(I ) 逐项求导与逐项积分
设幂级数 在收敛区间 上的和函数为 ,若 为 内任意一点,则
(1) 在 可导,且 ;
(2) 在 可积,且
(II ) 设幂级数 与 为两个幂级数,于是
(1)若此两幂级数在 某邻域内相等,则它们同次幂系数想 ,既
(2)若此两幂级数的收敛半径为 和 ,则有
,
)=
其中 为常数, =min{ , },
(III ) 幂级数的展开
1) 泰勒级数与麦克劳林级数概念(略)
2) 展开的方法
将初等函数 在 处展开为形如 的幂级数,通常有两条途径。
(1) 直接法 通过直接计算 在点 处的各阶导数,写出它的泰勒公式,并讨论余项的极限以确定其收敛域,但计算 往往比较麻烦,要证明余项极限为0,实际上也很困难。因此,对于一般函数而言不适合用这种方法求其幂级数展开试。
(IV ) 间接法 利用某些已知的函数展开式(特别是五个初等函数 与 的幂级数展开式),通过它们的变换,四则运算,复合运算,逐项求导或逐项积分等方法导出所求函数的幂级数展开式,这种间接方法是最常用的。
3)常用函数的幂级数展开式:
(1)
(2)
(3)
(4) (-1<><>
(5) 例1:求下列幂级数在收敛区间内的和函数
1.
2.
[分析]对于给定的幂级数,要求它的和函数时,一般采用间接转换的方法,就是将所给的幂级数做某些变形,或者做四则运算,或者逐项求岛,或者逐项积分,使它变为一些熟知的初等函数的幂级数的展开式,然后再利用幂级数的性质作一些运算,把它的和函数求出来。 解:(1)设和函数为 ,即
=
两端求导,得 =
上式两边积分得
即 - =
又因 故 = (-1<><>
(2)设和函数为 ,即
=
=
=
例2:将下列函数展开为x 的幂级数
解 =
因
收敛区间为 -1<><><><1的公共部分>1的公共部分><><>
因cosx=
将上式中的x 转换为2x 得:
故
例3:(幂级数展开式的应用)利用幂级数展开式求 在x=0处的100阶导数。
[分析]函数f(x)的麦克老林级数为 在收敛域内由幂级数展开的惟一性,可求出 解:
因麦克老林级数 的惟一性
比较 与 关于 项的系数。得
例4:利用级数求下列各数的近似值
(1) (精确到 ) (2)ln1.1 (精确到 )
解:(1)因为 不能用处等函数表示。现用幂级数表示被积函数
由
利用逐项积分,可得
=
=
=
因
故
于是
(2)ln1.1=ln(1+0.1),选f(x)=ln(1+x)
则ln1.1=f(0,1)=ln(1+0.1)
由ln(1+x)= 得
ln (1+0.1)=
因
故
于是ln1.1
幂级数运算
§11-3 幂 级 数
一、函数项级数的概念
1. 定义 设函数列 u i (x ) , x ∈I 表达式: u 1(x ) +u 2(x ) +u 3(x ) + +u v (x ) +
∞
(1) 称为定义在I 上的(函数项)(无穷) 级数
如: ∑x n -1=1+x +x 2+ +x n -1+
n =1
a 0+∑a n cos nx =a 0+a 1cos x +a 2cos 2x + +a n cos nx +
n =1
∞
2. 收敛性
?x 0∈I ,(1)成为∑u n (x 0)
n =1
∞
∞
(2) 常数项级数可能收敛可能发散.若∑u n (x 0) 收
n =1
∞
敛,称x 0是 (1)∑u n (x 0) 发散,称点x 0是 (1)n =1
点的全体;发散域:发散点的全体.
3. 和函数
s (x ) =u 1(x ) +u 2(x ) +u 3(x ) ++u n (x ) +
,?x ∈收敛域
n →∞
s n (x ) :函数项级数(1)的前n 项和,则在收敛域上有lim s n (x ) =s (x ).
r n (x ) =s (x ) -s n (x ) 只有x 在收敛域上r n (x ) 才有意义) ,有
lim r n (x ) =0.
n →∞
∑x n =1+x +x 2+
n =0
∞
+x n -1+
x ∈(-1,1) 和函数 s (x )=
1 1-x
二、幂级数及其收敛性
1.定义 a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n + 其中常数a i :幂级数的系数.例如∑x ,∑
n n =0∞
∞
(3) 1n
x 等等。 n ! n =0
取 x -x 0=t ?∑a n t n
n =0∞
a 0+a 1(x -x 0) +a 2(x -x 0) +
2
+a n (x -x 0) +
1
n
2.收敛性
定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0(x 0≠0) 时收敛,则适合不等
n =0∞
式x
n =0
∞
则适合不等式x >x 0的一切x ,使这幂级数发散.
n 分析:(1)设级数∑a n x 0收敛, 由级数收敛的必要条件有lim a n x 0=0, 于是?M ,
n
∞
n =0
n →∞
n
≤M 使得 a n x 0
(n =0, 1, 2, ) .
这样级数(3)的一般项的绝对值
n
x n n x n
a n x =a n x 0?n =a n x 0?
x 0x 0
n
x
≤M
x 0
n
n
.
∞
由等比级数的敛散性知x
n =0
n =0
∞
(2)反证法.
注1 由TH1知,若幂级数在x =x 0处收敛,则?x ∈(-x 0, x 0) ,都收敛;若在x =x 0
处发散,则对于[-x 0, x 0] 外的任何x ,都发散.
几何说明:
推论 如果幂级数∑a n x n 不是仅在x =0一点收敛,也不是在整个数轴上都收
n =0∞
敛,则必有一个完全确定的正数R 存在,使得
当x 当x =-R 与x =R 时,幂级数可能收敛也可能发散. 3.收敛半径和收敛区间 R :幂级数(3)的收敛半径.幵区间(-R , R )叫做幂级数(3)的收敛区间。由x =±R 处的收敛性可决定它的收敛域是(-R , R ) , [-R , R ) , (-R , R ]或[-R , R ]之一. 特殊情形: R =0,R =+∞(这时收敛区间是(-∞, +∞) )。 2 ∞ a n +1 =ρ, 其中a n , a n +1是∑a n x n 的相邻两项的系数.则这幂级定理2 如果 lim n →∞a n =0n ?1 ?ρ, ρ≠0, ?? 数的收敛半径 R =?+∞, ρ=0, ?0, ρ=+∞. ??? 例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间 nx n (1)∑n n =13 ∞ a n +1n +13n 1 解 lim ||=lim n +1=, 故收敛半径为R =3. n →∞n →∞a n 3n 3 因为当x =1时, 幂级数成为∑n , 是发散的; 当x =-1时, 幂级数成为∑(-1) n n , n =1 n =1 ∞ ∞ 也是发散的, 所以收敛域为(-3, 3). 23 x n + ? ? ? (2)x +x +x + ? ? ? + 22?42?4?62?4 ? ? ? (2n ) a n +12n ?n ! 1lim ||=lim n +1?=lim =0 R =+∞ 收敛区间是(-∞, +∞) . n →∞n →∞n →∞a n 2(n +1) 2?(n +1)! ex :∑(nx ) n =0∞ n -1 ρ=+∞R =0 (3)∑ n =0 ∞ (-1) n nx 2n -1 缺少偶次幂的项 定理2不能直接应用,比值审敛法求R 2n ρ= lim n ←∞ 1u n +112 =x 当x 2<1时, 即x="">1时,><> , 2u n 2 ∞∞ 12n n n -1n 当x . 1时, 即x 级数发散 ; x =∑( -1), x =∑( -1) 2 n=1n=1 收敛区间是( (4)∑(-1) n =1∞ n -1 n ∞ (x -1) n n -1t 令t =x -1,上述级数变为∑(-1) n n n =1 R =1, 收敛区间为(0,2] 3 三、幂级数的运算 1.四则运算 设∑a n x 和 ∑b n x n 分别在(-R , R )及(-R /, R /) 内收敛, n n =0 n =0 ∞ ∞ (1)加减法 ∑(a n ±b n ) x n 在(-R , R )及(-R /, R /) 中较小的区间内成立. n =0 ∞ (2)乘法(两幂级数的柯西乘积) (a 0+a 1x +a 2x 2+ +a n x n + ) ?(b 0+b 1x +b 2x 2+ +b n x n + ) =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0) x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0) x 2+ +(a 0b n +a 1b n -1+ a n b 0) x n + . 可以证明上式在(-R , R )与(-R /, R /) 中较小的区间内成立. a 0+a 1x +a 2x 2+ a n x n + 2 (3)除法:=c +c x +c x + +c n x n + , 0122n b 0+b 1x +b 2x + b n x + 这里设b 0≠0. 为决定系数c 0, c 1, c 2, , c n , , 可将∑b n x 与∑c n x n 与相乘,并令 n ∞∞ n =0n =0 乘积中各项的系数分别等于级数∑a n x n 中同次幂的系数,即得: n =0 ∞ a 0=b 0c 0, a 1=b 1c 0+b 0c 1, a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2, 由这些方程就可以顺序地求出c 0, c 1, c 2, , c n , . 相除后所得∑c n x n 的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多. n =0∞ 2. 幂级数的和函数性质 s (x ) =∑a n x n , n =0 ∞ x ∈(-R , R ) 性质1 幂级数 ∑a x n ∞ n 和函数s (x ) 在其收敛域上连续. n =0 性质2 S (x ) 在区间(-R , R )内是可导的. 且有逐项求导公式 S (x ) =(∑a n x ) =∑(a n x ) =∑na n x n -1, / n / n / n =0 n =0 n =1 ∞∞∞ (5) 4 其中x 反复应用上述结论 : S (x ) 在收敛区间(-R , R )内具有任意阶导数. 性质3 S (x ) 在区间(-R , R )内是可积的. 且有逐项积分公式 ? x S (x ) dx =? x ∞∞x a n n +1?∞n ?n =x , a x dx =a x dx ∑∑n ?∑n ??0 n =0n +1n =0?n =0? (6) 其中x x n (1)在区间(-1, 1)内求幂级数∑的和函数 n =0n +1 ∞ x n 解 设和函数s (x ) =∑ 显然s (0)=1 n =0n +1 ∞ ∞ x n +11 并由=∑x n , (-1 1-x n =0n =0n +1 ∞ xs (x ) =? 11 dx =-ln(1-x ). 当x ≠0时, 有s (x ) =-ln(1-x ) . 从而 01-x x x ?1 ?-ln(1-x ) , 0 s (x ) =?x ?x =0. ?1, 由幂级数的和函数的连续性可知,和函数S (x ) 在处是连续的. 1 可验证:lim s (x ) =lim[-ln(1-x )]=1. n →∞n →∞x 求和函数经常与求等比级数的和相联系, 一般: 若u n 是n 的整式函数, 先遂项积分化为等比级数求和, 再遂项求导得和函数; 若u n 是关于n 的分式函数时, 先遂项求导化为等比级数求和, 再遂项积分得函数; x n 练习:∑ (s (x )=(1-x )ln (1-x )+x ) n (n -1) n =2 ∞ 小结:本节介绍了幂级数的概念、收敛半径和收敛区间的求法,会利用幂级数的分析性质求其和函数. 5 第六节 幂级数的应用 内容分布图示 ? 函数值的近似计算 ? 例1 ? 例2 ? 计算定积分 ? 例3 ? 例4 ? 求常数项级数的和 ? 例5 ? 例6 ? 欧拉公式 ? 内容小结 ? 课堂练习 ? 习题11-6 ? 返回 内容要点: 一、函数值的近似计算:级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中,取前面有限项,就可得到函数的近似公式,这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的,可以把函数近似表为的多项式,而多项式的计算只需用到四则运算,非常简便. x 2sinx1,xe,,二、 计算定积分:许多函数, 如等,其原函数不能用初等函数表示,但xlnx 若被积函数在积分区间上能展开成幂级数,则可通过幂级数展开式的逐项积分,用积分后的级数近似计算所给定积分. 三、求常数项级数的和:在本章的前三节中,我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法,包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里,我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法,即所谓的阿贝尔方法,其基本步骤如下: ,,na,ax(1)对所给数项级数 构造幂级数; ,,nnn,0n,0 ,nax(2)利用幂级数的运算性质,求出的和函数; s(x),nn,0 , a,lims(x).(3)所求数项级数 ,n,x,1n,0 三、 欧拉公式 例题选讲: 函数值的近似计算 3x,例1(讲义例1)利用求的近似值,并估计误差. sin9sinx,x,3! 5240例2(讲义例2)计算的近似值, 要求误差不超过0.0001. 1sinx,4例3 计算dx的近似值,精确到10. ,0x 1/222,x例4(讲义例4)计算定积分的近似值,要求误差不超过0.0001(取edx,0, ). 1/,,0.56419 求常数项级数的和 ,2n,1例5(讲义例5)求级数的和. ,n2n,1 2,n例6(讲义例6)求级数的和. ,nn!2n,1 计算定积分 sinxdx例3(讲义例3)求不定积分. ,x 课堂练习 ,51.计算e的近似值, 使其误差不超过 10. xxarcsin,lim.2.利用幂级数展开式, 求极限 3x,0xsin 1111,,,,?3.求常数项级数的和. 357 欧拉(Euler,1707~1783) 欧拉,瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔,1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。 欧拉出生於牧师家庭,自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学,但他最感兴趣是是数学。在上大学时,他已受到约翰第一。伯努利的特别指导,专心研究数学,直到18岁,他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学,於19岁时(1726年)开始创作文章,并获得巴黎科学院奖金.1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究工作.并在1731年接替丹尼尔第一.伯努利,成为物理学教授.在俄国的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外,欧拉还应俄国政府的要求,解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1735年,他因工作过度以致右眼失明。在1741年,他受到普兽士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林斯间,大大的扩展了研究的内容,如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等,这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时,他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。 1766年,他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年,一场重病使他的左眼亦完全失明。但以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以 及直接口授等方式完成了大量的科学著作,直至生命的最后一刻。 欧拉是18世记数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把数学推至几乎整个物理的领域。此外,他是数学史上最多产的数学家,写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本,《无穷小分析引论》(1748),《微分学原理》(1755),以及《积分学原理》(1768-1770)都成为数学中的经典著作。 欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域,为微分几何及分析学的一些重要分支(如无穷 级数、微分方程等)的产生与发展奠定了基础。欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出函数在偶数点的值:他证明了a2k是有理数,而且可以, 伯努利数来表示。此外,他对调和级数亦有所研究,并相当精确的计算出欧拉常数,的值,其值近似为0。57721566490153286060651209… 在18世纪中叶,欧拉和其他数学家在解决物理方面的问题过程中,创立了微分方程学。当中,在常微分方程方面,他完整地解决了n阶常系数为线性齐次方程的问题,对於非齐次方程,他提出了一种降低方程阶的解法;而在偏微分方程方面,欧拉将二维物体振动的问题,归结出一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。 在微分几何方面(微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支),欧拉引入了空间曲线的参数方程,给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年,他出版了《关于曲面上曲线的研究》,这是欧拉对微分几何最重要的贡献,更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为并引入一系列标准符号以表示z对x,y和偏导数,这些符号z,f(x,y), 至今仍通用。此外,在该著作中,他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。欧拉在分析学上的贡献不胜牧举,如他引入了G函数和B函数,这证明了椭圆积分的加法定理,以及最早引入二重积分等等。 在代数学方面,他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积,即a+bi的形式。欧拉还给出了费马小定理的三个证明,并引入了数论中重要的欧拉函数,他研,(n)究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支。欧拉又用解析方法讨论数论问题,发现了函数所满足的函数方程,并引入欧拉乘积。而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥, 问题。 欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 幂级数的应用 将函数展开成幂级数,从形式上看,好像把问题复杂化了,但是由于幂级数 的前项部分和是的多项式,而多项式是最简单的函数之一,因此用幂级数代nx 替某个函数,实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因,函数 的幂级数展开式有着应泛的应用。 一、 函数值的近似计算 利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值,即在展开式的收敛敬意上, 函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来( 例, 计算常数,精确到小数第四位( e n,xxe,x,1,令,有 解 利用,n!n0, ,111e11,,,,,,?( ,n!2!3!n0, 为达到这个精确度,可观察余项 ,,11111,,r,,,?,1,,,?n,,n!(n,1)!n!n,1(n,1)(n,2),, ( 111111,,?,1,,,,,,,,21n!nn!(n,1)(n,1)!n,,1,n 11r,,n,8若取,则,故计算出 847,7!10 111e,1,1,,,?,,2.7183( 2!3!8! 5例2 计算245精确到小数第四位( 解 因为 1 522,,55555245,243,2,3,2,31,,31,( ,,5533,, 21,x,,令,,得出 553 1244,,524531,,,,,,? ,,5210532!53,, n,2|r|,u由于这是一个交错级数,故其误差可利用确定(取,这时, nn,1 33,21|r|,,, 221045,32,10 故得出 12,,5245,31,,,3.0049( ,,553,, ln2例3 计算的值,精确到小数第四位( 解 如果利用的展开式: ln(1,x) 111ln2,ln(1,1),1,,,,?, 234 ln2n,1理论上可计算,但这是一种“内耗”很大的交错级数,其误差不超过第 111|r|,,项的值(欲使,至少要取9999项,这太麻烦了,需要去nn4n,1n,110 掉带负号的项,故寻找收敛速度较快的级数来代替( 234xxx用 ln(1,),,,,,?xx234 234xxx减去 ln(1,),,,,,,?xx234 其差是 35,,1,xxx,,( ln,2,,,?x,,1,35x,, 11,x,2x,令,解出代入上式,得 1,x3 1111111,,ln22??,,,,,,,,,, ,,352n,1n33521,333,,其误差 1111211,,,,r(x),2,,?,1,,,?,,,,n2n,12n,32n,1242n,12n,333(2n,1)333,,,, ,,( ,,211,,,,2n,12n,11,,(2n,1)34(2n,1)31,,,23,, n,4取,这时 111|r|,,, 474787324,9,310故得出 1111111,,ln2,2,,,,,,,0.6931( ,,3573357333,, 二、定积分的近似计算 利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值,而且还可以计算一些定积分的近似值,具体地说,如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数,那么把这个幂级数逐项积分,用积分后的级数就可计算出定积分的近似值( 1xsin例4 计算,精确到小数第四位( dx,x0 xsinsinxlim,1x,0解 由于,因此所给积分不是广义积分,如果定义在x,0xx sinx处的值为1,那么它在积分区间上连续(由于的原函数不能用初等函数[0,1]x 表示,因此需要通过幂级数展开式来计算( 35xx利用正弦函数的展开式,两边同除以,得到 sin,,,,?xxx35!~ 24sinxxx ,1,,,?35!x~ 再逐项积分 111134sin111xxx 1dx,dx,dx,dx,?,,,,,?,,,,3!5!33!55!77!x,,,0000 11r,,n,3|r|,u这是收敛的交错级数,其误差,取,有,故 3nn,147,7!10 1sinx11( dx,1,,,0.9461,x3,3!5,5!0 2x1,12 例5 计算,精确到小数第三位( edx,2,0 2x,2解 易见的原函数不能用初等函数表示,因此考虑用幂级数展开式计e 算(利用展开式 2xn2nn,,,x(1)x,x2e,e,得 ,,,nn!n!2n0,n0, 故有 211x246,,,xxx2,,1,,,,,?edxdx23,,,,22!23!2,,00 1111,,,,,?2323,2!253!27,,,, 取前四项的和作为近似值,误差为 111||,, rn434!,2,9102, 故得出 2x1,11111,,2( edx,1,,,,0.3412,,,640336,,22,,0 以上例题说明,幂级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用(对于用幂级数近似计算函数值,其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似(对于用幂级数近似计算定积分,特别是在某些被积函数的原函数不能用初等函数表示时,便显示出幂级数方法的优越性( 利用幂级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数 r(这可通过估计余项的误差得到:一种方法是将余项式子的各项放大,使之nn 成为几何级数,从而利用几何级数的和来确定值(如例1,例3),另一种方法n |r|,u是利用收敛的交错级数的特点:,由此来确定值(如例2,例4,例nnn,1 5)( 三、欧拉公式 最后应用复变量的指数函数的幂级数展开式,说明数学中重要的欧拉公式的形成与推导过程( z在复变量的理论中,我们定义指数函数(为复变量)为 ze 23nzzzzze,1,,,,?,,? n1!2!3!! (,即属于整个复平面) z|z|,,, z,xi当时,上式成为 23nxixixixi()()()xie,1,,,,?,,? n1!2!3!! 2345i,,1,i,,i,i,1,i,i,?注意到,从而 246357,,,,xxxxxxxi,,,,e,1,,,,?,ix,,,,?,,,, 2!4!6!3!5!7!,,,, ,cosx,isinx xi即有 ( (1) e,cosx,isinx 把上式换成,又有 x,x ,xi( (2) e,cosx,isinx 将(1)(2)两式两边相加且同除以2,得 xi,xie,e (3) cosx,2 2i,得 将(1)(2)两式两边相减且同除以 xi,xiee,sinx (4) ,2i (4)都称为欧拉公式,它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系( 上述的(1)— 在(1)中,取,可得 x,, i, (5) e,1,0 克莱茵(Klein,1849-1925,德国)认为,这是数学中最漂亮的公式之一(有人 把(5)列为10个最优美的数学定理之首,它把数学中最重要的5个数 0,,,i,, ,e 用一个等式联系起来,显示了数学中的统一美,(5)显示了数学各领域之间很强的联系且通过等式联结起来,它可以从几种得到解释,如: :正负数的分界; 0 1:任一自然数与它的后继数之差; 2i:的根,属于代数; x,1,0 :圆周长与直径之比,属于几何; , n1,,:1, 时的极限,属于分析( e(n,,),,n,, 等等( 吕梁学院毕业论文(设计)开题报告 (学生用表) 课题 幂级数的应用 系别 数学系 专业 数学与应用数学 学科 数学 学生 韩红霞 指导教师 张润玲 一、研究课题的来源及意义 幂级数是函数级数的一种特殊情形,也是数学分析中非常重要的内容,不论在数学方面还是其它的学科中都有广泛的应用。基本初等函数以及函数在一定的范围都可以展成幂级数的形式,通过幂级数所具有的性质对其函数的研究和应用,将成为研究函数的一种有效手段,同时给问题的解决带来一些方便。 幂级数是函数级数中最基本的级数,其在其收敛区间内绝对收敛,并且具有可逐项积分与可逐项微分等性质。巧妙利用幂级数的展开式及其性质把一些较为复杂的问题转换较为简单的形式,在解题时往往思路清晰、条理清楚。幂级数的每一项都是幂函数,把一个函数展开成无穷项等比函数列求和的形式,不论在函数的理论研究还是在应用方面都有很重要的意义。基于幂级数的重要性,为更好的掌握和应用,也为初学者奠定基础,有必要研究和探讨幂级数的应用。 二、课题在国内外的发展状况 1994年,苏瑟兰德成功的利用幂级数解法,证明了模型可以解释汇率的峰形分布和汇率与利率差之间的不确定关系。 1989年,刘人怀发展了way的方法,提出并修正了幂级数法,求解及表层抗弯刚度的夹层圆板的大挠度方程。 1944年,Bethe川用标量势函数近似方法出了幂级数的首项,从而得到了圆孔衍射场的远场解。 三、课题研究的目标 幂级数在理论上和实际中有很多的应用,函数可以用幂级数表示,利用其和函数的分析性质常常能解决数学分析中的很多疑难问题。通过对幂级数的探讨,显现其应用的广泛。通过这次的研究希望能给相关的学科研究学者在解决一些较为复杂的函数问题时能起到一定的思想指导。 四、课题研究的内容(通过两方面来阐述论文的主要内容) 第一章 幂级数的定义. 第二章 幂级数在证明中的应用 1.幂级数在证明等式中的应用; 2.幂级数在证明不等式中的应用. 第三章 幂级数在计算中的应用 1.幂级数在求极限中的应用; 2.幂级数在求导中的应用; 3.幂级数在积分计算中的应用; 4.幂级数在近似计算中的应用. 五、研究方法 1.数学思想法; 2.资料分析法; 3.文献研究法; 4.学科研究法; 5.经验总结法. 六、研究手段 通过中国知识网、中国期刊网、中国数字化期刊和万方网搜索引擎了解相关知识内容,阅读相关的参考书、报纸以及从图书管查阅相关资料,在指导老师的帮助下近一步深入研究。 七、课题的进度安排 为了有准备有计划的完成毕业论文,需要安排一个毕业论文进度计划。按照进度计划来安排时间,并及时的完成毕业论文工作。 2013.04.08—2013.04.14 搜集资料,确定论文研究框架 2013.04.15—2013.04.21 继续搜集资料,完成开题报告 2013.04.22—2013.05.15 完成论文初稿,接受中期检查 2013.05.16—2013.05.25 对论文进行修改,完成二稿 2013.05.26—2013.06.02 进一步完善论文内容,论文定稿 2013.06.03—2013.06.10 论文装订,论文答辩 八、课题实验方案的可行性分析 此项目是过去学科人员工作的继续在其研究的基础上应用现状分析,通过相关的研究报道得知该方案可行性。 九、研究课题具备的实验条件 在指导老师的帮助下能顺利的完成该课题所具备的实验条件包括:计算机、图书馆、调研室以及电子阅览室等。 十、具体参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学分析(下)[M].北京:高等教育出版社.2001(2009重印). [2] 孙清华,孙昊.数学分析内容,方法与技巧(下).武汉:华中科技大学出版社.2003年11月. [3] 刘玉琏.数学分析(下).北京:高等教育出版社.2007. [4] 张新国.吉米多维奇数学分析习题精选精析[M].北京:科学技术文献出版社.2008.9. [5] 朱明星.幂级数的应用[J].中国科技信息2011(10). [6] 张淑辉.幂级数的应用[J].太原教育学院学报2005(S1). [7] 杜贵春.一个幂级数展开式的应用[J].内江科技2011(09). [8] 梁 辉.函数幂级数的展开和应用[J].中国新技术新产品2009(08). [9] 王戈平.两个级数求和公式的新证法及其推广.曲阜师范大学学报(自然科学版). [10] 赵 瑜.浅谈幂级数在计算中的应用. [11] 屈红文.幂级数在积分中的应有[J].科技信息2009(28). 选题是否合适:是 否 选题是否合适:是 否 课题能否实现:能 不能 课题能否实现:能 不能 指导教师(签字) 指导小组组长(签字) 年 月 日 年 月 日幂级数的应用
幂级数的应用
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