我们在四年级已经学过抽屉原理,并能够解答一些简单的 抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理的概念,然后结合一些较复杂的抽屉原理问题,讨论如何构造抽屉。
抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。
理解抽屉原理要注意几点:(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系,要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多,至于多多少,这倒无妨。
(2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法,不规定每个抽屉中都要放物品,即有些抽屉可以是空的,也不限制每个抽屉放物品的个数。
(3)抽屉原理只能用来解决存在性问题,“至少有一个”的意思就是存在,满足要求的抽屉可能有多个,但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
(4)将a件物品放入n个抽屉中,如果a?n= m……b,其中b是自然数,那么由抽屉原理2就可得到,至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。
例1五年级有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75,95分之间。问:至少有几名学生的成绩相同,
分析与解:关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”,说明应以成绩为抽屉,学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外,其余成绩均在75,95分之间,
共有21个不同分数,将这21个分数作为21个抽屉,把47-3=44(个)学生作为物品。 75,95
44?21= 2……2,
根据抽屉原理2,至少有1个抽屉至少有3件物品,即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。
例2夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同,
分析与解:本题的抽屉不是那么明显,因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”,所以应该把活动项目当成抽屉,营员当成物品。营员数已经有了,现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
因为“每人必须参加一项或两项活动”,共有3项活动,所以只参加一项活动的有3种情况,参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况,所以共有3+3=6(个)抽屉。
2000?6=333……2,
根据抽屉原理2,至少有一个抽屉中有333+1=334(件)物品,即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。
例3把125本书分给五(2)班学生,如果其中至少有1人分到至少4本书,那么,这个班最多有多少人,
分析与解:这道题一下子不容易理解,我们将它变变形式。因为是把书分给学生,所以学生是抽屉,书是物品。本题可以变为:125件物品放入若干个抽屉,无论怎样放,至少有一个抽屉中放有4件物品,求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反,所以反着用抽屉原理2即可。由 1255?(4-1),41……2知,125件物品放入41个抽屉,至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。
同学们想一想,如果有42个人,还能保证至少有一人分到至少4本书吗,
例4五(1)班张老师在一次数学课上出了两道题,规定每道题做对得2分,没做得1分,
做错得0分。张老师说:可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么,这个班最少有多少人,
分析与解:由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出,应该以各题得分情况为抽屉,学生为物品。
如果用(a,b)表示各题的得分情况,其中a,b分别表示第一、二题的得分,那么有
(2,2),(2,1),(2,0),(1,2),(1,1),
1,0),(0,2),(0,1),(0,0) (
9种情况,即有9个抽屉。
本题变为:已知9个抽屉中至少有一个抽屉至少有6件物品,求至少有多少件物品。反着用抽屉原理2,得到至少有9×(6,1)+1=46(人)。
例3与例4尽管都是求学生人数,但因为问题不同,所以构造的抽屉也不同,例3中将学生作为抽屉,例4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题,应根据问题灵活构造抽屉。一般地,当问“最少有多少××”时,应将××作为物品,如例1,2,4;当问“最多有多少××时,应将××作为抽屉,如例3。
例5任意将若干个小朋友分为五组。证明:一定有这样的两组,两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。
分析与解:因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况:
(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶)。
将这四种情况作为4个抽屉,五组作为5件物品,由抽屉原理1知,至少有一个抽屉中有两件物品。即这五组中至少有两组的情况相同,将这两组人数相加,男孩人数与女孩人数都是偶数。
练习29
1.某单位购进92箱桔子,每箱至少110个,至多138个,现将桔子数相同的作为一组,箱子数最多的一组至少有几箱,
2.幼儿园小朋友分200块饼干,无论怎样分都有人至少分到8块饼干,这群小朋友至多有多少名,
3.有若干堆分币,每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币,才能保证一定有两堆分币的组成是相同的,
4.图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书,规定每个同学最多可以借两本不同类的图书,至少有多少个同学借书,才能保证有两个人所借的图书类别相同,
5.我国人口已超过12亿,如果人均寿命不超过75岁,那么我国至少有两个人出生的时间相差不会超过2秒钟。这个结论是否正确,
6.红光小学五(2)班选两名班长。投票时,每个同学只能从4名候选人中挑选2名。这个班至少应有多少个同学,才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票,
7.把135块饼干分给16个小朋友,若每个小朋友至少要分到一块饼干,那么不管怎样分,一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。为什么,
练习29答案
1.4箱。提示:92?(138-110+1)=3……5。
2.28人。提示:200?(8-1)=28……4。
3.8堆。
提示:每堆只有一枚分币的有1分、2分、5分三种情况,每堆有两枚分币的有1分与2分,1分与5分,2分与5分三种情况,每堆有三枚分币的只有一种情况。将这3+3+1=7(种)情况作为7个抽屉。
4.11人。
提示:四类书至多借2本的借法有:
甲,乙,丙,丁,甲乙,甲丙,甲丁,乙丙,乙丁,丙丁共10种。将这10种借法看成10个抽屉。
5.正确。
提示:75年约有60×60×24×366×75?23.72(亿秒),以每2秒为一个抽屉,共有
2=11.86亿(个)抽屉,将12亿件物品放入11.86亿个抽屉,至少有一个抽屉有不少23.72?
于2件物品,即至少有两人的出生时间在两秒之内。
6.43人。
提示:从4名候选人中选出2名,共有3+2+1=6(种)不同的选法。将这6种选法作为抽屉,全班学生作为物品,至少应有6×(8-1)+1=43(件)物品。
7.提示:假设16个小朋友每人分到的饼干数目都不相同,则至少有1+2+3+…+16=136(块)饼干,现在只有135块饼干,所以假设不成立。
第30讲 抽屉原理(二)
例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格,然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。是否一定有两列小方格涂色的方式相同,
分析与解:将9列小方格看成9件物品,每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。如果涂色方式少于9种,那么就可以得到肯定的答案。涂色方式共有下面8种:
9件物品放入8个抽屉,必有一个抽屉的物品数不少于2件,即一定有两列小方格涂色的方式相同。
例2在任意的四个自然数中,是否总能找到两个数,它们的差是3的倍数,
分析与解:这道题可以将4个自然数看成4件物品,可是却没有明显的抽屉,这就需要根据题目构造合适的抽屉。
因为题目要求两个数的差是3的倍数,当两个数除以3的余数相同时,这两个数的差一定是3的倍数,所以将自然数按除以3的余数分类,可以分为整除、余1、余2三类,将这三类看成3个抽屉。4件物品放入3个抽屉,必有一个抽屉中至少有2件物品,即4个自然数中至少有2个数除以3的余数相同,它们的差是3的倍数。
所以,任意的四个自然数中,总能找到两个数,它们的差是3的倍数。
例3从1,3,5,7,…,47,49这25个奇数中至少任意取出多少个数,才能保证有两个数的和是52。
分析与解:首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中,两两之和是52的有12种搭配:
,3,49,,,5,47,,,7,45,,,9,43,,
,11,41,,,13,39,,,15,37,,,17,35,,
,19,33,,,21,31,,,23,29,,,25,27,。
将这12种搭配看成12个抽屉,每个抽屉中有两个数,还剩下一个数1,单独作为一个抽屉。这样就把25个奇数分别放在13个抽屉中了。因为一共有13个抽屉,所以任意取出14个数,无论怎样取,至少有一个抽屉被取出2个数,这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。
例4在下图所示的8行8列的方格表中,每个空格分别填上1,2,3这三个数字中的任一个,使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等,能不能做到,
分析与解:在8行8列的方格表中,8行有8个和,8列也有8个和,2条对角线有2个和,所以一共有8+8+2=18(个)和。因为题目问的是,这18个和能否互不相等,所以这18个和是物品,而和的不同数值是抽屉。
按题目要求,每个和都是由1,2,3三个数中任意选8个相加而得到的。这些和中最小的是8个都是1的数相加,和是8;最大的是8个都是3的数相加,和是24。在8至24之间,不同的和只有24-8+1=17(个)。将这17个不同的和的数值作为抽屉,把各行、列、对角线的18个和作为物品。把18件物品放入17个抽屉,至少有一个抽屉中的物品数不少于2件。也就是说,这18个和不可能互不相等。
例5用1,2,3,4这4个数字任意写出一个10000位数,从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字,可以组成许许多多的四位数。这些四位数中至少有多少个是相同的,
分析与解:猛一看,谁是物品,谁是抽屉,都不清楚。因为问题是求相邻的4个数字组成的四位数有多少个是相同的,所以物品应是截取出的所有四位数,而将不同的四位数作为抽屉。
在10000位数中,共能截取出相邻的四位数10000-3=9997(个),
即物品数是9997个。
用1,2,3,4这四种数字可以组成的不同四位数,根据乘法原理有4×4×4×4=256(种),
这就是说有256个抽屉。
9997?256=39……13,
所以这些四位数中,至少有40个是相同的。
练习30
1.红光小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动,问:至少要有多少学生报名参加,才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样,
2.任意取多少个自然数,才能保证至少有两个数的差是7的倍数,
3.在前10个自然数中,至少取多少个数,才能保证其中有两个数的和是10,
4.右图是一个5行5列的方格表,能否在每个方格中分别填上1,2,3中的一个数,使得每行、每列及两条对角线上的五个方格中的数字之和互不相同,
5.要把85个球放入若干个盒子中,每个盒子中最多放7个。问:至少有几个盒子中放球的数目相同,
6.至少取出多少个真分数,才可以保证其中必有两个真分数之差小于
练习30答案
1.31名。
提示:只参加一次活动的有4种选择;
参加两次活动的有下面6种选择:
,星期一、三,,,星期一、五,,,星期一、六,,
,星期三、五,,,星期三、六,,,星期五、六,;
参加三次活动的有下面4种选择,
,星期一、三、五,,,星期一、三、六,,
,星期一、五、六,,,星期三、五、六,;
参加四次活动的有1种选择。
共有4+6+4+1=15(种)选择。
2.8。
提示:与例2类似,按除以7的余数将自然数分为7类。
3.7。
提示:与例3类似,分下面6个抽屉:(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5),(10)。
4.不能。提示:与例4类似。
5.4个。
提示:每盒放1,2,3,4,5,6,7个球,这样的七盒共放球
1+2+3+4+5+6+7=28(个),
85?28=3……1,
所以至少有4个盒中的球数相同。
6.11个。
小学奥数—抽屉原理
小学奥数-抽屉原理(一)
先了解一下抽屉原理的概念,然后结合一些较复杂的抽屉原理问题,讨论如何构造抽屉。
抽屉原理1将多于n 件物品任意放到n 个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n 件物品任意放到到n 个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。
理解抽屉原理要注意几点:
(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系,要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多,至于多多少,这倒无妨。
(2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法,不规定每个抽屉中都要放物品,即有些抽屉可以是空的,也不限制每个抽屉放物品的个数。
(3)抽屉原理只能用来解决存在性问题,“至少有一个”的意思就是存在,满足要求的抽屉可能有多个,但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
(4)将a 件物品放入n 个抽屉中,如果a÷n= m……b,其中b 是自然数,那么由抽屉原理2就可得到,至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。
例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75~95分之间。问:至少有几名学生的成绩相同?
分析与解:关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”,说明应以成绩为抽屉,学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外,其余成绩均在75~95分之间,75~95共有21个不同分数,将这21个分数作为21个抽屉,把47-3=44(个)学生作为物品。
例2 夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?
分析与解:本题的抽屉不是那么明显,因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”,所以应该把活动项目当成抽屉,营员当成物品。营员数已经有了,现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
例3把125本书分给五(2)班学生,如果其中至少有1人分到至少4本书,那么,这个班最多有多少人? 分析与解:这道题一下子不容易理解,我们将它变变形式。因为是把书分给学生,所以学生是抽屉,书是物
品。本题可以变为:125件物品放入若干个抽屉,无论怎样放,至少有一个抽屉中放有4件物品,求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反,所以反着用抽屉原理2即可。
例4五(1)班张老师在一次数学课上出了两道题,规定每道题做对得2分,没做得1分,做错得0分。张老师说:可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么,这个班最少有多少人?
分析与解:由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出,应该以各题得分情况为抽屉,学生为物品。
例3与例4尽管都是求学生人数,但因为问题不同,所以构造的抽屉也不同,例3中将学生作为抽屉,例4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题,应根据问题灵活构造抽屉。一般地,当问“最少有多少××”时,应将××作为物品,如例1,2,4;当问“最多有多少××时,应将××作为抽屉,如例3。
例5任意将若干个小朋友分为五组。证明:一定有这样的两组,两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。 分析与解:因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况:
(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶)。
练习
1. 某单位购进92箱桔子,每箱至少110个,至多138个,现将桔子数相同的作为一组,箱子数最多的一组至少有几箱?
2. 幼儿园小朋友分200块饼干,无论怎样分都有人至少分到8块饼干,这群小朋友至多有多少名?
3. 有若干堆分币,每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币,才能保证一定有两堆分币的组成是相同的?
4. 图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书,规定每个同学最多可以借两本不同类的图书,至少有多少个同学借书,才能保证有两个人所借的图书类别相同?
5. 我国人口已超过12亿,如果人均寿命不超过75岁,那么我国至少有两个人出生的时间相差不会超过2秒钟。这个结论是否正确?
6. 红光小学五(2)班选两名班长。投票时,每个同学只能从4名候选人中挑选2名。这个班至少应有多少个同学,才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票?
7. 把135块饼干分给16个小朋友,若每个小朋友至少要分到一块饼干,那么不管怎样分,一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。为什么?
小学奥数-抽屉原理(二)
专题简析:
在抽屉原理的第(2)条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加,当元素总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式:
元素总数=商×抽屉数+余数
如果余数不是0,则最小数=商+1;如果余数正好是0,则最小数=商。
例题1:
幼儿园里有120个小朋友,各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
把120个小朋友看做是120个抽屉,把玩具件数看做是元素。则364=120×3+4,4k ≥1)个元素放到x 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素,即有人会得到4件或4件以上的玩具。 练习1:
1、一个幼儿园大班有40个小朋友,班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
2、把16枝铅笔放入三个笔盒里,至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是为什么?
3、把25个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有7个球?
例题2:
布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。最少取出多少个球,才能保证其中一定有3个球的颜色一样?
把4种不同颜色看做4个抽屉,把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第(2)条,要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球,那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9(个)球。列算式为
(3—1)×4+1=9(个)
练习2:
1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球?
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块,它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时,为确保取出的木块中至少有4块颜色相同,应至少取出多少块木块?
3、一副扑克牌共54张,其中1—13点各有4张,还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌,才能保证其中必有4张牌的点数相同?
例题3:
某班共有46名学生,他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语,每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同?
参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个小组的有6个类型,只参加三个组的有4种类型,参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1=15(种)类型看做15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46=3×15+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
练习3:
1、某班有37个学生,他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、
二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同?
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。某班有52名同学,问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同?
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球,每人任意搬运两个,问:在31个 搬运者中至少有几人搬运的球完全相同?
例题4:
从1至30中,3的倍数有30÷3=10个,不是3的倍数的数有30—10=20个,至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。
练习4:
1、在1,2,3,……49,50中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除?
2、从1至120中,至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数?
3、从1至36中,最多可以取出几个数,使得这些数中没有两数的差是5的倍数?
例题5:
将400张卡片分给若干名同学,每人都能分到,但都不能超过11张,试证明:找少有七名同学得到的卡片的张数相同。
这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1,2,3,……,11张可片看做11个抽屉,把同学人数看做元素,如果每个抽屉都有一个元素,则需1+2+3+……+10+11=66(张)卡片。而400÷66=6……4(张),即每个周体都有6个元素,还余下4张卡片没分掉。而这4张卡片无论怎么分,都会使得某一个抽屉至少有7个元素,所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。
练习5:
1、把280个桃分给若干只猴子,每只猴子不超过10个。证明:无论怎样分,至少有6只猴子得到的桃一样多。
2、把61颗棋子放在若干个格子里,每个格子最多可以放5颗棋子。证明:至少有5个格子中的棋子数目相同。
3、汽车8小时行了310千米,已知汽车第一小时行了25千米,最后一小时行了45千米。证明:一定存在连续的两小时,在这两小时内汽车至少行了80千米。
习题
1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?
2.一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有3张牌有相同的点数?
3.有11名学生到老师家借书,老师的书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型相同
4.有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜。试证明:一定有两个运动员积分相同。
5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
6.某校有55个同学参加数学竞赛,已知将参赛人任意分成四组,则必有一组的女生多于2人,又知参赛者中任何10人中必有男生,则参赛男生的人数为多少人?
7.有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手),至少要拿出多少只(拿的时候不许看颜色),才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8.一些苹果和梨混放在一个筐里,小明把这筐水果分成了若干堆,后来发现无论怎么分,总能从这若干堆里找到两堆,把这两堆水果合并在一起后,苹果和梨的个数是偶数,那么小明至少把这些水果分成了多少堆?
9.从1,3,5,……,99中,至少选出多少个数,其中必有两个数的和是100。
10.某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有多少人带苹果。
11.某个年级有202人参加考试,满分为100分,且得分都为整数,总得分为10101分,则至少有多少人得分相同?
12.2006名营员去游览长城,颐和园,天坛。规定每人最少去一处,最多去两处游览,至少有几个人游览的地方完全相同?
13.某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,则至少有多少人植树的株数相同?
小学奥数抽屉原理
第十二讲 简单抽屉原理
参考书目:导引,三年级下学期 第20讲,
知识要点:
简单的抽屉原理:把多于n个的苹果随意放进n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个
或两个以上的苹果。
例1:任意13个人中,至少有2个人的属相相同。(12种属相看作12个抽屉) 例2:任取5张扑克牌(不包括大、小王),至少有两张牌花色相同。(扑克牌一共有四种
花色:红桃、黑桃、梅花、方块,把这四种花色看作是四个抽屉) 例3:某校的小学生年龄最小的6岁,最大的13岁,从这个学校中至少任选几个学生就
一定能保证其中有两个学生的年龄相同,(答:任选9个)(6—13岁这8个不同
的年龄看作是8个抽屉)
加强的抽屉原理:把多于mn个苹果随意放进n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有,
(m+1)个或(m+1)个以上的苹果。
例4:任意25个人中,至少有3个人的属相相同。 3米
例5:在边长为3米的正方形内,任意放入28个点,求证:必有4个点,
以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米。(如右图,9个抽屉) 例6:在一次数学竞赛中,获奖的87名学生来自12所小学,证明:至少有8名学生来自
87,12,7,,,,,,3同一所学校。(12个抽屉,,7+1=8 )
重点与难点,
1?构造“抽屉” 、识别“苹果” 。
例7:篮子里有苹果、橘子、梨和西红柿四种水果各若干个。如果每个小朋友都从中任意
拿出两个水果,那么至少有多少个小朋友,才能保证至少有两个小朋友拿出的水
果品种一样,
怎样构造抽屉:注意“拿出的水果品种”这几个字。
取两个水果的品种搭配有如下10种情况:苹苹、橘橘、梨梨、西西、苹橘、苹梨、苹西、
橘梨、橘西、梨西。
把上面的10种情形看作是10个抽屉,根据抽屉原理,至少应有11个小朋友,才能保证??
2?考虑“最坏,运气最差、极端糟糕,” 情况。,袋中取球问题,
例8:在一副新买的扑克牌中,最少要取出多少张,才能保证取出的牌中“红桃”、“黑
桃”、“方块”、“梅花”每种花色的牌至少有2张,
13,3,2,41最不利的情况是:三种花色的牌已取完,大、小王也取了,已取出了(张)
牌,
此时只需再取2张牌,即共取出41+2=43张牌,就可以保证每种花色的牌至少有2张。
第十二讲 简单抽屉原理
1、任意19个人中,至少有 个人的属相相同。
2、任意29个人中,至少有 个人的属相相同。
3、来自8个不同城市的95名小学生中,至少有 人来自于同一城市。 4、有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。
棋子的颜色的配组是一样请你证明,这5个人至少有两个小朋友摸出的
的。
(注意怎样构造抽屉)
5、为了欢迎外宾来校参观,学校准备了红色、黄色、绿色的小旗,每个同
学都
左右两手各拿一面彩旗列队迎接来宾。至少有 位同学才能保证其中至
少有两个人不但所拿小旗颜色一样,而且左、右顺序也相同,(注意怎样构
造抽屉)
6、用红、黄两种颜色将一个2×5的矩形中的小方格随意涂色,每个小方格
涂一种颜色。证明:必有两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同。
7、一副新买的扑克牌共54张,至少从中摸出多少张牌才能保证 (考虑最坏情况)
1?至少5张牌的花色相同;
2?四种花色的牌都有;
3?至少有3张牌是红桃。
8、在一个口袋中有大小相同的10个红球,9个黑球,7个黄球,5个白球,
3个绿球。那么,
1?至少从中取出 个球,才能保证其中有黑球,
2?至少从中取出 个球,才能保证在取出的球中每种颜色的球都有,
3?至少从中取出 个球,才能保证其中必有3个球,其颜色是相同的,
4?至少从中取出 个球,才能保证有6个颜色相同的球,
9、黑色、白色、黄色、红色的筷子各有8根,混杂放在一起,黑暗中想从
这些筷子中取出颜色不同的两双筷子,问最少要取 根才能保证达到要
求,
夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每
人必须参加一项或两项活动,那么至少有 名营员参加的活动项目完全相同。
有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明,这
5个人至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
王老师在一次数学课上出了两道题,规定每道题做对得2分,没做得1分,做错得0分。
王老师说:可以肯定的是全班同学中至少有6名学生各题的得分相同。那么,这个班
最少有 人。
8、学校图书馆里有A、B、C、D四类书,规定每个同学最多可以借2本书,在借书的85
名同学中,可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的,
1. 三年级尖子班共有学生140人,如果他们都在同一年出生,那么:
(1)至少有______个小朋友在同一周出生;
(2)至少有______个小朋友在同一月出生(
2. 一些玩具熊分给14个小朋友,无论怎么分都一定有人至少分到6个,那么这些玩具熊不能少于
____个(
3. 一副扑克牌共有54张,(4种花色各13张,大王、小王各一张),请问:
(1)至少从中摸出______张牌,才能保证至少有5张牌的花色相同;
(2)至少从中摸出______张牌,才能保证四种花色的牌都有;
(3)至少从中摸出______张牌,才能保证至少有3张牌是红桃;
(4)至少从中摸出______张牌,才能保证至少有3张牌的点数一样(
4. 在一个口袋中有大小相同的10个红球,9个黑球,7个黄球,5个白球,3个绿球(那么:
(1)至少从中取出____个球,才能保证其中有黑球;
(2)至少从中取出____个球,才能保证在取出的球中每种颜色的球都有;
(3)至少从中取出____个球,才能保证其中必有3个球,其颜色是相同的;
(4)至少从中取出____个球,才能保证有6个颜色相同的球(
5. 在一个口袋中放有很多小、中、大、特大4种型号的一次性塑料手套(不分左右手),
(1)若想一定能从摸出的手套中挑出6双同一型号的,那么至少要摸出_____只手套;
(2)若想一定能从摸出的手套中挑出6双,那么至少要摸出_______只手套(
1. 篮子里有苹果、橘子、梨和桃子四种水果各若干个(如果每个小朋友都从中任意拿出两个水果,
那么至少有_______个小朋友,才能保证至少有两个小朋友拿出的水果品种一样(
三年级尖子班共有学生140人,如果他们都在同一年出生,那么至少有______个小朋友在同一周
出生,至少有______个小朋友在同一月出生(
2. (1)一些书分给全班33名同学,无论怎么分都一定有人至少分到5本,那么这些书至少有
______本;
(2)125本书分给某班的同学,无论怎么分都一定有人至少分到5本,那么这个班的人数最多有
_____人(
3. 在一个柜子里放有很多红、黄、蓝、绿4种颜色,大小相同的袜子(
(1)若想一定能从摸出的袜子中挑出5双同样颜色的,那么至少要摸出________只袜子;
(2)若想一定能从摸出的袜子中挑出5双,那么至少要摸出________只袜子(
4. 3根红筷子、10根黄筷子、15根绿筷子、1根黑筷子和2根白筷子混杂放在一起,黑暗中想从中取
出2双颜色相同的筷子,最少要取_______根才能保证达到要求(
5. 一个班36位同学聚餐,坐在一张圆桌旁(如果不论怎么坐,都一定能找到5个男生连续坐在一
起(那么男生至少有__________个(
6. 有若干个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出2枚棋子(如果这些小朋友中
至少有2个小朋友摸出的棋子是完全一样的,那么至少有________个小朋友(
思考题
6. 200个苹果放入1号抽屉,2号抽屉,3号抽屉,??,15号抽屉,一共15个抽屉,那么放苹果
最多的抽屉至少放了______个;
如果要求1号抽屉最多放入2个,2号抽屉最多放入4个,3号抽屉最多放入6个,??,15号抽
屉最多放入30个,那么放苹果最多的抽屉至少放了_______个(
小学奥数抽屉原理
1, 从全校学生中任意抽出13名学生,请你证明他们中至少2个人属相相同。 2, 长江小学的小学生年龄最小7岁,最大13岁,从这个学校中任选几个人,就一定能保
证其中有两位同学的年龄相同。
3, 某市预计2004年共有1100个婴儿出生,请你预测一下,至少有多少个婴儿同一天出生, 4, 有红桃,黑桃,方块三种牌各10张,一次至少要摸出多少张,才能保证有5张完全相
同,
5, 有人说:15个不同的自然数中,一定可以找到2个数,它们的差是14的倍数。对吗,
为什么,
6, 从2,3,4,。。。。21这20个数中,任选11个数,证明其中一定包括两个数,它们的差
是10.
1, 在367人组成的大型旅行总,至少有2个人同一天生,为什么,
2, 分梨 苹果 橘子三种水果,每人最多可分得2种,问至少有多少个小朋友必能保证有两
个小朋友拿的水果相同,
3, 有6种不同的菜和5种不同的饭,若每个人只取其中的一种菜和一种主食,请证明现在
在食堂就餐的31人中,至少有2人所买的午餐是一样的,
4, 一个班级有55名学生,小名说至少有2名同学在同一周生日,他的话对吗, 5, 有红 黄 白 蓝四色小球各有10个,混合在一个袋子里,一次至少要摸几个,才能保证
6个球是同色的,
6, 证明:有3个不同的自然数,至少有两个数的和是偶数。
7, 有50名学生,年龄最大是13岁,最小的10岁,其中至少有多少个学生在同年同月同
生,
8, 有红 黄 白 蓝四色小球各有10个,混合在一个袋子里,每次任取2个,至少取多少次
才能保证有两次取的小球完全相同,
9, 有6个同学在一起练习投篮,共投了49个球,那么,至少有一个人投进了几个, 10, 有120个形状大小完全不一样的木块,每20个编上了相同的号码,一次至少取多
少个才能保证有5个是同号的,
11, 至少有多少人才能保证有5个人是同一天生日,
1, 有三种水果,一次至少取出几个,就会保证有2个是同一种水果, 2, 证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。
3, 在长度为4米的线段上,任取9个点,至少有两个点之间的距离不大于0.5米。为什么, 4, 从1.。。。20这20个数中,至少取多少个数,必有2个数,其中一个数是另一个数的倍
数,
5, 一副扑克有4中花色,各13张。
(1) 从中任意抽牌,问最少抽多少张,才能保证有4张牌是同一花色,
(2) 从中任意抽牌,问最少抽多少张,才能保证有5张牌是同一花色,
(3) 从中任意抽牌,问最少抽多少张,才能保证有2张红桃和3张黑桃,
(4) 从中任意抽牌,问最少抽多少张,才能保证有3张牌的数码或字母相同,
(5) 从中任意抽牌,问最少抽多少张,才能保证有4张牌是同一种花色牌都有, 6, 口袋中有4种颜色彩色若干个,每人从中任摸2个,至少多少人才能保证有2人摸到小
球的颜色相同,
7, 证明,在任取的5个自然数中,必有3个数,它们的和是3的倍数。 8, 有N个人来参加聚会,彼此认识的握手问候,请证明,无论什么情况,在N个人中至
少有两个人握手次数相同。
9, 如图:在边长为3米的正方形内,任意放入28个点,求:必有4个点,以它们为顶点
的四边形面积不超过1平方米。
10, 图书馆有四种书,规定每个人最多借2种,在借书的85人中,可保证至少有多少
人的借书类型相同,
11, 从1-10这10个数字中,任意取出6个数,其中两个数之差是5的至少有几对, 12, 有54名学生在操场上上体育课,老师要求学生到体育器材储备室去拿篮球 排球
足球三种球,每人至少拿3个, 至少有多少人拿到的球数的相同的,
小学奥数:抽屉原理
抽屉原理
一、用“数的分组法”构造抽屉
例1:从1,2,3,?,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定有:(1)2个数互质;(2)2个数的差为50;(3)8个数,它们的最大公约数大于1。
随堂练习1:从1,2,3,?,49,50这,50个数中,取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除,最多可取 个数。
例2:问在1,3,5,7,?,97,99这50个奇数中,最多能取出多少个数,使其中任何一个数都不是另一个数的倍数。
随堂练习2:从1,2,3,4,?,1988,1989这些自然数中,最多可以取 个数,其中每两个数的差不等于4。
二、用“图形分割法”构造抽屉
例3:在一个边长为1的正方形内(含边界),任意给定9个点(其中没有三点共线),证明:在以这些点为顶点的各个三角形中,必有一个三角形,它的面积
1不大于。 8
随堂练习3:在一个边长为1的等边三角形内随意放置10个点。试说明:至少
1有两个点之间的距离不超过。 3
三、用“染色法”分类
例4:如图是一个3行10列共30个小正方形的长方形,现在把每个小方格涂上红色或黄色,请证明无论怎么涂法一定能找到两列,它们的涂色方式完全相同。
随堂练习4:给出一个3行9列共27个小方格的长方形,将每个小方格随意涂上白色或红色。求证:无论如何涂色,其中至少有两列涂色方式相同。
四、用“剩下类法”构造抽屉
例5:一副扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有2张牌有相同的点数,
例6:将全体自然数按照它们的个位数字,分为10类:个位数字是1的为第1类,个位数字为2的为第2类??个位数字为9的为第9类,个位数字为0的为第10类。
(1) 任意取出6个互不同类的自然数,其中一定有2个数的和是10的倍数吗, (2) 任意取出7个互不同类的自然数,其中一定有2个数的和是10的倍数吗, 如果一定,请简要说明理由;如果不一定请举出一个反例。
随堂练习5:现有64个乒乓球,18个乒乓球盒,每个盒子最多可以放6个乒乓球,如果把这些球全部装入盒内,不许有空盒。那么,至少有 个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。