切线与割线斜率关系的深度探析
江苏南通高等师范学校 226100 曹 军
1 问题提出
笔者在文[1]得出如下结论:
设y =f (x) 是定义在开区间(a, b ) 上的可导函数, 曲线C:y =f (x) 上任意不同两点的连线(称为割线) 斜率的取值区间为P, 曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值区间为Q, 则Q P, 而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值.
并指出, 求解|f (x1) -f (x 2) |<|x 1-x="" 2|(或|f="" (x="" 1)="" -f="" (x="" 2)="" |="">|x 1-x 2|) 的恒成立问题, 可以f (x1) -f (x 2)
转化为f (x ), 用导数法来求解, 设将
x 1-x 2导数法求得参数范围为区间D, 但必须检验区间D 的端点值是否符合题意, 否则容易出错, 并以2006年四川高考题理22的变题作了说明, 为便于读者阅读, 将题目及解答摘录如下:
1
题(文[1]例3) 已知函数f (x ) =2x ++
x
2
3
h (x ) m in >0, 此时|h (x ) |m in =h (x ) m in =- +
27
3
+4>127
4, , 解得0<><>
13- +4>027
-由 ?得 <>
下面检验端点 =3是否符合题意:注意到当 =33时, |f (x1) -f (x 2) |>|x 1-x 2|
3
x 1+x 2x 1+x 2>1 3x x +>33124+-x x x x 12x 1x 212
3
或5x 1x 2+
x 1+x 2<3恒成立, 由于3x="" 1x="" 2+x="" 1x="">3恒成立,>
=3x x +
12
x 1x 2
x 1+x 2
>3x 1x 2+x 1x 2
3
+x 1x 21x 2
?3(当且仅当x 1x 2=
时等号成立), 即3x 1x 2+3
ln x (x >0), f (x ) 的导数是f (x), 对于任意的两个不等的正数x 1、x 2, |f (x 1) -f (x 2) |>|x 1-x 2|恒成立, 求实数 的取值范围.
解 设g (x ) =f (x ) =4x -+g (x ) =
x x , 由题意g (x1) -g (x 2) >1, 由|g (x ) 4+3-2
x x x 1-x 2 3|>1得, 4+3-2>1, 以替换x, 则有|2x
x x x - x +4|>1对任意的x >0恒成立.
当 ! 0时, 显然符合题意;
?当 >0时, 令h (x ) =2x - x +4(x >0), 显然h (x ) 的图象经过(0, 4), h (x ) =6x -2 x, 由h (x ) <0得h (x="" )="" 在0,="" 上递减,="">0得h>
3h (x ) >0得h (x ) 在h(x ) m i n =h (
1 , +#3
上递增, 所以
2
3
2
2
x 1+x 2>3成立, 所以|f (x1) -f (x 2) |>|x 1-x 1x 2x 2|恒成立, 故 =3符合题意.
综上, 的取值范围是 ! 3(摘录完) 反思上述解法, 总感觉美中不足, 因为在检验 =3是否符合题意时却另起炉灶, 采用基本不等式法, 检验过程不轻松, 而且不容易想到, 那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢? 要回答这个问题, 关键得弄清如下实质问题:何时曲线的割线斜率的取值范围等于切线斜率的取值范围, 即P =Q ? 何时P Q, 且Q 比P 多了区间P 的端点值? 这些端点值究竟是何值? 曲线C 上与这些端点值对应点的位置在哪里? 本文对这些问题作深度探析, 作为文[1]的补充. 2 结论构建
定理 设y =f(x ) 是定义在连通开区间I (I ! R ) 上的二阶可导函数, 其对应曲线C 上任意两点的连线(称为割线) 斜率的取值集合为P,
曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值集合为Q, 则有:
(1)P ! Q;
21
3
3 ) =- +4.
327
3
若h(x ) min ! 0, 则|h (x) |m in =0, 此时|2x - x +4|>1对任意的x >0不能恒成立, 故必有
2
ZHONGXUESHUXUEZAZHI (2) 当曲线C 不存在拐点时, P =Q;
中学数学杂志 2010年第11期
在与l 平行的割线, 也即平行于拐点(x 0, f (x 0) ) 处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点, 必要性成立.
(4) 由(3) 的证明易知结论成立.
由上述定理可知, 对于二阶可导曲线C:y =f (x) 有:?当且仅当曲线C 不存在拐点, 或对曲线C 的每一个拐点, 都存在平行于该拐点处切线的直线与曲线C 至少有两个交点时, P =Q; (可导曲线C:y =f (x ) 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值, 这些端点值就是定理的结论(3) 条件中的拐点处切线的斜率, 即函数在这些拐点处的导数.
对于只有一个拐点的二阶可导函数, 定理有如下推论:
推论 设y =f(x ) 是定义在连通开区间I (I ! R ) 上的二阶可导函数, 其对应曲线C 上任意两点的连线(称为割线) 斜率的取值集合为P, 曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值集合为Q, 当曲线C 只有一个拐点A (x0, f (x 0) ) 时, 必有P Q, 而且?Q P ={f (x 0) }.
证明 根据定理的结论(3), 只需证明斜率为k =f (x 0) 的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可. 设斜率为k =f (x 0) 的任意一条
(3)P Q 的充要条件是曲线C 存在这样的拐点, 使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点;
(4) 在(3) 的前提下, 设所有这样的拐点处的切线的斜率组成集合S, 则?Q P =S.
证明定理前先介绍曲线凸性和拐点有关的两个引理(见文[2]):
引理1 函数y =f (x ) 在(a, b ) 内二阶可导, 则曲线y =f (x ) 在(a, b) 内向上凸(向下凸) 的充要条件是:对一切x %(a, b ) 有f &(x) ! 0(?0), 而且在(a, b) 的任何子区间上f &(x) 不恒为零.
引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点, 若函数y =f (x) 在一个连通开区间I (I ! R ) 上二阶可导, 则(x 0, f (x0) ) 为曲线y =f (x ) 拐点的必要条件是f &(x 0) =0.
下面给出定理的证明
:
证明 (1) #x 1, x 2%I , 设x 1
所以P ! Q;
x 2-x 1
(2) 由于曲线C 不存在
拐点, 所以曲线C 的凸性是确定的, 不妨设是下凸的(如图1), 设l 是曲线C 的任意一条切线, 则C 必在l 的上方, 将直线l 向上平移很小一段距离至直线m 位置, 则直线m 必定与曲线C 交于两个不同的点E 和F, 割线EF 的斜率等于切线l 的斜率, 所以Q ! P, 又由(1) 知P ! Q, 所以P =Q;
(3) 一方面, 因为曲线C 存在这样的拐点, 使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点, 所以曲线C 上任意两点的连线的斜率都不等于该拐点处切线的斜率, 所以P Q, 充分性成立;
另一方面, 因为P Q, 所以?k %Q , 但k %P, 令曲线在点(x 0, f (x0) ) 处的切线为l , 其斜率为k . 若(x 0, f (x 0) ) 不是拐点, 则必存在开区间I 0! I , 使得x 0%I 0, 且曲线在开区间I 0上凸性是确定的, 由(2) 的证明可知, 曲线C 在开区间I 0上必存在某两点的割线斜率等于k , 所以k %P, 与k %P 矛盾, 所以(x 0, f(x 0) ) 一定是拐点. 又k %P, 所以曲线C 不存
22
图1
直线为g (x ) =kx +b , 下面考察方程f(x ) -g (x) =0在区间I 上的解的个数.
图2
令h (x ) =f (x ) -g (x) =f (x ) -kx -b , 则h (x ) =f (x ) -k =f (x) -f (x0),
因为曲线C 只有一个拐点A (x 0, f (x 0) ), 所以在A (x 0, f (x0) ) 的两侧曲线C 的凸性相反, 不妨设左侧上凸, 右侧下凸(如图2).
则当x
则当x >x 0时, f &(x ) >0, 所以f (x ) 递增, h (x ) =f (x ) -f (x 0) >0;
所以h (x) 在区间I 上递增, 所以方程f (x ) -g (x) =0至多一解, 即直线g (x) =kx +b 与曲线C 的交点至多一个, 根据定理的结论(3) (4), 推论得证. 定理及其推论从本质上反应了二阶可导曲线的切线斜率与割线斜率之间的具体关系, 提供了借助切线斜率范围求解割线斜率范围的一种全新的导数解法, 看下面的例子:
中学数学杂志 2010年第11期
例 已知曲线C:y =et -3et (x%R ) 任意不同两点的连线的斜率为k , 求k 的取值范围.
2x x x 329
解 因为y =2et -3et =2(e -) -,
48
92x x x x
所以y ?-, 又y &=4et -3et =et (4et -3),
8当x <>
时, y &<0, 曲线c="" 向上凸,="" 当x="">ln 44
2x
x
ZHON GXUESHUXUEZAZHI
参考文献
[1]曹军. 不等式|f(x 1) -f(x 2) |<|x 1-x="" 2|(或="">)
恒成立问题的导数解法之探究[J].中学数学杂志, 2010(5).
[2]华东师范大学数学系编. 高等学校试用教材) 数学分析?上册[M].高等教育出版社, 1988.
作者简介 曹军, 男, 江苏通州人, 1969, 02-, 副教授, 硕士研究生, 主要从事数学教学论研究. 江苏教育学院分院学科带头人, 南通市+226, 高层人才青年科学技术带头人, 江苏教育学院分院十五优秀教学奖和科研奖获得者, 近几年来有40余篇论文在省级以上刊物发表, 多篇论文获省市一等奖.
时, y &>0, 曲线C 向下凸, 所以曲线在x =l n 处是
4, 根据定理的推论, k 的899
范围比y 的范围少一个值-, 即为(-, +#).
88一个拐点, 而y |x =
3
=-
问渠哪得清如许, 为有课本活水来
???高三解题教学设计
江苏南京市雨花台中学 210012 刘进全
新课程理念下, 如何使用课本使高三数学课堂教学更加有效是广大一线教师关心的话题之一. 文[1]指出+大量的课堂观察中发现, 脱离课本进行教学的现象很普遍, 这是令人担忧的, 木次新课改提倡的. 不是教教材, 而是用教材教/, 要. 创造性地使用教材/. , 那么高三复习时如何创造性使用教材, 关键是例题的选择. 教材中的许多问题(例题、习题、思考题) 具有较强的基础性, 入口浅, 利于学生的+双基, 的夯实, 同时将这些问题进行深入的挖掘和拓展整合, 引申设计高三复习课的例题, 这样的课堂必然是高效的, 设计的原则如下:(1) 一题多解, 展示多种解题思路, 提高综合分析能力; (2) 一题多变, 变换条件和考查方式, 多方考查; (3) 多题一解, 总结解题规律; (4) 巧设探究情境, 改变学习方式. 笔者以苏教版必修4(以下简称课本) 文[2]中例题、习题、思考题设计为例, 加以说明, 愿与同行交流. 1 一题多解
在教学中, 依托课本, 针对学生最近发展区域精心设计多解性例题, 引导学生从不同的方面, 用不同的思维方式进行广泛的探索与求解, 领悟解题过程中所涉及知识之间的纵横联系及方法的变化联系, 使学生的知识系统化、结构化. 克服单纯做题的机械呆板的模式, 转变为:做一题, 明白一串道理, 巩固一串知识, 培养一串能力, 掌握处理一串问题的方法.
例1 矩形MNPQ 内接于半径为r 的圆(图1), 求矩形面积最大值. (课本P 106思考题)
解 设QM =x, MN =222
y, 则x +y =4r .
S MNPQ =xy =x 4r -x (0
解法1 由S MNPQ =xy =
x
2
4r -x
2
=
图1
2
x (4r -x ), 令x =u %(0, 4r ), 则S MNPQ =
u (4r -u )
=(u -2r ) +4r , 当u =2r 即x =
2
S MNPQ 最大为2r .
解法2 同上, S MN PQ =
2
2
2
2
2
2
2
2r 时,
u(4r -u ), 平方得:
4
S =u(4r -u), u -4r u +S =0有解, =16r -4S ?0, 即S ! 2r , 等号在x =
2
得, 所以S MN PQ 最大为2r .
解法3 S MNPQ =
y &
r %(0, 2r ) 取22) =2r ,
2
当且仅当x =y =r 时取等号.
解法4 对(*) 式, 令x =2r cos ! , y =2r si n ! ,
22
! %[0, 2?],S MNPQ =2r sin 2! , S MNPQ 最大为2r .
23
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析
1. 问题提出
文【1】得出了如下的结论:
设y =f (x ) 是定义在(a , b ) 上的可导函数,曲线C :y =f (x ) 上任意两个不同点的连线(称为割线) 斜率的取值区间为P ,曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ,则
P ?Q ,而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值.
f (x 1) -f (x 2)
转化为
x 1-x 2
f '(x ) ,用导数法求解. 设用导数法求得参数取值区间为D ,然后再检验区间D 的端点值是
并指出,求解f (x 1) -f (x 2∨x 1-x 2的恒成立问题,可将否符合题意.
1
+λln x (x >0) ,对于任意两个不等的正数x 1, x 2,恒有x
λ的取值范围(四川2006高考题变式). f '(x 1) -f '(x 2>x 1-x 2,求
例如,已知f (x ) =2x +
2
1λ2λ'f (=x ) -'x +g (x ) =4+-2,依条件,23
x x x x
g (x 1) -g (x 2) 12λ32
>1,由g '(x 以替换x ,则有2x -λx +4>1) >1得4+3-2>1,
x 1-x 2x x x 对任意x >0恒成立.
①当λ≤0时,显然成立;
②当λ>0时,令h (x ) =2x 3-λx 2+4(x >0) ,h '(x ) =6x 2-2λx ,令
) 【解】设g (x =h '(x ) =
0?.
3
λ
∴h (x ) min =h () =-+4.
327
32
若h (x ) min ≤0,则h (x ) m
in =0,此时2x -λx
+4>1对任意x >0不能恒成立,故
必有h (x ) min >
0,此时h (x ) min =h (x ) min =-
λλλ3
27
+4,依条件有
?λ3
-+4>1??27
?0<>
?3
?-λ+4>0??27
综上得λ
.
下面检验端点λ=是否符合题意. 当λ=时,
f '(1x -) 'f >) -
1
x 1+x 24+22>1x ?2x 1x 21
?3x 1x 2+
x 1+x 2
>x 1x 2
或
[word doc]切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析
中学数学杂志2010年第11期g%.?毒瑶锣
切线与割线斜率关系的深度探析
江苏南通高等师范学校226100曹军
1问题提出
笔者在文[1]得出如下结论:
设Y=I厂()是定义在开区间(0,b)上的可导函
数,曲线C:Y=)上任意不同两点的连线(称为
剖线)斜率的取值区间为P,曲线C上任意一点处的
切线斜率的取值区问为Q,则QP,而且Q中元素
比P中元素至多多了区间P的端点值.
并指出,求解I)-f()I<I一l(或
IJr(.)一)I>J一:1)的恒成立问题,可以
将转化为_厂(),用导数法来求解,设
l一2
导数法求得参数范围为区间D,但必须检验区问D
的端点值是否符合题意,否则容易出错,并以2006
年四川高考题理22的变题作了说明,为便于读者阅
读,将题目及解答摘录如下:
题(文[1]例3)已知函数)=2x++
Aln(>0))的导数是I厂(),对于任意的两
个不等的正数,,I厂()一厂()I>l.一I
恒成立,求实数A的取值范围.
解设g()=厂()=4x一专+A,g()=
4+一,由题意1二l>1,由lg,()ll一2l
l>l得,I4+2一A1>1,以替换,则有I23l一—J
一
A+4I>1对任意的>0恒成立.
(1)当A?0时,显然符合题意;
(2)当A>0时,令h()=2x.一Ax+4(>
0),显然h()的图象经过(0,4),h():6x一
2Ax,由h()<0得h(x)在l0,?A)上递减,由
h()>0得()在I?A,+?)上递增,所以
h(x)i=h(寺A)=一寺A+4.
若h(x)?0,则Ih(x)}i=0,此时I2一
A+4l>1对任意的>0不能恒成立,故必有
h(x)i>0,此时l()Ii=()i=一A+
4’由题意厂4>1,解得.<A<3;
【-.+4>0
由(1X2)得A<3.
下面检验端点A=3是否符合题意:注意到
当A=3j时,I厂()一厂(:)J>I一2J
l4+一1>1>3X1IX;12l12
或5:+三<3恒成立,由于3x,:+
==: >3+:3:++——
12
Vx12Vx12~/l2
?3(当且仅当.=时等号成立),~[13x+
>3成立,所以I厂(.)一厂(x2)I>l.一
I恒成立,故A=3符合题意.
综上,A的取值范围是A?3.(摘录完)
反思上述解法,总感觉美中不足,因为在检验A
=3是否符合题意时却另起炉灶,采用基本不等
式法,检验过程不轻松,而且不容易想到,那么是否
有一种融解答与检验为一体的导数解法呢?要回答
这个问题,关键得弄清如下实质问题:何时曲线的割
线斜率的取值范围等于切线斜率的取值范围,即P
=Q?何时PQ,且Q比P多了区间P的端点值?
这些端点值究竟是何值?曲线c上与这些端点值对
应点的位置在哪里?本文对这些问题作深度探析,作
为文[1]的补充.
2结论构建
定理设Y=-厂()是定义在连通开区问,(,
R)上的二阶可导函数,其对应曲线c上任意两点的
连线(称为割线)斜率的取值集合为P,曲线c上任
意一点处的切线斜率的取值集合为Q,则有:
(1)PQ;
既粥妫%琶粥配霓考稿7中学数学杂志2010年第11期
(2)当曲线C不存在拐点时,P=p;
(3)PQ的充要条件是曲线C存在这样的拐
点,使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C
至多有一个交点;
(4)在(3)的前提下,设所有这样的拐点处的
切线的斜率组成集合S,则P=S.
证明定理前先介绍曲线凸性和拐点有关的两个
引理(见文[2]):
引理1函数Y=-厂()在(.,6)内二阶可导,则
曲线Y=I厂()在(口,6)内向上凸(向下凸)的充要
条件是:对一切?(n,b)有厂()?0(?0),而且
在(口,6)的任何子区间上.厂()不恒为零.
引理2曲线的向上凸与向下凸部分的分界点
称为该曲线的拐点,若函数=)在一个连通开
区间,(,R)上二阶可导,则(..))为曲线Y
=
厂()拐点的必要条件是厂(.)=0.
下面给出定理的证明:
证明(1)V,:
.,,设1<2,由于函数Y
)在[.,]连续,
(,)内可导,由拉格
日(Lagrange)中值定理
得,在开区间(,)内
少存在一点,使得厂()
在与Z平行的割线,也即平行于拐点(.‰))处
切线的任意直线与曲线C至多有一个交点,必要性
成立.
(4)由(3)的证明易知结论成立.
由上述定理可知,对于二阶可导曲线C:Y=
)有:?当且仅当曲线c不存在拐点,或对曲线C
的每一个拐点,都存在平行于该拐点处切线的直线
与曲线c至少有两个交点时,P=Q;?可导曲线C:
:
)的切线斜率的取值区间Q至多比割线斜率
的取值区间P多了区间P的端点值,这些端点值就
是定理的结论(3)条件中的拐点处切线的斜率,即
函数在这些拐点处的导数.
对于只有一个拐点的二阶可导函数,定理有如
下推论:
推论设Y=)是定义在连通开区间i(I
R)上的二阶可导函数,其对应曲线c上任意两点的
连线(称为割线)斜率的取值集合为p,曲线C上任
意一点处的切线斜率的取值集合为Q,当曲线C只
有一个拐点a(x..))时,必有PQ,而且P:
{厂(‰)}.
证明根据定理的
论(3),只需证明斜率为k
厂(.)的任意直线与曲线
至多有一个交点即可.设
率为=厂(.)的任意一
直线为()=+6,-VN图2
考察方程)一g(x)=0
在区间,上的解的个数.
令h()=-厂()一g():)一kx—b,
贝Uh()=厂()一k=厂()一厂(.),
因为曲线C只有_个拐点A(.)),所以在
A(.,,())的两侧曲线c的凸性相反,不妨设左侧
上凸,右侧下凸(如图2).
则当<X.时()<0,所以厂()递减,
h()=()一(.)>0;
则当>‰时()>0,所以厂()递增,
h()=f()一厂(.)>0;
所以h()在区间,上递增,所以方程)一
g(x)=0至多一解,即直线g(x)=kx+b与曲线C的
交点至多一个,根据定理的结论(3)(4),推论得证.
定理及其推论从本质上反应了二阶可导曲线
的切线斜率与割线斜率之间的具体关系,提供了借
助切线斜率范围求解割线斜率范围的一种全新的导
数解法,看下面的例子:
中学数学杂志2010年第11期1冕救6舭酝毛稻嚣9
例已知曲线C:Y=et”一3et(?R)仕蒽
不同两点的连线的斜率为,求k的取值范围.
解因为y=2e产一3e,=2(e一3).一
詈,
所以,?一9
,5LY-ffy:4e一3e:e(4e一3),所以?一,y=4e一3e=e(4e一3),
当<ln3时
,
<o,曲线cN_ki5,当>ln?
时,”>0,N~cNTr5,所以曲线在=ln丢处是
一
个拐点,而yI:}=一詈,根据定理的推论,的
范围比y的范围少一个值一号,即为(一詈,+.o).
参考文献
[1]曹军.不等式ff(X.),f(X)f<fx一X:f(或>)
恒成立问题的导数解法之探究[J].中学数学杂
志,2010(5).
[2]华东师范大学数学系编.高等学校试用教材《数
学分析》上册[M].高等教育出版社,1988.
作者简介曹军,男,江苏通州人,1969,02一,
副教授,硕士研究生,主要从事数学教学论研究.江
苏教育学院分院学科带头人,南通市”226”高层人
才青年科学技术带头人,江苏教育学院分院十五优
秀教学奖和科研奖获得者,近几年来有40余篇论文
在省级以上刊物发表,多篇论文获省市一等奖.
问渠哪得清如许,为有课本活水来
——
高三解题教学设计
江苏南京市雨花台中学210012刘进全
新课程理念下,如何使用课本使高三数学课堂
教学更加有效是广大一线教师关心的话题之一.文
[1]指出”大量的课堂观察中发现,脱离课本进行教
学的现象很普遍,这是令人担忧的,木次新课改提倡
的’不是教教材,而是用教材教’,要’创造性地使用
教材’.”那么高三复习时如何创造性使用教材,关键
是例题的选择.教材中的许多问题(例题,习题,思考
题)具有较强的基础性,入口浅,利于学生的”双基”
的夯实,同时将这些问题进行深入的挖掘和拓展整
合,引申设计高三复习课的例题,这样的课堂必然是
高效的,设计的原则如下:(1)一题多解,展示多种解
题思路,提高综合分析能力;(2)一题多变,变换条件
和考查方式,多方考查;(3)多题一解,总结解题规
律;(4)巧设探究情境,改变学习方式.笔者以苏教版
必修4(以下简称课本)文[2]中例题,习题,思考题
设计为例,加以说明,愿与同行交流
1一题多解
在教学中,依托课本,针对学生最近发展区域精
心设计多解性例题,引导学生从不同的方面,用不同
的思维方式进行广泛的探索与求解,领悟解题过 (0,4rz),贝05=,//?
(4r一)
=
?一(“一2)+4,当=2r即=?时,
s.最大为2rz,
解法2同上,5.=,/u(4r一),平方得:
S=u(4r一),?一4r2+S:0有解,?=l6r4
—
4S?0,即S?2r2,等号在=gr?(0,2r)取
得,所以.s最大为2r.
r——r———一
解法3s脚Q:?().=2r.,
当且仅当:Y=r时取等号.
解法4对()式,令:2reos,Y:2rsin,
?[O,27r],s肿:2r2sin2a,SM最大为2r2.
23
切线与割线斜率关系的深度探析
切线与割线斜率关系的深度探析
1.问题提出
文【1】得出了如下的结论:
设是定义在上的可导函数,曲线上任意两个不同点的连线yfx,()Cyfx:(),(,)ab
C(称为割线)斜率的取值区间为,曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围为,则PQ
,而且中元素比中元素至多多了区间的端点值. PPPQ,Q
fxfx()(),12并指出,求解的恒成立问题,可将转化为fxfxxx()(),,,1212xx,12,,用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为,然后再检验区间的端点值是DDfx()
否符合题意.
12例如,已知,,,,,,对于任意两个不等的正数,恒有fxxxx()2ln(0)xx,12x
,,,,求的取值范围(四川2006高考题变式). fxfxxx()(),,,1212
1,2,,,【解】设,,,,,,,,,依条件gxfxx()()4gx()4232xxxx
gxgx()(),12,1232,,1,由gx()1,得,以替换,则有241xx,,,,x,,,4132xx,xxx12
x,0对任意恒成立.
,,0时,显然成立; ?当
322,,0,?当时,令,,令hxxxx()24(0),,,,,hxxx()62,,,
,,hxx()0,,,. 3
,,,(0,)(,),, x333
, hx()0 ,,
, hx()h() 3
3,,?,,,,hxh()()4. min327
32x,0hx()0,241xx,,,,hx()0,若,则,此时对任意不能恒成立,故minmin
3,hxhx()()4,,,,hx()0,必有,此时,依条件有 minminmin27
3,,41,,,,,273033,,,. ,,3,,40,,,,27,
3,,33综上得.
33,,33,,33下面检验端点是否符合题意.当时,
3xx,xx,3331212,,fxfxxx()(),,,,,,333xx,,,,41或12121222xxxxxx121212
1
xx,312恒成立. 533xx,,12xx12
33xx,211312由于(当xx,33333xxxxxx,,,,,,,121212123xxxxxxxx12121212
33时取等号),故符合题意,因而. ,,33,,33
3反思上述解法,总感到美中不足.因为在检验是否符合题意时得另起炉灶,检,,33
验过程不轻松,且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢,要回答这个问题,关键得弄清如下实质问题:何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围,即,何时,且比P多了区间P的端点值,这些端点值究竟是何值,曲PQ?QPQ,
线上与这些端点值对应点的位置在哪里,
2.结论构建
C定理 设是定义在连通开区间上的二阶可导函数,其对应曲线yfx,()IIR(),
C上任意两点的连线斜率的取值集合为P,曲线上任意一点处的切线斜率取值集合为,Q则
(1); PQ,
C(2)当曲线不存在拐点时,; PQ,
C(3)曲线上存在这样的拐点,使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线至PQ?,
多有一个交点;
S(4)在(3)的前提下,设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为,则. ePS,Q
引理1 函数在内二阶可导,则曲线在内上凸(或下凸)yfx,()(,)abyfx,()(,)ab
,,,,,00的,(或),且在的任何子区间上不恒为. ,,,xab(,)fx()0,(,)abfx()
引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若在一个连yfx,()
,,I通开区间上二阶可导,则为曲线拐点的必要条件是. (,())xfxfx()0,yfx,()000
下面给出定理的证明.
xx,(1),设,由于在上连续,在内可导,由拉格朗,,xxI,xx,(,)xxfx(),,12121212
fxfx()(),12,日中值定理可得,在开区间内至少存在一点,使,故. ,(,)ab,PQ,f(),xx,12
CC(2) 由于曲线不存在拐点,故曲线的凸性确定.不妨 mF lCCl设下凸.设是曲线的任意一条切线,则必在的上方, l
E lC将向上平移很小一段距离至直线,则必与交于两个 mmE lEF不同的点,割线的斜率等于的斜率,故, EF,QP,
但由(1)知,故. PQ,PQ,
CC(3)一方面,因曲线存在这样的拐点,使平行于该拐点处切线的任意直线与至多有
C一个交点,故曲线上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率,,充?PQ?分性得证.
kP,l(,())xfx另一方面,由于,故,但,令曲线在点处的切线为,PQ?,,kQ00
k(,())xfxII,xI,I其斜率为,若不是拐点,则必存在开区间,使 得,且曲线在000000
kkP,kP,I上凸性确定.由(2)的证明知,曲线在上必存在某两点的割线斜率等于,故与0
kP,Cl(,())xfx矛盾,故一定是拐点,又,故曲线不存在与平行的割线,也即平行于00
(,())xfx拐点处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证. 00
(4)由(3) 的证明易知结论成立.
Cyfx:(),由定理知,对于二阶可导曲线,有
CC?当且仅当曲线不存在拐点,或对曲线的每一个拐点,都存在平行于该拐点处切
2
C线的直线与曲线至少有两个交点时,. PQ,
C?可导曲线的切线斜率的取值区间至多比割线斜率的取值区间多了区间的PPQ端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.
对于只有一个拐点的二阶可导函数,有如下的
,C推论 当曲线只有一个拐点时,必有,而且. AePfx,()(,())xfxPQ?,,Q000
,C证明:根据定理结论(3),只需要证明斜率为的任意直线与曲线至多有一kfx,()0
,个交点即可.设斜率为的任意一条直线为. kfx,()gxkxb(),,0
考察方程在上解的个数. Ifxgx()()0,,
令, hxfxgxfxkxb()()()(),,,,,A ,,,,. hxfxkfxfx()()()(),,,,0
C因为曲线只有一个拐点,故在拐点的两侧 Axfx(,())00
C曲线的凸性相反.不妨设左侧上凸,右侧下凸.
,,,,,, 则当时,,故,; xx,hxfxfx()()()0,,,fx()0,fx() 00
,,,,,,当时,,故,. xx,hxfxfx()()()0,,,fx()0,fx() 00
C故在I上,故至多有一解,即直线与曲线的fxgx()()0,,gxkxb(),,hx()
交点至多一个,根据定理(3)(4)推论得证.
定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系,为借助切线斜率求解割线
斜率范围问题提供了一种新方法.
2xxkk【例】已知曲线任意不同两点的连线斜率为,求的取值范CyeexR:3(),,,
围.
39922xxx2xxxx,,,yeee,,,,,,,解 ,又. 232()yeeee,,,,43(43)488
333,,,,x,lnx,lnx,ln当时,曲线上凸;当时,曲线下凸,故曲线在y,0y,0444
99,y,,k(,),,,处是一个拐点,而,根据推论,的取值范围为. 3x,884
曹军,《中学数学杂志》2010年11月. 【附】文【1】主要结论
fxfxxx()(),,, 1212
k定理 设在内可导,连结其图象上任意两点的割线斜率为,yfx,()(,)abAB,AB
k图象上任意一点处的切线斜率为,则
km,km,km,km,km,(1) 若,则;若,则或. ABABAB
km,km,km,km,km,(2)若,则或;若,则. ABAB
Axfx(,())Bxfx(,())证明:设,是曲线图象上任意不同的两点. yfx,()2211
xx,(,)xx(1)不妨设,由拉格朗日中值定理可知,在内至少存在一点,使,1212
fxfx()(),12,,. f(),xx,12
,km,km,由于,故fm(),,故.其余类似. ,AB
fxfxfxxfx()()()(),,,,2111xxxx,,,,,(0) (2)设,,则km,,,21ABxxx,,21
fxxfx()(),,,11,limlim,,mmfxm(),,即.其余类似. ,,,,xx00,x
3
导数与切线的斜率
24 第一章 多項式函數的極限與導數 1-4 導數與切線的斜率1 導數的意義
fxfa()(),設函數在連續且存在時,limxa,fx()xa,xa,
,(1) 函數在的導數,以表示, fa()fx()xa,
,(2) 在的導數存在,稱函數在可微分,fa()fx()fx()xa,xa,
(3) 在連續時,函數在不一定可微分,fx()fx()xa,xa,
1. 設函數,試判別: fxx()||,
x,0x,0(1) 在是否連續, (2) 在是否可微分,fx()fx()
xx,0,,解,fx(),,,,,xx,0,
(1) , lim()(0)0fxf,,x,0
x,0知在連續,fx()
x,0x,0(2) 的右極限, lim1,x,0x,0
,,x0,x,0的左極限lim1,,,知不存在,即不可微分,f(0)x,0x,0
PL2. 已知的圖形上一點,以為切點的切線通過點,試yfx,()P(5,2)Q(9,0)
,求的值, f(5)
11,Lm,,f(5),,解,的斜率,得, 22
第一章 多項式函數的極限與導數 25
導數與切線方程式 2
函數在可微分,函數的圖形上一點,fx()yfx,()Pafa(,())xa,
P1. 以點為切點的切線,
,(1) 切線斜率為, fa()
,(2) 切線方程式, yfaxafa,,,()()()
P2. 在點的法線方程式,
PP通過點且與過點的切線互相垂直的直線,
3fxxx()31,,,1. 設函數的圖形上面一點,試求: P(2,3)
(1) 切點為的切線方程式, P(2,3)
(2) 在點所作法線方程式, P(2,3)
3(31)3xx,,,2,fxx(2)limlim(21)9,,,,,解,,xx,,22x,2
,(1) 切點,切線斜率, f(2)9,P(2,3)
得切線方程式, Lxy:9150,,,
1m,,(2) 過點,法線斜率, P(2,3)9
得法線方程式, Mxy:9290,,,
42fxxx()21,,,2. 設函數的切線中,試求斜率為0的切線方程式,
42Pttt(,21),,解,設切點,
4242(21)(21)xxtt,,,,,,ft()lim, xt,xt,
3223 ,,lim(22)xxtx,,,,xtttxt,
3,,4tt4,
3t,0由得,即切點,斜率為0, (0,1)440tt,,
知切線方程式為, y,1
26 第一章 多項式函數的極限與導數
導函數 3
A設函數的定義域中,使導數存在的所有數所成集合為,aA,,fx()
,(1) 函數在的導數為, fa()fx()xa,
,(2) 函數的導函數為, fx()fx()
(3) 若在定義域中每一個數的導數均存在,稱是可微分函數,fx()fx()
1. 試求下列各函數的導函數:
23fxx(),fxx(),(1) , (2) , (3) ,fx()1,
fxfa()()0,,,解,(1) ,知,fa()limlim0,,,fx()0,xaxa,,xaxa,,
fxfa()(),,,(2) ,知,faxaa()limlim()2,,,,fxx()2,xaxa,,xa,
fxfa()(),2222,,(3) ,知,faxaxaa()limlim()3,,,,,fxx()3,xaxa,,xa,
2. 試求下列各函數的導函數:
111fx(),fx(),fx(),(1) , (2) , (3) ,23xxx
11,fxfa()()11,,1xa,,fa,,,,,()limlimlim解,(1) fx(),,,知,22xaxaxa,,,xaxaaxa,,,x
11,22fxfaxaa()()()22,,,,,xa,fa,,,,,()limlimlim(2) , 2243xaxaxa,,,xaxaaxaa,,,
2,fx(),,知, 3x
11,22233fxfaxaxaa()()()33,,,,,xa,fa,,,,,,()limlimlim(3) , 3364xaxaxa,,,xaxaaxaa,,,
3,fx(),,知, 4x
第一章 多項式函數的極限與導數 27
微分的基本公式 4
1. 微分公式,
nn,1,設,則,n,R, fxx(),fxnx(),
2. 基本性質,
設與皆為可微分函數,為常數, fx()gx()c
,,,(1) 若,則,kxfxgx()()(),,kxfxgx()()(),,
,,,(2) 若,則,kxfxgx()()(),,kxfxgx()()(),,
,,(3) 若,則, kxcfx()(),kxcfx()(),
3yxx,,31. 設函數圖形上面一點,試求: P(2,2)(1) 切點為的切線方程式, P(2,2)
(2) 過點的法線方程式, P(2,2)
2,解,因, fxx()33,,
,在的斜率為, f(2)9,P(2,2)
(1) 切線方程式, yx,,,29(2)
即, 916xy,,
1,(2) 法線方程式的斜率為, 9
得法線方程式為, xy,,920
2,1xkx,,若,2. 設函數是可微分函數,,試求: fx()fx(),,2xx,1若,,
,k(1) 值, (2) , f(1)
解,因函數一定是連續函數, fx()
(1) , lim()lim()(1)fxfxf,,,,xx,,11
21,,kk,,1即,得,
,(2) 因是可微分函數f(1)2,, fx()
28 第一章 多項式函數的極限與導數
第一章 多項式函數的極限與導數 29
多項式的導函數 5 nn,12實係數多項函數,fxaxaxaxaxa(),,,,,,nn,1210
nn,,12,為可微分函數,且的導函數,fxnaxnaxaxa()(1)2,,,,,,fx()nn,121
3yfxxx,,,()31. 若函數圖形的切線中,
(1) 切點為的切線方程式, A(1,2),
(2) 斜率為9的切線方程式,
2,解,因, fxx()33,,
,(1) 切線的斜率,得切線方程式為,f(1)0,y,,2 3(2) 設切點, (,3)ttt,
2,t,,2滿足,得, ftt()339,,,
t,2時,切點,切線為, (2,2)916xy,,
t,,2時,切點,切線為,(2,2),,916xy,,,
2yxx,,,12. 拋物線有兩條切線通過,試求這兩條切線的方程式,A(1,0),
2,解,因,設切點, Pttt(,1),,fxx()21,,
,得切線的斜率為, ftt()21,,
2切線方程式為ytxttt,,,,,,(21)()1,
2由通過得0(21)(1)1,,,,,,,tttt, A(1,0),
t,0t,,2由或,
m,1m,,3知或,
m,1時,切線方程式為, xy,,,10m,,3時,切線方程式為, 330xy,,,
30 第一章 多項式函數的極限與導數
多項式乘積的導函數 6
設與皆為可微分函數, fx()gx()
(1) 若,則 kxfxgx()()(),
,,, ,kxfxgxfxgx()()()()(),,
(2) 若,則 kxfxfxfx()()()(),123
,,,, ,kxfxfxfxfxfxfxfxfxfx()()()()()()()()()(),,,123123123
n(3) 若,則 kxgx()[()],
n,1,, , kxngxgx()[()](),,
5fxx()(21),,1. 設函數,試求: (1) 的導函數, fx()
(2) 的圖形上,切點為的切線方程式,yfx,()(1,1)
4,,解,(1) 因, fxxx()5(21)(21),,,,
4,得fxx()5(21)2,,,,
4,即fxx()10(21),,,
,(2) ,得切線方程式,f(1)10,109xy,,
35fxxx()(1),,2. 設函數,試求:
,(1) , f(0)
(2) 的圖形上,切點為的切線方程式,yfx,()(0,0)
2534,,fxxxxx()3(1)5(1),,,,,解,(1) ,得f(0)0,,
,(2) 因f(0)0,,所求切線方程式為,y,0
第一章 多項式函數的極限與導數 31
實戰演練
1fx(),1. 函數在定義域中每一點都連續,稱是一連續函數,試問是fx()fx()x
否為連續函數,
1解,函數的圖形如右: fx(),x
因的定義域為, fx()(,0)(0,),,,,
而在定義域中每一點都連續,
知是一連續函數,fx()
2. 函數在定義域中每一個數的導數均存在,稱是一可微分函數,試fx()fx()
1fx(),問是否為可微分函數, x
1解,fx(),函數的圖形如右: x
因的定義域為, fx()(,0)(0,),,,,
1,fx(),,而, 2x
知定義域中每一個數的導數均存在,
故是可微分函數,fx()
32 第一章 多項式函數的極限與導數
323. 設函數fxxxx()9152,,,,,試求圖形上斜率最小的切線方程yfx,()
式,
22,解,, fxxxx()318153(3)12,,,,,,
,12知x,3時,切線最小,斜率為,
,知切點為, 因f(3)7,,(3,7),
得切線方程式, 1229xy,,
4. 設為三次實係數多項式函數,其圖形通過,兩點,若的px()(1,3)(1,5),px()
,5圖形在點的切線斜率為7,而在點的切線斜率為,試求, (1,3)(1,5),px()
【97數甲】
32解,設, pxaxbxcxd(),,,,
2,則, pxaxbxc()32,,,
abcd,,,,3,
,,,,,,abcd5,依題意可得, ,327abc,,,,
,325abc,,,,,
a,1b,3c,,2d,1解聯立方程組,得,,,,
32知pxxxx()321,,,,,
第一章 多項式函數的極限與導數 33
情境模擬
B5. 有牌汽車公司,宣稱所生產的新型汽車,從起步加速到時速90公里只需
2k要10秒,假設加速度是常數公尺,秒,試問在10秒時汽車走了多少公尺,
解,設汽車在秒時的路程為, tft()
,,,則速度為,加速度為, ft()ft()
12,,,由,,, ftkt(),ftk(),ftkt(),2
,,25公里,小時公尺,秒, fk(10)1090,,
2k,2.5得公尺,秒,
52ftt(),,知:公尺:, f(10)125,4
H6. 有牌重型機車,從起跑點以常數加速度衝出,在行車100公尺時,測得時速為180公里,試問此時用了多少秒, 解,設機車在秒時的路程為, tft()
,,,則速度為,加速度為, ft()ft()
12,,,由,,ftkt(),, ftk(),ftkt(),2
,,50公里,時公尺,秒, ftkt()180,,
12ftkt()100,,公尺, 2
t,4得:秒:,
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