苏教版(常州)
八年级下数学学习要点
(腾大教育数学教研组,2015年3月,第6次修订)
目次:
一:分式
A
叫做分式。 B
分式有意义的条件是分母不为零,分式值为零的条件分子为零且分母不为零 题型一:考查分式的定义
考点一、分式定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子
1
22
x 1a -b x -y x +y
下列代数式中:, x -y , ,是分式的有:, ,
π2x +y x -y +b
1
a -b x 2-y 2x +y
, , a +b x +y x -y
.
题型二:考查分式有意义的条件: 当x 有何值时,下列分式有意义
(1)
x -41
(2)23x (3)22 (4)6-x (5)
1x +4|x |-3x +2x -1x -x
答:(1) (2) (3) (4) (5) 题型三:考查分式的值为0的条件: 当x 取何值时,下列分式的值为0.
x -1
(1)
x +3
(2)
|x |-2x 2-4
(3)
x 2-2x -3x 2-5x -6
答(1) (2) (3) 题型四:考查分式的值为正、负的条件:
(1)当x 为何值时,分式为正; (2)当x 为何值时,分式为负; (3)当x 为何值时,分式为非负数. 2
练习:(1)已知分式
5-x
3+(x -1)
x -2x +348-x
x -1
的值是零,那么x 的值是( ) x +1
1
没有意义. x -1
A .-1 B .0 C .1 D .±1 1、当x________时,分式
考点二:分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。
A A ?M A ÷M ==
1.分式的基本性质:B B ?M B ÷M
-a -a a a
=-=-=
+b -b b 2.分式的变号法则:-b
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
12x -y
(1)11x +y 34
(2)
0. 2a -0. 03b
0. 04a +b
题型二:分数的系数变号
【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1)
-x +y
-a
-x -y
(2)-
a -b
(3)-
-a -b
题型三:化简求值题
【例3】已知:
112x -3xy x +y
=5,求+2y x +2xy +y 的值.
提示:整体代入,①x +y =5xy ,②转化出1x +1
y
. 【例4】已知:x -
1x =2,求x 2+1
x
2的值. 【例5】若|x -y +1|+(2x -3) 2=0,求
1
4x -2y
的值.
考点三:分式的运算
1.确定最简公分母的方法:
①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2.确定最大公因式的方法
①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一:分式的混合运算
1、 计算4a a 2-1+1+a
1-a
的结果是________. 2、 计算a 2a 2
+2a ?(a 24
a -2-a -2
) . 3、 计算x -1x ÷? 1?
?
x -x ??.
题型二:化简求值题
先化简后求值
(1)已知:x =-1,求分子1-8x 2
+411
x 2-4
4x -1) ÷(2-x )]的值;
(2)已知:
xy +2yz -3xz x y z
==,求2的值; 22234x +y +z
题型三:求待定字母的值 【1】 若关于x 的分式方程
【2】若分式方程
提示:x = 【3】若
3x -4A B
=+ ,试求A 、B 的值.
x -1x -2x -1x -2
2-a
>0且x ≠2,∴a <2且a ≠-4.="">2且a>
2x +a
=-1的解是正数,求a 的取值范围. x -2
2m
有增根,求m 的值. =1-
x -3x -3
题型四:指数幂运算 (1)下列各式中计算正确的是
21
B . a -5=-a 5 C . (-3a -3)=9a 6 D . a 5+a 3=a 8 271
(2)(-) -2-23?0. 125+20070
2
注意:
★分式的通分和约分:关键先是分解因式 ★分式的运算:分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。
A . 3-3=
分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 ★任何一个不等于零的数的零次幂等于1,=1(a
;
正整数指数幂运算性质(请同学们自己复习)也可以推广到整数指数幂.特别是一个整数
-n 1
的-n 次幂等于它的n 次幂的倒数,a =n
a
考点四:分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 :
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.
增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么? (1)审(作题时不写出);(2)设;(3)列;(4)解;(5)验 (6)答.
应用题有几种类型基本上有五种:
(1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题. (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. (3)工程问题 基本公式:工作量=工时×工效.
(4)顺水逆水问题 v 顺水=v静水+v水. v 逆水=v静水-v 水. (5) 盈利问题 基本公式:利润=(售价-进价)×件数 利润率=1、 解方程
2-x 1
=1-. x -33-x
利润
?100% 进价
2、 某市今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨25%,小明家去年12月份的水费是18元,而今年5月份的水费是36元.已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米,求该市今年居民用水的价格.
3、某一工程队,在工程招标时,接到甲乙工程队的投标书,每施工一天,需付甲工程队工程款1.5万元,付乙工程队工程款1.1万元,工程领导小组根据甲乙两队的投标书预算,可有三种施工方案:
(1)甲队单独完成此项工程刚好如期完工。
(2)乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天。
(3)若甲、乙两队合作4天,剩下的工程由乙队独做也正好如期完工。 问哪一种施工方案最省工程款?
4、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地,出发后第1小时内按原计划的速度行使,1小时后加速为原来速度的1.5倍,并比原计划提前40分到达目的地,求前1小时的平均行使速度。
二、反比例函数:
4、正比例函数与反比例函数的对照表:
例题:
例1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P (m ,4),已知点P 到x 轴的距离是到y
轴的距离2倍.
⑴求点P 的坐标. ;
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。
分析:由点P 到x 轴的距离是到y 轴的距离2倍可知:2|m|=4,易求出点P 的坐标,再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。解:略
例2、已知a ,b 是常数,且y+b与x+a成正比例. 求证:y 是x
的一次函数.
分析:应写出y+b与x+a成正比例的表达式,然后判断所得结果是否符合一次函数定义.
证明:由已知,有y+b=k(x+a),其中k ≠0. 整理,得y=kx+(ka-b). ①
因为k ≠0且ka -b 是常数,故y=kx+(ka-b) 是x 的一次函数式. 反比例函数
1. 定义:形如y=k/x(k 为常数,k≠0)的函数称为反比例函数。 2. 图像:反比例函数的图像属于双曲线。 3. 性质:当k >0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y 值随x 值的增大而减小;
当k AD), ∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°。若AE=10,则CE 的长为________。
5.已知在ABCD 中,点E 、F 分别在AB 、AD 上。
(1)若AB=10,AB 与CD 间距离为8,AE=BE,BF=FC,求△DEF 的面积;
(2)若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4,求△DEF 的面积。
6.如图,P 为ABCD 内一点,过P 点分别作AB 、CD 的平行线,交平行四边形于E 、F 、G 、H 四点,若S AHPE =3,S PFCG=5,求S △PBD 。
7.如图,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,DE ∥BC 。问S △ABE 与S △ACD 相等吗?请说明理由。
8.ABCD 中,有一点P ,使∠APD=∠ADP 。连接AP 、BP 、DP 、CP ,求证∠PAD=∠PCB 。
9.如图,△ABC 的两条高AD 、BE 交于点H ,边BC 、AC 的垂直平分线FO 与GO 相交于点O 。求证:OF=0.5AH,OG=0.5BH。
10.如图,在ABCD 中,AE ⊥BC 于点E ,E 恰为BC 的中点,tanB=2。
(1)求证:AD=AE;
(2)如图,点P 在线段BE 上,作EF ⊥DP 与点F ,连接AF 。求证:DF -AF=AF ;
(3)请你在图中画图探究:当P 为线段EC 上任意一点(P 不与点E 重合时),作EF ⊥直线DP ,
垂足为点F ,连接AF 。线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系?
直接写出你的结论。
11.如图,在菱形ABCD 与菱形BEFG 中,点A ,B 在同一直线上,P 是线段DF 的中点,连接PG 、PC ,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG 与PC 的位置关系及PG :PC 的值。
(1)写出上面问题中PG 与PC 的位置关系及PG :PC 的值;
(2)将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一直线上,原问题中其他条件不变。你在(1)中得到两个结论,它们是否变化?写出你的猜想并加以证明。
(3)若∠ABC=∠BEF=2а(0°<а<90°),将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度,原问题中其他条件不变,请你直接写出PG :PC 的值。
12.在ABCD 中,∠A 的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于点E 、F ,点O 、O 1分别为△CEF 、
△ABE 的外心. (1)求证: O、E 、O 1三点共线; (2)求证:若∠ABC = 70°,求∠OBD 的度
数。
A
O 1 B O
13.如图,EFGH 的顶点分别在矩形ABCD 的四条边上,且HG ∥
AC 。求证:EFGH 的周长为定值。
14.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动,
设AP=x,现将纸片还原,使点D 与P 重合,得折痕EF (点E 、F 为折痕与矩形边的交点,再将纸片还原。
(1)当x=0时,折痕EF 的长为 ;当点与E 与A 重合时,折痕EF 的长为 ;
(2)请求出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围,并求出x=2时练习的边长:
(3)令EF 2为y ,当点E 在AD ,点F 在BC 上时,写出y 与x 的函数关系式。当y 取最大值时,判断△EAP 与△PBF 是否相似;若相似,求出x 的值;若不相似,请说明理由。
15.有矩形纸片ABCD ,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A 与边CD 上的点E 重合。
(1)如果折痕FG 分别与AD 、AB 交于点F 、G ,AF=,求DE 的长;
(2)如果折痕FG 分别与CD 、DA 交于点F 、G ,△AED 的外接圆与直线BC 相切,求证折痕FG 的长。
16.在矩形ABCD 中,有一内接菱形PQRS 。P 、Q 、R 、S 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上,且BP=15,BQ=20,PR=30,QS=40。若矩形ABCD 的周长为一个即约分数,分子为m ,分母为n ,求m+n的值。
17.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(-8,0),直线BC 经过点B
(-8,6),C (0,6),将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转а
度得到四边形OAB'C' ,此时直线OA ’、直线B ’C ’分别与直线BC 相交于点P 、Q 。
(1)四边形OABC 的现状是 ,当а=90°时,BP :BQ 的值是 ;
(2)①如图,当四边形OA ’B ’C ’的顶点B ’落在y 轴正半轴时,求BP :BQ 的值; ②如图,当四边形OA ’B ’C ’的顶点B ’落在直线BC 上时,求△OPB' 的面积;
(3)在四边形OA ’B ’C ’旋转过程中,当0<а°≤180°时,是否存在这样的点P 和点Q ,使BP=0.5BQ?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
五:数据的分析 和 感受概率
1. 加权平均数:加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量,而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2. 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3. 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode )。
4. 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5. 方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。
数据的收集与整理的步骤:1. 收集数据 2. 整理数据 3. 描述数据 4. 分析数据 5. 撰写调查报告 6. 交流
6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响,这是一个优势,中位数的计算很少不受极端值的影响。
5、下列事件:①检查生产流水线上的一个产品,是合格品. ②两直线平行,内错角相等. ③三条线段组成一个三角形. ④一只口袋内装有4只红球6只黄球,从中摸出2只黑球. 其中属于确定事件的为( ) A、②③ B、②④ C、③④ D、①③
6、甲、乙、丙三人随意排成一列拍照,甲恰好排在中间的概率( )
214(A ) (B ) (C ) (D )以上都不对 939
7、从1,2,3,4,5的5个数中任取2个,它们的和是偶数的概率是( )
(A )112(B )(C )(D )以上都不对 105
5
初二数学下教案
14.1实数 --平方根
1. 算数平方根的概念及其表示方法:一般地一个正数 x 的平方等于 a, 即 x 2=a,那 么这个正数就叫做 a 的算数平方根,记为 :a , 读作:“根号 a ” .a 叫做被开方数。 例 1. 求出下列各数的算数平方根 (1) 64 (2)
16
9 (3) 0.01
2. 平方根的概念及其性质:
(1)平方根的定义:一般地,如果一个数的平方等于 a, 那么这个数就叫 a 的平 方根或二次方根, 如果 x 2=a,
那么 x 叫做 a 的平方根。 例如:3和 -3都是 9的平方根,简记:±3是 9的平方 根。
(2)一个正数有两个平方根, 它们互为相反数, 0的平方根是 0, 负数没有平方 根,正数 a 的平方根表示为±a 。
(3)求一个数 a(a≥ 0) 的平方根的运算,叫做开平方。 例 2,求下列各数的平方根 .
(1)36 (2)
81
16
(3)0.0001
例 3,求下列各数的算数的算数平方根
(1) 256 (2) 625 (3)根号下 412-402
例 4求下列各数的平方根 (1)(-3)2 (2)
49
64 (3) 0 (4) 1
例 5,判断下列各式是否正确。
(1)根号下(-8)2=-8 (2)根号下(-8)2=±8 (3)±根号下(-8)2=8
例 6. 求 4的平方根 例 7. 求 16
25的值
例 8,下列说法是否正确,为什么?
(1) 8是 64的平方根(2) 64的平方根是 8 (3) 64的算数平方根是 8
例 9. 已知 a , b 是实数,且根号下 2a+6加上 b-2的绝对值等于 0. 解关于 x 的方 程(a+2) x+b2=a-1.
实际应用:1. 一个正方形的面积扩大到原来的 4倍,它的边长扩大多少倍?面积 扩大 9倍呢 ?n 倍呢? 2. 9的值是多少?
3. 写出一个有理数和一个无理数,它们都是大于 -2的负数。 ◆随堂检测
1、 1 的算术平方根是 ; 16 的算术平方根 ___ 2、一个数的算术平方根是 9,则这个数的平方根是 练习:
14.2 立方根
1. 立方根的概念及其表示方法 :一般地, 如果一个数的立方等于 a, 那么这个数就叫 a 的立方根或三次方根。 (如果 x 的三次方 =a,那么 x 叫做 a 的立方根。 )正 数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数, 0的立方根是 0. 例 1,求下列各数的立方根 (1) 343 (2) -125 (3) -64
27
2. 开立方的概念:求一个数立方根的运算叫做开立方。 开立方和立方互为逆运算。 例 2. 求下列各式的值
负的三次根号下 -81
,三次根号下 1+
125
91
例 3. 求下列各数的立方根 (1) 64 (2) -1331
8 (3) 0.001
例 4. 64的立方根。
立方根练习题
1. 选择题
(1)下列说法正确的是( ) .
(A ) -64的立方根是 -4 (B ) -64的立方根是 -8 (C ) 8的立方根是 2± (D ) ()3
3--的立方根是 -3 (2)下列各式正确的是( ) .
(A
) 1=± (B
2=± (C
6=-
(D 3= (3)下列说法错误的是( ) .
(A )任何一个有理数都有立方根,而且只有一个立方根
(B )开立方与立方互为逆运算(C
) 不一定是负数(D
(4)下列说法正确的是( ) .
(A )一个数的立方根一定比这个数小(B )一个数的算术平方根一定是正数 (C )一个正数的立方根有两个(D )一个负数的立方根只有一个,且为负数 (5
) .
(A
) 4±(B ) 2±
, (C ) 2
(D ) 2±
(6)如果 -b 是 a 的立方根,则下列结论正确的是( ) . (A ) 3b a -= (B ) 3b a -= (C ) 3b a = (D ) 3b a = (7) ()3
a b -的立方根是( ) .
(A ) b a - (B ) a b - (C ) ()a b ±- (D ) ()3
a b - (8
4a =-成立,则 a 的取值范围是( ) .
(A ) a 4≤ (B ) -a 4≤ (C ) a 4≥ (D )一切实数
(9)平方根和立方根相同的数为 a ,立方根和算术平方根相同的数为 b ,则 a+b的立方 根为( ) .
(A ) 0 (B ) 1 (C ) 0或 1 (D ) 1±
(10
0.66941.442==,
那么下列各式中正确的是( ) .
(A 14.42=
(B 6.694=
(C 144.2=
(D 66.94= 2. 填空题
(1)如果一个数的立方等于 a ,这个数就叫做 a 的 . (2)求一个数的立方根的运算,叫做 .
(3)正数有 立方根,负数有一个负的 , 0的立方根是 . (4) 0.064的立方根是 , 1的立方根是 , 3的立方根是
的立方根是
,
. (5为正整数,则 x 的最小整数值是 (6) 278
-
的立方根与
278
的立方根的和是 .
(7)若 x 的立方根等于 -3,则 x 等于
. (8
1.738==
(9
3.051==
(10)如果 2x 4=,那么 x 的立方根是 (11
1.032=,则 61.110?的立方根是 (12
y =
by =,则 a 与 b 间关系是 (13
x
,则 x 的最小整数为 .
(14)若 x-2是 625的算术平方根,则 x 的立方根是 . 3. 求下列格式的值 (1
) (2
) (3
) (4
4. 求满足下列各式的未知数 x :
(1) 3x 0.008= (2) 364x 1250+=
(3) 33x 38
-= (4) ()3
x 18-=
5. 计算:()
2
3122??-++-- ???
6. 已知 x-2的平方根是 4±, 2x y 12-+的立方根是 4,求 ()
x y
x y ++的值 .
练习:
1. 一个数的平方是 4,这个数的立方是( ) A.8 B.-8 C .±8 D.2 2. 若 33) 3(k -=3-k,则 k 的值是( )
A.k ≤3 B.k ≥3 C.0≤k ≤3 D. 一切实数
3. 下列各项中不能作为一个三角形三边的是( ) A.1,100,100 B.2, 3, 5 C. 3
8
, 327, 364 D.32, 42, 52
4. 求下列各式子中的 x 。 (1)(3x+2)3-1=
64
61 (2) 3
1
(2x+1)3-8
1=1
5. 把一个长 12㎝,宽 9㎝,厚 2㎝是的铁坯加工成一个正方体铁锭,表面积有
什么变化?(加工过程中无损失) 。
6. 求下列各式中的 x 。
(1) 64x 3+125=0 (2) (x-1)3=8
7. 21) a -=1-a2,求 a 的值。
8. 立方等于 -64的数的是( )
14.3 实 数
1. 无理数的概念:很多数的平方根,立方根都是无限不循环小数,无限不循环小 数就是无理数。如:2, 3, π等。
例 1, 下列说法正确的是( )
① 无理数都是实数; ② 实数都是无理数; ③ 无限小数都是无理数; ④ 带根号的数 都是无理数; ⑤ 除了 π以外不带根号的数都是有理数。 A . 1个 B .2个 C .3个 D.4个 2. 实数的概念及分类:
(1)定义:有理数和无理数统称为实数。 例 2,把下列各数填在相应的括号内 0, , -3
27
8, , -27, -2, 0.1的 -2次方, 3, 3-, -7的 -2次方,
7
22,
4
π, 1.2121? .
自然数集合: 有理数集合: 正数集合: 整数集合:
非负整数集合: 分数集合:
3. 实数的性质:① 若 a 与 b 互为相反数,则 a+b=0 ② 若 a 与 b 互为倒数, ab=1
③ 任何实数的绝对值都是非负数,即 a ≥ 0 ④ 互为相反数的两数绝对值相等,即 a =a -
例 3 计算下列各式的值
(1) 3(2+3) +3(2-23) (2) 3-5+33
例 4. 在数轴上的点与原点距离是 3,这个点表示的数是:( )
例 5. 和数轴上的点一一对应的是( ) 例 6. 比较 3-和 5-的大小。 例 7. 比较 4-
和 -3π
的大小
例 8. 比较 12
11-和 4
3-的大小。
练习:比较
4
5和 8
5
的大小
实际应用:现有一底面积为 150平方米的正方形鱼池, 为了增加养鱼量, 欲把鱼 池的底面边长增加 6米, 那么扩建后鱼池的面积是多少? (结果保留 4位有效数 字) 。
连线中考:已知 a=2,那么代数式 a 2-1的值是 ______.
实数综合练习题
第一辑
1.如果一个正数 x 的平方等于 a ,即 x 2=a,那么 ________叫做 _________的算术平方根; 0的算术平方根是 ______,∴当 a ≥ 0时, a 表示 a 的 _________________;
2.-9有算术平方根吗?为什么? ___________________________________; 3. x 2=a, 那么 _________叫做 _______的平方根; 一个正数 a 的平方根, 记为 ________;
____数没有平方根;平方根等于本身的数是 _____________; 4.下列说法正确的是( ) (A ) a 2的平方根是 a , (B ) a 2的平方根是-a , (C ) a 2的算术平方根是 a , (D ) a 2的算术 平方根是 a ;
5.已知 4495. 26=, 7460. 760=。直接写出下列各式的值: (1)
=6. 0 (2)
=600 (3)
=06. 0 (4)
=6000
6.估计与-95最接近的两个整数是 _______和 ________;
7.直接写出下列各式的值:
(1) = (2) =04. 0 (3) ()=-2
2. 0 (4) =-2
)
4(
(5)
=--) 2)(8( (6)
=-2
2
12
(7)-= (8)
=0001. 0
(9)-=256
9 (10)±= (11) =3600
9.若 x 2= 4,则 x=______;若 =x 4,则 x=______
10.要使式子 7
5-x 有意义,则 x 的取值范围是( )
(A ) x ≠ 5 , (B ) x ≥ 5 , (C ) x >5 , (D ) x ≤ 5 ; 11. 若(x -5) 2+3+y =0,则 xy=______;
12. 解下列方程:
(1) 36x 2-49=0 (2) (x -4) 2=225 (3) x2-289
144=0
解:
13. 若一个正数的两个平方根分别为 a +2和 3a -1,求 a 的值; 解:
14. 若 a 2=25, =b 4,求 a +b 的值
解:
第二辑
A ±100 B -10 C ±10 D
2.下列说法中正确的是( ) A 512的立方根是±8 B
3
9-没有意义 C 64的立方根是 4 D -
3
3
20092009-=
3.不使用计算器,估计 76的大小应在( )
A 7~8之间 B 8.0~8.5之间 C 8.5~9.0之间 D 9~10之间 4.若 213=+x ,则(x +1) 3等于( )
A 8 B ±8 C 512 D -512 5.若 x -6能开立方,则 x 为( )
A x ≥ 6 B x =6 C x <6 d="" x="" 为任何数="">6>
(1) =-31 (2) = (3) -216-= (4) 32=
7.求下列各式中的 x 的值:
(1) x 3=-64 (2) 3x3-81=0 (3) (x+3)3=8 (4) x3-3=
8
3 解:(1) x 3=-64 (2) 3x3-81=0 (3) (x+3)3=8 (4) x3-3=8
3
8.求下列各式的值: (1) 64
611+
= (2)-18
7-=
(3) 1834??= (4) 40
2564?-
=
9.不用计算器,解答下列问题:
(1)如果 m 表示整数,请直接写出下列各式开立方后整数部分 m 的值:
① 25, m =________ ② 989, m=_______ ③ 64001, m=________ ④ 999000, m =____
(2) x表示整数,请直接写出 x 的值:
x =64729x=_______
选作题:
已知:43=c 且(a-2b+1) 2+3-b =0, 求 a 3+b 3+c 的立方根。
第三辑
1.把下列各数分别填入相应的集合里:
7, 1010010001
. 0, 414. 1, 2, 8
7, 7
22,
3
,
141. 3, 3, 833
-???--
-π
正有理数 { }; 负有理数 { }; 正无理数 { }; 负无理数 {
}.
2. 23-的相反数是 _______________; 37-的绝对值是 ________________; 3. 比较大小(填“>” , “<” ,或“="">”>
⑴ 3.14_____π ⑵ 5_____2.3 ⑶ 5_____22 ⑷ 12-_______13- 4. 若式子 x x 2442-+
-是实数,则 x=________
5.若 m=440-,则估计 m 的值所在范围是( )
A 1
?
运算结果应在( )
A 6和 7之间 B 7和 8之间 C 8和 9之间 D 9和 10之间 7.求下列各式的值: ⑴
()2
2. 0-= ⑵ 6425+
= ⑶ 5
104. 0+
=
⑷ 25232-+= ⑸ ???
?
?
?-
66
1
6= 8.已知 a 、 b 互为倒数, c 、 d 互为相反数,求 ()132
+++-
d c ab ab 的值
解:
9.求下列各式中的 x ⑴ ()32
=
-x ⑵ 21=-x ⑶
272
103
=-x
⑷
()8
1323
=
-x
解:
10.已知 12, 12-=+=b a ,求 b a +的值
第四辑
1.当 x__________时, 3-x 是实数;当 x______________时, 12
+x
是实数 .
2.点 A 在数轴上和原点相距 5个单位,则点 A 表示的实数为 ___________. 3. a 与
3互为相反数,则 a=_______, 3+
a =_________.
4.比较下列各组数的大小: ⑴ 3-
______2,⑵ 8-______7-
,⑶ π-____-3.14
⑷ 12+-______13+-,⑸ 75. 0-_____-75. 0,⑹ 4
11
_____4
11
5. 8的整数部分是数 ________, 90的整数部分是数 ________,
6.在实数-π,-3.14,-5,-1.732, 0,
25
36, 7-,-, 0.3030030003??
中,
无理数有 ________________________________________________. 7. 21-
的相反数是 __________, 21-
的绝对值是 __________, 21-
的倒数是
__________.
8.若 3++b a 与 2--b a 互为相反数,则 a=________, b=_________. 9.绝对值小于 20的负整数是 __________________________ 10.
2
π与 ________是互为相反数,
5
4-
=__________.
11.已知 b y a x ==, ,且 a 是 b 的 10倍,则 x 是 y 的 _______倍 .
12.若一个数的平方根等于这个数的立方根,则这个数是 _____________. 13.判断下列计算是否正确: ⑴ 53=
+
( ) ⑵ 2222=+ ( )
⑶ 3
233
23= ( ) ⑷ 52
125=?
÷ ( )
14.下列各数中没有平方根的是( ) A ()2
1- B 0 C 100
1-
D ()2
3±-
15.能使 2+x 在实数范围内开平方的 x 的值为( )
A x≥0 B x≤2 C x≥2 D x≥-2 16.写出下列各数的绝对值:
⑴-6,⑵ 23-,⑶ 25--
,⑷
2
6-,
解:⑴ ⑵ ⑶ ⑷
17.观察下列各式: ⑴ 3
12
31=+
⑵ 4
13
4
12=+
⑶ 5
14
5
13=+
??
请你将猜想到的规律用含自然数 n (n ≥ 1)的代数式表示出来是 ___________________.
15.1 不等式
1. 不等式及不等式解的意义:(1) 一般地, 用符号 “<” (或="" “≤”="" )="" “="">” (或 “≥” ) 表示大小关系的式子,叫做不等式。如 x+1>5,3x ≤ 8。 (2)使不等式成立的未知数的值就叫不等式的解,如 78是
3
2x >50的解。
例 1,用不等式表示下列各语句,对(1)和(2)请举出一个适合的不等式解。
(1) a 是非负数(2) x 与 1的和是正数(3) x.y 的和不小于 2m 2(4)a的
2
1与 b
的 3倍的差的绝对值小于 2(5) x 、 y 平方和大于 1 2. 不等式解集:一般地, 一个含有未知数不等式所有解, 组成了这个不等式解集, 求不等式解集过程叫做解不等式。 例 2. 判断下列说法是否正确
(1) 4是不等式 x+3>6的一个解。 (2) 3是不等式 x+2>5的一个解
(3)不等式 x+1<2的解有无限多个。 (4)不等式="">2的解有无限多个。><4的解集是 x="">4的解集是><2. (5)不等式="" x+2="">1的解集是 x 大于 -1
3. 一元一次不等式的意义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 1的不等 式,叫做一元一次不等式。
例 3. 下列不等式是一元一次不等式的有哪些? (1) 3x+5=0 (2)2x+3>5 (3)
4
3x <8>8>
x
1≥ 2 (5) 2x+y≤ 8
4. 不等式的性质 1. 不等式两边同时加(或减)同一个数(或式子) ,不等号方向 不变,如果 a >b, 那么 a ±c >b ±c 。
2. 不等式两边同乘(或除以)同一个正数(或式子) ,不等号方向不发生改变 3. 不等式两边同乘(或除以)同一个负数(或式子) ,不等号方向改变 例 4. 根据不等式的性质,解下列不等式,把解集在数轴上表示出来。 (1) x+4>7 (2) 5x <1+4x (3)="">1+4x>
x >-1 (4) 2x+5<>
练习:1. 解不等式,并把不等式解集在数轴上表示出来 (1) 3(1-x )<2(x+9)>2(x+9)>
2
2x +≥
3
12-x
5. 一元一次不等式的解法:
(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项(5)系数化为 1(注 意:不等号方向问题) 例 5. 解不等式 (1) x-2
83-x +1≥
7
)
10(2x - (2)
2
x -
3
75+x ≥ 1-
4
53-x
例 6,不等式与方程的结合:a 取什么值时,解方程 3x-2=a得到的 x 值(1)是 正数(2)是 0(3)是负数
练习:1. 根据不等式性质填空:若 a >b 则(1) -2a
____-2
b
(2) -a+1____-b+1
2. 某班有女生 21人,男生人数减去 5仍然不比女生人数少,男生至少多少人, 将男生的人数在数轴上表示出来。
3. 已知关于 x 的方程 5a+x=-3的解是负数,求 a 的取值范围。
连线中考:不等式 3x-2>0的解集是 ________
15.2 实际问题与一元一次不等式
1. 利用不等式解决实际问题:
(1)审 ; 认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中的不等关系,要抓 住题中的关键字(大于、小于、至少、不超过、超过)
(2)设:设出适当的未知数 ;
(3)列:根据题中的不等关系,列出不等式;
(4)解:解出所列不等式的解集;
(5)答:写出答案,并检验是否符合题意;
例 1:一次环保知识竞赛中共有 25道题,答对一道得 4分,答错或不答扣 1分, 在这次竞赛中,小明被评为优秀, (85分或是 85分以上) ,小明至少答对了几道 题?
一元一次不等式与一元一次方程的结合 :
例 2. 已知方程 ax+12=0的解是 x=3,求不等式(a+2) x <>
例 3. 已知 5(x+1) -3x >2(2x+3) +4,化简 1
2-
x -x 2
+
例 4. 若不等式 3(x-1)>2(x+1)的解都是不等式 ax >b 的解,试问 a,b 满足什 么样的关系?
例 5. 现有某班同学参加植树,原计划每位同学每天植树 4棵,但由于某组 10位 同学另有任务, 未能参加植树, 其余每位同学植树 6棵, 结果扔未能完成原计划 任务,若问以该班同学的人数为未知数建立不等式,求该不等式的解。
例 6. 一个两位数,各位数字是 a ,十位数字是 b, 如果把这个两位数的个位和十位 对调, 得到的两位数大于原两位数, 是判断 a 与 b 哪个数大?并写出一个这样的 两位数。
实际应用:1. 某采石场爆破时,为了确保安全,点燃炸弹导火线后要在炸弹爆破 前转移到 400米以外的安全区域,导火线燃烧的速度是 1厘米 /秒,人离开的速 度是 5米 /秒,导火线至少多长?
连线中考:不等式 2x >3-x 的解集是()
A. X <2 b.="" x="">2 C. x 1 D.x 1
15.3 一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的意义及解集:类似于方程组,把两个一元一次不等式合起
来,就组成一元一次不等式组,如
3150 728 x
x x ->
?
?
-
?
; ; ① ②
一元一次不等式的解集 :一般地,几个不等式解集的公共部分,叫做由它们组成的不等式 解集.
例 1. 不等式组
2
1
x
x
>
?
?
>-
?
,
的解集是 _____;不等式组
2
2
x
x
?
?
<>
?
,
的解集是 _____.
例 2. 解下列不等式,并在数轴上表示出来。
(1)
4(1) 5
723(2)
x x
x x
-+
?
?
++
?
;
;
≤ ①
≤ ②
(2)
312 342 x x
x x
--
?
?
-+>-
?
; . ≤ ① ②
(3) 3150 728 x
x x ->
?
?
->?>
;
①
②
(4)
3(1) 2(1)
4(2) 5(1) 6 x x
x x
->+
?
?
->+-?
; . ① ②
2. 一元一次不等式组的应用:和列一元一次不等式的步骤一样
例 3.3个小组计划在 10天内生产 500件产品(每天生产量相同) ,如果按原计划生产速度, 则不能完成计划任务, 如果每个小组每天比原计划多生产一件产品, 就能提前完成任务, 每 个小组原计划每天生产多少个?
例 4.6.若不等式组
8
x
x m
?
?
>
?
,
有解,则 m 的取值范围是 _____
例 7. 不等式组
1
3
x
x
>-
?
?
?
的解集为()
A. 1
x >-B. 3
x
x
-
例 8. a 为何值时,方程组
231
2
x y a
x y a
-=+
?
?
+=
?
,
的解满足 x y
, 均为正数?
练习:
一、填填补补! (每小题 3分,共 24分)
1.不等式组
2
1
x
x
>
?
?
>-
?
,
的解集是 _____;不等式组
2
2
x
x
?
?
<>
?
,
的解集是 _____.
2.不等式组
6
1
x
x
?
?
>
?
,
的解集是 _____;不等式组
5
1
x
x
>
?
?
<>
?
,
的解集是 _____.
3.解不等式组
2(2) 4
1
32
x x
x x
--
?
?
?+
-
?
?
,
,
≤ ①
②
解不等式 ① 得 _____,解不等式 ② 得 _____,所以不
等式组的解集是 _____.
4.不等式组
1
3
x
x
>-
?
?
?
,
≤
的解集为 _____,这个不等式组的整数解是 _____.
5.三根木棍的长分别为 a , b , c ,其中 50cm
a =, 100cm
c =,则 b 应满足 _____时, 它们可以围成一个三角形.
6.不等式 1324
x
<><的解集是>的解集是>
7.从彬彬家到家校的路程是 2400米,如果彬彬 7时离家,要在 7时 30分至 40分间到达
学校,问步行的速度 x 的范围是 _____. 二、快乐A、B、C! (每小题 3分,共 24分) 1. 已知不等①、 ②、 ③的解集在数轴上的表示如图 1所示, 则它们的公共部分的解集是 ( ) A. 13x -<≤ b.="" 13x="">≤><≤ c.="" 11x="">≤><≤>≤>
2.不等式组 13
x x >-???的解集为(>
A. 1x >-
B. 3x
C. 13x -< d="">
3.若不等式组 3x x a >??>?
,
的解集为 x a >,则 a 的取值范围是( )
A. 3a < b.="" 3a="C." 3a=""> D. 3a ≥
4.有A、B、C、D、E五个足球队在同一小组进行单循环比赛,争夺出线权.比赛规则 规定:胜一场得 3分,平一场得 1分,负一场得 0分,小组中名次在前的两个队出线.小组 赛结束后, A 队的积分为 9分,则下列说法正确的是( ) A.A队的战绩是胜 3场,负 2场 B.A队的战绩是胜 3场,平 1场 C.A队的战绩是胜 3场,负 1场 D.A队的战绩是胜 2场,平 3场
图 1
5.不等式组 1020
x x +??-<>
≥ 的整数解为( )
A. 1-, 1 B. 1-, 1, 2 C. 1-, 0, 1 D. 0, 1, 2
6.下列不等式中,解集为 14x -<≤ 的是(="" )="" a.="" 14x="" x="" -??="">?
, ; ≥
B. 14x x >-??<>
,
;
C. 4010x x -<>
; ≥
D. 401x x ->??-?
,
. ≥
7.不等式组 23112
x x +>??-<>
的解集在数轴上的表示如下图所示,其中正确的是( )
8.解集是如图 2 所示的不等式组为( )
A. 2030x x +??->?, ;
≥
B. 2030x x +<>,>?,>
C. 241103
x x -???-?, ;="">??,>
D. 2241103
x x -+???-?, .="">??,>
16.1 数据的代表
1. 平均数:一般地,如果有 n 个数, x 1、 x 2? x n ,那么 x=n
1(x1+x2+? +xn ) , 叫做这 n 个数的平均数。
例 1. 一组数据中有 10个数据, 2、 4、 6、 8、 10、 12、 14、 16、 18、 20,求这组 数据的平均数。
2. 加权平均数:
例 2. 一组数据中有 20个数据,其中 2出现 3次, 2.5出现 4次, 8出现 6次, 10出现 7次,求这组数据的平均数。
例 3. 某超市 4月份随机抽查了 6天的营业额, 结果分别如下:(单位:万元) 7.8, , 8.2, 8.4, , 8.7, 8.0,8.1试估计商场 4月份的营业额大概是多少?
例 4某班一次测验成绩如下:100分的有 7人, 90分的有 14人, 80分的有 17人, 70分的有 8人, 60分的有 2 人, 50分的有 2人,试计算这次全班测验的平 均成绩。
图 2
例 5. 一架电梯的最大载重量是 1000千克,现有平均体重 80千克的 11位先生和 平均体重 70千克的 2位女士,他们能否一起搭乘这个电梯?他们的平均体重是 多少千克?
. 例 6. 小丽对自己家养鱼池的养鱼总数进行估计,第一次捞出 100条,将每条鱼 做上记号放入水中, 将它们完全混合鱼群后又捞出 500条发现带有记号的鱼有 5条,小丽家鱼池中估计有鱼多少条?
16.2 中位数和众数
1. 众数:在一组数据中,出现最多次数的数据,叫做这组数据的众数。
例 1. 数据 2、 3、 x 、 4的平均数是 3,则这组数据的众数是 ______
2. 中位数:把一组数据按照从大到小的顺序排列,把处在最中间位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
例 2. 5月份某地区连续 6天的最高气温一次是 28、 25、 28、 26、 26、 29(单位:℃) , 则这组数据的中位数是()
A. 26 B. 26.5 C.27 D.29
17.1 与三角形有关的线段
1. 三角形的有关概念:
(1)定义:由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角
例 2. 画出一个任意三角形的角平分线,中线,和高
3. 三角形的稳定性:具有稳定性。
例 3 要使四边形木架不变形,至少要钉上几根木条,五边形的木架呢? \
4. 三角形三边的关系:
(1)三角形的任意两边之和大于第三边 (2)三角形的任意两边之差小于第三边。 (根据两点之间线段最短 ) 例 4. 三角形的两边长分别为 3和 8, 第三边的长为奇数, 则第三边长为多少 ( ) A 5或 7 B 7 C 9 D 7或 9
例 5. 判断下列三条线段能否组成三角形( ) (1) a-3, a, 3(a>3)
(2) a,a+4,a+6(a>0) (3) a,b,a+b(a>0, b >0) (4) a+1,a+1,2a(a>0)
例 6. 设 a,a+1,a+2为三角形的三边,则 a 的取值范围( )
例 7 已知 AD 、 AE 分别是△ ABC 的中线、 高, 且 AB=5㎝, AC=3㎝, 则△ ABD 与△ ACD 的周长之差是 __________.△ ABD 与△ ACD 的面积关系 _________.
17.2 与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理:三角形内角和 180° 例 1 C 岛在 A 岛的北偏东 50°的方向, B 岛在 A 岛的北偏东 80°的方向上 ,C 岛在 B 岛的 北偏西 40°的方向上,从 C 岛看 A,B 两岛的视角 ∠ ACB 是多少度?
2. 三角形的外角:
(1
(2)性质:①
② 例 2 三角形的三个外角之比是 2∶ 3∶ 4,求三个内角之比。
例 3. 已知在△ ABC 中,∠ A=60°,∠ B 、∠ C 的角平分线相交于 D, 求∠ BDC 的 度数。
例 4.已知, CE 为△ ABC 的外角∠ ACD 的角平分线, CA 交 BA 延长线于点 E, 试说明:∠ BAC >∠ B
例 5. 一个三角形的外角中,最多有几个锐角?
例 6. 求一个直角三角形两锐角平分线交角的度数?
例 7. 一个三角形的内角最多有几个直角?最多有几个钝角?
例 8. 如图,在三角形 ABC 中,∠ ABC=90°,∠ A=50°, BD ∥ AC ,则∠ CBD 的度数是 _________
17.3
多边形及其内角和
1.
多边形及其正多边形定义:
(1
) 在平面内, 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 分为凸多边
形和凹多边形。本章我们讲的都是凸多边形。
(2) 正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。 (3) 几种常见的多边形:
2. n 边形内外角和公式: (1) 求 n 边形内角和公式:(n-2)×180° (2) 多边形外交和等于 360°(与边数无关) 例 1. 求图中 x 的值
例 2. 明星中学李华在学习了多边形一节后,有一个设想:2008年奥运会在北京 召开,他设计一个内角和事 2008°的多边形图案,李华的想法能实现么?
例 3. 已知一个多边形内角和是外角和的 2倍,求此多边形的边数?
例 4 多边形的每个内角都等于 150°,求这个多边形的内角和?
例 5. 一个多边形除了一个内角外,其余各内角和为 2750°,求这个多边形内角 和是多少?
例 6.n 边形内角和是 2160°则 n=______
例 7. 如图所示:是一架飞机在空中飞行的经过的路线, 从开始到结束飞行, 这架 飞机转过的角度是多少
例 8. 填空:
从四边形一个顶点出发, 可以引 ______条对角线, 将四边形分成 _____个三角形。
从五边形一个顶点出发, 可以引 ______条对角线, 将五边形分成 _____个三角形。
从六边形一个顶点出发, 可以引 ______条对角线, 将六边形分成 _____个三角形。
从 n 边形一个顶点出发, 可以引 ______条对角线, 将 n 边形分成
_____
个三角形。
18.1 全等三角形
1. 全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等用符号“≌”来表示,其中“∽”表示形状相似, “ =”表示大小相等,合起 来就是形状相同,大小相等,这就是全等。
例 1. 下列图形一定是全等形的是()
A. 边长都是 2的正方形 B. 底边长都是 2的三角形
C .宽都是 2的长方形 D. 高都是 2的三角形
2. 全等三角形的有关概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 . 完全重合时 , 互相重合的顶点叫 做对应顶点 , 互相重合的边叫做对应边 , 互相重合的角叫做对应角 ,
例 2. 如图 :△ ABC ≌△ DEF
3. 全等三角形的性质
全等三角形对应边相等, 对应角相等, 对应边上的高相等, 对应边上的中线相等, 周长相等,面积相等。
例 3. 已知△ ABC ≌△ DCB, 且 AB=DC,
4. 找对应边、对应角的方法及规律
全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边。 全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边夹的角是对应角。
18.2三角形全等的条件
1.边边边公理(SSS )
有三边对应相等的三角形是全等三角形。
例 1. 如图:四边形 ABCD 中, AB=CD,AD=BC,求证:∠ A=∠ C
D 3. 边角边公理(SAS )
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。
例 2. 已知 , 如图 AB=AC,AD=AE,求证
4. 角边角公理及其推论
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 .(ASA)
推论 :有两个角和其中一角的对应边相等的两个三角形全等 (AAS)
例 3. 在△ ABC 中
,AD 为∠ ABC 的角平分线 , ∠ ABC=3∠
C,BE ⊥ AD 于 E, 证明 :
:AC-AB=2BE
5.
斜边直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .
例 4. 如图 ,AC=BD,AC⊥ AD,BC ⊥ BD, 求证 :AD=BC
例 5. 点 E,F 分别在 BC 边上, BE=CF,AB=DC,∠ B=∠ C ,求证:AF=DE
例 6.D 是△ ABC 的 BC 边上一点, E 是 AD 上一点,
求证:∠ BAE=∠
ACE 。
18.3 角平分线性质
1.
角平分线的两种定义:
(
1) 从角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做角平分线。 (2) 角平分线可以看做是到角两边距离相等的点的集合。 2. 角平分线性质定理和逆定理
(1) 性质定理:在角平分线上的点到角两边距离相等。
(2) 逆定理:角的内部到角两边距离距离相等的点在角平分线上。
例 1. 在△ BAC 中,∠ C =90°, AC=40㎝, BD 平分∠ ABC 交 AC 于 D,
且 AD ∶ DC=5∶ 3,求 D 点到 AB 的距离。
例 2. 如图,在四边形 ABCD 中, BC >BA,AD=CD,BD平分∠ ABC, 求证:∠ A+∠ C=180°
初二下数学笔记
初二下数学笔记 21.1一元整式方程
)方程 1. ( )方程 )方程 )方程 方程 ( )方程 )方程 例1.解关于x 的方程。 (1) ax +b =2x -1(a ≠2) (2)(a +1) x =a -1
(3)
x -b x -a
a =2-b
(5)ax =b
例2.解关于x 的方程。 (1)(1-b ) x 2=-4(b ≠1) (3)a 2
x 2=a -2
(4)ax +a =a
2
+x (4)ax =b +1 (2)(b +1) x 2=-4 (5)a 2x 2+a -4=0
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21.(2)二项方程、双二次方程
二项方程:形如 成为二项方程。 判断,如果有错圈出错误之处。 (1)ax (2)3x
5
+3=0----------( ) (3)
1
=4--------------( ) 22x
3
-2x =0---------( ) (4)(x -1) 2=2---------( )
例1.解方程。 (1)x
6
+x 3=0 (2)(x 4-8)(x 3+x 2) =0
例2.解方程。 (1)x
3
1
=8 (2)(2x -3) 5=16 (3)5x 4+18=0 (4)5x 4-18=0
2
小结:
(1)当n 为奇数时,方程有 个解,x= 。 (2)当n 为偶数时, ; 。 例3.解关于x 的方程。 (1)4x
4
+b =0 (2)x n -8=0 (3)3x n +5=0
21.(2)双二次方程
1.只含有偶数次项的一元四次方程。解可能为、、 例1:解方程。 (1)x (3)(x
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24
-9x 2-22=0 (2)(x 2-x ) 2-8(x 2-x ) +12=0
-2x +3) 2=4x 2-8x +17 (4)4y 4-25y 2-20y -4=0
(5)(x 2+x )(x 2+x -1) -2=0 (6)(x -2)(x +1)(x +4)(x +7) =19
21.3分式方程
1.定义: 2.增根:。 3.分式方程不考虑重根。 例1.解方程。 (1) (3)
例2.解关于x 的方程,
例3.关于x 的方程,k +1-
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11x -2234+=+2+2=0 (2)2
x -2x -11-x x +3x +2x -x -2x -4
11x
+= 22
x -6x +92x +6x -9
x k k +2+=有增根,求k 。 x -1x -1x +1
x 3k =无解,求k 。 x +2x +2
21.3(2)分式方程(2)——换元法 例1.x + 例36x 29192
+=5x -x +-+7=0 例2.22
22x x +2x x
2413
+=3
2x +3y 3x +2y 8426
-=5
2x +3y 3x +2y
21.3(3)分式方程(3) 例1.当a 取何值时,
x -12-x 2x +a
+=2的解为负数。 x -2x +1x -x -2
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例2.关于x 的方程,
例3.当m 取何值时,根。
2x -m 1-2=1+,m 为何值时,(1)方程有增根。(2)方程无解。 x x -x x -1
x -2x 2x +m
++2=0,(1)有实数根。(2)无解。(3)有增x x -2x -2x
2x -7a 2-2a -82x 2-a 2+a -7+=例4.思考:方程,a 为何值,方程有实根。 x -1x 2-3x +2x -2
21.4无理方程(1)
定义: 解题过程:(1) (2) (3) 例1:解方程 (1)
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x 2-1-2x -1=0 (2)x +5-2x -4+1=0
(3)
-+=0 (4)x 2+14x +33+x 2+9x -22=
21.4无理方程(2)——换元法 例1:解方程 (1)3x 2+15x +2x 2+5x +1=2 (3)
x 2+5x +3-3x 2+5x -13=2
判断方程是否有根,并说明理由。 1.
-=----------(理由:
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2)+
x +2--3x +3=2
)
(
2.4-x -理由: 3.
3
-x -1=0 --------( ) 2
++2=0--------( ) x 2+1
理由: 4.
+=1--------( )
理由:
例3:
(1)关于x 的方程,k +
(2)关于x 的方程,
(3)关于x 的方程, (4)若 (5) (6) (7)
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=7无实根,k 的取值范围
x 2+5-1=m 有实根,m 的取值范围 x 2+2x +4-=m 有实根,m 的取值范围
-=1有一个增根为x=4,求a 的值。
+2x +m =0只有一个解,求m 的取值范围。
x -2-2m -x =0只有一个实根,求m 的取值范围。
-1-=0有根x=2,求m 的值。
21.5 二元二次方程
标准式;
其中二次项 ;一次项 ;常数项
判断:是二元二次方程的打“√”。 (1x 2y 2
+2x -y =0 (2x 2-y =0 (3x +y =3 (4x 2=4
+2y +1=0x =3xy =2y =1
21.6二元二次方程的解法(1)——代入消元法 例1.解方程 (12x -y =1
x 2-4y 2+x +3y +1=0
21.6二元二次方程组解法(2)——因式分解 例1.解方程x 2
-5xy +6y 2=0
x 2+y 2+x -11y -2=0
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例22+2xy +y 2=9(x -y ) -7(x -y ) +10=0
2
例3+y =5xy =6
例5x -y =5xy =6
例4x 2+y 2=5xy =2
例x 2-2xy +x =10x 2-xy +y =7
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例7 例9
2+2y 2-x +y -12=0x +y -x -6=0
2
2
例8x 2+3xy =282xy -y =7
2
+=5
x +y =12
122+y 2-2x =0
例(1)求证:方程组一定有两组不同的解。(2)设两组解为与,
y 21-y -k =0
求(x 1-x 2) 2
+(y 1-y 2) 2的值。
2y +xy 2=302+2ay =5例11 例12有正整数解,求a 。
+xy +y =11y -x =6a
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第二十二章 四边形 22.1 多边形
1. 是最简单的多边形。
2.n 边形的内角和= ;正n 边形的每个内角= 3.正多边形的特点:(1) ;(2) 。 4.n 边形的一个定点出发的对角线: 条 n边形的所有对角线的和: 条 5.n 边形的外角和 。
6.正n 边形的一个外角 。
例1.求十二边形内角和。
o
例2.多边形内角和与外角和的总和为2160,求边数。
例3.若一个多边形边数增加1,则内角和如何变化?
o
例4.一个正多边形的每一个内角都比外角多100,求边数。
例5.两个正多边形,边数之比为1:2,,每个内角之比为3:4,求边数。
o o
例6.一个多边形的最大一个外角为85,其他外角依次减小10,求边数。
例7.求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=
o
例8.一个多边形一个内角为α,其余角的和等于2750,求边数。
例9.一个多边形最多有( )个内角为锐角。(说明理由)
22.2平行四边形的性质(1)
定义: 性质1: 性质2: 性质3: 性质4:
例1
周长36cm ,作DE
⊥AB
,
DF ⊥BC,
且DE=4cm,DF=5cm,求。
例2中,∠DAB:∠ABC=1:2,C△AOB=33,C△AOD+5=C△AOB, 两对角线之和为36,求 各边各角。
例3中,C △AOB=38,C△BOC=30,C△ABC=44,C△BCD=52,求各边与对角线。
22.2平行四边形性质(2) 中点公式:设A 坐标(x 1, y 1)
,B 坐标(x 2, y 2) ,则线段AB 中点M 的坐标
例1
对角线交于P,A (1,3)、B (3,6)、P (5,4),求C 、D 坐标。
例2.(1)坐标系中,四个点ABCD 构成平行四边形A (3,0)、B (5,0)、C (4,2),AB ∥CD ,求点D 坐标。
(2)坐标系中,四个点ABCD 构成平行四边形A (3,0)、B (5,0)、C (4,2),求点D 坐标。
(3)坐标系中,四个点ABCD 构成平行四边形A (3,0)、B (6,1)、C (4,-2),求点D 坐标。
例3.平行四边形ABCD 周长为52,作ED ⊥AB ,DF ⊥BC ,E 、F 为垂足,若DE =5,DF =8,求BE +BF 的长。
补1. 平行四边形ABCD 中,∠A 的平分线分线段BC 为4cm 与2cm 两段,求平行四边形ABCD 的周长。
补2. 平行四边形ABCD 中,AB=12,AD与BC 的距离为6,求∠D 的度数。
2.2平行四边形的判定(1)
平行四边形定义: 判定(1): 判定(2): 判定(3): 判定(4):
例1. 平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形。
例2.平行四边形ABCD 中,EF 在AC 上,且AE =CF ,求证:∠EBF =∠EDF 。
例3.平行四边形ABCD 中,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,G 、H 分别为AD 、BC 的中点,求证:四边形EGFH 是平行四边形。
例5.△ABC 中,以AB 、AC 、BC 为边,在BC 同侧作△ABD 、△ACE 、△BCF ,求证四边形ADEF 是平行四边形。
例6.△ABC 有一条高,AD 、BE 、CF 交于H, 过△ABC 三个顶点作对边的平行线,交于P 、Q 、R ,求证:HP =HQ =HR 。
例7.判定是否满足平行四边形。
1.一组对边平行,一组对角相等。――――――――(2.一组对边平行,另一组对边相等。―――――――(3.一条对角线被另一条对角线平分。―――――――(4.邻角互补。―――――――――――――――――(5.一组对边相等,一条对角线被另一条平分。―――(6.一组对边相等,一组对角相等。――――――――(
) ) ) ) ) )
22.3 特殊的平行四边形——矩形;菱形
矩形性质1:
性质2: 菱形性质1:
性质2: 证明垂直的方法:
o
例1. 矩形ABCD 中,AE 平分∠BAD, ∠AOD=120,求∠BOE 。
o o
例2. 菱形ABCD 中,∠B=60,EF 在BC 、CD 上,且∠EAF=60,求证:AE=EF。
例3.矩形ABCD 中,CE=AC,AF=EF,求证:BF ⊥FD 。
例5.矩形ABCD 中,CE ⊥BD,AF 平分∠BAD 交EC 延长线于F , 求证:CA=CF。
22.3 矩形、菱形的判定
矩形定义: 菱形定义: 矩形判定: 菱形判定:
o
例1.Rt △ABC 中,∠C=90,D 是AB 的中点,E 是AC 的中点,BF ∥AC 。 求证:四边形CEFD 是矩形。
例2.平行四边形ABCD 中延长DC 到E, 使CE=DC,∠AFC=2∠D 。 求证:四边形ABEC 是矩形。
例3.Rt △ABC 中,∠C=90,AD 平分∠CAB ,作DE ⊥AB ,B 、EF ∥BC 。 求证:四边形EFCG 是菱形。 22.3
1.一条对角线平分一组对角的平行四边形——( )形 2.两条对角线平分每一组对角的四边形——( )形
例1. △ABC 中,点O 是AC 上的一点,过点O 作MN ∥BC ,交∠ACB 的平分线于E ,交∠ACB
的外角平分线于F 。问:O 在何处时,四边形AECF 是矩形。
o
例2.Rt △ABC 中,∠ABC=90,把△ABC 绕C 点顺时针转60,得△DEC 且E 在AC 上,把△AB 沿AB 翻折得△AFB 。
(1)求证:四边形AFCD 是菱形。
(2)延长BE 交AD 于G ,判断四边形ABCG 的形状并证明。
o
例3.△ABC 中,AC=BC,∠C=90,D 为BC 上一点,EF 垂直平分AD ,当AD 平分∠CAB 时。 (1)证明:四边形AEDF 是菱形。 (2)若AB=2
o o
,求CD 。
22.3 正方形
定义: 判定1: 判定2:
例1.正方形ABCD 中,AE=BF=CG=DH,求证:四边形EFGH 为正方形。
o例2.Rt △ABC 中, ∠C=90,BO 、AO 分别平分∠B 与∠A ,作OF ⊥BC ,OE ⊥AC 。求证:四边
形OFCE 是正方形。
例3.△ABC 中, 以AB 、AC 、BC 为边作等边△DBA 、△FBC 、△EAC 。
(1)求证:四边形ADEF 为平行四边形。
(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 为矩形、菱形、正方形。
(3)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 不存在?
例4.在正方形ABCD 中,∠1=∠2,求证:AE=BE+DF。
例5.正方形ABCD ,EF ∥AC ,延长DA 至G ,使AG=AB,GE交DF 于H ,求证:AH=AD。
例6.正方形ABCD ,BE ∥AC ,AE=AC,CF ∥AE 。求证:∠1=1
2∠E 。
例7.正方形ABCD ,DE=EC,EF=CF,求证:∠1=1∠FAB 2
22.4梯形
例1.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,BD ⊥AC ,BD =15,AC =20,求梯形的高。
o 例2.梯形ABCD 中,AD ∥CB ,∠BAD=90,E 是DC 的中点,求证:∠1=∠2。
o 例3.梯形ABCD 中,AD ∥CB ,M 、N 分别为AD 、BC 中点,∠B +∠C =90。
求证:2MN =BC —AD 。
性质1: 性质2:
例1.等腰梯形ABCD, AD∥CB ,AC=BC+AD,求∠BOC 的度数。
例2.等腰梯形ABCD ,AD ∥CB ,BD ⊥AC ,AD=2,BC=8,求:AC、BD 、AB 、DC 、梯形面积。
o 例3.等腰梯形ABCD ,AD ∥BC ,∠ADB =60,BD =12,BE:ED=5:1,求梯形的周长。
例4.梯形ABCD ,AD ∥BC ,AB=CD, AE⊥BC ,AE=4AD,AC=BC,求
例5.平行四边形ABCD ,AB=2,BC=4,∠AOB =45,求S 平ABCD 。 o AD 的值。 BC
定义: 判定1: 判定2:
例1.画梯形ABCD (AD ∥BC ),使AD=a,DC=b,CB=c,BA=d。
例2.AC 、BD 交于E ,AC=BD,∠DAC =∠CAB =∠DBA
(1)求证:四边形ABCD 是等腰梯形。
(2) CH⊥AB ,O 为AB 的中点,AB=2DC,求证:OF=1
2AE 。
初二下数学题
暑假作业(一) 暑假作业(二) 1(解下列方程: 1.解下列方程: 22(1)9y-18y-4=0 (2) x+3=2x. 322(2) (1)12(2)90,,,x4(31)9310xx,,,,,,
2222(已知关于x的方程x,2(k,1)x+k=0有两个实(已知x,x是方程2x-2x+1-3m=0的两个实数根,212
数根x,x.(1)求k的取值范围;(2)若12且x?x+2(x+x),0.求实数m的范围 1212
xxxx,,,1,求k的值. 1212
3(如图,等腰梯形ABCD中,AB=15,AD=20,m3(如图,在直角坐标平面内,函数(,x,0y,?C=30?。点M、N同时以相同速度分别从点A、点xD开始在AB、AD(包括端点)上运动。(1)设NDBab(),是常数)的图象经过,,其中mA(14),的长为x,用x表示出点N到AB的距离,并写出x
ABa,1(过点作轴垂线,垂足为C,过点作轴yx的取值范围。(2)设,用t表示?AMN的
面积。(3)求?AMN的面积的最大值,并判断取最DAD垂线,垂足为,连结,,((1)若DCCB?ABD大值时?AMN的形状。 B的面积为4,求点的坐标;(2)当A、B、C、D四
BAB点构成平行四边形时,求点的坐标;(3)直线
的函数解析式(
y
A
B D
OC xE
暑假作业(三) 暑假作业(四) 1(解下列方程: 1(解下列方程:
22x,6x,3,0; (2); (1)2(5x,1),3(5x,1)5170xx,,,2x(x,4),1(1) (2) ,,
k22(关于x的方程有两个不相kx,(k,2)x,,02(关于x的一元二次方程x?,3x,m,1,0的两个4实数根分别为x,x((1)求m的取值范围((2)若12等的实数根.(1)求k的取值范围。(2)是否存在实2(x+x)+ xx+10=0(求m的值. 1212数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,
求出k的值;若不存在,说明理由
3(如图,在ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,3(如图(1),在?ABC和?EDC中,AC,CE,CB?DAB=60?,点M是边AD上一点,且DM=2cm,,,CD,?ACB,?ECD,,AB与CE交于F,90点E、F分别是边AB、BC上的点,EM、CD的延长
线交于G,GF交AD于O,设AE=CF=x,(1)试用BC分别交于M、H((1)求证:CF,CH;ED与AB、
含x的代数式表示?CGF的面积;(2)当GF?AD(2)如图(2),?ABC不动,将?EDC绕点C旋转到时,求AE的值。 ,?BCE=时,试判断四边形ACDM是什么四边45
形,并证明你的结论(
暑假作业(五) 暑假作业(六)
1(解下列方程: 1(解下列方程:
22(1)(2) 21821150xx,,,,,(2)24xx,,,,,,,22x,7x,6,0(1)(1+x)-2=0 (2)
2 2 (已知关于x的一元二次方程x= 2(1,m)x,m的22(如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与y,
两实数根为x,x((1)求m的取值范围;(2)设y = 123交于点A,分别交x轴于点B和C点D是直-x,3x + x,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出124最小值( 线AC上的一个动点,(1)求点A,B,C坐标((2)
当?CBD为等腰三角形时,求坐标((3)否存E,
使得以E,D,O,A为顶四边形平行四边形,如果存,
直接写出有几种情况(
3(在?ABC中,?BAC=45?,AD?BC于D,将?ABD
沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将?ACD
沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长
EB、FC使其交于点M((1)判断四边形AEMF的形状,3(已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在
并给予证明((2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的BC和CD上,AE = AF((1)求证:BE = DF;(2)
面积( 连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,
连接EM、FM(判断四边形AEMF是什么特殊四边形,A
并证明你的结论(
A D
F
O
E B C
CBM D
暑假作业(七) 暑假作业(八) 1(解下列方程: 1(先化简,再求值:
22(1)x+4x+1=0; (2)2x-4x-1=0 m,352 ,(m,2,)其中m是方程x,3x,1,0的根。2m,23m,6m
22(如果关于x的一元二次方程kxkx,,,,2110(关于x的一元二次方程x?,x,p,1,0有两实数2
根x,x((1)求p的取值范围;(2)若有两个不相等的实数根,求的取值范围( k12
的值. [2,x(1,x)][2,x(1,x)],9,求p1122
3(如图,四边形ABCD是正方形,?ABE是等边三
角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将
BM绕点B逆时针旋转60?得到BN,连接EN、AM、
求证:?AMB??ENB;? ?当M点在何处 CM.?
时,AM,CM的值最小;?当M点在何处时,AM,
BM,CM的值最小,并说明理由;? 当AM,BM,
CM的最小值为时,求正方形的边长. 3,13(如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转n?后得到
正方形AEFG,边EF与CD交于点O((1)以图中A D
已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角
线除外),要求所连结的两条线段相(交且互相垂直,N
交说明这两条线段互相垂直的理由;(2)若正方形的E M 边长为2cm,重叠部分(四边形AEOD)的面积为
B C ,求旋转的角度n。
暑假作业(九) 暑假作业(十) 1(已知a,b,c为三角形的三边长,且关于x的一元一1(利用配方法求当x取何值,代数式2x?,4x,6有
最小值,这个最小值是多少, 2次方程有两个相等()2()0bcxabxba,,,,,,
的实数根,试判断这个三角形的形状。
2(已知关于x的方程
22((1)若这个方程有x,2(k,3)x,k,4k,1,0
222(已知关于的一元二次方程xxmxm,,,,(21)0实数根,求k的取值范围;(2)若这个方程有一个根
为1,求k的值;(3)若以方程有两个实数根和((1)求实数的取值范围;(2)xxm1222的两个根为横坐标、x,2(k,3)x,k,4k,1,022当时,求的值( xx,,0m12m纵坐标的点恰在反比例函数的图象上,求满足y, x
条件的m的最小值(
3(如图(1),在?ABC和?EDC中,AC=CE=CB=CD,3(如图1,在?ABC中,AB=BC,P为AB边上一?ACB=?ECD=90?,AB与CE交于F,ED与AB、点,连接CP,以PA、PC为邻边作?APCD,AC与BC分别交于M、H. PD相交于点E,已知?ABC=?AEP=α(0?<><90?).(1)求证:cf=ch; (1)求证:?eap="?EPA;(2)?APCD是否为矩形,(2)如图(2),?ABC不动,将?EDC绕点C旋转到请说明理由;(3)如图2,F为BC中点,连接FP,?BCE=45?" 时,试判断四边形acdm是什么四边形,将?aep绕点e顺时针旋转适当的角度,得到?men并证明你的结论。="">90?).(1)求证:cf=ch;>
的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证
明你的结论.
C C D D
F E E
A P A P B B M 图1 N 图2
暑假作业(十一) 暑假作业(十二) 2221(若实数x满足条件(x+4x-5)+?x-x-30?=0,求2xxk,,,420的一元二次方程有两个(若关于1x22(2)x,(1)x,-的值(
实数根,求的取值范围及的非负整数值. kk
2 2(已知关于x的一元二次方程kx-4x+2=0有实数
2根((1)求k的取值范围;(2)若?ABC中,AB=AC=2,,,,,.,x,x,1,02(已知()是一元二次方程2AB,BC的长是方程kx-4x+2=0的两根,求BC的长
22nn 的两个实数根,设…s,,,,s,,,,,s,,,,,12n 22由根的定义,有将两式相,,,,1,0,,,,,1,0
22 加,得于是有,s,s,2,0,,,,,,,,,,,,2,021
,.,根据以上信息,解答下列问题:?利用配方法求的3(正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P
为对角线AC上一动点,过点P作PF?DC于点F,值,并直接写出的值,?猜想:当时,n,3s,s12如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF。(1)
如图2,若点P在线段AO上(不与A、O重合0,之间满足的数量关系,并证明你的猜想的ss,sn,n,1n,2
PE?PB且PE交CD点E。?求证:DF=EF;?写出
正确性( 线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式,并证明你
的结论;(2)若点P在线段CA的延长线上,PE?PB
且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断(1)中
的结论?、?是否成立,若不成立,写出相应的结论
(所写结论均不必证明)
3(如图在?ABC中,AB=AC=5,BC=6,动点P从
点A出发沿AB向点B移动,(点P与点A、B不重
合),作PD//BC交AC于点D,在DC上取点E,以
DE、DP为邻边作平行四边形PFED,使点F到PD的
1APx,距离,连接BF,设((1)?ABCFHPD,6
yy的面积等于 (2)设?PBF的面积为,求与的x
y函数关系,并求的最大值;(3)当BP=BF时,求x
的值(
A
P H D
F E
B C
暑假作业(十三) 暑假作业(十四)
21(在等腰?ABC中,a=3,b,c是x+mx+2,1(解下列方程: 1112m=0的两个根,试求?ABC的周长( (2y-1)= (2)x-=5x(-x) (1)22225
2xmxm,,,,2102(关于的一元二次方程的两x22(已知关于x的方程x+(2k-1)x-2k=0的两个实数
根x、x满足x-x=2,试求k的值( 1212222个实数根分别是,且,求xx,,7()xx,xx、121212
的值
3(如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平
面直角坐标系中,动点M、N以每秒,个单位的速度
分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O(如图?,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF3运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在ADt秒时,过点N作NP?BC,交OB于点P,连接MP((1)边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点B的坐标为 ;用含t的式子表示点P的坐标
点P, 连接EP((1)如图?,若M为AD边的中点,为 ;(2)记?OMP的面积为S,求S与t的函数
??AEM的周长=_____cm;?求证:EP=AE+DP;关系式(0 < t=""><>
试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与
使直线MT把?ONC分割成三角形和四边形两部分,A、D重合),?PDM的周长是否发生变化?请说明理
1由( 且三角形的面积是?ONC面积的,若存在,求出点3
T的坐标;若不存在,请说明理由(
yy
NBBCC
P OOAAM xx (备用图)
暑假作业(十五) 暑假作业(十六) 1(解下列方程 1.解下列方程:
223x(x,1),x,1x,3x,1,0(1) (2) x,1,,x,12x,20x,1,0(2) (1),,,202xx
22(选取二次三项式ax+bx+c(a?0)中的两项,配成2xx,xxa,,,202(已知是方程的两个实数根,且12完全平方式的过程叫配方(例如:?选取二次项和一
22次项配方:x-4x+2=(x-2)-2;?选取二次项和常数xx,((1)求及a的值;(2)求xx,,,232121222项配方:x-4x+2=(x-)+(2-4)x,或2232的值( xxxx,,,32111222x-4x+2=(x+)-(4+2)x;?选取一次项和常数22
222项配方:x-4x+2=(x-)-x(根据上述材料,解22
2 决下面问题:(1)写出x-8x+4的两种不同形式的配
22y 方;(2)已知x+y+xy-3y+3=0,求x的值(
3(如图1,点O是?ABC内任意一点, G、D、E
分别为AC、OA、OB的中点,F为BC上一动点,问
(1)四边形GDEF能否为平行四边形,若可以,指
出F点位置,并给予证明. (2)(填空,使下列命题
成立,不要求证明)如图3,点E、F、G、H分别为,3(在梯形ABCD中,?ABC=,AD?BC,BC>AD,90AB、BC、CD、DA的中点.当 时,四边形
EFGH为矩形.当 时,四边形EFGH为菱AB=8cm,BC=18cm,CD=10 cm,点P从点B开始沿形.当 时,四边形EFGH为正方形. BC边向终点C以每秒3cm的速度移动,点Q从点D
开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动,设运CCD
动时间为秒.(1)求四边形ABPQ为矩形时的值;ttFHG(2)若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”,其它GGAOOE条件都不变,要使四边形PCDQ是等腰梯形,求与ktDDEECFBBBAAk的函数关系式,并写出的取值范围;(3)在移动的图3图1图2(备用图) 过程中,是否存在使P、Q两点的距离为10cm ,若存t第23题图
在求t的值. 若不存在请说明理由,
QAD
B CP
初二下数学期末
(6)如图4-123,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,将矩形沿AC折叠,点D落在E处,且CE与AB交于F,那么AF的长是_____.
图4—123
(7)如果四边形ABCD是 _____,它的对角线AC与BD互相垂直平分(只需填写一组你认为合适的条件).
(8)顺次连结四边形各边的中点所得的四边形为_____,顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得的四边形是_____,顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点所得的四边形是_____,顺次连结对角线既相等又垂直的四边形各边的中点所得的四边形是_____.
3.如图4-124,△ABC中,D为AC的中点,E、F为AB的三等分点,CF交BD于G.求证:BG=GD.
图4—124
4.如图4-125,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
图4—125
5.如图4-126,ABCD中,AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线,AQ与BN交于P,CN与DQ交于M,在不添加其他条件的情况下,试写出一个由上述条件推出的结论,并给出证明过程(要求:推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件).
图4—126
6.已知:如图4-127,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形. 求证:AN=BM
图4—127
说明及要求:本题是《几何》第二册P115中第13题,现要求:
(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在CB上,请对照原题图形画出符合要求的图形(不写画法,保留作图痕迹).
(2)在(1)所得的图形中,结论“AN=BM”是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)在(1)所得的图形中,设MA的延长线与BN相交于D点,请你判断△ABD与四边形MDNC的形状,并证明你的结论.
7.如图4-128,已知O是ABCD对角线AC的中点,过O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点.
图4—128
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)填空:不添加辅助线,全等的三角形共有_____对.
8.已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,试探索四边形ABCD可能是什么形状的四边形,并证明你的结论.
9.在正方形ABCD所在的平面内有一点P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形,具有这样性质的点共有多少个?试画图说明.
10.阅读下题和分析过程,并按要求进行证明. 已知:四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD≠BC. 求证:四边形ABCD是等腰梯形.
分析:要证四边形ABCD是等腰梯形,因AB=CD,所以只需证四边形ABCD是梯形即可,又因AD≠BC,故只需证AD∥BC即可.要证AD∥BC,现有图4-129四种添加辅助线的方法.请任选其中两种,对原题进行证明.
【思路拓展题】 做一做
国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,莲花村六组有四个村在A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图4-130中的实线部分,请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线(以下数据可供参考:2=1.414,=1.732,=2.236).
图4-130
5、(10分)如图,梯形ABCD中AD∥BC,AB = DC,AE = GF = GC (1)求证:四边形AEFG是平行四边形
(2)当∠FGC=2∠EFB时,求证:四边形AEFG是矩形
A
E
B
CGF
D
27.( 12分)如图,在△ABD和ACE中,AB?AD,AC?AE,?BAD??CAE,连接
BC,DE相交于点F,BC与AD相交于点G.
(1)试判断线段BC,DE的数量关系,并说明理由; (2)如果?ABC??CBD,那么线段FD是线段FG 和FB的比例中项吗?并说明理由.
G
E
C
22.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC=10,DE⊥BC于E,且BE=5.问线段AB与线段CD之间有怎样的关系,并给予证明. A BC
24.如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线l绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但P点必须在第一象限内,并记AC的长为t,分析此图后,对下列问题作出探究:
(1)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系?并证明你得到的结论; (2)设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围.
附加题:若将24题中的“P点必须在第一象限内”改为“P点在直线x=1上”,其他条件不变,求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标.
育才中学初二数学下学期期末考试题
(本卷共三大题,满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)每小题只有一个答案是正确的,请将正确答案的代号填入题后的括号内。
1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 ( ) A.xy2+x2y=xy(x+y) B.(x+2)(x-2)=x2-4 C.b2+4b+3=b(b+4+
3
) D. a2+5a-3=a(a+5)-3 b
x 2 - 4
2.若分式 的值为0,则x的值为 ( )
x + 2A.±2
B.2 C.– 2
D.0
26.(10分)为了建设社会主义新农村,加快农村经济的发展。我市某镇正加紧“村村通”水泥公路的建设。如图a,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图,经过多年开垦荒地,现已变成如图b的形状(点B、C、M在同一直线上),但承包土地与开垦荒地的分界小路(图b中折线CDE)还保留着,某进村水泥直路需经过E点且穿过张大爷的..这片土地,要求水泥直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时一样多,右边的土地与开垦的荒地面积一样多。(不计分界小路与水泥直路的占地面积) (1)请你按照要求写出修路方案(即作图步骤),不必说明理由,并在图b中画出相应的图形(画图工具不限)。 (2)这项工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,施工一天,需付甲队工程款1.5万元,乙工程队工程款1.1万元。工程领导小组经过测算,可有三种施工方案:①甲队单独完成这项工程刚好如期完成;②乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天;③若甲、乙两队合做4天,余下的工程由乙队单独做也刚好如期完成,在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由。
A
E
A
E
N
D
B
B
D
图a??
C
(第26题图)
图b
C??
M
27、已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,?DE?⊥BC于E,
试求DE的长.
28.(6分)如图:正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,
MN⊥DM且交∠CBE的平分线于点N, (1)求证:MD=MN;
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”,其它条件不变,
则结论“MD=MN”能成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
21、已知,如图,正方形ABCD的面积为25,菱形PQCB的面积为20,求阴影部分的面积.
22、如图,两个小滑块A、B由一根连杆连接,A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑 ..
动.开始时滑块A距O点16cm,滑块B距O点12cm.那么滑块A向下滑动6cm时,求滑块B向外滑动了多少cm?(结果精确到0.1cm,其中2?1.414,3?1.732)
24、如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,
连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH. (1) 求证:四边形AFHD为平行四边形;
(2)若CB=CE,∠BAE=600 ,∠DCE=200 求∠CBE的度数.
25、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′ 处,折痕
为EF.
(1)求证:△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.
D
B
E
C
22、如图,M是边长为4的正方形AD边的中点,动点P自A点起,由A?B?C?D
匀速运动,直线MP扫过正方形所形成图形的面积为 y,点P运动的路程为
x
x,请解答下列问题:
(1)当x?1时,求y的值;
(2)就下列各种情况,求y与x之间的函数关系式;
①0≤x≤4;②4?x≤8;③8?x≤12; (3)在给出的直角坐标系中,画出(2)中函数的图象.
28、如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点
G,则可得结论:①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明).
(1)如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF,
则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”) (2)如图③,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,
且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图④,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、
EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种,并写出证明过程.
1
x+1 (k≠0)与x轴交于点B,与双曲线y=(m+5)x2m+1交2
于点A、C,其中点A在第一象限,点C在第三象限.
(1)求双曲线的解析式; (2)求A点的坐标; (3)若S△AOB=2,在x轴上是否存在点P,使△AOP是等腰三角形?若存在,请写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
21、如图,直线y=
22.(12分)探究下列几何题:
(1)如图(1)所示,在△ABC中,CP⊥AB于点P,求证:AC2-BC2=AP2-BP2. (2)如图(2)所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点P,猜一猜AB,BC,CD,DA?之间有何数量关系,并用式子表示出来(不用证明).
(3)如图(3)所示,在矩形ABCD中,P是其内部任意一点,试猜想AP,BP,CP,?DP之间的数量关系,并给出证明.
25.如图(1)所示,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,
点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA,交AD于点Q,PS∥BC,交DC于点S,四边形PQRS?是平行四边形.
(1)当点P与点B重合时,图(1)变为图(2),若∠ABD=90°,求证:△ABR≌△CRD. (2)对于图(1),若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD?还应
满足什么条件?
≤>2>2.>”>