范文一:03 平均数、标准差与变异系数
22 第三章 平均数、标准差与变异系数
本章重点介绍平均数 (mean ) 、标准差 (standard deviation ) 与变异系数 (variation coefficient ) 三个常用统计量,前者用于反映资料的集中性,即观测值以某一数值为中心而 分布的性质;后两者用于反映资料的离散性,即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数
平均数是统计学中最常用的统计量,用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位 置。 在畜牧业、 水产业生产实践和科学研究中, 平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施 的效果、 畜禽某些数量性状的指标等等。 平均数主要包括有算术平均数 (arithmetic mean) 、 中位数 (median ) 、 众数 (mode ) 、 几何平均数 (geometric mean) 及调和平均数 (harmonic mean ) ,现分别介绍如下。
一、算术平均数
算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商,简称平均数或均数, 记为 。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
(一)直接法 主要用于样本含量 n ≤ 30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含 n 个观测值:x 1、 x 2、?、 x n ,则样本平均数 可通过下式计算:
n
x
n
x x x n
i i
n
∑==
+++=
1
21 (3-1)
其中, Σ为总和符号;
∑=n
i i x 1表示从第一个观测值 x 1
累加到第 n 个观测值 x n
。 当 ∑=n
i i
x
1
在意义上已明确时,可简写为 Σx , (3-1)式即可改写为:
n
x
∑ =
【例 3.1】 某种公牛站测得 10头成年公牛的体重分别为 500、 520、 535、 560、 585、 600、 480、 510、 505、 490(kg ) ,求其平均体重。 由于 Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285, n =10
代入(3— 1)式得:
. 5(k g )
52810
5285∑ ==
=
n
x 即 10头种公牛平均体重为 528.5 kg 。 (二) 加权法 对于样本含量 n ≥ 30以上且已分组的资料, 可以在次数分布表的基础 上采用加权法计算平均数,计算公式为:
23
∑∑
∑
==
++++++=
==f
fx f x f f f f x f x f x f k
i i
k
i i
i k
k
k 1
1212211 (3-2)
式中:i x —第 i 组的组中值; i f —第 i 组的次数;
k
—分组数
第 i 组的次数 f i 是权衡第 i 组组中值 x i 在资料中所占比重大小的数量,因此 f i 称为是 x i
的“权” ,加权法也由此而得名。 【例 3.2】 将 100头长白母猪的仔猪一月窝重(单位:kg )资料整理成次数分布表如 下,求其加权数平均数。
表 3— 1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表
组别 组中值(x )
次数(f ) f x 10— 15 3 45 20— 25 6 150 30— 35 26 910 40— 45 30 1350 50— 55 24 1320 60— 65 8 520 70— 75 3 225 利用(3— 2)式得:
) (2. 45100
4520kg f
fx ==
=
∑
∑
即这 100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为 45.2kg 。
计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时, 如果样本含量不等, 也应采用加权 法计算。
【例 3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500头,其平均体重为 750 kg ,而另一牛群有黑白 花奶牛 1200头,平均体重为 725 kg,如果将这两个牛群混合在一起,其混合后平均体重为 多少?
此例两个牛群所包含的牛的头数不等, 要计算两个牛群混合后的平均体重, 应以两个牛 群牛的头数为权,求两个牛群平均体重的加权平均数,即
) (89. 7382700
1200
7251500750kg f
fx
=?+?=
=
∑∑
即两个牛群混合后平均体重为 738.89 kg。 (三)平均数的基本性质
1、样本各观测值与平均数之差的和为零,即离均差之和等于零。
24 0) (1
=-∑=x n
i i 或简写成 ∑=-0) (x
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小,即离均差平方和为最小。
∑
=n
i 1
(x i -) 2
<>
=n
i 1
(x i - a) 2
(常数 a ≠ )
或简写为:∑-2) (x <∑-2)>∑-2)>
以上两个性质可用代数方法予以证明,这里从略。
对于总体而言,通常用 μ表示总体平均数,有限总体的平均数为:
N x n
i i
∑==
1
μ (3-3)
式中, N 表示总体所包含的个体数。
当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时, 则称此统计量为该总体参数的无偏 估计量。统计学中常用样本平均数()作为总体平均数(μ)的估计量,并已证明样本平 均数 是总体平均数 μ的无偏估计量。
二、中位数
将资料内所有观测值从小到大依次排列,位于中间的那个观测值,称为中位数,记为 M d 。当观测值的个数是偶数时,则以中间两个观测值的平均数作为中位数。中位数简称中 数。 当所获得的数据资料呈偏态分布时, 中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方 法因资料是否分组而有所不同。
(一)未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料,先将各观测值由小到大
依次排列。
1、 当观测值个数 n 为奇数时, (n+1) /2位置的观测值,即 x (n+1)/2为中位数;
M d =2/) 1(+n x 2、 当观测值个数为偶数时, n/2和 (n/2+1) 位置的两个观测值之和的 1/2为中
位数,即:
2
)
12/(2/++=
n n d
x x M
(3-4)
【例 3.4】 观察得 9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为 144、 145、 147、 149、 150、 151、 153、 156、 157,求其中位数。
此例 n =9,为奇数,则:
M d =52/) 19(2/) 1(x x x n ==++=150(天)
即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为 150天。
【例 3.5】 某犬场发生犬瘟热,观察得 10只仔犬发现症状到死亡分别为 7、 8、 8、 9、 11、 12、 12、 13、 14、 14天,求其中位数。
此例 n =10,为偶数,则:
25
5. 112
12112
2
6
5)
12/(2/=+=
+=
+=
+x x x x M
n n d
(天)
即 10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为 11.5天。
(二)已分组资料中位数的计算方法 若资料已分组,编制成次数分布表,则可 利用次数分布表来计算中位数,其计算公式为:
) 2
(
c n f
i L M
d
-+
= (3— 5)
式中:L —中位数所在组的下限; i —组距;
f —中位数所在组的次数; n —总次数;
c —小于中数所在组的累加次数。
【例 3.6】 某奶牛场 68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间整理成次数分布表 如表 3— 2所示,求中位数。
表 3— 2 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表
间隔时间(d )
头数(f )
累加头数
12— 26 1 1 27— 41 2 3 42— 56 13 16 57— 71 20 36 72— 86 16 52 87— 101 12 64 102— 116 2 66 ≥ 117
2
68
由表 3— 2可见:i =15, n =68,因而中位数只能在累加头数为 36所对应的“ 57— 71”这 一组,于是可确定 L =57, f =20, C =16,代入公式(3— 5)得:
5. 70) 162
68(
20
1557) 2
(
=-+
=-+
=c n f
i L M
d
(天)
即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为 70.5天。
三、几何平均数
n 个观测值相乘之积开 n 次方所得的方根,称为几何平均数,记为 G 。它主要应用于畜 牧业、水产业的生产动态分析,畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的增长 率,抗体的滴度,药物的效价,畜禽疾病的潜伏期等,用几何平均数比用算术平均数更能代 表其平均水平。其计算公式如下:
n
n n
n x x x x x x x x G 1) (321321 ??=??=
(3— 6)
为了计算方便,可将各观测值取对数后相加除以 n ,得 lgG ,再求 lgG 的反对数,即得
26 G 值,即
)]lg lg (lg1[
lg
211
n x x x n
G +++=- (3— 7)
【例 3.7】 某波尔山羊群 1997— 2000年各年度的存栏数见表 3— 3,试求其年平均增 长率。
表 3— 3 某波尔山羊群各年度存栏数与增长率
年度 存栏数(只)
增长率(x )
Lgx
1997 140 —
—
1998 200 0.429 -0.368 1999 280 0.400 -0.398 2000 350 0.250 -0.602 利用公式(3— 7)求年平均增长率
G =)]lg lg (lg1
[lg 211n x x x n +++-
=lg -1[3
1
(-0.368-0.398– 0.602) ]
=lg -1(-0.456) =0.3501
即年平均增长率为 0.3501或 35.01%。
四、众 数
资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值,称为众数,记为 M 0。如 表 2-3所列的 50枚受精种蛋出雏天数次数分布中, 以 22出现的次数最多, 则该资料的众数 为 22天。又如 【例 3.6】 所列出的次数分布表中, 57— 71这一组次数最多,其组中值为 64天,则该资料的众数为 64天。
五、调和平均数
资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数,称为调和平均数,记为 H ,即
∑=
++
=
x
n
x x x n
n
H 1111111
)
(
1
2
1
(3— 8)
调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模。 【例 3.8】 某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为:0世代 200头, 1世代 220头, 2世代 210头; 3世代 190头, 4世代 210头,试求其平均规模。
利用公式(3— 9)求平均规模:
33. 2080048
. 01)
024. 0(1
)
(1
5
1210
1190
1210
1220
1
20015
1==
=
++++
=
H (头)
即保种群平均规模为 208.33头。
对于同一资料,算术平均数 >几何平均数 >调和平均数。
上述五种平均数,最常用的是算术平均数。
第二节 标准差
一、标准差的意义
用平均数作为样本的代表, 其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。 如 果各观测值变异小, 则平均数对样本的代表性强; 如果各观测值变异大, 则平均数代表性弱。 因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的, 还需引入一个表示资料中观测值 变异程度大小的统计量。
全距(极差)是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。全距大,则资料中 各观测值变异程度大, 全距小, 则资料中各观测值变异程度小。 但是全距只利用了资料中的 最大值和最小值, 并不能准确表达资料中各观测值的变异程度, 比较粗略。 当资料很多而又 要迅速对资料的变异程度作出判断时,可以利用全距这个统计量。
为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度, 人们首先会考虑到以平均数为标准, 求 出各个观测值与平均数的离差,即(x -) ,称为离均差。虽然离均差能表达一个观测值偏 离平均数的性质和程度,但因为离均差有正、有负,离均差之和为零,即 Σ(x -) =0, 因而不能用离均差之和 Σ(x -)来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均 差有正、 有负, 离均差之和为零的问题, 可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除 以观测值 n 求得平均绝对离差,即 Σ|x -|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值 的变异程度,但由于平均绝对离差包含绝对值符号,使用很不方便,在统计学中未被采用。 我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、 有负, 离均差之和为零的问题。 先 将各个离均差平方,即 (x -) 2,再求离均差平方和,即 Σ2)
(x -,简称平方和,记为 SS ; 由于离差平方和常随样本大小而改变,为了消除样本大小的影响,用平方和除以样本大小, 即 Σn
x /
)
(2
-,求出离均差平方和的平均数;为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏 估计量, 统计学证明, 在求离均差平方和的平均数时, 分母不用样本含量 n , 而用自由度 n-1, 于是,我们采用统计量 Σ1
/
)
(2-
-n
x 表示资料的变异程度。统计量 Σ1
/
)
(2-
-n
x 称为均 方 (mean square缩写为 MS ) , 又称样本方差,记为 S 2,即
S 2=∑-
-1
/
)
(2n
x (3— 9) 相应的总体参数叫总体方差,记为 σ2。对于有限总体而言, σ2的计算公式为:
σ2∑-
=x (μ) 2/N (3— 10) 由于样本方差带有原观测单位的平方单位, 在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而 不作其它分析时, 常需要与平均数配合使用, 这时应将平方单位还原, 即应求出样本方差的 平方根。统计学上把样本方差 S 2的平方根叫做样本标准差,记为 S ,即:
27
28 1
)
(2
--=
∑n x S (3-11)
由于 ∑∑+-=-) 2() (2
2
2
x x
x
2
2
2n x x +-=
∑∑
22
2
) () (2
n
x n n
x x ∑∑∑+-=
n
x x
22
) (∑∑-
=
所以(3-11)式可改写为:
1
2
)
(
2
--=
∑
∑n x S n
x (3-12)
相应的总体参数叫总体标准差,记为 σ。对于有限总体而言, σ的计算公式为:
σ=
∑-N x /)
(2
μ (3-13)
在统计学中,常用样本标准差 S 估计总体标准差 σ。
二、标准差的计算方法
(一)直接法 对于未分组或小样本资料,可直接利用(3— 11)或(3-12)式来计
算标准差。
【例 3.9】 计算 10只辽宁绒山羊产绒量:450, 450, 500, 500, 500, 550, 550, 550, 600, 600, 650(g )的标准差。
此例 n =10,经计算得:Σx =5400, Σx 2=2955000,代入(3— 12)式得:
828. 651
1010
/540029550001
/) (2
2
2
=--=
--=
∑∑n n x x
S (g)
即 10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为 65.828g 。
(二) 加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料, 可利用次数分布表, 采用加权 法计算标准差。计算公式为:
∑
∑
∑∑∑
∑
--=
--=
1
/) (1
)
(2
2
2
f f
fx fx
f x f S (3— 14)
式中, f 为各组次数; x 为各组的组中值; Σf = n 为总次数。
【例 3.10】 利用某纯系蛋鸡 200枚蛋重资料的次数分布表(见表 3-4)计算标准差。 将表 3-4中的 Σf 、 Σfx 、 Σfx 2代入(3— 14)式得:
29
5524. 31
200200
/1. 1070511. 5755071
/) (2
2
2
=--=
--=
∑
∑
∑∑f f
fx fx
S (g )
即某纯系蛋鸡 200枚蛋重的标准差为 3.5524g 。
表 3— 4 某纯系蛋鸡 200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表
组别 组中值(x )
次数(f )
fx fx
2
44.15— 45.0 3 135.0 6075.0 45.85— 46.7 6 280.2 13085.34 47.55— 48.4 16 774.4 37480.96 49.25— 50.1 22 1102.2 55220.22 50.95— 51.8 30 1554.0 80497.20 52.65— 53.5 44 2354.0 125939.00 54.35— 55.2 28 1545.0 85317.12 56.05— 56.9 30 1707.0 97128.30 57.75— 58.6 12 703.2 41207.52 59.45— 60.3 5 301.5 18180.45 61.15— 62.0
4
248.0
15376.00
合计 Σf =200 Σfx =10705.1 Σfx 2=575507.11
三、标准差的特性
(一)标准差的大小,受资料中每个观测值的影响,如观测值间变异大,求得的标准差 也大,反之则小。
(二)在计算标准差时,在各观测值加上或减去一个常数,其数值不变。
(三) 当每个观测值乘以或除以一个常数 a , 则所得的标准差是原来标准差的 a 倍或 1/a倍。
(四)在资料服从正态分布的条件下,资料中约有 68.26%的观测值在平均数左右一倍 标准差 (±S ) 范围内; 约有 95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差 (±2S ) 范围内; 约有 99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差(±3S )范围内。也就是说全距近似地等 于 6倍标准差,可用(6/全距 )来粗略估计标准差。
第三节 变异系数
变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。 当进行两个或多个资料变异 程度的比较时, 如果度量单位与平均数相同, 可以直接利用标准差来比较。 如果单位和 (或) 平均数不同时, 比较其变异程度就不能采用标准差, 而需采用标准差与平均数的比值 (相对 值)来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数,记为 C ·V 。变异系数可以消除单位和
30 (或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
变异系数的计算公式为:
%100?=
?S V C (3— 15)
【例 3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为 190kg ,标准差为 10.5kg ,而大 约克成年母猪平均体重为 196kg ,标准差为 8.5kg ,试问两个品种的成年母猪,那一个体重 变异程度大。
此例观测值虽然都是体重, 单位相同, 但它们的平均数不相同, 只能用变异系数来比较 其变异程度的大小。
由于,长白成年母猪体重的变异系数:%
53. 5%1001905. 10=?=?V
C 大约克成年母猪体重的变异系数:%
34. 4%100196
5. 8=?=
?V
C
所以,长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。
注意, 变异系数的大小, 同时受平均数和标准差两个统计量的影响, 因而在利用变异系 数表示资料的变异程度时,最好将平均数和标准差也列出。
习 题
1、生物统计中常用的平均数有几种?各在什么情况下应用? 2、何谓算术平均数?算术平均数有哪些基本性质? 3、何谓标准差?标准差有哪些特性?
4、何谓变异系数?为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用?
5、 10头母猪第一胎的产仔数分别为:9、 8、 7、 10、 12、 10、 11、 14、 8、 9头。试计算这 10头母猪 第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。 (=9.8头, S =2.098头, C ·V =21.40%) 。
6、随机测量了某品种 120头 6月龄母猪的体长,经整理得到如下次数分布表。试利用加权法计算其平 均数、标准差与变异系数。
组别 组中值(x )
次数(f )
80— 84 2 88— 92 10 96— 100 29 104— 108 28 112— 116 20 120— 124 15 128— 132 13 136—
140
3
(=111.07cm, S =12.95cm, C ·V =11.66%) 。
7、某年某猪场发生猪瘟病,测得 10头猪的潜伏期分别为 2、 2、 3、 3、 4、 4、 4、 5、 9、 12(天 ) 。试 求潜伏期的中位数。(4天)
8、某良种羊群 1995— 2000年六个年度分别为 240、 320、 360、 400、 420、 450只,试求该良种羊群的
年平均增长率。 (G =0.1106或 11.06%) 。
9、某保种牛场,由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动,连续 5个世代的规模分别为:120、 130、 140、 120、 110头。试计算平均世代规模。 (H =123.17头)
10、调查甲、乙两地某品种成年母水牛的体高(cm )如下表,试比较两地成年母水牛体高的变异程度。
甲地 137 133 130 128 127 119 136 132
乙地 128 130 129 130 131 132 129 130
(S
甲
=5.75cm , C.V 甲 =4.42%; S 乙 =1.25cm , C.V 乙 =0.96%)
31
范文二:平均数、标准差与变异系数
第三章 平均数、标准差与变异系数
本章重点介绍平均数(mean )、标准差(standard deviation )与变异系数(variation coefficient )三个常用统计量,前者用于反映资料的集中性,即观测值以某一数值为中心而分布的性质;后两者用于反映资料的离散性,即观测值离中分散变异的性质。
第一节 平均数
平均数是统计学中最常用的统计量,用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。在畜牧业、水产业生产实践和科学研究中,平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数(arithmetic mean)、中位数(median )、众数(mode )、几何平均数(geometric mean)及调和平均数(harmonic mean ),现分别介绍如下。
一、算术平均数
算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商,简称平均数或均数,记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
(一)直接法 主要用于样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n 个观测值:x 1、x 2、?、x n ,则样本平均数可通过下式计算:
x +x 2+ +x n
=1=
n
n
∑x
i =1
n
i
n
(3-1)
n
其中,Σ为总和符号;
∑x i 表示从第一个观测值x 累加到第n 个观测值x 。当∑x
1
n
i
i =1i =1
在意义上已明确时,可简写为Σx ,(3-1)式即可改写为:
=
x
n
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、
600、480、510、505、490(kg ),求其平均体重。
由于Σx =500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285,n =10
代入(3—1)式得:
=
∑x =5285=528.5(kg)
n
10
即10头种公牛平均体重为528.5 kg 。
(二)加权法 对于样本含量n ≥30以上且已分组的资料,可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数,计算公式为:
22
f 1x 1+f 2x 2+ +f k x k == f 1+f 2+ +f k
式中:x i —第i 组的组中值; f i —第i 组的次数;
k —分组数
∑f i x i fx
i =1
=k
f (3-2) ∑f i
i =1
k
第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占比重大小的数量,因此f i 称为是x i
的“权”,加权法也由此而得名。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重(单位:kg )资料整理成次数分布表如下,求其加权数平均数。
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表
组别 10— 20— 30— 40— 50— 60— 70— 合计
利用(3—2)式得:
组中值(x )
15 25 35 45 55 65 75
次数(f )
3 6 26 30 24 8 3 100
f x 45 150 910 1350 1320 520 225 4520
=
∑fx =4520=45. 2(kg ) f 100
即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg 。
计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时,如果样本含量不等,也应采用加权法计算。
【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛1500头,其平均体重为750 kg ,而另一牛群有黑白花奶牛1200头,平均体重为725 kg ,如果将这两个牛群混合在一起,其混合后平均体重为多少?
此例两个牛群所包含的牛的头数不等,要计算两个牛群混合后的平均体重,应以两个牛群牛的头数为权,求两个牛群平均体重的加权平均数,即
fx 750?1500+725?1200∑===738. 89(kg )
2700f 即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。 (三)平均数的基本性质
1、样本各观测值与平均数之差的和为零,即离均差之和等于零。
23
∑(x i -) =0 或简写成∑(x
i =1
n
-) =0
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小,即离均差平方和为最小。
∑
i =1
n
(x i -)
2
∑
i =1
n
(x i - a) 2 (常数a ≠)
或简写为:
∑(x -) 2<∑(x -α)="">∑(x>
以上两个性质可用代数方法予以证明,这里从略。
对于总体而言,通常用μ表示总体平均数,有限总体的平均数为: μ=
n
∑x i
i =1
N (3-3)
式中,N 表示总体所包含的个体数。
当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时,则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数()作为总体平均数(μ)的估计量,并已证明样本平均数是总体平均数μ的无偏估计量。
二、中位数
将资料内所有观测值从小到大依次排列,位于中间的那个观测值,称为中位数,记为M d 。当观测值的个数是偶数时,则以中间两个观测值的平均数作为中位数。中位数简称中数。当所获得的数据资料呈偏态分布时,中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。
(一)未分组资料中位数的计算方法 对于未分组资料,先将各观测值由小到大
依次排列。
1、当观测值个数n 为奇数时,(n+1) /2位置的观测值,即x (n+1)/2为中位数;
M d =x (n +1) /2
2、当观测值个数为偶数时,n/2和(n/2+1)位置的两个观测值之和的1/2为中
位数,即:
M d =
x n /2+x (n /2+1)
2
(3-4)
【例3.4】 观察得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为144、145、147、149、150、151、153、156、157,求其中位数。
此例n =9,为奇数,则:
M d =x (n +1) /2=x (9+1) /2=x 5=150(天)
即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150天。
【例3.5】 某犬场发生犬瘟热,观察得10只仔犬发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天,求其中位数。
此例n =10,为偶数,则:
24
x 5+x 611+12
==11. 5(天)
222
即10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为11.5天。
(二)已分组资料中位数的计算方法 若资料已分组,编制成次数分布表,则可利用次数分布表来计算中位数,其计算公式为:
i n
M d =L +(-c ) (3—5)
f 2
M d =
=
式中:L —中位数所在组的下限; i —组距;
f —中位数所在组的次数; n —总次数;
c —小于中数所在组的累加次数。
【例3.6】 某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间整理成次数分布表如表3—2所示,求中位数。
表3—2 68头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表
间隔时间(d )
12—26 27—41 42—56 57—71 72—86 87—101 102—116 ≥117
头数(f )
1 2 13 20 16 12 2 2
累加头数
1 3 16 36 52 64 66 68
x n /2+x (n /2+1)
由表3—2可见:i =15,n =68,因而中位数只能在累加头数为36所对应的“57—71”这一组,于是可确定L =57,f =20,C =16,代入公式(3—5)得:
i n 1568
M d =L +(-c ) =57+(-16) =70. 5(天)
f 2202
即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为70.5天。
三、几何平均数
n 个观测值相乘之积开n 次方所得的方根,称为几何平均数,记为G 。它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析,畜禽疾病及药物效价的统计分析。如畜禽、水产养殖的增长率,抗体的滴度,药物的效价,畜禽疾病的潜伏期等,用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。其计算公式如下:
1
G =x 1?x 2?x 3 x n =(x 1?x 2?x 3 x n ) (3—6)
为了计算方便,可将各观测值取对数后相加除以n ,得lgG ,再求lgG 的反对数,即得
25
G 值,即
1
G =lg -1[(lgx 1+lg x 2+ +lg x n )] (3—7)
n
【例3.7】 某波尔山羊群1997—2000年各年度的存栏数见表3—3,试求其年平均增长率。
年度 1997 1998 1999 2000 存栏数(只)
140 200 280 350 增长率(x )
Lgx
—
0.429 0.400 0.250 —
-0.368 -0.398 -0.602 利用公式(3—7)求年平均增长率
G =lg -1[(lgx 1+lg x 2+ +lg x n )] 1
=lg -1[(-0.368-0.398–0.602)]
3
1n
=lg -1(-0.456)=0.3501
即年平均增长率为0.3501或35.01%。
四、众 数
资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值,称为众数,记为M 0。如表2-3所列的50枚受精种蛋出雏天数次数分布中,以22出现的次数最多,则该资料的众数为22天。又如【例3.6】所列出的次数分布表中,57—71这一组次数最多,其组中值为64天,则该资料的众数为64天。
五、调和平均数
资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数,称为调和平均数,记为H ,即
H =
1
n (x +1
x 2
+ x n )
=
1
11 (3—8)
调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模。 【例3.8】 某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为:0世代200头,1世代220头,2世代210头;3世代190头,4世代210头,试求其平均规模。
利用公式(3—9)求平均规模:
H =
26
1
11(+
1
+
11++1
) =
11
==208. 33(头) 1
(0. 024) 0. 0048
即保种群平均规模为208.33头。
对于同一资料,算术平均数>几何平均数>调和平均数。 上述五种平均数,最常用的是算术平均数。
第二节 标准差
一、标准差的意义
用平均数作为样本的代表,其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。如果各观测值变异小,则平均数对样本的代表性强;如果各观测值变异大,则平均数代表性弱。因而仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的,还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。
全距(极差)是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。全距大,则资料中各观测值变异程度大,全距小,则资料中各观测值变异程度小。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值,并不能准确表达资料中各观测值的变异程度,比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时,可以利用全距这个统计量。
为了准确地表示样本内各个观测值的变异程度,人们首先会考虑到以平均数为标准,求出各个观测值与平均数的离差,即(x -),称为离均差。虽然离均差能表达一个观测值偏离平均数的性质和程度,但因为离均差有正、有负,离均差之和为零,即Σ(x -)=0,因而不能用离均差之和Σ(x -)来表示资料中所有观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正、有负,离均差之和为零的问题,可先求离均差的绝对值并将各离均差绝对值之和除以观测值n 求得平均绝对离差,即Σ|x -|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度,但由于平均绝对离差包含绝对值符号,使用很不方便,在统计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负,离均差之和为零的问题。先将各个离均差平方,即 (x -) 2,再求离均差平方和,即Σ(x -) 2,简称平方和,记为SS ;由于离差平方和常随样本大小而改变,为了消除样本大小的影响,用平方和除以样本大小,即Σ(x -) 2/n ,求出离均差平方和的平均数;为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计量,统计学证明,在求离均差平方和的平均数时,分母不用样本含量n ,而用自由度n-1,于是,我们采用统计量Σ(x -) 2/n -1表示资料的变异程度。统计量Σ(x -) 2/n -1称为均方(mean square缩写为MS ), 又称样本方差,记为S ,即
S =
2
2
∑(x -) 2/n -1 (3—9)
2
2
2
相应的总体参数叫总体方差,记为σ。对于有限总体而言,σ的计算公式为:
σ=
∑(x -μ)/N (3—10)
2
由于样本方差带有原观测单位的平方单位,在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时,常需要与平均数配合使用,这时应将平方单位还原,即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差S 的平方根叫做样本标准差,记为S ,即:
2
27
S =
2
∑(x -) 2
n -1
(3-11)
由于∑(x -) =∑(x 2-2x +2) =
∑x 2-2∑x +n 2
∑x -2
2
=
(∑x ) 2
n
+n (
∑x ) 2
n
=
∑x
2
-
(∑x ) 2
n
所以(3-11)式可改写为:
S =
x ) 2∑
∑x -2
(
n -1
(3-12)
相应的总体参数叫总体标准差,记为σ。对于有限总体而言,σ的计算公式为:
σ=
∑(x -μ) 2/N (3-13)
在统计学中,常用样本标准差S 估计总体标准差σ。
二、标准差的计算方法
(一)直接法 对于未分组或小样本资料,可直接利用(3—11)或(3-12)式来计
算标准差。
【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量:450,450,500,500,500,550,550,550,600,600,650(g )的标准差。
此例n =10,经计算得:Σx =5400,Σx 2=2955000,代入(3—12)式得:
S =
x 2-(x ) 2/n =
n -1
2955000-54002/10
=65. 828(g)
10-1
即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65.828g 。
(二)加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料,可利用次数分布表,采用加权
法计算标准差。计算公式为:
S =
∑f (x -) 2
f -1
=
∑fx 2-(∑fx ) 2/∑f
f -1
(3—14)
式中,f 为各组次数;x 为各组的组中值;Σf = n 为总次数。
【例3.10】 利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表(见表3-4)计算标准差。 将表3-4中的Σf 、Σfx 、Σfx 2代入(3—14)式得:
28
S =
∑fx 2-(∑fx ) 2/∑f
f -1
575507. 11-10705. 12/200==3. 5524(g )
200-1
即某纯系蛋鸡200枚蛋重的标准差为3.5524g 。
表3—4 某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表
组别 44.15— 45.85— 47.55— 49.25— 50.95— 52.65— 54.35— 56.05— 57.75— 59.45— 61.15— 合计
组中值(x )
45.0 46.7 48.4 50.1 51.8 53.5 55.2 56.9 58.6 60.3 62.0
次数(f )
3 6 16 22 30 44 28 30 12 5 4
fx 135.0 280.2 774.4 1102.2 1554.0 2354.0 1545.0 1707.0 703.2 301.5 248.0
fx 2 6075.0 13085.34 37480.96 55220.22 80497.20 125939.00 85317.12 97128.30 41207.52 18180.45 15376.00
Σf =200 Σfx =10705.1 Σfx 2=575507.11
三、标准差的特性
(一)标准差的大小,受资料中每个观测值的影响,如观测值间变异大,求得的标准差也大,反之则小。
(二)在计算标准差时,在各观测值加上或减去一个常数,其数值不变。
(三)当每个观测值乘以或除以一个常数a ,则所得的标准差是原来标准差的a 倍或1/a倍。
(四)在资料服从正态分布的条件下,资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差(±S )范围内;约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差(±2S )范围内;约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差(±3S )范围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差,可用(全距/6)来粗略估计标准差。
第三节 变异系数
变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不同时,比较其变异程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数,记为C ·V 。变异系数可以消除单位和
29
(或)平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。
变异系数的计算公式为:
C ?V =
S
?100% (3—15) 【例3.11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190kg ,标准差为10.5kg ,而大约克成年母猪平均体重为196kg ,标准差为8.5kg ,试问两个品种的成年母猪,那一个体重变异程度大。
此例观测值虽然都是体重,单位相同,但它们的平均数不相同,只能用变异系数来比较其变异程度的大小。
由于,长白成年母猪体重的变异系数:C ?V =
10. 5
?100%=5. 53% 190
8. 5
?100%=4. 34% 196
大约克成年母猪体重的变异系数:C ?V =
所以,长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。
注意,变异系数的大小,同时受平均数和标准差两个统计量的影响,因而在利用变异系数表示资料的变异程度时,最好将平均数和标准差也列出。
习 题
1、生物统计中常用的平均数有几种?各在什么情况下应用? 2、何谓算术平均数?算术平均数有哪些基本性质? 3、何谓标准差?标准差有哪些特性?
4、何谓变异系数?为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用?
5、10头母猪第一胎的产仔数分别为:9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。试计算这10头母猪第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。(=9.8头,S =2.098头,C ·V =21.40%)。
6、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长,经整理得到如下次数分布表。试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数。
组别 80— 88— 96— 104— 112— 120— 128— 136—
(=111.07cm,S =12.95cm, C ·V =11.66%)。
7、某年某猪场发生猪瘟病,测得10头猪的潜伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12(天) 。试求潜伏期的中位数。(4天)
8、某良种羊群1995—2000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只,试求该良种羊群的
组中值(x )
84 92 100 108 116 124 132 140
次数(f )
2 10 29 28 20 15 13 3
30
年平均增长率。(G =0.1106或11.06%)。
9、某保种牛场,由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动,连续5个世代的规模分别为:120、130、140、120、110头。试计算平均世代规模。(H =123.17头)
10、调查甲、乙两地某品种成年母水牛的体高(cm )如下表,试比较两地成年母水牛体高的变异程度。
甲地 乙地
(S 甲=5.75cm , C.V 甲=4.42%;S 乙=1.25cm ,C.V 乙=0.96%)
137 128
133 130
130 129
128 130
127 131
119 132
136 129
132 130
31
范文三:混凝土强度的标准差和变异系数
1999 年第 6 期 混 凝 土 与 水 泥 制 品 1999 No6
12 月 CHINA CONCRETE AND CEMENT PRODUCTS December
混凝土强度的标准差和变异系数
戴镇潮
()武警水电第二总队 重庆 400010
摘 要 : 本文按误差传递方法推算 , 并以现场和试验室实测结果验证 , 证明混凝土强度标准差随强度平均值的降低而减小 , 十
分接近线性关系 ,但强度趋近于零时 ,标准差不趋近于零 ,而是大于零 ; 相应地 ,强度变异系数则随强度降低而增大 ,强度趋近于零
时 ,变异系数趋近于无穷大。
关键词 :混凝土强度 强度平均值 标准差 变异系数
Abstract :Besed on calculation buse of deviation transmit method and check uwith racticallmeasurement in site and laborator, it is y p py y
roved that the standard deviation of concrete strenth is reduced with the decreasinof averae strenth , and the relationshiis uite similar to a pgg ggp q
straiht line. And the standard deviation dose not tend to zero , but is larer than zero , when the strenth tend to zero. Corresondentl, the gggpy
coefficient of variation is enhanced with the decreasinof concrete strenth ; and when the concrete strenth tend to zero , the coefficient of variation g gg
tend to infinit.y
Kewords :Concrete strenth , Averae strenth , Standard deviation , Coefficient of variationy ggg
1 几种不同观点 则随 R 的降低而增大 ; R = 0 时 ,V = ?。 σ 混凝土强度的标准差和变异系数 V 与强度 σ 2 - R、V - R 关系的推导 () R 指平均值 ,下同的关系 ,长期存在不同观点的争论。 推导的基础是鲍罗米混凝土强度经验公式 ,即 : 主要有四种观点 ,示于图 1 。 ( )( ) R = aRcC/ W - b1 式中 , R — 混凝土强度 ;
Rc — 水泥强度 ;
C/ W — 混凝土灰水比 ;
a 、b — 回归系数
混凝土强度经验式有多种 ,但以此式最优 ,不仅简
单 ,而且包含了影响混凝土强度的主要因素 ———Rc 、C、
W, 粗骨料种类的影响则由 a 、b 反映出来 , 物理意义明
( ) 确 , 在常用 C/ W = 114, 215 W/ C = 017, 014范围
内 ,R 与 C/ W有很好的相关性。
σ图 1 混凝土强度的标准差、变异系数 V 再按误差传递中的标准差的一般公式 ,当 : 与强度 R 关系的四种观点 u = f ( x ,,z , ) y
2 2 2 5u 5u 5u 则 σu = σz x y + + σ 观点 A V 不随 R 变化 ,相应地随 R 成正比5x 55z y 增
大 ,R = 0 时 其中σu 、σx 、σ、σz 分别为 u 、x、、z 的标准差。= 0 。 y y σ,
() (于是由式1可得由 Rc 、C、W 的误差分别以标准 σ 观点 B 不随 R 变化 。相应地 V 随 R 增大而减
σσσ) 差Rc 、C 、W 或分别以变异系数 V Rc 、V C 、V W 代表小。
σ产 生的混凝土强度标准差R 为 : σ 观点 C R 低时 , 随 R 成正比增大 , R = 0 时
2 2 2 σσ = 0 ; 相应地 V 不随 R 变化 , R 增大到一定数值后 , 5R 5R 5R 2 σ 2 σ Rc W σ+5Rc 5C 5W 不随 R 变化 ,V 随 R 增大而减小。 2 2 2 2 2 2 σ σ 观点 D 和 V 都随 R 变化 。随 R 的降低而减 a Rc aCRc σ σC C + σWa b Rc + = + -2 W W W 小 - R 十分接近线性关系 ; R = 0 时 > 0 。相应地 ,V
σσ, ,
1999 年第 6 期 混凝土与水泥制品 总第 110 期 2 2σ( )2 说明- R 关系线不通过坐标原点 。其原因可由式1 σσ 2 WC 2 C aCRc Rc = a b - σ+ 得出 : R = 0 时 , C/ W= b > 0 , 表明 C/ W小到一定程度 , 2 + 2 W W C W
aCRc C R 即水泥浆稀至一定程度 ,就不能胶结骨料 ,也就产生不 再由式( 1) 得 : a b 和 R abRc ,代入- = = + Rc W W 了强度 。这是符合实际情况的 。既然 R = 0 时 ,C/ W= b , 上式得 : 说明还有水泥和水 ,也就存在灰水比误差 ,还有水泥强 2 2 σ( ) 度2 σ Rc 等 ,这就说明式5也是符合实际的。 2 C σW Rc σR = 2 (R abRc )+ + R 2 ( ) 式 4表明 , 混凝土强度变异系数 V 随 VRc 、VC/ W 和 C 2 + 2 R C W σσ σC W Vt 的增大而增大 ,也随 R 的降低而增大 。当 R = 0 ,由于 Rc Rc ,VC ,V = = 又由于 V w , 代入上C = Rc σ W ?0 ,故 V = ?。
式得 : σ 3 不同 R 的和 V 的计算 2 2 2 2 2 在实际中 , 影响混凝土强度的各主要因系的变异 σR = R V Rc C W )(R abRc ) (V V + + + 2 2 2 大致如下 : 2 = R V Rc (R abRc )+ + ()V C/ W 2 V Rc 主要决定于水泥厂的生产质量控制水平 ,一般 2 2 其中灰水比变异系数 V V C V W , 亦由误差传C/ W = + 为 4,10 %。 递方法求得 ,推导过程略。 由于强度是通过试验得来C 由配料称量时产生 ,一般为 1,5 %。 V 的 , 故强度标准差中还 V W 除由配料称量产生外 , 还包括骨料含水量的 应包括试验误差 。试验误差是指试件组内误差 。测定 变化和测定误差 , 以及为施工操作方使而多加水等共 结果表明 ,组内误差的变异系 V t 不随 R 变化 。因每组 同产生的 ,一般可达 5,10 % ,甚至更大。 由 m 个试件组成 , 故带入强度中的试验误差的变异系 V t 一般为 3,6 %。
() 数应为 V t / 相应的标准差为 RV t / 。代入 m m σ 要提高混凝土生产质量的均匀性 , 即降低和 V , () 式2,得由水泥强度误差 、水泥用量误差 、用水量误差 主要应努力降低 V W 。由于 V W 无法直接测得 ,只能测
σ 和试验误差共同产生的混凝土强度标准差和变得 V C/ W 后再扣除 V C 而间接测得 , 而且由于 V C 较小 , 异 系数 V 为 V W 和 V C/ W 很接近 ,故实际生产中应努力降低 V C/ W 。 2 2 2σ = σR V / m+ 据上述 , 不同控制水平的 V Rc 、V C 、V W 、V t 上限取 R t 值列于表 1 。 2 2 2 2 2 2 = R (V Rc t / m) (R abRc ) (V C W )V V + + + + 设实测的 Rc = 50 MPa , 而一般情况下 a = 0. 48 、 2 2 2 2 2 ()= R (V Rc V t / m) (R abRc )V C / W 3 + + + 2 2 2 σ 2 2 ( ) 表 1 不同控制水平的 VRc 、VC 、VW 、Vt 上限取值 %V Rc V t / m + + abRc () V = V C V W + 1 + = R R 控制水平 VRc VC VW V t 2 2 2 2 = V Rc V t / m + + abRc R ()V C /W 4 1 + 优 秀 5 1 5 4 良 好 7 2 7. 5 5 () σ 式 3表明 , 混凝土强度标准差随水泥强度误
普 通 9 3 10 6 () (差 以 V Rc 代表、灰水比误差 以 V C/ W 代表 , 可分解为
) () V C 和 V W 、试验误差 以 V t 代表的增大而增大 , 也
( ) ( ) b = 0. 61 、m = 3 ,将以上数据代入式3和式 4,计算得 随混凝土强度 R 的提高而增大 。当 R = 0 ,强度标准差 σ 不同控制水平 、不同 R 的和 V 的上限值列于表 2 。 将σR =0 ?0 ,为 : 表 2 结果绘成图 2 ,表明以鲍罗米强度经验式为 2 2 abRcV C/ W ( 5)V C V W )= σ+ 基础 , 按误差传递方法计算得的- R 和 V - R 关系与 σR abRc= o =
σ表 2 不同控制水平 、不同 R 的和 V 的上限值计算结果 控制水平 优 秀 良 好 普 通
( )RMPa 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 σ( )MPa 0. 75 1. 37 2. 08 2. 81 3. 55 4. 29 1. 14 2. 06 3. 09 4. 15 5. 22 6. 29 1. 53 2. 75 4. 10 5. 49 6. 89 8. 30
? 13. 7 ? 20. 6 ? 27. 5 ( )V% 10. 4 9. 4 8. 9 8. 6 15. 5 13. 8 13. 0 12. 6 20. 5 18. 3 17. 2 16. 6
8 混凝土与混凝土施工
戴镇潮 混凝土强度的标准差和变异系数
图 3 为笔者据三座混凝土坝施工现场实测得的试
件强度标准差 S、变异系数 V S 和平均值 x 的关系。
图 3 中的 S - ??σ x 和 V S - x 关系与图 2 的- R 和
?σ x 十分接近线性关 V - R 是一致的 。由于- R 和 S - ?系 , 用回归分析方法计算得 S - x 的关系式 , 再按 VS =
??S/ x得 VS - x关系式 ,一并标于图 3 中。 5 试验室测定结果
() 在试验室内将不同强度范围尽可能大的混凝土
分别重复配料和拌和 ,制作试件 ,也可测得试件强度标 ?准差 S、变异系数 V S 和平均值x 的关系 。摘自文献[ 1 ]
的测定结果列于表 3 ,并绘成图 4 。
(σ)图 2 计算得的不同控制水平的- R、V - R 关系由表 2 ??图 4 的 S - x、V S - x 关系线的形状与图 3 一致 , 与 σ 图 2 的- R、V - R 也一致 , 只是 S 和 V S 比图 3 的小
观点 D 一致。 σ 得多 ,比图 2 的和 V 也小得多 。说明试验室内的各4 现场实测结果 ( ) 种 因素变异 V Rc 、V C 、V W 、V t 比现场小得多 , 但却
都是
??图 3 现场实测的 S - 和 V S - 关系 xx
a . 富春江大坝 ,1960 ,1961 ; b . 丹江口大坝 ,前期 195919 ,1960112 ,后期 1965 ,1970 ,共 6805 组试件 ; () () c . 乌江渡大坝江南拌和站,197413 ,1982112 ,共 1931 组试件 ; d . 乌江渡大坝江北拌和楼,197413 ,1982112 共 3824 组试件
?表 3 试验室内测得的不同的 S 和V S x 试验次数 10 27 57 83 69 82 73 33 25 21 13 7 6 ( )xMPa 11. 4 13. 7 16. 1 18. 4 20. 8 23. 4 25. 7 28. 5 30. 6 33. 1 35. 1 38. 0 40. 2 ( )SMPa 0. 58 1. 01 1. 11 0. 98 1. 22 1. 22 1. 43 0. 86 1. 46 1. 96 0. 98 1. 37 1. 52
( )V S % 5. 1 7. 3 6. 9 5. 3 5. 8 5. 2 5. 6 3. 0 4. 8 6. 0 2. 8 3 ,6 3. 8
注 :每次试验为相同混凝土重复配料 、拌和 、制件两回 。
混凝土与混凝土施工 9
1999 年第 6 期 混凝土与水泥制品 总第 110 期
σ存在的 。由于试验室内所用材料 、操作 、控制水平比现 时为观点 A ,R 高时为观点 B 。也是以 R = 0 ,必然=
??0 的主观臆断对观点 B 的修正结果 。既然前面已经分场要稳定得多 ,测得的 S - x 和 V S - x 的关系应是比较
析 证明观点 A 和观点 B 是不正确的 , 所以观点 C 也可靠的 。这就十分有力地证明 , 以鲍罗米强度经验式
是不 正确的。 σ为基础 ,按误差传递方法推算得的- R 和 V - R 关
?系 614 在工地或工厂 ,要比较准确地测得 S - x 和 V S -
?σ x的关系 ,以代表- R 和 V - R 的关系 ,应做到以下三
点 :
() 1保持生产条件和质量控制水平的稳定 。亦即使
Rc 、V C 、V W 、Vt 用的原材料质量和生产操作稳定 ,保持 V
及 Rc 、a 、b 等变化较小 ,但要使它们不变是做不到的。
??() 2x的范围应足够大 , 即除有中等的外 , 也应有 x 很高的和很低的。 ( ) ?3试件组数应相当多 , n 越大 , 、S、VS 的精密度 x
σ越高 ,用来估计 R、、V 的误差便越小。
??() 有的工地 工厂测得的 S - x和 VS - x 的相关性 不
好 ,就是没有满足以上三点要求 。有的学者将不同工 地 ??图 4 试验室内测得的 S - 、V S - 关系 xx?() 工厂的实测结果绘在一张图上来求 S - x和 V S -
?x关系 , 显然是不正确的 , 因为它们的生产条件和控是正确的 ,也证明观点 D 是正确的。 () 制 水平各不相同 。就是同一工地 工厂,延续时间太6 讨论 长 , 生产条件和控制水平也将发生变化 , 所得结果的611 观点 A 是在混凝土应用数理统计方法的初期产 相关 性会变差 ,如图 3 中的点子分布就不够集中 。而生的 ,它的提出主要可能是由于以下原因 : ??试验室 的条件稳定 , 测得的 S - x和 V S - x的相关性便( ) 1以为 V 是误差的相对指标 ,不会随 R 而变化 ; 较好 , 如图 4 。 ( ) 2只用试件组内试验误差的变异系数来验证; σ 615 和 V 都可作为控制水平的评定指标 , 但由于 ( ) 3缺乏现场实测资料。 σ 都随 R 变化 ,所以不同的 R 应规定不同的和 V 值。 现在 , 由于大量实测资料已证明 V 随 R 的提高而 也可用三个主要因素的变异系数 V C 、V C/ W 、V t 分 降低 ,赞同观点 A 的已越来越少。 项来评定控制水平。 612 观点 B 是在否定观点 A 的基础上建立的 , 可能 () 616 不少情况下 如工程刚开工规模小的工程无法 由于 : σσ 事先实测得,不同 R 的更无法测得 ,而在一些计( ) 1实测资料表明 V 随 R 而变化 , 因而反过来以 σ 算 中却需用,若事先获得 Rc 、a 、b 、V Rc 、V C/ W 、V t 、m ,σ 为不随 R 变化 ; ( ) σ就可 由式3计算得不同 R 的。其中 Rc 、a 、b 、Vt 可( ) 2由于制造高强度混凝土难于低强度混凝土 ,因 在试验 室内事先测得 , m 是统一规定的 , V Rc 可暂先而比较重视 , 实际的控制水平随 R 提高而提高 , 使 S () 采用水泥 厂的 工地测得后加以修正, 主要是 V C/ W (σ) 代表不随 R 提高而增大。 难以事先测 得 ,可暂参考历史资料采用一个试用值( ) 3以 V 不随 R 变化来计算混凝土配制强度 R m , (在开始生产后 的较短时间内尽可能多地测定 C/ W ( ) ( 即 R m = R 0/ 1 - tVR 0 为设计要求的强度平均值 , t ) 值 , 以获得 V C/ W , 然后加以修正。为了能较准确地) 为强度保证率系数, 则强度越高 , R m 超过 R 0 越大 , σ 计算得, 在混凝土 生产过程中应经常地测定 Rc 、a 、σ σ显得不合理 。因而认为不随 R 变化 ,以 R m = R 0 + t b 、V Rc 、V C/ W 、V t 。 来计算要合理。 σ σ实际上 , 以不随 R 变化而按 R m = R 0 + t 计参考文献
算 得的 R m , 在强度低时结果将偏大 , 在强度高时结[ 1] 水利电力部第八工程局 , 乌江渡工程施工技术 , 水利电力出版
果偏 小 ,所以观点 B 是不能成立的。 社 ,1987 年 7 月
613 观点 C 是综合观点 A 和观点 B 的结果 , 即 R 低 ) ([ 2] J . M. Juran美等编著 , 质量控制手册 , 上海科学技术文献出版
社 ,1987 年 2 月
10 混凝土与混凝土施工
范文四:[标准差变异系数计算器]统计学例子——标准差系数计算
[标准差变异系数计算器]统计学例子——标
准差系数计算
篇一 : 统计学例子——标准差系数计算
篇二 : 标准差和变异系数的含义和计算方法,
标准差和变异系数的含义和计算方法,
标准差和变异系数都是反映统计数字能变性的一个指标,
标准差:反映数据的离散程度
s=?[Σ /]
变异系数:标准差和平均数的比值,即s/a
注:平均数的一般符号是在x上边加一横,因这里难输入,所以用a代表.
篇三 : 统计学例子——标准差系数计算
例1:
两种不同水稻品种在不同的田块上试种, 产量资料如下表所示。要求分别计算 两种品种的单位面积产量;计算两种 亩产量的标准差和标准差系数。并说明哪一 种水稻产量比较稳定,值得推广。
8/6/2013
1
两种水稻水稻品种产量资料
甲品种
田块面积 产量
乙品种
田块面积 产量
1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 合 计
600 495 445 540 420 2 500
1.5 1.4 1.2 1.0 0.9 —
840 770 540 520 450 3 120
8/6/2013
2
计算表1:
甲品种
x
500 450 445 600 525 合 计
f
1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 5.0
xf
600 495 445 540 420 2 500
x?x
0 -50 -55 100 25 —
2 f
0 2 750 3 025 9 000 500 15 275
计算表2:
乙品种
x
560 550 520 450 500 合 计
f
1.5 1.4 1.0 1.2 0.9 6.0
xf
840 770 520 540 450 3 120
x?x
40 30 0 -70 -20 —
2 f
2 400 1 260 0 5 880 360 9 900
计算:
x甲
? xf ? 2500 ? 500 ? 5 ?f
σ甲 ? 2 ?
x乙
? xf ? ?f
3120 ? ? 520 6
?f
15275 ? ? 55.3 5
9900 ? ? 40.6 6
σ乙 ?
2 ?
?f
计算表:
σ甲 55.3 v甲 ? ? ? 11.06% x甲 500
σ乙 40.6 v乙 ? ? ? 7.8% x乙 520
所以,乙品种产量高且稳定,值得推广。
例2:
某地区为了调查城乡就业人口的收入情 况,分别在城市和乡镇各抽取了一个300人 的样本,已知乡镇组样本的年平均收入为 3.12万元,标准差为1.92万元,城市组的相 关资料如下表所示: 要求:计算城市就业人口年收入的 平均数、标准差和标准差系数;分析 城市就业人口年收入的差距大,还是乡镇就 业人口年收入的差距大,
8/6/2013 7
城市组相关资料:
年收入 人数
2以下 2,4 4,6 6,8 8以上
合 计
47 82 98 53 20
300
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8
计算表:
年收入 组中值 x 人数f xf
2以下 2,4 4,6 6,8 8以上
合 计
1 3 5 7 9
—
47 82 98 53 20
300
47 246 490 371 180
1 334
8/6/2013
9
计算:
x城
? xf ? ?f
1334 ? ? 4.45 300
1520 16 . ? ? 2.25 300
σ城 ?
2 ?
?f
2.25 v城 ? ? 50.56 % 4.45
2 .9 v乡 ? ? 61 .54 % 3.1
所以,乡镇差距较大。
范文五:基于变异系数和单位指标负荷标准差的COD总量分配模型及应用
基于变异系数和单位指标负荷标准差的
总量分配模型及应用 ,:,
,,,刘 杰**飞
:陕西理工学院 数学与计算机科学学院,陕西 汉中 ;陕西省汉中市环境监测中心站, 陕西 汉中 :,(,,,,,,,(,,,,,, 摘要:从经济 、社会和环境效益出发 ,基于公平有效的原则 ,选取并量化与水中化学需氧量::相 关的各项,,,
,,指标 利用变异系数法确定各指标的权重 建 立了一种新的基于单位指标负荷污染物比重标准差的最小加权 和的规划模型, 并以汉江水源地汉中地区水中 总量分配为例设计了分配方案。 结果 表 明,该模 型 既 克 ,,,
服了等比例分配的不公平性 ,又考虑了各区域的实际差异 ,是一种合理可行的分配方法 ,为 实现水中 总 ,,,
。量公平分配提供了新思路
:;;;;关键词水污染物总量分配变异系数标准差规划模型
中图分类号 :文献标志码 :,,,, ,
,域间的差异程度建立了一种新的水污染物分 配
,模型并以 汉 中 市 水 中 总 量 分 配 为 例 进 行 ,,, 引言 , 。了仿真分析
,。随着经济的飞速发展 水污染问题日益严峻
美国联邦环境保护局早在 世纪年代就提出 ,,,,基于变异系数和单位指标负荷标 ,
通过水污染物总量控制来实现经济发展和水环境 准差的总量分配模型
。保护的相互协调我国在世纪年代中期开 ,,,,
,,,。始正式实行水污染物总量控制方案水污 染物 指标选取 ,(,
、、总量控制的核心是在充分考虑区域间客观差异的 的排放量 与 社 会经 济环 境 及 产 业 结 ,,,
,前提下将水污 染物总量按一定的方式分配给各 。构等多种因素相关每一类指标又涉及多种指标
。,个污染源因此制定公平可行 的水污染物总量 ,、体系如社会指标包括人口 人口增长率等具体指
。 区域初始分配方案是实现总量控制的关键因素,标产业结构包 括 排放强度和 密集型 ,,, ,,,
; 早期提出的等比例分配法缺乏科学性和公平性。行业增加值比重等为了使提出的分配模型具有
,层次分析法和 法在 获取数据时较繁琐分 ,,,,,,,、、, 实用性基于数据易采集 典型性可量化的原则
,,,。、、、配指标的权重受主观因素影响较大之后 又提 选取水资源量水 环境容量人 口国 民生产总值
,,,,出了一些多目标分配方案 王 有乐运 用 多 目 标 ::、:排 放 强 度 单 位 所 产 生 的 ,,,,,, ,,,
,规划方法建立 了最小治理费用和最大收益的多 ,排放量即 排放强度区域 排放 ,,, ,,, ,,,, ,,,;目标规划模型王 媛等,::在 考虑排污权公 平 的 基 总量区域 和水环境利用率水环境利用率,,,,
,:础上构建了以加权信息熵最大化的区域水污染物 区域 排放量区 域水环境容量 六 项指标作 ,,, ,,,。。分配模型但由于区域间存在的差异性以 及水 为分配依据
,,,,环境系统的不确定性要 实现公平分配 就 不 能 ,(, 变异系数法确定权重 。 ,忽视这些客观因素的影响鉴此本 文选取并量 ,排放量不仅与多种指标密切相关而 且 ,,,
,化与水污染物排放紧密相关的各项指标 利 用变 ,对不同指标的依赖程度不同 即每项指标的权重
,异系数确定各指标的权重 通过 各项指标的变异 。不同各项指标权重的确定是多目标决策的一个
系数和各区域各指标所占比重的标准差来量化区 。,重要环节在水污染物总量分配中 大 多根据经
:,:收稿日期 ,,,,,,,,修 回日期 ,,,,,,,,,, ,,
基金项目:陕西省教育厅科研计划项目自然科学专项::,,,,,,,,,,
:::,,、,,:,作者简介刘杰女 硕 士 讲 师 研究方向为智能算法及应用 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(;,,
第 卷第 期刘 杰等 :基于变异系数和单位指标负荷标准差的 总量分配模型及应用 ?? ,,, ,,,,,
指标矩阵 表 验或依据 政 府 政 策导向主观地确定各项指标权 ,
。,重该方式简单易行但因为缺乏公平性易造成 ,,,〃, ,,,,,,,,,,,,,,,
指标 区域 。管理者与排污单位之间的矛盾 编 号 ? , , , ,,,本文利用变异系数法来确定各项指标 的权 ? , ,,,,, ,, ,, ? ,,重即直接利用各项指标所包含的信息 通过计算 , ,,,,, ,, ,, ,。 得到指标的权重是 一种客观赋权的方法变异 ? ,,,,, ,, ,, , 系数值通 常 用 来 统计和反映一组数据的变异程
,异系数法确 定 各 指 标 权 重 在 水 中 总 量 削,,,, 度变异系数越 大说明各区域该项指标的差异程
减目标和各区域削减比例可行上下限的约束条件 ,, 度越大在决定 排放量中所起的作用越大,,,
,。下进行优化求解从而得到相对公平的分配方案 。相应的该项指标在分配中所占的权重也就越大
目标函数 ,(,(, 。反之亦然
每项指标单位指标负荷污染物所占比重的标 ,假设共有 项指标根 据变异系数法计算每,
()()():准差加权总和最小化目标为,,, :,,项指标的权重 , ,, , () , () ,,,,,,,, , ,, , , ,,, ,,?,, ?,,, 。求取具体步骤如下, ,() ,,其中 ,,δ,,, , ,计算各区域各单位指标负荷的水污 步骤, , , , :染物数量 δ,()() , ,,,,,, ,,,?,, 槡 , )(,(),,,, ,? ,,,,;, 式中为第项指标的变异 系数为个区域,, δ, ,, ,, , 、;第分 别 为 项指标 的 标 准 差个 区 域 中, ,,,,, ,,;,,?,,,?,() ,,,,,,,,,, , 。第个区域内第项指标值及其平均值 , ,
,式中 ,,为第 个区域第项指标的单位负荷污 ,,, 单位指标负荷污染物比重的标准差 ,(, ;为第为 第 ;个区域的削减 比 例 ,()染物量,,,,,?公平分配 不 是 绝 对 的 等 量 平分或等比例平 。个区域污染物排放量的现状值 ,、分而是在充分考虑各区域的社会 经济和环境等 步骤, 第项指标第个区域的单位指标 , , 因素差异 的 基 础 上实行统一规则的差额分配办 :,负荷的污染物数量在该指标中所占的比重 , ,,法使各区域在 每个单位指标下所负荷的污染物 , ,数量相同从而 使分配的排污量与该区域客观因 () ,,,,,,,, ,,,?,,, ,素能够承受的排污量相匹配 最 终实现各区域经 步骤, 由步骤计算第项指标各区域单 , , 。济发展和水环境保护的双赢一组数据的标准差 :位指标负荷污染物量的标准差, ,,能反映一个数据集的离散程度 标准差越大表示 , , , ,,数值间的差异程度越大 越远离平均值反之越小 ,,()() , ,,,,,, ,,,?,, 槡 , ,,的标 准 差代 表 这 些 数 值 差 异 越 小越 接 近 平 均 , ,,,,。,值因此各区 域每项指标单位 负 荷 污 染 物 量 其中 () ,,, ,,,, , ?,,,, 所占比重的标准差反映了该单位指标负荷污染物 约束条件 ,(,(, 。量的区域差异程度单位指标负荷水污染物量的 ()。总量削减目标约束 , ,标准差越小说 明该指标下区域间的水污染物总 , , ,,量分配越均衡反之则说明各区域间的水污染物 () ,)(,,),(, , ,?,, ??,,, ,,, 。分配越不平衡 ,;式中为分配给第个区域的污染物排放量 ,,, ?
。为污染物总量削减比例 模型构建 ,(,
,设对 个区域进行水中 的总量分配即, ,,, ()。各区域可行的削减比例约束 , ,,?,,,,分配空间 每个区域与水中 , , ,,,,,, () ,,,, ?, ,,?? ,排放量密切相关的指标有 项则第个 区 ,,, , ,
,,、、。域的第项指标值为因 此每个区域都对应一 式中分别为第个区域削减比例的上下限 , ,,,,,,,, (,,?,),,个向量各 个区域 ,,,,,,,,,,,,,,, ??
。的各项指标值构成的指标矩阵见表 , 实例应用 , ,以各个区域的削减比例为决策变量 利用变
,汉中市不仅是汉江发源地 还 是南水 北 调 中
水 电 能 源 科 学 ?? 年,,,,,,
,。由表可看出各区 域人口指标的单位指标 线工程和引汉济渭工程的重要水源地汉江作为 ,
,,,长江最大的支流在汉中市境内长约境内 水污染物负荷标准差较小 说明该项指标下各区 ,,,,,
, ,,、流域面积达 大 小支流共计 条域间的水污染物总量与人口数量 经 济增长水平,(,,×,,,,,,,
,,;占全市国土面积的年平均径流量约基本适应污 染 物 分 布 较 均 衡指 标 下 的 单 ,,(,,,,,× ,,,, ,,。本文利用所构建的 模型对汉中市境内 ;,,,, 位指标负荷标准差稍偏大 水资源量和水环境容 个行政区域进行水污染物 总量进行优化分 ,,, 量两项指标下的单位指标水污染物负荷量的标准 。配 ,差明显偏大说 明这两项指标下各区域的水污染
,物分布不均衡程度偏大 排污量与水资源量和 水 参数设置 ,(,
。 ,环境容量不协调因此在实行总量分配时要 尽“” 根据我 国 国 民 经 济 和 社 会 发 展 十 二 五 规
量减小各区域在四项指标下的单位指标污染物负 ,划到年全国 水污染物 排放总量要比 ,,,,,,, ,
,,。,荷的标准差缩小差距最大限度地协调经济发展 年减少为实现该削减目标陕西省环保 厅,,,,,,
, ,。将汉中地区设置的总量削减比例也定为 与水资源合理利用的关系 实现公平分配 ,,,
。即在本文构建 的 模 型 中 总 量 削 减 比 例 ?,,,,,(, 优化分配方案 ,年全市水中 排放总量为 ,,,,,,, ,,,,,(,,, , 以各区域的削减比例为决策变量 根 据 约 束,。 按此削减比例削 减 后 排 放 总 量 为 ,,,,,(,,,,条件和设定的削减比例上下限 采用现代启发式 “”、“”“”,在十五十一五及十二五期间汉中市环保 ,和声搜索算法对该优化问题进行求解 优 化结果 ,局为确保削减任务顺利完成 综 合考虑各区域情 ,。见表分配方案见表,, ,况在实际污染 物总量分配中将各区域的削减比 单位指标负荷比重标准差优化结果 表 ,,例限定为为此将 各 区域的削减比例 ,, ,,,, ,,,〃, :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 水资 环境 排 水环境 最小 、,,,,, 上下限也分别设定为 即,,,,,,,,,,,,, , 状态 人口 ,,, 源量 容量 放强度 利用率 加权和 。,, 现状 ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, 优化后 ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, 优化幅度 基础数据及现状分析 ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,,,(,
优化后的分配方案 、表 以汉中市年各县区的水资源量 水环境 ,,,,, ,,,〃, :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, 、、容量人口生产总值四项指标值 和 的现状 ,,, ,,, 削减 分配 行政区 ,《排放量为基 础 数 据数 据 来 源 于 年 汉 中 市 ,,,, 排放 量, 比例 ,数量 ,, ,,,,汉台 ,,,,,(,, ,,(,, ,,,,(,,, 》《统计年鉴和 年汉中 市 环保局环境统计 ,,,, 南郑 ,,,,(,, ,(,, ,,,,(,,, ,,,,》,。城固 公报见表,,,,(,, ,,(,, ,,,,(,,, , 洋县 ,,,,(,, ,(,, ,,,,(,,, 表 年汉中市各县区社会经济环境指标 , ,,,,西乡 ,,,,(,, ,(,, ,,,,(,,, 勉县 ,,,,(,, ,,(,, ,,,,(,,, 、,,,〃, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 宁强 ,,,,(,, ,(,, ,,,,(,,, 略阳 ,,,,(,, ,(,, ,,,,(,,, ,,,,,,,,,,,,,,, , 镇巴 ,,,,(,, ,(,, ,,,,(,,, 排行政 水资源量 环境容 人口 水环境 排,,, ,,, ,,,留坝 ,,,(,, ,(,, ,,,(,,, ,, , ,,量元放量,,万人 ,区 ,,, 放强度 利用率 ,,,, 佛坪 ,,,(,, ,(,, ,,,(,,, 汉台 ,,(,,,,,(,, ,,(,, ,(,,, ,,,,(,, ,(,, ,,,,(,,总 量 ,,,,,(,, ,,(,, ,,,,,(,,, 南郑 ,,(,, ,,(,, ,,(,, ,(,,, ,,,,(,, ,,(,, ,,,,,,(,, ,,由表可看出利用该模型进行优化分配后 , ,,(,, ,,(,, ,,,(,, ,(,,, ,,,,(,, 城固 ,(,, ,,,,,(,, 各项指标的单位指标污染物负荷比重标准差进一 ,,(,, ,,(,, ,,,(,, ,(,,, ,,,,(,, 洋县 ,,(,, ,,,,,(,, ,,(,, ,,(,, ,,,(,, ,(,,, ,,,,(,, ,步减小说明各 区域单位指标负荷污染物量的分 西乡 ,,(,, ,,,,,,(,, ,,(,, ,,(,, ,,,(,, ,(,,, ,,,,(,, ,布进一步得到平衡尤其 是水资源量和水环境容 勉县 ,,(,, ,,,,,(,, ,,(,, ,,(,, ,,,(,, ,(,,, ,,,,(,,
,,(,, ,,(,, ,,(,, ,(,,, ,,,,(,, 宁强 ,量两项指标的标准差变幅较大 其次是 指标 ,,(,, ,,,,,,(,, ,,, ,,(,, ,,(,, ,,(,, ,(,,, ,,,,(,, 略阳 ,(,, ,,,,,(,, ,变化幅度稍大说明优化使水污染物的分布在 这 ,(,, ,(,, ,,(,, ,(,,, ,,,(,, 留坝 ,(,, ,,,,,(,, 镇巴 ,,(,, ,,,,,,(,, 佛坪 ,(,, ,,,,,(,, ,(,, ,(,, ,,(,, ,(,,, ,,,(,,。些指标下更趋于公平 注:排放强度单位为,亿元。 ,,,,从表中各区域的削减比例和优化分配方案 ,由表 计算 年各项指标的单位指标负 , ,,,, ,。 来看汉台和 城固属于重点削减区域原因在于 ,。荷污染物所占比重的标准差及加权总和 见表, , 汉台和城固两区域的水资源量仅占全市的,(,,表 年单位指标负荷污染物标准差及加权和 , ,,,,,环境容量占全市总量的 水 污染物 的 ,(,,,,, ,,,〃, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,排放量却占到全市总量的 尤 其是汉台区的 ,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , 排水资 环境 ,,, 水环境 加权 ,水资源量仅占排放量却占到全市的 人口 ,(,,,,, ,,, 源量 容量 利用率 和 放强度 。,,其次勉县 和洋县也应加大削减力 度 两 区 ,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,, ,(,,,
第 卷第 期刘 杰等 :基于变异系数和单位指标负荷标准差的 总量分配模型及应用 ?? ,,, ,,, ,,
,污权交易优化模型的 应 用 , ,吉林 大 学 学 报 :理学 域占 全 市 的 环 境 容 量却 占 全 市 的,( ,,, ,,,
,,():版 ,,,,,,,,,,,,,,,(, 。,排放量综和优化结果可看出 该 分配方案 ,,,
李如忠 ,钱 家忠 ,汪 家 权 水污染物允许排放总量分 (,, ,。 ,能顺利完成总量削减 的目标另外试 验结 ,,, ,,,():,配方法研究,(水 利学报 ,,,,,,,,,,,,,,,, 果表明各区域的削减比例基本与实际情况相符 ,( 王有乐 区 域水污染控制多目标组合规划模型(,, ,,进一步说明采用本文所建模型进行优化分配 不 研究 ,但顺利完成了削减任务 而且进 一步均衡了污染 ,,,,():,(环 境科学学报 ,,,,,,,,,,,,,(, ,, ,,,物分布提高了分配的公平性 可应用于同一段流 王媛, 张宏 伟, 杨会 民 , 等 信息熵在水污染物总量 (
。域中不同区域间的水污染物总量分配 区域公平分配中的应用,,水 利学报 ,,(): ,(,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,(, ,, ,刘 巧 玲 ,王 奇 基 于 区域差异的削减总量分 配 研 (结论 , 究 ———以 削减总量的省际分配比例, ,长江 ,,, ,(
,,():流域资源与环境 ,,,,,,,,,,,,,(, ,, ,,在充分考虑各区域客观差异的基础 上 建 立 黄凯 ,张 晓 玲 贝叶斯方法在水环境系统不确定性 (了一种基于单位指标负荷污染物标准差的最小加 分析中的应用述评,,水 电能源科学 ,,(): ,(,,,,,,,,权和优化分配模型提高了分配的科学性和公平 ,,,,,,,,(, ,, ,,性实际的 总 量 分配 中减小了环保部门与 ,,, 穆旖旎 变 异系 数指标权重约束的 改 进 方 法(,,,
。污染源之间的矛盾在优化分配时所需的各项指 ,,,(),,(统 计与决策 ,,,,,,,,,,,,(, ,, ,,标数据不但具备典型性而且易采集 使 得该模型 李刚 基 于标准差修正群组 的组合赋权方法研 (,,
,,,,():究系 统工程学报 ,(,,,,,,,,,,,(。具有较强的实用性和可操作性 ,, ,国家统计局 ,汉中 市 统计 局 汉中市统计年鉴 (,,,,
:参考文献 年,,北 京 :中国统计出版社 ,,(,,,,( ,, 汉中市环保局 年 汉中市环保局环境统计公报 ,,(,,,,
,,汉 中 :汉 中市环保局 ,,(,,,,( 李鱼, 李庄 ,温 静雅 , 等 区域污染物总量控制及排 ,, ( ,
,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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