1
2. 1 二维形式的柯西不等式 一、学习目标
1、知识与技能:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义; 2、过程与方法:会证明二维柯西不等式及向量形式;
3、情感、态度与价值观:体会代数不等关系与向量之间的联系,学会转化的思想。 二、学习重点与难点:会证明二维柯西不等式及三角不等式, 理解几何意义 . 三、学法指导:请阅读选修 4-5第 31页至 36页相应内容。 四、知识链接
1、 =++) )((2222d c b a 2、 =+2) (bd ac
3、 22222()() () a b c d ac bd ++-+ 五、学习过程
定理 1:(柯西不等式的代数形式)设 d c b a , , , 均为实数,则
22222) () )((bd ac d c b a +≥++,其中等号当且仅当 bc ad =时成立。
定理 2:(柯西不等式的向量形式)
设 α, β为平面上的两个向量,则 ||||||βαβα?≥?,其中等号当且仅当两个 向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
几何意义:设 α, β为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量,它们的终点分别为 A (b a , ) , B (d c , ) ,那么它们的数量积为 bd ac +=?βα,而 22||b a +=
α,
22||d c +=β,所以柯西不等式的几何意义就是:||||||βαβα?≥?,
例 1:已知 a,b 为实数,求证 2332244) () )((b a b a b a +≥++
2
2
例 2:求函数 x x y 215-+-=的最大值。
定理 3:(三角形不等式) 设 332211, , , , , y x y x y x 为任意实数,则:
231231232232221221) () () () () () (y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
特殊地,设 1122, , , x y x y R ∈
≥ 六、达标检测
1. 证明 : (x2
+y4
)(a4
+b2
) ≥ (a2
x+by2)
2
2. 求函数 x x y -+-=645的最大值 .
3.设 a,b 是正实数, a+b=1,求证:41
1≥+b a
4. 已知 x+2y=1, 求 x 2
+y2的最小值 .
3
3
5.已知 122=+b a , 122=+y x ,求证:1||≤+by ax 。
6、已知:122=+b a , 222=+n m , 证明:22≤+≤-bn am 。
7、已知 63y 2x 22≤+,求证 2y x ≤+
8、已知 b , a 是正实数, +∈=+R x , x , 1b a 21,求证 212121x x ) ax bx )(bx ax (≥++
9.已知 b , a 是正实数,求 ) 2a
1
2b )(b 1a (++的最小值。
4
4
10.设 , 0q , p , x ) x (f >=且 1q p =+,求证 ) qx px (f ) x (qf ) x (pf 2121+≤+
11.求函数 cos2x 43sinx y ++=的最大值
12、求函数 x b x a x f cos sin ) (+?=在 ) 2
, 0(π
上的最大值 , 其中 a , b 为正常数.
七、小结 八、课后反思
5
5
2. 2 一般形式的柯西不等式、排序不等式及无理不等式 一、学习目标
1、知识与技能:理解一般形式的柯西不等式、排序不等式及无理不等式; 2、过程与方法:运用柯西不等式、排序不等式及无理不等式解决某些问题; 3、情感、态度与价值观:由 2个变量间的关系推广到 n 个变量间的关系,学会拓展。 二、学习重点与难点:一般形式的柯西不等式、排序不等式及无理不等式的理解 三、学法指导:请阅读选修 4-5第 37页至 44页相应内容。 四、知识链接
设 d c b a , , , 均为实数,则 22222) () )((bd ac d c b a +≥++,其中等号当且仅当
bc ad =时成立。
五、学习过程:
(一)一般形式的柯西不等式 定理 4:(柯西不等式的推广形式) :设 n 为大于 1的自然数, i i b a , (=i 1, 2,…,
n )为任意实数,则:
21
1
2
1
2) (∑∑∑===≥n
i i i n
i i
n i i b a b
a , 其中等号当且仅当
n
n a b a b a b === 22
11时成立(当 0=i a 时,约定 0=i b , =i 1, 2,…, n )
。 证明:构造二次函数:2222211) () () () (n n b x a b x a b x a x f -++-+-= 即构造了一个二次函数:∑∑∑===+-=n
i i n i i i n
i i
b x b a x a
x f 1
2
1
2
1
2) (2) (
) ( 由于对任意实数 x , 0) (≥x f 恒成立,则其 0≤?, 即:0) )((4) (
41
2
1
2
2
1
≤-=?∑∑∑===n
i i n
i i n
i i i b a b a ,
即:) )(() (1
2
1
2
2
1
∑∑∑===≤n
i i n
i i n
i i i b a b a , 等号当且仅当 02211=-==-=-n n b x a b x a b x a , 即等号当且仅当
n
n a b a b a b === 22
11时成立 (当 0=i a 时 , 约定 0=i b , =i 1,2, … , n ) 。 如果 i a (n i ≤≤1)全为 0,结论显然成立。 例 1、 已知 c b a , , 均为正数,且 1=++c b a ,求证:91
11≥++c
b a 。
6
6
例 2、 已知 1a , 2a ,…, n a 为实数,求证:211
2
) (1∑∑==≥n
i i n
i i a n a 。
例 3、设 x , y , z 为正实数,且 x+y+z=10,求 z
9
y 1x 4++的最小值。
(二)排序不等式
1、基本概念:
一般地,设有两组数:1a ≤ 2a ≤ 3a , 1b ≤ 2b ≤ 3b ,我们考察这两组数两两对 应之积的和,利用排列组合的知识,我们知道共有 6个不同的和数,它们是:
对 应 关 系 和 备 注
(1a , 2a , 3a ) (1b , 2b , 3b )
3322111b a b a b a S ++=
同序和 (1a , 2a , 3a ) (1b , 3b , 2b )
2332112b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (2b , 1b , 3b )
3312213b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (2b , 3b , 1b )
1332214b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (3b , 1b , 2b )
2312315b a b a b a S ++=
乱序和 (1a , 2a , 3a ) (3b , 2b , 1b )
1322316b a b a b a S ++=
反序和
根据上面的猜想,在这 6个不同的和数中,应有结论:
同序和 332211b a b a b a ++最大,反序和 132231b a b a b a ++最小。
7
7
2、对引例的验证:
对 应 关 系
和 备 注
(1, 2, 3) (25, 30, 45)
2203322111=++=b a b a b a S
同序和 (1, 2, 3) (25, 45, 30)
2052332112=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (30, 25, 45)
2153312213=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (30, 45, 25)
1951332214=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (45, 25, 30)
1852312315=++=b a b a b a S
乱序和 (1, 2, 3) (45, 30, 25)
1801322316=++=b a b a b a S
反序和 3、类似的问题:
5个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5个人的水桶需要的时间 分别是 4分钟, 8分钟, 6分钟, 10分钟, 5分钟。那么如何安排这 5个人接水的顺 序,才能使他们等待的总时间最少?
4、排序不等式的一般情形:
一般地,设有两组实数:1a , 2a , 3a ,…, n a 与 1b , 2b , 3b ,…, n b ,且它 们满足:1a ≤ 2a ≤ 3a ≤…≤ n a , 1b ≤ 2b ≤ 3b ≤…≤ n b ,
若 1c , 2c , 3c ,…, n c 是 1b , 2b , 3b ,…, n b 的任意一个排列,则和数
n n c a c a c a +++ 2211在 1a , 2a , 3a ,…, n a 与 1b , 2b , 3b ,…, n b 同序时最
大,反序时最小,即:
112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n +++≥+++≥+++- , 等号当且仅当 n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。
例 4、已知 c b a , , 为正数,求证:
abc c
b a a c c b b a ≥++++2
22222。
例 5、设 1a , 2a , 3a ,…, n a 为正数,求证:
n n n n a a a a a a a a a
a a +++≥++++- 211
2
21322221。
8
8
(三)无理不等式 ①、
??
???>??
??≥≥?>) () (0) (0) () () (x g x f x g x f x g x f 定义域 型
②、
??
?≥<>
??>≥≥?>0) (0) ()]([) (0) (0
) () () (2x f x g x g x f x f x g x g x f 或 型 ③、
??
???<>≥?<2)]([)>2)]([)>
) (0) () () (x g x f x g x f x g x f 型 例 6、解不等式 x x x 34232
->-+- 例 7、解不等式 24622
+<+-x x="">+-x>
六、达标检测
1、设 +∈R z y x , , , 且 x+2y+3z=36,求 z
y x 3
21++的最小值.
2、求证:da cd bc ab d c b a +++≥+++2
222。
3、已知 a , b , c 为正实数,且 a 2
+2b2
+3c2
=6, 求 a+b+c的最大值
七、小结 八、课后反思
柯西不等式
课题:柯西不等式
课时:第1课时
教学目的:
(1)让学生了解柯西的主要贡献,贯穿数学史教育;
(2)通过柯西不等式的证明,渗透函数思想;
(3)加深学生对初、高等数学的有机联系;
(4)学生通过对二维柯西不等式的再认识,理解二维柯西不等式与中
学数学有关内容的联系。
教学手段:计算机辅助教学
教学方法:问题教学法
教学过程:
一、由两个简单实例引出的猜想
1、两个简单实例
22222a,b,c,d,R(1)设,有; (a,b)(c,d),(ac,bd)
111222*(a,a,a)(,,),9(2)设a,a,a,R,有。 123123222aaa123
结构特征:两组数“乘积和的平方不大于平方和的乘积”。
2、猜想
给定两组实数:,, a,a,?,ab,b,?,b12n12n
nnn222(ab),(a),(b)是否有(*)成立呢, ,,,iiii,,11,1iii
3、猜想的证明
分析:从(*)结构上分析,若两边同乘以4,有
nnn222(2ab),4ab,0, ,,,iiiii,1i,1i,1
1
2,,b,4ac类似于一元二次函数的判别式,故可构造一元二次函数
来证明。
nnn222f(x),(a)x,(2ab)x,b证明: ,,,iiii,1,1,1iii
(1)若全为0,则结论显然成立; ai
n2a,0f(x)(2)若不全为0,则,为首项系数大于0的a,iii,1
n2f(x),(ax,b),0f(x)一元二次函数,并且,故的判别式 ,iii,1
nnn222,,(2ab),4ab,0,即 ,,,iiiii,1i,1i,1
nnn222(ab),(a),(b) ,,,iiii,,11,1iii
显然,当且仅当时等号成立。 a,kb(i,1,2,?,n)ii
二、柯西不等式
1、定理(柯西不等式)
给定两组实数
; a,a,?,a12n
b,b,?,b12n
nnn222(ab),(a),(b)有,(*) ,,,iiii,,11,1iii等号当且仅当时成立。 a,kb(i,1,2,?,n)ii
2、柯西主要贡献简介
2
柯西(Cauchy),法国人,生于1789年,是十九世纪前半叶最杰出的分析家。他奠定了数学分析的理论基础。很多定理都冠有柯西的名字,如以前学过的柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程。
3、定理另证
n,,2a分析2:注意到是维向量模的平方; a,,a,a,a,?,an,i12ni,1
n,,2b,,是维向量b,b,b,?,b模的平方; nb,i12ni,1
n,,2(ab)而恰好是向量内积的平方,因此可以借助于我们a与b,iii,1
在空间解析几何的向量内积的知识加以解决。
,另证:构造维向量 ,,a,a,a,?,an12n
,
,,b,b,b,?,b维向量 n12n
nnn,,2,,22222a,ab,b(a,b),(ab)则;; ,,,iiiii,1,1i,1i
,,,,2,,,,222(a,b),[a,b,cos,(a,b)],a,b由,即
nnn222(ab),(a),(b) ,,,iiii,,11,1iii
,,,,b显然,当,即与共线, acos,(a,b),1
亦即等号当且仅当时成立。 a,kb(i,1,2,?,n)ii
三、柯西不等式的积分形式
f(x)g(x)[a,b]设与都在可积,
3
2bbb22,,则, f(x)g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx,,,,,aaa,,
f(x),t,g(x)等号当且仅当时成立。
结论:柯西积分不等式是柯西不等式的推广。 四、二维柯西不等式的认识
中学数学主要是在二维平面和三维空间中讨论问题,为了应用柯西不等式解决中学数学中的具体问题。我们有必要对柯西不等式的低维形式——二维柯西不等式进行再认识。
二维柯西不等式
22222 (ac,bd),(a,b)(c,d)
等号当且仅当时成立。 ad,bc
请大家思考除了将二维柯西不等式看成一元二次函数的判别式和向量的模两种认识以外,是否有其他的认识呢,下面请大家按以前的研究性学习小组进行研究。如果在研究过程中有问题,可以参考我给出的提示语。
提示语:可以根据变形后的结构特征进行联想~
22222 (ac,bd),(a,b)(c,d)
2222 ,ac,bd,a,b,c,d
ac,bd22 ,,c,d22a,b
ac,bd ,,12222a,b,c,d
五、小结
如果一个定理跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个定理肯定很重要。而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系。它的重要性是不容置疑的~
六、作业
4
将小组对二维柯西不等式的再认识研究结果,递交一篇数学作文。
5
柯西不等式
案例分析:毒贩被抓获时, 随身携带未出售毒品, 是贩卖毒品罪的既遂还是未遂?
刘刚 陈凤龙
【基本案情】
2013年8月至2014年10月间,被告人赵某先后向吸食人员孙某等8人贩卖冰毒23.77克,公安机关抓获被告人时扣押其随身携带的未出售冰毒7.8克。
公诉机关以被告人构成贩卖毒品罪(既遂,数量31.57克)向五大连池市人民法院提起公诉。五大连池市人民法院判决一审认定,被告人赵某贩卖毒品罪成立数量为23.77克,未遂7.8克,判处被告人有期徒刑8年,并处罚金2万元。
【争议问题】
本案争议的焦点是毒贩被抓获时,随身携带的未出售的毒品,是贩卖毒品罪的既遂还是未遂?
【分歧意见】
第一种意见:对毒贩未出售的毒品认定为未遂。 毒品实际上没有转移时,即使已经达成转移的协议,或者行为人已经获得了利益,也不能认为是既遂。毒贩未能完成毒品交易即未能实际交付毒品以及贩卖毒品之目的没有实现即犯罪“未得逞”,其完全符合我国《刑法》第23条关于犯罪未遂的规定,应当按照贩卖毒品罪未遂论处。本案中,尽管被告人已经贩卖的23.77克冰毒,认定为贩卖冰毒为既
遂,符合罪刑法定原则。但没有出售的7.8克冰毒,由于该部分毒品尚未转移到买方手中,还在毒贩手中控制,应认定为贩卖毒品未遂。
第二种意见:对毒贩未出售的毒品认定为既遂。对于被告人被查获的冰毒7.8克,因有证据证明其实施了贩卖行为,该部分毒品被告人有贩卖的故意,不论被告人是否将该部分毒品出售,是否获得了毒资,都应当认定为贩卖毒品既遂。
【笔者意见】
笔者同意第二种意见。
在司法实践中,关于贩卖毒品罪的理论主要三种学说,一是“交易说”是指买卖双方就毒品的买卖已经进入交易环节,则为既遂,是否实际支付毒品或毒资在所不问。二是“契约说”是指买卖双方就买卖毒品达成合意,则为既遂,毒品是否交易在所不问。三是“交付说”是指卖方将毒品已经实际交付给买方,则为既遂,毒资是否交付在所不问。
现阶段, 我国对贩卖毒品犯罪是从严打击的,在毒品犯罪既遂与未遂的认定上,应当以有利于严厉惩罚犯罪为原则。贩卖毒品,是指明知是毒品而非法销售或者以贩卖为目的而非法收买毒品的行为。贩卖毒品罪主观上以具有贩卖故意为要件,只要控制毒品的犯罪嫌疑人主观上具有贩卖的故意,不论毒品交易是否进入交易环节、是否达成交易合议、毒品是否实际卖出、是否获利,都应当认定为贩卖毒品犯罪的既
遂,但考虑该部分毒品未实际卖出,在量刑时可对被告人酌情从轻处罚。
2008年9月24日,最高人民法院副院长张军在全国部分法院审理毒品犯罪案件工作座谈会上的讲话中谈到关于毒品犯罪的既遂与未遂问题,提出“毒品交易双方约定交易地点后尚未见面,在途中即被抓获的,对于卖方,仍应认定为犯罪既遂,因为他是为卖而买到毒品;对于买方,因其尚未与卖方进行实际交易,应认定为犯罪未遂。这一讲话精神,很好的体现了对贩卖毒品犯罪从严的精神本质。
本案中,赵某持有的尚未交易的冰毒7.8克,在有证据证实其有贩卖的故意时,应当认定为贩卖的既遂,但考虑尚未卖出,在考虑量刑时酌情予以从轻考虑。
【处理结果】公诉机关对一审判决审查后认为, 被告人未出售的7.8克冰毒, 法院认定贩卖毒品未遂错误, 在得到上一级检察院的支持后, 以一审法院认定被告人未出售的7.8克冰毒未遂错误, 适用法律不当为由向上一级法院提出抗诉。
经上一级法院裁定发回重审后,五大连池市人民法院判决认定:被告人赵某贩卖毒品31.57克(既遂),判处有期徒刑10年6个月,并处罚金3万元。
柯西不等式
柯西不等式
满分:
班级:_________ 姓名:_________ 考号:_________
一、单选题(共5小题) 1.设正实数
为( ) A.0
考点:柯西不等式 答案:B 试题解析: 由
得
。所以
B.1
C.
满足
则当
取得最大值时,
的最大值
D.3
当且仅当
,即
时取等号此时
,
,
,故选B
2.设a,b,c,x,y,z是正数,且a+b+c=10,x+y+z=40,ax+by+cz=20,则
A.
考点:柯西不等式 答案:C
B.
C.
D.
2
2
2
2
2
2
( )
试题解析:由于
,则
,又
,所以
,等号成立当且仅当,所以由题知,答案选C。
3.x、y>0, x+y="1," 且
A.
≤a恒成立, 则a的最小值为
B. 2
C.2
D.
考点:柯西不等式 答案:D
试题解析:解:因为x、y>0, x+y=1,要使
大值即可。而
≤a恒成立,则a大于等于
的最
4.若0<x1<x2, 0<y1<y2,且x1+x2=y1+y2=1,则下列代数式中值最大的是( )
A.x1y1+x2y2 C.x1y2+x2y1
B.x1x2+y1y2 D.
考点:柯西不等式 答案:A
试题解析:试题分析:依题意取x1=y1y2
=
,
,故选A。
,x2=
,y1
=
,y2=
。计算x1y1+x2y2=
,x1x2+
x1y2+x2y1
=
考点:本题主要考查不等式的性质,选择题的灵活解法。
点评:简单题,本题可利用“特殊值法”解答,体现选择题解法的灵活性。
5.对于实数
A.5
若
B.2
则
C.4
的最大值为( )
D.3
考点:柯西不等式 答案:A
试题解析:∵|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+2|(y-2)+1|≤|x-1|+2|y-2|+2, 再由|x-1|≤1,|y-2|≤1可得|x-1|+2|y-2|+2≤1+2+2=5, 故|x-2y+1|的最大值为5, 故答案为A
二、多选题(共1小题) 6.设
A.
考点:柯西不等式 答案:C
试题解析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.
由于
等号成立当且仅当所以由题知
又
则a="t" x b="t" y c="t" z ,
,答案选C。
B.
C.
D.
是正数,且
,
,
,则
第II卷(非选择题)
本试卷第二部分共有45道试题。 三、解答题(共24小题)
7.已知关于x的不等式|x+a|
考点:柯西不等式绝对值不等式 答案:(Ⅰ)a=-3,b=1;(Ⅱ)4
+
的最大值.
.
试题解析: (Ⅰ)由,得, 由题意得
,解得
;
(Ⅱ
)柯西不等式得
, 当且仅当即
时等号成立,故
.
8.(1)试证明柯西不等式:()
(2)若且
,求
的最小值
考点:柯西不等式 答案:见解析 试题解析: (1)证明:左边
右边
左边右边 所以左边右边 (2)令
,,则
,
因为,所以
所以
由柯西不等式得
当且仅当,即
,
或
,
时
的最小值为1
9.(1)试证明柯西不等式:(2)若
考点:柯西不等式 答案:见解析 试题解析: (1)证明:左边 左边右边 所以左边右边 (2)令
因为所以
,即
,
或
,
时
,,所以
,则
,
右边
且
,求
(的最小值.
)
由柯西不等式得当且仅当的最小值为1
10.(1)矩阵与变换 已知平行四边形
.其在矩阵
(Ⅰ)求
的值;
的逆矩阵
.
的四个顶点的坐标分别为,,
。
,
所对应的变换作用下变成菱形
(Ⅱ)求矩阵
(2)极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, (Ⅰ)已知曲线
的极坐标方程为
,将曲线的参数方程为
=
.求曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程;
(
,为参
(Ⅱ)若在平面直角坐标系xoy中,曲线数).已知曲线(3)不等式选讲 已知函数
.
上的点M(1,
)及对应的参数的直角坐标方程;
(Ⅰ)求证:,并说明等号成立的条件;
恒成立,求实数
的取值范围.
(Ⅱ)若关于的不等式
考点:矩阵行列式参数方程极坐标柯西不等式绝对值不等式 答案:见解析 试题解析: (1)
解:(Ⅰ)由题意可知点
,
故点
显然四边形
为平行四边形,故要使得,由
,解得
为菱形,只需
,即
,
,
,
在矩阵
所对应的变换作用下变成点
(2)(Ⅰ)由,故
解析:(I)x+y=6x
22
(Ⅱ)将及对应的参数,代入,得
,即
,所以曲线C的方程为
(3)(Ⅰ)由柯西不等式得所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
或
.故
. 当且仅当,又不等式
的取值范围为
.
,
,即
时,等号成立
,解得
恒成立,所以
11.(1)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的
极坐标为,直线的极坐标方程为,且点A在直线上。
(Ⅰ)求的值及直线的直角坐标方程; (Ⅱ)圆C的参数方程为(2)已知不等式
,试判断直线l与圆C的位置关系.
的解集与关于的不等式
的解集相等.
(Ⅰ)求实数,的值; (Ⅱ)求函数
考点:参数方程极坐标柯西不等式 答案:见解析 试题解析: (Ⅰ)由点
在直线
上,可得
的最大值,以及取得最大值时的值.
所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为(Ⅱ)由已知得圆所以圆心为
的直角坐标方程为
,半径
以为圆心到直线的距离(Ⅰ)∵不等式∴不等式从而, 解得:(Ⅱ)函数
. 的定义域为
为方程
,所以直线与圆相交
的解集为的解集为
的两根,
.
,
,且显然有
,由柯西不等式可得:
, 当且仅当:即
时等号成立,
时,函数取得最大值
.
12.(1)矩阵与变换
若二阶矩阵
满足
;
上,求所得曲线的方程.
.
(Ⅰ)求二阶矩阵(Ⅱ)把矩阵
所对应的变换作用在曲线
(2)坐标系与参数方程
在直角坐标系为参数)
中,直线的方程为,曲线的参数方程(
(I)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半
轴为极轴)中,点(II)设点
为曲线
的极坐标,判断点与直线的位置关系;
上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
(3)不等式选讲 已知关于的不等式:(Ⅰ)求整数(Ⅱ)已知
考点:柯西不等式绝对值不等式参数方程极坐标矩阵行列式 答案:见解析 试题解析:
的值;
,若
,求
的最大值
的整数解有且仅有一个值为2.
(1)解:(Ⅰ)记矩阵,故,故.
由已知得.
(Ⅱ)设二阶矩阵所对应的变换为,得,
解得又
, ,故有
.故所得曲线的方程为
.
化为直角坐标,得P(0,4)。
,
,化简得
(2)(I)把极坐标系下的点
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线的方程所以点P在直线上.
(II)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为从而点Q到直线
的距离为
,
, 由此得,当(3)( I )
不等式的整数解为2,
又不等式仅有一个整数解2,
(Ⅱ)显然
由柯西不等式可知:
所以当且仅当 13. 已知
,证明
即
时取等号,最大值为
时,d取得最小值,得
考点:柯西不等式 答案:见解析
试题解析:
14.若均为正实数,并且,求证:
考点:柯西不等式不等式证明 答案:见详解. 试题解析:
根据柯西不等式和不等式的基本性质证
明.
. ,.
又.
15.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R,且,求证:
考点:柯西不等式 答案:(1)(2)见解析
试题解析:(1
)
的
解集是,故。
,由柯西不等式得
(2)由(1)知
16.本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分 (1)选修4-2:矩阵与变换 变换
是将平面上每个点
的矩阵;
在变换
的作用下变成了什么图形?
的极坐标方程为:(为参数).
的横坐标乘,纵坐标乘,变到点
.
(Ⅰ)求变换(Ⅱ)圆
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若曲线
,直线的参数方程为:
(Ⅰ)求曲线
的直角坐标方程;
,曲线
与交于M,N两点,求
的值.
(Ⅱ)直线上有一定点(3)选修4-5:不等式选讲 已知
为实数,且
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求实数m的取值范围. 考点:柯西不等式
答案:(1)解:(Ⅰ)由已知得T:
∴变化T的矩阵是∴(Ⅱ)由代入方程∴圆C:
(2)解:(Ⅰ)由
……3分 得:,得:
………………………4分 ………………………6分
……………………7分
在变化T的作用下变成了椭圆
得
即整理得
,从而
………………………………… 3分
的直角坐标方程,得
……………… 7分
(Ⅱ)把直线的参数方程代入到曲线
.由的几何意义知
(3)解:(Ⅰ)由柯西不等式得分 即
(Ⅱ
)由已知得
………2
…………4分
…………6分
又
试题解析: 17.不等式选讲。 已知
均为正实数,且
.求
的最大值.
…………7分
考点:柯西不等式
答案:解:由柯西不等式得
…
当且仅当a=b=c=故
试题解析: 18.已知
时等号成立
的最大值为
.…
考点:柯西不等式
答案:
综上的取值范围为试题解析: 19.证明:对于任意的考点:柯西不等式 答案:见解析 试题解析:证明:设而即
20.已知
考点:柯西不等式
,得
,恒有不等式
,则
答案:
综上的取值范围为试题解析:
21.(选修4—5:不等式选讲) 求函数
考点:柯西不等式 答案:3
试题解析:解:因为∴
≤ 8分,
最大值.
≤ 6分
当且仅当即当
时,
时取“”号, 10分
22.设(I)当(II)当
且
时,求的取值范围; 时,求
的最小值.
考点:柯西不等式 答案:(I)
;(II)
,解出y代入
可得到关于x的
试题解析:(I)当z=1时,可得
绝对值不等式,再采用零点分段法,去绝对值,分段求解即可.
(II)根据柯西不等式,
然后转化为,
即可求出
的最小值.
(I)当
,解得(II
)
时,则
,即
,代入原不等式化简得
即时,23.已知实数值.
考点:柯西不等式
,当且仅当
,又
,即
满足
,且
的最大值是7,求的
答案:
.
试题解析:本题是考查柯西不等式的应用.
根据柯西不等式:
,可得出
的最大值,从而可根据最大值为7,建立关于a的方程解出a值.
解:由柯西不等式:. …………………6分 因为所以因为当
,即
的最大值是7,所以
时,
,得取最大值,所以
满足
的最小值.
. ……………………9分 , ……………………10分
.…………………13分
24.(本大题9分)已知大于1的正数(1)求证:(2)求
考点:柯西不等式
答案:(1)见解析;(2)3.
试题解析:(1)根据柯西不等式证明即可. (2)
然后再根据柯西不等式证明即可. 证明:(1
)由柯西不等式得:
得:(2)
由柯西不等式得:所以,
,
得所以,
等号成立.故所求的最小值是3. 25.选修4—5;不等式选讲 已知f(x)=x|x-a|-2
(1)当a=1时,解不等式f(x)<|x-2|>|x-2|><>
x2-1恒成立,求实数a的取值范围。
当且仅当
时,
答案:
试题解析:
26.(I
)试证明柯西不等式:
(II)已知,且,求
的最小值.
考点:柯西不等式
答案:(1)对于不等式的证明可以运用综合法也可以运用分析法来得到。也可以运用作差法加以证明。 (2)根据题意,由于
,那么结合均值不等式来求解最值。
,
试题解析:试题分析:(Ⅰ)证明:左边=右边=左边右边
左边右边, 命题得证. 3分 (Ⅱ)令, , 4分 由柯西不等式得:当且仅当
,即
, 5分 ,或
,,则
,
,
, 2分
时 6分
的最小值是1 . 7分 解法2
:
,
, 4分, 5分 当且仅当
的最小值是1. 7分
考点:不等式的证明与求解最值
点评:主要是考查了不等式的证明,以及均值不等式求解最值的运用,属于中档题。 27.(本题12分)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5, 求证:(Ⅰ)(Ⅱ)
.
;
,或
时 6分
,
考点:柯西不等式
答案:(Ⅰ)应用柯西不等式
(Ⅱ)由(Ⅰ)得(3-a)<5-a,推出试题解析:试题分析:(Ⅰ
)
2
2
,
。
。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得(3-a)<5-a
22
考点:本题主要考查柯西不等式的应用,不等式的证明。
点评:中档题,关键是根据已知条件,构造柯西不等式,对考查考生创新思维,有较好的作用。 28.已知函数(1)求
最大值?
成立,求实数
的取值范围。
.
(2)若存在实数
使考点:柯西不等式 答案:(1)
最大值是3.(2)实数的取值范围
。
试题解析:试题分析:(1
)由柯西不等式有
当且仅当
(2)依题意,只须实数
的取值范围
。
,即
时,等号成立。所以,,由(1)得,
最大值的是3. ,解得
。所以,
考点:本题主要考查柯西不等式的应用,不等式恒成立问题。
点评:中档题,涉及不等式恒成立问题,往往应用“转化与化归思想”,将问题转化成求函数的最值问题,利用不等式或导数,求函数的最值。
29.设正数(1)满足(2)若
,
,求证:,求
;
的最小值。
考点:柯西不等式
答案:(1)不等式的证明,可以运用均值不等式来得到证明。 (2)根据均值不等式的一正二定三相等来求解最值。 试题解析:试题分析:⑴
证明:(利用柯西不等式)
⑵根据题意,由于
,那么
,在可以根据均值不等
式同时取得等号得到其最小值为考点:均值不等式
点评:主要是考查了不等式的证明以及最值的求解,属于中档题。 30.已知
,则
考点:柯西不等式
答案:利用三角形的三边的不等关系,通过构造共顶点的三个120度的角,来分析证明得到。
试题解析:本试题考查了不等式的证明 试题分析:证如下:
, 作DAOB = DBOC = DCOA = 120°设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z 两边之和小于第三边得证。
(不等式证明方法很多,请阅卷老师酌情给分) 考点:不等式的证明
点评:对于不等式的证明,可以构造函数来结合函数的单调性来得到不等式的关系,也可以直接运用均值不等式来放缩得到结论,也可以结合两点的距离公式理解不等式来求解得到,是一道有难度的试题。
四、填空题(共21小题)
31.若
考点:柯西不等式 答案:4 试题解析: 由柯西不等式可知所以 32. 对于
,当非零实数a,b满足的最小值为__________
,且使
最大时,
,且
,则
的最小值为_________
考点:柯西不等式 答案:-1 试题解析:由柯西不等式得,
,
当
最大时,
,
,
当b=-2时,取得最小值为-1 33.(不等式选做题)设为______. 考点:柯西不等式 答案:
,且
,则
的最小值
试题解析: 利用柯西不等式与
34.对于
,当非零实数a,b满足的最小值为 .
考点:柯西不等式 答案:-2
,且使
最大时,
试题解析:
35.已知a,b均为正数且考点:柯西不等式 答案:
的最大值为.
试题解析:
由柯西不等式可得:
36.设
考点:柯西不等式 答案:
,且
,则
的最小值为________
试题解析:利用柯西不等式与
37. 已知实数
满足
,
,则的最大值是____________;
考点:柯西不等式 答案:
试题解析:
,
可以看做是关于b的一元二次方程,且方程有解, 所以
38.已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为
考点:柯西不等式 答案:2 试题解析: 由柯西不等式可得
39. 已知
.
考点:柯西不等式 答案:12 试题解析:
,所以
.
40.设x,y,z∈R,且满足:
,则x+y+z= _________ .
考点:柯西不等式 答案:试题解析: 根据柯西不等式,得 当且仅当∵结合∴
=
时,上式的等号成立
,
,可得x+2y+3z恰好取到最大值,可得x=+
+
,y==
,z=
因此,x+y+z=故答案为:
41.已知、均为正数,且考点:柯西不等式 答案:
,则
的最大值为__________
试题解析: 由柯西不等式可得:所以,故答案为:
42.设x, y, z∈R, 且满足: x2+y2+z2=1, x+2y+3z=考点:柯西不等式 答案:
, 则x+y+z=
试题解析:由柯西不等式有(x2+y2+z2) (12+22+32) ≥(x+2y+3z) 2, 等号当且仅当x∶y∶z=1∶2∶3时成立, 所以x+y+z=6x, 又
=x+2y+3z=14x, 故x=
, 从而x+y+z=
.
43.已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_________.
考点:柯西不等式 答案:2
试题解析:由柯西不等式可得
44.设
,且满足:
_________
考点:柯西不等式 答案:
试题解析:由柯西不等式以
,又题目中,即
。
45.已知
考点:柯西不等式 答案:12
试题解析:
。
,所以
则
的最小值为______________. ,故
,又,所以
,所
,则
46.选修4-5:不等式选讲 设函数(I)当(II)如果对考点:柯西不等式
时,求
的最小值;
,求实数的取值范围.
答案:解:(I)根据题意将绝对值符号去掉得分段函数:
……….3分
作出函数的图象如图, 由图象可知,函数(II)∵对∵
∴
,∴
或,
的最小值为3 ……………..6分
,∴
对一切实数恒成立.
……8分
,
∴的取值范围为. …10分
试题解析: 47.观察下列式子 , ….
则可归纳出 . 考点:柯西不等式 答案:
(n∈N)
*
试题解析:解:因为观察下列式子 , …. 则可归纳出
48.已知:x+2y+3z=1,则考点:柯西不等式 答案:
(n∈N)成立。
的最小值是
*
2
2
2
试题解析:试题分析:利用题中条件:构造柯西不等式(x+y+z)×(1+4+9 )≥(x+2y+3z)。
已知x+2y+3z=1,∴x+y+z≥则x+y+z的最小值为
2
2
2
2
2
2
2
.
考点:本题主要考查柯西不等式的应用。
点评:利用题中条件,构造柯西不等式(x+y+z)×(1+4+9 )≥(x+2y+3z)是解题的关键。
49.(不等式4-5)已知
的最小值为; 考点:柯西不等式 答案:
.
,那么
2
2
2
2
试题解析:试题分析:根据柯西不等式,[
]=[3+
=[3+所以最小值为
。
]≥(3+≥
,
)2=
的
](1+1+1)≥[(x+2y+3z)+
]
等号成立条件,按柯西不等式“=”成立的条件可以确定 。 考点:本题主要考查柯西不等式的应用。
点评:中档题,根据已知条件,通过构造应用“柯西不等式”的条件,应用柯西不等式求得最值。
50.(1)已知实数(2)在极坐标系中交点的极坐标为 。 考点:柯西不等式 答案:(1).2;(2).
满足
,曲线
,则
的最小值为。
与
的
试题解析:试题分析:(1
)由柯西不等式得:
,即
,所以
(2)曲线
的最小值为2.
,曲线
的
的直角坐标方程为:
直角坐标方程为,联立,所以交点的极坐标方程为。
考点:柯西不等式;极坐标方程与直角坐标方程的互化;直线的极坐标方程。
点评:本题直接考查柯西不等式和极坐标方程与直角坐标方程的互化,我们要熟记它们的互化公式。属于基础题型。 51.设
是
和
的等比中项,则
的最大值为
考点:等比数列柯西不等式 答案:2
试题解析:
柯西不等式
选修4-5学案 §3.1.1柯西不等式(1) 姓名
☆学习目标: 1. 认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义; 2. ∈R 变式20. 若a , b , c , d ,
;
?知识情景:
变式30. 若x 1, y 1, x 2, y 2∈R ,
1. 定理1 如果a , b ∈R , 那么a 2+b 2≥2ab . 当且仅当a =b 时, 等号成立.
当a >0, b >0时,由a +b ≥2ab ?基本不等式:
2
2
几何意义:
2 探究 如图, 设∠AOB =α,自点O 沿OA 边依次取n 个点A 1, A 2, OB 边依次取取n 个点B 1, B 2,
某个点B j 连接,得到?AOB i j ,这样一一搭配,一共可得到 n 个三角形。显然,不同的搭配方法,得到的?AOB i j 不同,问:OA 边上的点与OB 边上的点 如何搭配,才能使n 个三角形的
2. 如果a , b , c , d ∈R , 那么a 2+b 2≥2ab ,c 2+d 2≥2cd ?(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥ 另一方面,有(ac +bd ) 2=a 2c 2+b 2d 2+2abcd ≥ 问题:(a +b )(c +d )
2
2
2
2
, A n ,
, B n ,在OA 边取某个点A i 与OB 边
(ac +bd )
2
? ? ?
(ac +bd ) 2.
?新知建构:
1. 柯西不等式:若a , b , c , d ∈R ,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)
当且仅当 时, 等号成立.
面积和最大(或最小)???
设OA i =a i , OB j =b j (i , j =1,2, , n ) ,由已知条件,得
a 1
此即二维形式的柯西不等式.
证法1. (综合法)(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2
=(
+a n c n
) +(
2
)
2
(ac +bd )
2
因为?AOB i j 的面积是,而
代数问题:设c 1, c 2,
当且仅当, 等号成立.
证法2. (构造法)
分析:(ac +bd )
2
2
c , n 是数组b 1b ,
2
则, b n 的任何一个排列, , S =a 1c 1+a 2c 2+
何时取最大(或最小)值?
(a 2+b 2)(c 2+d 2) ?[2(ac +bd )]2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2)
2
2
2
2
我们把S =a 1c 1+a 2c 2++a n c n 叫做数组(a 1, a 2, , a n ) 与(b 1, b 2, , b n ) 的乱序和. 其中, S 1=a 1b n +a 2b n -1+a 3b n -2++a n b 1称为.
S 2=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+
而[2(ac +bd )]-4(a +b )(c +d ) 的结构特征 那么, 证:设f (x ) =(a 2+b 2) x 2-2(ac +bd ) x +c 2+d 2,
∵ f (x ) =(ax -c ) 2+(bx -d ) 2 0 恒成立. ∴得证.
证法3. (向量法)设向量m =(a , b ) ,n =(c , d ) , 则|m |= ∵ m ?n =
+a n b n 称为. 这样的三个和大小关系如何?
反序和乱序和
顺序和 即 S 1
=b n 时, S 1
S
30. 容易发现, 当a 1=a 2=
,|n |=
.
=a n , 或b 1=b 2=
S 2.
S S 2;
如果a 1, a 2, , a n , 不全相等, b 1, b 2, , b n 也不全相等. 则?i , j (1≤i , j ≤n ) 和l , k (1≤l , k ≤n ) 使a i
S =S 2-(a i b i +a j b j +a l b l +a k b k ) +(a i b k +a j b l +a l b i +a k b j ) S
**
*
,且?=||?||?cos <,>,有|m ?n ||m |?|n |.
=S 2-(a i b i +a j b j +a l b l +a k b k ) +(a i b l +a j b k +a l b i +a k b j )
∴ . 得证.
∵ S **-S *=(a i -a j )(b k -b l )
∴ S 1≤S
*
0?S *
≤a n , b 1≤b 2≤
S **
≤b n 为两组数,
2. 二维柯西不等式的变式:
变式10. 若a , b , c , d ∈R ,则a 2+b 2?c 2+d 2
|ac +bd | 或a 2+b 2?c 2+d 2ac +bd ;
定理(排序不等式, 又称排序原理):设a 1≤a 2≤
c 1, c 2, , c n 是b 1, b 2, , b n 的任意一个排列, 则
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- 1 -
a 1b n +a 2b n -1+a 3b n -2++a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2++a n c n ≤a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+ 当且仅当a 1=a 2==a n , 或b 1=b 2==b n 时, 等号成立. 3. 二维柯西不等式的应用:
+a n b n .
例1 已知a , b 为实数,
证明(a 4+b 4)(a 2+b 2) ≥(a 3+b 3) 2
选修4-5学案 §3.1.2柯西不等式(2) 姓名
例2 设a , b ∈R *, a +b =1,
11
求证+≥4
a b
☆学习目标: 1. 认识二维柯西不等式的几种形式,进一步理解它们的几何意义; 2. ?知识情景:
2222
2222(a +b )(c +d ) ≥a +b ≥2ab c +d ≥2cd 1. 如果a , b , c , d ∈R , 那么,?22222
(ac +bd ) =a c +b d +2abcd ≥ 另一方面,有
问题:(a +b )(c +d )
2222
(ac +bd ) 2
2. 柯西不等式的证明:
证法10. (综合法)(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2
=(
) 2+() 2(ac +bd ) 2
例3 求函数y =
当且仅当, 等号成立.
证法2. (构造法) 设f (x ) =(a 2+b 2) x 2-2(ac +bd ) x +c 2+d 2,
∵ f (x ) =(ax -c ) 2+(bx -d ) 2 0 恒成立.
∴得证.
证法3. (向量法)设向量m =(a , b ) ,n =(c , d ) , 则|m |= ∵ |m ?n |
,|n |=.
|m |?|n |.
∴. 得证.
3. 柯西不等式的变式: 变式10.
例4 若2x +3y =1, 求4x 2+9y 2的最小值, 并求最小值点.
|ac +bd |
+bd ;
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- 2 -
∈R 变式20. 若
a , b , c , d ,
;
变式30. 若x 1, y 1, x 2, y 2
∈R ,
变式40. (三角形不等式)设x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3为任意实数,则:
例3 设x ,y ,z 为正实数,且x+y+z=10,求
?新知建构:
前面的柯西不等式,称二维形式的柯西不等式. 意味着还有多维形式的柯西不等式.
1.三维形式的柯西不等式:若a , b , c , d , e , f ∈R ,
则 .
当且仅当 时, 等号成立. 2. 柯西不等式的一般形式:
419
++的最小值。 x y z
设n 为大于1的自然数,a i , b i
∈R (i =1,2, …, n ) ,则:∑a i
i =1
n
2
∑b
i =1
n
2
i
≥(∑a i b i ) 2,
i =1
n
例4 在?ABC 中,设其各边长为a , b , c , 外接圆半径为R ,
求证:(a 2+b 2+c 2)(
111
++) ≥36R 2 222
sin A sin B sin C
b b b
其中等号当且仅当1=2= =n 时成立(当a i =0时,约定b i =0,i =1,2, …, n ).
a 1a 2a n 3. 柯西不等式的变式:
2
(∑a i ) 2a i
≥ 变式1 设a i ∈R , b i >0i (=1, 2, . n , 则:∑b b i =1i i
n
等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i ≤n ) 变式2 设a i ?b i >0(i =1,2,
2
a i (∑a i )
. , n ), 则:∑≥
b a b i =1i i i
n
等号成立当且仅当b 1=b 2= =b n . 4.
柯西不等式的应用:
111
++≥9. a b c
选修4-5练习 §3.2.1柯西不等式(2) 姓名 1、 已知a , b , c ∈R +且a +b+c=1,求4a +1+4b +1+4c +1的最大值。
例1 已知a , b , c 均为正数,且a +b +c =1,求证:
a 2+b 2+c 2
2、已知正数a , b , c 满足a +b +c =1 证明 a +b +c ≥
3
3
3
3
例2 已知a 1,a 2,…,a
n
≥
∑a
i =1
n
i
n
3、已知实数a , b , c , d 满足a +b +c +d =3, a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5. 试求a 的最值.
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- 3 -
4、设p 是ABC 内的一点,x , y , z 是p 到三边a , b , c 的距离,R 是ABC 外接圆的半径,
证明
:
7、设a 、b 、c 为正数且各不相等, 求证:
8、设x , y , z ∈R +, 且x+2y+3z=36, 求
9、若n 是不小于2的正整数,试证:
2229
++> 。 a +b b +c c +a a +b +c
5、ΔABC 之三边长为4,5,6,P
x ,y ,z ,
222
求x +y+z的最小值。(提示: ?ABC 面积
123
++的最小值. x
y z
6、(1)已知a , b 是正常数, a ≠b , x , y ∈(0,+∞) ,
求证:a +b ≥(a +b ) , 指出等号成立的条件;
x
y
x +y
2
2
2
4111
<>
+
11。 -
2n -12n 2
(2)利用(1)的结论求函数f (x ) =2+9(x ∈(0,1) )的最小值,指出取最小值时x 的值.
2x 1-2x
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- 4 -
选修4-5练习 §3.1.2柯西不等式(3) 姓名
1、已知a 1, a 2,
1
, a n ∈R +,求证:(a 1+a 2+
n
+a n ) 2≤a 12+a 22++a n 2
149
6、已知x , y , z ∈R +, 且x +y +z =1, 求证:++≥36
x y z
2、已知a , b , c , d 是不全相等的正数,求证:a 2+b 2+c 2+d 2>ab +bc +cd +da
a 2+b 2+c 2
7、已知正数a , b , c 满足a +b +c =1 证明 a +b +c ≥
3
3
3
3
3、已知x +2y +3z =1,
求x +y +z 的最小值.
222
选修4-5学案 §3.2.1排序不等式 姓名
4、 设x 1,x 2,
☆学习目标: 1. 了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. ?知识情景:
x n ∈R +, 且x 1+x 2+
22x 1x 2
+x n =1, 求证:++
1+x 11+x 2
2x n 1
+≥
1+x n n +1
1. 一般形式的柯西不等式:设n 为大于1的自然数,a i , b i ∈R (i =1,2, …, n ) ,
则:.
当且仅当, 等号成立.
(若a i =0时,约定b i =0,i =1,2, …, n ).
2
(∑a i ) 2a i
, n ), 则:∑b ≥
i =1b i . i
n
5、已知实数a , b , c , d , e 满足a +b +c +d +e =8, a +b +c +d +e =16, 求e 的取值范围.
2
2
2
2
2
变式10. 设a i ∈R , b i >0(i =1,2,
当且仅当, 等号成立.
变式2. 设a i ?b i >0(i =1,2,
2
a i (∑a i )
. , n ), 则:∑≥
i =1b i a i b i
n
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- 5 -
当且仅当b 1=b 2= =b n 时, 等号成立.
变式3. (积分形式) 设f (x ) 与g (x ) 都在[a , b ]可积,B 1, B 2, B j , B n , B , A 1, A 2, A i , A n , A
则?
???
b
a
b b
f (x ) g (x ) dx ?≤?f 2(x ) dx ??g 2(x ) dx ,
?a a ?
2
当且仅当f (x ) =t ?g (x ) 时, 等号成立. 2. 探究 如图, 设∠AOB =α,自点O 沿OA 边依次取n 个点A 1, A 2,
, A n ,
说明将S =a 1c 1+a 2c 2++a n c n 中第一项换为a 1b 1后, 和式变
20. 若c 1≠b 1, 则转而考察c 2, 并进行类似讨论. 可证将式中第二项换为a 2b 2后, 和式变. 如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是 且不难知道, 最小和数只能是因此
OB 边依次取取n 个点B 1, B 2, , B n ,在OA 边取某个点A i 与OB 边
反序和乱序和
某个点B j 连接,得到?AOB i j ,这样一一搭配,一共可得到 n 个三角形。显然,不同的搭配方法,得到的?AOB i j 不同,问:OA 边上的点与OB 边上的点 如何搭配,才能使n 个三角形的
顺序和 即 S 1
=b n 时, S 1
S
30. 容易发现, 当a 1=a 2=
=a n , 或b 1=b 2=
S 2.
S S 2;
如果a 1, a 2, , a n , 不全相等, b 1, b 2, , b n 也不全相等. 则?i , j (1≤i , j ≤n ) 和l , k (1≤l , k ≤n ) 使a i
S =S 2-(a i b i +a j b j +a l b l +a k b k ) +(a i b k +a j b l +a l b i +a k b j ) S **=S 2-(a i b i +a j b j +a l b l +a k b k ) +(a i b l +a j b k +a l b i +a k b j )
*
面积和最大(或最小)???
设OA i =a i , OB j =b j (i , j =1,2, , n ) ,由已知条件,得
a 1
+a n c n
∵ S **-S *=(a i -a j )(b k -b l )
∴ S 1≤S
*
0?S *
≤a n , b 1≤b 2≤
S **
≤b n 为两组数,
+a n b n .
因为?AOB i j 的面积是 ,而
代数问题:设c 1, c 2,
c , n 是数组b 1b ,
2
则, b n 的任何一个排列, , S =a 1c 1+a 2c 2+
定理(排序不等式, 又称排序原理):设a 1≤a 2≤
何时取最大(或最小)值?
我们把S =a 1c 1+a 2c 2++a n c n 叫做数组(a 1, a 2, , a n ) 与(b 1, b 2, , b n ) 的乱序和. 其中, S 1=a 1b n +a 2b n -1+a 3b n -2++a n b 1称为.
S 2=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+
c 1, c 2, , c n 是b 1, b 2, , b n 的任意一个排列, 则
a 1b n +a 2b n -1+a 3b n -2++a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2++a n c n ≤a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+ 当且仅当a 1=a 2==a n , 或b 1=b 2==b n 时, 等号成立.
☆ 排序不等式的应用:
例1. 若a 1,a 2,…,a n 为两两不等的正整数,
111+++ 求证:23
+
a 3a 1
≤a 1+2++n 2232
+a n
n 2.
+a n b n 称为. 这样的三个和大小关系如何?
1. 检验操作: 填表: 2. 一般性证明:
设a 1≤a 2≤≤a n , b 1≤b 2≤≤b n
例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是 4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序,才能使他们等
待的总时间最少?
c 1, c 2, , c n 是b 1, b 2, , b n 的任意一个排 选修4-5练习 §3.2.1排序不等式 姓名
1 2
列(有) . 所以, S =a 1c 1+a 2c 2+ 有有限个(≤
+a n c n 的不同值也只
个). 其中必有最大值
1、若0
A.a 1b 1+a 2b 2 B.a 1a 2+bb 12 C.a 1b 2+a 2b 1 D. 2、对a , b , c ∈R +, 比较a
3
和最小值.
+b 3+c 3与a 2b +b 2c +c 2a 的大小
考察S =a 1c 1+a 2c 2++a n c n ,
10. 若c 1≠b 1, 则应有某c k =b 1(k >1) , 且c 1
'+- S -S =
c k , 对换c , c 得S '=a c +
1k 1k
-=
+a k c 1++a n c n
≥0. ?S 'S .
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a b
3、已知a , b ∈R +≥a +b
a
+
4、正实数a 1, a 2, …, a n 的任一排列为a 1/, a 2/, …a n /, 则有
a 1a 2
++a 1'a 2'
+
a n
≥n a n '
8、在?ABC 中, 试证:
π
3
≤
aA +bB +cC π
a +b +c 2
5、设a 1,a 2,a 3,…,a n 为正数,求证:
a a a 1a
+2+ +n -1+n ≥a 1+a 2+ +a n . a 2a 3a n a 1
2222
a 12b 12c 12
++≥a 10+b 10+c 10 . 6、 设a , b , c ∈R +, 试证:
bc ca ab
9、设a 1, a 2, …, a n 是1,2, …, n 的一个排列,求证:
a 12n -1a 1a 2
++ +≤++ +n -1 23n a 2a 3a n
a 2+b 2b 2+c 2c 2+a 2a 3b 3c 3
++≤++10、设a , b , c ∈R , 求证:a +b +c ≤ 2c 2a 2b bc ca ab
+
7、设a , b , c ∈R +, 用排序不等式求证: a a b b c c ≥(abc )
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a +b +c 3
选修4-5学案 §3.1.2柯西不等式(2) 姓名
☆学习目标: 1. 认识二维柯西不等式的几种形式,进一步理解它们的几何意义; 2. ?知识情景:
1. 定理1 如果a , b ∈R , 那么a 2+b 2≥2ab . 当且仅当a =b 时, 等号成立.
变式30. 若x 1, y 1, x 2
, y 2∈
R 几何意义:
变式40. (三角形不等式)设
x , y , x , y , x , y 为任意实数,则:
2
3) ≥
当a >0, b >0时,由a 2+b 2≥2ab ?基本不等式: 3.三维形式的柯西不等式:若a , b , c , d , e , f ∈R ,
则 . 2. 如果a , b , c , d ∈R , 那么a 2+b 2≥2ab ,c 2+d 2≥2cd ?(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥
当且仅当 时, 等号成立.
另一方面,有(ac +bd ) 2=a 2c 2+b 2d 2+2abcd ≥ 4. 柯西不等式的一般形式: 1. 柯西不等式:若a , b , c , d ∈R ,则(a 2+b 2)(c 2+d 2) 当且仅当 时, 等号成立.
证法1. (综合法)(a 2+b 2)(c 2+d 2) =a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2
(ac +bd ) 2.
设n 为大于1的自然数,a i , b i 其中等号当且仅当
∈R (i =1,2, …, n ) ,则:∑a i
i =1
n
2
∑b
i =1
n
2
i
≥(∑a i b i ) 2,
i =1
n
=(2
) +(
2
)
a (c +b d 2)
b b 1b 2
== =n 时成立(当a i =0时,约定b i =0,i =1,2, …, n ). a 1a 2a n
2
(a i ) 2a i
≥ . , n ), 则:∑b b i =1i i
n
当且仅当, 等号成立.
证法20. (构造法)
2
(a 2+b 2)(c 2+d 2) ?[2(ac +bd )]2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2) 分析:(ac +bd )
5 柯西不等式的变式:
变式1 设a i ∈R , b i >0(i =1,2,
而[2(ac +bd )]2-4(a 2+b 2)(c 2+d 2) 的结构特征 那么, 证:设f (x ) =(a 2+b 2) x 2-2(ac +bd ) x +c 2+d 2,
∵ f (x ) =(ax -c ) 2+(bx -d ) 2 恒成立.
∴得证.
证法30. (向量法)设向量m =(a , b ) ,n =(c , d ) , 则|m |= ∵ m ?n =
,|n |=
|m |?|n |.
等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i ≤n ) 变式2 设a i ?b i >0(i =1,2,
2
a i (∑a i )
. , n ), 则:∑≥
b a b i =1i i i
n
等号成立当且仅当b 1=b 2= =b n . 课内探究: .
柯西不等式的应用:
,且?=||?||?cos <,>,有|m ?n |
例1 已知a , b 为实数,
证明(a 4+b 4)(a 2+b 2) ≥(a 3+b 3) 2
∴ . 得证. .
2. 柯西不等式的变式: 变式1.
例2 设a , b ∈R *, a +b =1,
11
求证+≥4
a b
ac +bd |
+bd ;
变式20.
若a , b , c , d ∈
R ;
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例3 求函数y =
例7已知x+2y+3z=1,求x 2+y2+z2的最小值
练习1 已知a , b , c 均为正数,且a +b +c =1,求证:
111
++≥9. a b c
例4 若2x +3y =1, 求4x +9y 的最小值, 并求最小值点.
2
2
例5已知a 1,a 2,…,a
n ∑a
i =1
n
i
n
练习2 在?ABC 中,设其各边长为a , b , c , 外接圆半径为R , 求证:(a 2+b 2+c 2)(
111
++) ≥36R 2 222
sin A sin B sin C
例6 已知a,b,c,d 是不全相等的正数,证明a 2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da
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