f (x ) 在x =x 0处的导数是什
么关系?
3、函数f (x ) 在x =x 0处的导数如何表示?如何计算?
4、运动物体的位移关于时间的导数是气球半径关于体积的导数是 运动物体的速度关于时间的导数是。
问题5:请同学们认真阅读教材上的例1,体会一下几点
1、求瞬时变化率先写出其平均变化率,再利用逼近思想求瞬时变化率,即让?x 趋近于0
2、瞬时变化率从函数的角度就是求函数在某处的导数,请同学们从函数的角度解释一下
本题,并表示出来
3、我们计算出来的结果正负代表上升或下降,结果的绝对值代表大小
4、请同学们完成教材76页练习
当堂练习:
1、已知一运动物体的运动方程为s =4t -0. 3t (s 的单位:m ,t 的单位为:s ),
求物体在t =2时的瞬时速度
22、已知函数y =f (x ) =x ,求函数f (x ) 在x =1处的导数。 2
第二学时 导数的概念
1. 在导数的定义中,自变量x 的增量?x ( )
A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .不等于0
?y 为( ) ?x
111+2 B .?x --2 C .?x +2 D .2+?x - A .?x + ?x ?x ?x
?s 3. 一直线运动的物体,从时间t 到t +?t 时,物体的位移为?s ,那么lim 为( ) ?t →0?t
A .从时间t 到t +?t 时,物体的平均速度 B .时间t 时物体的瞬时速度
C .当时间为?t 时该物体的速度 D .从时间t 到t +?t 时,位移的平均变化率 2.在曲线y =x 2+1的图像上取一点(1, 2) 及邻近一点(1+?x , 2+?y ) ,则
4. 已知一物体的运动方程是S =1-t +t (其中位移单位:m ,时间单位:s )那么该物体在3s 时的瞬时速度是( )
A .5s B .6s C .7m s D .8s 2
5. 设函数f (x ) 在x 0处可导,则lim ?x →0f (x 0-?x ) -f (x 0) 等于( ) ?x
A .f ' (x 0) B .-f ' (x 0) C .-f ' (-x 0) D .-f (-x 0)
6、教材79页A 组2
7、教材第80页习题3.1 A组 3,4;B 组2.
第三学时 导数的几何意义
学习目标:1、理解导数的几何意义;
2、会通过求函数在某处的导数计算曲线在某点处得切线的斜率;
3、能够利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程;
4、体会微积分学中重要的思想方法“以直代曲”,并能解决一些实际问题
5、理解掌握导函数的定义。
学习重点:导数的几何意义.
学习难点:以直代曲思想.
学法指导:平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率,而导数的定义是通过逼近思想让?x
趋向于0求瞬时变化率,那从图形上就可以研究曲线在某点处的切线的斜率,
从而探究出导数的几何意义,并求曲线在某点处的切线方程;利用导数的几何
意义几何“以直代曲”思想解释导数的实际意义.
复习回顾:
问题1:同学们,我们学习了有关导数的概念,你还记得吗?试着完成下列题目看看你掌
握的怎么样.
?x →0lim f (x 0+2?x ) -f (x 0) =1,则f ' (x 0) = 3?x
自主学习:
问题2:前面我们通过学习知道了平均变化率?y 的几何意义是曲线的割线的斜率,导数?x
f ' (x 0) 表示函数f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率,反映了函数f (x ) 在x =x 0附近的变化情况,从物理的角度可以理解为运动物体在某时刻的瞬时速度,那么导数f ' (x 0) 的几何意义是什么?请同学们阅读教材77页“观察”栏目,回答以下问题
1、图3.1-2中P 点位置是固定的,而点P 1, P 2, P 3, P 4相对于点P 的位置是怎样的?
2、请写出割线PP 1, PP 2, PP 3, PP 4的斜率k 1, k 2, k 3, k 4,通过对比你会发现什么?
3、你能写出割线PP n 的斜率k n 吗?通过前面我们学习的逼近思想你有什么结论?从图
形上看又有什么结论?
4、请大家阅读教材77页第一段至例2前的内容,写出导数的几何意义.
5、请同学们回忆一下初中平面几何中圆的切线的定义。圆是一种特殊曲线,这种定义
是否适用于一般曲线的切线。请同学们观察下图思考l 1, l 2是否是曲线C f (x ) 的切线?通过判断是否对曲线的切线有了新的认识?
6、如果让你求出曲线C f (x ) 在点M (x 0, f (x 0)) 处的切线方程,你会怎们做?
7、完成练习:已知曲线y x 2,及该曲线上一点A (2, 4)
(1)用导数的定义求在点A 处的切线的斜率 (2)求点A 处的切线方程
问题3:教材77页第4段最后有这么一句话“在点P 附近,曲线f (x ) 就可以用过点P 的
切线PT 近似代替”这是我们数学在微积分中重要的思想方法——以直代曲,请同学们阅读77页小字部分认真体会。阅读教材例2,再次体会“以直代曲”的思想,完成下列问题.
1、为什么曲线h (t ) 在t 0附近曲线比较平坦,几乎没有升降?为什么曲线h (t ) 在t 1附近
曲线下降?为什么曲线h (t ) 在t 2附近曲线下降?
2、例题中将l 1, l 2的倾斜程度进行了对比,是什么原因让教材有这样的结论“直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度”?
3、是什么反映了函数h (t ) 在t 3, t 4附近的单调性?
4、请同学们动手画出曲线h (t ) 在t 3, t 4处的切线。描述曲线h (t ) 在t 3, t 4附近的变化情况。
5、曲线h (t ) 在t 0处的切线可以反映曲线h (t ) 在t 0附近的变化情况,那是如何反应的?你能否总结一下?而曲线h (t ) 在t 0附近的变化情况可以反映函数h (t ) 在t 0附近的增减情况,这又是如何反应的?试着总结一下。
问题5:阅读教材例3,体会以下几点
1、导数的定义与曲线的切线的斜率间的关系:瞬时变化率即为导数其几何意义曲线切
线的斜率
2、做出曲线在某处的切线利用斜率公式求出切线的斜率k =y 2-y 1 x 2-x 1
3、瞬时变化率即f ' (x 0) =k =y 2-y 1 x 2-x 1
4、不管是x 0=0. 8还是取0. 2, 0. 4 方法都一样。
问题6:阅读教材79页最后一段,写出导函数定义及其表示方式。
当堂练习:
1、利用导函数定义求出函数f (x ) =x 的导函数
2、教材第80页习题3.1 A 组 6.
第三学时 导数的几何意义
1、教材第80页习题3.1 A 组 5.
2、教材第80页习题3.1 B 组 2.
3、. 抛物线y =
12x 在点P (2, 1) 处的切线方程 4
51,及该曲线上一点A (2, ) 2x
(1)用导数的定义求在点A 处的切线的斜率 (2)求点A 处的切线方程 4、已知曲线y =x +
范文五:变化率与导数
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
平均变化率的概念.
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
研究的问题即:
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积
43L,,Vdm(单位:)与半径r(单位:)之间的函数关系是 V(r)r3
V33如果将半径VrV,r表示为体积的函数,那么 ()4,
V33rV, ()4,
1V0从增加到时,气球半径增加了 r(1),r(0),0.62(dm)
r(1),r(0)气球的平均为,0.62(dm/L) (1)当1,0
(2)当12V从增加到时,气球半径增加了 r(2),r(1),0.16(dm)
r(2),r(1)气球的平均为,0.16(dm/L) 2,1
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
r(V),r(V)21当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率是多少? 12V,V21在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:)与起跳m
2h 后的时间(单位:)存在函数关系.如何用h(t),,4.9t,6.5t,10st
运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? v
0,t,0.51,t,2和的平均速度 v
h(0.5),h(0)在0,t,0.5v,,4.05(m/s)这段时间里, 0.5,0
h(2),h(1)在1,t,2v,,,8.2(m/s)这段时间里, 2,1ot 65 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 0,t,49
(1)运动员在这段时间内使静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
2如图是函数的图像, h(t),,4.9t,6.5t,10
65h(),h(0)6549结合图形可知,h(),h(0),所以 v,,0(s/m)6549,049
65虽然运动员在0(s/m)这段时间里的平均速度为, 0,t,49
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
f(x),f(x)1.上述问题中的变化率可用式子21表示, x,x21
从到的平均变化率. f(x)xx12
2.若设,x, (这里看作是对于的一个“增量”,x,x,x,f,f(x),f(x)x21211称为函数可用代替,同样) x,,xx,f,,y,f(x),f(x)1212
f(x),f(x)f(x,,x),f(x),y,f2111则平均变化率为,, ,,x,xx,x,x21
观察函数f(x)的图象
f(x),f(x),f21平均变化率,表示什么? ,xx,x21
已知函数2A(,1,,2)的图象上的一点及 f(x),,x,x
,y临近一点,B(,1,,x,,2,,y)则 . ,x
2,2,,y,,(,1,,x),(,1,,x)
2,y,(,1,,x),(,1,,x),2,,3,,x ,x,x
2 求在附近的平均变化率. x,xy,x0
22 ,y,(x,,x),x00
22222()x,,x,xx,2x,x,,x,x,y00000所以,,2x,,x, 0,x,x,x
2 所以在附近的平均变化率为 x,x2x,,xy,x00
21.质点运动规律为(3,3,,t),则在时间中相应的平均速度为 . s,t,3
22.物体按照4s的规律作直线运动,求在附近的平均变化率. s(t),3t,t,4
33.过曲线P(1,1)Q(1,,x,1,,y)上两点和作曲线的割线, y,f(x),x
求出当,x,0.1时割线的斜率. 1.平均变化率的概念.
2.函数在某点处附近的平均变化率.
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数.
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.
导数的概念.
h
65这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 0,t,49计算运动员在
(1)运动员在这段时间内使静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
2如图是函数的图像, h(t),,4.9t,6.5t,10
65结合图形可知,h(),h(0), ot 49 65h(),h(0)49所以 v,,0(s/m)65,049
65虽然运动员在0(s/m)这段时间里的平均速度为, 0,t,49
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为.运动员的平均速度不能反映他在某一
时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,t,2时的瞬时速度是多少?考察t,2附近的情况:
,t0趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势? v
当222当,t0趋近于时,即无论从小于的一边,还是从大于的一边趋近于时,t
平均速度,13.1都趋近于一个确定的值. v
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度.v,t
因此,运动员在t,2,13.1/ms时的瞬时速度是
hth(2)(2),,,为了表述方便,我们用lim13.1,, ,,t0,t
表示“当t,2,t,13.10,趋近于时,平均速度趋近于定值” v
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度
的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
从函数y,f(x)在x,x处的瞬时变化率是: 0
fxxfx()(),,,,f00limlim, 00,,,,xx,,xx
''我们称它为函数yfx,()在出的,记作或 xx,fx()y|00xx,0
fxxfx()(),,,00即,fx()lim, 00,,x,x
(1)导数即为函数y,f(x)在x,x处的瞬时变化率; 0
fxfx()(),0 (2),,,x0,,,xxx,当时,xx,,所以fx()lim,. 000,,x0xx,0
2x,1在处的导数. y,3x
2(2)求函数x,,1在附近的平均变化率,并求出该点处的导数. f(x),,x,x
(1)求函数,y,y先求lim,再求,最后求. ,f,,y,f(x,,x),f(x)00,x,0,x,x(1)法一 定义法(略)
22223313(1)xx,,, 法二 ,yx|limlimlim3(1)6,,,,, x,1xxx,,,111xx,,11
2,y,(,1,,x),(,1,,x),2(2),,3,,x,x,x
2,,,,,,,,,,yxx(1)(1)2,fx(1)limlim(3)3,,,,,,,,,,,xx00,,xx
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,
2如果第xh时,原油的温度(单位:)为,计算第Cfxxxx()715(08),,,,,
2h6h时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
'' 在第2h6h时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和 f(2)f(6)
fxfx(2)(),,,,f0根据导数定义, ,,xx
22(2)7(2)15(27215),,,,,,,,,,xx,,,,x3 ,x
,f所以,,(2)limlim(3)3fx,,,,,,f(6)5, 同理可得: ,,,,xx00,x
在第2h6h,35时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和, 说明在第2h附近,原油温度大约以的速率下降 3/Ch
在第6h附近,原油温度大约以的速率上升. 5/Ch
'一般地,反映了原油温度在时刻x附近的变化情况. fx()00
21.质点运动规律为t,3,求质点在的瞬时速度为. s,t,3
32.求曲线x,1在时的导数. y,f(x),x
3.例2中,计算第3h5h时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.
2.导数的概念.
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
导数的几何意义.
我们知道,导数表示函数
y,f(x)y,f(x)在处的瞬时变化率,反映了函数x,x0
,在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢? x,xfx()00
如图3.1-2,当fx()沿着曲线趋近于点时,Pxfxn(,())(1,2,3,4),Pxfx(,())nnn00割线的变化趋势是什么? PPn
图3.1-2
P,x,0沿着曲线无限接近点即时,割线趋近于确定的位PPPnn我们发现,当点置,这个确定位置的直线PTP称为曲线在点处的
(1)割线PTk的斜率与切线的斜率有什么关系? PPknn
(2)切线PTk的斜率为多少?
fxfx()(),n0容易知道,割线P的斜率是,当点沿着曲线无限接近点PPk,Pnnnxx,n0
fxxfx()(),,,00,PTkkfx,,lim()时,无限趋近于切线的斜率,即 k0n0,,x,x
(1)设切线的倾斜角为, ,
那么当P,x,0PQ时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率
这个概念: ?提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
?切线斜率的本质—函数在处的导数. xx,0
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且
切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
函数y,f(x)在处的导数等于在该点处的切线的斜率, x,x(,())xfx000
fxxfx()(),,,00即,fxk()lim,, 00,,x,x
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
?求出P点的坐标;
fxxfx()(),,,00?求出函数在点,fxk()lim,,处的变化率得到曲线x000,,x,x
在点的切线的斜率; (,())xfx00
?利用点斜式求切线方程.
由函数,y,f(x)在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确x,xx,xfx()000定的数,那么,当f(x)变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数. xx
fxxfx()(),,,记作:,,,,fxy()lim,,fx()y或,即 ,,x0,x
在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
,,fx()fx()xfx()00
,(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之fx()0
比的极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数. f(x)x
'(3)函数,fx()在点处的导数就是导函数fx()在处的函数值,这也xxx,fx()000
是求函数在点处的导数的方法之一. x0
2(1)求曲线在点P(1,2)处的切线方程. y,f(x),x,1
2(2)求函数在点(1,3)处的导数. y,3x
222[(1)1](11)2,,,,,,,,xxx(1),y|limlim2,,, x,1,,,,xx00,,xx
所以,所求切线的斜率为2
因此,所求的切线方程为yx,,,22(1)20xy,,即
22223313(1)xx,,,(2)因为,yx|limlimlim3(1)6,,,,, x,1xxx,,,111xx,,11
所以,所求切线的斜率为6,
因此,所求的切线方程为yx,,,36(1)630xy,,,即
2如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,hxxx()4.96.510,,,,根据图像,请描述、比较曲线ht()在、、附近的变化情况. ttt021我们用曲线ht()在、、处的切线, ttt021
刻画曲线ht()在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当ht()时,曲线在处的切线平行于轴, tt,tlx000
所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降. tt,0
(2)当,ht()时,曲线在处的切线的斜率, tt,tlht()0,1111
所以,在附近曲线下降, tt,1
2即函数在附近单调递减. tt,hxxx()4.96.510,,,,1(3)当,ht()时,曲线在处的切线的斜率, tt,tlht()0,2222
所以,在tt,附近曲线下降, 2
2即函数在tt,附近单调递减. hxxx()4.96.510,,,,2从图3.1-3可以看出,直线l的倾斜程度小于直线l的倾斜程度, 12这说明曲线在t附近比在t附近下降的缓慢. 21
(单位:)随时间(单cft,()mgmL/t
位:min)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度t,0.2,0.4,0.6,0.8
如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度
ft()在此时刻的导数,
从图像上看,它表示曲线ft()在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作t,0.8(0.7,0.91)(1.0,0.48)处的切线,并在切线上去两点,如,,
0.480.91,则它的斜率为,k,,,1.4f(0.8)1.4,,,所以 1.00.7,
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
0.2 0.4 0.6 0.8 t
'药物浓度瞬时变化率 ft()0.4 0 -0.7 -1.4
31.求曲线(1,1)在点处的切线. y,f(x),x
2.求曲线(4,2)在点处的切线. yx,
1.曲线的切线及切线的斜率.
2.导数的几何意义.
0,>0,>2时,f>0,x>0,则xf>0,>