: 1672 , 6871( 2014) 05 , 0090 , 05文章编号
Verhulst 改进的灰色 模型
,刘丽娜单 锐
( ,066004)燕山大学 理学院河北 秦皇岛
: Verhulst c ,。摘要针对灰色 模型预测函数中参数 的求解问题提出了一种优化预测函数的新方法该方法以
,,累加生成序列的倒数与其倒数模拟值的差值平方和最小为目标函数构建了一个非线性无约束优化模型来 求Verhulst c,。: 解灰色 模型预测函数中的参数 并给出了灰色微分方程时间响应式的解析式实验分析表明改
。进模型在预测精度和实用性上均有较大改善
: Verhulst ; ; ; 关键词灰色 模型时间响应函数最小二乘法预测
: O212 : A中图分类号文献标志码
0 引言
,GM( 1,1 ) Verhulst 灰色预测是预测领域中重要的技术手段之一其核心模型包括 模型和灰色 模
。Verhulst Verhulst ,S 模型最初由德国生物学家 在研究生物繁殖规律时提出的该模型以研究具有 型 型
Verhulst Verhulst 。灰色 模型的提出将传统 模型的应用范围从具有饱和状态 增长过程的数据序列著称
,GM( 1,1 ) 。的数据拓展为近似单峰型的数据克服了 模型不能描述具有非线性特点的数据序列的缺点 ,1 ,2 ,Verhulst ,、。正是由于灰色 模型的这些优点该模型已经在经济管理等许多个领域得到广泛应用为
,,。,3,了不断地提高模型精度扩大模型的适用范围国内外许多学者对其进行了深入研究文献利用
Verhulst ,模型对具有饱和状态的微生物生长曲线进行修正使得改进后的模型能更好地模拟具有饱和
,4,Verhulst ,。文献利用连续 动态模型合成一种新的分布式功率控制算法并将 状态的微生物生长曲线
,。,5,Verhulst , 该算法用于直接序列码分多址系统取得了较好的效果文献提出了一种广义灰色 模型并
,利用背景值和模拟函数之间的关系给出了一种新的参数估计方法并对英国钢铁的使用量建立灰色
,6 Verhulst ,。, 7,Verhulst 文献模型证明了新模型的有效性分别从不同的角度出发对灰色 模型的背
,。,8,景值进行了优化研究并通过实例验证了新模型具有较高的模拟和预测精度文献利用相对误差 的
,数Verhulst ,两种最小准则构建了两种新模型来求解灰色 模型中的参数同时为了方便求解新模型的参
。,9,,,引进了线性规划方法文献以白化微分方程为基础运用梯形公式来白化灰导数提高了模型 的预测
模型自; ,10,,Verhulst ,度文献通过对一次累加生成序列作倒数生成构建了无偏灰色 模型消除了原始
。,11,身所固有的偏差文献利用一次累加生成序列倒数与其倒数模拟值之差的平方和最小值 为目标函
,12,Verhulst。文献建立了灰色离散 ,Verhulst 数构建了两种优化初始条件的无偏灰色 模型
,。Verhulst ,c 模型加强了模型的适应性就灰色 模型而言如何选取预测函数中的常数 使得拟合曲线最
,Verhulst 。大限度的接近原始数据曲线一直困扰着国内外的学者们原始的灰色 模型通常采用序列的
c,,某个分值作为初值条件来确定常数 这种方法使得模拟序列必须经过某个原始数据不能保证原始序
。,13 , 14,,列和模拟序列的最优拟合虽然文献对预测函数的初始值进行了改进但仍然不能使得模拟 序
。列最大限度地接近原始数据序列
,,,14,本文在以上研究的基础上继续对模型的初值问题进行研究原始模型和文 献中 分别以 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x( 1) x( n) ,x( 1) x( n) ,,和 为初始条件建立模型这就意味着拟合曲线需要经过 或 点然而在实 际
。,应用中最优拟合曲线并不一定过累加生成序列的第一个值或最后一个值针对此问题本文提出了
: ( 51175448) ; ( 2009159)基金项目国家自然科学基金项目河北省教育厅基金项目
: ( 1987 , ) ,,,; ( 1961 , ) ,,,,,,作者简介刘丽娜女河北衡水人硕士生单 锐女河北秦皇岛人教授博士硕士生导师研究方向为时间 序
、、,列分析最优化理论与算法非线性规划
: 2014 ,04 ,23 收稿日期
5 : Verhulst 第 期 刘丽娜等改进的灰色 模型 ?91?
( ) c ,一种新的求解预测函数即时间响应函数中常数 的方法该方法以累加生成序列的倒数与其倒数模 拟
,,Verhulst 。值的差值平方和最小为目标函数构建了一个非线性无约束优化模型从而构建了优化的 模 型
1 Verhulst 灰色 模型建模机理
,15,Verhulst 。下面将引出文献中有关灰色 模型的定义
0 0 0 0 0 1 X= ( X( 1) ,X( 2) ,…,X( n) ) ,X( k) 0,( k = 1,2,3,…,n) ,定义 设 为原始序列? 其一次累 1-AGO :加序列 为 1 1 1 1 X= ( X( 1) ,X( 2) ,…,X( n) ) ,
k ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) = X( 1) ; X( k) = ,X其中 ΣX( i) ,k = 2,3,…,n。 i = 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) X= ( Z( 2) ,Z( 3) ,…,Z( n) ) ,,Z( k) = ( X( k) +Z设 的紧邻均值生成序列为 其中 2 ( 1) X( k , 1) ) ,k = 2,3,…,n。
1 1-AGO XVerhulst :利用 序列 建立的传统灰色 模型的白化微分方程为 ( 1) ( 1) = b ( X ( 1) 2 dX) , + aXdt ( 0) ( 1) ( 1) 2 x( k) + az( k) = b ( z( k) ) 。其对应的灰微分方程为
( 0) ( 1) ( 1) ( 0) ,,2 XX,ZX1-AGO 定义 设 为非负原始序列分别为 的 序列和背景值序列则 ( 1) Verhulst 灰色 模型的最小二乘估计参数序列满足
a T ,1 T = ( BB) BY, , , b
( 1) ( 1) 2 ( 0) , z ( 2) ( , z ( 2) ) x ( 2) , ,, ,2 ,( 1) ( 1) , , ( 3) ( 0), z ( 3) ) , ( 3) ( , z x,B =其中 ,; Y = , , ,。
, , , , ,,,, ( 1) ( 1) 2 ( 0) , ,, ,, z( n) ( , z( n) ) x( n) ( 1) dX ( 1) ( 1) 2 ( 2) Verhulst + aX= b ( X) :灰色 模型的白化方程 的时间响应函数为
dt ( 1)
ax ( 1) ( 1) 。( 1) ( 1) a( t ,1) ^ x( t) = bx( 1) + ( a , bx( 1) ) e ( 3) Verhulst :灰色 模型的灰色微分方程的时间响应序列为
ax ( 1 ) ( 1) ( 1) ^ x( k) =, k = 1,2,…,n。
( 1) ( 1) a( k,1)bx( 1) + ( a , bx( 1) ) e
( 4) 还原值
( 0) ( 1) ( 1) ^ ^ ^ x( k) = x( k) , x( k, 1) , k = 2,…,n。
2 Verhulst 灰色 模型的优化
dX ( 1) ( 1) 2 ( 1) = b ( X) ,:Verhulst + aX根据灰色 模型的白化微分方程 可以得到模型的通式为
dt ( 1) ,1 x( t) = b at 。+ ce , , a
a T ,1 T ,B,Y,a 2 = ( BB) BY,1 定理 设 为定义 所述条件 则, , b dX ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 1) + aX= b ( X) :白化方程的时间响应函数为
dt
2014 : 河 南 科 技 大 学 学 报 自 然 科 学 版 年 ?92?
( 1) ,x( t) = b at 1 ,+ ce , , a
n b ai ( 1) ,1 ex( i) , Σ , ,
a i = 1 n ,c = 。其中Σ 2ai ei = 1 ( 0) ( 1) ( 1) 2 ( 2) x( k) + az( k) = b ( z( k) ) ( ) :灰色微分方程 的时间响应函数即模型的预测函数为 n ,1 , , Σ b ai ( 1) ,1 , k = 1,2,3,…,n。 ( 1) , b ex( i) , ,^ak a x( k) = , ,i = 1 +,e n a , , Σ ,, 2ai e,i = 1
( 0) ( 1) ( 1) ^ ^^( 3) x( k) = x( k) , x( k, 1) , k = 1,2,…,n。还原值
dX ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) Verhulst + aX= b ( X) x( t) =证明 因为灰色 模型的白化微分方程的通解为
dt ,1 b at ,c 。其中 为常数 , , e + ca ( 1) 1 ( 1) 1 ,,^) ) c: ( x( x应用下列方法确定常数 首先构建一次累加生成序列的倒数与其模拟值之差的
G( c) , 平方和的最小值函数n n b at ( 1) ,1 2 ( 1) ,1 ( 1) ,1 2 ^( + ce, ( x( t) ) ) 。 ( ( x( t) ) , ( x( t) ) ) = minG( c) = Σ Σc a t = 1t = 1
c ,、、对于参数 的求解可以通过优化理论中的无约束最优化的求解方法如牛顿法最速下降法遗传
、,。 算法模拟退火算法等也可以利用数学分析中求解最值的方法
c。 在这里采用数学分析中的方法来求解模型的常数 对函数
G( c) :求导得 ndG( c) n b ( 1) = 2 Σ+ 2 Σ 2at – ( x ( t) ) ,at ,1 cedc e;a t = 1 t = 1 ,G( c) ' = 0,:令 可得
n b ai ( 1) ,1 ex( i) , Σ , ,
a i = 1 n c = 。Σ 2ai ei = 1 G( c) c 。 根据实际情况函数 在 处取得最小值 ,1 ( 2) ( 1) ,t = k :由的证明结果令 得 n , , Σ b ( 1) ( 1) ,1 , b ,, k = 1,2,3,…,n。 ^ak x( i) , x( k) = i = 1 , ,e a , , ,+ai ea ,n
, Σ 2ai e,i = 1 。由累减还原显然可得
3定义
0 0 0 0 X= ( X( 1) ,X( 2) ,…,X( n) ) ;
( 0) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ^ ^^^x( k) = x( k) = x( k) , x( k, 1) α
,Verhulst :为灰色 模型的时间响应序列的累减还原值则
( 0) ^,( 1) kn x( k) ;当 ?时称为模型的模拟值
( 0) ^,( 2) k , n x( k) 。当 时称为模型的预测值
5 : Verhulst 第 期 刘丽娜等改进的灰色 模型 ?93?
3 应用实例
,6,,Verhulst 本文采用文献中交通量预测数据分别建立传统的灰色 模型和本文改进的灰色 Verhulst ,。1。模型分析比较它们的模拟和预测精度某疏港公路历年交通量观测数据见表
1 表 某疏港公路历年交通量
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 年份
/ 年均日交通量 万辆 9, 395 11, 821 13, 403 14, 755 15, 268 15, 617 15, 779
( 1) ,1 : S 。,x从表 可以看出原始数据近似 型曲线的一部分针对此种情况可以取原始数据为 其一 阶
( 0) ( 1) x,x。累减还原数据为 直接对 进行建模
,: 1 1999 , 2003 ,为了方便验证改进模型的模拟和预测精度将数据分为两部分第 部分为 年 年的数 据2 2004 , 2005 。1 Verhulst ,第 部分为 年 年的数据采用第 部分的数据建立改进的灰色 模型并用建 立的
2004 , 2005 。2。新模型预测 年 年的数据新模型的模拟精度和预测精度见表
2 表 两种模型的模拟值与实际值的比较
Verhulst Verhulst 传统 模型 优化 模型 / 实际值 //年份 相对误差 相对误差 / / 模拟值 模拟值 万辆 % % 万辆 万辆 2000 11, 821 11, 745 0, 65 11, 785 0, 32
2001 13, 403 13, 482 0, 59 13, 493 0, 67
2002 14, 755 14, 594 1, 09 14, 705 0, 34
2003 15, 268 15, 242 0, 17 15, 251 0, 11 , 625 — 0, 360/% — 0平均模拟相对误差 ^ x ( k) , x2 , = × 100% , k = 2,3,…,n;表 中相对误差 ( 1) ( 1) ( 1) ( k)x( k) 1 = 平均模拟相对误差 Σ^ x ( k) , x × 100% 。 ( 1) 5 ( 1) ( k)( 1) 4 x( k) k = 2
( 1) ( 0) x= ( 9. 395,11. 821,13. 403,14. 755,15. 268 ) ,x= ( 9. 395, 原始数据 其一阶累减还原序列 2. 426,1. 582,1. 352,0. 513) 。
( 0) ( 1) ( 1) ( 1) xVerhulst ,x( 0) = x( 1) =对一阶累减还原数据 建立传统灰色 模型在这里取初始条件为 9( 395,Verhulst : 模型时间响应式为 可得灰色
6 ( 230 257 ( 1) ^。x( k + 1) = ,0( 663 146k 0( 389 470 + 0( 273 662e
,( 2) Verhulst c = 0( 077 813,建立优化的灰色 模型优化结果显示常数
1 ( 1) ^x( k) = 。
,0( 663 146k0( 066 420 + 0( 077 813e
,3。由以上两个时间响应式便可进行实际预测两个模型的精度比较见表
3 表 两种模型的预测值与实际值的比较
Verhulst Verhulst 传统 模型 优化 模型 / 实际值 //相对误差 相对误差 年份 / / 模拟值 模拟值 万辆 % % 万辆 万辆 2004 15, 617 15, 599 0, 12 15, 603 0, 083 2
2005 15, 779 15, 789 0, 07 15, 785 0, 038 2
2 3 : Verhulst Verhulst 由表 和表 可以看出本文提出的优化 模型在模拟和预测精度上都比传统的 模
,Verhulst ,Verhulst 型有所提高说明优化模型的拟合曲线优于传统 模型的拟合曲线从而使得新的灰色
、。预测方面比传统模型更具有优势 模型在模拟
2014 : 河 南 科 技 大 学 学 报 自 然 科 学 版 年 ?94?
4 结论
( 1) ( 0) ( 1) = x( 1) ,c,Verhulst x在传统的 模型中将 作为初始条件来求解时间响应函数的常数 而在实 际
,,应用中最优时间响应函数的曲线不一定经过初始点这势必导致曲线的拟合效果较差拟合和预测精 度不。,高本文根据累加生成序列的倒数与其倒数模拟值的差值平方和最小为准则构建了一个非线性 无约束
c,,Verhulst 优化模型来求解模型预测函数中的参数 建立起相应的最优时间响应函数避免了原 模型初始
。。条件难以确定的问题并通过实例验证了该改进模型可以有效地提高模拟和预测精度
:参考文献
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櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒櫒 ( 89 ) 上接第 页
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,J,,Numerical Anal ysis,2013,arXiv: 1305, 2041,
No, 5 CONTENTS AND ABST,ACTS ? ? ? centered inlet scoop collocated on microcombine harvester of wheat, -
Key words: cyclone separating; cleaning device; off-centered inlet scoop; influence law
CLC number: S225, 3 Document code: A Article ID: 1672-6871( 2014) 05-0073-06
,egulation of VHA-c Genes of Arabidopsis thaliana by Mineral Nutrition ( 79 ) …………………… ZHANG Chunlin,SHANG Shihui,WANG ,uigang ( College of Life Sciences,Inner Mongolia Agricultural University,Hohhot 010018,China) : T GUS xo VHAGUS g oo v gow o MS wAbstractheepressinpatternin-transenictbaccleaesrnnthemediumith 2 + 2 + Cawere analyzed, Expression analysis in the presence of Cashows that GUS expression level is elevated when driven by the VHA-c2 and VHA-c3 promoter,but is decreased when driven by the VHA-c5 promoter,Mean while,MS medium positively regulates the expression of VHA-c2,VHA-c3 and VHA-c5, It is 2 + concluded that the VHA-c genes can be regulated by Caand MS medium,
2 + 2 + + Key words: Arabidopsis thaliana; VHA-c; GUS; Ca; MS medium; ion transport; Ca/ H reverse transmission body
CLC number: Q945, 78 Document code: A Article ID: 1672-6871( 2014) 05-0079-03
?Mathematics and Physics?
BlackScholes Pricing Model -( 82 ) ……………………………………………………………………… LI Peiluan,ZHANG Zengyuan ( Mathematics , Statistics School,Henan University of Science , Technology ,Luoyang 471023,China)
Abstract: This paper focuses on the pricing of continuous-time derivatives, The Black-Scholes pricing model was established, The detailed derivation of BlackScholes differential equations and BlackScholes formula --
on martingale method were given, Then,the expression and significance of the hedge parameters were based
oduced combining with the pricing formula of European option, intr
Key words: financial derivatives; Black-Scholes model; european option; hedge parameter
CLC number: O175 Document code: A Article ID: 1672-6871( 2014) 05-0082-05
Spectral Collocation Method for a Class of Linear System Singular Boundary Value Problems
( 87 ) ……………………………………………………………………………………………………… CAI Weiyun,WANG Tianjun,YIN Yanhong ( Mathematics , Statistics School,Henan University of Science , Technology,Luoyang 471023,China)
Abstract: By using a regularization technique and Legendre-Gauss-Lobatto nodes as collocation points, Legendre collocation method was constructed to investigate the numerical solution to a class of linear system gular boundary value problems, The given numerical example illustrates the details of the proposed method sin
solving this kind of problems, Numerical results demonstrate the high efficiency and accuracy of the in
method,Ke y words: ordinary differential equations system; singular boundary value problems; Legendre-collocation method; Legendre-Gauss-Lobatto nodes
CLC number: O241, 81 Document code: A Article ID: 16726871( 2014) 05008703 ---
Improved Grey Verhulst Model ( 90 ) …………………………………………………………………… LIU Lina,SHAN ,ui ( College of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China)
Abstract: In order to solve the problem of identifing the parameter value in prediction function,this paper oposed a new method to create the time response sequence of whiterization for Verhulst model, The constant pr
c of the time response sequence of whiterrizatin equation of Verhulst model was found by an optimized method, The optimized method used square sum of difference value of the count backwards of accumulated generation
, Then the time response sequence and simulation value to create nonlinear unconstrained optimization model
? ? Journal of Henan University of Science and Technology: Natural Science 2014? sequence of grey differential equation was got, The experiment shows that the improved Verhulst model is
or in prediction and simulation, superi
Key words: grey Verhulst model; time response sequence; least square estimate; prediction CLC number: O212 Document code: A Article ID: 1672-6871( 2014) 05-0090-05
?Chemistry,Chemical Engineering and Others?
Enhancement of Fermentative Hydrogen Production by Addition of Cetyl Trimethyl Ammonium
Bromide ( 95 ) ……………………………………………………………………………………………… ,EN Yunli,LI Xin,ZHANG Ke,YANG Songbo ( Chemical Engineering , Pharmaceutics School,Henan University of Science , Technology,Luoyang 471023,China)
Abstract: Biogas evolved by bacteria needs to be released through cell membrane, The fermentative hydrogen oduction was influenced by the permeability of the outer membrane of hydrogen producing bacteria, In this pr
permeability of the outer membrane of the mixed microflora and the fermentative hydrogen paper,the
oduction with addition of cetyl trimethyl ammonium bromide ( CTAB) were investigated, The experimental pr
show that CTAB with the concentration greater than 0, 009 5 g / L can penetrate the outer membrane of results
the mixed microflora, CTAB with the concentration less than 0, 045 0 g / L has no notable impact on biomass
pH during final fermentation, In the presence of CTAB with concentration of 0, 009 5 g / L to 0, 027 0 g / L, and
ythe Hproduction rate and Hield are found to increase with increasing CTAB concentrations, At CTAB 2 2
concentration of 0, 027 0 g / L,the maximum Hproduction efficiency of 13, 6 mmol / g xylose and the maximum 2
production rate of 19, 6 mL / h are gained,which are 38% and 44% higher than those of the corresponding 2 H
blank one,respectively, At CTAB concentration of 0, 045 0 g / L,fermentative hydrogen production is gfy , T gg CTB owo gy ffniicantlinhibitedheseresultssuestethatAcanbeusedasal-cstandhihleicient si
ov g o ov fv oo, actieaenttimpredarkermentatieHprductinbi2
Key words: fermentative hydrogen production; cetyl trimethyl ammonium bromide; bacterial outer membrane; permeability
CLC number: X382, 1 Document code: A Article ID: 1672-6871( 2014) 05-0095-05
Synthesis of Bimetal Compound FeNiand Evaluation of Its Catalytic Activity to NaBHHydrolysis 3 4
( 100 ) …………………………………………………………………………………………………… YAO Hairui,ZHENG Xijun,ZHANG Jun,LI Jingjing,BAI Xiaokang ( Chemical Engineering , Pharmaceutics School,Henan University of Science , Technology,Luoyang 471023,China)
Abstract: The bimetallic compound FeNiwas prepared by hydrothermal method in the alkaline solution with 3
water soluble nickel salt and iron salt as the source of metal,hydrazine hydrate as reductant,and olyvinylpyrrolidone ( PVP) as template and stabilizer, The effects of concentration of polyvinylpyrrolidone and p
odium hydroxide on morphology and phase of the product were detailedly investigated, The products were s
characterized and analyzed respectively by means of Xray powder diffraction and transmission electron -
oscopy ( SEM) , Besides,the preliminary evaluation of the catalytic activity of FeNiwas carried out by 3 micr
regulating different reaction conditions, Comparation of the catalytic activity for hydrogen generation rate of NaBHhydrolysis catalyzed by FeNior by Ni powder was made, The results show that under the given 4 3
xperimental condition the products are pure stoichiometric FeNimicronano particles with good -3 e
crystallinity,The addition of polyvinylpyrrolidone can effectively improve crystallization behavior of the product and help to form micro-nano lozenge thin plate with uniform particle size and high dispersion, It is verified that the catalytic activity of FeNiis obviously higher than that of nickel powder, Within the initial 10 minutes 3
the catalytic activity of FeNiis 26, 8% higher than that of nickel powders under the same hydrolysis condition 3
at 30 ? ,Ke y words: synthesis; FeNi; NaBH; hydrogen generation; catalysis 3 4
CLC number: TQ423; O614 Document code: A Article ID: 1672-6871( 2014) 05-0100-05
灰色预测模型的改进
灰色预测模型的改进
陈洁 ,许长新
( )河海大学 商学院 ,江苏 南京 210098
摘 要 :用提高原始数据列光滑度的方法来提高 GM 模型的精度 ,从而改进灰色模型. 并从理论上证明了该方法比对 数函数变换 、开方变换 、对数函数开方的复合变换 、指数函数及指数函数开方的复合变换等已有提高光滑度的方法更 有效. 笔者提出的“幂函数 - 指数函数”复合变换很大程度上提高了灰色模型的预测精度 ,使许多原本不能用灰色模型
预测的问题得到解决.
关键词 :灰色预测模型 ;原始数据列 ;光滑度 “; 幂函数 - 指数函数”复合变换
中图分类号 :O159 文献标识码 : A
[ 1 ] 灰色系统理论已经在许多领域得到了成功的应用 . 在应用中 , 人们常遇到一些预测精度不高或
者精度通不过检验的情况 , 这样只能放弃利用模型做预测. 灰色预测模型的可靠性及预测精度主要取决
( ) ( ) 00( ) ( ) ( ) 于原始数据列{ x k} k = 1 , 2 , 的光滑性 , { x k} 的光滑性越好灰色模型的预测精度越高 , 改 ( ) 0( ) ( ) ( ) 善{ x k} 的光滑度是提高 GM 模型精度的有效方法. 文献 [ 2 ] 中指出 , 用两个函数 f x, g x对原始
光滑数据列进行变换 , 如果
( 0) ( 0) ( ) ( ) f [ x k] g [ x k] ? k - 1k - 1 ( )( )0 0 ( ) ( ) f [ x i]g[ x i]?? i = 1 i = 1 ( ) 0( ) ( ) 则数据列{ f [ x k]} 的光滑性更好 , 即函数 f x对提高原始数据列的光滑度及改善灰色预测模型的
精度效果更好.
1 相关定理
[ 3 ] 国内已经有一些提高原始数据列光滑度的研究, 1993 年李群提出用对数函数及开方变换提高原
始数据列光滑度 , 得到定理 1 . 1 及定理 1 . 2 .
( )l n x k ( )[ 4 ]x k ( ) ( ) 若 x k为递增数列 , 且 x 1?e , 则定理 1 . 1 ? . k - 1 k - 1
( )( )l n x sx s?? s = 1 s = 1 1/ T ( ) ( )[ x k] x k [ 4 ]( ) ( ) ?若 x k为递增数列 , 且 x 1?1 , T ?1 , 则定理 1 . 2 . k - 1 k - 1 1/ T ( ) ( )[ x s]x s?? s = 1 s = 1
1996 年王建根和李春生用对数函数开方的复合变换提高原始数据列的光滑度 , 并论证了对数函数
开方变换比对数函数及开方变换对提高原始数据列光滑度更有效 , 得到定理 1 . 3 .
[ 5 ] ( )( ) 定理 1 . 3若 x k为递增数列 , 且 x 1 ?e , T ?1 , 则
1/ T 1/ T 1/ T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ l n x k] [ l n x k] l n x k x k [ x k] x k () () i??ii??k - 1 k - 1 k - 1 k - 1 k - 1 1/ T ( ) [ x s] 1/ T 1/ T ?( ) ( )( )( ) ( )[ l n x s]l n x sx s[ l n x s]x s s = 1 ????? s = 1 s = 1 s = 1 s = 1 s = 1 2002 年 , 何斌和蒙清用指数函数及指数函数开方提高原始数据列的光滑度 , 并且论证了指数函数
收稿日期 :2005203220
( )基金项目 :江苏省交通厅科学研究计划项目 03 R006
第 3 期陈洁等 : 灰色预测模型的改进 263
比对数函数和开方变换更有效 , 指数函数开方变换比对数函数开方变换更有效 , 得到定理 1 . 4 、定理 1 . 5
和定理 1 . 6 .
[ 6 ]( ) ( ) 定理 1 . 4 若 x k为递增数列 , 且 x 1?e , 则对于 a > 1 有 ( )- x k ( ) ( ) x k l n x k a? ? . k - 1k - 1k - 1 ( )- x s ( )( )al n x sx s??? s = 1 s = 1 s = 1 [ 6 ]( ) ( ) 若 x k为递增数列 , 且 x 1?1 , T ?1 , a > 1 , 则定理 1 . 5 ( )1/ T- x k ( ) ( ) [ x k] a x k? ? . k - 1k - 1k - 1 ( )1/ T - x s ( ) ( )a[ x s]x s??? s = 1 s = 1 s = 1 [ 6 ]( ) ( ) 定理 1 . 6 若 x k为递增数列 , 且 x 1?e , T ?1 , a > 1 , 则 ( ) - x k1/ T 1/ T ( ) [ a][ l n x k] ( ) x k ? ? . k - 1k - 1k - 1 ( ) 1/ T - x s1/ T ( ) ( )[ a ][ l n x s]x s??? s = 1 s = 1 s = 1
2 灰色预测模型的改进
m ( ) - x 0( ) ( ) 本文用“幂函数 —指数函数”复合变换 aa > 1 , m > 1对原始数据进行变换. 即将 x k变换 ()() m 0 0m ( ) ( ) [ x k]k ] [ x成 a } 进行预测 , 把预测结果再还原即可 ., 对变换后原始数据{ a m - x 2 . 1( ) ( ) ( ) ( ) 定理 若 x kk = 1 , 2 , 为递增数列 , 且 x 1?1 , 则 aa > 1 , k = 1 , 2 , 是光滑离
散函数.
( ) ( ) 若 x k为递增数列 , 且 x 1?1 , 则对于 a > 1 , m > 1 , 有 定理 2 . 2m ( )( )- x k - x k aa( )x k ? ? . k - 1 k - 1k - 1m ( )( )- x s - x s ( )aax s??? s = 1 s = 1 s = 1
证 后 1 个不等式可由定理 1 . 5 得出 , 只需证明第 1 个不等式 . m- x a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )设 f x= a > 1 , m > 1 , x ?1, 则 f x为单调递减函数 . 因为 x k为递增数列 , 所以 x k - x a m m ( )( )- x k - x s aa( ) ? x s, s = 1 , 2 ,, k - 1 , 所以 ? . 由此易得所证结果. )( ) (- x k- x s aa
事实上 , 幂函数比幂函数开方变换对提高原始数据列光滑度效果更显著 , 结论如定理 2 . 3 所示.
定理 2 . 3( ) ( ) 若 x k为递增数列 , 且 x 1?1 , T ?1 , a > 1 , 则 ( ) ( )- x k1/ T - x k [ a]a? . k - 1 k - 1( ) ( )- x s1/ T - x s a[ a ]?? s = 1 s = 1 - x a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 证 设函数 f x=. 则 f x为单调递减函数 . 因为 x k递增数列 , 所以 x k? x s, - x 1/ T [ a]( )( )- x k - x s a a s = 1 , 2 , , k - 1 , 所以? ( ) ( ) - x k1/ T - x s1/ T [ a][ a]( )( ) - x k - x k1/ T a [ a ] - x ( k) - x ( s) 1/ T - x ( k) 1/ T - x ( s) 即a?[ a]? [ a]?a, 由此易推出?. k - 1 k - 1 ( )( ) - x s - x s1/ T a[ a ]?? s = 1 s = 1
“幂函数 —指数函数”复合变换比“幂函数 —指数函数”开方变换有效 , 结论如定理 2 . 4 所示.
( ) ( )定理 2 . 4若 x k为递增数列 , 且 x 1 ?1 , 则对于 a > 1 , m ?1 , T ?1 , 有 m m ( )( ) - x k - x k1/ T a[ a]? . k - 1k - 1 m m ( )( ) - x s x s1/ T a[ a ]?? s = 1 s = 1 m x a 证( ) ( ) 设 f x=. 则 f x为单调递减函数. m - x [ a]
()第 28 卷辽宁师范大学学报 自然科学版 264
m m ( )( )- x k - x s a a ( )( ) ( ) 因为 x k递 增 数 列 , 所 以 x k? x s, s = 1 , 2 ,, k - 1 , 所 以? , m m ( ( ) ) - x k1/ T - x s1/ T [ a][ a]m m ( ) ( )x k1/ T - x k a [ a ] 易推出? . k - 1 k - 1 m m ( )( ) - x s - x s1/ T a[ a ]?? s = 1 s = 1
“幂函数 —指数函数”的开方变换又比幂函数变换有效 , 结论如定理 2 . 5 所示 .
定理 2 . 5( ) ( ) 若 x k为递增数列 , 且 x 1?1 , a > 1 , m ?1 , T ?1 , 并且 m > T , 则 m ( )( ) - x k1/ T - x k [ a]a? . k - 1k - 1 m ( )s - x ( ) - x s1/ T [ a ]a?? s = 1 s = 1 m - x 1/ T [ a ] 证( )( ) ( )= 设 f x, x ?1 , a > 1 , m ?1 , T ?1 , m > T 则 f x为单调递减函数 . 因为 x k - x a m m ( ) ( ) - x k1/ T - x s1/ T [ a ]] [ a ( ) ( ) , k - 1 , 所以 ? . 递增数列 , 所以 x k? x s, s = 1 , 2 , ( )( )- x k - x s a a m ( ) ( )- x k1/ T - x k [ a ] a 易推出? . k - 1 k - 1 m ) ( )( - x s1/ T - x s [ a ]a?? s = 1 s = 1
归纳以上结论 , 可以对已有提高原始数据列光滑度的各种变换的有效性进行排序 , 结论如定理 2 . 6
所示.
定理 2 . 6( ) 若 x k为递增数列 , 且 x ?e , a > 1 , m ?1 , T ?1 , 并且 m >T , 则 m m ( )( ) ( )( ) - x k - x k1/ T - x k - x k1/ T a[ a]a[ a]? ? ? k - 1k - 1k - 1k - 1 m m ( ( ) )( )( ) s - x s1/ T - x - x s - x s1/ T a[ a ]a[ a ]???? s = 1 s = 1 s = 1 s = 1 1/ T 1/ T ( ) ( ) () [ l n x k] [ x k] x k ???k - 1 k - 1 k - 1 1/ T 1/ T ( ) ( ) ( )[ l n x s][ x s]x s??? s = 1 s = 1 s = 1
参考文献 :
[ 1 ] 邓聚龙. 灰色控制系统[ M ] . 武汉 :华中工学院出版社 ,1985 .
( ) [ 2 ] 邓聚龙. 灰色系统的模型[J ] . 模糊数学 ,1985 ,4 2: 528 .
( ) [ 3 ] 陈涛捷. 灰色预测模型的一种拓广[ J ] . 系统工程 ,1990 ,8 7:50252 .
( ) [ 4 ] 李群. 灰色预测模型的进一步拓广[ J ] . 系统工程理论与实践 ,1993 ,13 1:64266 .
( ) [ 5 ] 王建根 ,李春生. 灰色预测模型问题的一个注记[J ] . 系统工程 ,1996 ,14 6:14215 .
( ) 何斌 ,蒙清. 灰色预测模型拓广方法研究[J ] . 系统工程理论与实践 ,2002 ,22 9:1372140 .[ 6 ]
An Improvement of Grey Foreca sting Model
XU Ch a n g2xi n C H EN J ie ,
()Bu si ne ss School , He hai U niver sit y , Nanji ng 210098 , Chi na
Ab stra ct : Thi s p ap er i ncrea se s t he accuracy of GM mo del by smoo t hi ng t he o ri gi nal dat a seque nce i n o r de r to i mp ro ve GM mo del . Fur t he r mo re , it i s t heo reticall y p ro ved t hat t hi s met ho d i s mo re eff ective t ha n e xi sti ng met ho d s. Mo re p ro ble ms a re no w re sol ved t hro ugh t hi s met ho d.
Ke y wo rds : Grey fo reca sti ng mo del ; o ri gi nal dat e seque nce ; smoo t h degree ;“po we r f unctio n2e xpo ne n2
tial f unctio n”co mpo und t ra n sfo r matio n
灰色模型的简化计算
( ) 第 24 卷第 4 期徐 州 工 程 学 院 学 报 自 然 科 学 版 2009 年 12 月( )Vol . 24 No . 4 J o ur nal of Xuzho u Instit ute of Technolo gy Nat ural Sciences Editio n D EC1 2009
灰 色 模 型 的 简 化 计 算
陈树德
( ) 徐州工程学院 ,江苏 徐州 221008
摘 要 :灰色理论是现代管理科学中唯一具有中国知识产权的部分 ,且应用广泛 . 但灰色系统
的矩阵计算比较繁杂 ,一般需要使用专用计算机软件. 该研究利用 Excel 通用软件 ,方便 、直观地解
决了灰色模型的计算问题 .
关键词 :灰色系统 ;灰色模型 ; Excel
() 中图分类号 : N941 . 5 文献标志码 : A 文章编号 :16742358 X 20090420057208
1 灰色系统概述
在社会经济活动中 ,信息是重要的资源. 在许多时候 ,信息还需要量化 ,例如我国每年的人口是多少 ? 国 内生产总值是多少 ? 粮食产量是多少 ? 人均收入是多少 ? 等等 . 但信息常常并不完整 ,有些只知道大概 ,如 明年的 GD P 增长大约在 8 % ,许多大学毕业生采取自主创业 ,这种“大约”和“许多”的表述 ,数学上称为概 率 “, 概率论”就是研究某种可能性的学科 . 还有一种概念性的描述 ,如我国的经济将保持“较快增长”,徐州是 “较大城市”,这里的“较快”“、较大”,都是一个模糊概念 ,对于模糊概念的量化 ,也有专门的学科 ,这就是“模 糊数学”. 还有些时候 ,我们只知道部分信息 ,有些信息知道 ,有些信息不知道 ,如果用颜色表示 ,知道的信息 称为“白色”,不知道的信息称为“黑色”,不完全知道的信息就称为“灰色”. 如何研究“灰色”问题 ,80 年代之 前 ,没有专门学科 .
( ) 华中理工大学邓聚龙教授 ,经过潜心研究 ,1982 年首创“灰色系统”Gray Sy st e ms理论 ,标志着这一新 学科的问世 .“灰色系统”理论一诞生 ,就受到国内外学者的普遍重视 ,许多国际会议将“灰色系统”列入议题 , 国内 200 多种学术期刊发表专题文章 ,近百所高校开设“灰色系统”课程 . 二十多年来 “, 灰色系统”已被广泛 应用于工业 、农业 、社会 、经济 、能源等众多领域 ,成功地解决了生产 、生活和科学研究中的大量实际问题 ,各 地一大批“灰色系统”研究成果获得各级政府的奖励 “, 灰色系统”已经成为“管理科学”“、系统工程”“、信息技
术”等专业学科不可或缺的重要内容 .
灰色系统无处不在 ,人体就是一个灰色系统 ,因为我们对人体的身高 、体重 、血压 、体温等有不少认识 ,但 对人体的许多机理 、疾病 、经络等尚不了解 . 农业是一个灰色系统 ,农业的耕作 、种植 、施肥等已为人类掌握 , 但天灾 、虫害 、收成等仍有不少未知数. 气象是一个灰色系统 ,人们可以预测天气 ,但“天有不测风云”. 商业是 一个灰色系统 ,因为交易买卖就是一个很难测定的变量. 人口是一个灰色系统 ,因为人的生 、老 、病 、死 ,谁也 不能准确意料. 社会更是一个灰色系统 ,因为社会非常复杂 ,没有人能把社会的每一个细节都弄得清清楚楚 .
“灰色系统”理论有一套独特的系统方法 ,包括灰色预测 、灰色决策 、灰色规划 、灰色聚类 、灰色控制 ,等 . 灰色理论着眼于挖掘信息的潜力 ,用“生成数”强化信息的趋势规律 ,用“关联度”衡量事物间的相互关系. 灰 色理论用微分方程处理离散数据 ,突破传统的统计方法 ,数据需要量少 ,计算方法相对简便. 灰色理论面向社 会经济各领域 ,有着广泛的用途.
2 灰色模型举例
灰色理论的应用 ,主要通过数据搜集 、构建模型和量化计算来完成 .
灰色系统的原始数列称为灰色数列 ,记作
收稿日期 :2009205226 ( ) 作者简介 :陈树德 19342,男 ,四川乐山人 ,教授 ,享受国务院专家特殊津贴 ,主要从事管理工程研究.
( )( )( )( ) 0 0 0 0 (( ) ) ( ) ( ) X t= X1 1 , X1 2 ,Xn1 1
( )( )( )( )0 0 0 0 ( )( ) ( ) ( ) X m t= X 1, X 2, X m n.m m
( ) 上式表示 m 个变量 , 每个变量有 n 个数据 对应时间 t,这就是灰色数列.
将灰色数据进行累加生成 ,称为“白化”处理 . 经过处理 ,可减少数据的随机性 ,增强数据的趋势性 . 如果
一次累加不行 ,还可以进行二次累加 .
( ) ( ) ( ) ( ) 灰色模型可以列举多种 ,如 GM 1 , n模型 、GM 0 , n模型 、GM 2 ,1模型 、Ver h ul st 模型 、GA M n模
[ 1 - 8 ] 型等 ,各类模型的详细叙述 ,请参阅参考文献.
() 最简单的是单变量数列 ,称为 GM 1 ,1模型 . 有原始数据 :
( 0) ( 0) ( 0) ( ) ( ) ( ) X 1, X 2, X n.
作累加生成 :( ) ( ) 10( ) ( ) X 1= X 1,
( ) ( ) ( ) 100( ) ( ) ( ) X 2= X 1+ X 2,
( 3) ( 1) ( 0) ( ) ( ) ( ) X 3= X 2+ X 3,
( ) ( ) ( ) 111( ) ( ) ( ) 白化后的数列为X 1, X 2, X n.
其对应的微分方程为
( )1 d X ( )1 + a X = u. d t
方程的解为
( ) u 1- a( t - 1)u ( ) ( ) + X t= [ X 1- ] e .a a
记 a 、u 为参数向量 :
a T - 1 T ( ) = B BB Y . u
取前 5 个数列 :
1 ( ) ( ) 11 ( ( ) ( ) )- X 2+ X 11 2
1 ( ) ( ) 11 ( ( ) ( ) )- X 3+ X 21 2 B = , 1 ( ) ( ) 11 ( ( ) ( ) )- X 4+ X 31 2
1 ( ) ( ) 11 ( ( ) ( ) )- X 5+ X 41 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0000T ( ) ( ) ( ) ( ) Y = [ X 2, X 3, X 4, X 5] .
() 对于 GM 1 ,2模型 ,微分方程为
( )1 d X 1 ( )( )1 1 + a X= b X . 12d t
方程的解为
b b ( )( )( )( )( )1 1 1 - at - 1 1 ( ) ( ) ( ) t] e ( ) X + X X t= [ X1- t. 221 1 a a
式中
a T - 1 T ( ) = B BB Y , b
陈树德 :灰色模型的简化计算
( ) 1 ( ) ( 1)11 (( ( ) )( - X ) ) 1 2 1 2+ X1X22
1 ( )( )( )1 1 1 ( ( ) ( ) )( )- X 1 3+ X1 2X2 32 B = ,
1 ( )( )( )11 1 ( ( ) ( ) )- X n+ Xn - 1 ( )1 1 Xn2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0000T ( ) ( ) ( ) ( ) Y = [ X 2, X 3, X 4, X 5] .
对于 Ve r h ul st 模型 ,微分方程为
d X 2 = a X + b X,d t
方程的解为 :
( 1) a/ b ( ) . X t= 1 ( ) a - at - 1 - 1 ] e 1 + [ ×( ) 0( )X 1 b
式中
a T - 1 T ( ) = B B B Y , b
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 11112 ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) - X 2+ X 1X 2+ X 12 4
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 11112 ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) - X 3+ X 2X 3+ X 22 4 B = ,
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 11n12 ( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ) - X n+ X n - 1X 2+ X n - 12 4
( ) ( ) ( ) 000T ( ) ( ) ( ) Y = [ X 2, X 3, X n] , () 对于 GA M 1模型 ,方程的的解为
( 1) 2 m ( ) X t= a+ at + at+at .0 1 2 m
式中 :
a0 a1 T - 1 T ( ) = B BB Y, a2
a m
2 m 1 1 11
2 m 1 2 22
2 m B = 33 , 1 3
m 1 nn n ( ) ( ) ( ) 111T ( ) ( ) ( ) Y = [ X 1, X 2, X n] ,
灰色模型较多 ,一篇短文不能尽述 ,其它从略. 灰色模
型的简化计算工具 3
从以上所列几种模型可以看到 ,灰色系统虽然可以解决许多问题 ,但由于计算过程比较复杂 ,这成为该
理论应用推广的一个障碍. 所以邓聚龙教授和许多专家 ,在介绍灰色理论的同时 ,一般提供相应的计算机专
[ 7 - 8 ] 用软件. 笔者在学习灰色系统的过程中 ,苦于计算的繁琐 ,所以也曾编制若干 B A SIC 程序使用 ,见文献.这些专用程序 ,虽然可以解决问题 ,但一般计算机上并无配置. 所谓“工欲善其事 ,必先利其器”,要想过河 ,必 须先解决船 ,没有船 ,过河就成为空话. 计算“灰色模型”也一样 ,是否有更通用的计算工具 ,可以解决灰色模 型实际工 作的 需要 呢 ? 笔者 经过 探索 , 采 用 通用 的 Office Excel 软 件 , 是 一 个 可 行 的 选 择. Excel 是 Mi2 cro sof t Office 组件之一 ,所有的 Wi ndo w s 系统均有配置 ,而且还是江苏省高校职称计算机考试的内容 ,许多
人都会操作 ,略加指点 ,就能使用 ,所以值得推广 .
灰色模型 ,除了原始数列的准备外 ,还要进行“白化”处理 ,最后归结为系数的计算 . 这项矩阵计算十分复 杂 ,涉及矩阵的逆运算 ,矩阵的转置运算 ,以及矩阵的乘积计算 . 这些复杂的计算 ,手工操作无法完成 ,如果采 用 Excel 软件 ,不仅直观明了 ,而且可以迅速获得计算结果.
T - 1 T ( ) 利用 Excel 函数 ,可以将“ = B BB Y”的通用计算公式设计成 :
( ( ( () ) ) ( () ) )= M M UL T M IN V ERS E M M UL T T RA N SPO S E B,B,M M UL T T RA N S PO S E B, Y
式中 : M M UL T ———矩阵相乘函数
- 1 - 1 M IN V ER S E ———矩阵逆函数 B 或 Y
T T T RA N SPO S E ———矩阵转置函数 B 或 Y
这是一个灰色模型的通用计算公式 ,各种灰色模型的“B”“、Y”虽然不同 , 但我们只要根据不同模型构造 相应的“B”“、Y”,一切计算就变得异常方便了.
T 需要注意 ,一般书本文字“Y”数列都是横排 , 所以只能表示为 Y. 而在 Excel 表格中 “, Y”数列尽可能设
置为竖排 ,这样在计算时可减少一道矩阵转置手续 .
下面通过几个算例予以说明 :
[ 7 ] 算例 1.
操作步骤如下 :
() 在 B2 :B8 单元格输入原始数据 ,作为 X 0数列 .
在 C2 单元格输入公式“ = B2”,在 C3 单元格输入公式“ = B3 + C2”,点住 C3 单元格右下角“十”字 ,向下
() 拖至 C8 ,完成全部累加计算 ,作为 X 1数列.
() 按照 GM 1 ,1模型的公式 ,进行“B”“、Y”数列准备 :
( ) 在 B10 单元格输入公式“ = - 0 . 5 3 C2 + C3”,点住 B10 单元格右下角“ + ”字 ,向下拖至 B15 ,在 C10 : C15 输入数值“1”. 选定 C10 :B15 ,点“插入”工具 ,再点“名称”,将 C10 :B15 区域定义为“B”.
选定 B3 :B8 ,点“插入”工具 ,再点“名称”,将 B3 :B8 区域定义为“Y”.
() 根据 GM 1 ,1模型
表 1 例 1 Excel 操作图
Table 1 Excel operatio ns of Example 1
陈树德 :灰色模型的简化计算
选取 B17 :B18 ,输入通用公式 :
( ( ( () ) ) ( () ) )= M M UL T M IN V ERS E M M UL T T RA N SPO S E B,B,M M UL T T RA N S PO S E B, Y
同时按“Ent e r”“Shif t ”“Ct rl”三个键 ,即得系数 a 、u 的计算结果 .
注意 :同时按“Ent e r”“Shif t ”“Ct rl”三个键 ,是 Excel 矩阵计算的操作规则 ,必须遵守 ,否则无效.
在 D2 单元格输入公式 :
( ) ) ( ) ( = ,C ,2 - ,B ,18/ ,B ,173 EXP - ,B ,17 3 A2 - 1+ ,B ,18/ ,B ,117 即
点 D2 单元格右下角“ + ”字 ,向下拖至 D8 ,完成全部拟合计算 .
在 E2 输入公式“ = D2”,在 E3 单元格输入公式“ = D3 - D2”,并点住 E3 单元格右下角“ + ”字 ,向下拖至
E8 ,完成还原计算 , E2 : E8 的数列 ,就是灰色模型的最后计算结果 .
图 1 例 1 拟合效果图
Fig. 1 Fit ting eff ect of exa mple 1
从例 1 拟合效果图看到 ,原始数列和计算数列基本重合 .
[ 7 ] 算例 2.
() 这是一个 GM 1 ,2灰色模型 ,共有三组数列 X1 、X2 、X3 , 其中 , X2 、X3 为自变量 , X1 为因变量 ,类似二
元回归分析 .
在 B3 :D8 输入输入原始数列 X1 、X2 、X3 ,在 E3 单元格输入公式“ = B3”,在 E4 单元格输入公式“ = E3
+ B4”,点住 E4 单元格右下角“ + ”,向下拖至 E8 ,完成 X1 的累加计算. 接着选取 E3 : E8 区域 ,再点住右下角
“ + ”字 ,向右拖至 G8 ,完成 X2 、X3 的累加计算.
下面构造“B”“、Y”数组 :
1 ( )( )( )( 1)1 1 1 ( ( ) ( ) )( )( )- X 1 2 2 1 2+ X1X2X32
1 ( )( )( )( )11 1 1 ( - X ( ) ( ) )( )( )3+ X2 X3 X3 1 1 2 2 2 B = .
1 ( 1)( )( )( )1 1 1 ( ( ) ( ) )( )( )- X 6+ X5 X6 X6 1 1 2 2 2
( ) 在 B10 单元格输入公式“ = - 0 . 5 3 E4 + E3”,同时点住 B10 单元格右下角“ + ”字 ,向下拖至 B14 ,完
成公式复制 .
在 C10 单元格输入公式“ = F4”,同时点住 C10 右下角“ + ”字 ,向下拖至 C14 ,完成公式复制. 再选取点
() 住 C10 : C14 ,点住右下角“ + ”字 ,向右拖至 D14 ,再次复制公式 . 这样 ,C10 :D14 区域就是 GM 1 ,2灰色模型
的“B”,用黑体字表示 .
表 2 例 2 Excel 操作图
Ta ble 2 Excel op eratio ns of exa mple 2
选定 C10 :D14 ,点“插入”工具 ,再点“名称”,将 C10 :D14 区域定义为“B”.
() 选定 B4 :B8 ,点“插入”工具 ,再点“名称”,将 B4 :B8 区域定义为“Y”用黑体字表示.
选取 B16 :B18 ,输入通用公式 :
( ( ( () ) ) ( () ) )= M M UL T M IN V ERS E M M UL T T RA N SPO S E B,B,M M UL T T RA N S PO S E B, Y
同时按“Ent e r”“Shif t ”“Ct rl”三个键 ,即得系数 a 、b2 、b3 的计算结果.
1 1 ) ( (1) - a t - 1 ( ( )( ) () 在 H3 单元格输入 GM 1 ,2拟合公式 : x 1 t = [ x-b2 x2 + b3 x3 ]e + b2 x2 + b3 x3 1 a a
( ( ( ) )( () ) ) ( + 1/ = ,E ,3 - 1/ ,B C ,163 ,B ,17 3 F3 + ,B ,18 3 G33 EXP - ,B ,16 3 A3 - 1
( ) ),B ,163 ,B ,17 3 G4 + ,B ,18 3 G3
点住 H3 单元格右下角“ + ”字 ,向下拖到 H8 ,复制公式 ,完成拟合计算.
在 I3 单元格输入公式“ = H3”,在 I4 单元格输入公式“ = H4 - H3”,点住 I4 单元格右下角“ + ”字 ,向下
拖到 I8 ,完成全部还原计算 .
图 2 例 2 拟合效果图
Fig. 2 Fit ting eff ect of exa mple 2
陈树德 :灰色模型的简化计算
从例 2 拟合效果图可以看到 ,原始数列和灰色计算数列基本重合.
[ 6 ] 算例 3
表 3 例 3 Excel 操作图
Ta ble 3 Excel op eratio ns of exa mple 3
在 B2 :B8 输入原始数据 ,在 C2 单元格输入公式“ = B2”,在 C3 单元格输入公式“ = B3 + C2”,接着点住
C3 单元格右下角“ + ”向下拖至 C8 ,完成全部累加计算.
选定 C2 : C8 ,点工具栏“插入”,再点“名称”,将 C2 : C8 定义为“Y”,用黑体字表示.
() 按照 GA M 1模型构造“B”:
在 B10 :B16 输入数值“1”,在 C10 : C16 分别输入数值“1 、2 、3 、4 、5 、6 、7”. 在 D10 单元格输入公式“ = C10^
2”,在 E10 单元格输入公式“ = C10^3”,选取 D10 : E10 ,点住右下角“ + ”,向下拖至 E16 ,完成全部公式复制 .
接着选定 B10 : E16 ,点工具栏“插入”,再点“名称”,将 B10 : E16 定义为“B”.
选取 B18 :B21 ,输入通用公式 :
( ( ( () ) ) ( () ) )= M M UL T M IN V ERS E M M UL T T RA N SPO S E B,B,M M UL T T RA N S PO S E B, Y
同时按“Ent e r”“Shif t ”“Ct rl”三个键 ,即得系数 a0 、a1 、a2 、a3 的计算结果 .
拟合计算采用公式 :
( 1) 2 m ( ) X t= a+ at + at+at ,0 1 2 m
= ,B ,18 + ,B ,19 3 A2 + ,B ,20 3 A2^2 + ,B ,21 3 A2^3 . 即
在 D2 单元格输入这个公式后 ,接着点住 D2 右下角“ + ”,向下拖至 D8 ,完成全部拟合计算 .在 E2 单元格输入公式“ = D2”,在 E3 单元格输入公式“ = D3 - E2”,接着点住 E3 单元格右下角向下拖
至 E8 ,完成全部还原计算 .
[ 6 ] 2 为了便于比较 ,我们将参考资料结果 ,按公式 y = 501 . 2 + 10 . 9 t + 1 . 6 t计算的数据列入 F2 : F8 ,同
时将原始数列 、灰色数列 、原文献拟合数列绘制成一张图形 ,从拟合图形可以看到 ,灰色拟合和原数据比较接
近 ,而传统的回归拟合则相距较远.
图 3 例 3 拟合效果图
Fig. 3 Fit ting eff ect of exa mple 3
其它灰色模型的计算 ,大体雷同 ,有此 3 例 ,就可以推广到一般应用.
4 结语
() 1灰色理论由我国学者邓聚龙教授创建 ,是现代管理科学中唯一具有中国知识产权的部分 ,且应用广 泛 ,所以值得推广 .
() 2灰色系统的矩阵计算比较复杂 ,利用 Excel 通用软件 ,可以方便 、直观地解决复杂的计算问题.
() 3鉴于灰色系统理论的实用价值 ,作为“应用型大学”,有必要在管理专业开设这门课程 ,并开展相应的 应用研究 . 讲授《运筹学》的老师 ,经过适当进修 ,开讲“灰色系统”课程 ,一般没有问题.
() 4Excel 软件是通用的计算工具 ,包含 500 多个函数 ,一个函数就是一段应用程序 ,可以解决一系列复 杂的数值计算 ,在统计学 、运筹学 、会计学以及工程 、数 、理 、化等诸多学科中都有广泛用途 .
参考文献 :
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[ 3 ] 邓聚龙 . 灰色预测与决策 [ M ] . 武汉 :华中理工大学出版社 ,1986 .
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[ 6 ] 伍 硕 ,陈 澎 ,冯遵义 ,等 . 现代管理学 [ M ] . 徐州 :中国矿业大学出版社 ,1997 :182 .
[ 7 ] 陈树德 . 实用企业经营计算百题 [ M ] . 上海 :上海学林出版社 ,1992 :90 .
[ 8 ] 陈树德 . 捧心集 [ Z ] . 彭城大学 ,1994 .
Simpl if ied Calculat ion of t he Gray Model
C H EN Sh u2de
( )Xuzho u Instit ut e of Technolo gy , Xuzho u 221008 ,Chi na
Abstract : The gra y t heo r y , wi del y app lied i n p ractice , i s t he o nl y p a r t of Chi ne se i nt ellect ual p rop e rt y i n mo de r n ma na ge me nt scie nce . Bei ng co mp licat ed i n it s mat ri x calc ulatio n , t he gra y sy st e ms a re u suall y app lie d wit h t he a ssi st a nce of co mp ut e r sof t wa re . Thi s p ap e r e xp lo re s to e mp lo y Excel to sol ve t he co mp u2 ti ng p ro ble ms i n a mo re efficie nt a nd i nt uitive way .
Key words : Gra y Sy st e ms ; Gray mo del ; Excel
()责任编辑 崔思荣
基于灰色模型的评价模型构建
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
基于灰色模型的评价模型构建
作者:赵志洲
来源:《硅谷》2013年第14期
摘 要 首届夏季青奥会2014年将在南京举行。本文主要运动数学手段,按照实际原型到数学模型,再指导实际的研究思路,从经济角度,预测了青奥会对南京的影响。以进出口总额、旅游总收入和就业人员数作为对青奥会对南京市带来经济效益的三项指标,并对2005~2010年三项经济指标的分析,将时间分为2005~2009和2010~2011年两段,利用GM(1,1)模型灰色预测法和第一段时间的数据预测10~11年南京市三项经济指标的数据,并与该年实际情况进行比较,得到2010和2011年南京市申办青奥会带来的进出口贸易总额的经济效益分别为49.55和63.37亿美元,增长幅度分别为10.9%和12.1%,且就业人员数、旅游总收入也有一定的增长,可见由于申办青奥会成功带来的经济效益是显著的。对问题建立模型与求解之后,我们对模型进行了评价与改进,使之更符合动态实际。
关键词 灰色模型;青奥会
中图分类号:TN97 文献标识码:A 文章编号:1671-7597(2013)14-0032-02 1 问题重述
南京2014年青奥会各项目比赛将安排在2014年8月17日至28日举行。本届青奥会的竞赛项目主要是参考2012年伦敦奥运会和2010年新加坡青奥会的项目设置,确定了28个竞赛项目,所有比赛将在“三大场馆区”的15个不同竞赛场馆进行。本题主要解决预测举办青奥会,对于南京有多少经济效益。
2 模型假设
问题:
1)假设在南京申办青奥会成功(2010)之前,南京市的经济自然增长。
2)假设南京市的经济的额外增长只与青奥会的影响有关,忽略其他因素的影响。
2.1 问题的建模与求解
2.1.1 问题的分析
2010年,南京成功申办2014年青奥会,经济发展将迎来契机和挑战。南京世界知名度提升,进出口贸易增加,作为2014年青奥会的举办城市,将吸引大量观众来到南京,必然会拉
灰色模型
灰色模型GM (1,1)
摘要:本文有三个目的。一、介绍灰系统理论。二、GM(1,1)预测模型,已成为重要的预测方法。三、模型分析,检验模型的合理性。 关键词:灰理论 GM(1,1)误差分析
1. 灰色系统理论
邓聚龙教授提出的灰系统理论,是一种解决信息缺失的不确定问题新的理论、方法。灰系统理论藉以部分信息产生部分有价值的信息,从而正确且有效的描述系统的运作模式。
灰色系统理论经过20多年的发展,已基本建立起了一门新兴学科的结构体系,其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系,以灰色模型(G ,M )为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰系统建模基于观念的建模步骤,而且通过序列算子产生的灰数或关系发现隐藏的定律,使用离散数据产生与灰微分方程等价的连续动态微分方程。灰预测大多建立在GM (1,1)模型的基础上。
2. 灰色系统预测模型
例子:考虑4个数据,记为X (0) (1), X (0) (2), X (0) (3), X (0) (4) ,其数据见表(1):
上图表明原始数据X 没有明显的规律性,其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成,记第K 个累加生成为X (1) (K ) , 并且
X (1) (1) =X (0) (1) =1
X (1) (2) =X (0) (1) +X (0) (2) =1+2=3
X (1) (3) =X (0) (1) +X (0) (2) +X (0) (3) =1+2+1. 5=4. 5
X (1)(4)=X (0)(1)+X (0)(2)+X (0)(3)+X (0)(4)=1+2+1.5+4=8.5 得到数据如表(2)所示:
(0)
上图表明生成数列X 是单调递增数列。 灰色系统预测模型建立
数列预测GM (1,1)模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm 模型,G 表示gray (灰色),m 表示model (模型),Gm (1,1)表示1阶的、1个变量的微分方程模型。Gm (1,1)建模过程和机理如下:
记原始数据序列X (0) 为非负序列
(1)
X (0)=x (0)(1), x (0)(2), x (0)(3),..., x (0)(n )
{}
其中,x (0) (k ) ≥0, k =1, 2, , n . X () 代表原始数据。 其相应的生成数据序列为X (1)
X (1)=x (1)(1), x (1)(2), x (1)(3),..,. x (1)(n )其中:x (k ) =∑x (0) (i ) , k =1, 2, , n
(1)
i =1k
{}
Z (1) 为X (1) 的紧邻均值生成序列
Z (1) =z (1) (1), z (1) (2), , z (1) (n )
{}
其中,Z (1)(k ) =aX (1)(k ) +(1-a ) X (1)(k -1), k =1,2, n , a [0,1]。
称x (0) (k ) +az (1) (k ) =b 为Gm(1,1)模型,由微分方程x (0) (k ) +az (1) (k ) =b 可得到
x (0() k ) =-a z (1() k ) +。利用矩阵形式,得到b
?, k =2,3... n Y =Ba
其中
(0)(0)轾轾X (2)-z 犏犏(2)1(0)(0)犏犏X (3)-z 犏犏(2)1轾a (0)(0)犏犏?Y =犏, B =, a = X (4)-z (2)1犏犏犏b 臌犏犏犏犏犏(0)犏(0)X (n ) -z (2)1犏犏臌臌
?=(B T B ) -1B T Y ,寻找a 和b 的值: 基于矩阵方法,利用a
n
n
n
邋z (k )
(1)
X
k =2
n
(0)
(k ) -(n -1) z (1)(k ) X (0)(k )
k =2n k =2
a =
n
k =2
n
(n -1) 邋[z (1)(k )]2-[
k =2
z (1)(k )]2
z (1)(k ) X (0)(k )
邋[z
b =
k =2
(1)
(k )]
2
n
X
k =2
n
(0)
(k ) -
邋z
k =2
n
(1)
(k )
k =2n
(n -1) 邋[z (1)(k )]2-[
k =2
z (1)(k )]2
k =2
当得到a 和b 的值,求解GM (1,1)模型的适合解,即数据的预测值。
误差分析: 设原始序列
X (0) =x (0) (1), x (0) (2), , x (0) (n )
相应的模型模拟序列为
?(0) =x ?(0) (1), x ?(0) (2), , x ?(0) (n ) X
残差序列
ε(0) ={ε(1), ε(2), ε(n ) }
?(0) (1), x (0) (2) -x ?(0) (2), , x (0) (n ) -x ?(0) (n ) =x (0) (1) -x
相对误差序列
?ε(1) ε(2) ε(n ) ??=?(0) , (0) , , (0) ?
x (1) x (2) x (n ) ??
{}
{}
{}
={?k }1
n
1.对于k <n, 称?k =
ε(k )
x (0) (k )
为k 点模拟相对误差,称?n =
ε(n )
x (0) (n )
为滤波相对误差,
1n
称=∑?k 为平均模拟相对误差;给定α,当
n k =1
差合格模型。
1n (0)
2. =∑x (k ) 为X (0) 的均值,
n k =1
1n (0) 2
s 1=∑(x (k ) -) 2为x (0) 的方差,
n k =11n
=∑ε(k ) 为残差均值,
n k =11n 2
s 2=∑(ε(k ) -) 2为残差方差,
n k =1
s
称c =2为均方差比值;对于给定的c 0>0,当c
s 1
称p =p ε(k ) -<0. 6745s="" 1)为小误差概率,对于给定的p="" 0="">0, 当p >p 0时,称模型为小误差概率合格模型。
3 应用举例
设原始序列X (0) =x (0) (1), x (0) (2), x (0) (3), x (0) (4), x (0) (5)
=(2. 874, 3. 278, 3. 337, 3. 390, 3. 679)
建立Gm(1,1)模型,并进行检验。 解:1)对X (0) 作1-AGO ,得
[D为X (0) 的一次累加生成算子,记为1-AGO ,A cumulated Generating Operator] X (1) =x (1) (1), x (1) (2), x (1) (3), x (1) (4), x (1) (5)
=(2. 874, 6. 152, 9. 489, 12. 579, 16. 558)
2) 对X (1) 作紧邻均值生成,令
Z (1) (k ) =0. 5x (1) (k ) +0. 5x (1) (k -1)
Z (1) =z (1) (1), z (1) (2), z (1) (3), z (1) (4), z (1) (5)
=(2. 874, 4. 513, 7. 820, 11. 84, 14. 718)
{}
{}
{}
?-z (1) (2) ?-z (1) (3)
3)B =?(1)
?-z (4)
(1) ??-z (5)
(0)
?x (2) ?1??3. 278?(0) ??1?,Y =?x (3) ?=?3. 337?
1?x (0) (4) ??3. 390??1??(0) ??3. 679????x (5) ??
?-4. 5131?
. 513-7. 820-11. 184-14. 718???-7. 8201? B TB =?-41111?????-11. 841?
??-14. 7181??
423. 221-38. 235? =?-4???38. 235?
1?
?-4. 513?1?-7. 820?=-11. 841??
??-14. 7181??
423. 221-38. 235?==?0. 0173180. 165542? (B B ) =?-4?????38. 235??0. 16655421. 832371?1?38. 235???4=?423. 221?4-38. 2352???38. 235423. 221??
????
138. 235??4?=?
??230. 969???38. 235423. 221?
???=(B TB ) -1B TY a
T
-1
-1
?3. 278?0. 0173180. 165542???-4. 513-7. 820-11. 184-14. 718???3. 337?=?0111????. 16655421. 832371???1??3. 390?
??3. 679??
?3. 278?
0. 0873860. 030115-0. 028143-0. 089344???3. 337? =?1??. 0852800. 537833-0. 01905110. 604076???3. 390?
??3. 679??. 037156? =?-30
??. 065318??
?(0) =x ?(0) (1), x ?(0) (2), x ?(0) (3), x ?(0) (4), x ?(0) (5) 4)预测值:X
=(2.8740,3.2318,3.3541,3.4811,3.6128)
{}
参考文献:
[1] Si-Feng Liu, Jeffrey Forrest. Advances in Grey Systems Theory and Its Applications [J].Proceedings of 2007 IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services, November 18-20, 2007, Nanjing, China
[2] Deng, J.L.Introduction to Grey System Theory,The Journal of Grey Systems, Vol. 1, pp. 1-24.
[3] Dang, Y.G. Liu, S.F. and Zhang, Z. etc. Industrial Structure Adjustmentof Jiangsu Province with “Turnpike” Model. Journal of SouthernYangtze University(in Chinese),2(5):526-530, 2003
[4] Deng, J. L. Control problems of grey systems. Systems & Control Letters, vol. 5, pp. 288-294, 1982a. [5] Deng, J. L. Grey control system Journal of Huazhong University of Science and Technology, vol. 3, pp. 9-18, 1982b.
[6]Kun-li Wen,Ting-Cheng Chang.The Adaptive in GM(1,1) model. Downloaded on April 11,2010 at 07:04:03 UTC from IEEE Xplore.
Grey Modeling:GM(1,1)
【Abstract 】
There are three purposes in this paper. First, we introduce the grey system.Sencond,we focus the prediction characteristics of GM(1,l) model to show that GM( 1,l) model is a new method in prediction. Third, we directly cut in the parameter
α to find the relationship between the α and the predicted error to prove that α is a
adaptive in real system.
【Key Words】grey system,model GM(1,1),error analysis
1 grey systems theory
Grey systems theory was brought forward by Professor Deng Ju-long from China. It was a new theory and
method applicable to the study of unascertained problems with few data and or poor information. Grey systems theory works on unascertained systems with partially known and partially unknown information by drawing out valuable information by generating and developing the partially known information. It can describe correctly and monitor effectively the systemic operational behavior.
Having been developed for more than 20 years, grey systems theory has already built up the framework of a new discipline. Its main contents include: a theory system based on hazy integration, an analysis system depending on space of grey incidence, a modeling system with GM as its vital part, a methodological system on the foundation of grey sequence generation.A technological system constructed mainly by systems analysis, forecasting, decision, controlling and optimization.
Grey systems modeling is finished based on the thought of five-step-modeling. And hidden laws are found through the generation of grey numbers or functions of sequence operators. The new promise of using discrete data sequence to construct continuous dynamical differential equations is achieved by interchanging grey difference equations. Grey prediction is a quantitative prediction based on GM (1,l).
2 Predictive model base on grey system
Example
Consider Make figure 1:
X (0)(1),X (0)(2),X (0)(3),X (0)(4),its value in the table 1:
Obvious, the original dat doesn’t have rule, and its de velopment situation is swinging. If accumulating the original date,sign
X (1)(K ) :
X (1) (1) =X (0) (1) =1
X (1) (2) =X (0) (1) +X (0) (2) =1+2=3
X (1) (3) =X (0) (1) +X (0) (2) +X (0) (3) =1+2+1. 5=4. 5
X (1)(4)=X (0)(1)+X (0)(2)+X (0)(3)+X (0)(4)=1+2+1.5+4=8.5
We have X (1)(K ) :
the figure show thatX
(1)
is strictly increasing sequence.
Developing GM(1,1)Forecasting Model
Assume
that
the original series of data with n
samples
is expressed X (0)
=
{X (0)(1) , X (0) (2) , X (0) (3) ,..., X (0) (n ) }
(X (1)
(k ) ? 0, k 1, 2,
, n )
where the superscription (0) of X (0)
represents the original series.
Let X
(1)
be the first-order AGO of X
(0)
, whose elements are generated from X
(0)
:
X
(1)=
{X (1)(1) , X (1) (2) , X (1) (3) ,..., X (1) (n ) }
(X (1)
(k ) ? 0, k 1, 2,
, n )
where
X (1)
(k ) =
?
k
X (0)(i ) .
i =1
and we create Z (1)
as the closed mean generated sequence to X
(1)
:
Z (1) ={z (1) (1), z (1) (2), , z (1) (n ) }
where
Z (1)(k ) =aX (1)(k ) +(1-a ) X (1)(k -1), k =1,2,
n , a [0,1]
We call
x (0) (k ) +az (1) (k ) =b
as:
as have x
the
(0)
model of Gm(1,1) .From the difference equation
x (0) (k ) +az (1) (k ) =b ,we
(k ) =-az (1)(k ) +b . we use the matrix form, then we have
?, k =2,3... n Y =Ba
where
(0)轾x 犏(2)
(0)犏x (3)Y =犏, B =(0)犏x (4)犏
犏(0)x 犏臌(5)
(1)轾-z 犏(2)
(1)犏-z 犏(3)犏-z (1)(4)犏犏(1)-z 犏臌(5)
1轾a
?=犏 , a
犏b 1臌11
based on the matrix method, we can use
?=(B T B ) -1B T Y to find the value of a and b: a
n
邋z
a =
k =2
n
(1)
(k )
k =2
X
n
(0)
(k ) -(n -1) z (1)(k ) X (0)(k )
k =2
n k =2
n
(n -1) 邋[z (1)(k )]2-[
k =2
z (1)(k )]2
And
邋[z
b =
k =2
n
(1)
(k )]
2
n
X
k =2
n
(0)
(k ) -
邋z
k =2
n
(1)
n
(k )
k =2n
z (1)(k ) X (0)(k )
(n -1) 邋[z (1)(k )]2-[
k =2
z (1)(k )]2
k =2
When the value
α and b are derived,substitute them into the solution of GM(1,1) model:
X
(0)
(k ) =(1-e a )[X (0)(1)-
b -a (k -1)
]e , k >2 a
Then the predicted value is found.
Error analysis
The original series of date is X
(0)
=x (0) (1), x (0) (2), , x (0) (n ) , through the gray system model,the
{}
corresponding forecasting simulation sequence is
So the error sequence is
?(0) =x ?(0) (1), x ?(0) (2), , x ?(0) (n ) , X
?(0)(n ) }, x (0)(n ) -x
{}
ε(0)={ε(1),ε(2),
?(0)(1),x (0)(2)-x ?(0)(2),ε(n ) }={x (0)(1)-x
and the relative error sequence is
e (1)e (2)
D =, (0), (0)
x (1)x (2)1. for k<n,call ?k =
,
e (n ) n
=D {}k 1
x (0)(n )
ε(k )
x
(0)
(k )
as the relative error of simulation at the point of k , call?n =
ε(n )
x
(0)
(n )
as
1n
the relative error of filtering ,call =∑?k as the average relative error of simulation. αis given, if
n k =1
D
1n (0) (0)
2. =∑x (k ) is mean value ofX .
n k =1
1n (0)
s =∑(x (k ) -) 2is Variance ofX (0).
n k =1
21
1n
=∑ε(k ) ismean value of residual.
n k =1
1n
s =∑(ε(k ) -) 2 is Variance of residual.
n k =1
22
For
c 0>0and c =
s 2
,if c
p 0>0and p =p ε(k ) -<0. 6745s="" 1),if="" p="">p 0,the model is small error probability eligible model.
3. Applications
Case:
Assume that the original series of data
X (0) =x (0) (1), x (0) (2), x (0) (3), x (0) (4), x (0) (5) =(2. 874, 3. 278, 3. 337, 3. 390, 3. 679)
Developing Gm(1,1)model,and doing error analysis.
1)for X
(0)
{}
,do 1-AGO,we have[1-AGO,A cumulated Generating Operator]
X (1) =x (1) (1), x (1) (2), x (1) (3), x (1) (4), x (1) (5) =(2. 874, 6. 152, 9. 489, 12. 579, 16. 558)
(1)
{}
2)based on X , if a =1/2 we have
Z (1) (k ) =0. 5x (1) (k ) +0. 5x (1) (k -1) Z (1) =z (1) (1), z (1) (2), z (1) (3), z (1) (4), z (1) (5)
{}
=(2. 874, 4. 513, 7. 820, 11. 84, 14. 718)
3)the matrix form
?-z (1) (2)
?-z (1) (3) B =?(1)
?-z (4)
(1) ??-z (5) 1?
?-4. 513?1?-7. 820?=-11. 841??
??-14. 7181??(0)
?x (2) ?1??3. 278?(0) ??1?,Y =?x (3) ?=?3. 337?
1?x (0) (4) ??3. 390??1??(0) ??3. 679????x (5) ??
轾-4.5131B T B =轾犏-4.513-7.820-11.184-14.718犏
1
犏
犏犏-7.820 臌1111犏犏-11.841犏臌
-14.7181
=轾犏423.221-38.235犏臌
-38.2354轾-1
(B T B ) -1=犏
423.221-38.235
犏=轾犏0.0173180.165542臌
-38.2354犏臌
0.16655421.832371禳镲1轾438.235=423.221? 438.2352犏犏臌38.235423.221轾 镲=
犏0.0173180.165542镲1轾438.235犏臌0.16655421.832371镲犏镲铪
230.969犏臌38.235423.221a
?=(B T B ) -1B T Y 轾3.278
=轾犏0.0173180.165542
鬃
轾犏-4.513-7.820-11.184-14.718犏
犏犏臌
0.16655421.832371犏犏3.337
臌1111犏犏3.390犏臌
3.679轾3.278=轾犏0.0873860.030115
-0.028143-0.089344犏
犏犏臌1.0852800.537833-0.01905110.604076×
犏3.337
犏犏
3.390犏臌
3.679 =轾犏-0.037156犏臌
3.0653184) the predicted value
X
?(0) ={x ?(0) (1), x ?(0) (2), x ?(0) (3), x ?(0) (4), x ?(0) (5) }
=(2.8740,3.2318,3.3541,3.4811,3.6128) 5)error analysis
References
[1] Si-Feng Liu, Jeffrey Forrest. Advances in Grey Systems Theory and Its Applications [J].Proceedings of 2007 IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services, November 18-20, 2007, Nanjing, China
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[6]Kun-li Wen,Ting-Cheng Chang.The Adaptive in GM(1,1) model. Downloaded on April 11,2010 at 07:04:03 UTC from IEEE Xplore.
中文译文:
灰建模:GM (1,1)
摘要:本文有三个目的。一、介绍灰系统理论。二、GM(1,1)预测模型,已成为重要的
预测方法。三、模型分析,检验模型的合理性。
关键词:灰理论 GM(1,1)误差分析 1. 灰色系统理论
邓聚龙教授提出的灰系统理论,是一种解决信息缺失的不确定问题新的理论、方法。灰系统理论藉以部分信息产生部分有价值的信息,从而正确且有效的描述系统的运作模式。
灰色系统理论经过20多年的发展,已基本建立起了一门新兴学科的结构体系,其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体
系、以晦涩序列生成为基础的方法体系,以灰色模型(G ,M )为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。
灰系统建模基于观念的建模步骤,而且通过序列算子产生的灰数或关系发现隐藏的定律,使用离散数据产生与灰微分方程等价的连续动态微分方程。灰预测大多建立在GM (1,1)模型的基础上。
2. 灰色系统预测模型
例子:考虑4个数据,记为X (0) (1), X (0) (2), X (0) (3), X (0) (4) ,其数据见表(1):
上图表明原始数据X 没有明显的规律性,其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成,记第K 个累加生成为X (1) (K ) , 并且
X (1) (1) =X (0) (1) =1
X (1) (2) =X (0) (1) +X (0) (2) =1+2=3
X (1) (3) =X (0) (1) +X (0) (2) +X (0) (3) =1+2+1. 5=4. 5
X (1)(4)=X (0)(1)+X (0)(2)+X (0)(3)+X (0)(4)=1+2+1.5+4=8.5
(0)
上图表明生成数列X (1)是单调递增数列。
灰色系统预测模型建立:
数列预测GM (1,1)模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm 模型,G 表示gray (灰色),m 表示model (模型),Gm (1,1)表示1阶的、1个变量的微分方程模型。Gm (1,1)建模过程和机理如下:
记原始数据序列X (0) 为非负序列
X (0)=x (0)(1), x (0)(2), x (0)(3),..., x (0)(n )
{}
其中,x (0) (k ) ≥0, k =1, 2, , n . X () 代表原始数据。 其相应的生成数据序列为X (1)
X (1)=x (1)(1), x (1)(2), x (1)(3),..,. x (1)(n )其中:x (k ) =∑x (0) (i ) , k =1, 2, , n
(1)
i =1k
{}
Z (1) 为X (1) 的紧邻均值生成序列
Z (1) =z (1) (1), z (1) (2), , z (1) (n )
{}
其中,Z (1)(k ) =aX (1)(k ) +(1-a ) X (1)(k -1), k =1,2, n , a [0,1]。
称x (0) (k ) +az (1) (k ) =b 为Gm(1,1)模型,由微分方程x (0) (k ) +az (1) (k ) =b 可得到
x (0() k ) =-a z (1() k ) +。利用矩阵形式,得到b
?, k =2,3... n Y =Ba
其中
(0)(1)轾轾x (2)-z 犏犏(2)1(0)(1)犏犏轾a x (3)-z (3)1犏犏犏?Y =犏, B =, a = (0)(1)犏犏b x (4)-z (4)1臌犏犏犏犏(0)(1)x (5)-z (5)1犏犏臌臌
?=(B T B ) -1B T Y ,寻找a 和b 的值: 基于矩阵方法,利用a
邋z
a =
n k =2
n
(1)
n
(k )
k =2
X
n
(0)
(k ) -(n -1) z (1)(k ) X (0)(k )
k =2
n k =2
n
n
(n -1) 邋[z (1)(k )]2-[
k =2
z (1)(k )]2
z (1)(k ) X (0)(k )
邋[z
b =
k =2
(1)
(k )]
2
n
X
k =2
n
(0)
(k ) -
邋z
k =2
n
(1)
(k )
k =2n
(n -1) 邋[z (1)(k )]2-[
k =2
z (1)(k )]2
k =2
当得到a 和b 的值,求解GM (1,1)模型的适合解,即数据的预测值。
误差分析:
设原始序列
X (0) =x (0) (1), x (0) (2), , x (0) (n )
相应的模型模拟序列为
?(0) =x ?(0) (1), x ?(0) (2), , x ?(0) (n ) X
{}
{}
残差序列
ε(0) ={ε(1), ε(2), ε(n ) }
?(0) (1), x (0) (2) -x ?(0) (2), , x (0) (n ) -x ?(0) (n ) =x (0) (1) -x
相对误差序列
?ε(1) ε(2) ε(n ) ??=?(0) , (0) , , (0) ?
x (1) x (2) x (n ) ??
{}
={?k }1
n
1.对于k <n, 称?k =
ε(k )
x (0) (k )
为k 点模拟相对误差,称?n =
ε(n )
x (0) (n )
为滤波相对误差,
1n
称=∑?k 为平均模拟相对误差;给定α,当
n k =1
差合格模型。
1n (0)
2. =∑x (k ) 为X (0) 的均值,
n k =1
1n (0) 2
s 1=∑(x (k ) -) 2为x (0) 的方差,
n k =11n
=∑ε(k ) 为残差均值,
n k =11n 2
s 2=∑(ε(k ) -) 2为残差方差,
n k =1s
称c =2为均方差比值;对于给定的c 0>0,当c
s 1
称p =p ε(k ) -<0. 6745s="" 1)为小误差概率,对于给定的p="" 0="">0, 当p >p 0时,称模型为小误差概率合格模型。
3 应用举例
设原始序列X (0) =x (0) (1), x (0) (2), x (0) (3), x (0) (4), x (0) (5)
=(2. 874, 3. 278, 3. 337, 3. 390, 3. 679)
建立Gm(1,1)模型,并进行检验。 解:1)对X (0) 作1-AGO ,得
[D为X (0) 的一次累加生成算子,记为1-AGO ,A cumulated Generating Operator] X (1) =x (1) (1), x (1) (2), x (1) (3), x (1) (4), x (1) (5) =(2. 874, 6. 152, 9. 489, 12. 579, 16. 558)
2) 对X (1) 作紧邻均值生成,令
Z (1) (k ) =0. 5x (1) (k ) +0. 5x (1) (k -1)
Z (1) =z (1) (1), z (1) (2), z (1) (3), z (1) (4), z (1) (5)
=(2. 874, 4. 513, 7. 820, 11. 84, 14. 718)
{}
{}
{}
?-z (1) (2) ?-z (1) (3)
3) B =?(1)
?-z (4)
(1) ??-z (5)
1?
?-4. 513?1?-7. 820?=
1??-11. 84
??-14. 7181??(0)
?x (2) ?1??3. 278?(0) ??1?,Y =?x (3) ?=?3. 337?
1?x (0) (4) ??3. 390??1??(0) ??3. 679????x (5) ??
轾-4.513犏
轾-4.513-7.820-11.184-14.718犏-7.820T 犏犏B B =
犏犏1111-11.84臌犏犏-14.718臌
轾423.221-38.235犏=犏-38.2354臌
11
11
轾0.0173180.165542=犏犏0.16655421.832371臌
禳轾438.235镲1犏 2犏38.235423.221423.221? 438.235臌轾0.0173180.165542犏==
犏镲0.16655421.832371轾438.2351臌镲犏镲38.235423.221230.969犏臌镲铪
?=(B T B ) -1B T Y a
轾423.221-38.235
(B T B ) -1=犏
犏-38.2354臌
-1
轾0.0173180.165542
=犏犏0.16655421.832371臌
轾0.0873860.030115=犏犏1.0852800.537833臌轾-0.037156=犏犏3.065318臌
轾3.278
犏
轾-4.513-7.820-11.184-14.718犏3.337
犏犏鬃
犏犏1113.390臌1犏犏3.679臌
轾3.278犏
-0.028143-0.089344犏3.337
×犏
-0.01905110.604076犏3.390犏
犏3.679臌
?(0) =x ?(0) (1), x ?(0) (2), x ?(0) (3), x ?(0) (4), x ?(0) (5) 4)预测值:X
=(2.8740,3.2318,3.3541,3.4811,3.6128)
{}
参考文献:
[1] Si-Feng Liu, Jeffrey Forrest. Advances in Grey Systems Theory and Its Applications [J].Proceedings of 2007 IEEE International Conference on Grey Systems and Intelligent Services, November 18-20, 2007, Nanjing, China
[2] Deng, J.L.Introduction to Grey System Theory,The Journal of Grey Systems, Vol. 1, pp. 1-24.
[3] Dang, Y.G. Liu, S.F. and Zhang, Z. etc. Industrial Structure Adjustmentof Jiangsu Province with “Turnpike” Model. Journal of SouthernYangtze University(in Chinese),2(5):526-530, 2003
[4] Deng, J. L. Control problems of grey systems. Systems & Control Letters, vol. 5, pp. 288-294, 1982a. [5] Deng, J. L. Grey control system Journal of Huazhong University of Science and Technology, vol. 3, pp. 9-18, 1982b.
[6]Kun-li Wen,Ting-Cheng Chang.The Adaptive in GM(1,1) model. Downloaded on April 11,2010 at 07:04:03 UTC from IEEE Xplore.
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