对于集合推理,我们在考试的时候主要考“四”“三”“二”“一”四块内容,什么是
四、三、二、一呢? 很简单,就是集合推理的四块内容:“四个基本,三个换位,两个推理,一个递推”。“四个基本”是指四个基本定理。1. 所有的s 都是p;2, 所有的s 都不是p;3. 有的s 是p;4,有的s 不是p 。对于这四个基本都能够翻译成相应的式子,还是比较简单的。那三个换位又是怎么回事呢? 因为在考试的时候,如果是用“四个基本”仅仅是把题目翻译出来了,但是要想得到正确答案呢,还要需要一些步骤的,这时候就需要对翻译出来的内容进行一下换位,也就是翻译推理中所讲的推理,这样就更能接近正确答案了。三个换位指的是1. 所有的s 都是p→有的p 是s;2. 所有的s 都不是p→所有的p 都不是s;3. 有的s 是p→有的p 是s 。运用这三个换位定理,能够把翻译出来的内容进行换位,这样再结合选项就能选出正确答案。两个推理是指所有的s 都是p→某个s 是p→有的s 是p; 所有的s 都不是p→某个s 不是p→有的s 不是p 。而一个递推是指s→p,p→q,我们能够得到s→q。我们通过题目来具体的认识一下。
【例1】凡是有关国家机密的案件都不是公开审理的案件。据此,我们可以推出( )。
A 、不公开审理的案件都是有关国家机密的案件
B 、公开审理的案件都不是有关国家机密的案件
C 、有关国家机密的某些案件可以公开审理
D 、凡不涉及国家机密的案件都可以公开审理
对于这一道题目,我们可以把题干翻译成:有关国家机密的案件→不公开审理,这仅仅是把题干翻译了一下,然而要想把题目做出来,需要把题干的内容穷尽,也就是需要对翻译出来的内容进行换位一下。我们知道:所有的s 都不是p 等价于所有的p 都不是s ,题干等价于所有公开审理的案件都不是有关国家机密的案件,因此本题选择B 。
【例2】所有的安西人都是素食主义者,而所有的镇远人都是禁欲主义者,禁欲主义者与素食主义者形同水火、势不两立。而郭竖是禁欲主义者。由此可见( )。
A. 郭竖是镇远人
B. 郭竖不是镇远人
C. 郭竖是安西人
D. 郭竖不是安西人
这道题目我们通过读题发现安西人→素食主义者,镇远人→禁欲主义者。郭竖是禁欲主义者就说明他不是素食主义者,根据逆否定理,我们知道他不是安西人,因此选择D 项。
【例3】学校的教授中有一些是足球迷,学校预算委员会的成员一致要求把学校的足球场改建 为办公楼,而所有的足球迷都强烈反对这样做。 由此可以得出( )。
A. 有的足球迷是学校预算委员的成员
B. 学校所有的教授都是学校预算委员会的成员
C. 学校有的教授不是学校预算委员会的成员
D. 学校预算委员会有的成员是足球迷
这道题目根据第二句话学校预算委员的成员一致要求以及所有的足球迷都强烈支持我们可以知道足球迷肯定都不在预算委员会之中的,可以把A 、D 两个选项排除。而根据第一句话学校的教授中有一些是足球迷,我们知道有的教授不是预算委员会成员的。所以选择C 项。
小学数学解题方法解题技巧之集合法
第一章 小学数学解题方法解题技巧之集合法
我们在研究一些问题时,可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如,所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合,这种图叫作韦恩图(韦恩是英国数学家)。运用集合的思想,利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。
例1 五年级一班有48人。在午后自习时,做完语文作业的有37人,做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人?(适于三年级程度)
解:由题意可知,做完语文作业的37人中有一部分只做完语文作业,另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业,另一部分既做完数学作业又做完语文作业。
所以,如果我们用A 圆圈表示做完语文作业的人数,用B 圆圈表示做完数学作业的人数,则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数(如图20-
1)。
从图中可以看出,语文、数学作业都做完的人数等于A 圆圈的人数加上B 圆圈的人数减去全班的总人数。
37+42-48=31(人)
答:语文、数学作业都做完的有31人。
例2 有110名学生参加书法和绘画比赛,参加书法比赛的有72人,既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人?(适于三年级程度)
解:可通过画如图20-2的韦恩图来分析题意。A 圆圈表示参加书法比赛的人数,B 圆圈表示参加绘画比赛的人数,两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知,参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A 圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。
只参加书法比赛的人数:
72-24=48(人)
参加绘画比赛的人数:
110-48=62(人)
答略。(适于六年级程度)
解:参加径赛的有:
根据题意作图20-3
从图中可以看出,只参加田赛的人数是:
276-230=46(人)
两种活动都参加的人数是:
184-46=138(人)
答略。
*例4 某班45名学生期末考试的成绩如下:语文90分以上的有14人,数学90分以上的有25人,语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人?(适于五年级程度)
解:作图20-4。由图可看出,语文、数学一门或两门在90分以上的人数是:
45-17=28(人)
只语文在90分以上的人数是:
28-25=3(人)
只数学在90分以上的人数是:
28-14=14(人)
语文、数学都在90分以上的人数是:
28-(14+3)=11(人)
答略。*例5 学校气象小组有50名成员,其中负责观测的有19人,负责记录的有15人,既负责观测又负责记录的有7人。问:(1)只负责记录,不负责观测的有多少人?(2)只负责观测,不负责记录的有多少人?(3)气象小组有多少人负责其他工作?(适于高年级程度)
解:作图20-5。用A 圆圈表示负责观测的人数,用B 圆圈表示负责记录的人数,则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。
由图20-5可知,只负责记录,不负责观测的人数,等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数;只负责观测,不负责记录的人数,等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数;气象小组负责其他工作的人数,等于总人数减去负责观测和负责记录的人数,再加上既负责观测又负责记录的人数。
(1)只负责记录,不负责观测的人数:
15-7=8(人)
(2)只负责观测,不负责记录的人数为:
19-7=12(人)
(3)负责其他工作的人数为:
50-19-15+7=23(人)
答略。
*例6 某班有45名学生。据统计,喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人,喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人?(适于高年级程度)
解:用A 圆圈表示喜爱足球的人数,B 圆圈表示喜爱篮球的人数,C 圆圈表示喜爱排球的人数。则A 、B 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数;B 、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数;A 、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数;A 、B 、C 三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数(图20-6)。
由图20-6可知,三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数,再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。
45-26×3+(13+14+15)
=45-78+42
=45+42-78
=87-78
=9(人)
答:三项运动都喜爱的有9人。
*例7 55名学生中,有18人参加合唱队,25人参加美术组,17人参加运动队,参加合唱队与美术组的共有36人,没有人既参加合唱队又参加运动队,什么组都没有参加的有5人,请回答:
(1)既参加合唱队又参加美术组的有多少人?
(2)只参加合唱队的有多少人?
(3)只参加美术组的有多少人?
(4)只参加运动队的有多少人?
(5)既参加运动队又参加美术组的有多少人?(适于高年级程度)
解:作图20-7。
因为参加合唱队与美术组的共有36人,所以:(1)既参加合唱队又参加美术组的人数是:
18+25-36=7(人)
(2)只参加合唱队的人数是:
18-7=11(人)
现在还不能求出只参加美术组的人数,先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的7人,美术组剩下的人数是:
25-7=18(人)
因为在55名学生中,参加美术组、运动队的总人数是25+17=42(人),只参加合唱队的有11人,什么组都没有参加的有5人,参加美术、体育两项活动的实际人数是:
55-5-11=39(人)
所以:
(5)既参加运动队又参加美术组的人数是:
42-39=3(人)
(4)只参加运动队的人数是:
17-3=14(人)
(3)只参加美术组的人数是:
18-3=15(人)
答略。
2014年国考解题技巧之集合推理必备知识
2014年国考解题技巧之集合推理必备知识
华图教育 柏刚
导语:在国家公务员考试笔试行测考试中,判断推理部分一般有四类题型组成,分别是图形推理、类比推理、定义判断和逻辑判断。其中,逻辑判断部分,通常每年会出10道题目。这些题目对于大多数考生而言,由于做题惯性思维,加入生活常识等,极易落入命题人所命制的思维陷阱,出现思维误区,做题过程中不仅速度慢、效率低而且准确率不高。所以复习好判断推理是考试过程中的必胜诀窍。
在做判断推理的时候,如果可以掌握一些必要的逻辑学公式,在通过一些题目的加强对知识点的理解渗透,便可以提高正确率加快做题速度。
华图教育针对历年公务员考试判断推理模块中所涉及的集合推理的相关逻辑学知识为考生进行梳理,以期对考生有所帮助。
一、集合推理的四个基本形式:
在集合推理中我们分别用S 和P 表示两个集合
对于集合与集合之间的关系,存在4种基本情况,分别用文氏图来进行表示:
1)所有的S 都是P
图1 图2
对于所有的S 都是P 存在两种情况,第一种如图1所示S 是P 的真子集,第二种情况如图2表示S 与P 是全同关系即集合S=P。
2)所有的S 都不是
P
图3
对于所有的S 都不是P 存在一种情况,第一种如图3所示S 与P 没有交集。
3)有的S 是P
图4 图5
对于有的S 是P 存在两种情况,第一种如图4所示S 是P 的真子集,第二种情况如图5表示S 与P 有交集
4)有的S 不是
P
图6 图7
对于有的S 不是P 存在两种情况,第一种如图6所示S 是P 的真子集,第二种情况如图7所示S 与P 没有交集。
以上就是集合推理的四种基本形式,是做集合推理题目的必备知识是,同时也是解题的基础和关键,考生必须牢牢掌握。
二、集合推理的三组换位公式
1)“所有S 是P ”→“有的P 是S ”
2)“所有S 不是P?“所有P 不是S ”
3)“有的S 是P ”?“有的P 是S ”
注意事项:
①“所有S 是P ”→“有的P 是S ,”但是“有的P 是S ”不能推出“所有S 是P ”,在如图7的情况下“有的P 是S ”但并非“所有S 是P ”。
②“有些S 不是P ”不能换位为“有些P 不是S ”。
我们通过一道例题来看一下这三组换位公式如何在题目中应用:
例1:有些想从事行政管理工作的大学生报考了公务员,所有艺术专业的大学生都不想从事行政管理工作。据此,可以推出( )。
A. 有些艺术专业的大学生没有报考公务员
B. 有些艺术专业的大学生报考了公务员
C. 所有艺术专业的大学生都没有报考公务员
D. 有些报考了公务员的不是艺术专业的大学生
通过阅读题干发现题干中包含了两个集合命题,直接推理无法得到答案,这时可以考虑利用转换公式进行转换后在解答,根据公式1)我们可以将“有些想从事行政管理工作的大学生报考了公务员”转换为“有些报考公务员的大学生想从事行政管理工作”;根据公式2)“所有艺术专业的大学生都不想从事行政管理工作”转换为“所有想从事行政管理工作的大学生都不是艺术专业的大学生”,这时可以发现形式与逻辑判断中递推公式形式相同,根据递推公式得到递推结果为“有些报考公务员的大学生不是艺术专业的大学生”,因此选择D 选项。
通过这道例题的解答,可以发现在集合推理中,题目复杂比较复杂难度较高,但掌握了集合推理的四种基本形式以及三组推理公式便可在考场上沉着冷静的应对相应问题,希望各位考生可以将集合推理的必备知识牢牢掌握,这样在在考试的时候可以事半功倍,先人一步。
数学解题技巧:集合的概念与运算
第一讲 集合的概念与运算
【考点透视】
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意义.
3.了解属于、包含、相等关系的意义. 掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
5.注意空集?的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A ?B , 则有A =?或A ≠?两种可能,此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1. 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念, 正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1. 已知集合M={y|y=x+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=( )
A .(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2} D.{y|y≥1} 思路启迪:集合M 、N 是用描述法表示的,元素是实数y 而不是实数对(x,y),因此M 、N 分别表示函数y=x+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集. 解:M={y|y=x+1,x ∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x ∈R}={y|y∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D .
?x =1, y =x 2+1, ?x =0, 点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组?或?得???y =x +1. ?y =1, ?y =2. 222
从而选B 的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M 、N 的元素是数而不是点,因此M 、N 是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x+1}、{y|y=x+1,x∈R}、{(x,y)|y=x+1,x∈R},这三个集合是不同的.
例2. 若P={y|y=x,x∈R},Q={y|y=x+1,x∈R},则P∩Q等于( )
A .P B.Q C. D.不知道
思路启迪:类似上题知P 集合是y=x(x∈R)的值域集合,同样Q 集合是y= x +1(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了. 2222222
解:事实上,P 、Q 中的代表元素都是y ,它们分别表示函数y=x,y= x +1的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知Q
222P ,即P ∩Q=Q.∴应选B . 2例3. 若P={y|y=x,x∈R},Q={(x,y)|y=x,x∈R},则必有( )
A .P∩Q=? B.P Q C.P=Q D.P Q
2思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x,x
∈R 相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P 集合是函数值域集合,Q 集合是y=x,x ∈R 上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
解:正确解法应为: P表示函数y=x的值域,Q 表示抛物线y=x上的点组成的点集,因此P ∩Q=?.∴应选A .
例4若A ={x |x 2=1},B ={x |x 2-2x -3=0},则A ?B = ( )
A .{3}
思路启迪: A ={x |
解:应选D .
点评:解此类题应先确定已知集合.
题型2.集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
例5. 若A={2,4, a -2a -a +7},B={1, a +1, a -2a +2, -1 (a -3a -8), a +32223222B .{1} C .? D .{-1} x =-1, x =1},B ={x |x =-1, x =3},∴A ?B ={-1}.
2
a +3a +7},且A ∩B={2,5},则实数a 的值是________. 2
解答启迪:∵A ∩B={2,5},∴a -2a -a +7=5,由此求得a =2或a =±1. A={2,4,5},集合B 中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当a =1时,a -2a +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去a =1.
当a =-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去a =-1.
当a =2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.
故a =2为所求.
例6. 已知集合A={a , a +b, a +2b},B={a , a c, a c }.若A=B,则c 的值是______. 思路启迪:要解决c 的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 2232
解:分两种情况进行讨论.
(1)若a +b=a c 且a +2b=a c ,消去b 得:a +a c -2a c=0,
a =0时,集合B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a ≠0. 22
∴c-2c +1=0,即c=1,但c=1时,B 中的三元素又相同,此时无解.
(2)若a +b=a c 且a +2b=a c ,消去b 得:2a c -a c -a =0,
∵a ≠0,∴2c-c -1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=-1. 2222
2
点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正. 例7. 已知集合A={x|x-3x +2=0},B={x|x-a x +a -1=0},且A∪B=A,则a 的值为______.
思路启迪:由A∪B=A?B ?A 而推出B 有四种可能,进而求出a 的值.
解: ∵ A∪B=A, ∴B ?A ,
∵ A={1,2},∴ B=?或B={1}或B={2}或B={1,2}.
若B=?,则令△<0得a>0得a>
若B={1},则令△=0得a =2,此时1是方程的根;
若B={2},则令△=0得a =2,此时2不是方程的根,∴a ∈?;
若B={1,2}则令△>0得a ∈R且a ≠2,把x=1代入方程得a ∈R,把x=2代入方程得a =3. 综上a 的值为2或3.
点评:本题不能直接写出B={1,a -1},因为a -1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合B 有可能是空集,还有可能是单元素集的情况.
题型3.要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去. 例8. 设集合A={a |a =3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合A 、B 的关系是________.
解:任设a ∈A ,则a =3n+2=3(n+1) -1(n∈Z) ,
∴ n∈Z,∴n+1∈Z.∴ a ∈B,故A ?B . ①
又任设 b∈B,则 b=3k-1=3(k-1) +2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k-1∈Z.∴ b∈A,故B ?A ② 22
由①、②知A=B.
点评:这里说明a ∈B或b∈A的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理. 例9若A 、B 、C 为三个集合,A ?B =B ?C ,则一定有( )
A . A ?C B .C ?A C .A ≠C D . A =?
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解:由A B =B C 知,A B ?B , A B ?C ∴A ?B ?C ,故选A.
例10.设集合A ={1,2}, 则满足A ?B ={1,2,3}的集合B 的个数是( )
A . 1 B .3 C .4 D . 8
[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想. 解:A ={1,2},A ?B ={1,2,3},则集合B 中必含有元素3,即此题可转化为求集合A ={1,2}的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B 共有22=4个. 故选C.
例11. 记关于x 的不等式x -a <0的解集为p ,不等式x="" -1≤1的解集为q="">0的解集为p>
x +1
(I )若a =3,求P ;
(II )若Q ?P ,求正数a 的取值范围.
思路启迪:先解不等式求得集合P 和Q .
解:(I )由x -3<0,得p ={x="">0,得p>
x +1
(II )Q ={x x -1≤1}={x 0≤x ≤2}.
由a >0,得P ={x -1
即a 的取值范围是(2,+∞) .
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何
非空集合的真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.
例12. 已知A={x|x-3x +2=0},B={x|a x -2=0}且A∪B=A,则实数a 组成的集合C 是________.
解:由x -3x +2=0得x=1或2.当x=1时,a =2,当x=2时,a =1. 22
这个结果是不完整的,上述解答只注意了B 为非空集合,实际上,B=?时,仍满足A∪B=A,当a =0时,B=?,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}.
例13.已知集合A ={x |x -a ≤1},B ={x x 2-5x +4≥0}.若A B =?,则实数a 的取值范围是 .
思路启迪:先确定已知集合A 和B . 解:A ={x |x -a ≤1}={x a -1≤x ≤a +1}, B ={x x 2-5x +4≥0}={x x ≥4, x ≤1}.
3) . ∴a +1<4, a="" -1="">1. ∴2
例14. 已知集合A={x|x+(m+2)x +1=0,x∈R},若A∩R *=?,则实数m 的取值范围是_________.
思路启迪:从方程观点看,集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x +(m+2)x +1=0的解集,而x=0不是方程的解,所以由A∩R *=?可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于m 的不等式,并解出m 的范围.
解:由A∩R *=?又方程x +(m+2)x +1=0无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
2???=(m +2)-4≥0, 或△=(m+2) 2-4<><><0,即m>-4. ???-(m +2)<0,>0,>
点评:此题容易发生的错误是由A∩R *=?只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积为1,因为方程无零根),而把A=?漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言. 例15. 已知集合A={x|x-3x -10≤0},集合B={x|p+1≤x ≤2p -1}.若B
实数p 的取值范围是________.
解:由x -3x -10≤0得-2≤x≤5.
欲使B -2≤p +1A ,只须??-3≤p ≤3. ∴ p的取值范围是-3≤p≤3. ??2p -1≤522A ,则
上述解答忽略了" 空集是任何集合的子集" 这一结论,即B=?时,符合题设.
应有:①当B≠?时,即p +1≤2p-1
由B p≥2. A 得:-2≤p+1且2p -1≤5.由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
p <2. ②当B=?时,即p +1>2p-1
由①、②得:p≤3.
点评:从以上解答应看到:解决有关A ∩B=?、A ∪B=?,A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
题型5.要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工
具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.
例16. 设全集U={x|0<><10,x∈n},若a∩b={3},a∩cu b="{1,5,7},C" u="" a∩cu="" b="{9},则集合A" 、b="">10,x∈n},若a∩b={3},a∩cu>
思路启迪:本题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷,由图不难看出.
解:A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
*
例17. 集合A={x|x+5x -6≤0},B={x|x+3x>0},求A ∪B 和A ∩B .
解:∵ A={x|x-5x -6≤0}={x|-6≤x≤1}, 222
B={x|x+3x>0}={x|x<-3,或x>0}. 如图所示,
∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或x>0}=R. 2
A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或x>0}={x|-6≤x<-3,或0<>
点评:本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结果. 例18. 设A={x|-2<><-1,或x>1},B={x|x+a x +b≤0},已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1
思路启迪:可在数轴上画出图形,利用图形分析解答.
解:如图所示,设想集合B 所表示的范围在数轴上移动,
2
显然当且仅当B 覆盖住集合{x|-1<><3},才能使a∪b={x|x>-2},且
A∩B={x|1<>
根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1与3是方程x +a x +b=0的两根, ∴ a =-(-1+3)=-2, b=(-1)×3=-3.
点评:类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方2
法,会得到直观、明了的解题效果.
【专题训练】
一. 选择题:
1.设M={x|x+x+2=0},a =lg(lg10),则{a }与M 的关系是( ) 2
?A 、{a }=M B 、M ? ≠{a } C、{a }≠M D 、M ?{a }
2.已知全集U =R,A={x|x-a |<2},b={x|x-1|≥3},且a ∩b="?,则a" 的取值范围是(="">2},b={x|x-1|≥3},且a>
A 、 [0,2] B 、(-2,2) C 、(0,2]
22D 、(0,2) 3.已知集合M={x|x=a -3a +2,a ∈R},N={x|x=b-b ,b ∈R},则M ,N 的关系是( )
?A 、 M ?≠N B、M ≠N C、M=N D 、不确定
4.设集合A={x|x∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x|x∈Z ,且|x|≤5},则A ∪B 中的元素个数是( )
A 、11 B 、10 C、16 D 、15
5.集合M={1,2,3,4,5}的子集是( )
A 、15 B、16 C、31 D 、32 6集合M ={x |x =kx +π, k ∈Z },N ={x |x =k π+π, k ∈Z },则( ) 2442
A M =N 2B M N C M N D M ∩N =? 7. 已知集合A={x|x-4mx +2m +6=0,x∈R},若A∩R≠?,求实数m 的取值范围.
8. 命题甲:方程x +mx +1=0有两个相异负根;命题乙:方程4x +4(m-2)x +1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m 的取值范围. 9已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1
A -3≤m ≤4 B -3
10.集合M={x x 2+2x -a =0, x ∈R },且??M . 则实数a 的取值范围是( ) ≠
A. a≤-1 B. a≤1 C. a≥-1 D.a≥1
11.满足{a ,b }U M={a ,b ,c ,d }的所有集合M 的个数是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
12.若命题P :x ∈A B ,则?P 是( )
A. x?A B B. x?A 或x ?B C. x?A 且x ?B D. x∈A B
13.已知集合M={a 2, a }.P={-a ,2a -1};若card(M P)=3,则M P= ( )
A.{-1} B.{1} C.{0} D.{3}
14.设集合P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}. 令P*Q={(a , b )a ∈p , b ∈Q },则P*Q中元素的个数
是 ( )
A. 3 B. 7 C. 10 D. 12
二.填空题:
15.已知M={m |m -4∈Z },N={x|x +3∈N },则M ∩N=__________. 22
16.非空集合p 满足下列两个条件:(1)p ?(2)若元素a ∈p ,则6-a ∈≠{1,2,3,4,5},
p ,则集合p 个数是__________.
17.设A={1,2},B={x |x ?A }若用列举法表示,则集合B 是 .
20072008b ?218.含有三个实数的集合可表示为?= ?a , ,1?={a , a +b ,0},则a +b
?a ?
三.解答题:
19.设集合A={(x,y)|y=a x+1},B={(x,y)|y=|x|},若A ∩B 是单元素集合,求a 取值范围.
20. 设A={x|x+px+q=0}≠?,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A ∩M=?,A ∩N=A,求p 、q 的值.
21.已知集合M={y|y=x+1,x ∈R},N={y|y=x+1,x ∈R},求M ∩N .
22.已知集合A={x|x-3x+2=0},B={x|x-mx+2=0},且A ∩B=B,求实数m 范围.
23.已知全集U =R,且A ={x x 2-x -12≤0}, B ={x x 2-4x -5>0},求(C U A ) (C U B ).
24.已知集合A ={x x 2-2x -3>0}, B ={x x 2+ax +b ≤0}, 且A B =R , A B {x 3
【参考答案】
1. C 2. A 3. C 4. C 5. D
6. C 对M 将k 分成两类 k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M={x |x =n π+π, n ∈Z }∪{x |x =n π22224
+3π, n ∈Z },
4
对N 将k 分成四类,k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),
N ={x |x =n π+π, n ∈Z }∪{x |x =n π+3π, n ∈Z }∪{x |x =n π+π, n ∈Z }∪{x |x =n π+5π, n ∈Z }24
247.解:设全集U ={m|△=(-4m) -4(2m+6)≥0}={m|m≤-1或m≥3}.
2
若方程x -4mx +2m +6=0的二根为x 1、x 2均非负, 2
则m ∈U ?3??x 1+x 2=4m ≥0?m ≥, 2?x x =2m +6?12
2因此,{m|m≥3}关于U 补集{m|m≤-1}即为所求.
8.解:使命题甲成立的条件是:
??1=m 2-4>0, ?m >2. ∴ 集合A={m|m>2}. ?x +x =-m <>
使命题乙成立的条件是:△2=16(m-2) -16<0,∴1<m <3.∴="" 集合b="">0,∴1<m><><3}.>3}.>
(1)m∈A∩CR B ,(2)m∈CR A∩B.
若为(1),则有:A∩CR B={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3};
若为(2),则有:B∩CR A={m|1<><><>
综合(1)、(2)可知所求m 的取值范围是{m|1<>
9.D ∵A ∪B =A ,∴B ?A, 又B ≠?, 2
?m +1≥-2?∴?2m -1≤7,即2<m ≤?m +1<2m>2m>
10.C 11.D 12.B 13.D 14.B
二. 填空题:
15. ?; 16. 7 ; 17. {?,{1},{2},{1,2}}; 18.-1.
三. 解答题:
19. a ≥1或a ≤-1,提示:画图.
p =-8, 或?p =-20, 或?p =-14, 20.????q =16, ??q =10, ?q =40.
21.解:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征.M 、N 均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化.M={y|y=x+1,x ∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x ∈R}={y|y∈R}.∴ M∩N=M={y|y≥1}.
22.解:化简条件得A={1,2},A ∩B=B?B ?A .
根据集合中元素个数集合B 分类讨论,B=?,B={1}或{2},B={1,2}.
当B=?时,△=m-8<0.∴>0.∴>
??=0当B={1}或{2}时,?,m 无解. 1-m +2=0或4-2m +2=0?
当B={1,2}时,??1+2=m , ∴ m=3.
?1?2=2.
综上所述,m=3或-22
23. 解:A ={x -3≤x ≤4}, B ={x x <-1或>5},
∴C U A ={x x <-3或x>4}, C U B ={x -1≤x ≤5}, ∴(C U A ) (C U B ) ={x 4
24. 解:A ={x x <1或x>3}, ∵A B =R . ∴{x -1≤x ≤3}中元素必是B 的元素. 又∵A B ={x 3
而B ={x x 2+ax +b ≤0}. ∴-1,4是方程x 2+ax +b =0的两根,
a=-3,b=-4. ∴
数量关系之三集合容斥问题解题技巧
数量关系之三集合容斥问题解题技巧:公式法
2011-08-30 09:29 作者:罗姮 来源:华图教育
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在国家公务员行测考试中,数量关系模块中的容斥问题必不可少,也是学员觉得最难突破的一大问题。究其原因,一则是容斥问题很复杂,特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多,读完题容易被绕进去;二则是没有好的方法切入,做出来非常消耗时间。其实,掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。
一、三集合标准型公式集合A、B、C,满足标准型公式:
三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外,可使用尾数法,判断个位数的相加减快速确定正确答案。
例1、某专业有学生50人,现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程,36人选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课程的有28人,兼选甲、丙两门课程的有26人,兼选乙、丙两门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人,问三门课程均未选的有多少人,( )(2009年浙江公务员考试行测试卷第55题)
A、1人 B、2人 C、3人 D、4人
答案:B 各类条件明确给出,直接使用公式法。三者都不满足的个数=总数-=50-(40+36+30-28-26-24+20),可使用尾数法,尾数为2,选B。
例2、如图所示,X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上,总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问图中阴影部分的面积为多少( ),(2009年国家公务员考试行测第116题)
A、14 B、15 C、16 D、17
答案:C 直接使用三集合标准型公式,
=290-(64+180+160-24-70-36),根据尾数法得,尾数为6,选C。
二、三集合整体重复型公式三集合容斥问题中,有些条件未知时,就不能直接使用标准型公式,而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时,使用整体重复型公式。并且,三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。另外,仍可利用尾数法可以快速求解。
三集合A、B、C,用W代表,满足一个条件的数量为x(仅单色区域),满足两个条件的数量为y(双色区域),满足三个条件的数量为z(三色区域),则有:
例3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备选择两种考试参加的有46人,不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人,( )(2010年国家公务员考试行测试卷第50题)
A、120 B、144 C、177 D、192
答案:A 根据题意,分别已知两种条件、三种条件都满足的个数,使用三集合整体重复型公式:
根据尾数法,解得x尾数是5,W尾数是5。
因此,学生总数=W+15,尾数为0,选A。
例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检,其中有8种产品的低温柔度不合格,10种产品的可溶物含量不达标,9种产品的接缝剪切性能不合格,同时两项不合格的有7种,有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种,( )(2011年国家公务员考试行测试卷第74题)
A、37 B、36 C、35 D、34
答案:D 根据题意,分别已知满足一种条件、两种条件的个数,使用三集合整体重复型公式:
根据尾数法,解得x尾数为0,W尾数为8。因此,全合格的产品数=总数-W=52-W,尾数为4,选D。
三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的:标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况,而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数,因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形,特别是整体重复型公式,三集合容斥问题就迎刃而解了。
1或x>-3或x>-1或>3},才能使a∪b={x|x>-1,或x>-3,或x>-3,或x>-3,或x>0,即m>4,>