范文一:平面与平面平行的判定定理
平面与平面平行的判定
一、学习内容分析
本节课选自《普通高中标准实验教科书—数学必修二》(人教版)第二章点、直线、平面之间的位置关系第二节直线、平面平行的判定及其性质,主要研究平面与平面平行的判定方法。根据课标要求和学生情况,本节课分为四个课时,今天学习第二课时。本节课是建立在学习空间中直线与直线、直线与平面位置关系基础上的一节课,并为后续学习平面与平面平行性质奠定基础。
教材首先通过观察三角板所在平面与桌面位置关系引入课题,然后将两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题,体现数学中的转化思想。接着根据两个平面中直线的关系探究两个平面的位置关系,体现分类讨论思想,培养了学生自主探究的能力。
二、学习者分析
(1)从已有知识来看,学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系,掌握了直线与平面平行的判定定理;
(2)从已有经验来看,学生已经掌握了分类讨论、转化的思想;
(3)从已有能力来看,学生已经具有了自主探索、简单的空间想象能力。 但对于高二学生来说,他们初次接触空间立体几何,对于空间的部分问题仍有较大困惑,空间想象能力还不是很强。
三、教学目标
(1)知识与技能目标:
①通过直观感知,操作确认,归纳出平面与平面平行的判定定理;
②理解并掌握两平面平行的判定方法;
③能够运用两个平面平行的判定方法解决相关问题。
(2)过程与方法目标:
①通过观察相关模型以及实物,培养分析、归纳的能力;
②在探究平面与平面平行判定定理的过程中,体会分类讨论、转化的思想。
(3)情感、态度与价值观目标:
在发现中学习,提高学习数学的积极性,培养主动探究、合作交流的意识
四、教学重难点
(1)教学重点:两个平面平行的判定;
(2)教学难点:探究平面与平面平行的判定定理以及应用判定定理解决相关问题。
五、教学过程
(一)复习旧知,导入新课
问题一:
①平面几何中,判定两直线平行有哪几种方法?
②直线与平面平行有哪些方法?
③平面与平面有哪些位置关系?
师生活动:教师提出问题,引导学生进行回答。
【设计意图】通过回顾两直线平行、直线与平面平行的判定方法引出平面与平面之间的关系,从而引入课题:平面与平面平行的判定。在探索平面与平面平行的判定定理以及应用定理进行证明过程中,仍然要用到直线平行以及直线与平面平
行的判定。在导入新课前对此类的复习,有助于学生回忆以及应用。
(二)自主探索,归纳定理
(1)两个平面平行的定义:如果两个平面没有公共
点,那么这两个平面互相平行,也叫作平行平面。如
果平面?平行于平面?,我们把它记作?//?。
(2)判定平面与平面平行的方法:
判定方法一:定义法
如果两个平面没有交点,那么这两个平面互相平行。(若两个平面存在交点,则由公理三,它们有且只有一条过该点的直线,此时可以将平面与平面平行问题转化为直线与平面平行问题。)
问题二:
①如果平面?内的一条直线平行于平面?,那么平面?平行于平面?么? ②如果平面?内的两条直线平行于平面?,那么平面?平行于平面?么?
【师生活动】教师提出问题,引导学生思考并回答。
①两条直线平行:
②两直线相交:
【设计意图】对问题二第二小问的回答引导学生向“两条相交直线”进行思考,对于两平面平行条件进行猜想,直线平行和相交的几种情况让他们体会分类讨论的思想,培养空间想象能力。在讨论一个平面内两条相交直线与另一个平面平行,则两个平面平行基础上,采用反证法证明这个猜想,使学生对其有更深层次的理解。
判定方法二:平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 注意:“平面内”、“相交直线”、“平行”缺一不可。
符号表示:a??,b??,a?b?P,a//?,b//???//?。
利用反证法证明定理:a??,b??,a?b?P,a//?,b//???//?
假设平面???=l
判定方法三:一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行。
(三)巩固练习,加深理解
例1:判断下列命题是否正确,请说明理由。
①若平面?内的两条直线分别与平面?平行,则?与?平行;
②若平面?内有无数条直线分别与平面平行,则?与?平行;
③一个平面?内两条不平行的直线都平行于?平面,则?与?平行;
④如果一个平面内的任何直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; ⑤如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 例2:已知正方体ABCD?A1BC,求证:平面AB1D1//平面C1BD。
11D1
例3:已知ABCD?A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点, 求证:平面AMN//平面
EFDB
例4:已知正方体ABCD?A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,AA1的中点,求证: 平面BDE//平面
B1D1F
(四)复习小结,深化内涵
1、平面与平面平行的判定:
(1)定义法;
(2)判定定理:如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
(3)定理:如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,那么这两个平面平行。
(4)平面平行的传递性。
2、思想方法:
面面平行——线面平行——线线平行
(五)布置作业
范文二:平面与平面平行的判定定理
平面与平面平行的判定定理
探究
问题 1:直线与平面平行的判定定理是什么?
问题 2:直线与平面平行的判定定理的实质是什么?
问题 3:空间两平面有哪些位置关系?
问题 4:观察教室的天花板与地面所在的两个平面,它们有怎样的位置关系 ?
问题 5:你能说出为什么平行的道理吗 ?
问题 6:平面与平面平行的定义是什么?如何判断两平面平行?
思考:三角板的一边所在直线与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面平行吗?
三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,这个三角板所在平面与桌面平行吗?
直线与平面平行的判定定理:
符号语言:
作用:
将平面与平面平行关系转化为直线与平面间平行关系。
平面平行的传递性:
如果平面 α // 平面 β,平面 β // 平面 γ,则平面 α // 平面 γ。
新知应用
判断下列命题是否正确,正确的说明理由,错误的举例说明:
(1)已知平面 α, β和直线 m , n ,若 , , //, //m n m n ααββ??,则 α // β;
(2)一个平面 α内两条不平行的直线都平行于另一个平面 β,则 α // β。
(3)一个平面 α内有无数条直线都平行于另一个平面 β,则 α // β。
(4)一个平面 α内的任何直线都与 β平行,则 α // β。
(5)直线 a // α, a // β,且直线 a 不在 α内,也不在 β内,则 α // β。
(6)直线 a α?,直线 b β?,且 //, //a b βα,则 α // β。
例 1、 已知正方体 ABCD-1111A B C D , 求证:平面 11AB D //平面 1C BD 。
变式:已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1, M 、 N 分别为 A 1A 、 CC 1的中点 .
求证:平面 NBD∥平面 MB 1D 1.
例 2. 已知正方体 1111ABCD A B C D , P, Q, R分别为 1A A , 11A B ,
11A D 的中点 , 求证:平面 PQR ∥平
面 1C BD .
变式:已知在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中, M 、 E 、 F 、 N 分别是 A 1B 1、 B 1C 1、 C 1D 1、 D 1A 1的中点。
求证:
(1) E 、 F 、 B 、 D 四点共面;
(2)平面 AMN // 平面 EFBD 。
平面与平面平行的性质定理
思考:如果平面 α和平面 β平行 , 那么平面 α内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系 ?
问题 1:如图,平面 α和平面 β平行, a α?.
请在图中的平面 β内画一条直线 b 和 a 平行 .
问题 2:在图中,把平行直线 , a b 所确定的平面作出来,并且表示为 γ.
问题 3:在你所画的图中,平面 γ和平面 α、 β是相交平面,直线 , a b 分别是 γ和 α、 β的交线,并且它 们是平行的 .
平面与平面平行的性质定理:
符号语言: 图形语言:
反思 :定理的实质是什么 ?_____________________________________________________
例 1:求证 :夹在两个平行平面间的平行线段相等 .
已知:如图, α∥ β, AB ∥ CD ,且 A α∈, C α∈
B β∈, D β∈. 求证:AB CD =.
变式 :已知 α∥ β, α⊥l ,求证 β⊥l
① 过平面外一点,有且仅有一个平面与已知平面平行; ( )
② αββγαγ若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ; ( )
③ 平行于同一个平面的两条直线平行; ( )
④ 两个平面都与一条直线平行,则这两个平面平行; ( )
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交。 ( )
2. 、 , m n 是不重合的直线, , αβ是不重合的平面:
① m α?, n ∥ α,则 m ∥ n ② m α?, m ∥ β,则 α∥ β
③ n αβ= , m ∥ n ,则 m ∥ α且 m ∥ β。
上面结论正确的有
例 2:如图所示,平面 α∥平面 β,点 A ∈ α, C ∈ α,点 B ∈ β, D ∈ β, 点 E , F 分别在线段 AB , CD 上, 且 AE ∶ EB=CF∶ FD.
①求证:EF ∥ β;
②若 E , F 分别是 AB , CD 的中点, AC=4, BD=6,且 AC , BD 所成的角为 60°,求 EF 的长 .
※ 学习小结
1. 平面与平面平行的性质定理及应用;
2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换 .
课后补充作业:
1、在下列条件中,可判断平面 α与 β平行的是( ) .
(1) . α、 β都平行于直线 l
(2) . α内存在不共线的三点到 β的距离相等
(3) . l 、 m 是 α内两条直线,且 l ∥ β, m ∥ β
(4) . l 、 m 是两条异面直线,且 l ∥ α, m ∥ α, l ∥ β, m ∥ β
2、已知 m n 、 是两条直线, αβ、 是两个平面 , 有以下命题:
① m n 、 相交且都在平面 αβ、 外, //, //, //, //m m n n αβαβ,则 //αβ;
②若 //, //m m αβ,则 //αβ;③若 //, //, //m n m n αβ,则 //αβ.
其中正确命题的序号是
3、设 m n , 是两条直线, αβ, 是两个平面,则下面的推理中正确推理的序号为
(1) , , //, ////a b a b ααββαβ???; (2) //, , //a b a b αβαβ???;
(3) //, //a l a l ααβ=? ; (4) , a b 异面, , , //, ////a b a b αββααβ???.
4.已知 a b c 、 、 是三条不重合直线, αβγ、 、 是三个不重合的平面,下列说法中:
⑴ //, ////a c b c a b ?; ⑵ //, ////a b a b γγ?; ⑶ //, ////c c αβαβ?;
⑷ //, ////γαβαγβ?; ⑸ //, ////a c c a αα?; ⑹ //, ////a a γα
γα?.
其中正确的说是 .
5、已知四棱锥 V — ABCD ,四边形 ABCD 为平行四边形, E 、 F 、 G 分别是 AD 、 BC 、 VB 的中点,
求证:平面 EFG // 平面 VDC 。
B S
6、如图, S 是平行四边形 ABCD 平面外一点, M 、 N 分别是 AD 、 SB 上的中点,且 SD=DC, SD ⊥DC 求证:(1) MN//平面 SDC ; (2)求异面直线 MN 与 CD 所成的角 .
7、两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB M AC N FB ∈∈, , , 且 AM FN =, 过 M 作 MH AB ⊥于 H .
求证:(1)平面 MNH //平面 BCE ;
(2) MN ∥平面 BCE .
8、已知正方体 1111ABCD A B C D -, E F 、 分别是棱 11CC BB 、 的中点,求证:平面 1//DEB 平面 ACF
.
范文三:直线与平面平行的性质定理
直线与平面平行的性质定理
直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
这个定理用符号语言可表示为:
这个定理用图形语言可表示为:如图3.
图3
④已知a ∥α,a β,α∩β=b.求证:a ∥b.
证明:
⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面.
⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线”.
例1 如图4所示的一块木料中,棱BC 平行于面A′C′.
图4
(1)要经过面A′C′内的一点P 和棱BC 将木料锯开,应怎样画线?
(2)所画的线与面AC 是什么位置关系?
练习
如图6,a ∥α,A是α另一侧的点,B 、C 、D ∈a ,线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G 点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.
例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面. 如图7.
图7
已知直线a,b, 平面α,且a ∥b,a ∥α,a,b都在平面α外.
求证:b ∥α.
练习
如图8,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点,平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G. 求证:EH ∥FG.
图8
例1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这条直线平行. 如图9.
图9
已知a ∥b,a ?α,b ?β,α∩β=c.
求证:c ∥a ∥b.
练习
求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
图10
已知:如图10,a ∥α,a∥β,α∩β=b,
求证:a ∥b.
练习
如图11,平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上,求证:BD ∥面EFGH ,AC ∥面EFGH.
练习
如图12,平面EFGH 分别平行于CD 、AB ,E 、F 、G 、H 分别在BD 、BC 、AC 、AD 上,且CD=a,AB=b,CD ⊥AB.
图12
(1)求证:EFGH 是矩形;
(2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH 的面积.
提高练习:
求证:经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.
已知:a 、b 是异面直线.
求证:过b 有且只有一个平面与a 平行.
图13
已知:a ∥α,A ∈α,A ∈b ,且b ∥a. 求证:b α.
图14
范文四:“直线和平面平行——判定定理”教案
“直线和平面平行——判定定理”教学方案
教学目标 1. 知识与技能
了解直线与平面的各种位置关系,掌握直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用. 2. 过程与方法
在学生直观感知,操作确认的学习过程中,培养了学生观察问题,发现问题,独立进行推理论证的能力和建立空间思维想象能力。 3. 情感态度与价值观
引导学生亲身经历推理论证的过程中,养成学生处事谨慎,合理探究的思维品质,同时使他们体验到成功的喜悦,体会数学的内在魅力, 教学重点:直线和平面平行的判定及其应用。
教学难点:直线和平面平行的判定定理的探究过程及判定定理的简单应用。 教学方法:
《新课标》指导我们,立体几何的教学要通过直观感受,操作确认的教学方法引导学生学习,因此这节课我采取以实物(教室等)为媒体,启发引导学生亲身经历判定定理的产生、论证的过程,对于问题要让积极探究,独立解决。 教学过程设计:
范文五:两平面平行判定定理教学设计
《两平面平行判定定理》教学设计
?教材依据
人民教育出版社B版必修2
第一章《立体几何初步》 1.2.2节《空间中的平行关系》
?设计思想
针对本节课教学内容的特点,在教学过程中鼓励学生从已获得知识过渡到对新知识的理解、掌握和运用,激发学生的学习主动性和积极性,注重学生之间的交流和相互启发,着重为学生提供了观察、操作、合作交流的机会。
?教学目标
(一)教学知识点
直线与平面平行的判定定理及其应用(
(二)能力训练要求
通过运用定理解决具体问题,培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力,使学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理,并能正确运用之解决一些具体问题(建立知识之间的联系
(三)德育渗透目标
通过学生自主地学习过程,激发学生学习数学的自信心和积极性,培养学生不断发现、探索新知的精神,提高观察问题、分析问题的能力,增强勇于战胜困难的勇气( ?教学重点和难点
1、重点:两个平面平行的判定定理及其应用。
2、难点:?正确画出立体图。?判定定理的由来及其证明。
?教具 多媒体课件。
?教学过程
一、复习引入:
[师]前面我们研究了线面的位置关系~在解决问题的过程中~都利用了转化的思想~即线面问题转化为线线问题。这节课开始我们研究两个平面的位置关系
二、 新授课
(一)两平面的位置关系
[师]:请同学们观察两层楼的示意图~[多媒体]
,,,,我们发现:第一、二楼层的底面~无论怎样延伸都没有公共点~前后两面屋顶~则有一条交线AB。这样的位置关系在我们的教室里也能找到~比如说教室里的前后两块黑板面~
没有公共点。侧墙面与地面有公共点等
[师]:所以~我们可以从有无公共点的角度来定义平面间的位置关系
[多媒体]
(1)两个平面平行
如果两个平面没有公共点~我们就说这两个平面互相平行
(2)两个平面相交
如果两个平面有公共点~它们就相交于一条过该公共点的直线~就称这两个平面相交( [师]依据定义我们就可以判断出不重合两平面的位置关系有两种:平行与相交 [多媒体]
,//,(3) 不重合两个平面的位置关系只有两种 ?两个平面平行——没有公共点~记作:
,:,,l ?两个平面相交——有一条公共直线~记作:
师]下面重点研究两平面平行问题~ [
首先~请大家在练习本上画出两个平行平面,让学生到黑板,请大家看一下某同学的这种画法与大屏幕上的画法哪一种更能直观形象的表现出两平面平行的位置关系,所以画两平面平行时~要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
[多媒体]
(4) 两个平面平行的画法
点评:和“直线与平面平行”一样,“平面与平面平行的定义”在证明“平面与平面平行”时,没有多大的可操作性,因为“平面是无限延展的”,所以仅凭有限的截图来判断两个平面是否有交点,说服力不强~为此,我们应该寻找更具有操作性的判定方法。 [师] 注意~在证明面面平行时并不能根据直观图来判断~而必须要有理论依据~下面我们来探究面面面平行的判定定理
请思考以下几个问题:
问题1:如果两个平面平行~那么在其中一个平面内的所有直线是否与另一个平面平行, 问题2:如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行~那么这两个平面是否平行, [提问后]总结答案是肯定的。
这个问题告诉我们~判定两个平面平行问题~可以证明一个平面内的所有直线与另一个平面平行~即面面平行转化为线面平行~但要证明所有直线与另一个平面平行是很困难的。 能否将“所有直线”化为有代表性的“一条”或“几条直线”呢,[思考~提问] 先思考下面几个问题~判断并指出错误的地方~举出反例~请你们用课本~笔作为道具。同位合作演示一下
[多媒体]
,//,,思考:1.平面内有一条直线与平面平行~则 ,
,//,,2. 平面内有两条直线与平面平行~则 ,
,//,,3. 平面内有无数条直线与平面平行~则 ,
[逐一提问~指出错误的地方~同位合作演示]
[师]请大家思考:到底需要几条直线~满足什么条件才能使两平面平行, [在其中一平面内取两条相交直线~如果这两条相交直线分别与另一平面平行~可以确定这两
个平面没有公共点~原因是两条相交直线确定一个平面~根据这些结论~我们得到两平面平行的判定定理]
[多媒体]
(二)两个平面平行的判定
(1)如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面~那么这两个平面平行(
[师]下面我们来证明一下这个命题
[师]如何用符号语言来表示
,,a,b,,,
,已知: abA,,,
,a//,,b//,,
,//,求证:
证明:用反证法证明
(2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面~那么这两个平面平行(
图形:
,,a,b,,,
,,//,符号:abA ,,,
,a//,,b//,,
[师]至此~我们有两种判定平面平行的方法:定义~判定定理 下面检验一下你是否能真正理解这两种判定方法
(三)理解定理~应用定理
例1:判断下列说法是否正确
(1)如果两个平面不相交~那么它们就没有公共点
(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面~那么这两个平面平行 (3)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面~那么这两个平面平行 (4)已知两个平行平面中的一个平面内一条直线~则在另一个平面内有且只有一条直线与已知DC11直线平行
B1A(5)分别在两个平行平面内的两条直线平行 1[逐一提问~逐一判断]
例2:在正方体中~求证:平面//平面 ABCD,ABCDCDBABD1111111CD[题目点评]转化思想~通过证明线线平行可以解决面面平行问题 AB
推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内两条直线~则这两个平面平行
[师]在这个题目的这证明过程中~我们看到~要证明面面平行~首先转化为线面平行~欲证线面平行~则须证线线平行~这就体现出了三者之间的转化~这种转化思想在这一章节的题目中将得到充分的体现
例3:已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在一个平面内~P,Q分别是对角线AE,BD上的点~且AP=DQ,如图所示 E
BC
F(四)回顾总结 PQ
判定两个平面平行的方法有几种, DA定义、判定定理及推论
定义是从有无公共点的角度进行判定的,而面面平行的判定定理及推论则体现了转化的思想即面面平行转化为线面平行或线线平行。这种转化的数学思想将在立体几何的学习中贯穿始终
? 课后反思
本节课归纳探索策略定义是研究性质的基础;通过添加点、线、面等其它元素,出现新的位置关系;引导学生在“线线平行”或“线面平行”的知识基础上“同化”和“索引”出“面面平行”的判定定理及其变式,并能运用它们解决相关的实际问题。让学生认识研究两个平面的位置关系以及掌握和应用两个平面平行的判定是实际生产的需要,体现了理论联系实践的原则,并更好地培养学生分析问题与解决问题的能力(
同时,进一步熟悉类比转化和“观察——猜想——论证”的认知方法。引导学生反思新旧知识间的联系,促进学生养成善于联系地思考问题,提炼思想观点,获取知识、方法、思想等应用时机的无认知知识。类比平面几何中的定理及通过命题之间的关系体会定理在知识网络体系中的地位和作用。定理是证明其它命题的依据;定理是实现线线、线面、面面关系转化的桥梁;定理常常能实现平行或垂直这两种特殊位置关系的转化
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