宁荣健
()合肥工业大学 理学院, 合肥 230009
[ 摘 要 ] 通过对概率论中有关公式的研究, 给出了全条件概率公式和二维随机变量函数的密度函数的
简化计算公式, 为其计算提供了新的方法.
[ 关键词 ] 全条件概率公式; 二维随机变量函数; 连续型随机变量; 密度函数() 文章编号 1672 21454 20040520070204 [ [ 中图分类号 ] 21111; 21115 [ 文献标识码 ] O O C
1 引言
在概率论课程的教学与科研过程中, 发现有许多内容可以进一步深化与挖掘, 从而得到更广泛、更 简捷、更实用的结论, 以丰富和完善概率论的理论体系. 本文就以下两个问题进行讨论.
一、全条件概率公式. 利用全概率公式来计算条件概率, 此公式为计算条件概率提供了新的思路、 新的方法.
() () 二、计算二维随机变量函数 = , 的概率密度 方法的研究, 通常我们采用分布函数法 U g X Y f U u
() () 先求出 的分布函数 , 然后对其求导得到 , 其过程冗长, 步骤繁琐, 这里我们将给出一个直U FU u f U u 观、简捷、方便的计算方法.
2 全条件概率公式
设 为样本空间, 1 , 2 , ?, n 为 的一个划分, 即 1 , 2 , ?, n 为一个完备事件组, 它满足 S A A A S A A A
( ) , = 1, 2, ?, , ?; ij = ? , ij nijiA A
( ) ????= . iiA 1 A 2 A n S
设 , 为两个事件, 根据加法公式, 有B C n
) )((= .P B C P A iB C ? i= 1
) () ( ) (当 > 0, > 0 = 1, 2, ?, 时, 对任意 = 1, 2, ?, .P C P A iC inin
() () () () () () = |= ||,P A iB C P A iC P B A iC P C P A i C P B A iC 所以 n
) () ) () ((= ||,P B C P C P A iC P B A iC ? i= 1 n ) (P B C () ) ()(=.||i |= P A iC P B A C P B C ? )(P C i= 1
定理1) () ( 设 , , ?, 为 样 本 空 间 的 一 个 划 分, , 为 两 个 事 件, 当 > 0, > 0 A 1 A 2 A n S B C P C P A iC ( ) = 1, 2, ?, 时, 有 in
n
()) ) ()((1 |= ||.P B C P A iC P B A iC ? i= 1
特别当 分别与 1 , 2 , ?, n 独立时, C A A A n
) ) ()((|= |.P B C P A i P B A iC ? i= 1
() 我们称公式 1为全条件概率公式.
例1 假设有两箱相同零件, 第一箱内装50件, 其中10件一等品; 第二箱内装30件, 其中18件一等品.
() 现从两箱中随意挑出一箱, 然后从该箱中先后随机取两个零件 取出的零件均不放回, 试求: ( ) 先取出的零件是一等品的概率 1; ip
( ( ) 本题为 ii在先取出的零件是一等品的条件下, 第二次取出的零件仍是一等品的条件概率 .p 2
)1987年数学四、五研究生入学考试试题
解 设 表示挑出第 箱, = 1, 2, 表示第 次取出的零件是一等品, = 1, 2, 则有H i i iA i i i
1 1 3 () () ,) ,() .(= = = = ||P H 1 P H 2 A 1 H 1 P A 1 H 2 P 2 5 5
( ) 由全概率公式, i
) () () () ()(= = |+ | p 1 P A 1 P H 1 P A 1 H 1 P H 2 P A 1 H 2
1 1 1 3 2 = r + r = .2 5 2 5 5
( )由于 ii
1 1 r )() ()( 2 5 1 3 P A 1H 1 P H 1 P A 1 H 1 | () () 1 |1 = = = = , 2 |1 = . P H A P H A ()() P A 2 4 4 P A 1 1
5
17 9 ) (() 2 |12 = . 2 |11 = ,A A H P P A A H 49 29
() 由全条件概率公式 1,
) () () () ()(= = + |||||p 2 P A 2 A 1 P H 1 A 1 P A 2 A 1H 1 P H 2 A 1 P A 2 A 1H 2
1 9 3 17 = ? 0148557. ×+ ×4 49 4 29
3 二维随机变量函数概率密度算法的研究
() () () () 设 , 为二维连续型随机变量, 其密度函数为 , , = , 为 , 的函数, 求 的密 X Y f x y U g X Y X Y U
()度函数 .f U u
通常我们采用分布函数法先求出 的分布函数 U
() () () U = {?}= {, ?}= , , Fu P U u P g X Y u f x y dx dy κ () g x , y ?u
() 然后对 求导, 即得 的密度函数 FU u U
() ()= ′. f U u FU u
() 该方法计算量大, 过程较为繁琐, 并且经常对变量 进行分段讨论方求出 , 求解时要求思路清晰、 u FU u
概念清楚、计算准确, 否则难于得到正确的结果.
下面介绍一种简单、方便的计算方法.
() () () () 为计算起见, 设 , 的偏导数 ′, , ′, 存在, 且 ′, ?0. 作二元变换g x y g x x y g y x y g Y x y
() U = g X , Y , ()2 V = X ,
其 J acob i 行列式为
g ′ g ′ x y () 5u , v = = - ′?0, =J g y ()5x , y 1 0
() 所以变换 2存在逆变换
() Y = h U , V , ()3 X = V ,
并且
0 1 ()5x , y 1 1 1 = -,.= - u u ==′ =′ h h () 5u , v J g g y ′ y ′ h u ′ h ′ v
() 进而得 , 的密度函数为 U V
() (() ) , = , , ′ , ||f U V u v f v h u v h u () 则 , 关于 的边缘密度为 U V U
+ ? + ? () () (() ) = , = , , ′ ||f U u f U V u v dv f x h u x h u dx-? ? -? ?
() 即为 = , 的密度函数. 故有U g X Y
() ()() 定 理2设 , 为二维连续型随机变量, 其密度函数为 , . 令 = , , ′?0, 并且从 X Y f x y U g X Y g y
() () 中解得 = , , 则 = , 的密度函数为 Y h U X U g X Y
+ ? () (() ) ()= , , | |′ .4 f U u f x h u x h u dx-? ? 例2 () () ()设连续型随机变量 , 的密度函数为 , , 求 = + 的密度函数 .X Y f x y U X Y f U u
解() () 由 = + , 得 = - = , , =′ 1. 由 4式,U X Y Y U X h U X h u + ? () () = , - .f U u f x u x dx-? ?
() 例3设 , 的密度函数为 X Y ) (- x + y e,x > 0, y > 0, () , = f x y 0, 其他,
()求 = - 的密度函数 . U X Y f U u
() () = , , =′ - 解1. 由 4式, U h U X h u = - , = - U X Y Y X + ? + ? (() ) () , - = | - 1| = , - ,x x f U u fu dx fx x u dx -? ? -? ?
如图1所示. + ? )( 1 u - 2x - - u e u ? 0, dx = e , u? 2 () = f U u + ? ) 1 (- 2x - u u e u < 0,="" dx="e" ,="" 2="" 0?="">
即 图 1 1 - u || () = e,u ?R . f U u 2
例4() ) ( 设二维随机变量 , 在矩形 = { , | 0??2, 0??1}上服从均匀分布, 试求边长为 X Y G x y x y
()()和 的矩形面积 的密度函数 . 本题为1999年数学四研究生入学考试试题 X Y S f S s
() 解 , 的密度函数为X Y
1 () ,x , y ?G , 2 () , = f x y
0, 其他,
1S () () . 如图2, 由 4式,= , = = , ,S =′ S X Y Y h S X h X x + ? s 1 () = , x dxf S sf -? ? x ||x2 1 1 1 2 s < 2,="" 0="">< dx="ln" ,r="" 2="" x="" 2="" s="" s?="图" 2="" 0,="">
相对标准方差的计算公式
相对标准方差的计算公式
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准确度:测定值与真实值符合的程度
绝对误差:测量值(或多次测定的平均值)与真(实)值之差称为绝对误差,用δ表示。 相对误差:绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。
绝对误差可正可负,可以表明测量仪器的准确度,但不能反映误差在测量值中所占比例,相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例,衡量相对误差更有意义。
例:用刻度0.5cm的尺测量长度,可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差为0.1cm;用刻度1mm的尺测量长度,可以读准到0.1mm,该尺测量的绝对误差为0.1mm。
例:分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次,可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%,至少应称量多少样品,
答:称量样品量应不小于0.2g。
真值(μ):真值是客观存在的,但任何测量都存在误差,故真值只能逼近而不可测知,实际工作中,往往用“标准值”代替“真值”。标准值:采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。
精密度:几次平行测定结果相互接近的程度。
各次测定结果越接近,精密度越高,用偏差衡量精密度。
偏差:单次测量值与样本平均值之差:
平均偏差:各次测量偏差绝对值的平均值。
相对平均偏差:平均偏差与平均值的比值。
标准偏差:各次测量偏差的平方和平均值再开方,比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在,在统计学上更有意义。
相对标准偏差(变异系数)
例:分析铁矿石中铁的质量分数,得到如下数据:37.45,37.20,37.50,37.30,37.25(%),
计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。
准确度与精密度的关系:
1)精密度是保证准确度的先决条件:精密度不符合要求,表示所测结果不可靠,失去衡量准确度的前提。
2)精密度高不能保证准确度高。
换言之,准确的实验一定是精密的,精密的实验不一定是准确的。 重复性试验按拟定的含量测定方法,对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上,即 n ? 5),计算相对标准偏差(RSD),一般要求低于5%
方差计算公式的证明
方差计算公式的证明
(1) 用新数据法求平均数
当所给的数据都在某一常数a 的上下波动时,一般选用简化公式:x =x , +a.其中,常
, , , 1 数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,x1=x1-a, x2=x2-a, …, xn=xn-a ○
, , , , , , x , =x1+x2+?+xn) 是新数据的平均数(通常把x1, x2, …, xn, 叫做原数据,x1, x2, …, xn, n1叫做新数据)。证明:
1左边的数据相加,把○1右边的数据相加,得到一个等式: 把○
, , , x1+x2+?+xn=x1-a+x2-a+…+xn-a
, , , x1+x2+?+xn=(x1+x2+…+xn) -na
, , , (x+x+?+xx+x+?+xn12n) nn2 a 即x , =x ?a○
亦即x =x , +a
(2) 方差的基本公式
方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是:在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与他们的平均数x 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差。通常用“S2”表示,即:
S2=(x1?x ) 2+(x2?x ) 2+?+(xn?x ) 2] n1(3) 方差的简化计算公式
222S2=n(x1+x2 +…+xn )-n x 2]
222也可写成S2=(x1 +x2 +…+xn )]-x 2 n11此公式的记忆方法是:方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明:
∵S2=n[(x1?x ) 2+(x2?x ) 2+?+(xn?x ) 2]
222∴S2=[x1?2x1x +x 2 +x2?2x2x +x 2 +…+xn?2xnx +x 2] n
222 +nx 2] =[(x1 +x2 +…+xn )-2(x1+x2+…+xn ) xn
222=[(x1 +x2 +…+xn )-2n n
11(x1+x2+?+xn) n111x +n x 2] 222=[(x1 +x2 +…+xn )-2n x 2+n x 2] n
222=n(x1 +x2 +…+xn )-n x 2]
222 =n(x1 +x2 +…+xn )-x 2………………..(I) 11
, , , 1,有x1=x+a,x2=x+a,…xn=xn+a,和x =x , +a(详见(1)的证明) 根据○12
代入简化公式(I ), 则有:
S2 =
1221222(x1 +x2 +?+xn )?x 2 2, , , =n(x1+a )+(x2+a )+…+(xn+a )]-( x , +a) 2
, 2, 2, 2, , , =x1+x2+…+xn)+2a(x1+x1+…+xn)+na2]-(x , 2+2x , a+a2) n
, , , (x+x+?+xn) 2, 2, 2, 2, 2=x1+x2+…+xn)+2aa-x nn11?2x , a-a2
, 2, 2, 2=nx1+x2+…+xn)+2x , a+a2?x , 2?2x , a ?a2
, 2, 2, 2=x1+x2+…+xn) ?x , 2…………………….(II) n11此公式的记忆方法是:方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
由方差的基本公式,经恒等变形后,产生了简化公式(I ); 由简化公式(I )进行等量代替
产生了简化公式(II ). 因此,基本公式和简化公式(I )(II )所计算出的方差S2都
相同。基本公式和简化公式(I )按原数据x1, x2, …, xn计算方差;简化公式(II )
, , , 按新数据x1, x2, …, xn计算方差,计算出的方差相同。
(4) 用新数据法计算方差
, , , 原数据x1, x2, …, xn的方差与新数据x1=x1-a, x2=x2-a, …, xn=xn-a 的方差相等。也就是说,根据
, , , 方差的基本公式,求得的x1, x2, …, xn的方差就等于原数据x1, x2, …, xn的方差。
证明:
1式里的每一个式子的两边,减去○2式的两边(左边-左边,右边-右边)有: 把○
, x1-x , =(x1-a)-(x -a)=x1-x
, x2-x , =(x2-a)-(x -a)=x2-x
…………
, xn-x , =(xn-a)-(x -a)=xn-x
再把以上每一个新生成等式左右两边平方,即有左2=右2:
, (x1?x , )=(x1?x )
, (x222?x )=(x2?x )
…………
, (xn?x , )=(n ?x ) 22, 22
最后把这些式子的左边加左边,右边加右边,其和分别除以n, 即有:
, , , , , (x?x )+(x?x )+…+(x?x , )]=n(x1?x ) 2+(x2?x ) 2+?+(xn?x ) 2] n12n
, , , 这就是根据方差的基本公式,求得的x1, x2, …, xn的方差就等于原数据
x1, x2, …, xn的方差。 12221
相对标准方差的计算公式
标准偏差
百科名片
标准偏差(Std Dev,Stand?ard Devia?tion) -统计学名词?。一种量度数?据分布的分?散程度之标?准,用以衡量数?据值偏离算?术平均值的?程度。标准偏差越?小,这些值偏离?平均值就越?少,反之亦然。标准偏差的?大小可通过?标准偏差与?平均值的倍?率关系来衡?量。
目录
公式
语法
说明
计算步骤
举例
标准差
标准偏差与?标准差的区 ?别
编辑本段公式
标准偏差公?式:S = Sqrt[(?(xi-x拨)^2) /(N-1)]公式中?代表总和,x拨代表x?的均值,^2代表二次?方,Sqrt代?表平方根。
例:有一组数字?分别是20?0、50、100、200,求它们的标?准偏差。
x拨 = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5
S^2 =
[(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)
标准偏差 S = Sqrt(S^2)
STDEV?基于样本估?算标准偏差?。标准偏差反?映数值相对?于平均值 (mean) 的离散程度?。
编辑本段语法
STDEV?(numbe?r1,numbe?r2,...)
公式表达
Numbe?r1,numbe?r2,... 是对应于总?体中的样本?的 1 到 30 个数字参数?。 编辑本段说明
忽略逻辑值?(TRUE 和 FALSE?)和文本。如果不能忽?略逻辑值和?文本,请使用 STDEV?A 函数。 STDEV? 假设其参数?是总体中的?样本。如果数据代?表整个样本?总体,则应使用函?数 STDEV?P 来计算标准?偏差。 此处标准偏?差的计算使?用“无偏差”或“n-1”方法。 STDEV? 的计算公式?如下: 编辑本段计算步骤
标准偏差的?计算步骤是?:
步骤一、(每个样本数?据 , 样本全部数据之?平均值)。
步骤二、把步骤一所?得的各个数?值的平方相?加。
步骤三、把步骤二的?结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目?)。
步骤四、从步骤三所?得的数值之?平方根就是?抽样的标准偏差?。 编辑本段举例
假设有 10 件工具在制?造过程中是?由同一台机?器制造出来?的,并取样为随?机样本进行?断裂强度测?量。
StStStStStStStStStSt公式 说明1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (结
果)
13131313131313131312=STD断裂45 01 68 22 10 70 18 50 03 99 EV?强度
([St的标?
1], 准偏
[St差 (2
2], 7.463
[St9157?
3], 2)
[St
4],
[St
5],
[St
6],
[St
7],
[St
8],
[St
9],
[St1
0]) 编辑本段标准差
标准差也被?称为标准偏?差,或者实验标?准差,标准差(Stand?ard Devia?tion)各数据偏离?平均数的距?离(离均差)的平均数,它是离差平方和?平均后的方?根。用σ表示。因此,标准差也是?一种平均数?。标准差是方?差的算术平方根?。 标准差能反?映一个数据?集的离散程?度。平均数相同?的,标准差未必?相同。 例如,A、B两组各有?6位学生参?加同一次语?文测验,A组的分数?为95、85、75、65、55、45,B组的分数?为73、72、71、69、68、67。这两组的平?均数都是7?0,但A组的标?准差为17?.08分,B组的标准?差为2.16分,说明A组学?生之间的差?距要比B组?学生之间的?差距大得多?。 编辑本段标准偏差与?标准差的区?别
标准差(Stand?ard Devia?tion)各数据偏离?平均数的距?离(离均差)的平均数,它是离差平?方和平均后?的方根。用σ表示。因此,标准差也是?一种平均数?。标准差是方差的算术平方?根。 标准差能反?映一个数据?集的离散程?度。平均数相同?的,标准差未必?相同。
例如,A、B两组各有?6位学生参?加同一次语?文测验,A组的分数?为95、85、75、65、55、45,B组的分数?为73、72、71、69、68、67。这两组的平?均数都是7?0,但A组的标?准差为17?.08分,B组的标准?差为2.16分,说明A组学?生之间的差?距要比B组?学生之间的?差距大得多?。
标准偏差(Std Dev,Stand?ard Devia?tion) - 统计学名词。一种量度数?据分布的分?散程度之标?准,用以衡量数?据值偏离算术平均值的程度。标准?偏差越?小,这些值偏离?平均值就越?少,反之亦然。标准偏差的?大小可通过?标准偏差与?平均值的倍?率关系来衡?量。
相对标准偏?差
相对标准偏?差(RSD,relat?ive stand?ard devia?tion)就是指:标准偏差与?测量结果算?术平均值的?比值,用公式表示?如下
RSD=S/Χ*100%其中S为标准偏差,x为测量平?均值.
相对标准偏?差RSD就?是变异系数?:变异系数的?计算公式为?: cv = S/x(均值)×100%
【doc】 概率论中有关概念及计算公式的推广
概率论中有关概念及计算公式的推广
第23卷第4期
2005年lO月
佳木斯大学(自然科学版)
JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)
V01.23No.4
Oct.2005
文章编号:1006—1402(2O05)o4—0630—05
概率论中有关概念及计算公式的推广
.韦相和
(淮阴师范学院计算机科学系.江苏223001)
摘要:通过对概率论中有关公式的研究,给出了条件独立的定义,推广了全概率公式和贝叶斯公
式,并给出了n维随机变量函数的密度函数的简化计算公式.
关键词:条件独立;全概率公式;贝叶斯公式;密度函数
中图分类号:0211.1;0211.5文献标识码:A
0引昌
在概率论课程的教学与科研过程中,发现有许多内容可以进一步深化和挖掘,从而得到更广泛,更简
捷,更实用的结论,以丰富和完善概率论的理论体系.本文在文献[1]
的基础上就以下三个问题进行讨论.
一
,条件独立的概念及性质
二,全概率公式和贝叶斯公式的推广.
三,计算/1.维随机变量函数的概率密度方法的研究.
1事件条件独立的定义及性质
设(n,F,P)为一概率空间,A,B,C?F,
定义l设A,B,C?F,且P(C)>0,若有
P(ABIC)=P(AIC)P(BIC)(1)
则称事件A,B在事件C发生下的条件独立.
(1)式所表示的两事件在某条件下的条件独立性,要比三事件相互独立要弱,能刻划三事件两两独立
与相互独立之间的关系,且与事件间的独立性有十分类似的性质.
性质l设P(C)>O,则A,B在C发生下的条件独立的充要条件为,B在C发生下是条件独立.
证:不妨设A,B在C发生的条件下条件独立,即有P(AIC)=P(AIC)P(BIC)成立.
而P(7~BIc)=而P(/iBC)=地
=一=
P(BIc)一P(ABIc)一l乙一l乙
=
P(BIC)一P(AIC)P(BIC)
=
.P(BIC)(1一P(AIC))=P(AIC)P(BIC).
即有:P(~4BIC):P(2IC)P(BIC)成立.所以,B在C发生的条件下条件独立.反之,亦成立.
类似地,可得到下列结论(i)设P(C)>O,设A,B在C发生下的条件独立的充要条件是A,在C发
生下条件独立.(ii)设P(C)>O,则A,B在C发生下的条件独立的充要条件是,在C发生下条件独立.
性质2设P(C)>O,则A,B,C相互独立的充要条件是A,B,C两两独立,且A,B在C发生的条件
下条件独立.
?收稿日期:2005—07—19
基金项目:江苏省教育厅自然科学基金资助项目(03K.]D520055)
作者简介:韦相和(1965一),男,江苏淮安人,讲师,研究方向:基础数学及计算机软件
第4期韦相和:概率论中有关概念及计算公式的推广631
证:必要性:设P(C)>O,且A,B,C相互独立
由A,B,C相互独立必有A,B,C两两独立,且P(AIC)=P(A),P(BIC):P(B),P(IC):
P(AB)=P(A)P(B)所以有P(IC)=P(AIC)P(BlC)
即A,B在C下条件独立.
充分性:A,B,C两两独立,只须证明等式P(C)=P(A)P(B)P(C)成立即可.
利用乘法公式可得:
P(C)=P(ABIC)P(C)=P(AIC)P(BIC)P(C)
:.丽
P(BC).
P(c):P(A)P(B)P(c)一P(C)P(C)\,一\/\./\
故知:A,B,C相互独立.
性质3设P(AC)>0,则A,B在C下条件独立的充要条件为
P(BIAC)=P(BIC)(2)
证明:P(BIAC)==
即P(ABIC)=P(BIAC)P(AIC)
易知:A,B在C下条件独立的充要条件是P(BIAC)=P(BIC)
3全概率公式和贝叶斯公式的推广
设S为样本空间,设A.,A:,…,A,为S的一个划分组,它满足
(i)A?A』=,i,.『=l,2,…,n,i?.『;(ii)AlUA2U…UA=S.
若P(Ai)>0,i=l,2,…,n,则对任一事件B,由全概率公式得:
P(B)=:P(BIA)P(A)(3)
现将(3)式推广为二重全概率公式.
对于上述的划分:{Al,i=l,2,…,n,如果对VA;都存在一个划分组{C},i=l,2,…,n,.『=l,2,
…
,,且P()>O,在A发生的条件下同样有:
P(BlA)=?P(BIc)P()(4)
利用(3),(4)式,这样我们给出下列定理:
定理l设{A},i=l,2,…,n为样本空间的一个划分,且
P(A)>0,i=l,2,…,n,对每个A存在
一
个划分{},.『=l,2,…,m,且P(c)>O,则对任意的事件B,有
n
P(B)=?P(A)?P(BIc)P(c)(5)
我们称(5)式为二重全概率公式.
类似可以得到下列推广的贝叶斯公式.
定理2设{A},i=l,2,…,n为样本空间的一个划分,且
P(A?)>0,i=l,2,…,,对每个A存
在一个划分{C},=l,2,:..,,且P(C)>0,则有:
P(A?)?P(BIc)P(c)
(i)P(AIB)=n
?P(A)?P(BIc)尸(c)i=1J=1
(6)
632佳木斯大学(自然科学版)2005年
:
(ii)P(Co:(7)
?P(A1)?P(BICo)P(Co.)
证明:(i)利用Bayes公式VA2~(4),(5)式,即可得(6)式.
(ii)CcAi
P(::=)P(蠊)
:而1邶)P(cf)P(:
一?P(A)?P(BI)P(Co)
例1设有三个大盒子,每个大盒子中有三个小盒子,每个大盒子中的第一个小盒子中分别装有1个
红球,3个白球;第二小盒中分别装有2个红球,2个白球;第三个小盒中装有3个红球,1个白球.假设取第
一
个大盒子的概率为告,取第二,第三大盒子中的概率都为{,在取定某个大盒时,取其中第-Ji,盒概率
是,取第二,三小盒子概率均为.今任取一个大盒,再从中任取一小盒,从此小盒中任取一球.问:
(i)此球为红球的概率.
(ii)若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒的概率.
(iii)若已知取的球为红球,问此球是第一个大盒中第二小盒的概率.
解:设A.,A,A,分别表示从第一,二,三大盒中取球的事件,B表示取红球的事件,C表示从第i
个大盒中取第.『个小盒,i=1,2,3,.『=1,2,3.
则由题意知:P(A.)=1,P(A)=P(A,)=
P(cjlIAi)=1,i=1,2,3,P(Co)=1,i=1,2,3,=2,3
且P(BICil)=,P(BIc口)=1,P(BIc)=,i=1,2,3
-r--r
(i)由(5)知
P(=?)?Ic)P(c)=i
()由()知=l
P(A
i=l
P(B1
ii6
P(A1)?P(BICv)P(Cv),
P(A?I=——上—一=专
(iii)由(7)知
P(Cl2IB):埤:号.
4rt维随机变量函数概率密度算法的研究
设(.,,…,五)为n维连续型随机变量,其密度函数为.,x:,…,),=g(.,,…,)为
(.,,…,)的函数,关于U=g(x.,,…,以)的密度函数(u)的求法,类似文[1],也可给出一种
简单,方便的计算方法.?
定理3设(.,,…,)具有联合密度函数.,,…,),且g(.,,…,)关于的偏导数
g(.,,…,)存在,且?0,=h(z?,一,一.),则U=g(x.,,…,以)的密度函数为
第4期韦相和:概率论中有关概念及计算公式的推广633
.(M):r…r…,,(,…,))Ih,IdXl”“dXi_hhdx(8)(M)=I…I…,,(,…,t))IIn
一?(8)J一?J一?
证明:作变换
=g(l,2,…,.)
Ul=1
U2=X2
R一1=R一1
则其Jacobi行列式为
J=
a
al
aul
al
OuR—
l
al
a
a2
aul
a2
aR—
l
a2
由(9)知存在逆变换
并且
a
a
aul
a
a‰一
l
a
l=Ul
X2=/22
R一1=R一1
=h(,l,…,一1)
a(l,2,…,)
了
O1O
OO1
OOO
h.h.
l
hll2
0
0
???
0
h
一l
(4.2)
=(一1)g?0(9)
(1O)
进而得(,.,…,)的密度函数为:
1?...dx?
例2设三维随机变量(.,X:,X.)的联合密度函数为
):毛
LO
,其它
求U=X.++的密度函数.
解:易知,=g(l,2,3)=l+2+3,0<<3a
o—oo
,
O,O?g
?????
?????
o,o0
,1OOg
634佳木斯大学(自然科学版)20Q5年
且3=h(,l,2)=一l一2,h.=1,由定理2知:
()=IIl,2,h(,l,2)Ih.Idxldx2
(i)当50或?3a时,()=0
(ii)当0<5a时
)=r4口d一2
(iii)当a<52a时
()=厂d扣:=
(iv)当2口<<3口时,()=::1口dd:
所以()=
,o<5口
?二,口<s2口2
aj?,一”
丢,2口<<3口
0,其它
l
口
参考文献t
[1]宁荣建,概率论中有关计算公式的改进[J].大学数学,20O4,2o(5).
[2]复旦大学,概率论(第一册概率论基础)[M]北京:高等教育出版
社,1979.
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育出版社,1989.
ExtensionofSomeConceptsandFormulasinTheoryofProbability
WE/撕一k
(珏蛐Teacher?sCollege.珏mi柚223001,Ottaa)
Abstract:Thoughstudying8oIneconceptsandformulasintheoryofprobability,Wegiv,thedefinitionofcondi-
fionalindependentbetweentworandomeventsandtheformulaprobabilityincompleteeventsset,andasimplifiedfor-
mulafordensity?sfunctioninnrandomvariablesisgiven.
Keywords:conditionalindependent;formulaforprobabilityincompleteset;Bayesformula;densityfunction
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