范文一:什么是三角形
什么是三角形?
由三条边首尾相接组成的内角和为180°(一定是180°,这个是个准确的数! )的封闭图形叫做三角形
例题:已知有一△ABC,求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 证明:做BC 的延长线至点D, 过点C 作AB 的平行线至点E ∵AB∥CE(已知)
∴∠ABC=∠ECD(两直线平行, 同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行,内错角相等)
∵∠BCD=180°
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°(等式的性质)
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°(等量代换)
三角形是几何图案的基本图形,几边形都是由三角形组成的。 两直线平行,同旁内角互补。
三角形的内角和
三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
证明:根据三角形的外角和等于内角可以证明,详细参见《优因培:走进三角形》
(1)如何证明三角形的内角和
方法1:将三角形的三个角撕下来拼在一起,求出内角和为180° 方法2:在三角形任意一个顶点处做辅助线,可求出内角和为180° 编辑本段三角形分类
(1)按角度分
a. 锐角三角形:三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐角三角形。 b. 直角三角形(简称Rt 三角形): ⑴直角三角形两个锐角互余;
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
⑶在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. ;
⑷在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°(和⑶相反);
c. 钝角三角形:有一个角大于90度(锐角三角形,钝角三角形统称斜三角形) 。
d. 证明全等时可用HL 方法
编辑本段三角形的性质
1. 三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2. 三角形内角和等于180度
3. 等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一。
4. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5. 三角形的外角(三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角)等于与其不相邻的两个内角之和。 6. 一个三角形最少有2个锐角。
7. 三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段。
8. 等腰三角形中,等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。 9. 勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 有下面关系(a^2+b^2=c^2。)
那么这个三角形就一定是直角三角形。 10. 三角形的外角和是360°。 11. 等底等高的三角形面积相等。
②:三角形的中位线是两边中点的连线,它平行于第三边且等于第三边的一半)
(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.
(8)三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
(10)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
(11)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
(12)三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。 注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部 . ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。(直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点。)
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,的一则应用! 《周长固定三角形面积的最大值》 ——数学建模一例
谈到,周长固定围成面积的问题,许多人会想到正方形和二次函数。好吧,就从矩形开始吧!问题是这样的,说有一根长度固定为L 的绳子,现在要围成一个矩形,问:什么样的矩形面积才是最大的? 首先,我们要建立数学模型!那么什么是矩形呢?它有些什么性质呢?初等几何说:有一个角位直角(90°或者π/2)的平行四边形,叫做矩形。那么什么是平行四边形呢?它有些什么性质呢?几何又说:两组对边分别平行的四边形,叫做平行四边形。其中,平行四边形有一条重要的性质:平行四边形的对边相等。
好了,现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个,四条互相垂直的线段组成的东西。而且我们知道它的面积公式:s=a*b,由平行四边形的性质:平行四边形的对边相等。可知它的周长公式:L=2*(a + b)。 有了这些,就可以建模分析了:首先,我们分析L=2*(a + b) ,经过简单的变形处理(+、-、*、/)有:b=L/2-a 要注意条件,a 是不为0的,即(a >0)。现在,把b=L/2-a 代入s=a*b就有:s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a (a >0);这是关于a 的一个二次函数,并且A=-10),所以s `=-2a+L/2 (a >0)令s `=0有:2a= L/2 所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max:最大值 b=a= L/4 (此时,矩形为正方形)
也可以用不等式:因为 (a - b)^2≥0,又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab,所以有:(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b,去“=”,s 有最大值
因为: a + b= L/2,s=a*b 所以:s≤(L/2)^2/4= L^2/16 。 现在,来谈一谈周长固定三角形面积的问题,说有一根长度固定为L 的绳子,现在要围成一个三角形,问:什么样的三角形面积才是最大的? 好像,一般三角形的性质并不多,一个三边关系定理:三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理:三角形三个内角的和等于180°。还有个推论:三角形两边之差小于第三边。
不妨设绳子L ,围成的三角形一边为x ,则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有:x<><> 三角形与椭圆 [1] 所以椭圆方程为:X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1 函数图像的直观反映 [2] ,三角形的面积为:s=(1/2)*( 2c)*Y ,因为,x=2c是固定的,所以s 取决于Y ,当Y 取max 时,即Y=b时,s 有最大值。 即:S=s(x)max (且此时,该三角形为等要三角形) =c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2 =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<> 现在,我们得到了一个关于s 最大值的函数,或者说以最大值s 为自变量的函数S=s(x),可以说我们的目标是,函数最大值的最大值!Smax=max[s(x)max],剩下的就是微积分的技巧了,对S=s(x)max,求导:S `= -LX/(L^2-2Lx)^1/2 +(L^2-2Lx)^1/2 令S `=0 有:LX/(L^2-2Lx)^1/2 =(L^2-2Lx)^1/2 ,则LX= L^2-2Lx 解之得:x=L/3,且有,x=L/3 此时的三角形是一个正三角形!Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36,此模型的思想有点类似变分法,函数的函数(泛函),但还是有本质的差别。 也可以用海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2,其中p=(a+b+c)/2 。用不等式来解决!或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法,来解解决也行。 不要以为,海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微积分简单一些,前提是你必须知道这个公式,而且能够证明!我就给大家一个证明,这是我在分解因式中,遇到较麻烦的一次! 要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2,首先,要知道余弦定理: 勾股定理的扩展——余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bccosA, 则有:cosA=( b^2+c^2- a^2)/2bc 所以,sinA={1-[( b^2+c^2- a^2)/2bc]^2}^1/2 ={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 又因为,三角形面积公式: s=(1/2)*bcsinA =(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 =(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2 (与角度A 并无直接关系) 又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4) =2a^b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4 =b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4 = b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方) =c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4 = c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4 = c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2 (分解因式) = c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2] = [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] (提公因式) =-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c) =[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b) =(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) ∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2 =[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2 ={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2 在令: p=(a+b+c)/2 就得到海伦公式:s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 有了此公式,在利用不等式,问题就可以解决了。 需要知道的一个不等式:(a+b+c)^3 /27≥abc (a,b ,c 均为正数,当a=b=c时,取“=”) ∵ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27,又∵2p=a+b+c; ∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27 则有:[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2 所以:p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2 即:s≤(3^1/2 /36) p2,当p-a=p-b=p-c,即,a=b=c时,取“=”s有最大值(3^1/2 /36) L^2 (2006全国卷l 理科第11题)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:㎝)的5根细棒围成一个三角形(允许连接,但不许折断),能够得到的三角形的最大面积是?? ( B ) A 8*5^1/2 B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20 分析:首先,这几个整数成等差数列,公差为1,它们的和为20。现在,要把这5个数任意的分成3组,然后围成三角形,最后找出这些三角形中面积最大的一个。 如果,真的去分组,在统计比较,时间上显然不够!这个时候就需要你会建立,数学模型了,并且能够转化数学。把离散组合,转化为连续的数学。 数学家在研究问题时,往往关注一些变中不变的东西,那往往是大规律、大道理,不以人的意志为之转移,带有根本性的。把这5个数任意的分成3组,然后围成三角形。无论怎么变化,有一条是不变的:它们的和 为20;于是要解决的问题就是:当三角形周长固定时:什么样的三角形面积才是最大的? 上面研究过,正三角形的面积最大,并且由 S=s(x)max (且此时,该三角形为等腰三角形) =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<> 的函数图像可知,x 在区间[0,L/3]]为增函数,在(L/3,L/2] 为减函数。所以,当三角形周长固定时:越接近正三角形形状的三角形面积越大!20/3≈6.6667,显然这里的5个数是组合不成6.6667的,只能退而求其次了,我们发现(猜出来的):(2+5)、(3+4)、6的组合是最接近正三角形的,所以它的面积最大。经过简单的计算,就知道结果了:B 6*10^1/2 我们在来做一件事,比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的面积:L^2/16与(3^1/2 /36) L2。为了方便比较,把它们换为小数:0.0625L^2与0.048112522L^2 我们发现四边形(正方形)的面积要大一些!根据这中经验,是否可以数学归纳,提出猜想1:在平面内曲线周长固定时,圆的面积最大!猜想2:在平面内曲线周长固定时,围成的n 边形中,正n 边形的面积最大! 事实上,第一个猜想是正确的,不过需要变分法来处理。同样需要微积分来研究,不过是高等微积分了。 编辑本段特殊三角形 1. 相似三角形 (1)形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形 (2)相似三角形性质 相似三角形对应边成比例,对应角相等 相似三角形对应边的比叫做相似比 相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段(角平分线、中线、高)之比等于相似比 若a 、b 、b 、c 成比例,即a:b=b:c,则称b 是a 和c 的比例中项 (3)相似三角形的判定 【1】三边对应成比例则这两个三角形相似 【2】两边对应成比例及其夹角相等,则两三角形相似 【3】两角对应相等则两三角形相似 2. 全等三角形 图案设计 1、图案的设计:应用全等图形的知识,对基本图形适当进行分割、拼接,设计出美丽的图案 2、图案设计的基本步骤: (四)、全等三角形 (1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2)全等三角形的性质。 全等三角形对应角(边)相等。 全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等。 (3)全等三角形的判定 ① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形) 】 寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法: 3. 等腰三角形 等腰三角形的性质: (1)两底角相等; (2) 两条腰相等 ; (3)顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; 等腰三角形的判定: (1)等角对等边; (2)两底角相等; (巧用:在特定题目中,等腰三角形,平行,角平分线这三量,知二可推另一) 4. 等边三角形 等边三角形的性质: (1)顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; (2)等边三角形的各角都相等,并且都等于60°。 等边三角形的判定: (1)三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形; (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 编辑本段三角形的面积公式 (1)S△=1/2ah (a 是三角形的底,h 是底所对应的高) (2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC (三个角为∠A∠B∠C,对边分别为a,b,c ,参见三角函数) (3)S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] [p=1/2(a+b+c)](海伦—秦九韶公式) (4)S△=abc/(4R) (R是外接圆半径) (5)S△=1/2(a+b+c)r (r是内切圆半径) (6) ........... | a b 1 | S△=1/2 | c d 1 | ............| e f 1 | [| a b 1 | ....| c d 1 | ....| e f 1 |为三阶行列式, 此三角形ABC 在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小] (7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B) (8)S正△= [(√3)/4]a^2 (正三角形面积公式,a 是三角形的边长) [海伦公式(3)特殊情况] 编辑本段三角形重要定理 勾股定理(毕达哥拉斯定理) 内容:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。 几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°,则AB²+BC²=AC² 勾股定理的逆定理也成立,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方,则这个三角形是直角三角形 几何语言:若△ABC满足,则∠ABC=90°。 [3] 射影定理(欧几里得定理) 内容:在任何一个直角三角形中,作出斜边上的高,则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。 几何语言:若△ABC满足∠ABC=90°,作BD⊥AC,则BD²=AD×DC 射影定理的拓展:若△ABC 满足∠ABC=90°,作BD⊥AC, (1)AB²=BD·BC (2)AC²;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理 内容:在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比 几何语言:在△ABC中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc 结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R 是外接圆半径) 余弦定理 内容:在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦 几何语言:在△ABC中,a²=b²+c²-2bc×cosA 此定理可以变形为:cosA=(b²+c²-a²)÷2bc 编辑本段生活中的三角形物品 雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。 三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等,也不可以用“SSA” (1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“SSS”。 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”。 (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“AAS”。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“SAS”。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“HL”。 全等三角形的性质 全等三角形的对应角相等,对应边也相等,并且全等三角形能重合。 编辑本段三角形中的线段 中线:顶点与对边中点的连线,平分三角形的面积. 高:从三角形的一个顶点(三角形任意两条边的交点)向其对边所作的垂线段(顶点至对边垂足间的线段),叫做三角形的高。 角平分线:平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线, 它到两边距离相等。(注:一个角的平分线是射线, 平分线的所在直线是这个角的对称轴) 中位线:任意两边中点的连线。 编辑本段三角形相关定理 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 勾股定理(又称毕达哥拉斯定理) 在Rt 三角形ABC 中,A=90度,则 AB^2+AC^2=BC^2 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯(Menelaus )定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 证明: 过点A 作AG∥BC交DF 的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立:若有三点F 、D 、E 分别在的边AB 、BC 、CA 或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F 、D 、E 三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。 塞瓦定理 设O 是△ABC内任意一点, AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE 所截, ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF 所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1② ②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB 、BC 、AC 的垂足分别为D 、E 、F , 根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD 、AE 、BF 交于一点。 莫利定理 将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 编辑本段三角函数 三角函数(Trigonometric )是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。它由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数、但具有特殊的反三角函数(如:arcsin) ,三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。 三角函数 种类 包含六种基本函数:正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)、余割(csc)。 更多定理公式请参见 百度百科_三角函数 三角形的“高” 实验中学附属小学 胡素兵 设计理念:《数学课程标准》指出:“学生的数学学习内容应当是现实的,有意义的,富有挑战性的??。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践,自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”本节课的设计就是紧紧围绕这一理念,充分发挥学生的主动参与意识,自主学习有价值的数学,在实践中得到锻炼和发展。 学情分析:在学本节时学生已经掌握了三角形的一些知识如三角形的特性、三角形各部分的名称及概念和三角形三边的关系,及经过直线上和直线外一点作已知直线的垂线。这些知识都是学习本节课所必需的。在这里作三角形的高是学生不容易掌握的地方,学生的作业错误很多,究其原因是学生只是单纯记高的概念,没有真正的理解三角形的高的概念的本质,这节课以学生的认知为突破口,引导学生理解三角形的高的概念,为以后的学习打好基础。 教学目标: 知识与技能:通过观察和比校,理解三角形的高的概念。 情感态度与价值观:培养学生观察和操作的能力,体验数学与生活的联系,培养学生学习数学的兴趣。 教学重点:理解“三角形的高”的概念 教学难点:让学生建构并深入理解“三角形的高”的概念 教学过程 一、生活中的高 1、师:出示图片广州塔,它的高度是600米,排名世界第二。 师:这个600米的高度是指从哪儿到哪儿呢? 生:(用手势比划着)是从老师的最高点地面的竖直的高度。 师:这个竖直着,在数学叫做?? 生:垂直。(适时板书:垂直) 最高点到地面的垂直距离。 2、出示世界上最高的人和最矮的人图片,最高的人高是246厘米 最矮的人是74厘米 思考:246厘米、74厘米的高度是指从哪儿到哪儿呢? 生: 从人的最高点也就是从头顶量到脚站着的地面,而且是竖直着的。 小结:无论是人的身高还是动物的身高都是指从最高点到地面的垂直距离 二、发现三角形中的高 人有高矮,建筑物有高度,那么这个三角形的身高在哪儿呢?先请一个学生上前比划给大家看看。 师:(一位学生上前指好后,再另请一位学生上前指一指)是不是这个顶点到底边的随意的一个点?要达到什么要求?请结合长颈鹿的身高来说说为什么? 生:与底边互相垂直 师:(小结)的确三角形的身高正如长颈鹿的身高一样,(指着三角板)从最高点也就是这个顶点到对边的一条垂线段,像这样的顶点到垂足之间的距离叫做三角形的高,对边叫做三角形的底。 师:能在三角形上找出一条线来表示这一高度吗? 师生共同研讨、演示(将三角板一条直角边紧贴桌面,并与三角形重叠竖立在桌面上,移动三角板,使另一直角边过三角形顶点,画垂线) ,学生认识到表示高度的线就是从三角形的顶点到对边(桌面) 的一段。 三、三角形有三条高 师:同学们我们继续观察这个三角形,(将底转换到另外两边)现在身高又如何?指一指 师:关于三角形的身高,你发现什么? 生:我发现有三条高和三个底。 生:我发现每条高都和对应的底互相垂直。 师追问:为什么会有三条高和底? 生:因为三角形有三个顶点,也就好像有三个头,所以三角形有了3条高,自然对应着3个底了。 师:真会思考! 师提高要求:不转动三角形,能指出它们的高吗? 生:直接从顶点向斜边作垂线。 师生共同画高。 师小结:所以,数学中把从三角形一个顶点向对边所作的垂直线段叫做这个三角形的高,这条对边叫做底边。 (通过“不转动三角形。能把高画出来吗? ”促使学生从“水平方向的底、竖直方向的高”这一生活原型中,抽取“垂直”这一本质特征,在“非水平方向的底”上作出“非竖直方向的高”,从而,使学生对高的认识产生了由生活原型到数学概念的飞跃。) 四、巩固练习 判断下面三角形的高画的对吗?为什么? 五、小结 这节课你学会了什么? 回顾55回顾与思考55证明:??A?A′?C?C′已知??B?B′三角形内角和定理.在?ABC与?A′B′C′中??A?A′ 已知 ABA′B′已知?B?B′ 已证??ABC??A′B′C′ASA.ABCA′B′C′??????已知:如图在?ABC和?A′B′C′中 ?A?A′ ?C?C′ ABA′B′.求证:?ABC??A′B′C′.分析:要证明?ABC??A′B′C′只要能满足公理 SSS 、 SAS 、 ASA 中的一个即可.根据三角形内角和定理易知第三个角必对应相等.证明后的结论以后可以直接运用.我们知道三角形全等的性质公理:全等三角形的对应角相等对应边相等。你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗 、等腰三角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合三线合一.你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗议一议P211 、等腰三角形的两个底角相等等边对等角.ACBACBD议一议P222等腰三角形的两个底角相等等边对等角.ACB已知:如图在?ABC中 ABAC.求证: ?B?C.议一议P233一、汉字语言定理:等腰三角形的两个底角相等等边对等角.三、符号语言如图在?ABC中 ?ABAC已知??B?C等角对等边.证明后的结论以后可以直接运用.ACB想一想P411ACBD12议一议P233等腰三 如图在?ABC中 ?角形顶角的平分线底边上的中线底边上的高互相重合三线合一. ABAC ?1?2已知.?BDCDAD?BC 三线合一 .证明后的结论以后可以直接运用.ACBD12如图在?ABC中 ?ABAC BDCD 已知.??1?2AD?BC 三线合一 .如图在?ABC中 ?ABAC AD?BC已知.?BDCD ?1?2 三线合一 .轮换条件?1?2BDCDAD?BC可得三线合一的三种不同形式的运用.例1 证明:等腰三角形 证明:?ABAC已知??ABC?ACB等边对等角.又??1 ?两底角的平分线相等. ABC?2?ACB已知??1?2等式性质.在?BDC与?CEB中??DCB? EBC已知 BCCB公共边?1?2已证??BDC??CEBASA.?BDCE全等三角形的对应边相等已知:如图在?ABC中ABACBDCE是?ABC角平分线.求证:BDCE.ACBD?1E??22121 议一议11这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.ACBD?E?1.已知:如图在?ABC中 ABAC1如果?ABD?ABC/2?ACE?ACB/2那么BDCE吗 如果?ABD?ABC/3?ACE?ACB/3呢如果?ABD?ABC/4?ACE?ACB/4呢由此你能得到一个什么结论2如果ADAC/2AEAB/2那么BDCE吗如果ADAC/3AEAB/3呢如果ADAC/4AEAB/4呢由此你又能得到一个什么结论还可证明议一议22你是如何思考的′2.前面已经证明了“等边对等角”反过来“等角对等边”吗即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗ACB分析:要证明ABAC只要能构造出ABAC所在的两个三角形全等就可以了.如 作BC边上的中线 作?A的平分线或作BC边上的高.议一议33′.ACB小明说在一个三角形中 如果两个角不相等那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗如果成立你能证明它吗′开启智慧CAB???B?CAB?AC.路边苦李古时候有个人叫王戍7岁那年的某一天和小朋友在路边玩看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了小朋友们都跑去摘只有王戍站着没动。小朋友问他为何不去摘他说“如果树长在路边李子还那么多肯定这李子是苦的不好吃。不然早就没了”。小朋友摘来一尝李子果然苦的没法吃。′开启智慧你能理解他的推理过程吗′开启智慧CAB???“””小明在证明时 先假设命题的结论不成立 然后推导出与定义 公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果 从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法reduction to absurdity假设ABAC那么根据“等角对等边”?B?C但已知条件是?B??C.“?B?C”与“?B??C”相矛盾因此AB?AC.开启智慧CAB???1.假设:先假设命题的结论不成立2.归谬:从这个假设出发应用正确的推论方 法得出与定义 公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确从而肯定命题的结论正确.用反证法证明的一般步骤:开启智慧12345123451234512345成功者的摇篮隋堂练习P9111.用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角分析按反证法证明命题的步骤首先要假定结论“?A、?B、?C中不能有两个角是直角”不成立即它的反面“?A、?B、?C中有两个角是直角”成立然后从这个假定出发推下去找出矛盾证明假设?A、?B、?C中有两个角是直角不妨设?A?B90?则?A?B?C90?90??C180?这与三角形内角和定理矛盾?A?B90?不成立.所以一个三角形中不能有两个角是直角已知?ABC求证?A、?B、?C中不能有两个角是直角2.600. 什么是三角形的内心、外心、重心、垂心、性质是什么? 内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 性质:到三边距离相等。 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心。 性质:到三个顶点距离相等。 重心:三条中线的交点。 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的 2 倍。 垂心:三条高所在直线的交点。 性质:此点分每条高线的两部分乘积 旁心:三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质:到三边的距离相等。 界心:经过三角形一顶点的把三角形周长分成 1:1 的直线与三角形一边的交点。 性质: 三角形共有 3 个界心, 三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于 一点。 什么是三角形的中位线? 疑 点:什么是三角形的中位线? 它有哪些性质? 解 析:中位线:是指连接两边中点的线段。 1. 三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段。三角形有三个角,因此对应的有三条中位线,如图: 上图中,三个角∠A,∠B,∠C都对应着一条中位线。 2. 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 在上图中:EF∥BC 并且 EF=1/2BC;DH∥AC 并且 DH=1/2AC 中位线不仅仅在三角形中存在,在其他图形中也存在,不过应用不是那么广泛,所以我们很少关注。对于三角形中位线的定理和性质希望同学们能牢牢记住,它在证明题中非常重要。 结论:三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 本文由索罗学院整理范文二:什么是三角形的高?
范文三:什么是全等三角形
范文四:什么是三角形的内心
范文五:什么是三角形的中位