第二节第
三 章 维向 量 空间
n向
的线性量相关性
一、向量
、向组与量矩阵 二线、相关性性的概
三念线性相、关性判的
定杨
新建
第二
节向量 线性的关相性
一
向量、向量组与矩阵、若干个 同数的维列量向(或维数同的行量向) 组所成的集叫合做向组.量 例如 矩阵 ? (Aa j )m?in有 个mn列维量向aj a1 a2 an a11 ?12a? a1 ?j an1 ? ??? a2 a 22 1? a2 j ?a 2 n A??? ? ?? ? ?? ?? ? ?a ? ? ? mj aam n? ? 1 amm2
三 第章维 向 量 间 n空
向量
组 a1 ,a 2,?, an 称为阵矩A的列量向.
组建杨新
第二 节向的量线相关性
性类似, 矩地A阵? aij )m?(n又 m有n维行个量
第向 三章 维向 量 空 间n
a11 ?12 a ? a? 1 a2 22 ? ? ?A? ??a i a1i2 ? ??? ? a m1?a 2
T 1m T2
a?1n ? ??a 2n? ? ??? ? a n i ? ?? ?? ?a m ? n
T?m
T ?2
? T1
?
T iT
m?
向
量组? , ?, ,? 称…矩为阵的行A向量组.杨建
新
第
二节 向的线性相关性
反量,之由限个有向所组量的成量向可以组 成一构矩个阵
第 . 章三 维向 量 间 n空
mT个维列向量所组n的向量 组成1 ,? 2?, , ? ?m, 构成一个n ?矩m阵A ?
( ?1, ? ,?2?,m )m个
n行维向所组量 的向成量?组 1, ?2 ?, m ?
,T
T成一个构 m?n矩阵
?
? 1 ? T ?T ??? 2? B??? ? ?? ? ?T ? ? ?m
建杨
新第二节
量的向性相线性
关
性线方程的组向表示量第
三 章 向 量 空维间 n
? a
11 x ? 11a 2x2 ?? ?a1 nx ?n 1 , ?b? a 12x1 ?a 22 x 2 ? ?? 2a nx n? b2, ? ? ????????????? ? ??am 1 x 1? am 2 x2 ? ?? a mn x n ?b m .
a
?x ax1 1
2
2?
??
a
xn
n
?
b
方程
组增与矩广阵列的量向之间组一一对.
杨应新
建
第二节
向 量的线性相性
关定义1 给向量定组 A ?:1 , ? 2,?, ? m, 对于何一任
组实数 k,1 k,2 ,? k,m向量 第
三 章 维 向 空 量间n
k1 1? ?k?22 ? ? ? k?m
称为向m量组的一线性个合,
组1,kk2, ,? m 称k这个线为性组的系合数 。
杨
新
建
第
节 二量向线的相性关性
定给量向A组: 1 ?? 2, ?,,?m 和 量b,向 如存在果一组 数?1, ?2, ?,? m ,
第使 三章 维向 量 空 间
n
?b ?1?1 ? ?2 ? ? ?? 2?m m称则向量是b量组向的A性线合组,或称向量
b是量组A的向性线表。示
线性方程即组有解
;x1?
1? x2 ? 2 ? ??xm? m? b
意 1注 向量可零以由何一个任空向非组量性表线示
建杨
2新向 组量中任何的个一量都向可这个向量组用性表线。
第二节 示向的量性线相
关性
定义2
设两个向量有组 A : ? , 1? 2 ? , , ? m及B: ? 1 ? , 2,? , ? .
sB若中的组每向个量能由都向 组A线性表示量则,第
三章维 向量空 间 n
称
量组 B向由向量能组 线A表性. 示若向组量A 与向量 B能相互组性线示表,则 称这个两向量组价等,
记作
{1 ,?? 2 , , ? m ?} ?{ ? 1 , ?2,?, ?s }
向量组
间等价关的满足系P051
(1)反性; 身()2对性 称; (3传)性.
杨建递新
第
二 向量节的线相性关
若性记 ?A(? 1 , ?2,?,? m 和B ) (?b1 , b2 ,?,b s . B) 能由线A表性示即对每,个量b 向 ( jj? ,1,?2, s存
第 )三 维 向 章量 空间
n
在k数1 j k , j 2? k ,j m ,使
b j? k1j ?1 k ? j2?2 ?? k? mj ?
? m1k j ?? ? ? k2j ? ? ( ? ,? 2 1?,, ?m ) ?, ? ??? k ? ? mj? ?杨
新
建第二
节向 的线量相关性性
而从
第三 章 维 向 量空间
? n1k1? k21 ? (b1 b, ,?,2bs )? ? (1 ?, 2, ,? ?m )?? ? ? k? m1
k1
k 222? k 2m
?
k1s ? ?? k2 s ??? ?? kms? ?
数系矩阵 矩.阵 mKs?? (k j i)称这一为性线表的
示
杨建新
二节 向量的第性线关相性
定理1 设向量
A组? :1,?2 , , ?? 与向量b
m( ?1? 2,, ? ,?m b,是都维n量)向,记阵矩第
三章 维向 空量间 n
? A( 1?,?2 , ?,? m) ,x? ( 1,x x2 ? , x m ,T) B,? ? (,? 2, ? 1, ?m, b) 那,下么列命题价等:
1(向量b能由)量组向 A性线示;表 ()线性2程方 组Ax? 有解;
b注意:此时
性方程组 线x ?A b解 x的 ,1x 2?,, mx即 组为合数系。
杨建
新
第二
节向量的 线性关性相
二、
线性相性的关念
概定义3 定向给组量 A : 1 ,?? 2, ??, m 如,存在不
全为零果数k1 的,k 2 , ?,k m 使
三第 维 章 量 空向 间
n
k? 1 ? 1 2?k 2? ? k ?m?m ?
0称向量组则A是线相关性的否,则称它线无性关 注. 1.意 若? 1 , ? 2 , , ?? n线性无, 则只关当
有
?1? ? ?? n?0时, 才有 1??1 ?2? ? ?2 ? ?n??n 0 ?成立 .2
.对任一向量于 组,不是 性无关线就线是性关相
.杨建新
第二
节向量的线 相性关
性3、
向组只量包一含个向量 ?,时 ? ? 若 ,0则说 ? 线 相关 性 若,?? 0 ,说 ?则线性无 关
第.三 章 维 向量 空 n
间
4包含、零量的任何向向量 组是性线相关 的.5、对于
有两含向量个向量组,它线性相的关 的充条件是两要量向的分量应成比例对几何,意 义两是量共线;三个向向相关的几量何意义三是向量 面。
共
杨新建
第二节
量向的线相性性关
例
3
证
已向量知? 组 ,1 ?2,? 3 性线无 , 关b1 ? ?1 ? ? 2,
有x设1, x 2, x3使
b2 ? 2 ?? ? 3, 3b ?? 3? ? 1 试证,b1, 2 , b3线性b无 .
关 第三 维 向 量 空 间 n章
x
11 b? x22 b ?3x3 b 0
?即x ( ? 2 x? 2 (?? 3)? x3( 3 ?? ? 1 ? 0) 1 ,?1 ?? 2)
亦
即 ( x 1 x? )?31 ( ?1x ? 2 x? 2) ( x? 2?x 3 )? ?3 0 因,? ,1?2 ?,3 线性无,故有 关 x1 ??x ?30, 程组方有只零 解x 1?x 2 ?x3 0, ? ??x 1 x?2 ? ,0 以向量组所b1 , b2, b线性无3关 .? x? x ? .0 ?2 3杨
新建
第
二节 向量的性相关性线
例
1明证 n 单维位坐标量组
向
第 三 章 维 向量 空间 n
T ???1 ?(1,, ?,0) ??0 T? ?( 0 , 1, ?,0 ) ? 2?? ?????? ?T? ?( 0, 0 ,? , )1 ?
n性线无;关将任并意n向量 (a1维, a 2 ,表示成 ?1 ,? 2 , ?,n 的线 组合性
, n )
a
T杨
建
新
第二
节向量线性的相性
关解
存设在组数 一1 k, 2 k,
,kn , 使
得1k 1 ? ?k? 22?
第 三章 维 量 空向 间n
?kn ?n ?
0 0,)T
按照向
量的乘、数加运算法得可
(k1
, 2 k,
kn, ) ? T0,(0
根据,向相量等的义,定即
有
k ? 1k2? ?kn ?0 所 以 1?, ? ,2 , ? n性线关无对 于意任给定n维的量 向a1( ,a2
,,a )
T
n(
1 ,a 2a ,
an ),? a ? 1 1 ?2a?2
?
杨建新
T?
an ?
n
第二节
向的线量性相关性
2 例讨向论量 组 ??? 1 ,1, 1 ??? ? 0, 2, 5 ? T ? ??1 ,,3 6 ?的线性关相
性T
T
解第
三 章 维 向 量 空 间n
设假在 存x,y, z,使
得
x ? ?y?? z ?? 0 TT ( ? zx , ? 2 y ?x z3 ,x 5 y ??6 z ) ? ( , 0, 0) 0
即1 ? x ? 0 ? 1z y?0 ? 1? x? 2 y ? z 3 0 ?1?x ? 5 y ? 6 z? ?0
容验证 x易1, ==1,yz = 1是-上述程的方一非组零解
?1 ? ?1 ? ?1)( ? 0?
建新杨
第
二 节量的线性相关性向
三、性相线性的关定
判定1理 量组?向 1 ? 2 ,?, ? m 线性,关的相要充件条是第
三章 向维量 空 间n
其中至
有一少个向是量其向余的线量组性. 证明合 充分 性 a1 , 设 2a, ? ,a 中m有一个量(向如比 能由余向量其线表性.示即有
a
m)
故a
?m 1?? 1 ?2?? 2? ???m ?? m1 1? 1? ? 1 ?2? 2?? ? ?m ???1 m 1?? ?? ?a1 m ?0
?故 , ?12 , ? ? m 线,性相关.杨建
新
因?1 , ?2 ,? ,?m ? , 1?? ? 1 m个数不这全为,0
第二节
向量 线性的关相性
必
要性
设 1 ?,? 2 ?, ,? m 线 相性,
关则不有为0全的 数k1 k, 2,?, k ,m
使 三 第 章维向 量 空 间 n
1k 1?? k ?22 ?? ?k m? m? 0 因 k. 1,k 2 , ,? km中 至有少个一为0不,不
妨设 k1? , 则有0
k? ?2 ?k 3?? km ?? ? ?1? ? ?2 ?? ? ? ?3? ? ??? ?? m .? k
1 ?? 1 k? ?1k?
即 ?
1 能由其余向量线性表示. 定理2
n设维向量 组1 ? ,?2 , ,? ?的一m部分
杨个新
建量向组性相关线,则该 向量组也线相关性;
第二 向量的线节性关相性
?1 , 2 ,?? ? ,m性无线, 关推论:设 维n向量
组则其一任部分向组也 线量性关无;
第三 章维 向 量 间 空n
理定及推论为 : 一个向量意若组线有性相关的部 分组,该向则 组线性相关。量别特地,含 零向有量的量向必 组性相关线等。价地 若,个向量一组性线关 ,无则它任何部的分组 都线无性关。
杨新
建
第节二向量的 性线相性
关证
:设明量组向为1…? ?s ?s+1,, ?…m,中其一 部分向,设量1?… s线性?相关即有,不全为0一的 数组k1…ks ,
使第三 章 维向 量 间空 n
?
k1
1? k2?? ? .2.. ?k s? s ?
0k1?1
? 2? 2 k? .. . k?s ?s ? 0 ?s?1 ? . .. 0?? m?
0因k1,k为2… ks全不0为从而k,1k2 …,k,0s…,0,这m 个也不全数0,为所以?1 ?s…,? +1s,…? m 线性相。
关
杨新
建第二节
向 的线性相关性
量理定3:设向量 A组: ? 1 , ? 2 ?,, m 线?无关 ,而性
向量组B
: 1?, ? ,? m,b 线相关 , 则向性量 b必
能第 三 章维 向 量 空 间
n
向量组由 A性线表 , 示且表示式唯一是的 。证设 k 11 ? ?2k? 2? ?k?rr ? k ??0 ∵
线性A无关,向量而组线性B关, 相∴k≠0,(否则A线性与无关盾矛 即有
)k
?1 ? 1k? 22? 1k k2 ??? ?1 ? 2 ? ?? kk
∴β?可 A线由性示表
.杨新建
?
r? kr? ? k?kr ? r?? k
第二节 向的量性相关线性
下证
一唯性:
设
第
三 维章向 量 空 间
n? ?? ?1 1? 2? 2? ?? ?
??1 1? 2? ?2
??
r? ? r ; ?r? r??
? ?r ? ? r? ? r 0
?两
相减有
式?
?1 ?? 1??1 ? ?2?? ? ?2 ?2
?? ?
1? 1?? , ?02 ?2 ?? , 0∵线A性无,关 ?? 1? ? 1 ?2 ? ,? 2
,?
r ?? r 0
?
r ??? r 即达式表唯一.杨
建
新
第节 向量的线二性关性
定相理4 设n维:向组 量?1, ?2 ,? ?, 线s性无,关
且可由向量组? 1, ? 2,?, ? t 线表性,
第示三 维章向 量 空 间
n杨建
新
则s ? t.
第
二 向节量线的性关相
性
论推:设向量组 11?, 2 ??, ?,s是向 组量
?
, 1 ?2, ?, ?t线 组性合,且s t?,
则第 三章 向 维量 间空
向n量组?1 ,? 2,?, m必?线性关相。
推2论R:n中意n任? 1 个向量线必性关。
相杨新
建
二节第向量的线性 关相
补性充容(内自读)定
理1设 向组量A: 1,?? ,2 ,?? m 与 量b向
第三章 维向量 间 n空
( 1,? 2? , , ? m ? b都,
是n向维)量记,阵 A ? (矩?1 ? ,,2 , ?? m,) x?( x1 ,x , ?,2 x )m
,
TB ?( ?1 , 2, ? ,? ? ,mb ) , 那么列下题命等价 :
(
)向量b1能向量组 由A线性示;表 ()线2方性组 程A ?xb 有解; (3)R ( )A ? R(B ).
注:意时此性线方组 A程 x?b 的解解x1 ,x2 ? , x,即m为组合数。系
建杨新
第
节 向二的量线性相性
关若 C?nm ? m? s As?n,B矩阵则C 的向列量 组由能阵矩 的列向量A组性线示, B为这表一
表 三第章 维 向量 间 空n
的系示矩阵:数
?
b 1 ? ? 1b1 (2c1 , c2 ,? ,cn ) ? ? ( ,1 2 ?,,?? s?)? ? ?b ? 1
s1b b22 2 ?ks
2? 1n ? b? ?2b n? ? ??? ks ?n?
杨
新
建
第节二向量的线 相性性关
同时,
的行向C组量能由B的 行向量线性表组示 A,为这表一的示数矩系 :阵
第三章 维 向 空 量间n
? ?1 T? ? a1 1?T? ?? ? ? 2 a?21 ? ? ? ?? ?? ?? ?? T ??a ? m ? m1
?a2 a1 22? am 2
? 1a s ? ? ?1T ? ?? ? T ?a2 s ?? 2 ? ?? ? ?? ??? ?? T ? ?am ?s ??? s
杨?建
新
二节 向量的第性线相关性
矩阵A经设初行变等换成B变则B,每的个行 量向是A都行向量的组线的组性,合即B行的量向第
章三维 向 量 空间 n
组能由
A行的向组线量表性. 示初由等换可逆变性 知可,A行向量组的能B由行的量向线性组表示 于,A的是向量组与行B的行量组向价等
.类
,若似矩阵经初A等变换变列成,则AB的 列量组向与B列向量的等价.组
杨建新
二节第向量 线的性关相性
三第章 维向 量空间 n
有
题问可通过Email问:
m询thagasouh@sia.ncom
建新
杨
4向量组的线性相关性
第四章 向量组的线性相关性
本章不仅要讨论向量组的有关理论,建立向量组秩的概念,还要沟通矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,并抽象出向量空间的概念,最后以此为背景完整的处理线性方程组的解的结构理论。
本章中线性相关性是一个较难理解和掌握的概念,学习中应注意其在二、三维向量的几何解释。
§1 n维向量
在高等数学中曾介绍了二、三维向量的概念,即用二、三元数组描述了一系列物理现象,如力所作的功,刚体旋转运动中的线速度问题等。但要更广泛的应用向量这个工具只考虑二三维空间就不够了。如研究卫星在太空中的运行状态时,不仅要关注它的几何位置,还需知道它的表面温度、压力等物理参数,即至少要用六数组(t, x, y, z, τ, p)。因此有必要拓广向量的概念,引入由n元数组构成的n维向量,并抽象出向量空间的概念。
定义1 n个有次序的数a1, a2, ?, an所组成的数组成为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.
注? 分量全为实数的向量称为实向量。分量不全为实数的向量称为复向量。我们只研究实向量。 ? n维向量分为行向量和列向量两大类,前面也说过这两类分别就是行矩阵和列矩阵,因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质。在本章中,向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算。为叙述方便,我们约定:在不特别声明时我们说到的向量均为列向量。
? 同于分块阵中所述,我们仍用小写黑体字母a, b, ?, ? 等表示列向量,用aT,bT,?T,?T表示行向量。例如,e1?(1,0,?,0)T,e1?(0,1,0,?,0)T,?,e1?(0,?,0,1)T统称为n维单位向量。
? 当n = 2时的二维向量就是平面解析几何中的向量 —— 即有大小又有方向的量,并且平面
即大小相等、方向一致的向量认为是同一个向量,如右图中 P1P2?引入一平面坐标系:P(x,y),P1(x1,y2),P2(x2,y2),因为
x?x2?x1,y?y2?y1, 这种自由向量与平面上的点P(x, y)构成一一对应,称之为向量的坐标,即?(x,y)T,这
种二维向量的全体构成的集合R2?{ r = (x, y)T ? x, y ?R }称为二维向量空间。
完全类似地,可将二维向量推广到三维空间中去。 当n = 3时,由于空间中可随意平行移动的有向线段与空间中的点P(x,y,z)构成一一对应,故我们也称点P的坐标(x,y,z)为向量坐标,
即?(x,y,z)T,这种三维向量的全体构成的集合R3?{ r = (x, y, z)T ? x, y, z ?R }称为三维向量空间。由于三维向量r =(x,y,z)T与空间中的点P(x,y,z)是一一对应的,三维向量的集合常常就类比成点的集合,例如我们知道ax+by+cz = d在空间中表示一个平面,故我们也称三维向量的集合
? = { r = (x, y, z)T ? ax+by+cz = d}
为三维向量空间R3中的平面。
当n > 3时,虽然n维向量就不再具有这种几何形象了,但我们仍沿用这些说法和记号,全体n维向量构成的集合
Rn?{ r =(x1,x2,?,xn)T? x1,x2,?,xn?R }
称为n维向量空间,n维向量的集合
? = { r =(x1,x2,?,xn)T?a1x1?a2x2???anxn?b}
称为n维向量空间Rn中的n-1维超平面。
§2 向量组的线性相关性
一、 线性表示
1、线性表示
我们称由若干个同维数的列(行)向量构成的集合是一个向量组。
TTT例如,m?n矩阵A的m个n 维行向量可构成一个行向量组 —— 矩阵A的行向量组?1,?2,?,?n,
T???1??反过来,任给一组n维行向量,都可以构成一得矩阵A????,因此它们构成一一对应; ??T??m?
类似地,m?n矩阵A的n个m维列向量构成的列向量组a1,a2,?,am也与A构成一一对应,故我们也用大写字母表示向量组为 A:a1,a2,?,am. 比如,n阶单位阵E对应的列向量组就是n维单位向量组E:e1,e2,?,en.
在讲分块阵时曾建立了线性方程组Am?nx?b用其系数阵A的列向量组来表达的等价形式
x1 a1 + x2 a2 + ? + xn an = b ,
现在要改用向量的语言来描述这个表达式,定义如下 定义1
给定向量组A:a1,a2,?,am, k1, k2, ?, km是任意一组实数,我们称向量
k1 a1 + k2 a2 + ? + km am
是向量组A的一个线性组合,k1, k2, ?, km称为组合系数。
给定向量组A:a1,a2,?,am,和向量b,若存在一组实数 k1, k2, ?, km,使得
b = k1 a1 + k2 a2 + ? + km am ,
即b是向量组A的一个线性组合,我们称向量b可由向量组A线性表示(或线性表出)
注? 任一个n维向量a = (a1, a2, ?, an)T 都可由n维单位向量组e1,e2,?,en线性表示:
a = a1e1 + a2 e2 +? + an en .
? 在几何角度看线性表示,即在二维向量空间中
来看线性组合: 若 b = k1 k2 ? 0)
则b在a1与a2张成的平面上。 ? 实际上,用方程组的语言来描述向量之间的线性表示就是
向量b可由向量组A线性表示 ? 方程组 x1 a1 + x2 a2 + ? + xn an = b 有解
? Am?nx?b有解
? R (A) = R (B) .
即有结论
定理1 向量b可由向量组A:a1,a2,?,am线性表示 ? 矩阵A = (a1,a2,?,am)的秩等于矩阵B =(a1,a2,?,am, b)
2、两个向量组的等价
定义3 设有两个n维向量组A:a1,a2,?,am,B:b1,b2,?,bs,若向量组B中每个向量都可由向量组A线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示;若向量组A与向量组B可以互相线性表示,则称这两个向量组等价。
注? 显然向量组的等价也是等价关系,即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. ? 若向量组A可由向量组B线性表示,则A中的每一个向量都可以用B中的向量线性表示,用方程组的语言说就是:方程组Ax = O中的每一个方程都可以用方程组Bx = O中的方程线性组合得到,所以Bx = O的解都是Ax = O的解;若向量组A与B等价,则反之也成立。所以
向量组A与B等价 ? Ax = O与Bx = O是同解方程组。
? 既然一个向量b可由向量组A线性表示可等价地表示成方程 b = k1 a1 + k2 a2 + ? + km am , 那么若向量组B可由组A线性表示,则对组B的任意向量b j,有
?k1j???k2j? j = 1,2,
,s.
b j = k1 j a1 + k2 j a2 + ? + km j am ??a1,a2,?,am??????kmj????k11k12?k1s???k22?k2s?k? ?b1,b2,?,bs???a1,a2,?,am??21 ? ?????????km1km2?kms?
我们称矩阵K m?s =( kij)B = AK ? B的列向量组可由A的列向量组线性表示。
又B T = K TA T,这表明矩阵B T的列向量组可由A T的列向量组线性表示,即
B?KA ? B的行向量组可由A的行向量组线性表示。
特别地,若An?mKm?Bn?m,且表示矩阵K为满秩阵 ? A的列向量组与B的列向量组等价;
KnAn?m?Bn?m,且表示矩阵K为满秩阵 ? A的行向量组与B的行向量组等价;
例1 设n维向量组a1,a2,?,an可线性表示单位向量组e1,e2,?,en,求证这两个向量组等价。 证 因为a1,a2,?,an可由单位向量组e1,e2,?,en线性表示,再由已知条件知,结论成立。 ▋ 单位向量组e1,e2,?,en是很有特点的一个向量组,从几何的观点来看(如下图中的i, j, k),它们中的任何一个向量都不能由其余的向量线性表出,也可形象地说:任一
向量“突出”于其余的n–1个向量生成的“空间”之(见右图)。我们
如何用数学语言来描述、即如何抽象这个几何特征? 我们以三个向量
为例来分析看看。设有a1,a2,a3,我们的问题是:
a1可否表示为a2,a3的线性组合?
a2可否表示为a1,a3的线性组合?
a3可否表示为a1,a2的线性组合?
这三个式子能否用一个式子表达?只需验算 k1a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0有无非零解?即是否存在不全为零的数k1 , k2 , k3,使 k1a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0. 这个问题的抽象就是本节的第二个重要概念:
二、线性相关性
1、线性相关的概念与基本性质
定义4 给定向量组A:a1,a2,?,am,若存在不全为零的数k1, k2, ?, km,使
k1 a1 + k2 a2 + ? + km am = 0 ,
则称向量组A是线性相关的。否则称它为线性无关。
注 a1,?,am线性无关 ? 当且仅当k1 = ? = km= 0时,k1 a1 + ? + km am = 0才能成立 。
k???10例如,k1 e1 + k2 e2 + ? + km em = 0 ? ??,所以n维单位向量组是线性无关的 (P.101例1).
??km?0
基本性质:
01 k a = 0:只含一个向量a的向量组,若a = 0,则它线性相关;若a ? 0,则它线性无关。 02 任一含有零向量的向量组线性相关.( k1 a1 + ? +ki0 +? + km am =0).
03 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例。
( ∵k(a1,a2,?,an)?l(b1,b2,?,bn)?(0,0,?,0)
? (a1,a2,?,an)??l(b1,b2,?,bn) (k? 0) ). 0注 由3可看出,线性相关的几何意义就是: 两个向量共线,三个向量? 共面。
例2(P.102例3) 设向量组a1,a2,a3线性无关,b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a1,讨论向
量组b1,b2,b3的线性相关性。
解 设 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0 ? (k1 + k3)a1 +( k2 + k3) a2 +(k1 + k2) am = 0
∵ a1,a2,a3线性无关, ∴ k1 + k3= 0,k2 + k3= 0,k1 + k2 = 0
101∵ 011??2?0 ∴ k1 = k2 = k3 = 0, ∴ b1,b2,b3 线性无关。
110
用定义判定向量组的相关性实质上就是利用解线性方程组的方法,具体步骤如下:
(1) 设出所讨论向量组的零组合式;
(2) 将已知条件代入(1),以从找出组合系数所满足的方程组;
(3) 由此方程组有无零解判定所求线性相关性。
2、线性相关性的判定
我们先讨论一下线性相关与线性表示的关系。设向量组A:a1,a2,?,am(m≥2).
若向量组A线性相关 ? 有不全为零的数k1, k2, ?, km使 k1 a1 + k2 a2 + ? + km am = 0 ,
不妨设k1 ? 0 ? a1 = ?k(k2 a2 + ? + km am ) ? a1可由a2,?,am线性表示; 1
反之,若A中有一个向量可由其余m–1个向量线性表示,不妨设为am,则存在实数?1,?2,?,?m?1使 am = ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1 ? ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1 - am = 0,
因为?1,?2,?,?m?1,?1 这m个数不全为零,所以向量组A线性相关。
综合以上讨论可得到一个利用线性表示判断线性相关性的重要结论:
a1,a2,?,am(m≥2)线性相关 ? A中至少有一个向量可由其余向量线性表示。结论 向量组A:
再换一个角度,从线性相关的定义可看出:
向量组A:a1,a2,?,am线性相关 ? 方程组A k = O有非零解,其中k = (k1, k2, ?, km)T, ? R (A)
我们沟通了向量组的线性相关性、矩阵秩、方程组有解三者之间的关系,可用矩阵的秩判定向量组的相关性,叙述如下:
定理2 向量组A:a1,a2,?,am线性相关 ? R (A)
A线性无关 ? R (A) = m .
注 这使我们可用初等行变换的方法判定向量组的相关性。
例3 试讨论n维单位向量组的相关性。
解 ∵E =(e1,e2,?,en)的行列式E?1?0, ∴R (E ) = n ,由定理2知n维单位向量组线性相关。 推论 任意n个n维向量线性无关 ? 由它们构成的方阵A的行列式不等于零,或R(A) = n. 例4(P.102例2) 已知a1?(1,1,1)T,a2?(0,2,5)T,a3?(2,4,7)T,试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性。
?102??102???解 (a1,a2,a3)?124?022? ? R(a1,a2,a3)= 2 ? a1,a2,a3线性相关; ?????157??055?
? R(a1,a2)= 2 ? a1,a2线性无关。 ▋
我们在从其它角度介绍几个相关性的判定条件,它们都可以由定理2证得。
定理3(1) 若向量组A:a1,a2,?,am线性相关,则向量组B:a1,a2,?,am,am?1也线性相关; 反言之,线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。
注 结论可以推广,在增加有限多个向量时结论也成立,它实际上是从向量组整体与部分的关系判断相关性,可简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关。用方程组的语言来说就是部分方程里有多余方程,整体组就有多余方程,
证 记 A =(a1,a2,?,am),B =(a1,?,am,am?1) ? R (B)≤R (A) +1,
由条件及定理2知,R(A) = m ? R (B)
定理3(2) 若m个r维向量线性无关,则对应的m个r+1 维向量也线性无关。
注 结论可以推广: r 维线性无关的向量,添加n-r个相应分量组成的n维向量仍旧线性无关,且可添加在任何位次。 它实际上是从向量维数的增加与减少的关系判断相关性, 可简述为:无关组,添加分量后仍无关;反言之,相关组,减少分量后仍相关。
证 记 A r?m =(a1,a2,?,am),B (r+1) ?m =(b1,b2,?,bm) ? R (A) ≤ R (B) ≤ m,
∵ A线性无关,∴R(A) = m ? R (B) = m ? B线性无关 ▋
定理3(3) 当m > n时,m个n维向量线性相关。
注 从向量个数与维数的关系判断相关性,可简述为:向量个数大于维数时必线性相关。 因为向量个数?未知量个数,向量维数?方程个数,则定理3(3)就是关于齐次线性方程组有解的一个结论:
当未知量个数 > 方程个数时,齐次线性方程组必有非零解。
证 记m个n维向量a1,a2,?,am构成矩阵Am?n,则 R(A) ≤ n, ∵ n
? a1,a2,?,am线性无关。 ▋ 定理3(4) 若线性无关的向量组添上一个向量就线性相关的话,则添上的向量可由这个向量组唯一地线性表出。
注 用方程组的术语说就是非齐次线性方程组有唯一解的结论,因为向量组线性无关即它构成的矩阵的秩 = m,添一个就线性相关即用添的向量作齐次项的方程组有解,由有解判定定理可知必有唯一解。
证 记 A =(a1,a2,?,am),B =(a1,a2,?,am, b) ? R(A)≤R(B), ∵ A线性无关, ∴ R(A) = m;另一方面∵B线性相关 ? m≤R(B)
在以上的讨论中,经常采用将向量组构成矩阵,然后通过矩阵秩的性质来说明问题,很麻烦。自然地有想法:能否将矩阵秩的概念直接移植到向量组中来,从而直接应用向量组的秩来说明问题。也可以这样想,既然向量组、方程组和矩阵之间关系密切,语言相通,那么矩阵秩的概念在向量组中的体现是什么?这就是下节要讨论的内容。
§3 向量组的秩
一、概念与基本性质
定义5 设有向量组A,若在A中能选出r个向量a1,?,ar,满足
① 向量组A0:a1,?,ar线性无关;
② A中任意r+1个向量(若有r+1个向量的话)都线性相关,
则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组,简称最大无关组,最大无关组所A0含向量个数称为向量组A的秩。
注? 最大性是指再添一个就线性相关,由上节定理3(4)知,A可由A0线性表示;反过来,因为A0的每一个向量都在A中,所以A0可由A线性表示,由此得向量组的最大无关组有下述基本性质:
01 任一个向量组A与其最大无关组A0等价。
0 2线性无关向量组的最大无关组即它自身,其秩= 它所含向量的个数。
? 一个合理的规定可以作为最大无关组的第三个基本性质:
03 只含零向量的向量组的秩为零。
定理4 矩阵的秩 = 它行向量组的秩 = 它列向量组的秩。
证 仅就列向量组证: 设A =(a1,a2,?,am),R(A) = r, 并设A的r阶子式Dr ? 0,
则由定理2及定理3(2)知,Dr所在的r个列向量线性无关;
同理, ∵A中所有的r +1阶子式均为零, ∴ A的任意r+1个列向量线性相关,
∴Dr所在的r个列就是A的列向量组的一个最大无关组 ? A的列向量组的秩等于r.
类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于r. ▋
注? 定理4沟通了矩阵的秩与向量组的秩之间的关系。且向量组A:a1,a2,?,am的秩也记为R(a1,a2,?,am),或R(A).
? 由定理4的证明可看出:A的最高阶非零子式所在的列就是A列向量组的最大无关组,所在的行就是A行向量组的一个最大无关组。这告诉我们两个信息:① 可借鉴求最高阶非零子式的方法求最大无关组——初等变换的方法,下面专门再细谈; ② 因为最高阶非零子式一般不是唯一的,所以最大无关组一般也不是唯一的(参见P.105例如例2)。即有最大无关组的第四个基本性质:
04 向量组的最大无关组不惟一。
例5(P.106例4) 求n维向量空间R n的一个最大无关组及R(R n).
解 因为n维单位向量组E线性无关,再由定理3(3)、定理3(4)可知,E就是R n的一个最大无关组,从而R(R n) = n.
二、最大无关组和向量组的秩的求法
求具体数字矩阵的最大无关组和秩时,主要有以下两个方法:
① 逐个考察法 —— 即验证符合定义,当秩为2时很好用,只需找两个不成比例的向量即可。 ② 初等变换法 ——列摆行变换法:借鉴求最高阶的非零子式,求最大无关组,把向量组列摆作 行变换将矩阵化为梯形阵即可求出秩;只要再在阶梯的同一高度上取一个向量,即可得到极大无关组。
?2?1?112??11?214?例6 设矩阵A????,求矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无?46224??36?979??
关组的列向量用最大无关组线性表示。
?11?214??解 ∵ A? ?1?110?
(参见上章第一节引例),∴R(A) = 3,且可取非零行首元所在的列000???00000?向量组a1,a2,a4为最大无关组(?10?104???a??a1?a2又∵ A??01?103?, ∴ 3a5?4a1?3a2?3a3. ?0001?3??00000?
(为什么?列摆相当于解方程:k1a1 + k2a2 + ? + k5 a5 = 0
??k1?k3?k5
? ?k2?k3?3k5?3k5?k4?, 分别取k3,k5?1, 0和0, 1即得。)
注 求列向量组的秩时,必须将每个向量列摆,作行变换,将向量行摆作行变换不行!反例: 设a1?(1,0,0),a2?(1,1,0),a3?(2,2,0),显然秩是2,但
100100?r-2r?100100??a
1??32???a??110
110?1100? 002??????220210?100?10?0a???3??
? a1,a3线性无关,矛盾。
三、线性表示与向量组秩的关系
定理5 若向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大与向量组A的秩。
证 设B的一个最大无关组为B0:b1,?,br,A的一个最大无关组为A0:a1,?,as,往证:r≤s . ∵B可由B0线性表示,A可由A0线性表示,∴B0能由A0线性表示,即存在系数矩阵Ks?r = (kij),
?k11?k1r?使 (b1,?,br) = (a1,?,as)????, ???ks1?ksr?
反证法。若r>s,则方程组Kx = 0系数矩阵的秩R(K)≤s
注 若向量组A也能由向量组B线性表示,则s≤r,即有
推论1 等价向量组的秩相等。
注 推论1的逆命题不成立,即等秩的两个向量组不一定等价。① 你能举一个反例吗?② 能否加强一点条件使得结论成立?(加上线性无关即可)
例7 证明任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。仅等价结论不成立
证 略。
注 这实际上也是定理5的一个推论。
推论2 设Cm?n?Am?sBs?n,则R(C)≤ min {R(B),R(A)}.证 设矩阵C和A用其列向量分别
表示为 C?(c1,?,cn),A?(a1,?,as),而B = (bij),因为
?b11?b1n? (c1,?,cn)?(a1,?,as)????, ??b?bs1sn??
所以矩阵A的列向量组可由C的列向量组线性表示,由定理5知 R(C)≤R(A);又因为CT?BTAT, 由以上证明知,R(C T )≤R(B T ) ? R(C)≤R(B)。
综合以上知R(C)≤ min {R(B),R(A)}. ▌ 注? 推论2给出了一个关于秩的非常重要的不等式!它是定理5的矩阵表达形式。
? ,推论的证明很典型,是用向量组解决矩阵问题的一个很典型的例子
推论3 若向量组A的部分组B满足:
(1) 向量组B线性无关;
(2) 向量组A能由向量组B线性表示;
则向量组B是向量组A的一个最大无关组。
证 设向量组B含有r个向量,则R(B) = r,由条件(2)及定理5知R(A) ≤ r ,即向量组A中的任意r+1个向量线性相关,再加条件1可知,B是A的最大无关组。
注 推论3是最大无关组定义的等价形式。
例7(P.109例6) 设向量组B可由A线性表示,且它们的秩相等,证明向量组A与B等价。 证一 只需证A可由B线性表示 设它们的秩为r,并设它们的最大无关组分别为A0:a1,?,ar和B0:b1,?,br,则B0能由A0线性表示,即存在r阶方阵K r,使得
(b1,?,br)=(a1,?,ar)K r ,
∵R(b1,?,br) = r,由推论2知,R(K r )≥R(b1,?,br) = r
? R(K r ) = r ? K r可逆
-1? (a1,?,ar)=(b1,?,br)K r
? A0可由B0线性表示
? A可由B线性表示。 ▌
证二 设同上。∵B可由A线性表示,A与B的合并组(A, B)可由A线性表示,又因为A是(A, B)的部分组,所以A可由(A, B)线性表示,因此A与(A, B)等价 ? 向量组(A, B)的秩也等于r,因为B0线性无关,且恰含有个向量,所以B0 就是组(A, B)的一个最大无关组 ? B0也与(A, B)等价 ? B0与A等价 ? B与A等价。 ▌ 注? 两种证法都是利用重要结论:A与B等价 ? A0与B0等价。
? 证一实质上利用的是习题12的结论:线性无关组B0用A0线性表示的可逆性。
? 证二实质上利用的是结论:A0、B0都是合并组(A, B)的最大无关组。
?23???54??0?2??6?4?(a,a)?,(b,b)?例8(P.110例7) 已知12证明向量组a1,a2与b1,b2等价。 ????,12?11?53????3?19?5????
?证一 (分析:由(a1,a2)与(b1,b2)的秩都是?不能认定它们是等价的,但它们有相同的标准型??O?.) ??E
往证存在2阶方阵X,Y使得(b1,b2)?(a1,a2)X,(a1,a2)?(b1,b2)Y,即解矩阵方程。
?23?54??102?1??0?26?4??01?32??2?1? (a1,a2,b1,b2)???? ??,取X???32?,则有(b1,b2)?(a1,a2)X, ????11?53??0000??3?19?5??0000?
–1∵X?1?0,∴X可逆,取Y = X 则有(a1,a2)?(b1,b2)Y,这表明a1,a2与b1,b2可相互线性表
示,所以结论成立。 ▌
证二 只需证明经初等行变换后,(a1,a2)T与(b1,b2)T有相同的行最简形。
T?a1??20∵ ??aT??????2??32
T?b1???56??bT??????2??44?13??10?2???1?1?01???4?2??4?3?2??4?, , ?59??10?2???3?9???01?4
所以结论成立。 ▌
证三 显然向量组a1,a2线性无关,b1,b2也线性无关,又由
??11?53??01?32?(a1,a2,b1,b2)??? 0000??0000??
可知R(a1,a2,b1,b2)= 2,所以a1,a2与b1,b2都是向量组(a1,a2,b1,b2)的最大无关组,从而等价。 ▌
注 注意此例的三种解法的思路。
矩阵的初等(行)变换 向量的运算方程组 000??????≤≥≥≥≥≥≥. En∴∴∴∴例6????a1,?,asa1,?,asR(A)R(C)≤ min {,R(A)} ≥R()
A?1A?1A?1A?1n- r n-rn-rn-rk1,abbbbbbbx矩阵方程组Ak = O有非零解,其中k = (k1, k2, ?, km)T ???????????????????????? AA
④④④④④DTTT可由线性表示可由线性表示
DABBBB000000FFAABBBBBBCCCCCXXXXXXXXXXYYYYYYYYYHDnrDOOOOOPPRREEEEEXXYYY ??????? k2, ?, kmk1, k2, ?, kmk1, k2, ?, kmk1, k2, ?, kmk1, k2, ?, a1a1?1,?2,?,?m?1,?2,?,?m) = A:RRRRR ()()()()() ()()
?kk ~iijjjjjjjmmmmmmmmmmnnnnnnnnnnnnttttttttttkkccccbssssssrrrrrrrrrrrrrrr ?1,?2,?,?m
①①①①②②②②③③③③③④④⑤⑤?????? aijaijaijbij ?????§~~~ R(A) R(A) A?1x1 a1 + x2 a2 + ? + xn an = b x1 a1 + x2 a2 + ? + xn an = b k1 a1 + k2 a2 + ? + km am因为不含第行的r阶子式线性方程组 系数矩阵和增广矩阵?? k1 a1 + k2 a2 + ? + km am = 0 ,am = ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1 , k1 a1 + k2 a2 + ? + km am = 0 , k1 a1 + k2 a2 + ? + km am = 0 ,A: A:
b1,?,brb1,?,brb1,?,bra1,?,asa1,?,asa1,?,asa1,?,as
均可逆 同解 (行) 梯形阵(B4)???定理r = n 时 有唯一解(齐次时即唯一零解);r
a11
解。D?a12a22
?
an2a21?an1?a1n?x?x?2x?x?41234x?x3?4??a2n?x2?x3?x4?0??1 ?x2?x3?3 § ?x??3???4?x4??3???ann?0?0
am = ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1 am = ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1 am = ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1
4、向量组的线性相关性
一、选择题
1.设α1=[1,2,1]T , α2=[0,5,3]T , α3=[2,4,2]T ,则向量组α1, α2, α3的秩是( )
A .0 B.1 C.2 D.3
2.若向量组α1=(1,t+1,0),α2=(1,2,0),α3=(0,0,t +1)的秩为2,则实数t=( )
A .0 B.1 C.2 D.3
3.设α1, , αs 为n 维向量组,且秩(α1, , αs ) =r ,则( ).
A .任意r 个向量线性无关 B.任意r+1 个向量线性相关
C. 该向量组存在唯一的最大无关组 D.该向量组在s>r时,有若干个最大无关组
4.设A 为m ?n 矩阵,则齐次线性方程组AX
A .m >n 时,方程组仅有零解 2=O 有结论( )
B .m
C .若A 有n 阶子式不为零,则方程组仅有零解
D .若A 中所有n - 1阶子式不为零,则方程组仅有零解
5.设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解,则以下结论正确的是( )
A .η1+η2是Ax =b 的解
C .k η1是Ax =b 的解(这里k ≠1) B .η1-η2是Ax =b 的解 D .η1-η2是Ax =0的解
?1??1??a ? ? ? ?6. 若向量组α1= 0?,α2= 1?,α3= b ?线性无关,则有( )
c ? 0? 0???????
A. a =b =c B.b =c =0 C.c =0 D.c ≠0
7.向量组α1,α2,…,αs 线性相关的充分必要条件是( )
A .α1,α2,…,αs 中至少有一个向量为零向量
B .α1,α2,…,αs 中至少有两个向量成比例
C .α1,α2,…,αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D .α1,α2,…,αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
8. 若向量α1=(1, a ,1) T ,α2=(0,a ,1) T ,α3=(1,1,1) T 线性相关,则a =( )
A. 1 B.0 C. -1 D.2
9.设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解,则以下结论正确的是( )
A .η1+η2是Ax =b 的解
C .k η1是Ax =b 的解(这里k ≠1) B .η1-η2是Ax =b 的解 D .η1-η2是Ax =0的解
10. 设A 为m×n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是( )
A .A 的列向量组线性无关
C .A 的行向量组线性无关 B .A 的列向量组线性相关 D .A 的行向量组线性相关
11.设A 为m×n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( )
A .A 的列向量组线性无关
C .A 的行向量组线性无关 B .A 的列向量组线性相关 D .A 的行向量组线性相关
?x 1+x 3=012.齐次线性方程组? 的基础解系含( )个线性无关的解向量 x +x =04?2
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:有n -r 个线性无关解向量,n 是未知量的个数,r 是系数矩阵的秩
二、填空题
1. 设α1=(1, 0, 3, -5) T , α2=(1, 2, 1, -3) T , α3=(1, 1, 2, -4) T , α4=(1, 2, 1, 2) T ,则该向量组的 秩为______
2. 向量组α1=(1,5,3,11), α2=(4,2,7,-3), α3=(0,0,0,0),α4=(3,1, -2,13) 的线性相关性是:____
3. 向量组α1=(1,5,3), α2=(4,2,7),α3=(1,2,11), α4=(3,1, -2) 的线性相关性是:________
4. 已知α1=(t ,1,1), α2=(0,2,3),α3=(1,2,1) 线性相关,则t =5. 当k ≠-9时,向量组α1=(1, 2, -3), α2=(-2, -3, 6), α3=(3, 5, k )线性无关
6. 设α1=(1, -1, 1) T , α2=(-2, 3, 1) T , α3=(1, 1, t ) T 。则当t = ____时向量α3能由向量α1, α2 线性表示
7. 设齐次线性方程组AX =O 的基础解系中含有三个解向量,其中A 为4?5矩阵,则r (A ) =
8. 向量组α1=(1, 2, 1, 3) T , α2=(4, -1, -5, -6) T , α3=(1, -3, -4, -7) T ,α4=(1, 4, -5, -1) T 的秩为_________
三、计算题
1. 求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示。 a 1=(1, 1, 3, 1) T , a 2=(-1, 1, -1, 3) T , a 3=(5, -2, 8, -9) T , a 4=(-1, 3, 1, 7) T
2. 设向量组α1=(1,-1,2,1),α2=(2,-2,4,-2),α3=(3,0,6,-1), α4=(0,3,0,-4).
(1)求向量组的一个极大线性无关组;
(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.
3. 设向量组α1=(1, -1,2,1,0), α2=(2,-2,4, -2,0), α3=(3,0,6,-1,1), α4=(0,3,0,0,1), 求向量组的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表出
T T T T
四、证明题
1. α1, α2, α3线性无关,β1=α1+α2+α3,β2=α1+2α2+3α3,β3=α1+3α2+4α3 ,证明向量组β1, β2, β3也线性无关。
2. 如果向量组
性无关
3. 证明:
4. 已知向量组α1, α2, α3线性无关,证明向量组α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1线性无关。 α1, α2, , αs 线性无关,试证:向量组α1, α1+α2, , α1+α2+ +αs 线α1, α2, α3线性无关?α1-α2, α2-α3, α3-α1线性无关.
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
1.1向量组的线性相关性的概念与判定
1.1.1向量组的线性相关性概念
定义1: 给定向量组A?(?1,?2???,?m),如果存在不全为零的数 k1,k2,???,km,使
k1?1?k2?2?????km?m?0
则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关的.
定义2:若向量组A中每一个向量?i(i?1,2?,t,都)可由向量组B???1,?,?s?线性表示,则称A可由B线性表示。若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.
性质:向量组的等价具有1)反射性;2)对称性;3)传递性.
定义3: 向量组??1,?,?s?称为线性无关,若它不线性相关,或:由
k1?1?k2?2???ks?s?0,
则必k1?k2???ks?0。即:x1?1?x2?2???xs?s?0只有唯一零解.
定义6:一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话).所得的部分向量组都线性相关.
定义7:一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.
?1,?,?r?线性无关???1,?,?r?秩?r. 性质:1.向量组?
?1,?,?r?线性相关???1,?,?r?秩?r. 向量组?
2.等价向量组的秩数相同.Pn中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若?1,?2???,?m线性无关, 则只有当?1??2????m?0时, 才有
??11??2?2??????m?m?0
成立.
注意3: 向量组只包含一个向量? 时,若??0则说?线性相关; 若??0, 则说? 线性无关.
注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.
注意5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.
1.1.2线性相关性的判定
向量组?1,?2???,?m (当m?2时)线性相关的充分必要条件是?1,?2???,?m中至少有一个向量可由其余m?1个向量线性表示.
证明: 充分性. 设?1,?2???,?m中有一个向量(比如?m)能由其余向量线性表示,
即有
?m???11??2?2??????m?1?m?1
也就是?1?1??2?2??????m?1?m?1?(?1)?m?0因?1,?2,???,?m?1,(-1)这m个数不全为0,故?1,?2???,?m线性相关.
必要性. 设?1,?2???,?m线性相关. 则有不全为0的数k1,k2,???,km,使
k1?1?k2?2?????km?m?0
不妨设k1?0, 则有
?1?(?kkk2)?2?(?3)?3???(?m)?m. k1k1k1
即?1能由其余向量线性表示. 证毕
1.2 向量组线性相关性的性质和应用
1.2.1向量组线性相关性的性质:
1.含零向量的向量组必线性相关,即??,?1,?,?s?线性相关.
?1???0??1???0??s??
2.一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关。(即:部分相关,整体相关)
3.若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量线也线性无关。(即:整体无关,部分无关)
4.???线性相关????,(???线性无关????)
?,??线性相关?????(??P),或??,??线性无关?????(??P) 5.?
6.Pn中单位向量组线性无关.
7.向量组?i?(ai1,ai2,?,ain)(i?1,2,?,s)线性相(无)关?齐次线性方程组①?a11x1?a21x2???as1xs?0?ax?ax???ax?0?121222s2s有(无)非零解。 ?? ? ??
??a1nx1?a2nx2???asnxs?0
8.若向量组? ??(a,aii1i2,?,ain) i?1,s ?线性相关.则向量组
? ?'?(a,aii1i2,?,ain?1) i?也线性相关. ?
1.2.2线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方程)是线性相关的; 当方程组中没有多余方程, 就称该方程组(各个方程)线性无关或线性独立的.
结论: 向量组A线性相关等价于齐次线性方程组
x1?1?x2?2?????xm?m?0
即Ax=O有非零解, 其中A?(?1,?2???,?m). 由此可得:
定理1: 向量组?1,?2???,?m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵
A?(?1,?2???,?m)的秩小于向量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m.
下面举例说明定理1的应用
例1. 已知
?1??0??2???????1??1,??2,??23?????4?,
?1??5??7???????
试讨论向量组?1,?2,?3及?1,?2的线性相关性. 解: 分析 对矩阵(?1,?2,?3)作初等行变换变成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩
阵(?1,?2,?3)及(?1,?2)的秩, 利用定理1即可得出结论.
?102???(?1,?2,?3)??124?r3?r1?157???r2?r1~?102?r3?5r2???022??055????102???022?? ?000???
可见, R(?1,?2,?3)?2, 故向量组?1,?2,?3线性相关, 而R(?1,?2)?2, 故向量组?1,?2线性无关.
例2. 已知向量组a1,a2,a3线性无关, 试证向量组b1=a1+a2, b2=a2+a3,b3=a3+a1线性无关.
证一: 设有x1,x2,x3,使
x1b1+ x2b2+ x3b3=0
即 x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)= 0, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3 = 0,
?x1?x3?0?因向量组a1,a2,a3线性无关, ?x1?x2?0由于此方程组的系数行列式?x?x?0?23
101
110?2?0,
011
故方程组只有零解, 即只有x1?x2?x3?0, 因此由定义得, 向量组b1,b2,b3线性 无关.
证二: 将b1=a1+a2, b2=a2+a3,b3=a3+a1表示为矩阵 等式
?101???(b1,b2,b3)?(a1,a2,a3) ?110?,
?011???
记为B?AK, 并代入三元齐次线性方程组Bx?0, 得(AK)x?0, 即A(Kx)?0,由于a1,a2,a3线性无关, 即R(A)?3, 从而Kx?0,又因为K?2?0知, 齐次方程组Kx?0只有零解.
因此, 齐次方程组Bx?0只有零解. 故R(B)?3. 因此由定理1, 向量组b1,b2,b3线性无关. 证三: 由证二得B?AK 因为K?2?0知K可逆, 由矩阵秩的性质4得: R(B)?R(AK)?R(A)?3因此由定理1, 向量组b1,b2,b3线性无关.
向量线性相关性的定义
4.2.1 概念
[1] 向量线性相关性的定义
教材106页的定义3给出了一组(个)向量线性相关或线性无关的定义。这里的向量k
n当然都是指某给定向量空间里的元素,但除非特别说明,一般就理解成是,即讨论RVV的都是n维向量。
1k 定义1 对给定的一组个向量v,?,v,若零向量可依这组向量线性表出。且系数k
不全为零,称这组(个)向量线性相关;若零向量只能用这个向量的系数全为零的线性组kk合来表出,则称这组(个)向量线性无关。 k
[2] 向量线性相关性的意义
将向量线性相关性的概念用于几何向量,可以明白:
2个几何向量线性相关的充要条件是此2向量为共线向量;
3个几何向量线性相关的充要条件是此3向量为共面向量;
超过3个几何向量一定是线性相关的。
根据几何向量线性相关性的意义,可帮助想象向量线性相关性的“几何意义”。
当对向量赋以不同实际内容时,向量线性相关性也就有了不同的实际意义。如教材116
页所说,若将每个化学物用一向量表示,则一组向量的线性相关性等同于所表示之这批化学
物间发生化学反应的可能性。若一组向量线性相关,则该组向量所表示之这批化学物间是可
能发生化学反应的;若线性无关,则不论给以怎样的催化剂及温度、压力环境条件,都是不
会发生化学反应的。
[3] 线性方程组、矩阵语言
依照定义,一组(1kv,?,v个) 向量线性相关(无关)等同于齐次线性代数方程组 k
x,,1k1,, [v,?,v]?,0 ,,
x,,k,,
1k有(没有)非平凡解;也等同于矩阵[v,?,v]的秩小于(等于)列数。 k
在例解过程中显示出,由于使用权线性方程组及矩阵语言,而可以运用这两方面的已有
知识,更利于解决问题。
[4] 例
最基本的题型是这样两种:一是给定一组向量,按定义讨论其线性相关性;再是已知一
组向量的线性相关性讨论另一与之有一定关连之向量组的线性相关性。这两种题型分别由教
材107页的例7及108页的例8给出。
在例8给出的三种解法中,已显示出考虑一个问题,从向量、线性方程组,矩阵不同角
度入手导致不同解法的过程,这里用更明显的方式重新写出如下:
例8 已知向量 123a,a,a 线性无关,且已知
112b,a,a
223 b,a,a
313b,a,a
123线性无关。 b,b,b
解一 从向量角度,按定义出发入手。
试证 123123 考察零向量依,b,,b,,b,0b,b,b的线性表示式: 123
122331将已知关系代入,得 ,(a,a),,(a,a),,(a,a),0 123
123即 ,(,,)a,,(,,)a,,(,,)a,0 131223
123由于a,a,a已知线性无关,故
,,,,013
,,,,0,,,,,,,012123
,,,,023
123123即零向量只能依b,b,bb,b,b用系数全为0的线性式表出,故从定义知线性无关。
123 解二 不妨认为a,a,a都是n维向量,现从线性方程组角度,按定义出发入手。
123 已知齐次线性方程组 ,a,,a,,a,0 123
123只有平凡解,现要证明 ,b,,b,,b,0 123
122331也只有平凡解,由于上述方程组即为,(a,a),,(a,a),,(a,a),0 123
123可写成 (,,,)a,(,,,)a,(,,,)a,0 131223
,,,,0,13,根据已知条件,可知必有 ,, ,,0,12,,,0,,,23
,,01
从而只能 ,,02
,,03
这就证得了结论。
123 解三 从矩阵角度,已知矩阵的秩为3,要证明矩阵n,3A,[a,a,a]
123的秩也是3。由于 B,[b,b,b]
101,,
,,123122331123 ,[,,],[,,,,,],[,,]110Bbbbaaaaaaaaa,,
,011,,,
101101,,
,,,则有 。由于 detC,110,2,0,故C是满秩阵。B,ACC,110,,
,011,011,,
123若记 已知满秩乘以任一矩阵不变其秩,故知。得证b,b,b线性无关。 r(B),r(AC),r(A),3
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