教学目标:了解离散型随机变量的定义,会用离散型随机变量表示随机事件,掌握离散型随机变量的概率分布列定义,掌握一些常见离散型随机变量的分布列;
教学重点:掌握离散型随机变量的概率分布列定义,掌握一些常见离散型随机变量的分布列;
教学难点:求离散型随机变量的分布列.
教学过程:
【新课导入】
1、什么叫随机试验,
2、某人射击一次,可能出现命中0环,命中1环,?,命中10环等结果,即可能出现的结果可能由0,1,??10这11个数表示;
某次产品检验,在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件,那么其中含有的次品可
新疆王新敞奎屯能是0件,1件,2件,3件,4件,即可能出现的结果可以由0,1,2,3,4这5个数表示
在这些随机试验中,可能出现的结果都可以用一个数来表示(这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中,结果是否不变?
观察,概括出它们的共同特点。
【讲授新课】
(一)、基本定义:
1、随机变量:
在一次试验中,其试验结果可以用一个变量表示,而该变量究竟取哪个值无法预先确定,即具有随机性,称该变量为随机变量。
随机变量常用大写英文字母X,Y,Z等,或希腊字母ξ,η等表示( 强调:一般说任何一个随机试验的结果都可以用随机变量来描述。
2、离散型随机变量:
随机变量ξ可能取的值可以一一列举出来(可能取的值为有限个或至多可列个),这样的随机变量称作离散型随机变量(
如:某网页在一小时内被浏览的次数;
3、连续型随机变量:
对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机
新疆王新敞奎屯变量
如,某人早晨在公共汽车站等侯公交车的时间ξ(单位:秒);
,又如某林场树木最高达30米,则林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]
新疆王新敞奎屯内的一切值
4、离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而
新疆王新敞奎屯连续性随机变量的结果不可以一一列出
新疆王新敞奎屯注意:(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数量来表达如投掷一枚硬币,,,新疆王新敞奎屯=0,表示正面向上,=1,表示反面向上
,,a,,b,a,b,,新疆王新敞奎屯(2)若是随机变量,是常数,则也是随机变量
由于涉及连续型随即变量的相关知识较复杂,因此本书中仅研究离散型随机变量。
思考:随机变量与函数有什么联系和区别?
共同点:随机变量和函数都是一种映射;
区 别: 随机变量把试验的结果映为实数,函数把实数映为实数;
联 系:试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当与函数的值域;
【讲解范例】
例1. 将一颗均匀骰子掷两次,不能作为随机变量的是( )
A、两次出现的点数之和 B、两次掷出的最大点数
C、第一次减去第二次的点数差 D、抛掷的次数
例2. 在含有10件次品的100件产品中,任取4件,可能含有的次品件数X
1) X的取值为多少?它的値域为多少?
2) ,X=0,, ,X=4,, ,X<3,各表示什么?>3,各表示什么?>
3) “抽出3件以上次品”如何表示?
课堂练习:P 1 75
(二)、离散性随机变量的分布列
x,x,?,x,?x5、分布列的定义:一般地,若离散型随机变量ξ可能取的值为,且ξ12in
x(i,1,2,?,n)P(,,x),p取每一值的概率,则称表 iii
?xx x x ξ 3n12
?pp p p P 3n21
为随机变量ξ的概率分布列,简称为ξ的分布列(
P(,,x),p也可用等式 ,.表示ξ的分布列. i,1,2,?,nii
6、任一离散型随机变量的分布列的两个性质:
n
p,1P(,,x),p,0(1),i,1,2,?,n; (2)( ,iiii,1
练习:若随机变量X的概率分布如下,则表中a的值为1/3
x 1 2 3 4
p 1/3 1/6 a 1/6
补充例题:一个口袋内装有5个同样大小的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只,以,表示取出球最小的号码,求,的分布列。
说明:求离散型随机变量的分布列的步骤:
(1)明确随机变量的所有可能取值,以及每个取值所表示的意义;
(2)利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值的概率;
(3)按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证。
【例1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下:
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 求此射手“射击一次命中环数?6”的概率(
分析:“射击一次命中环数?6”是指互不相容事件“ξ,6”、“ξ,7”、“ξ,8”、“ξ,9”, “ξ,10”的和,根据互不相容事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击一次命中环数?6”的概率(
(三)、常见随机变量分布列
1、两点分布
1,合格品,【例2】检查一件产品,令,如果该产品为合格品的概率是p,试写出随,,,0,次品,
机变量ξ的分布列(
ξ 1 0
P p 1-p
像上面这样的分布列称作两点分布列(
如果随机变量ξ的分布列是两点分布列,就称ξ服从两点分布或称(0-1)分布,而称
为成功概率( P(,,1),p
2、二项分布
例3】某厂生产某种电子元件,其产品的次品率为5%(现从一批产品中有放回地连续【
取出3件,写出其中次品数的概率分布列(
ξ 0 1 2 3
0.8574 0.1354 0.0071 0.0001 P
一般地,如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kkn,kCp(1,p),其中k,0,1,2,?,nP(,,k)=, n
得到随机变量ξ的概率分布如下:
??ξ 0 1 k n
00n11n,1kkn,knn0 ??Cp(1,p)Cp(1,p)Cp(1,p)Cp(1,p) P nnnn
称这样的随机变量ξ服从参数(n,p)的二项分布,记作ξ,B(n,p)(
3、几何分布
【例4】重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ,求P(ξ>3)(
分析:求P(ξ>3)就是求在重复抛掷一枚骰子5次中得到6点的次数大于3次的事件的概率,即出现6点的次数为4次或5次的事件的概率.
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ也是一个取值为正整数
P(A),p的离散型随机变量,如果把第k次试验时事件发生记作A,不发生记作,,Akkk
,那么“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生的概率,有 P(A),1,pk
k,1, P(,,k),P(AA?AA),P(A)P(A)?P(A)P(A),(1,p)p12k,1k12k,1k于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
??ξ 1 2 3 k
2k,1 ?? p(1,p)p (1,p)p(1,p)p P
g(k,p)称这样的随机变量服从参数k,p的几何分布,记作ξ,(
4、超几何分布
【例5】20件产品中有5件次品,从中任取3件,求:
(1) 取到的次品数ξ的分布列; (2) 至少取到1件次品的概率.
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件产品,其中恰有ξ件次品数,则事件{ξ=}发生的概率为 k
knk,CCMNM, ,. k,0,1,2,?,mPk(,,),nCN
,其中,且,,n, M,N. 称分布列 m,min{M,n},Nn,NM,N
m ξ 0 1 ?
nnmnm0,01,1,CCCCCCMNMMNMMNM,,, P ? nnnCCCNNN
为超几何分布. 如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布. 【应用举例】
【例6】某人每次射击击中目标的概率为0.2,射击中每次射击的结果是相互独立的.
(1)求他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率;
(2)求他首次击中目标射击次数的分布列,以及在5次内击中目标的概率(
【例7】 在某校的迎新年联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个纸箱里装有除颜色外完全相同的20个小球,其中黄球5个,白球15个. 一次从中摸出5个球,至少摸到2个黄球就中奖,求中奖的概率.
课堂作业:P 1,2,3,4(学生演板,评讲) 81
【课时小结】
本节课学习了离散型随机变量和连续性随机变量的定义,重点学习了离散型随机变量的概率分布列的定义和4种常见的分布列.
【课后作业】习题, 2、3 88
12.4.2离散型随机变量的期望与方差(二)
教学目标:理解离散型随即变量的期望,方差的定义,掌握离散型随即变量的期望,方差的计算公式,理解离散型随即变量的期望,方差的性质;
教学重点:理解离散型随即变量的期望,方差的定义,掌握离散型随即变量的期望,方差的计算公式
教学难点:掌握离散型随即变量的期望,方差的计算公式,离散型随即变量的期望,方差的性质及应用.
教学过程:
【新课导入】 回顾两点分布,二项分布,几何分布,超几何分布的分布列. 【讲授新课】
(一)、期望与方差的定义
1、期望
一般地,若离散型随机变量的概率分布为 ,
?xx ,x x 3n12
?pp p p P3n21
则称
E,,xp,xp,?,xp 1122nn
为,的数学期望或均值,简称期望(
它是描述这类随机变量的集中趋势的一个特征数,反映离散型随机变量取值的平均水平。 2、方差与标准差
222(x,E,),p(x,E,),p(x,E,),pD,,,,?, nn1122
称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,其中E,是随机变量ξ的期望. D,的算术平方根
,,叫做随机变量ξ的标准差,记作. D,
随机变量ξ的方差、标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. 方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小. 也就说明随机变量的稳定性越好. (二)期望与方差的性质
若η=aξ+b(其中a,b是常数),则η也是随机变量,那么随机变量ξ的线性函数的数学
E,期望等于这个随机变量期望的同一线性函数。
课堂练习:P85 1,2,P87 1
E(a,,b),aE,,b.即
2D(a,,b),aD,同理根据方差的定义可得:.
【例题讲解】
,【例1】已知随机变量的分布列
,0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求随机变量的期望、方差、标准差( ,
【例2】甲、乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数分别用ξ,η表示,根据长期的统计资料分析知,它们分布列如下: ,0 1 2 3 ξ 0 1 2 3
P 0.2 0.5 0.2 0.1 乙P 0.4 0.3 0.2 0.1 甲
问哪一台机床的质量好些,
分析:从两台机床生产所出的次品数的概率分布,很难判断哪个机床质量好,此时就需
η的数学期望来判定( 要借助于随机变量ξ,
(1) 服从两点分布的随机变量的期望与方差: E,,p,D,,p(1,p)
(2)服从二项分布的随机变量的期望与方差
设在一次试验中某事件发生的概率是,是一次试验中此事件发生的次数, p,
则E,,np,D,,np(1,p)
(3)服从几何分布的随机变量的期望与方差
11,p,,E,,D,若P(,,k),g(k,p),则 2pp
【例3】一次数学单元测试由25道选择题构成,每个选择题由4个选项。其中有且只有
。学一个选项是正确的,每题选择正确答案得4分,不作选择或选错不得分,满分为100分生甲选项对任一题的概率为0.8,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择中,求学生甲和学生乙在这次数学单元测试中的成绩的期望。
【例4】有A、B两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:
ξ 110 120 125 130 135 ξ 100 115 125 130 145 AB
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξ、ξ分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度(在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,AB
试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好.
分析: 两个随机变量ξ和ξ都以相同的概率0(1,0(2,0(4,0(1,0(2取5个不AB
同的数值(ξ取较为集中的数值110,120,125,130,135;ξ取较为分散的数值100,115,AB
125,130,145(直观上看,猜想A种钢筋质量较好(但猜想不一定正确,需要通过计算来证明我们猜想的正确性(
课堂练习:P 1,2(学生演板) 87
【课时小结】
本节课主要学习了离散型随机变量的方差与期望的定义及其性质.重点研究了离散型随机变量的方差与期望的计算,应用.
【课后作业】P 习题12.4 7,10 88
【教学后记】
期望与方差是随机变量的两个重要特征,教学时采用对比教学教学效果好.
题组25随机变量的分布列、期望与方差、正态分布
高考圈题(新课标全国Ⅱ卷-数学理)
题组25随机变量的分布列、期望与方差、正态分布
一、考法解法
命题特点分析
结合事件的互斥性、对立性、独立性以及古典概型,主要以解答题的方式考查离散型随机变量分布列、期望和方差的求解及其实际应用. 解题方法荟萃
本部分复习要从整体上,知识的相关关系上进行.离散型随机变量问题的核心是概率计算,而概率计算又以事件的独立性、互斥性、对立性为核心,在解题中要充分分析事件之间的关系.
1.在解含有相互独立事件的概率题时,首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积,这两个事情做好了,问题的思路就清晰了,接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了,如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型,就把这部分归结为用独立重复试验概型,用独立重复试验概型的概率计算公式解答.
2.相当一类概率应用题都是由掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的,我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型,这就要根据问题的具体情况去分析,对照常见的概率模型,把不影响问题本质的因素去除,抓住问题的本质.
3.求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望和方差的公式计算.
二、真题剖析
【题干】(2015新课标全国II卷)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立. 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率
【解析】(I)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散。
(II)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;
CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;
CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;
CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”;
则CA1和CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C?CB1CA1?CB2CA2
P(C)=P(CB1CA1?CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2)
由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为164108,,,, 20202020
故P(CA1)=164108, P(CA2)=,P(CB1)=,P(CB2)=, 20202020
P(C)=101684????0.48。 20202020
(点评)本题第一问考查茎叶图的使用方法及性质,第二问考查互斥事件、相互独立事件概率的求法,题目虽长,但难度不大,只要细心和耐心,得分很容易。
【题干】(2014新课标全国Ⅰ卷) 从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(?,?),其中?近似为样本平均数x,?2近似为样本方差s2. 2
(i)利用该正态分布,求P(187.8?Z?212.2);
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值为区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.
若Z~N(?,?),则P(????Z????)=0.6826,P(??2??Z???2?)=0.9544. 2
【答案】200,150 0.6828 68.26
【解析】 (命题意图) 考查频率分布直方图,样本估计总体,均值方差的计算,正态分布.
(解题点拨) (Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x?170?0.02?180?0.09?190?0.22?200?0.33?210?0.24?220?0.08?230?0.02?200
s2???30??0.02???20??0.09???10??0.22?0?0.33??10??0.24??20??0.08??30??0.02?150
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而 222222
P(187.8?Z?212.2)?P(200?12.2?Z?200?12.2)?0.6826
(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826
依题意知X?B(100,0.6826),所以EX?100?0.6826?68.26
(点评)本题全面地考查了统计学在生产实践中的应用,根据抽样统计,进行样本数据分析,进而通过样本估计总体,并对总体进行预报,充分的反映了统计的思想,本题设计很巧妙,与正态分布、独立重复试验有机结合,是一道非常好的题。
【题干】(2014全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需要使用设备相互独立。
(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X得数学期望。
【答案】0.31
【解析】 (命题意图) 考查相互独立事件、互斥事件、对立事件概率的计算,离散型随机变量及分布列
(解题点拨)记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2 .
B表示事件:甲需使用设备,
C表示事件:丁需使用设备,
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,
(I)D?A1?B?C?A2?B?A2?B?C
i????????????????P(B)?0.6,P(C)?0.4,P(Ai)?C2?0.52,i?0,1,2,
????所以????P(D)?P(A1?B?C?A2?B?A2?B?C)
??????????????????????????P(A1?B?C)?P(A2?B)?P(A2?B?C)
??????????????????????????P(A1)P(B)P(C)?P(A2)P(B)?P(A2)P(B)P(C)
??????????????????????????????
(II)X的可能值得为0,1,2,3,4,其分布列为
P(X?0)?P(?A0?)
?P(B)P(A0)P(C)
?(1?0.6)?0.52?(1?0.4)
?0.06.
P(X?1)?P(B?A0?C?B?A0?C?B?A1?C)
?P(B)P(A0)P(C)?P(B)P(A0)P(C)?P(B)P(A1)P(C)
?0.6?0.52?(1?0.4)?(1?0.6)?0.52?0.4?(1?0.6)?2?0.52?(1?0.4)
?0.25
P(X?4)?P(A2?B?C)?P(A2)P(B)P(C)?0.52?0.6?0.4?0.06
P(X?3)?P(D)?P(X?4)?0.25
P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?3)?P(X?4)
?1?0.06?0.25?0.25?0.06 ?0.38
数学期望为:
EX?0?P(X?0)?1?P(X?1)?2?P(X?2)?3?P(X?3)?4?P(X?4)
?0.25?2?0.38?3?0.25?4?0.06
?2
(点评)本题考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的概念及相应概率的计算;以考生熟悉生活事件为背景,既全面考查考生对概率知识的理解和应用,又引导考生关心身边的数学问题,形成自觉应用数学知识指导生活实践的能力,增强实践意识。
【题干】(2013新课标全国Ⅱ卷)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位:t,100?x?150)表示市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(Ⅰ)将T表示为x的函数 (Ⅱ)根据直方图估计利润T,不少于57000元的概率;
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,
需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若x?100,110?)则取x=105,且x=105的概率等于需求量落入100,110?的利润T的数学期望. ??
【答案】见解析 【解析】 (命题意图) 本题涉及频率与概率定义,均值分布列,数学期望及方差、分段函数等知识点. (解题点拨)(Ⅰ)当X?[100,130)时,T?500X?300(130?X)?800X?39000,
T?500?130?65000 当X?[130,150]时,
?800X?
3900,100?X?130所以T?? 65000,130?X?150?
(Ⅱ)由上问知,利润T不少于57000元,当且仅当120?X?150
由直方图知需求量X?[130,150]的频率为0.7,
所以下一个销售季度内的利润T不小于57000元的概率的估计值为0.7
(Ⅲ)依题意可知T的分布列为
所以ET?45000?0.1?53000?0.2?61000?0.3?65000?0.4?59400
(点评)主要有4步演算:求函数的解析式;利润T不少于57000元的概率;求分布列;求数学期望.涉及化归与转化、分类与整合等基本数学思想,能考查应用意识、抽象概括能力、运算能力.本题是概率统计应用题,体现新课改注重过程、实践与能力的教学理念.
三、高考圈题
【题干】口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的2个红球,4个黑球.现从中同时取出3个球. (Ⅰ)求恰有一个黑球的概率;
(Ⅱ)记取出红球的个数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).
【圈题理由】本题考查排列组合古典概型,离散型随机变量机器分布列,超几何分布.X的可能取值为0,1,2,再分别求出P(X?0),P(X?1),P(X?2) 即可.
【答案】(Ⅰ)
1
(Ⅱ)X的分布列为: 5
15
35
15
X的数学期望EX?0??1??2??1
21C2?C441
【解析】(Ⅰ)记“恰有一个黑球”为事件A,则P(A)???.
3
C6205
3C441
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,则P(X?0)?3??,
C6205
12
1C2?C4123
P(X?2)?P(A)?, P(X?1)???3
5C6205
∴X的分布列为
131
?1??2??1. 555
∴X的数学期望EX?0?
【题干】市二中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]. (Ⅰ)求直方图中x的值;
(Ⅱ)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若招生1200名,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;
(Ⅲ)从学校的高一学生中任选4名学生,这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
【圈题理由】结合频率分布直方图考查离散型随机变量及其分布列.(Ⅰ)由题意,可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值;(Ⅱ)再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率,再乘以样本容量即可得到此组的人数即可;(Ⅲ)求出随机变量X可取得值,利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率,列出分布列,利用随机变量的期望公式求出期望. 【答案】(Ⅰ)x=0.0125;(Ⅱ)有144名学生可以申请住宿;(Ⅲ)EX=1 【解析】(Ⅰ)由直方图可得:20?x?0.025?20?0.0065?20?0.003?2?20?1.
所以x=0.0125.
(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:0.003?2?20?0.12,
因为1200?0.12?144,
所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿. (Ⅲ)
X的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
14
P(X?0)??4
?3?
81?1??3?3
27?4???256,P(X?1)?C14??4????4??
?64, 2
2
3
P(X?2)?C2?1??3?274
??4????4???128,P(X?3)?C3?1??3?3
4??4????4???64
,
4
P(X?4)???1?1.?4???
256
所以X的分布列为:
EX?0?256?1?64?2?128?3?64?4?256
?1.(或EX?4?4?1)
所以X的数学期望为1.
,
【题干】为了解甲、乙两厂的产品质量,已知甲厂生产的产品共有98件,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克)。下表是乙厂的5件产品的测量数据:
(I)当产品中微量元素x,y满足x≥175,且y≥5时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (II)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取2件产品中优等品数?的分布列及其均值(即数学期望)。
【圈题理由】结合表格考查离散型随机变量及其分布列在求离散随机变量的期望时,一般先确定随机变量的所有取值,再求各个取值的概率,得分布列,用公式求期望即可.
【答案】(I)14;(II)E????
4 5
2142
?35,样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为35??14;
【解析】(I)因为乙厂生产的产品总数为5?
其均值为E????1??2??. 5105
四、分层训练(10题)
基础过关(第1—5题)
【题干】1已知某一随机变量ξ的概率分布列如下,且E(ξ)=6.3,则a的值为( ).
A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C
【解析】由题意得0.5+0.1+b=1,得b=0.4,由4×0.5+a×0.1+9×b=6.3,求得a的值为7.
1
【题干】2设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是μ=( ).
2
A.1 B.4 C.2 D.不能确定 【答案】B
【解析】根据题意函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点时,Δ=16-4ξ4,根据正态密度曲线的对称性,当函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5时,μ=4.
【题干】3设随机变量?服从正态分布N?3,4?,若P???2a?3??P???a?2?,则实数a等于( )
A.
73
B.5
3 C.5 D.3
【答案】A
【解析】由正态曲线的对称性知(2a?3)?(a?2)?2?3, ?a?
7
3
. 【题干】4在15个村庄中有7个村庄交通不便,现从中任意选10个村庄,用ξ表示这10个村庄中交通不便的村庄数,下列概率中等于C4C
678C10的是(15
A.P(ξ=2) B.P(ξ≤2) C.P(ξ=4) D.P(ξ≤4)
【答案】C
46【解析】由超几何分布的概率计算公式得P(?=4)=C7C
8C10,故选C.
15
【题干】5从1,2,3,4,5中选3个数,用ξ表示这3个数中最大的一个,则E(ξ)=( )
A.3 B.4.5 C.5 D.6
【答案】B
【解析】由题意知,ξ只能取3,4,5.则
)
P(ξ=3)=0.1,P(ξ=4)=0.3,P(ξ=5)=0.6.故E(ξ)=4.5. 智能拓展(第6—10题)
【题干】6甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试,若甲、乙能通过面试的概率都是
2
3
,则面试结束后通过的人数X的数学期望是( A.
43 B. 1189 C.1 D. 9
A
由二项分布期望计算公式可得E?X??np?2?24
3?3
7随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=
an?n+1?
(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(15
2
233
44556
D
解析:由题意得,aaaa5
2+612+201,解得a=4
.
于是P(12
63a=6
,故选D.
) 【答案】【解析】【题干】【答案】【解析】
【题干】8盒中装有7个零件,其中2个是使用过的,另外5个未经使用.从盒中随机抽取2个零件,使用后放回盒中,记此时盒中使用过的零件个数为X,则X的数学期望E(X)=________. 【答案】24 7
112C2C510C5210C2124【解析】X可能取值有2、3、4,P(X=2)=2=.P(X=3)=2=.P(X=3)=2=.E?X?=2?P(X=2)+3?P(X=3)+4?P(X=4)? 7C721C721C721
【题干】9甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1) 求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2) 记为比赛决出胜负时的总局数,求的分布列和均值(数学期望)
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)设事件Ai(i?2,3,4,5)表示“甲在第i局比赛结束时赢得比赛”,根据题意得:P(A2)?2241224??;P(A3)????;33933327P(A4)?21228???? 333381
44856??? 9278181因此,甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率P?
(Ⅱ)X的所有可能取值集合为{2,3,4,5}
22115????; 3333912221162P(X?3)????????; 3333332792122121110P(X?4)?????????; 3333333381
12122121852108P(X?5)?????????(或P(X?5)?1????) 3333333381998181P(X?2)?
X的分布列为
52108224E(X)?2??3??4??5?? 99818181
(文章)离散型随机变量的分布列、期望与方差
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离散型随机变量的分布列、期望与方差
虽然在各省市模拟题中,以统计的题目较少,但是在近一,两年中考查离散型随机变量的运用有明显加强之势,其原因在于,若说概率与现实生活联系紧密的话,那么离散型随机变量的分布列,期望与方差则是以概率为基础,专门为解
决问题提供了保障(
例1 某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.
(I)求第一天通过检查的概率;
(II)求前两天全部通过检查的概率;
(III)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.
4C分析 (1)由于第一天只有一件次品,所以抽到抽到正品的有,而总的9
4C抽法为,(2)欲要求出第二天通过的概率,要第二天生产的产品数,次品数,10
通过检查的概率,又因第一,二天是相互独立的,(3)欲求其期望,则首先应求
出其分布列,再运用期望公式求解(
解:(I)?随意抽取4件产品检查是随机事件,而第一天有9件正品,?第
4C39一天通过检查的概率为 … P,,145C10
4C18 (II)同(I),第二天通过检查的概率为 P,,.243C10
因第一天,第二天是否通过检查相互独立(
311 所以,两天全部通过检查的概率为:P,PP,,,. 12535
(II)记得分为ξ,则ξ的值分别为0,1,2,
224?P(,,0),,,. 5315
32128P(,,1),,,,,. 533515
311P(,,2),,,. 535
48114因此,E,,0,,1,,2,,. 1515515
探究 求离散随机变量的期望,一般要先求出其分布列,再求期望(
例2 从汽车东站驾车至汽车西站的途中要经过8个交通岗,假设某辆汽
1车在各交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是.求 3
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分析 由于汽车在途中遇到红灯是相互独立的,且满足二项分布,由二项分布有关性质不难求解(
解析 (1)?这辆汽车在第一、二个交通岗均未遇到红灯,而第三个交通岗遇到红灯
1114 ?概率P,(1,)(1,),,33327
1(2)? ?,B(8,),3
181116?,8,,,,8,,(1,), 期望E,方差D,33339
探究 在解答有关期望和方差问题时,有时也不一定非得求出其分布列,如本题,汽车遇到红灯满足二项分布,直接应用离散型随机变量服从二项分布B,(n,p)的期望公式E,,np,和方差公式为D,=npq.进行求解,所以在解答问题时,看清楚离散型随机变量是满足的何种分布,有无必要求出其分布列(
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离散型随机变量的分布列、期望、方差 复习指导
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学习要求: 了解随机变量,离散型随机变量的意义,会求简单的离散型随机变量,掌握离散型随机 变量的分布列,会求出期望、方差。 知识总结:
一、离散型随机变量的分布列
1. 随机变量:如果一个随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,可以按一 定次序列出的随机变量叫做离散型随机变量,常用 ξ, 等希腊字母表示
2. 离散型随机变量的分布列 :若离散型随机变量 ξ的一切可能取值为:a 1, a2, …… , an , …… , 相应取 这些值的概率为:p 1, P 2,…… , Pn , ……,则称下表:
为离散型随机变量 ξ的概率分布列,简称 ξ的分布列。 离散型随机变量的分布列具有的两个性质: ① P i 0(i=1,2,…… ,n, …… ) ② P 1+P2+…… +Pn +…… =1
一种典型的离散型随机变量的分布列:
二项分布:设重复独立地进行 n 次随机试验 A ,在每一次试验中, P(A)=P(0<><1), ξ为="" n="" 次试验中="" a="" 发生的次数,则="">1),>
称 ξ服从二项分布,记作 ξ~B(n,P) 注:是二项展开式
[P+(1-P)]n =+
+……
+
+
……
+
中的第 k+1项。 P 1+P2+…… +Pn =
+
+…… +
=[P+(1-P)]n =1。
二、离散型随机变量的期望与方差
1. 期望 :设离散型随机变量 ξ的分布列是:
称 a 1p 1+a2p 2+…… +an p n +……为 ξ的数学期望,简称期望,记作 E ξ。 期望的性质: ①若 =aξ+b (a,b均为常数 ), 则 E =aEξ+b。
② E(ξ1+ξ2)=Eξ1+Eξ2。 ③若 ξ~B(n, p), 则 E ξ=np
注:期望 E ξ是反映随机变量 ξ集中趋势的指标,也反映了 ξ取值的平均水平。 2. 方差 : 设离散型随机变量 ξ的分布列是
称 (a1-E ξ) 2p 1+(a2-E ξ) 2p 2+…… +(an -E ξ) 2p n +……为随机变量 ξ的均方差,简称方差,记作 D ξ。
称
为随机变量 ξ的标准差,记作
。
方差的性质: ① D(aξ+b)=a2D ξ ②若 ξ~B(n, p), 则 D ξ=np(1-p) 注:方差与标准差都反映了 ξ关于期望的稳定与波动、集中与离散的程度。
3. 期望与方差的关系: D ξ=E(ξ) 2_ (Eξ) 2
例题选讲:
例 1. 设离散型随机变量 ξ的分布列为:
分别求 2ξ+1, |ξ-1|的分布列。 解:2ξ+1的分布列为:
|ξ-1|的分布列为:
注:ξ取不同的值时, y=f(ξ) 会取到相同的值,这时要考虑所有使 f(ξ)=成立的 ξ1, ξ2,……, ξ
p 等值,则
p()=p(f(ξ))=p(ξ1)+p(ξ2)+…… +p(ξp )
例 2. 某厂生产电子元件,其产品的次品率为 5%,现从一批产品中任意地连续取出 2件,写出其中 次品数 ξ的概率分布。
解:由题意,得到的次品数 ξ~B(2,5%)。 P(ξ=0)=(95%)2=0.9025 ,P(ξ=1)=
(5%)(95%)=0.095
P(ξ=2)=
(5%)2=0.0025 因此,次品数 ξ的概率分布为: 注:一批产品可以认为数量较大,从中任意地连续取出 2件,相当于 2次独立重复试验,得到的次品 数 ξ服从二项分布。
例 3. 设 ξ的分布列为 p(ξ=k)=
,(k=0,1,2,…… ,10) , 求:(1) a ; (2) p(ξ≤ 2) ; (3) p(9<><>
解:(1)根据分布列的性质:p(ξ=0)+p(ξ=1)+…… +p(ξ=10)=1。
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(2)P(ξ≤ 2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=。
(3) P(9<><>
注:分布列可有如下几种表示形式 :
①表格,②一组等式(ξ的所有取值的概率) , ③对②进行简化表示,如本例题给出的形式。
例 4. 一批零件中有九个合格品,三个次品,安装机器时,从这批零件中随机抽取,取出的是废品则
不放回,求在第一次取到合格品之前取到废品数 ξ的分布列。
解:由题意知 ξ可取 0,
1, 2,
3
,则 P(ξ=0)=, P(ξ=1)=
P(ξ=2)=。 P(ξ=3)=。
所以 ξ的分布列如下:
说明:ξ=0表示在取得合格品之前取得 0个次品,确切的意义为取得的第一个零件就是合格品。解
此类题的一般性原则是:上一次试验若取到一个废品,则下一次试验时,总数和废品数量都应减少一个;
当取完全部废品后,下一次试验必取到合格品。
例 5. 设 ξ是一个离散型随机变量,其分布列如下:
求 E ξ、 D ξ。
解:根据离散型随机变量的分布列的性质,有:, q=1-。
所以 ξ的分布列为
∴ E ξ=(-1)×+0×(-1)+1×()=1-。
D ξ=[-1-(1-)]2×+(1-) 2×(-1)+[1-(1-)]2×()=-1。
注:求离散型随机变量的期望与方差,首先要明确随机变量的分布列,若分布列中的概率值为待定常 数时,应先根据分布列的性质求出这些待定常数,再求其期望与方差。
例 6. 交 5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样大小的球 10个,其中有 8个标有 1元钱, 2个标 有 5元钱, 摸奖者只能从中任取 2个球, 他所得的奖励是所抽 2球的钱数之和, 求抽奖人获利的数学期望。 分析:抽到的 2个球上的钱数之和 ξ是个随机变量,其每一个 ξ取值时所代表的随机事件的概率是容易获 得的。本题的目标是求参加摸奖的人获利 的数学期望,由 ξ与 的关系 =ξ-5,利用公式 E =Eξ-5可求。
解:设 ξ为抽到的 2个球钱数之和,则 ξ的可能取值为:ξ=2(2个 1元 )
ξ=6(1个 1元和一个 5元) ξ=10(2个 5元)
所以,由题意:P(ξ=2)=。 P(ξ=6)=P(ξ=10)=
E ξ=。
设 为可能的获利值,抽奖者获利的期望为:E =Eξ-5=-5=-1.4。
注:因为是先交 5元才能参加抽奖,因此要计算 E 。最终 E 的结果为负,说明摸奖者若重复这种 抽奖,平均每摸一次要亏 1.4元。同学们可以自己算一下若每次允许摸 3个球的情况。
例 7. 甲、乙两名工人加工同一种零件,每人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为 ξ, , ξ与 的分布列如下:
试对这两名工人的技术水平进行比较
分析:本题要比较的一是在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是看出次品数的 波动情况,即方差值的大小。
解:工人甲生产出次品数 ξ的期望与方差为:
E ξ=0×+1×+2×=0.7。 D ξ=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.891。 工人乙生产出次品数 的期望和方差为:E =0×+1×+2×=0.7。
D =(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.664。
可以看出, E ξ=E, 所以两人出次品的平均数相同,技术水平相当;但 D ξ>D,则乙的技术比较稳定。
3eud 教育网 http://www.3edu.net 50多万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新! 注:期望仅体现了随机变量取值的平均大小,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值
如何在均值周围变化,即计算方差,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值分散性小或者取值
比较集中、稳定。
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第十一讲:离散性随机变量的分布列、期望、方差
一、知识点回顾:
1(从函数的观点来看,P(,x),P,k,1, 2, ?,n,?称为离散型随机变量的概率函数或kk,,
概率分布。
(离散型随机变量分布列的性质 2
(1) 所有变量对应的概率值(函数值)均为非负数,即 ( Pi(2) 所有这些概率值的总和为 即 ( PPP,,,,123
3) 根据互斥事件的概率公式,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个(
值的
3(若离散型随机变量的分布列为 ,PxP,,,,,,ii
.则称 为的数学期望(它反映了离散型随机变量取值的in,1,2,3,,,E,,,
平均水平(
4(对于随机变量,称 D,,,
为的方差(的算术平方根 叫做的标准差(随机变量,,,D,,,,的方差与标准差都反映了随机变量取值的 (
EEab,,,,,,,,,,,ab5(数学期望与方差的性质:若(为随机变量),则 ,,,,
DDab,,,,,,, (
6(二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好
发生k次的概率 ,有了这个函数,就能写出它的分布列,Pk,,,,,
nnk,kk由于是二项式展开式的通项,所以称这个分布为二项分布列,记作CPP1,,,,,1PP,,,,n,,
则 EnPDnPP,,,,,,1.,~,.BnP,,,,
6. 几何分布:在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是,该事件第一次发生时所做试p
k验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量. “”表示在第次独立重复试验时事件第一,,,k次发生. 有了这个函数,就能写出它的分布列,则称这样的随机变量,Pk,,,,,
k,1服从几何分布,并记,其中,.注:如果随机变量服从几何分布,qp,,1k=1,2,3,gpqp(,)k,
1q即 , 则. Pgp()(,),,,kk,,,,ED,2pp
二、基础练习:
1(设集合的 ( B ) 是""xMP,那么或""xMxP,,MxxPxx,,,,{2},{3},
A(充分不必要条件B(必要不充分条件C(充要条件D(既不充分又不必要条件
2( 设全集?,{x,1?x <9,x?n},则满足的所有集合b的个数有>9,x?n},则满足的所有集合b的个数有>
( D )A(1个 B(4个 C(5个 D(8个
2,3(已知集合M,{(x,y),y,},N,{(x,y),y,x,b},且M?N,,则实数b应满足的条9,x
件是( D )A(,b,? B(0,b,C(,3?b? D(b,或b,,3 32232324.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( C )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5(已知集合A=,那么A的真子集的个是 15 . ,,1,2,3,4
6(设集合,,且,则实数的取值范围是 Axx,,,,{32}Bxkxk,,,,,{2121}AB,k
1,,,1k . 2
xx(2),7(设全集U=R,A=, {|21},{|ln(1)}xBxyx,,,,
则右图中阴影部分表示的集合为 . AB,,,,(0,2),(,1)
三、例题解析:
例1、袋子中有1个白球和2个红球(
? 每次取1个球,不放回,直到取到白球为止(求取球次数的分布列。(求期望和方差)。 ,
? 每次取1个球,放回,直到取到白球为止(求取球次数的分布列((求期望和方差)。 ,
? 每次取1个球,放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次(求取球次数的分布列((求,期望和方差)。
? 每次取1个球,放回,共取5次(求取到白球次数的分布列((求期望和方差)。 ,
11P,,,,1,,,12111A,A,113A223,,解: ?,, ,,1,2,3.P(,,2)P(,,3)23133AAA11332P,,,2,,,,23A3?所求的分布列是 2,A112P3.,,,,,,3 ,1 2 3 3A3 111 P 333
12??每次取到白球的概率是,不取到白球的概率是,所求的分布列33是
,n? ? 1 2 3
2n,11212121,,,,? ? ,,, ,,,,P 3333333,,,,
?
,1 2 3 4 5
23412121212,,,,,,P ,, , ,,,,,,33333,,,,3,,33
1,,? ,~5,,B,,,,3
k5,kk12? P,(,k),C()?(), ,533
其中 k,0,1,2,3,4,5.
?所求的分布列是 ,
,0 1 2 3 4 5
32808040101 P 243243243243243243
变式训练1. 是一个离散型随机变量,其分布列为 ,
,-1 0 1
12 q12,qP 2
则q , ( )
2A(1 B( 1,2
22C( D( 1,1,22
解:D
例2、 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中女生的人数( ,
?求的分布列; ,
?求的数学期望; ,
?求“所选3人中女生人数?1”的概率. ,
解:?
,0 1 2
131 P 555
?E,1 ,
4(,1),(,0),(,1),? P,P,P,5
例3 、抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次,数的期望和方差.
44555054200解:,其中.所以 ,~30,BP,,P,,,,1,,,,,,,,,ED30.30.669939927
例4 、某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生,可造成400万元的损失,现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用(单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措施后,此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85(若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用,联合采用或不采用,试确定预防方案使总费用最少((总费用,采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值).联合甲、乙,总费用最少为81万元 例5、抛掷两个骰子,当至少有一个2点或3点出现时,
就说这次试验成功.
(?)求一次试验中成功的概率;
(?)求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差.
解(?)一次实验中,设事件A表示“试验成功”,
4445则 PAPAPA(),()1().,,,,,,6699
5,~B(4,),其概率分布列为:(?)依题意得: 9
5205480?,,,,,,,,,ED4,4. 999981
、 一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以例6,表示取出球的最大号码,求的分布列( ,
3解:随机变量的取值为3,4,5,6从袋中随机地取3个球,包含的基本事件总数为,事件“”,,3C6
312包含的基本事件总数为,事件“”包含的基本事件总数为;事件“”包含的基本,,4,,5CCC133
1212事件总数为;事件包含的基本事件总数为;从而有 ,,6CCCC1514
3C13,,,,,,P3320C6
12,,CC313,,,, P4320C6,,12CC314,,,,P53,,10C6
12CC1?随机变量的分布列为: 15,,,,P632C ,63 4 5 6
1331 P 2020210
例7、 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话,已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5,电话C、D占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有部电话占线,,试求随机变量的概率分布. ,
解:
,0 1 2 3 4
0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 P
例8、将编号为1,2,3,4的贺卡随意地送给编号为一,二,三,四的四个教师,要求每个教师都得到一张贺卡,记编号与贺卡相同的教师的个数为,求随机变量的概率分布. 解: ,,
,0 1 2 4
9861 P 24242424
四、巩固练习:
1. 对于一组数据 (i=1,2,3,?,n),如果将它们改变为,c(i=1,2,3,?,n),其中c?0,xxii
则下面结论中正确的是( B ) (A)平均数与方差均不变 (B)平均数变了,而方差保持不变
(C)平均数不变,而方差变了 (D)平均数与方差均发生了变化
(,2. 已知的分布列为(如表所示), 且设,则的期望值是( A) ,,,2,,1
2921(A) (B) (C)1 (D) ,3636
3. 设随机变量ξ的概率分布列为
2iai,(),1,2,3,P(ξ=i)=则a的值是( B ) 3
17271727()B()A()C()D 38381919
4. 已知,E=8,D=1.6,则n与p的值分别为( A ) ,~(,)Bnp,,
(A)10和0.8 (B)20和0.4 (C)10和0.2 (D)100和0.8 5. 从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本,“每次抽取一个个体时任一个体a被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体a被抽到的概率”为( D )
111111(A)均为 (B)均为(C)第一个为,第二个为 (D)第一个为,第二个为 363663
6. ?某高校为了解学生家庭经济收入情况,从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本;?某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验(I(随机抽样法;?(分层抽样法(上述两问题和两方法配对正确的是( B)
(A)?配I,?配? (B)?配?,?配 (C)?配I,?配I (D)?配?,?配?
7、某校高中生有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( D )
(A)15,5,25 (B)15,15,15 (C)10,5,30 (D)15,10,20 8、一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是____1.2_____.(用数字作答)
9、如果袋中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后放回,连续摸取4次,设为取得,红球的次数,则的期望, ( B) ,E,
312191A( B( C( D( 4357
10、布袋中有大小相同的4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球得1分,
52取到一只黑球得3分,试求得分的概率分布和数学期望(解: ,7
11、假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时,全天停止工作,若1周的5个工作日里无故障,可获得利润10万元,发生1次故障仍可获得利润5万元;发生2次故障所获利
;发生3次或3次以上故障就要亏损2万元,求1周的期望利润是多少,(精确到0.001). 润为0
解:用随机变量表示1周5天内发生故障的天数,则服从地一项分布~B(5,0.2), ,,,
5从而, P(,,0),0.8,0.328
14,P(,2),0.205 P(,,1),C0.2,0.8,0.410,5
,P(?3),0.057设为所获得利润,则 ,
,E,10×0.328,5×0.410,0×0.205,2×0.057
,5.215(万元)
12. 如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,其中. ABCDABCD,ABPA,,2,61111
(1)求证:;(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的大小; PABD,BDDB,1111
(3)求到平面PAD的距离. B1
zx解:以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系 ABADAAy11111
?(1)设E是BD的中点,P—ABCD是正四棱锥,? PE,ABCD
又, ? ? ? ? PE,2ABPA,,2,6BDAP,,,(2,2,0),(1,1,2)P(1,1,4)11
即 PABD,BDAP,,01111
(2)设平面PAD的法向量是,? mxyz,(,,)ADAP,,(0,2,0),(1,1,2)
, 取得,又平面的法向量是,? m,,(2,0,1)n,(1,1,0)BDDBy,0,x,2z,0z,111
10BAm,,?(3), ?到平面PAD的距离. BA,,(2,0,2)Bmn,1016,,arccos11cos,,,,,,mnd,,5555mmn
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