一、复习回顾:(3分钟)
1、直线和平面的位置关系;
2、直线在平面内的正射影;
3、空间两条直线所成的角。
二、概念形成(15分钟)
一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为
。 下面我们研究一条斜线与平面的夹角
1、如图,OA是平面的斜线段,,斜足为 ,AB??
垂足为 ,则斜线段OA在平面内的正射影为 。
2、如图,OM是平面内过点O的任意一条直线,OA与OB所成的角 OB与OM所成 的角 OA与OM所成的角
3、考察?、?1、?2之间的关系:
在直线OM上取单位向量m,则BA?m,即BA?m? 因为OA?OB?BA,所以OA?m 因此OA?m=OB?
m??cos?2, cos??
? 所以 cos??cos?1cos?2
探究:在上式中,?1和?的大小关系
得到结论:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中
最小的角。
定义:斜线和平面所成的角 (或称斜线和平面的 夹角)
练习:
1、已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60?,这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45?,求斜线和平面所成的角的大小。
2、已知正方体ABCD?A1B1C1D1中,写出对角线BD1分别与平面AC、平面BA1、平面BC1所成的角,并求这些角的余弦值。
三、概念深化 如图,设向量AB在平面?内的射影为A/B/,且直线AB
的夹角为?,则
例题1 ?BAC在平面?内,过该角的顶点P引平面?的斜线AP,且使?PAB??PAC, 求证:斜线AP在平面?内的射影平分?BAC
练习:课本108页 练习A 1
例题2:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,求BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值
练习:如图,已知三棱锥S-ABC中,SA?平面ABC,BC?AC,?ABC?30?,AC=1,SB=23,求直线SC与平面SAB所成的角
四、课堂总结:
1、知识 2、方法 3、注意的问题
五、达标检测:
1、已知长方体ABCD?A!B1C1D1中,AA1?AD?a,AB?2a,求对角线BD1与长方体各面所成的角的余弦。
2、已知一个平面通过一个角的平分线,求证角的两边与这个平面的夹角相等。
直线与平面的夹角
制作人: 使用时间: 节
备课组长签字:_________ 班级:________学生姓名:________
学习目标:理解斜线和平面所成角的定义,理解最小角定理。
1、直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直,这条直线与平面的夹角为________
(2)如果一条直线与一个平面_____________________,这条直线与平面的夹角为0.
(3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做_____________________________. 图中_______________表示斜线OA 与平面α所成的角。
(4) 你能找到θ与θ1 之间的关系吗 5)一条直线与一个平面夹角的取值范围
2、最小角定理:
斜线和______________________所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中_______________的角。
AC , 平面BA ,3、已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1写出对角线BD 1分别与平面1
平面BC 1所成的角的余弦。
直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角
主备人 贾迎迎 审核人 霍锋利 2012-2-15 学习目标 :
1.理解直线与平面夹角的概念;
2.会求直线与平面的夹角。
学习重点:直线与平面的夹角的概念,求直线与平面的夹角。
学习难点:求直线与平面的夹角。
数学思想:数形结合思想,转化化归思想。
课前预习:
1.。
如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为 。
2.平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢?
3.怎样求直线与平面的夹角?
4. 能否借助平面的法向量求直线与平面的夹角?若用法向量与平面所成的角,则它与直线与平面所成的角之间有什么关系?
已知OA是平面?的斜线段,O是斜足,线段AB垂直于?,B为垂足,则直线OB是斜线OA在平面?内的正射影。设OM是?内通过点O的任一条直线,OA与OB所成的角为?1,OB与OM所成的角为?2,OA与OM所成的角为?。下面我们 用向量的运
算来研究三者之间的关系。
斜线和平面的夹角的定义:
斜线和平面的夹角的范围:
典型例题: ∠BAC在平面?内,过该角的顶点A引平面?的斜线AP,且使∠PAB=∠PAC,求证斜线AP在平面内的射影平分∠BAC及其对顶角。
变式练习:已知正方体ABCD?A1B1C1D1,写出对角线BD1分别与平面AC,平面BC1,平面BA1所成的角,并求这些角的余弦。
总结与反思
课堂检测:
1.直线l与平面?内共点的三条直线a、b、c分别成相等的角,那么直线l与平面?所成的角为
A、30? B、45? C、60? D、90?
2.若直线L与平面α成角为60?,直线a在平面α内,且与直线L异面,则直线L与直线a所成的角的取值范围是 ( )
A、[0,120? ] B、[60? ,120? ] C、[60?,90? ] D、[0 ,90? ] 3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BA1与平面AA1C1C所成的角是 ( )
A 、60? B、30? C、45? D、75?
课后作业
课本课后练习A 1,3
B 1,2,3.
直线与平面的夹角
§2.3.1(2)直线与平面所成的角
编者:刘淑娟
组长评价: 教师评价:
1:理解并掌握直线与平面所成的角的定义;
2:熟记直线与平面所成角的范围,会求直线与平面所成的角; 重点:求直线与平面所成的角
难点:求直线与平面所成的角的方法
使用说明: (1预习课本,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法;
(2)不做标记的为C级,标记★为B级,标记★★为A级。
预习案(20分钟)
一.知识链接
平面的垂线:垂直于平面的直线。
平面的斜线:与平面相交但不垂直的直线。
射影:过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影。 二.新知导学,
1. 什么是直线和这个平面所成的角。 2. 范围是什么?
探究案(30分钟)
三.新知探究
问题1.直线与平面所成角的定义
,叫做这条直线和这个平面所成的角
问题2 .直线与平面所成角的范围? 注:l ⊥α时,所成角为90°;
P
O
l // α时,所成角为0°。
问题3. 两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线一定平行吗?
- 1 -
四.新知应用
【知识点一】.定义法求直线与平面所成角 例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求: (1)直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值。 (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角;
规律方法:求直线与平面所成的角一般要有三个步骤:
(1
(2)证明:点明所求角;
(3)计算:在直角三角形求出所求角。 变式(1)求正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值。
变式(2)已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在平面α内的射影之间的距离为3,求直线AB和平面α所成的角。
A 1C 1
A
C
A
B
C
D
- 2 -
例2 :如图,PD⊥平面ABCD,AD⊥PC,AD // BC,PD : DC : BC = 1 : 1 :2,求直线PB与平面PDC所成角的大小。
例3:如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC = 90°,AB = BC = 1。
(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小;
(2)若直线A1C与平面ABC所成角为45°,求三棱锥A1—ABC的体积。
规律方法:通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是线角的关键.
【知识点二】虚高法求直线与平面所成角
例4:已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,?BAD?90?,
P
D
C
A B
BC∥AD,PB⊥平面ABCD,PB?BA?BC?2,AD?1.求BD
与平面PCD所成角的正弦值.
- 3 -
规律方法:
五.我的疑惑
(把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面,先组内讨论尝试解决,能解决的划“√”,不能解决的划“×”)
(1) ( ) (2) ( )
)
(通过解决本节导学案的内容和疑惑点,归纳一下自己本节的收获,和大家交流一下,写下自己的所得)
随堂评价(15分钟)
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测(时量:15分钟 满分:30分)计分:
1.在单位正方体ABCD?A1BC11D1中,求直线AC1所成的角. 11与截面ABC1D
- 4 -
A 1C 1
C A
§2.3.1(2)课后巩固
1、正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长相等,则AC1与面BB1C1C所成角的余弦值为( )
A
B
C
D
2、正四棱锥S—ABCD,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是( )
A、300 C、600
B、450 D、750
3、在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A、
B
C
D
4、正三棱锥S—ABC中,D为AB中点,且SD与BC所成的角为450,则SD与底面所成角的正弦值为( )
A
、
2
B、
1 C
、 33
D
、
3
5、把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为( ).
A、 90° B、60° C、 45° D、 30°
6、如图,已知PA?正方形ABCD所在平面,
且PC?24,PB?PD?求PC和平面ABCD所成的角的正弦值( ).
6
B、4 C、 D、
4
A、
6 6
AB
7、等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面?内,若AC与?所成的角为300,则斜边上的中线CM与?所成的角为 。
- 5 -
8、线段AB和平面?成300角,A、B与平面?的距离分别为6cm和10cm,那么AB的长度为 。
9、A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点
_ A
O
,AC?BC?1,CD?AC与平面BCD所成角的大小;
_B
_ O
_ C
_ D
10.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点, 且PA?AD?3,AB?2,
求:(1)直线MN与平面ABCD所成角的正弦值;
(2)直线MN与平面PAB所成角的正弦值;
11.如图,ABCD是矩形,PA?平面ABCD,PA?
AD?a,AB?,
E是线段PD上的点,F是线段AB上的点,且
线EF与平面ABCD所成角的正弦值.
PEBF1
??.求直EDFA2
12.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
- 6 -
直线与平面的夹角
201220-13高 数二学修选2 -1 导学案
编
人:制黄光 赵中发燊 秦维
利斌 孙审人核:
领
导字签:
号编:2
1级班:
小:
姓名组:
教
评师价
:
线与直面的夹平
【角用说使明及法指导】学 .1精先读遍一材教修选2- 的1 P012P—17,0用红色笔进勾行画再;针预对习学自二次读并回答阅 2;若预习完可.合对作探部究认真审题分做,不的正完课再做时对于选,作分 部CB层可 不做以 3.;出自己找的疑惑需要和论的问题准讨课上备讨质论疑 。4.须掌必的内容:平握法向面量求,法线直平面的与夹角定义求法和 。学【习标目】1掌.直线握和面平夹的定角,会义定义用三余、公弦、法向量式线求角。 2面.主自学习、合作流,探交向究量法解决直线平和面夹的角律规法方 3。.激情投入,验向体量解法立体几何决题的问趣。乐一、预习自 学: 础基识梳理 1.斜线与知平面夹的角义定斜:线和它平面在内的 .2线斜平面夹角的范与围 两异是面线夹直的角围 范所的成角。问题 导引 题 1问: 棱三 P-锥BAC,PA 面⊥ AC,∠ACB=B0°,9你能找 。 到余弦公三式 cso ?? cos?1 ? oc?s 。2中 ?,?1和? 2吗
?【
习自预测】 .设1线段 AB=,直l线 BA 平面与 所成的?为 ?角, 段线 AB在 面平? 内的射影 为 长 3的(是) A .=l6 ? ,0= B. l°= ,6 =9?°0 . lC=6 =6?°0 . l=6D ? ,=4° 5.在2方体长AB C-D1BAC111D ,AB中3,A==4D,A1=5,体A对角 B线D 1分别与平面 A、平C面 A1、 平B B面C1 成角所余的值弦 为 、、。 3 .已平面内知一条直线的A 与B面的一条斜平线AC 夹角的为6 °,直线 A0B 与斜 线AC 在面内平 射的 AD影的夹 为 45角°则斜线 ,AC 平与面成所角的小大 为。二、合作探究 【例:1】如 所示图,ACDB 是角梯直, 形A D// B C,?A C B? 9 ,0 AS 平面?A CBD, DA
??
SA
?A ?BB C ?。1求
:(1SB) 底与面ABCD 所 成角的;( )S2 与底面 CACD 所成角的正B值;切 3)(S 与平CSB面D所成 角正弦值。的
1 , 2
SB A D
C;
直线与平夹面范角是围 ; 两非零量向夹的范角是
3.围三余弦公 co式s ? ?osc?1? cos ? 中, ? 2,?和1?2 分 是别所成 角的 所成的、、角所成的角 。 ;问题2 : 如果c os ??c s?o ?1 cs?o 2 中? 2 ? 090, 你 能得 出 什么 结论 ?三和线定理垂何关系有
?? ?,和1 ? 2的范围分别
是、
、
4
. PA, PB, C P从 是P点出 发三条射的,线每两射条的夹角线为均
00 6若∠A,BP的 角平分为线A ,D么那在c o? s ?cso1 ? ?co?s2 ,中
?,1和? 2? 分别应对角是的
、 直、 线C P平与 面PBA所成角的 余弦值 5为请用三.余公式 c弦s?o ?ocs1?? c so 2 ?证明材教P1 0 7例的 题,问题 3 :直线若AB 与 平 面?
所 平面? 的法 量向为 。成的角为 ?,
? ?n,直 线 B A向量 与n 所成角的为 ,?则? 与 ? 有何系关?c so 与?si n ?何有系关?
【
B 选C做 】如图示所在正三,棱 柱AC ?BA B1C1 中, AB1 ? 求直线 AB1 侧和面 AC 1所的角.
成A
21 AA 1
A,
1BA
A
C
1
A
我疑问:
的三
、堂小课结1. 识知面 方.2学思数方法想
CB