会宁会师纪?念馆
姓名:高维儒
地址:兰州交通大?学
2010年?5月28日?
交大学子家?教
第一节 基本知识
?、数与代数
A.数与式:
1、有理数
1)有理数:?整数?正整数/0/负整数
?分数?正分数/负分数
2)数轴:?规定了原点?、正方向和单?位长度的直?线叫数轴。?任何一个有?理数都可以?用数轴上的?一个点来表?示。?只有符号不?同的两个数?互为相反数?。在数轴上,表示互为相?反数的两个?点,位于原点的?两侧,并且与原点?距离相等。?数轴上两个?点表示的数?,右边的总比?左边的大。正数大于0?,负数小于0?,正数大于负?数。
3)绝对值:
?在数轴上,一个数所对?应的点与原?点的距离叫?做该数的绝?对值。
?正数的绝对?值是他的本?身、负数的绝对?值是他的相?反数、0的绝对值?
是0。两个负数比?较大小,绝对值大的?反而小。
4)有理数的运?算:
a.加法:?同号相加,取相同的符?号,把绝对值相?加。?异号相加,绝
对值相等?时和为0;绝对值不等?时,取绝对值较?大的数的符?号,并用较
大的?绝对值减去?较小的绝对?值。?一个数与0?相加不变。
b.减法:减去一个数?,等于加上这?个数的相反?数。
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c.乘法:?两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘?。?任何数与
0?相乘得0。?乘积为1的?两个有理数?互为倒数。
d.除法:?除以一个数?等于乘以一?个数的倒数?。?0不能作除?数。
e.乘方:求N个相同?因数A的积?的运算叫做?乘方,乘方的结果?叫幂,A
叫底数,N叫次数。
f.混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减?,有括号要先?算括号里
的?。
2、实数
1)无理数:无限不循环?小数叫无理?数
2)实数:
?实数分有理?数和无理数?。
?在实数范围?内,相反数,倒数,绝对值的意?义和有理数?范围内的相?反
数,倒数,绝对值的意?义完全一样?。
?每一个实数?都可以在数?轴上的一个?点来表示。
3)平方根:
?如果一个正?数X的平方?等于A,那么这个正?数X就叫做?A的算术平?方
根。
?如果一个数?X的平方等?于A,那么这个数?X就叫做A?的平方根。
?一个正数有?2个平方根?/0的平方根?为0/负数没有平?方根。
?求一个数A?的平方根运?算,叫做开平方?,其中A叫做?被开方数。 4)立方根:
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?如果一个数?X的立方等?于A,那么这个数?X就叫做A?的立方根。
?正数的立方?根是正数、0的立方根?是0、负数的立方?根是负数。
?求一个数A?的立方根的?运算叫开立?方,其中A叫做?被开方数。 3、代数式
1)代数式:用运算符号?把数字和字?母连接而成?的式子叫代?数式,单独一个数?或者一个字?母也是代数?式。
2)合并同类项?:
?所含字母相?同,并且相同字?母的指数也?相同的项,叫做同类项?。
?把同类项合?并成一项就?叫做合并同?类项。
?在合并同类?项时,我们把同类?项的系数相?加,字母和字母?的指数不变
?。
、整式与分式? 4
(1)整式:
?数与字母的?乘积和字母?与字母的乘?积的代数式?叫单项式,单独的一个?
数字或字母?也是一个单?项式;几个单项式?的和叫多项?式;单项式和多?项式
统称整?式。
?一个单项式?中,所有字母的?指数和叫做?这个单项式?的次数。
?一个多项式?中,次数最高的?项的次数叫?做这个多项?式的次数。 1>整式运算:加减运算时?,如果遇到括?号先去括号?,再合并同类?项。
a.运算法则:AM+AN=A(M+N);(AM)N=AMN ;(A/B)N=AN/BN
b.整式的乘法?:
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?单项式与单?项式相乘,把他们的系?数,相同字母的?幂分别相乘?,其余字母连?同他的指数?不变,作为积的因?式。
?单项式与多?项式相乘,就是根据分?配律用单项?式去乘多项?式的每一项?,再把所得的?积相加。
?多项式与多?项式相乘,先用一个多?项式的每一?项乘另外一?个多项式的?每一项,再把所得的?积相加。
?公式两条:
22平方差公式?:a-b=(a+b)(a-b)
222222完全平方公?式:(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b
c.整式的除法?:
?单项式相除?,把系数,同底数幂分?别相除后,作为商的因?式;对于只在被?除式里含有?的字母,则连同他的?指数一起作?为商的一个?因式。 ?多项式除以?单项式,先把这个多?项式的每一?项分别除以?单项式,再把所得的?商相加。
2>分解因式:
?把一个多项?式化成几个?整式的积的?形式,这种变化叫?做把这个多?项式分解因?式。
?方法:提公因式法?、运用公式法?、分组分解法?、十字相乘法?。
(2)分式:
?整式A除以?整式B,如果除式B?中含有分母?,那么这个就?是分式,对于任何一?个分式,分母不为0?。
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?分式的分子?与分母同乘?以或除以同?一个不等于?0的整式,分式的值不?
变。
1>分式的运算?:
?乘法:把分子相乘?的积作为积?的分子,把分母相乘?的积作为积?的分
母。
?除法:除以一个分?式等于乘以?这个分式的?倒数。
?加减法:?同分母的分?式相加减,分母不变,把分子相加?减。?异分
母的分?式先通分,化为同分母?的分式,再加减。
2>.分式方程:
?分母中含有?未知数的方?程叫分式方?程。
?使方程的分?母为0的解?称为原方程?的增根。
B、方程与不等?式
1、方程与方程?组
1>一元一次方?程:
?在一个方程?中,只含有一个?未知数,并且未知数?的指数是1?,这样的
方程?叫一元一次?方程。
?等式两边同?时加上或减?去或乘以或?除以(不为0)一个代数式?,所得
结果仍?是等式。
?解一元一次?方程的步骤?:去分母,移项,合并同类项?,未知数系数?化
为1。
2>二元一次方?程:
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含有两个未?知数,并且所含未?知数的项的?次数都是1?的方程叫做?二元一
次方?程。
3>二元一次方?程组:
?两个二元一?次方程组成?的方程组叫?做二元一次?方程组。
?适合一个二?元一次方程?的一组未知?数的值,叫做这个二?元一次方程?的
一个解。
?二元一次方?程组中两个?方程的公共?解,叫做这个二?元一次方程?的解。
?解二元一次?方程组的方?法:代入消元法?/加减消元法?。
4>一元二次方?程:
? 只有一个未?知数,并且未知数?的项的最高?次数为2的?方程
?一元二次方?程与二次函?数的关系:二次函数函?数值等于零?时就得到了?
对应的一元?二次方程;二次函数的?图像与X轴?的交点的横?坐标是一元?二
次方程的?解。
?一元二次方?程的解法
(a)配方法:利用配方,使方程变为?完全平方公?式,在用直接开?平方法去
求?出解
b)分解因式法?:利用提取公?因式法或公?式法或十字?相乘法把方?程化为两(
个?乘积的形式?去解
2b,4ac(c)公式法:方程的根X?=(-b)/2a ,
?解一元二次?方程的步骤?:
(a)配方法的步?骤:先把常数项?移到方程的?右边,再把二次项?的系数化为
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?1,再同时加上?1次项的系?数的一半的?平方,最后配成完?全平方公式?
(b)分解因式法?的步骤:把方程右边?化为0,然后看看是?否能用提取?公因
式,公式法(这里指的是?分解因式中?的公式法)或十字相乘?,如果可
以,就可以化为?乘积的形式?
(c)公式法:就把一元二?次方程的各?系数分别代?入,这里二次项?的系数为
a?,一次项的系?数为b,常数项的系?数为c
?韦达定理:韦达定理就?是在一元二?次方程中,二根之和=-b/a,二根之
积=c/a(可以表示为?x+x=-b/a,xx=c/a).韦达定理,可以求出一?元二次1212
方程?中的各系数?
?一元二次方?程根的情况?:
2根的判别式? “?”,读作“diao ta”,?=b-4ac,这里可以分?为3种情
况?:
I.?>0时,一元二次方?程有2个不?相等的实数?根;
II.?=0时,一元二次方?程有2个相?同的实数根?;
III.?<0时,一元二次方?程没有实数?根;(其实有2个?虚数根)>0时,一元二次方?程没有实数?根;(其实有2个?虚数根)>
2、不等式与不?等式组
1>不等式:用符号〉,=,〈号连接的式?子叫不等式?。
2>不等号的方?向:
?不等式的两?边都加上或?减去同一个?整式,不等号的方?向不变。
?不等式的两?边都乘以或?者除以一个?正数,不等号方向?不变。
?不等式的两?边都乘以或?除以同一个?负数,不等号方向?相反。
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3>不等式的解?集:
?能使不等式?成立的未知?数的值,叫做不等式?的解。
?一个含有未?知数的不等?式的所有解?,组成这个不?等式的解集?。
?求不等式解?集的过程叫?做解不等式?。
4>一元一次不?等式:
左右两边都?是整式,只含有一个?未知数,且未知数的?最高次数是?1的不
等式?叫一元一次?不等式。
5>一元一次不?等式组:
?关于同一个?未知数的几?个一元一次?不等式合在?一起,就组成了一?元一
次不等?式组。
?一元一次不?等式组中各?个不等式的?解集的公共?部分,叫做这个一?元一
次不等?式组的解集?。
?求不等式组?解集的过程?,叫做解不等?式组。
3、函数
(1)一次函数:
1>若两个变量?x,y间的关系?式可以表示?成y=kx+b(b为常数,k不等于0?)的形式,则称y是x?的一次函数?。特殊当b=0时,称y是x的?正比例函数?。
2>一次函数的?图象(直线):?把一个函数?的自变量x?与对应的因?变量y的值?分别作为点?的横坐标与?纵坐标,在直角坐标?系内描出它?的对应点,所有这些点?组成的图形?叫做该函数?的图象。?正比例函数?y=kx的图象?是经过原点?的一条直线?。?在一次函数?中,当K〈0,B〈O,则经234?象限;当K〈0,B〉0时,则
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经124?象限;当K〉0,B〈0时,则经134?象限;当K〉0,B〉0时,则经123?象
限。?当K〉0时,Y的值随X?值的增大而?增大,当X〈0时,Y的值随X?值的增大
而?减少。
(2)二次函数:
21>若两个变量?x,y间的关系?式可以表示?成y=ax+bx+c(a0)的形式,则称y是,x?的二次函数?。
2>二次函数的?表达式: 2?一般式:y=ax+bx+c (a0) ,2?顶点式:y=a(x-h)+k (a0) ;顶点(h,k) ,
?交点式:y=a(x-x)(x-x) (a0);交点(x,0)和(x,0) ,1212
b3>二次函数的?图像(抛物线):?a>0开口向上?,x> -时y随x的?增大而增大2a
bb时y随x的?增大而减小?;a<0开口向下?,x> -时y随x的?增大而减小?,x<>
b?,x<-时y随x的?增大而增大?;?c>-时y随x的?增大而增大?;?c>
224acbb4acb,b,,(-),对称轴x=-,最值y=;与x轴的交?点2a2a4a4a
2b,4ac( (-b)/2a,0)。 ,
?空间与图形? A、图形的认识?
1、点,线,面
1>点,线,面:
?图形是由点?,线,面构成的。
?面与面相交?得线,线与线相交?得点。
?点动成线,线动成面,面动成体。
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2>展开与折叠?:
?在棱柱中,任何相邻的?两个面的交?线叫做棱,侧棱是相邻?两个侧面的?
交线,棱柱的所有?侧棱长相等?,棱柱的上下?底面的形状?相同,侧面的形
状?都是长方体?。
?N棱柱就是?底面图形有?N条边的棱?柱。
3>截一个几何?体:用一个平面?去截一个图?形,截出的面叫?做截面。 4>视图:主视图,左视图,俯视图。
5>多边形:他们是由一?些不在同一?条直线上的?线段依次首?尾相连组成?的封闭图形
?。
6>弧、扇形:
?由一条弧和?经过这条弧?的端点的两?条半径所组?成的图形叫?扇形。
?圆可以分割?成若干个扇?形。
2、角
1>线:
?线段有两个?端点。
?将线段向一?个方向无限?延长就形成?了射线。射线只有一?个端点。
将线段的两?端无限延长?就形成了直?线。直线没有端?点。 ?
?经过两点有?且只有一条?直线。
2>比较长短:
?两点之间的?所有连线中?,线段最短。
?两点之间线?段的长度,叫做这两点?之间的距离?。
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3>角的度量与?表示:
?角由两条具?有公共端点?的射线组成?,两条射线的?公共端点是?这个角的
顶?点。
?一度的1/60是一分?,一分的1/60是一秒?。
4>角的比较:
?角也可以看?成是由一条?射线绕着他?的端点旋转?而成的。
?一条射线绕?着他的端点?旋转,当终边和始?边成一条直?线时,所成的角
叫?做平角。始边继续旋?转,当他又和始?边重合时,所成的角叫?做周角。
?从一个角的?顶点引出的?一条射线,把这个角分?成两个相等?的角,这条
射线叫?做这个角的?平分线。
4>平行:
?同一平面内?,不相交的两?条直线叫做?平行线。
?经过直线外?一点,有且只有一?条直线与这?条直线平行?。
?如果两条直?线都与第3?条直线平行?,那么这两条?直线互相平?行。 5>垂直:
?如果两条直?线相交成直?角,那么这两条?直线互相垂?直。
互相垂直的?两条直线的?交点叫做垂?足。 ?
?平面内,过一点有且?只有一条直?线与已知直?线垂直。 A.垂直平分线?:垂直且平分?一条线段的?直线叫垂直?平分线,也称中垂线?。 B.垂直平分线?定理:
a性质定理?:在垂直平分?线上的点到?该线段两端?点的距离相?等;
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b判定定理?:到线段两端?点距离相等?的点在这线?段的垂直平?分线上 6>角平分线:把一个角平?分的射线叫?该角的角平?分线。
a性质定理?:角平分线上?的点到该角?两边的距离?相等
b判定定理?:到角的两边?距离相等的?点在该角的?角平分线上? 7>三角形:将三条线段?依次首尾相?连构成的图?形叫三角形?。
(1)三角形的元?素
?四线:中线、高线、角平分线、中位线。
?四心:重心(三角形三边?中线的交点??与顶点的连?线平分底边?)、
垂心(三角形三边?高线的交点??与顶点的连?线垂直底边?)、
内心(三角形三顶?角角平分线?的交点?与顶点的连?线平分
顶角;到三角形三?边距离相等?)、
外心(三角形三边?中垂线的交?点?到三顶点的?距离相等)。
?三顶角、六外角(一外角等于?与其不相邻?的两内角之?和)
(2)三角形的分?类
?按角分:锐角三角形?、直角三角形?、钝角三角形?。
?按边分:a不等腰三?角形
b等腰三角?形:
a>腰与底不等?的三角形
b>腰与底相等?的三角形即?等边三角形?
(3)特殊三角形?的特殊性质?
直角三角形?:斜边中线定?理(直角三角形?斜边的中线?等于斜边的?
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一半),垂心在直角?顶点处,外心在斜边?中点处,三
边长满足?勾股定理,两锐角互余?。
等腰三角形?:三线合一(底边中线、高线、角平分线三?线合
一);两底角相等?,两腰相等;
等边三角形?:三角三边相?等;四心合一;每边都满足?三线合一 8>正方形:一组邻边相?等的矩形是?正方形
a性质:正方形具有?平行四边形?、菱形、矩形的一切?性质
b判定:i.对角线相等?的菱形;ii.邻边相等的?矩形。
第二节 基本定理 1、过两点有且?只有一条直?线
2、两点之间线?段最短
3、同角或等角?的补角相等?
4、同角或等角?的余角相等?
5、过一点有且?只有一条直?线和已知直?线垂直
6、直线外一点?与直线上各?点连接的所?有线段中,垂线段最短? 、平行公理 :经过直线外?一点,有且只有一?条直线与这?条直线平行? 7
8、如果两条直?线都和第三?条直线平行?,这两条直线?也互相平行? 9、同位角相等?,两直线平行?
10、内错角相等?,两直线平行?
11、同旁内角互?补,两直线平行?
12、两直线平行?,同位角相等?
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13、两直线平行?,内错角相等?
14、两直线平行?,同旁内角互?补
15、定理: 三角形两边?的和大于第?三边
16、推论 :三角形两边?的差小于第?三边
17、三角形内角?和定理 :三角形三个?内角的和等?于180?
18、推论1: 直角三角形?的两个锐角?互余
19、推论2: 三角形的一?个外角等于?和它不相邻?的两个内角?的和 20、推论3 :三角形的一?个外角大于?任何一个和?它不相邻的?内角 21、全等三角形?的对应边、对应角相等?
22、边角边公理?(SAS) :有两边和它?们的夹角对?应相等的两?个三角形全?等 23、角边角公理?( ASA):有两角和它?们的夹边对?应相等的 两个三角形?全等 24、推论(AAS): 有两角和其?中一角的对?边对应相等?的两个三角?形全等 25、边边边公理?(SSS) :有三边对应?相等的两个?三角形全等? 26、斜边、直角边公理?(HL): 有斜边和一?条直角边对?应相等的两?个直角三角?形全等
27、定理1:角平分线上?的点到角的?两边的距离?相等
: 到一个角的?两边的距离?相等的点,都在这个角?的平分线上? 28、定理2
29、角平分线是?到角的两边?距离相等的?所有点的集?合
30、等腰三角形?的性质定理?: 等腰三角形?的两个底角?相等 (即等边对等?角) 31、推论1: 等腰三角形?顶角的平分?线平分底边?并且垂直于?底边 32、三线合一:等腰三角形?的顶角平分?线、底边上的中?线和底边上?的高互相重?
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合
33、推论3: 等边三角形?的各角都相?等,并且每一个?角都等于6?0? 34、等腰三角形?的判定定理?: 如果一个三?角形有两个?角相等,那么这两个?角所对的边?也相等(等角对等边?)
35、推论1: 三个角都相?等的三角形?是等边三角?形
36、推论2: 有一个角等?于60?的等腰三角?形是等边三?角形
37、在直角三角?形中,如果一个锐?角等于30??那么它所对?的直角边等?于斜边的一?半
38、直角三角形?斜边上的中?线等于斜边?上的一半
39、定理: 线段垂直平?分线上的点?到这条线段?两端点的距?离相等 40、逆定理: 到一条线段?两端点距离?相等的点,都在这条线?段的垂直平?分线上 41、线段的垂直?平分线可看?作和线段两?端点距离相?等的所有点?的集合 42、定理1: 关于某条直?线对称的两?个图形是全?等形
43、定理2: 如果两个图?形关于某直?线对称,那么对称轴?是对应点连?线的垂直平?分线
44、定理3: 两个图形关?于某直线对?称,如果它们的?对应线段或?延长线相交?,那么交点在?对称轴上
45、逆定理: 如果两个图?形的对应点?连线被同一?条直线垂直?平分,那么这两个?图形关于这?条直线对称?
22246、勾股定理: 直角三角形?两直角边a?、b的平方和?、等于斜边c?的平方,即+ba=c
22247、勾股定理的?逆定理: 如果三角形?的三边长a?、b、c有关系a?+b=c,那么这
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个三?角形是直角?三角形
48、定理: 四边形的内?角和等于3?60?
49、四边形的外?角和等于3?60?
50、多边形内角?和定理: n边形的内?角的和等于?(n-2)×180? 51、推论: 任意多边的?外角和等于?360?
52、平行四边形?性质定理1?: 平行四边形?的对角相等?
53、平行四边形?性质定理2?: 平行四边形?的对边相等?
54、推论: 夹在两条平?行线间的平?行线段相等?
55、平行四边形?性质定理3?: 平行四边形?的对角线互?相平分 56、平行四边形?判定定理1?: 两组对角分?别相等的四?边形是平行?四边形 57、平行四边形?判定定理2?: 两组对边分?别相等的四?边 形是平行四?边形 58、平行四边形?判定定理3?: 对角线互相?平分的四边?形是平行四?边形 59、平行四边形?判定定理4?: 一组对边平?行且相等的?四边形是平?行四边形 60、矩形性质定?理1: 矩形的四个?角都是直角?
61、矩形性质定?理2: 矩形的对角?线相等
62、矩形判定定?理1: 有三个角是?直角的四边?形是矩形
63、矩形判定定?理2: 对角线相等?的平行四边?形是矩形
64、菱形性质定?理1: 菱形的四条?边都相等
65、菱形性质定?理2: 菱形的对角?线互相垂直?,并且每一条?对角线平分?一组对角
66、菱形面积=对角线乘积?的一半,即S=(a×b)/2
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67、菱形判定定?理1: 四边都相等?的四边形是?菱形
68、菱形判定定?理2: 对角线互相?垂直的平行?四边形是菱?形
69、正方形性质?定理1: 正方形的四?个角都是直?角,四条边都相?等 70、正方形性质?定理2: 正方形的两?条对角线相?等,并且互相垂?直平分,每条对角线?平分一组对?角
71、定理1: 关于中心对?称的两个图?形是全等的?
72、定理2: 对称的两个?图形,对称点连线?都经过对称?中心,并且被对称?中心平分
73、逆定理:如果两个图?形的对应点?连线都经过?某一点,并且被这一?点平分,那么这两个?图形关于这?一点对称
74、等腰梯形性?质定理:等腰梯形在?同一底上的?两个角相等? 75、等腰梯形的?两条对角线?相等
76、等腰梯形判?定定理:在同一底上?的两个角相?等的梯 形是等腰梯?形 77、对角线相等?的梯形是等?腰梯形
78、平行线等分?线段定理:如果一组平?行线在一条?直线上截得?的线段相等?,那么在其他?直线上截得?的线段也相?等
79、推论1:经过梯形一?腰的中点与?底平行的直?线,必平分另一?腰 80、推论2: 经过三角形?一边的中点?与另一边平?行的直线,必平分第三?边 81、三角形中位?线定理: 三角形的中?位线平行于?第三边,并且等于它?的一半 82、梯形中位线?定理: 梯形的中位?线平行于两?底,并且等于两?底和的一半? L=(a+b)/2;面积s=(a+b)h/2=L*h
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83、(1)比例的基本?性质:
如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果 ad=bc ,那么a:b=c:d
84、(2)合比性质:
如果a,b=c,d,那么(a?b),b=(c?d),d
85、(3)等比性质:
如果a,b=c,d=?=m,n(b+d+?+n?0),
那么(a+c+?+m),(b+d+?+n)=a,b
86、平行线分线?段成比例定?理: 平行线截两?条直线,所得的对应?线段成比例? 87、推论: 平行于三角?形一边的直?线截其他两?边(或两边的延?长线),所得的对应?线段成比例?
如果一条直?线截三角形?的两边(或两边的延?长线)所得的对应?线段88、定理:
成比例?,那么这条直?线平行于三?角形的第三?边
89、平行于三角?形的一边,并且和其他?两边相交的?直线, 所截得的三?角形的三边?与原三角形?三边对应成?比例
90、定理: 平行于三角?形一边的直?线和其他两?边(或两边的延?长线)相交,所构成的三?角形与原三?角形相似
91、相似三角形?判定定理1?: 两角对应相?等,两三角形相?似(ASA) 92、直角三角形?被斜边上的?高分成的两?个直角三角?形和原三角?形相似 93、判定定理2?: 两边对应成?比例且夹角?相等,两三角形相?似(SAS) 94、判定定理3?: 三边对应成?比例,两三角形相?似(SSS)
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95、定理: 如果一个直?角三角形的?斜边和一条?直角边与另?一个直角三?角形的斜边?和一条直角?边对应成比?例,那么这两个?直角三角形?相似
96、性质定理1?: 相似三角形?对应高的比?,对应中线的?比与对应角?平分线的比?都等于相似?比
97、性质定理2?: 相似三角形?周长的比等?于相似比
98、性质定理3?: 相似三角形?面积的比等?于相似比的?平方
99、任意锐角的?正弦值等于?它的余角的?余弦值,任意锐角的?余弦值等于?它的余角的?正弦值
100、任意锐角的?正切值等于?它的余角的?余切值,任意锐角的?余切值等于?它的余角的?正切值
101、圆是定点的?距离等于定?长的点的集?合
102、圆的内部可?以看作是圆?心的距离小?于半径的点?的集合
103、圆的外部可?以看作是圆?心的距离大?于半径的点?的集合
104、同圆或等圆?的半径相等?
105、到定点的距?离等于定长?的点的轨迹?,是以定点为?圆心,定长为半径?的圆 106、和已知线段?两个端点的?距离相等的?点的轨迹,是这条线段?的垂直平分?线
是这个角的?平分线 107、到已知角的?两边距离相?等的点的轨?迹,
108、到两条平行?线距离相等?的点的轨迹?,是和这两条?平行线平行?且距离相等?的一条直线?
109、定理: 不在同一直?线上的三点?确定一个圆?。
110、垂径定理: 垂直于弦的?直径平分这?条弦并且平?分弦所对的?两条弧
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111、推论1
?平分弦(不是直径)的直径垂直?于弦,并且平分弦?所对的两条?弧
?弦的垂直平?分线经过圆?心,并且平分弦?所对的两条?弧
?平分弦所对?的一条弧的?直径,垂直平分弦?,并且平分弦?所对的另一?条
弧
112、推论2: 圆的两条平?行弦所夹的?弧相等
113、圆是以圆心?为对称中心?的中心对称?图形
114、定理: 在同圆或等?圆中,相等的圆心?角所对的弧?相等,所对的弦相?等,所对的弦的?弦心距相等?
115、推论: 在同圆或等?圆中,如果两个圆?心角、两条弧、两条弦或两?弦的弦心距?中有一组量?相等那么它?们所对应的?其余各组量?都相等
一条弧所对?的圆周角等?于它所对的?圆心角的一?半 116、定理:
117、推论1: 同弧或等弧?所对的圆周?角相等;同圆或等圆?中,相等的圆周?角所对的弧?也相等
118、推论2: 半圆(或直径)所对的圆周?角是直角;90?的圆周角所?对的弦是直?径
119、推论3: 如果三角形?一边上的中?线等于这边?的一半,那么这个三?角形是直角?三角形
120、定理: 圆的内接四?边形的对角?互补,并且任何一?个外角都等?于它的内对?角
121、?直线L和?O相交 d,r
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?直线L和?O相切 d=r
?直线L和?O相离 d,r
122、切线的判定?定理: 经过半径的?外端并且垂?直于这条半?径的直线是?圆的切线 123、切线的性质?定理: 圆的切线垂?直于经过切?点的半径
124、推论1: 经过圆心且?垂直于切线?的直线必经?过切点
125、推论2: 经过切点且?垂直于切线?的直线必经?过圆心
126、切线长定理?: 从圆外一点?引圆的两条?切线,它们的切线?长相等;圆心和这
一?点的连线平?分两条切线?的夹角
127、圆的外切四?边形的两组?对边的和相?等
128、弦切角定理?: 弦切角等于?它所夹的弧?对的圆周角?
129、推论: 如果两个弦?切角所夹的?弧相等,那么这两个?弦切角也相?等 130、相交弦定理?: 圆内的两条?相交弦,被交点分成?的两条线段?长的积相等? 131、推论: 如果弦与直?径垂直相交?,那么弦的一?半是它分直?径所成的两?条线段
的比?例中项
132、切割线定理?: 从圆外一点?引圆的切线?和割线,切线长是这?点到割线与?圆交
点的两?条线段长的?比例中项
133、推论: 从圆外一点?引圆的两条?割线,这一点到每?条 割线与圆的?交点的两条?线段长的积?相等
134、如果两个圆?相切,那么切点一?定在连心线?上
135、?两圆外离 d,R+r
?两圆外切 d=R+r
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?两圆相交 R-r,d,R+r(R,r)
?两圆内切 d=R-r(R,r)
?两圆内含 d,R-r(R,r)
136、定理: 相交两圆的?连心线垂直?平分两圆的?公共弦
137、定理: 把圆分成n?(n?3):
?依次连结各?分点所得的?多边形是这?个圆的内接?正n边形
?经过各分点?作圆的切线?,以相邻切线?的交点为顶?点的多边形?是这个圆
的?外切正n边?形
138、定理: 任何正多边?形都有一个?外接圆和一?个内切圆,这两个圆是?同心圆 139、正n边形的?每个内角都?等于(n-2)×180?,n
140、定理: 正n边形的?半径和边心?距把正n边?形分成2n?个全等的直?角三角形
11141、正n边形的?面积Sn=nab=pb;p表示正n?边形的周长?,b为边心距?。 22
233142、正三角形面?积s=ah/2=a*a/4=a,4 a表示边长? 143、如果在一个?顶点周围有?k个正n边?形的角,由于这些角?的和应为3?60?,因此k×(n-2)180?,n=360?化为(n-2)(k-2)=4
144、弧长计算公?式:L=n兀R,180
2145、扇形面积公?式:S扇形=n兀R,360=LR,2
146、内公切线长?= d-(R-r) 外公切线长?= d-(R+r)
第三节 常用数学公?式
1.平方、立方差
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22222222a-b=(a+b)(a-b);(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b.
222222(a+b)-(a-b)=4ab; (a-b) =(a+b)-4ab;4ab=(a+b)-(a-b)。
33223322a+b=(a+b)(a-ab+b);a-b=(a-b)(a+ab+b)
2.三角不等式?
|a+b|?|a|+|b|
|a-b|?|a|+|b|
|a|?b <=> -b?a?b
|a-b|?|a|-|b|
-|a|?a?|a|
2: X=(-b)/2a 3.一元二次方?程的解 b,4ac,
根与系数的?关系(韦达定理): X+X=-b/a ;X*X=c/a 1212判别式
2b-4ac=0 注:方程有两个?相等的实根? 2b-4ac>0 注:方程有两个?不等的实根? 2b-4ac<0 注:方程没有实?根,有共轭复数?根="" 4.某些数列前?n项和="">0>
1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+n=n(n+1)/2 ;
21+3+5+7+9+11+13+15+?+(2n-1)=n;
2+4+6+8+10+12+14+?+(2n)=n(n+1);
212+22+32+42+52+62+72+82+?+n=n(n+1)(2n+1)/6;
2213+23+33+43+53+63+?n3=n(n+1)/4;
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1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+?+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3. 5.正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中 R 表示三角形?的外接圆半?径
2226.余弦定理 b=a+c-2acco?sB
注:角B是边a?和边c的夹?角
第四节 基本方法
1、配方法
所谓配方,就是把一个?解析式利用?恒等变形的?方法,把其中的某?些项配成一?个或几个多?项式正整数?次幂的和形?式。通过配方解?决数学问题?的方法叫配?方法。其中,用的最多的?是配成完全?平方式。配方法是数?学中一种重?要的恒等变?形的方法,它的应用十?分非常广泛?,在因式分解?、化简根式、解方程、证明等式和?不等式、求函数的极?值和解析式?等方面都经?常用到它。
2、因式分解法?
因式分解,就是把一个?多项式化成?几个整式乘?积的形式。因式分解是?恒等变形的?基础,它作为数学?的一个有力?工具、一种数学方?法在代数、几何、三角等的
因式分解的?方法有许多?,除中学课本?上介绍的提?取公因解?题中起着重?要的作用。
式法?、公式法、分组分解法?、十字相乘法?等外,还有如利用?拆项添项、求根分解、换元、待定系数等?等。
3、换元法
换元法是数?学中一个非?常重要而且?应用十分广?泛的解题方?法。我们通常把?未知数或变?数称为元,所谓换元法?,就是在一个?比较复杂的?数学式子中?,用新的变
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元?去代替原式?的一个部分?或改造原来?的式子,使它简化,使问题易于?解决。
4、判别式法与?韦达定理
22一元二次方?程ax+bx+c=0(a、b、c属于R,a?0)根的判别,?=b-4ac,不仅用来判?定根的性质?,而且作为一?种解题方法?,在代数式变?形,解方程(组),解不等式,研究函数乃?至几何、三角运算中?都有非常广?泛的应用。
韦达定理除?了已知一元?二次方程的?一个根,求另一根;已知两个数?的和与积,求这两个数?等简单应用?外,还可以求根?的对称函数?,计论二次方?程根的符号?,解对称方程?组,以及解一些?有关二次曲?线的问题等?,都有非常广?泛的应用。
5、待定系数法?
在解数学问?题时,若先判断所?求的结果具?有某种确定?的形式,其中含有某?些待定的系?数,而后根据题?设条件列出?关于待定系?数的等式,最后解出这?些待定系数?的值或找到?这些待定系?数间的某种?关系,从而解答数?学问题,这种解题方?法称为待定?系数法。它是中学数?学中常用的?方法之一。
6、构造法
在解题时,我们常常会?采用这样的?方法,通过对条件?和结论的分?析,构造辅助元?素,它可以是一?个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命?
架起一座连?接条件和结?论的桥梁,从而使问题?得以解决,这种解题的?数学题等,
方法,我们称为构?造法。运用构造法?解题,可以使代数?、三角、几何等各种?数学知识互?相渗透,有利于问题?的解决。
7、反证法
反证法是一?种间接证法?,它是先提出?一个与命题?的结论相反?的假设,然后,
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从这个假设?出发,经过正确的?推理,导致矛盾,从而否定相?反的假设,达到肯定原?命题正确的?一种方法。反证法可以?分为归谬反?证法(结论的反面?只有一种)与穷举反证?法(结论的反面?不只一种)。用反证法证?明一个命题?的步骤,大体上分为?:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证?法的基础,为了正确地?作出反设,掌握一些常?用的互为否?定的表述形?式是有必要?的,例如:是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大(小)于、不大(小)于;都是、不都是;至少有一个?、一个也没有?;至少有n个?、至多有(n一1)个;至多有一个?、至少有两个?;唯一、至少有两个?。
归谬是反证?法的关键,导出矛盾的?过程没有固?定的模式,但必须从反?设出发,否则推导将?成为无源之?水,无本之木。推理必须严?谨。导出的矛盾?有如下几种?类型:与已知条件?矛盾;与已知的公?理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾?;自相矛盾。
8、面积法
平面几何中?讲的面积公?式以及由面?积公式推出?的与面积计?算有关的性?质定理,不仅可用于?计算面积,而且用它来?证明平面几?何题有时会?收到事半功?倍的效果。运用面积关?系来证明或?计算平面几?何题的方法?,称为面积方?法,它是几何中?的一种常用?方法。
用归纳法或?分析法证明?平面几何题?,其困难在添?置辅助线。面积法的特?点是把已知?和未知各量?用面积公式?联系起来,通过运算达?到求证的结?果。所以用面积?法来解几何?题,几何元素之?间关系变成?数量之间的?关系,只需要计算?,有时可以
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不?添置补助线?,即使需要添?置辅助线,也很容易考?虑到。
9、几何变换法?
在数学问题?的研究中,常常运用变?换法,把复杂性问?题转化为简?单性的问题?而得到解决?。所谓变换是?一个集合的?任一元素到?同一集合的?元素的一个?一一映射。中学数学中?所涉及的变?换主要是初?等变换。有一些看来?很难甚至于?无法下手的?习题,可以借助几?何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换?的观点渗透?到中学数学?教学中。将图形从相?等静止条件?下的研究和?运动中的研?究结合起来?,有利于对图?形本质的认?识。
几何变换包?括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
10、客观性题的?解题方法
选择题是给?出条件和结?论,要求根据一?定的关系找?出正确答案?的一类题型?。选择题的题?型构思精巧?,形式灵活,可以比较全?面地考察学?生的基础知?识和基本技?能,从而增大了?试卷的容量?和知识覆盖?面。
填空题是标?准化考试的?重要题型之?一,它同选择题?一样具有考?查目标明确?,知识复盖面?广,评卷准确迅?速,有利于考查?学生的分析?判断能力和?计算能力等?优点,不同的是填?空题未给出?答案,可以防止学?生猜估答案?的情况。
要想迅速、正确地解选?择题、填空题,除了具有准?确的计算、严密的推理?外,还要有解选?择题、填空题的方?法与技巧。下面通过实?例介绍常用?方法。
(1)直接推演法?:直接从命题?给出的条件?出发,运用概念、公式、定理等进行?推理或运算?,得出结论,选择正确答?案,这就是传统?的解题方法?,这种解法叫?直接推演法?。
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(2)验证法:由题设找出?合适的验证?条件,再通过验证?,找出正确答?案,亦可将供选?择的答案代?入条件中去?验证,找出正确答?案,此法称为验?证法(也称代入法?)。当遇到定量?命题时,常用此法。
(3)特殊元素法?:用合适的特?殊元素(如数或图形?)代入题设条?件或结论中?去,从而获得解?答。这种方法叫?特殊元素法?。
(4)排除、筛选法:对于正确答?案有且只有?一个的选择?题,根据数学知?识或推理、演算,把不正确的?结论排除,余下的结论?再经筛选,从而作出正?确的结论的?解法叫排除?、筛选法。
(5)图解法:借助于符合?题设条件的?图形或图象?的性质、特点来判断?,作出正确的?选择称为图?解法。图解法是解?选择题常用?方法之一。
(6)分析法:直接通过对?选择题的条?件和结论,作详尽的分?析、归纳和判断?,从而选出正?确的结果,称为分析法?。
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初中数学知识总结
http://www.baidu.com/s?wd=%B3%F5%D6%D0%CA%FD%D1%A7%D6%A
A%CA%B6%B5%E3%D7%DC%BD%E1&oq=%B3%F5%D6%D0%CA%F
D%D1%A7&rsp=1&f=3&sugT=14375
http://www.doc88.com/p-09026875685.html 初中数学大纲与初中数学知识点总结
http://zs.prcedu.com/chuzhong/shuxue 初中数学知识点总结
http://www.docin.com/p-105348326.html 初中数学知识点总结
一元二次方程(抛物线)
1、判别式:
2当Δ=b-4ac?0时,x=[-b?(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
2当Δ=b-4ac,0时,x={-b?[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a(i是虚数单位) 2、韦达定理: X1+X2= -b/a,X1*X2=c/a
3、顶点坐标:
方程:y=a(x-n)(x-m),对称轴是x=(m+n)/2;顶点坐标是[(m+n)/2,-a(m-n)^2/4]
方程:y=ax^2+bx+c,对称轴是x=-b/(2a) ;顶点坐标是[-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)]
Y^2=2px (焦点(p/2,0);准线方程x= - p/2)
圆的标准方程
1、标准方程:x^2+y^2=r^2,圆心O(0,0),半径r;(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心O(a,b),半径r。
一般方程: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 (条件:D^2+E^2–4F>0) 2、点与圆的位置关系
点P(X,Y)
?当(x,a)^2,(y,b) ^2>r^2时,则点P在圆外。
a)^2,(y,b) ^2=r^2时,则点P在圆上。 ?当(x,
?当(x,a)^2,(y,b) ^2
3、直线与圆的位置关系判断
平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断,由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:
如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。 4、圆与圆的位置关系="">0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。>
两圆外切 d,R+r;
两圆内切 d,R-r (R,r);
两圆外离 d,R+r;
两圆内含 d,R-r(R,r);
两圆相交 R-r,d,R+r(
同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆的内接四边形的对角互补,所以并且任何一个外角都等于它的内对角。
弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
两割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
公式: 面积公式: 弧长
n?rn?r^2L= S= 180360
V球=4/3?r^3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
正比例函数
Y=kx(k>0)
反比例函数(双曲线)
Y=k/x(是中心对称图形)
1、当k>0,两支曲线位于第一、三象限,在每一象限内,y值随x的增大而减小。 2、当k<0,两支曲线位于第二、四象限,在每一象限内,y值随x的增大而增大。>0,两支曲线位于第二、四象限,在每一象限内,y值随x的增大而增大。>
任何一个多边形外角和都是360度。
三角形面积公式:S=1/2acsinB
相似三角形的判定:
判定定理1:对应角相等,两三角形相似(ASA)
判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
直角三角形相似判定:斜边及一直角边对应成比例,两直角三角形相似
全等三角形判定:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 直角三角形全等条件:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
三角函数
Tan(A+B)=(tanA + tanB)/(1- tanA tanB)
Sin2A=2sinAcosA
Cos2A=cosA^2 – sinA^2
=2cosA^2 – 1
=1 – 2sinA^2
Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
Cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
tanαcotα,1 sinα^2+cosα^2,1
正弦余弦、正切余切值:
1、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
2、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圆半径) 余弦定理:c^2=a^2 +b^2 – 2abcosC
三角形四线四心:
重心:三条中线定相交,交点位置真奇巧,长短之比二比一,灵活运用掌握好。 垂心:三角形上作三高,三高必于垂心交。
内心:三角对应三顶点,角角都有平分线,点至三边均等距,可作三角形内切圆。 外心:三角形三内角有三边,作三边的中垂线,三线相交共一点,可作外接圆。
等差数列
通项公式:An=A1+(n - 1)d
求和公式:Sn=(A1+An)n/2
=nA1+n(n - 1)d/2 等比数列
通项公式:An=A1*q^(n - 1)
求和公式:Sn=A1(1 – q^n)/(1 - q)
=(A1-An*q)/(1 - q)
比例的基本性质:a:b=c:d,那么ad=bc
合比性质:如果a/b=c/d,那么(a?b)/b=(c?d)/d
等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n?0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
常用数学公式:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 三角不等式
,a+b,?,a,+,b,
,a-b,?,a,+,b,
,a,?b,-b?a?b
,a-b,?,a,-,b,
初中数学知识总结
人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形 的认识初步四个章节的内容 .
第一章 有理数
一、知识框架
二.知识概念
1.有理数:
(1)凡能写成 形式的数,都是有理数 . 正整数、 0、负整数统称整数;正分数、负 分数统称分数;整数和分数统称有理数 . 注意:0即不是正数,也不是负数; -a 不一定是负数, +a也不一定是正数; π不是有理数;
(2)有理数的分类 : ① ②
2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 .
3.相反数:
(1)只有符号不同的两个数, 我们说其中一个是另一个的相反数; 0的相反数还是 0;
(2)相反数的和为 0 ? a+b=0 ? a、 b 互为相反数 .
4. 绝对值:
(1)正数的绝对值是其本身, 0的绝对值是 0, 负数的绝对值是它的相反数; 注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2) 绝对值可表示为:或 ;绝对值的问题经常分类讨论;
5. 有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大; (2)正数永远比 0大, 负数永远比 0小; (3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的 反而小; (5) 数轴上的两个数, 右边的数总比左边的数大; (6) 大数 -小数 > 0, 小数 -大数 <>
6. 互为倒数:乘积为 1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠ 0,那么 的 倒数是 ;若 ab=1? a、 b 互为倒数;若 ab=-1? a、 b 互为负倒数 .
7. 有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对 值;
(3)一个数与 0相加,仍得这个数 .
8.有理数加法的运算律:
(1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b) +c=a+(b+c) . 9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即 a-b=a+(-b ) . 10 有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由 负因式的个数决定 .
11 有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab ) c=a(bc );
(3)乘法的分配律:a (b+c) =ab+ac .
12. 有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数; 注意:零不能做除数, . 13.有理数乘方的法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2) 负数的奇次幂是负数; 负数的偶次幂是正数; 注意:当 n 为正奇数时 : (-a)n =-an 或 (a -b)n =-(b-a)n , 当 n 为正偶数时 : (-a)n =an 或 (a-b)n =(b-a)n .
14.乘方的定义:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫 做幂;
15.科学记数法:把一个大于 10的数记成 a 310n 的形式,其中 a 是整数数位只 有一位的数,这种记数法叫科学记数法 .
16. 近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确 到那一位 .
17. 有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都 叫这个近似数的有效数字 .
18. 混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减 .
本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础 上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决 实际问题 .
体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要 . 激发学生学习数学的兴趣,教 师培养学生的观察、 归纳与概括的能力, 使学生建立正确的数感和解决实际问题 的能力。 教师在讲授本章内容时, 应该多创设情境, 充分体现学生学习的主体性 地位。
第二章 整式的加减
一.知识框架
二 . 知识概念
1.单项式:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算, 但除式中不含字母的一类代数式叫单项式 .
2.单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数, 简称单项式的系数; 系数不为零时, 单项式中所有字母指数的和, 叫单项式的次 数 .
3.多项式:几个单项式的和叫多项式 .
4.多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个 单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。
通过本章学习,应使学生达到以下学习目标:
1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系。
2. 理解同类项概念, 掌握合并同类项的方法, 掌握去括号时符号的变化规律, 能 正确地进行同类项的合并和去括号。 在准确判断、 正确合并同类项的基础上, 进 行整式的加减运算。
3. 理解整式中的字母表示数, 整式的加减运算建立在数的运算基础上; 理解合并 同类项、 去括号的依据是分配律; 理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算 中仍然成立。
4.能够分析实际问题中的数量关系,并用还有字母的式子表示出来。
在本章学习中,教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式,经历概 念的形成过程,初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。 第三章 一元一次方程
一 . 知识框架
二.知识概念
1.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1,并且含未知数 项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 .
2.一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x 是未知数, a 、 b 是已知数,且 a ≠ 0) .
3.一元一次方程解法的一般步骤:整理方程 ?? 去分母 ?? 去括号 ?? 移 项 ?? 合并同类项 ?? 系数化为 1 ?? (检验方程的解) .
4.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法 :???? 多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合, 为,完成,增加,减少,配套 -----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题 意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程 .
(2)画图分析法 : ???? 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现, 仔细读题, 依照题意画 出有关图形, 使图形各部分具有特定的含义, 通过图形找相等关系是解决问题的 关键, 从而取得布列方程的依据, 最后利用量与量之间的关系 (可把未知数看做 已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础 .
11.列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题: 距离 =速度2时间 ;
(2)工程问题: 工作量 =工效2工时 ;
(3)比率问题: 部分 =全体2比率 ;
(4) 顺逆流问题: 顺流速度 =静水速度 +水流速度, 逆流速度 =静水速度 -水流速 度;
(5)商品价格问题: 售价 =定价2折2 ,利润 =售价 -成本, ;
(6) 周长、 面积、 体积问题:C 圆 =2πR , S 圆 =πR 2, C 长方形 =2(a+b), S 长方形 =ab, C正方形 =4a,
S 正方形 =a2, S 环形 =π(R2-r 2),V 长方体 =abc , V 正方体 =a3, V 圆柱 =πR 2h , V 圆锥 = πR 2h.
本章内容是代数学的核心,也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和 解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣, 所以要注意引导学生从身边的问 题研究起, 进行有效的数学活动和合作交流, 让学生在主动学习、 探究学习的过 程中获得知识,提升能力,体会数学思想方法。
第一章 图形的认识初步
一、知识框架
本章的主要内容是图形的初步认识,从生活周围熟悉的物体入手,对物体的 形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形 . 通过从不同方向看立体图形和展 开立体图形,初步认识立体图形与平面图形的联系 . 在此基础上,认识一些简单 的平面图形——直线、射线、线段和角 .
二、本章书涉及的数学思想:
1. 分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时,应注意对这些点分情况讨论; 在画图形时,应注意图形的各种可能性。
2. 方程思想。在处理有关角的大小,线段大小的计算时,常需要通过列方程来解 决。
3. 图形变换思想。在研究角的概念时,要充分体会对射线旋转的认识。在处理图 形时应注意转化思想的应用,如立体图形与平面图形的互相转化。
4. 化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时,总要划归到公式 n(n-1)/2的具体运用上来。
七年级数学(下)知识点
人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、 平面直角坐标系、 三角形、 二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整理与表述六章内容。
第二章 相交线与平行线
一、知识框架
二、知识概念
1. 邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个 角是邻补角。
2. 对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角 互为对顶角。
3. 垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。
4. 平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
5. 同位角、内错角、同旁内角:
同位角:∠ 1与∠ 5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角:∠ 2与∠ 6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角:∠ 2与∠ 5像这样的一对角叫做同旁内角。
6. 命题:判断一件事情的语句叫命题。
7. 平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫 做平移平移变换,简称平移。
8. 对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到 的,这样的两个点叫做对应点。
9. 定理与性质
对顶角的性质:对顶角相等。
10垂线的性质:
性质 1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
11. 平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平 行。
12. 平行线的性质:
性质 1:两直线平行,同位角相等。
性质 2:两直线平行,内错角相等。
性质 3:两直线平行,同旁内角互补。
13. 平行线的判定:
判定 1:同位角相等,两直线平行。
判定 2:内错角相等,两直线平行。
判定 3:同旁内角相等,两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系 , 研究 了两条直线相交时的形成的角的特征 , 两条直线互相垂直所具有的特性 , 两条直线 平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质 , 利用平移设 计一些优美的图案 . 重点 :垂线和它的性质 , 平行线的判定方法和它的性质 , 平移和 它的性质 , 以及这些的组织运用 . 难点 :探索平行线的条件和特征 , 平行线条件与特 征的区别 , 运用平移性质探索图形之间的平移关系 , 以及进行图案设计。
第三章 平面直角坐标系
一.知识框架
二.知识概念
1. 有序数对:有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对,记做(a,b )
2. 平面直角坐标系:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角 坐标系。
3. 横轴、 纵轴、 原点:水平的数轴称为 x 轴或横轴; 竖直的数轴称为 y 轴或纵轴; 两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4. 坐标:对于平面内任一点 P ,过 P 分别向 x 轴, y 轴作垂线,垂足分别在 x 轴, y 轴上,对应的数 a,b 分别叫点 P 的横坐标和纵坐标。
5. 象限:两条坐标轴把平面分成四个部分,右上部分叫第一象限,按逆时针方向 一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡,同时它又是学习函数的基础, 起到承上启下的作用。 另外, 平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来, 体现 了数形结合的思想。 掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。 教师在讲 授本章内容时应多从实际情形出发, 通过对平面上的点的位置确定发展学生创新 能力和应用意识。
第四章 三角形
一.知识框架
二.知识概念
1. 三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形。
2. 三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
3. 高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫 做三角形的高。
4. 中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5. 角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和 交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6. 三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定 性。
6. 多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
7. 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
8. 多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外 角。
9. 多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段, 叫做多边形的对角线。 10. 正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11. 平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多 边形覆盖平面。
12. 公式与性质
三角形的内角和:三角形的内角和为 180°
三角形外角的性质:
性质 1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质 2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(n-2)2180°
多边形的外角和:多边形的内角和为 360°。
多边形对角线的条数:(1)从 n 边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线, 把多边形分词(n-2)个三角形。
(2) n 边形共有 条对角线。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形,在学习过程中,教师应该多鼓励 学生动脑动手, 发现和探索其中的知识奥秘。 注重培养学生正确的数学情操和几 何思维能力。
第八章 二元一次方程组
一.知识结构图
二、知识概念
1. 二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1,像这样的方程叫 做二元一次。方程,一般形式是 ax+by=c(a≠ 0,b ≠ 0) 。
2. 二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程 组。
3. 二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做 二元一次方程组的解。
4. 二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元 一次方程组。
5. 消元:将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。
6. 代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个 方程, 实现消元, 进而求得这个二元一次方程组的解, 这种方法叫做代入消元法, 简称代入法。
7. 加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两 边分别相加或相减, 就能消去这个未知数, 这种方法叫做加减消元法, 简称加减 法。
本章通过实例引入二元一次方程 , 二元一次方程组以及二元一次方程组的概念 , 培养学生对概念的理解和完整性和深刻性 , 使学生掌握好二元一次方程组的两种 解法 . 重点 :二元一次方程组的解法 , 列二元一次方程组解决实际问题 . 难点 :二元 一次方程组解决实际问题
第九章 不等式与不等式组
一.知识框架
二、知识概念
1. 用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2. 不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3. 不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
4. 一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知 数的最高次数是 1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
5. 一元一次不等式组:一般地, 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成 6. 了一个一元一次不等式组。
7. 定理与性质
不等式的性质:
不等式的基本性质 1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不 等号的方向不变。
不等式的基本性质 2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方 向不变。
不等式的基本性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方 向改变。
本章内容要求学生经历建立一元一次不等式 (组) 这样的数学模型并应用它解决 实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一 般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识。
第十章 数据的收集、整理与描述
一.知识框架
全面调查
抽样调查
收集数据
描述数据
整理数据
分析数据
得出结论
二.知识概念
1. 全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2. 抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3. 总体:要考察的全体对象称为总体。
4. 个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。
5. 样本:被抽取的所有个体组成一个样本。
6. 样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。
7. 频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
8. 频率:频数与数据总数的比为频率。
9. 组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组,分成组的 个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。
本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动,经历统计的一 般过程, 感受统计在生活和生产中的作用, 增强学习统计的兴趣, 初步建立统计 的观念,培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
八年级数学(上)知识点
人教版八年级上册主要包括全等三角形、轴对称、实数、一次函数和 整式的乘 除与分解因式五个章节的内容。
第十一章 全等三角形
一.知识框架
二.知识概念
1. 全等三角形:两个三角形的形状、大小、都一样时,其中一个可以经过平移、 旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合,这两个三角形称为全等三角 形。
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3. 三角形全等的判定公理及推论有:
(1) “ 边角边 ” 简称 “SAS”
(2) “ 角边角 ” 简称 “ASA”
(3) “ 边边边 ” 简称 “SSS”
(4) “ 角角边 ” 简称 “AAS”
(5) 斜边和直角边相等的两直角三角形(HL )。
4. 角平分线推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:①、确定已 知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等 腰三角形、 等所隐含的边角关系) , ②、 回顾三角形判定, 搞清我们还需要什么, ③、正确地书写证明格式 (顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题 ).
在学习三角形的全等时,教师应该从实际生活中的图形出发,引出全等图形 进而引出全等三角形。 通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。 在经
历三角形的角平分线、 中线等探索中激发学生的集合思维, 启发他们的灵感, 使 学生体会到集合的真正魅力。
第十二章 轴对称
一.知识框架
二.知识概念
1. 对称轴:如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那 么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2. 性质:(1) 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2) 角平分线上的点到角两边距离相等。
(3) 线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
(4) 与一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上。
(5) 轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3. 等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等, (等边对等角)
4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三 线合一”。
5. 等腰三角形的判定:等角对等边。
6. 等边三角形角的特点:三个内角相等,等于 60°,
7. 等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
有两个角是 60°的三角形是等边三角形。
8. 直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上,能够对生活中的图形进行 分析鉴赏, 亲身经历数学美, 正确理解等腰三角形、 等边三角形等的性质和判定, 并利用这些性质来解决一些数学问题。
第十三章 实数
一.知识框架
二.知识概念
1. 算术平方根:一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a ,即 x 2=a,那么正数 x 叫 做 a 的算术平方根,记作 。 0的算术平方根为 0;从定义可知,只有当 a ≥ 0时 ,a 才有算术平方根。
2. 平方根:一般地,如果一个数 x 的平方根等于 a ,即 x 2=a,那么数 x 就叫做 a 的平方根。
3. 正数有两个平方根(一正一负)它们互为相反数; 0只有一个平方根,就是它 本身;负数没有平方根。
4. 正数的立方根是正数; 0的立方根是 0;负数的立方根是负数。
5. 数 a 的相反数是 -a ,一个正实数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的 相反数, 0的绝对值是 0
实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念, 知道实数和数轴上的点一 一对应, 能估算无理数的大小; 了解实数的运算法则及运算律, 会进行实数的运 算。重点是实数的意义和实数的分类;实数的运算法则及运算律。
第十四章 一次函数
一 . 知识框架
二.知识概念
(1)
(3)
(2)
(1)
(2)
(3)
1. 一次函数:若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k≠ 0) 的形式 , 则称 y 是 x 的一次函数 (x为自变量 ,y 为因变量 ) 。 特别地 , 当 b=0时 , 称 y 是 x 的正比例函 数。
2. 正比例函数一般式:y=kx(k ≠ 0),其图象是经过原点 (0,0)的一条直线。
3. 正比例函数 y=kx(k ≠ 0) 的图象是一条经过原点的直线, 当 k>0时, 直线 y=kx经过第一、三象限 ,y 随 x 的增大而增大,当 k<0时,直线 y="kx经过第二、四象" 限="" ,y="" 随="" x="" 的增大而减小,="" 在一次函数="" y="kx+b中" :当="" k="">0时 ,y 随 x 的增大而增大 ; 当 k<0时 ,y="" 随="" x="">0时>
4. 已知两点坐标求函数解析式:待定系数法
一次函数是初中学生学习函数的开始,也是今后学习其它函数知识的基石。 在学习本章内容时, 教师应该多从实际问题出发, 引出变量, 从具体到抽象的认 识事物。 培养学生良好的变化与对应意识, 体会数形结合的思想。 在教学过程中, 应更加侧重于理解和运用, 在解决实际问题的同时, 让学习体会到数学的实用价 值和乐趣。
第十五章 整式的乘除与分解因式
一.知识概念
1. 同底数幂的乘法法则 : (m,n 都是正数 )
2.. 幂的乘方法则: (m,n 都是正数 )
3. 整式的乘法
(1) 单项式乘法法则 :单项式相乘 , 把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只 在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
(2)单项式与多项式相乘 :单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把 它转化为单项式乘以单项式, 即单项式与多项式相乘, 就是用单项式去乘多项式 的每一项,再把所得的积相加。
(3).多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加。
4.平方差公式 :
5.完全平方公式 :
6. 同底数幂的除法法则 :同底数幂相除 , 底数不变 , 指数相减 , 即 (a≠ 0,m 、 n 都是正 数 , 且 m>n).
在应用时需要注意以下几点 :
①法则使用的前提条件是 “ 同底数幂相除 ” 而且 0不能做除数 , 所以法则中 a ≠ 0. ②任何不等于 0的数的 0次幂等于 1, 即 ,如 ,(-2.50=1),则 00无意义 .
③任何不等于 0的数的 -p 次幂 (p是正整数 ), 等于这个数的 p 的次幂的倒数 , 即 ( a≠ 0,p 是正整数 ), 而 0-1,0-3都是无意义的 ; 当 a>0时 ,a -p 的值一定是正的 ; 当 a<0时 ,a="" -p="" 的值可能是正也可能是负的="" ,="" 如="">0时>
④运算要注意运算顺序 .
7.整式的除法
单项式除法单项式 :单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
多项式除以单项式 : 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式, 再把所得的商相加 .
8. 分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式 ,
分解因式 .
分解因式的一般方法:1. 提公共因式法 2. 运用公式法 3. 十字相乘法
分解因式的步骤:(1)先看各项有没有公因式 , 若有 , 则先提取公因式 ;
(2)再看能否使用公式法 ;
(3)用分组分解法 , 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目 的 ;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积 , 否则不是因式分解 ;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止 .
整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多, 表面看来零碎的概念和性质也 较多, 但实际上是密不可分的整体。 在学习本章内容时, 应多准备些小组合作与 交流活动,培养学生推理能力、计算能力。在做题中体验数学法则、公式的简洁 美、和谐美,提高做题效率。
八年级数学(下)知识点
人教版八年级下册主要包括了分式、反比例函数、勾股定理、四边形、数据的分 析五章内容。
第十六章 分式
一.知识框架
二.知识概念
1. 分式:形如 A/B, A 、 B 是整式, B 中含有未知数且 B 不等于 0的整式叫做分 式 (fraction)。其中 A 叫做分式的分子, B 叫做分式的分母。
2. 分式有意义的条件:分母不等于 0
3. 约分:把一个分式的分子和分母的公因式 (不为 1的数) 约去, 这种变形称为约 分。
4. 通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。
分式的基本性质 :分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为 0的整式, 分式的值不变。用式子表示为:A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C (A,B,C 为整式, 且 C≠0)
5. 最简分式 :一个分式的分子和分母没有公因式时 , 这个分式称为最简分式 . 约分时 , 一般将一个分式化为最简分式 .
6. 分式的四则运算:1. 同分母分式加减法则 :同分母的分式相加减 , 分母不变, 把分 子相加减 . 用字母表示为:a/c±b/c=a±b/c
2. 异分母分式加减法则 :异分母的分式相加减 , 先通分 , 化为同分母的分式 , 然 后再按同分母分式的加减法法则进行计算 . 用字母表示为:a/b±c/d=ad±cb/bd 3. 分式的乘法法则 :两个分式相乘 , 把分子相乘的积作为积的分子 , 把分母相乘 的积作为积的分母 . 用字母表示为:a/b * c/d=ac/bd
4. 分式的除法法则 :(1).两个分式相除 , 把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘 .a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数 :a/b÷c/d=a/b*d/c
7. 分式方程 的意义 :分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .
8. 分式方程的解法 :①去分母 (方程两边同时乘以最简公分母 , 将分式方程化 为整式方程 ); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值 ; ③验根 (求出未知数的 值后必须验根 , 因为在把分式方程化为整式方程的过程中 , 扩大了未知数的 取值范围 , 可能产生增根 ).
分式和分数有着许多相似点。教师在讲授本章内容时,可以对比分数的 特点及性质,让学生自主学习。重点在于分式方程解实际应用问题。
第十七章 反比例函数
一 . 知识框架
二.知识概念
1. 反比例函数:形如 y =(k 为常数, k ≠ 0)的函数称为反比例函数。其他形式 xy=k
2. 图像:反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是 中心对称图形。有两条对称轴:直线 y=x和 y=-x。对称中心是:原点
3. 性质 :当 k >0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小;
当 k <0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内 y="" 值随="" x="">0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内>
4.|k|的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标 轴围成的矩形的面积。
在学习反比例函数时, 教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行 对比性学习。在做题时,培养和养成数形结合的思想。
第十八章 勾股定理
一 . 知识框架
二 知识概念
1. 勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a , b ,斜边长为 c ,那么 a 2+ b 2=c2。
勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a 2+b 2=c2。,那么这个三角形是 直角三角形。
2. 定理:经过证明被确认正确的命题叫做定理。
3. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原 命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 勾股定理是直角三角形具备的重要性质。本章要求学生在理解勾股定理的前 提下, 学会利用这个定理解决实际问题。 可以通过自主学习的发展体验获取数学 知识的感受
第十九章 四边形
一.知识框架
二.知识概念
1. 平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等。平行四 边形的对角线互相平分。
3. 平行四边形的判定 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
4. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4. 三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
5. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6. 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形。
7. 矩形的性质:矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。 AC=BD
8. 矩形判定定理: 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
9. 菱形的定义 :邻边相等的平行四边形。
10. 菱形的性质:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一 条对角线平分一组对角。
11. 菱形的判定定理:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四条边相等的四边形是菱形。
12.S 菱形 =1/23ab (a 、 b 为两条对角线)
13. 正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
14. 正方形的性质:四条边都相等,四个角都是直角。 正方形既是矩形,又是菱 形。
15. 正方形判定定理: 1.邻边相等的矩形是正方形。 2.有一个角是直角的菱形 是正方形。
16. 梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 17. 直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形
18. 等腰梯形的定义:两腰相等的梯形。
19. 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角 线相等。
20. 等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究, 要求学生在学习过程中 多动手多动脑, 把自己的发现和知识带入做题中。 因此教师在教学时可以多鼓励 学生自己总结四边形的特点,这样有利于学生对知识的把握。
第二十章 数据的分析
一.知识框架
二.知识概念
1. 加权平均数:加权平均数的计算公式。 权的理解 :反映了某个数据在整个数据 中的重要程度。
2. 中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个 数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 (median);如果数据的个 数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3. 众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。
4. 极差:组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差 (range)。
5.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。 本章内容要求学生在经历数据的收集、整理、分析过程中发展学生的统计意 识和数据处理的方法与能力。 在教学过程中, 以生活实例为主, 让学生体会到数 据在生活中的重要性。
九年级数学(上)知识点
人教版九年级数学上册主要包括了二次根式、二元一次方程、旋转、圆和概 率五个章节的内容。
第二十一章 二次根式
一.知识框架
二.知识概念
二次根式:一般地,形如 √ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。当 a >0时, √a 表 示 a 的算数平方根 , 其中 √0=0
对于本章内容,教学中应达到以下几方面要求:
1. 理解二次根式的概念,了解被开方数必须是非负数的理由;
2. 了解最简二次根式的概念;
3. 理解并掌握下列结论:
1) 是非负数; (2) ; (3) ;
4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则 运算;
5. 了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
第二十二章 一元二次根式
一.知识框架
二 . 知识概念
一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的 最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程, ? 经过整理, ? 都能化成如下形式 ax 2+bx+c=0(a ≠ 0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成 a x 2+bx+c=0(a ≠ 0)后,其中 ax 2是二次项, a 是二次项系数; bx 是一次项, b 是一次项系数; c 是常数项.
本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下, 通过解方程来解决一些 实 际问题。
(1)运用开平方法解形如(x+m) 2=n(n ≥ 0)的方程;领会降次──转化的数 学思想.
(2)配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次 项系数为 1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左 边配成一个完全平方式; 变形为 (x+p)2=q的形式,如果 q ≥ 0,方程的根是 x=-p±√ q ;如果 q <0,>0,>
介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为 简单的形如 的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明 如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程,引出配 方法。 最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。 在例题中, 涉及二次项系数 不是 1的一元二次方程, 也涉及没有实数根的一元二次方程。 对于没有实数根的 一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。 (3) 一元二次方程 a x 2+bx+c=0(a ≠ 0)的根由方程的系数 a 、 b 、 c 而定,因此:解一元二次方程时, 可以先将方程化为一般形式 ax 2+bx+c=0, 当 b 2-4ac ≥ 0时, ? 将 a 、 b 、 c 代入式子 x=就得到方程的根. (公式所出现的运算,恰好 包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一 性与和谐性。 ) 这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二 次方程的方法叫公式法.
第二十三章 旋转
一 . 知识框架
二.知识概念
1. 旋转:在平面内,将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度,这样的运 动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。 (图形的 旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动, 其中
对应点到旋转中心的距离相等, 对应线段的长度、 对应角的大小相等, 旋转前后 图形的大小和形状没有改变。)
2. 旋转对称中心:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合, 这种图形叫做旋转对称图形, 这个定点叫做旋转对称中心, 旋转的角度叫做旋转 角(旋转角小于 0°,大于 360°)。
3.中心对称图形与中心对称:
中心对称图形:如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与自身重合, 那么我 们就说,这个图形成中心对称图形。
中心对称:如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与另一个图形重合, 那么 我们就说,这两个图形成中心对称。
4. 中心对称的性质:
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。
本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念,探索旋转的性 质, 进一步发展空间观察, 培养几何思维和审美意识, 在实际问题中体验数学的 快乐,激发对学习学习。
第二十四章 圆
一.知识框架
二.知识概念
1. 圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 定点称为 圆心 , 定长称为 半径 。
2. 圆弧 和 弦 :圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为 优弧 ,小于半圆的弧称为 劣弧 。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心 的弦叫做 直径 。
3. 圆心角 和 圆周角 :顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的 两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4. 内心 和 外心 :过三角形的三个顶点的圆叫做 三角形 的 外接圆 , 其圆心叫做三 角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的 内切圆 ,其圆心称 为内心。
5. 扇形 :在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
6. 圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为 圆锥 的 母线 。
7. 圆和点的位置关系:以点 P 与圆 O 的为例(设 P 是一点,则 PO 是点到 圆心的距离), P 在⊙ O 外, PO >r ; P 在⊙ O 上, PO =r ; P 在⊙ O 内, PO < r="">
8. 直线与圆有 3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交 , 这 条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的 切线,这个唯一的公共点叫做切点。
9. 两圆之间有 5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在 之内叫 内含 ;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切; 有两个公共点的叫 相交 。两圆圆心之间的距离叫做 圆心距 。两圆的半径分别 为 R 和 r ,且 R ≥ r ,圆心距为 P :外离 P >R+r;外切 P=R+r;相交 R-r
10. 切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线。
11. 切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2) 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的 半径。
12. 垂径定理:平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。 13. 有关定理:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的 一半.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径.
14. 圆的计算公式 1. 圆的周长 C=2πr=πd 2.圆的面积 S=πr^2; 3.扇 形弧长 l=nπr/180
15. 扇形面积 S=π(R^2-r^2) 5. 圆锥侧面积 S=πrl
第二十五章 概率
知识框架
本章内容要求学生了解事件的可能性, 在探究交流中学习体验概率在生活中的 乐趣和实用性,学会计算概率。
九年级数学(下)知识点
人教版九年级数学下册主要包括了二次函数、相似、锐角三角形、投影与视 图四个章节的内容。
第二十六章 二次函数
一.知识框架
二. . 知识概念
1. 二次函数:一般地,自变量 x 和 因变量 y 之间存在如下关系:一般式: y=ax^2+bx+c(a≠0, a 、 b 、 c 为常数 ) ,则称 y 为 x 的二次函数。
2. 二次函数的解析式三种形式。
一般式 y=ax2 +bx+c(a ≠ 0)
顶点式
交点式
3. 二次函数图像与性质
y
x
O
对称轴:
顶点坐标:
与 y 轴交点坐标(0, c )
4. 增减性:当 a>0时,对称轴左边, y 随 x 增大而减小;对称轴右边, y 随 x 增 大而增大
当 a<0时,对称轴左边, y="" 随="" x="" 增大而增大;对称轴右边,="" y="" 随="" x="" 增大而="">0时,对称轴左边,>
5. 二次函数图像画法:
勾画草图关键点:1开口方向 2对称轴 3顶点 4与 x 轴交点 5与 y 轴交点 6. 图像平移步骤
(1)配方 ,确定顶点(h,k )
(2)对 x 轴 左加右减;对 y 轴 上加下减
7. 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为 x 1, x 2 其对应的纵坐标相 等那么对称轴
8. 根据图像判断 a,b,c 的符号
(1) a ——开口方向
(2) b ——对称轴与 a 左同右异
9. 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线 y=ax2 +bx+c与 x 轴交点的横坐标 x 1, x 2 是一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)的根。
抛物线 y=ax2 +bx+c,当 y=0时,抛物线便转化为一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 >0时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与 x 轴有两个交点; =0时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与 x 轴有一个交点; <0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与 x="">0时,一元二次方程有不等的实根,二次函数图像与>
二次函数知识很容易与其它知识综合应用, 而形成较为复杂的综合题目。 因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题 形式出现.教师在讲解本章内容时应注重培养学生数形结合的思想和独立 思考问题的能力。
第二十七章 相似
一.知识框架
二 . 知识概念:
1. 相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 互为 相似形的三角形叫做相似三角形
2. 相似三角形的判定方法 :
根据相似图形的特征来判断。(对应边成比例,对应角相等)
1.平行于三角形一边的直线 (或两边的延长线 ) 和其他两边相交 , 所构成的三角 形与原三角形相似;
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 , 那么这两个三
角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等 , 并且相应的夹角相等 , 那么这两个三 角形相似;
4. 如果两个三角形的三组对应边的比相等 , 那么这两个三角形相似;
3. 直角三角形相似判定定理 :
1. 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2. 直角三角形被斜边上的高 分成的两个直角三角形与原直角三角形相似, 并且分成的两个直角三角形也相似。
4. 相似三角形的性质 :
1. 相似三角形的一切对应线段 (对应高、对应中线、对应角平分线、外 接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2. 相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
本章内容通过对相似三角形的学习,培养学生认识和观察事物的能力和 利用所学知识解决实际问题的能力。
第二十八章 锐角三角函数
一.知识框架
二.知识概念
本章内容使学生了解在直角三角形中,锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对 边与邻边、邻边与对边的比值是固定的;通过实例认识正弦、余弦、正切、余切 四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。
初中数学知识总结
初中数学知识总结(北师大版)
一、实数
1.1有理数
1.1.1有理数的定义:整数和分数的统称。
1.1.2有理数的分类:
(1)分为整数和分数。而整数分为正整数、零和负整数 ;分数分为正分数和负分数。
(2)分为正有理数、零和负有理数。而正有理数分为正整数和正分数;负有理数分为负整数和负分数。
1.1.3数轴
1.1.3.1数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
1.1.3.2数轴的三要素:?原点?正方向?单位长度
1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示
1.1.4相反数
1.1.4.1相反数的定义:只有符号不同的两个数就做互为相反数(注:0的相反数为0
1.1.4.2相反数的意义:离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数
1.1.4.3相反数的判别
(1)若 ,则 、 互为相反数
(2)若两个数的绝对值相等,且符号相反,则这两个数互为相反数。
1.1.5倒数
1.1.5.1倒数的定义:若两个数的乘积等于1,则这两个数互为倒数。(若ab=1 ,则 a、b互为倒数)注:零没有倒数。
1.1.6绝对值
1.1.6.1绝对值的定义:在数轴上,表示一个数到原点的距离(a的绝对值记作?a?)
1.1.6.2绝对值的性质:?a??0
1.1.7有理数大小的比较
1.1.7.1正数大于0,负数小于0
1.1.7.2正数大于负数
1.1.7.3两个正数,绝对值大的这个数就大,绝对值小的这个数就小;两个负数,绝对值大的这个数就小,绝对值小的这个数就大。
1.1.7.4作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,则两个数相等;若小于0,则减数大。
1.1.7.5作商法:两个有理数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于1,则两个数相等;若小于1,则除数大。
1.1.8有理数的加法
1.1.8.1运算法则:?符号相同的两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加?绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值(互为相反数的两个数相加等于0)?任何有理数加0仍等于这个数。
1.1.8.2加法交换律在有理数加法中仍然适用,即: a+b=b+a
1.1.8.3加法结合律在有理数加法中仍然适用,即: a+(b+c)=(a+b)+c
1.1.9有理数的减法
1.1.9.1运算法则:减去一个数等于加上这个数的相反数
1.1.9.2有理数减法—转化?有理数加法
1.1.10有理数的乘法
1.1.10.1运算法则:?两个数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘(口诀:正
正得正,负负得正,正负的负,负正的负)?任何有理数乘0仍等于0?多个不等于0的有理数相乘时,积的符号由负因式的个数决定:当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。
1.1.10.2乘法交换律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.10.3乘法结合律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.10.4乘法分配律在有理数乘法中仍然适用,即
1.1.11有理数的除法
1.1.11.1运算法则:除以一个数等于乘上这个数的倒数(除数不能为0,否则无意义)
1.1.11.2有理数除法—转化?有理数乘法
1.1.12有理数的乘方
1.1.12.1有理数乘方的意义:求相同因数积的运算叫做乘方
1.1.12.2有理数乘方的表示方法: 个相同因数 相乘表示为 ,其中 称为底数, 称为指数,而乘方的结果叫做幂,读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”(当 =2时,读作 的平方,简称 方)
1.1.12.3运算规律:?正数的任何次幂都为正数?负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数?0的任何次幂都等于0(0次幂除外)?任何数的零次幂都等于1(0次幂除外)
1.1.13有理数的混合运算
1.1.13.1运算顺序:?先算乘方(即:三级运算),再算乘除(即:二级运算),最后算加减(即:一级运算)?如果是同级运算,则按从左到右的运算顺序计算?如果有括号,先算小括号,再算中括号,最后算大括号。
1.1.14科学记数法
1.1.14.1科学记数法的定义:把一个大于10的有理数记成 的形式(其中1? ?10)叫做科学记数法。
1.1.15近似数
1.1.15.1近似数的定义:接近准确数而不等于准确数的数叫做这个准确数的近似数或近似值。
1.1.15.2求近似值的方法:?四舍五入法?收尾法(进一法)?去尾法。
1.1.15.3有效数字的定义:一个近似数精确到哪一位,从左起第一个不是0的数字起,到这一位数字上的所有数字(包括其中的0)叫做这个近似值的有效数字。
1.2 实数
1.2.1平方根
1.2.1.1平方根的定义:如果一个数的平方等于 ,这个数就叫做 的平方根(或二次方根),即 ,我们就说 是 的平方根。
1.2.1.2平方根的表示方法:如果 ( ,0),则 的平方根 记作 ,“ ”读作“正负根号 ”,其中 读作“二次根号”,2叫做根指数, 叫做被开方数。
1.2.1.3平方根的性质:一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数;0的平方根只有一个,就是0;负数没有平方根。
1.2.1.4开平方的定义:求一个数的平方根的运算就叫做开平方(开平方和平方互为逆运算)。
1.2.2算术平方根
1.2.2.1算术平方根的定义:正数 有两个平方根,其中正数a的正的平方根叫做 的算术平方根,记作 ,读作“根号 ”。
1.2.2.2算术平方根的性质:?具有双重非负性,即: ?0, ?0? =a( ?0)? =? ?,当 ?0时, =? ?= ;当 ?0时, =? ?=-
1.2.3立方根
1.2.3.1立方根的定义:如果一个数的立方等于 ,这个数就叫做 的立方根(或叫做 的三次方根)
1.2.3.2立方根的表示方法:如果 ,则x叫做a的立方根,记作 ,其中 叫做被开方数,3叫做根指数。
1.2.3.3立方根的性质:?正数有一个立方根,仍为正数,负数有一个立方根,仍为负数,0的立方根仍为0。?
1.2.3.4开立方的定义:求一个数的立方根的运算叫做开立方(它与立方互为逆运算)
1.2.4无理数
1.2.4.1无理数的定义:无限不循环小数叫做无理数。
1.2.4.2判断无理数的注意事项:?带根号的数不一定是无理数,如 是有理数,而不是无理数;?无理数不一定是开方开不尽的数,如圆周率
1.2.5实数
1.2.5.1实数的定义:有理数和无理数的统称
1.2.5.2实数的性质:?实数与数轴上的点一一对应?实数a的相反数是-a,实数 的倒数是 ( ?0)?? ??0,? ?=?- ??有理数范围内的运算律、幂的运算法则、乘法公式,在实数范围内同样适用
1.2.5.3两个实数的大小比较:?正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小。?在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大?作商法:两个实数相除(除数或分母不为0)。若大于1,则被除数大;若等于1,则两个数相等;若小于1,则除数大。?作差法:两个有理数相减。若大于0,则被减数大;若等于0,则两个数相等;若小于0,则减数大。
1.2.6二次根式
1.2.6.1二次根式的定义:式子 ( ?0)叫做二次根式。
1.2.6.2二次根式的运算性质:? ( ?0, ?0)? ( ?0, ,0)
1.2.6.3最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:?被开方数的因数是整数,因式是整式?被开方数中不含能开得尽的因数或因式
1.2.6.4分母有理化定义:在分母含有根式的式子中,把分母中的根号划去的过程叫做分母有理化。
1.2.6.5二次根式的混合运算:应按顺序先做乘方运算,再做乘除运算,最后做加减运算;若有括号,应按小、中、大括号的顺序进行运算。
初中数学知识总结
第一节 基本知识
㈠、数与代数
A. 数与式:
1、有理数
1)有理数:① 整数→正整数 /0/负整数
② 分数→正分数 /负分数
2)数轴:① 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。 ② 任何一个有理 数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③ 只有符号不同的两个数互为相反数。在 数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。 ④ 数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于 0,负数小于 0, 正数大于负数。
3)绝对值:
① 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ② 正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、 0的绝对值 是 0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
4)有理数的运算:
a. 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝 对值相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较 大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与 0相加不变。
b. 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
c. 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与 0相乘得 0。③乘积为 1的两个有理数互为倒数。
d. 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。② 0不能作除数。
e. 乘方:求 N 个相同因数 A 的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂, A 叫底数, N 叫次数。
f. 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里 的。
2、实数
1) 无理数:无限不循环小数叫无理数
2) 实数:
① 实数分有理数和无理数。
② 在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反 数,倒数,绝对值的意义完全一样。
③ 每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
3) 平方根:
① 如果一个正数 X 的平方等于 A ,那么这个正数 X 就叫做 A 的算术平方 根。
② 如果一个数 X 的平方等于 A ,那么这个数 X 就叫做 A 的平方根。 ③ 一个正数有 2个平方根 /0的平方根为 0/负数没有平方根。
④ 求一个数 A 的平方根运算,叫做开平方,其中 A 叫做被开方数。 4) 立方根:
① 如果一个数 X 的立方等于 A ,那么这个数 X 就叫做 A 的立方根。 ② 正数的立方根是正数、 0的立方根是 0、负数的立方根是负数。
③ 求一个数 A 的立方根的运算叫开立方,其中 A 叫做被开方数。
3、代数式
1) 代数式:用运算符号把数字和字母连接而成的式子叫代数式, 单独一个数或者 一个字母也是代数式。
2) 合并同类项:
① 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。 ② 把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
③ 在合并同类项时, 我们把同类项的系数相加, 字母和字母的指数不变。 4、整式与分式
(1)整式:
① 数与字母的乘积和字母与字母的乘积的代数式叫单项式,单独的一个 数字或字母也是一个单项式;几个单项式的和叫多项式;单项式和多项 式统称整式。
② 一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
③ 一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
1>整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。
a. 运算法则:AM+AN=A(M+N) ; (AM ) N=AMN ;(A/B) N=AN/BN
b. 整式的乘法:
① 单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余
字母连同他的指数不变,作为积的因式。
② 单项式与多项式相乘, 就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项, 再把所得的积相加。
③ 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的 每一项,再把所得的积相加。
④ 公式两条:
平方差公式 :a2-b 2=(a+b)(a-b)
完全平方公式 :(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2
c. 整式的除法:
① 单项式相除,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只 在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式。 ② 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把 所得的商相加。
2>分解因式:
① 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式 分解因式。
② 方法:提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
(2)分式:
① 整式 A 除以整式 B ,如果除式 B 中含有分母,那么这个就是分式,对 于任何一个分式,分母不为 0。
② 分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于 0的整式,分式的值不
变。
1>分式的运算:
① 乘法:把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母。 ② 除法:除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
③ 加减法:①同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。②异分 母的分式先通分,化为同分母的分式,再加减。
2>.分式方程:
① 分母中含有未知数的方程叫分式方程。
② 使方程的分母为 0的解称为原方程的增根。
B 、方程与不等式
1、方程与方程组
1>一元一次方程:
① 在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是 1,这样的 方程叫一元一次方程。
② 等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为 0)一个代数式,所得 结果仍是等式。
③ 解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化 为 1。
2>二元一次方程:
含有两个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是 1的方程叫做二元一次 方程。
3>二元一次方程组:
① 两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
② 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的 一个解。
③ 二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解。 ④ 解二元一次方程组的方法:代入消元法 /加减消元法。
4>一元二次方程:
① 只有一个未知数,并且未知数的项的最高次数为 2的方程
② 一元二次方程与二次函数的关系 :二次函数函数值等于零时就得到了 对应的一元二次方程;二次函数的图像与 X 轴的交点的横坐标是一元二 次方程的解。
③ 一元二次方程的解法
(a)配方法 :利用配方,使方程变为完全平方公式,在用直接开平方法去 求出解
(b)分解因式法 :利用提取公因式法或公式法或十字相乘法把方程化为两 个乘积的形式去解
(c)公式法 :方程的根 X=(-b±ac
b 4
2-)/2a
④ 解一元二次方程的步骤:
(a)配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边, 再把二次项的系数化为 1,再同时加上 1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 (b)分解因式法的步骤:把方程右边化为 0,然后看看是否能用提取公因
式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以, 就可以化为乘积的形式
(c)公式法 :就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为 a ,一次项的系数为 b ,常数项的系数为 c
⑤ 韦达定理 :韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和 =-b/a,二根之
积 =c/a(可以表示为 x 1 +x
2
=-b/a,x
1
x
2
=c/a).韦达定理,可以求出一元二次
方程中的各系数
⑥ 一元二次方程根的情况 :
根的判别式 “△” ,读作“ diao ta” ,△ =b2-4ac ,这里可以分为 3种情 况:
I. △ >0时,一元二次方程有 2个不相等的实数根;
II. △ =0时,一元二次方程有 2个相同的实数根;
III. △ <0时,一元二次方程没有实数根; (其实有="">0时,一元二次方程没有实数根;>
2、不等式与不等式组
1>不等式:用符号〉 , =, 〈号连接的式子叫不等式。
2>不等号的方向 :
①不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
②不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
③不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
3>不等式的解集:
①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
4>一元一次不等式:
左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 1的不 等式叫一元一次不等式。
5>一元一次不等式组:
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一 次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一 次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。
3、函数
(1)一次函数:
1>若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(b 为常数, k 不等于 0) 的形式,则称 y 是 x 的一次函数。特殊当 b=0时,称 y 是 x 的正比例函数。 2>一次函数的图象(直线) :①把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的 值分别作为点的横坐标与纵坐标, 在直角坐标系内描出它的对应点, 所有这些点 组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数 y=kx的图象是经过原点的一条直 线。③在一次函数中,当 K 〈 0, B 〈 O ,则经 234象限;当 K 〈 0, B 〉 0时,则经 124象限;当 K 〉 0, B 〈 0时,则经 134象限;当 K 〉 0, B 〉 0时,则经 123象限。 ④当 K 〉 0时, Y 的值随 X 值的增大而增大,当 X 〈 0时, Y 的值随 X 值的增大而
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减少。
(2)二次函数: 1>若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=ax2+bx+c(a≠0) 的形式,则称 y 是 x 的二次函数。
2>二次函数的表达式:
①一般式:y=ax2+bx+c (a≠0)
②顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0) ;顶点 (h,k)
③交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) ;交点 (x1,0) 和 (x2,0)
3>二次函数的图像 (抛物线) :① a>0开口向上, x> -a
b 2时 y 随 x 的增大而增大, x<-a b="" 2时="" y="" 随="" x="" 的增大而减小;="">-a><0开口向下, x=""> -a
b 2时 y 随 x 的增大而减小, x<>
b 2时 y 随 x 的增大而增大;② c 是与 y 轴的交点的纵坐标,③顶点坐标 (-a b ac a b 44, 22-) , 对 称 轴 x=-a b 2, 最 值 y=a
b ac 442
-; 与 x 轴 的 交 点 ( (-b±ac 42-)/2a, 0) 。
㈡空
A 、图形的认识
1、点,线,面
1>点,线,面:
① 图形是由点,线,面构成的。
② 面与面相交得线,线与线相交得点。
③ 点动成线,线动成面,面动成体。
2>展开与折叠: ① 在棱柱中,任何相邻的两个面的交线叫做棱,侧棱是相邻两个侧面的
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交线,棱柱的所有侧棱长相等,棱柱的上下底面的形状相同,侧面的形 状都是长方体。
② N 棱柱就是底面图形有 N 条边的棱柱。
3>截一个几何体:用一个平面去截一个图形,截出的面叫做截面。
4>视图:主视图,左视图,俯视图。
5>多边形:他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图 形。
6>弧、扇形:
① 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。 ② 圆可以分割成若干个扇形。
2、角
1>线:
① 线段有两个端点。
② 将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。 ③ 将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。
④ 经过两点有且只有一条直线。
2>比较长短:
① 两点之间的所有连线中,线段最短。
② 两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
3>角的度量与表示:
① 角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的
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顶点。
② 一度的 1/60是一分,一分的 1/60是一秒。
4>角的比较:
① 角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。
② 一条射线绕着他的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角 叫做平角。始边继续旋转,当他又和始边重合时,所成的角叫做周角。 ③ 从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条 射线叫做这个角的平分线。
4>平行:
① 同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
② 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
③ 如果两条直线都与第 3条直线平行,那么这两条直线互相平行。 5>垂直:
① 如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。
② 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
③ 平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
A. 垂直平分线:垂直且平分一条线段的直线叫垂直平分线,也称中垂线。
B. 垂直平分线定理:
a 性质定理:在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等;
b 判定定理:到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上 6>角平分线 :把一个角平分的射线叫该角的角平分线。
a 性质定理:角平分线上的点到该角两边的距离相等
b 判定定理:到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上
7>三角形:将三条线段依次首尾相连构成的图形叫三角形。
(1)三角形的元素
① 四线:中线、高线、角平分线、中位线。
② 四心:重心 (三角形三边中线的交点→与顶点的连线平分底边) 、 垂心 (三角形三边高线的交点→与顶点的连线垂直底边) 、 内心 (三角形三顶角角平分线的交点→与顶点的连线平分 顶角;到三角形三边距离相等) 、
外心 (三角形三边中垂线的交点→到三顶点的距离相等) 。 ③三顶角、六外角(一外角等于与其不相邻的两内角之和 )
(2)三角形的分类
①按角分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②按边分 :a 不等腰三角形
b等腰三角形:
a>腰与底不等的三角形
b>腰与底相等的三角形即等边三角形 (3)特殊三角形的特殊性质
直角三角形:斜边中线定理 (直角三角形斜边的中线等于斜边的一 半) ,垂心在直角顶点处,外心在斜边中点处,三边 长满足勾股定理,两锐角互余。
等腰三角形:三线合一(底边中线、高线、角平分线三线合一) ; 两底角相等,两腰相等;
等边三角形:三角三边相等;四心合一;每边都满足三线合一 8>正方形:一组邻边相等的矩形是正方形
a 性质:正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质
b 判定:i. 对角线相等的菱形; ii. 邻边相等的矩形。
第二节 基本定理
1、过两点有且只有一条直线
2、两点之间线段最短
3、同角或等角的补角相等
4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7、平行公理 :经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9、同位角相等,两直线平行
10、内错角相等,两直线平行
11、同旁内角互补,两直线平行
12、两直线平行,同位角相等
13、两直线平行,内错角相等
14、两直线平行,同旁内角互补
15、定理:三角形两边的和大于第三边
16、推论 :三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 :三角形三个内角的和等于 180°
18、推论 1:直角三角形的两个锐角互余
19、推论 2:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20、推论 3 :三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理 (SAS) :有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理 ( ASA):有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等 24、推论 (AAS):有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25、边边边公理 (SSS) :有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理 (HL):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等
27、定理 1:角平分线上的点到角的两边的距离相等
28、定理 2:到一个角的两边的距离相等的点,都在这个角的平分线上
29、角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31、推论 1: 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32、 三线合一:等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论 3:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°
34、等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所
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对的边也相等(等角对等边)
35、推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形
36、推论 2:有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的 一半
38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
40、逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42、定理 1:关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直 平分线
44、定理 3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在对称轴上
45、逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个 图形关于这条直线对称
46、勾股定理:直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a 2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系 a 2+b2=c2,那么这 个三角形是直角三角形
48、定理:四边形的内角和等于 360°
49、四边形的外角和等于 360°
50、多边形内角和定理: n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51、推论:任意多边的外角和等于 360°
52、平行四边形性质定理 1:平行四边形的对角相等
53、平行四边形性质定理 2:平行四边形的对边相等
54、推论:夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理 3:平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理 1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57、平行四边形判定定理 2: 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形
58、平行四边形判定定理 3: 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59、平行四边形判定定理 4: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 60、矩形性质定理 1: 矩形的四个角都是直角
61、矩形性质定理 2:矩形的对角线相等
62、矩形判定定理 1:有三个角是直角的四边形是矩形
63、矩形判定定理 2:对角线相等的平行四边形是矩形
64、菱形性质定理 1: 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理 2: 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66、菱形面积 =对角线乘积的一半,即 S=(a ×b ) /2
67、菱形判定定理 1: 四边都相等的四边形是菱形
68、菱形判定定理 2: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69、正方形性质定理 1: 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70、正方形性质定理 2: 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条 对角线平分一组对角
71、定理 1:关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理 2:对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心 平分
73、逆定理:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那 么这两个图形关于这一点对称
74、等腰梯形性质定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等
75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理:在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形
77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么 在其他直线上截得的线段也相等
79、推论 1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80、推论 2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边 81、三角形中位线定理 : 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 82、梯形中位线定理 : 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L= (a+b) /2;面积 s=(a+b)h/2=L*h
83、 (1)比例的基本性质:
如果 a:b=c:d,那么 ad=bc
如果 ad=bc ,那么 a:b=c:d
84、 (2)合比性质:
如果 a /b=c/d, 那么 (a±b) /b=(c±d) /d
85、 (3)等比性质:
如果 a /b=c/d=? =m/n(b+d+? +n≠ 0),
那么 (a+c+? +m)/(b+d+? +n)=a/b
86、平行线分线段成比例定理 : 平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 87、推论 : 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对 应线段成比例
88、定理 : 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例
90、定理 : 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所 构成的三角形与原三角形相似
91、相似三角形判定定理 1: 两角对应相等,两三角形相似(ASA )
92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93、判定定理 2: 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS )
94、判定定理 3: 三边对应成比例,两三角形相似(SSS )
95、定理 : 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
96、性质定理 1: 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比
都等于相似比
97、性质定理 2: 相似三角形周长的比等于相似比
98、性质定理 3:相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值, 任意锐角的余弦值等于它的余角 的正弦值
100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余 角的正切值
101、圆是定点的距离等于定长的点的集合
102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104、同圆或等圆的半径相等
105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线 107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的 一条直线
109、定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
110、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111、推论 1
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条 弧
112、推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等
113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所 对的弦的弦心距相等
115、推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心 距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116、定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117、推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角 所对的弧也相等
118、推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是 直径
119、推论 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是 直角三角形
120、定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对 角
121、①直线 L 和⊙ O 相交 d﹤ r
②直线 L 和⊙ O 相切 d=r
③直线 L 和⊙ O 相离 d﹥ r
122、 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径
124、推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125、推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等;圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹角
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等
128、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129、推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131、 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项
132、 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项
133、推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条 割线与圆的交点的两 条线段长的积相等
134、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135、①两圆外离 d﹥ R+r
②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r﹤ d ﹤ R+r(R﹥ r)
④两圆内切 d=R-r(R﹥ r)
⑤两圆内含 d﹤ R-r(R﹥ r)
136、定理: 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137、定理: 把圆分成 n(n≥ 3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形
⑵经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正 n 边形
138、定理: 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139、正 n 边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140、定理: 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141、正 n 边形的面积 Sn=21nab=2
1pb;p 表示正 n 边形的周长 ,b 为边心距。 142、正三角形面积 s=ah/2=a*a/4=a 2/4 a表示边长
143、如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360°, 因此 k ×(n-2)180°/n=360°化为(n-2) (k-2)=4
144、弧长计算公式:L=n兀 R /180
145、扇形面积公式:S 扇形 =n兀 R 2/360=LR/2
146、内公切线长 = d-(R-r) 外公切线长 = d-(R+r)
第三节 常用数学公式
1. 平方、立方差
a 2-b 2=(a+b)(a-b);(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a+b)2-(a-b)2=4ab; (a-b)2 =(a+b)2-4ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2。
a 3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ; a 3-b 3=(a-b)(a2+ab+b2)
交大学子家教 2. 三角不等式
|a+b|≤ |a|+|b|
|a-b|≤ |a|+|b|
|a|≤ b <=> -b≤ a ≤ b
|a-b|≥ |a|-|b|
-|a|≤ a ≤ |a|
3. 一元二次方程的解 : X=(-b±ac
4
2-)/2a
根与系数的关系(韦达定理) : X 1 +X
2
=-b/a ; X
1
*X
2
=c/a
判别式
b 2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
b 2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
b 2-4ac<0>0>
4. 某些数列前 n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+? +n=n(n+1)/2 ;
1+3+5+7+9+11+13+15+? +(2n-1)=n2;
2+4+6+8+10+12+14+? +(2n)=n(n+1);
12+22+32+42+52+62+72+82+? +n2=n(n+1)(2n+1)/6; 13+23+33+43+53+63+? n3=n2(n+1)2/4;
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+? +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3. 5. 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中 R 表示三角形的外接圆半径
6. 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB
注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角
第四节 基本方法
1、配方法
所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一 个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。 其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方 法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等 式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法
因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变 形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的 解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因 式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、 换元、待定系数等等。
3、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未 知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变 元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理
一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 、 b 、 c 属于 R , a ≠ 0)根的判别,△ =b2-4ac ,
不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程 (组 ) , 解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根, 求另一根; 已知两个数的和与积, 求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解 对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。
5、待定系数法
在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些 待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系 数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称 为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6、构造法
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅 助元素,它可以是一个图形、一个方程 (组 ) 、一个等式、一个函数、一个等价命 题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学 方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学 知识互相渗透,有利于问题的解决。
7、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后, 从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定 原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法 (结论的反面只有一种 ) 与穷 举反证法 (结论的反面不只一种 ) 。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:
(1)反设; (2)归谬; (3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表 述形式是有必要的,例如:是、不是;存在、不存在;平行于、不平行于;垂直 于、不垂直于;等于、不等于;大 (小 ) 于、不大 (小 ) 于;都是、不都是;至少有 一个、一个也没有;至少有 n 个、至多有 (n一 1) 个;至多有一个、至少有两个; 唯一、至少有两个。
归谬是反证法的关键, 导出矛盾的过程没有固定的模式, 但必须从反设出发, 否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类 型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自 相矛盾。
8、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定 理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效 果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中 的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是 把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积 法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以 不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
9、几何变换法
在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题
而得到解决。 所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。 中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习 题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点 渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起 来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移; (2)旋转; (3)对称。
10、客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。 选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本 技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。
填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确, 知识复盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优 点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。
要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外, 还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进 行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫 直接推演法。
(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦 可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代 入法) 。当遇到定量命题时,常用此法。
(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中 去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或 推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论 的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出 正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
(6) 分析法:直接通过对选择题的条件和结论, 作详尽的分析、 归纳和判断, 从而选出正确的结果,称为分析法。
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