a +bi =c +di ?a =c , b =d . (a , b , c , d ∈R )
2. 复数z =a +bi 的模(或绝对值):|z |=|a +
bi |3. 复数的四则运算法则
① (a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ; ② (a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; ③ (a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; ④ (a +bi ) ÷(c +di ) =4. 复数的乘法的运算律
对于任何z 1, z 2, z 3∈C ,有 ① 交换律:z 1?z 2=z 2?z 1.
② 结合律:(z 1?z 2) ?z 3=z 1?(z 2?z 3) . ③ 分配律:z 1?(z 2+z 3) =z 1?z 2+z 1?z 3 . 5. 复平面上的两点间的距离公式
d =|z 1-z 2|=(z 1=x 1+y 1i ,z 2=x 2+y 2i ).
ac +bd bc -ad
+i (c +di ≠0) .
c 2+d 2c 2+d 2
6. 向量的垂直
非零复数z 1=a +bi ,z 2=c +di 对应的向量分别是OZ 1,OZ 2,则 OZ 1⊥OZ 2?z 1?z 2的实部为零?
z 2
为纯虚数?|z 1+z 2|2=|z 1|2+|z 2|2 z 1
?|z 1-z 2|2=|z 1|2+|z 2|2?|z 1+z 2|=|z 1-z 2|?ac +bd =0?z 1=λiz 2
(λ为非零实数).
7. 分类计数原理(加法原理):N =m 1+m 2+8. 分步计数原理(乘法
m 9. 排列数公式:A n =n (n -1) (n -m +1) =
+m n . ?m n .
n !
.(n ,m ∈N *,且m ≤n ) .
(n -m ) !
注:规
10. 排列恒等式
m m -1
① A n ; =(n -m +1) A n m
=② A n
n m
A n -1; n -m
m m -1
③ A n =nA n -1; n n +1n ④ nA n =A n +1-A n ; m m m -1⑤ A n . =A +mA +1n n
⑥ 1! +2?2! +3?3! +11. 组合数公式
+n ?n ! =(n +1)! -1.
A n m n (n -1) (n -m +1) n !
=(n ∈N *,m ∈N ,且m ≤n ). C =m =
1?2? ?m m !?(n -m ) !A m
m
n
12. 组合数的两个性质
m n -m
① C n =C n ; m m -1m ② C n +C n =C n +1. 0注:规定C n =1.
13. 组合恒等式
n -m +1m -1m =C n ; ① C n
m n m m =C n ② C n -1; n -m n m -1m
=C n ③ C n -1; m
④
∑C
r =0
n
r n
=2n ;
r r +1
⑤ C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1. 012r n ⑥ C n +C n +C n + +C n + +C n =2n . 135024⑦ C n +C n +C n + =C n +C n +C n + 2n -1. 123n ⑧ C n +2C n +3C n + +nC n =n 2n -1. r 0r -110r r r ⑨ C m C n +C m C n + +C m C n =C m +n .
021222n 2n
⑩ (C n ) +(C n ) +(C n ) + +(C n ) =C 2n . m m 14. 排列数与组数的关
15. 单条件排列:以
① “
i. ii.
m -1
某(特)元
m m -11m -1某(特)
② 紧贴
i. ii.
m -k 定位紧
浮动紧贴:n 元素的全排列把k 个元排
n -k +1k A n -k +1A k 种. 注:此
iii.
插空:两组元素分别有k 、h 个(k ≤h +1),把它们合在一起来作全排列,k 的一
h k A h A h +1种.
③ 两组元素各相的插空 i. m 个大球n 个小球排成一列,小
法?
ii.
n A m n +1
当n >m +1时,
A n
④ 两组相同元素的:两组元素有m 个和n 个,
n
的排列数
16. 分配问题
① (平均分组有归属题) 将相异的m 、n 个物件等分
n n n n n
?C mn 件,其配方法数
(mn )!
. m
(n ! )
② (平均分组无归属) 将相异的m ·n 个物体等
序的m
n n n n n C mn ?C mn (mn )! -n ?C mn -2n ... ?C 2n ?C n
. N ==
m ! m ! (n ! ) m
③ (非平均分有归属
个人,物件必须分完,分
n m 这m 数彼此不相等,则其分
n m n 1n 2
N =C p ?C p C n ?m ! =-n 1... m
p ! m !
.
n 1! n 2!... n m !
④ (非完全平均分
+nm ) 个物体分
给m 个人,物件必须被
n 2,?,n m 这m 个中分别有a 、b 、c 、?个相等,则
n m n 1n 2
C p ?C p C n ?m ! -n 1... m
a ! b ! c !...
=
p ! m !
.
n 1! n 2!... n m !(a ! b ! c !...)
⑤ (非平均分无归属
意的n 1,n 2,?,n m 件记号m 堆,且n 1,n 2,?,n m 这m 个数此不
p !
.
n 1! n 2!... n m !
⑥ (非完全平分组无属
为任意的n 1,n 2,?,n m 件无
N =
p !
.
n 1! n 2!... n m ! (a ! b ! c !...)
⑦ (限定分组有属问题)
甲、乙、丙,??等m 个人,物须被分完,如果指得n 1件,乙得n 2件,丙得n 3件,?时,无论n 1,n 2,?,n m 等m 数是
n m n 1n 2
N =C p ?C p C n =-n 1... m
p !
.
n 1! n 2!... n m !
17. “错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部
1111-+-+(-1) n ]. 2! 3! 4! n !
推广: n 个元素n 个位置, 其中至少有m 个元
f (n ) =n ![
总数为 f (n , m ) =n ! -C 122)! -C 34
m (n -1)! +C m (n -m (n -3)! +C m (n -4)!
-+(-1) p
C p
(n -p )! +
m
m
m
+(-1) C m
(n -m )!
m =n ![1-C 1234m C m C m C m
+(-1) p
C p m
A 1+2-2+4-
A p +
+(-1) m
C m
n A n A n A n n
A m ]
n
18. 二项式定理:
(a +b ) n =C 0n 1n -12a n -2b 2+ +C r n -r r n n
n a +C n a b +C n n a b + +C n b ;
二项展
T r n -r r
r +1=C n a b (r =0,
1,2 ,n ) . 19. 等可能性事件的概率:P (A ) =
m
n
. 20. 互斥事件A ,B 分发生概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 21. n 个
P(A1+A 2+?+A n )=P(A1) +P(A2) +?+P(An ) . 22. 独立事件A ,B
P(A1· A2·?· An )=P(A1) · P(A2) ·?· P(An ) . 24. n 次独重复验
P ) =C k k
n (k n P (1-P ) n -k .
25. 离型随机变量的分布列
① P i ≥0(i =1,2, ) ; ② P 1+P 2+
=1.
26. 数学期望:E ξ=x 1P 1+x 2P 2++x n P n +
27. 数学期望的性质
① E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b .
② 若ξ~B (n , p ) , 则E ξ=np .
③ 若ξ服从几何分
1
p
.
28.
1-E ξ)?p 1+(x 2-E ξ)?p 2++(x 2
n -E ξ)?p n +
29. 标准
① D (a ξ+b )=a 2D ξ;
② 若ξ~B (n , p ) ,则D ξ=np (1-p ) .
③ 若ξ服从几何分
q p 2
.
高二数学公式
高二(下)数
45.同角三角函数的
,sin22tan,tan1,,,,cot,=,. sincos1,,,,cos,
46.正弦、余弦
n,2(1)sin,,,(n为偶数) n,,sin(),, ,,,1n 2,2(1)s,co,,,(n为奇
(n为偶数) n,2 (1)s,co,,n,, cos(),,,,,(n为奇数) 1n2,2(1)sin,,,,
47.和角与
; ; sin()sincoscossin,,,,,,,,,cos()coscossinsin,,,,,,,,,
tantan,,,22. (平方正弦公式); sin()sin()sinsin,,,,,,,,,,tan(),,,,1tantan,,,
22. cos()cos()cossin,,,,,,,,,,
b22absincos,,,tan,,=(辅助角所在象限由点的象限, ). ,(,)abab,,sin(),,a48.二倍角公
2tan,2222sin2sincos,,,,,cos2cossin2cos112sin,,,,,,,,,,,. . . tan2,2,1tan,
49. 三倍
,,3sin33sin4sin4sinsin()sin(),,,,,. ,,,,,,33
,,3cos34cos3cos4coscos()cos(),,,,, ,,,,,,33
33tantan,,,,,tan3tantan()tan(),,,,. ,,,,213tan33,,
50.三角函数的
2,,T,函数,x?R及函数,x?R(A,ω,为常数,且A?0,ω,0)的
,,xkkZ,,,,T,,函数,(A,ω,为常数,
abc,,,2R正弦定理 :51.. sinsinsinABC
52.余弦定理
222222222abcbcA,,,2cosbcacaB,,,2coscababC,,,2cos; ; . 53.面
111Sahbhch,,,hhh、、(1)(
,,,,,,,,,,,,,,,,111122SOAOBOAOB,,,,SabCbcAcaB,,,sinsinsin(||||)()(2). (3). ,OAB2222
54.三角形内角
CAB,,,,,ABCCAB,,,,,,,,,(),,,,222()CAB,在?ABC中,有 . 222
1
55. 简单的三角
k. . coxaxkakZas2arccos(,||1),,,,,,,sin(1)arcsin(,||1)xaxkakZa,,,,,,,,
. tanarctan(,)xaxkakZaR,,,,,,,
特别地,有
k. . cokkZscos2(),,,,,,,,,,sinsin(1)(),,,,,,,,,,,kkZ
. tantan(),,,,,,,,,,kkZ
56.最简单的三角不
. sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,,,,,,,,,,,
. sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,,,,,,,,,,,
. cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ,,,,,,,,,
. cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ,,,,,,,,,,,
,. tan()(arctan,),xaaRxkakkZ,,,,,,,,,2
,tan()(,arctan),xaaRxkkakZ,,,,,,,. ,,2
57.实数与向量的积的运
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积
,,,,(1) a?b= b?a (交换律); (2)(a)?b= (a?b)=a?b= a?(b);(3)(a+b)?c= a ?c +b?c.
59.平面向量基
如果e、e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于平面内任
使得a=λe+λe(不共线的向量e、e叫做这一平内
60(向量平行的坐标表示 :设a=,b=,且b0,则ab(b0). (,)xy(,)xy,,,xyxy0 ,,11122122
53. a与b的数量积(或内积):a?b=|a||b|cosθ(
61. a?b的几何意义:数量积a?b等于a度|a|ba的方向上的投影|b|cosθ的乘
62.平面向量的
(1)设a=,b=,则a+b=. (2)设a=,b=,则a-b=. (,)xy(,)xy(,)xxyy,,(,)xy(,)xy(,)xxyy,,1111221212221212,,,,,,,,,,,,
(3)设A,B,则. (,)xy(,)xyABOBOAxxyy,,,,,(,)11222121
,(4)设a=,则a=. (5)设a=(,)xy,b=(,)xy,则a?b=()xxyy,. (,),xyR,,(,),,xy11121222
xxyy,121263.两向量的
(,)xy(,)xy,,,xyxy065.向量的平行与垂直:设a=,b=,且b0,
,,,,xxyy0ab(a0)a?b=0. ,,1212
66.线段的定比分公
,Pxy(,)Pxy(,)PP设,,是线段的分点,是
,,xx,12,,,,,,,,,x,,,,,,,,,,,,,,,,,OPOP1,,,1,,12t,OP, ?OPtOPtOP,,,(1)(). ,,,12yy,1,,1,,,12,y,,,1,,
67.三角形的重心
A(x,y)B(x,y)C(x,y)?ABC三个顶坐标分
xxxyyy,,,,123123G(,). 33
68.点的平
2
'',,,,,,,,,,,,,,xxhxxh,,,,,,'' . ,,,OPOPPP,,,''yykyyk,,,,,,,,,,,,'''''注:图形F上的任意一P(x,y)平移后图形上的对应点为,且的坐标为. F(,)hkPxy(,)PP69.“按向量平移”
'(1)点按向量a=平移后得到点. Pxy(,)(,)hkPxhyk(,),,
''C(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函
''CC(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若析式,的
. yfxhk,,,()
''C(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为. CCfxy(,)0,(,)hkfxhyk(,)0,,,
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=. (,)xy(,)hk(,)xy70. 三角形“心”向量形式的充要
O,ABC设为所在平面上一点,角所长分别
,,,,,,,,,,,,222O,ABC(1)为
O,ABC(2)为的重心. ,,,,OAOBOC0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
O,ABC(3)为的垂心. ,,,,,,OAOBOBOCOCOA,,,,,,,,,,,,,
O,ABC(4)为的内心. ,,,,aOAbOBcOC0,,,,,,,,,,,,
O,ABC(5,A)为的的旁心. ,,,aOAbOBcOC71.常用不等式:
22(1)abab,,2(当且仅当a,b时取“=”号)( abR,,,
ab,,,ab(2)(当且仅当a,b时取“=”号)( abR,,,2
333(3) abcabcabc,,,,,,3(0,0,0).
22222(4)柯西不等式: ()()(),,,,.abcdacbdabcdR,,,,,
a,b,a,b,a,b(5).
72.极值定理
已知x,y都是正
x,yxypx,y(1)若积值,
12sx,yx,yxy(2)若定值,
22推广 已知,则有 x,y,R(x,y),(x,y),2xy
xy(1)若积是定值,则当最大
当最小时,最小. |x,y||x,y|
(2)若和是定值,则当最大时,
当最小时, 最大. |x,y||xy|
222axbxc,,73.一元二次不等式,如果a与同号,则其
2axbxc,,两根之外;如果a与异号,则其解两根之.简
xxxxxxxxx,,,,,,,()()0(); 121212
xxxxxxxxxx,,,,,,,,()()0()或. 121212
74.含有绝对值
当a> 0时,有
22xaxaaxa,,,,,,,.
22xaxaxa,,,,,xa,,或.
75.无理不等式
3
fx()0,,
,(1) . fxgx()(),,gx()0,,
,fxgx()(),,
fx()0,,fx()0,,,(2). fxgx()(),,
fx()0,,
,(3). fxgx()(),,gx()0,,
2,fxgx()[()],,
76.指数不等式与
fx()0,,
,fxgx()()log()log()()0fxgxgx,,,a,1(1)当时,; . aafxgx,,,()(),aa
,fxgx()(),,
fx()0,,
,fxgx()()log()log()()0fxgxgx,,,01,,a(2)当时,; aafxgx,,,()(),aa
,fxgx()(),,
yy,2177.斜率公式 :(、). Pxy(,)Pxy(,)k,111222xx,21
78.直线的五
lk(1)点斜式 (直线过点,且斜率为)( yykxx,,,()Pxy(,)11111
l(2)斜截式 (b为直线在y轴上的
yyxx,,11(3)两点式 ()(、 ()). yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,,1211122212yyxx,,2121
xyab、ab、,0,,1(4)截距 (分
(5)一般式 (其中A、B不
79.两条直线的平
(1)若lykxb:,,,lykxb:,, 111222
? ?.llkkbb||,,,,; llkk,,,,1 1212121212
lAxByC:0,,,lAxByC:0,,,(2)若,,且A、A、B、B都不为零, 121211112222
ABC111?; ?; llAABB,,,,0ll||,,,12121212ABC222
80.夹角公式
kk,21lykxb:,,lykxb:,,(1)tan||,.:(,,) ,kk,,1111222121kk,21
ABAB,1221lAxByC:0,,,lAxByC:0,,,tan||,(2).:(,,). ,AABB,,0111122221212AABB,1212
,ll,直线时,直线ll的夹
kk,21lllykxb:,,lykxb:,,tan,81. 到角
ABAB,1221lAxByC:0,,,lAxByC:0,,,tan,(2).:(,,). ,AABB,,0111122221212AABB,1212
4
,直线时,直线l到l的
82(四种常用直
k (1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线),是待定的
数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数( Pxy(,)AxxByy()()0,,,,AB,00000
(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为lAxByC:0,,,lAxByC:0,,,11112222
(除),其中λ是待定的系数( ()()0AxByCAxByC,,,,,,,l1112222
(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b动时,示
,,0平行的直线系方程是(),λ是参变
(4)垂直直线系方程:与直线 (A?0,B?0)垂直的系方程,λ
量(
||AxByC,,00l83.点到直线的距离:(点,直
,084. 或所表示的平
,0设直线,则或所表示的平面区域是: lAxByC:0,,,AxByC,,,0
B,0ll若,当B与同号时,表示直线的上方的区域;B与异号,
方的区域.简言之,号在
B,0ll若,当A与同号时,表示直线的右方的区域;A与异号,
方的区域. 简言之,号在
,085. 或所表示的平面区域 ()()0AxByCAxByC,,,,,111222
设曲线(),则 CAxByCAxByC:()()0,,,,,AABB,01112221212
,0或所表示的平面区域是: ()()0AxByCAxByC,,,,,111222
所表示的平面区域上下两部分; ()()0AxByCAxByC,,,,,111222
183.几个
111nlim0a,,limxx,(1)lim0,(); (2),. ,||1a,lim0n,,n,,xx,xx,00nxx0184.两个重要的
xsinx1,,,lim1(1); (2)(e=2.718281845?). e,,lim1,,x,0,,xxx,,
lim()fxa,lim()gxb,185.函限的四运
fx,,a(1)lim0,,; (2); (3). lim,,fxgxab,,,lim,,fxgxab,,,b,,,,,,,,,,,,,,xx,xx,xx,000gxb,,
lim,limaabb,,186.数列极四则算
limabab,,,limabab,,,(1); (2); ,,,,nnnn,,n,,n
aanlimlimlimcacaca,,,,,lim0,,(3) (4)( c是常数). ,,b,,nn,,,,,,nnn,,nbbn
fxxfx()(),,,,y00,,fxy()limlim,,,x187.f(x)在处的数(或
,,,,ssttst()(),,,,,st()limlim188.瞬时速度:. ,,,,tt00,,tt
,,,,vvttvt()(),avt,,,()limlim189.
dydf,,,,yfxxfx()(),,fxy(),,,,,limlimf(x)(a,b)190.在的导数:. ,,,,xx00dxdx,,xx
5
191. 函数在点处的导数几何
,函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程
,. y,y,f(x)(x,x)000
192.几种常见
'1n,,,C,0(1) (C为常数). (2) . (3) . (sinx),cosx()()xnxnQ,,n
11exxxxx,,,,,(4) . (5) ;. (6) ; . (loga),log(lnx),(cosx),,sinx(e),e(a),alnaaxx
193.导数的
''uuvuv,'''''''(1). (2). (3). ()(0),,v()uvuv,,,()uvuvuv,,2vv
194.复合函数的
''''设函数在点处有导数,函数在点处的对应点U处有导数,
''''''函数在点处有导数,且,或写作. xyfx,(()),yyu,,fxfux(())()(),,,xxux
195.常用的近似计
111,n,1,x(1)1,x,1,x;xx; (2); ; 1,,1,(1)1(),,,,xxR,,1,x2n
xsinx,x(3)e,1,x; (4); (5)(为弧度); l(1,x),xxn
tanx,xarctanx,x(6)(为弧度); (7)(为弧度) xx
196.判别是极大()值
当函数在点处连续时, xf(x)0
,,(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大
,,(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小
197.复数的相等:.() abicdiacbd,,,,,,,abcdR,,,,
22zabi,,198.复数的模(或绝
199.复数的四
(1); (2); ()()()()abicdiacbdi,,,,,,,()()()()abicdiacbdi,,,,,,,
acbdbcad,,()()(0)abicdiicdi,,,,,,,(3); (4). ()()()()abicdiacbdbcadi,,,,,,2222cdcd,,200.复数的法的运算律:对于任何zzzC,,,,
交换律:zzzz,,,()()zzzzzz,,,,,zzzzzzz,,,,,,(). 合:. 分配律: . 12211231231231213201.复平面上的两点间的距离
22dzzxxyy,,,,,,||()()zxyi,,zxyi,,(,). 122121111222,,,,,,,,,,
zabi,,zcdi,,向量的垂直 :非零复数202.,应
,,,,,,,,,,z2222 的实部为零为纯虚数 OZOZ,zz,||||||zzzz,,,,,,12121212z1
222acbd,,0||||zzzz,,,ziz,,(λ为非零
203.实系数一元二次
2axbxc,,,0系数
2,,,bbac4b22xx,,,,,,,bac40,,,,bac40x,?,则; ?,; 121,22a2a2CR,,,,bac40?若,它在实数集内有实数根;在复数集内有且仅有两个
2,,,,bbaci(4)2. xbac,,,(40)2a
6
高二数学公式
1. 三角函
① π2:sin ==T x y ;② π2:cos ==T x y ;③ π==T x y :tan ; ④ |
|2:) cos(), sin(ωπ
?ω?ω=
+=+=T x A y x A y ;⑤ ||:tan ωπω==T x y
2.同角三角函数的基
x
x x tan cos sin ; 1cos sin 22==+ 3.角的单调区间
2k k k Z π
πππ??
-
+
∈???
?
,
单调递减区间为 32,22
2k k k Z π
πππ?
?
++
∈???
?
, 对称轴为 () 2
x k k Z π
π=+
∈, 对称中心为 (),0k π() k Z ∈.
⑵ cos y x =的单调递增区间为 []2,2k k k Z πππ-∈,
单调递减区间为 []2,2k k k Z πππ+∈, 对
π??
+
??
?
() k Z ∈. ⑶ tan y x =的单调递增区间为 , 2
2k k k Z π
πππ??
-
+
∈ ?
?
?,对称中心 ??
?
??0, 2πk ()Z k ∈. 4.两角和
① sin() sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos() cos cos sin sin αβαβαβ±= ;
tan tan tan() 1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
② 2
2sin()sin() sin sin αβαβαβ+-=-; 22cos()cos() cos sin αβαβαβ+-=-.
③ sin cos a b αα+
) α?+(其中 , 辅助角 ?所在象限由点 (, ) a b 所在的象 限决定 , tan b
a
?= ). 5.
① αααcos sin 22sin =. 2
(sincos ) 12sin cos 1sin 2ααααα±=±=± ② 2
2
2
2
cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(升幂公式) .
221cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=(降幂公式) .
6.正、余弦定理: ⑴正弦定理:
R C
c
B b A a 2sin sin sin === (R 2是 ABC ?外接圆直径 ) 注 :① C B A c b a sin :sin :sin ::=;② C R c B R b A R a sin 2, sin 2, sin 2===;
③
C
B A c
b a C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 ⑵余弦定理:A bc c b a cos 22
2
2
-+=等三个;
bc a c b A 2cos 2
22-+=等三个。
7. 几个公式 :
⑴三角形面积公式:① 111
222a b c S ah bh ch =
==(a b c h h h 、 、 分别表
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===
(2)常见函数的导数公
C 0=;② 1' ) (-=n n nx x ;③ x x cos ) (sin' =;
④ x x sin ) (cos' -=;⑤ a a a x x ln ) (' =;⑥ x x e e =' ) (; ⑦ a x x a ln 1) (log'
=
;⑧ x
x 1) (ln'
= 。 ⑶导数的四则运算法则:; ) (; ) (; ) (2
v
v u v u v u v u v u uv v u v u '
-'=''+'=''±'='± 9.
⑴分数指数幂:m
n
a
=1m n
m n
a
a
-
=
(以上 0, , a m n N *
>∈,且 1n >) .
⑵ . ① b N N a a b =?=log ; ② ()N M MN a a a log log log +=;
③ N M N
M
a a a
log log log -=; ④ log log m n a a n b b m =.
⑶ . 对数的换底公式 :log log log m a m N N a
=. 对数恒等式 :log a N
a N =.
1.斜率公式:21
21
y y k x x -=
-,其中 111(, ) P x y 、 222(, ) P x y .
直线的方向向量 ()b a , =,则直线
a a
≠.
2. 直线方程的
(1)点斜式:11() y y k x x -=- (直线 l 过点 111(, ) P x y ,且斜率为 k ) .
(2)斜截式:y kx b =+(b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).
(3)两点式:
11
2121y y x x y y x x --=--(111(, ) P x y 、 222(, ) P x y 12x x ≠, 12y y ≠).
(4)截距式:1=+b
y
a x (其中 a 、 b 分别为直线在 x 、 y 上的
(5)一般式:0Ax By C ++=(其中 A 、 B 不同时为 0).
3.两条直线的
(1)若 111:l y k x b =+, 222:l y k x b =+, 则:
① 1l ∥ 2l 21k k =?, 21b b ≠; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=, 则:
① 0//122121=-?B A B A l l 且 01221≠-C A C A ;② 1212120l l A A B B ⊥?+=. 4.两个
⑴点 P (x 0, y 0)到
200B A C By Ax d +++=;
⑵两条平行线 Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离 222
1B A C C d +-=
1.定义:
Bn
An S b kn a N n n a a a n d a a N n d d a a a n n n n n n n n +=?+=?∈≥+=?≥=-?∈=-?-+-*+2111n 1n *), 2(2) 2(, () 1() 为常数 }
⑵等比数列 ) N n 2, (n) 0(}1n 1-n 2
n 1n n *++∈≥?=?≠=?
a a a q q a a a n
{ 2.等差、等
等差数列 等比数列 d n a a ) 1(-+=1-=n q a a
前 n d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+=
q
q
a a q
q a S q na S q n n
n n --=--=≠==11) 1(1. 2;
1. 1111
性质 ①a n =am + (nn =am q n-m
;
②m+n=p+q时 a m +an =ap +a②m+n=p+q时 a m a n =ap a q
③ , , , 232k k k k k S S S S S --成 , , , 232k k k k k S S S S S --
AP 是 等差数列的缩
.椭圆、双曲线、 抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹, 由这些条件求出它们标准 程,并通过分析标准方研究这三种曲线的几
三种曲线的标准方程 (各取其
高二数学公式
高二数学公式 1. 万能公式
令 tan(a/2)=t
sina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
2. 辅助角公式
asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r) cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]
sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]
tanr=b/a
3. 三倍角公式
sin(3a)=3sina-4(sina)^3
cos(3a)=4(cosa)^3-3cosa
tan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)] 4. 积化和差
sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2 5. 积化和差
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
向量公式:
1. 单位向量:单位向量 a0=
2.P(x,y) 那么 向量 OP=x向量 i+y向量 j
|向量 OP|=根号(x
3.P1(x1,y1) P2(x2,y2)
那么向量 P1P2={x2-x1,y2-y1}
|向量 P1P2|=根号 [(x2-x1)平方 +(y2-y1)方 ] 4.
向量 a*向量 b=|向量 a|*|向量 b|*Cosα=x1x2+y1y2 Cos α=向量 a*向量 b/|向量 a|*|向
(x1x2+y1y2)
= ———————————————————— 根号 (x1平方 +y1平方 )*根号(x2平方 +y2平方) 5. 空间向量:
(提示:向量 a={x,y,z })
6. 充要条件:
如果向量 a ⊥向量 b
那么向量 a*向
如果向量 a//向量 b
那么向量 a*向量 b=±|向量 a|*|
7.|向量 a ±
=|向量 a|平方 +|向量 b|平方±2向量 a*向量 b =(向量 a ±向量 b) 平方
三角函数公式:
高二数学公式
45. 同角三角函
22
sin cos 1θθ+=, tan θ=
θ
θcos sin , tan 1cot θθ?=. 46. 正弦、余弦的诱导公式
2
1
2
(1) sin , sin() 2(1) s ,
n
n n co απαα-?-?+=??-?
2
1
2
(1) s , s ) 2(1)
s i n , n
n co n co α
παα+?-?+=?
?-? 47. 和
sin() sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos() cos cos sin sin αβαβαβ±= ;
tan tan tan() 1tan tan αβαβαβ
±±=
.
2
2
sin() sin() sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式 ); 2
2
cos() cos() cos sin αβαβαβ+-=-. sin cos a b αα+
=
) α?+(辅 助 角 ?所 在 象 限 由
定 , tan b a
?=
).
48. 二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 49.
3
sin 33sin 4sin 4sin sin(
) sin(
) 3
3
π
π
θθθθθθ=-=-+.
3
cos 34cos 3cos 4cos cos(
) cos(
) 3
3
π
π
θθθθθθ=-=-+.
3
2
3tan tan tan 3tan tan(
) tan(
) 13tan 3
3
θθππθθθθθ
-=
=-+-.
50. 三角函数
函数 sin() y x ω?=+, x ∈ R 及函数 cos() y x ω?=+, x ∈ R(A,ω, ?为常数, 且 A ≠ 0, ω>0) 的周期 2T π
ω
=
;函数 tan() y x ω?=+, , 2
x k k Z π
π≠+∈(A,ω, ?
≠ 0, ω>0) 的
=
.
51. 正弦定理
2sin sin sin a b c R A
B
C
=
=
=.
52. 余弦定理
222
2cos a b c bc A =+-; 2
2
2
2cos b c a ca B =+-;
222
2cos c a b ab C =+-. 53.
a b c S ah bh ch ==
=(a b c h h h 、 、 分
(2) 11
1
sin sin sin 222S ab C bc A ca B =
==
.
(3)O A B S ?=
54. 三角形
在△ ABC 中,有 () A B C C A B ππ++=?=-+
22
2
C A B π
+?
=
-
222() C A B π?=-+.
55. 简单的三
sin (1) arcsin (,||1) k x a x k a k Z a π=?=+-∈≤. s 2arccos (,||1) co x a x k a k Z a π=?=±∈≤.
tan arctan (, ) x a x k a k Z a R π=?=+∈∈.
特别地 , 有
sin sin (1) () k
k k Z αβαπβ=?=+-∈.
s cos 2() co k k Z αβαπβ=?=±∈.
tan tan () k k Z αβαπβ=?=+∈. 56. 最简单的三角不等式及其解集
sin (||1) (2arcsin , 2arcsin ), x a a x k a k a k Z πππ>≤?∈++-∈.
sin (||1) (2arcsin , 2arcsin ), x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈--+∈. cos="" (||1)="" (2arccos="" ,="" 2arccos="" ),="" x="" a="" a="" x="" k="" a="" k="" a="" k="" z="" ππ="">≤?∈-+∈. cos (||1) (2arccos , 22arccos ), x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈++-∈. tan="" ()="" (arctan="" ,="" ),="">≤?∈++-∈.>
x a a R x k a k k Z π
ππ>∈?∈++
∈.
tan () (, arctan ), 2
x a a R x k k a k Z π
ππ<>
+∈.
57. 实数与向量的积的运算
(1) 结合律:λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第分配律:(λ+μ) a =λa +μa; (3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . 58. 向量的量的运算律: (1) a·b= b·a (换律) ; (2)(λa ) ·b= λ(a ·b ) =λa ·b = a·(λb ) ; (3)(a +b) ·c= a ·c +b·c. 59. 平
如果 e 1、 e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面的向量,有且 只有一实数 λ1、 λ2,使
不共线的向量 e 1、 e 2叫做表示这一平面内向量的组 基底 . 60.向量平行的坐
设 a =11(, ) x y , b =22(, ) x y , b ≠0,
53. a与 b 的数量积 (或内积 ) a ·b =|a ||b |cosθ. 61. a·b 的几
数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a |与 b 在 a 的上的投影 |b |cosθ的乘积. 62. 平面向量的坐
(1)设 a =11(, ) x y , b =22(, ) x y ,则 a+b=1212(, ) x x y y ++. (2)设 a =11(, ) x y , b =22(, ) x y ,则 a-b=1212(, ) x x y y --.
(3)设 A 11(, ) x y , B 22(, ) x y , 则 2121(, ) AB OB OA x x y y =-=--
.
(4)设 a =(, ), x y R λ∈,
(5)设 a =11(, ) x y , b =22(, ) x y , a ·b=1212() x x y y +. 63. 两向量的夹
cos θ=
(a =11(, ) x y , b =22(, ) x y ). 64. 平面两点间的距离公式 , A B d
=||AB =
=
(A11(, ) x y , B 22(, ) x y ).
65. 向量的
设 a =11(, ) x y , b =22(, ) x y ,且 b ≠0,则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a≠0) ?a ·b=012120x x y y ?+=. 66. 线段的
设 111(, ) P x y , 222(, ) P x y , (, ) P x y 是段 12P P 的分点 , λ是
,则 1212
11x x x y y y λλ
λλ+?=??+?
+?=?+?
?121O P O P O P λλ+=+ ?12(1) OP tOP t OP =+- (11t λ
=+) .
67. 三角形的
△ ABC 三个顶点的坐标分别为 11A(x,y ) 、 22B(x,y ) 、 33C(x,y ) , 则△ ABC 的重心的坐 标是 123
123
(
,
) 3
3
x x x y y y G ++++.
68. 点的
' ' '
'
x x h x x h y y k y y k
??=+=-?????=+=-????' '
O P O P P P ?=+ . :图形 F 的任意一点 P(x, y) 在平移后图
F 上的对应
'
'
(, ) P x y ,且 '
PP
的
坐标为 (, ) h k .
69. “按向量平
(1)点 (, ) P x y 按向量 a =(, ) h k 平移后得到点 '
(, ) P x h y k ++.
(2) 函数 () y f x =的图象 C
C , 则 '
C 的函数解析式 为 () y f x h k =-+.
(3) 图象 ' C 按向 a =(, ) h k 平移后得到图象 C , 若 C 的析 () y f x =, 则 ' C 的函数 解析式
(4)曲 线 C :(, ) 0f x y =按 向 量 a =(, ) h k 平
(, ) 0
f x h y k --=. (5) 向量 m =(, ) x y 按向量 a =(, ) h k 平移后得到的量仍然为 m =(, ) x y . 70. 三角形五“心”向量形式
设 O 为 A B C ?所在平面上一点,角 , , A B C 所对长为 , , a b c ,则 (1) O
O A O B O C ?== .
(2) O 为 A B C ?的
.
(3) O 为 A B C ?的垂心 OA OB OB OC OC OA ??=?=?
.
(4) O 为 A B C
?的内心 0aOA bOB cOC ?++=
.
(5) O 为 A B C ?的 A ∠的旁心 aOA bOB cOC ?=+
.
71. 常用
(1) , a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅
?
2
a b +≥
(当且仅当 a =b 时取“=”号 ) .
(3) 3333(0, 0, 0). a b c abc a b c ++≥>>> (4)柯西
2
2
2
2
2
()() () , , , , . a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈
(5) b a b a b a +≤+≤-. 72. 极值定理
已知 y x ,
(1)若积 xy 是定值 p ,则当 y x =时
(2)若和 y x +是定值 s ,
2
4
1s .
推广 已知 R y x ∈, ,则有 xy y x y x 2) () (2
2
+-=+ (1)若积 xy 是定值 , 则当 ||y x -最大时 , ||y x +大; 当 ||y x -最小 , ||y x +
(2)若和 ||y x +是定值 , 则当 ||y x -最大时 , ||xy 小; 当 ||y x -小时 , ||xy
73. 一 元 二 次 不 等 式 2
0(0) a x b x c ++><或>或>
(0, 40) a b
a c ≠?=->,
2
ax bx c ++同号,则其集在两
ax bx c ++号,
间 . 简言之:同号两
121212()() 0() x x x x x x x x x <><; 121212,="" ()()="" 0()="" x="" x="" x="" x="" x="" x="" x="" x="" x="" x="">;><>?--><或>或>
74. 含有绝对
当 a> 0时,有
2
2
x a x a
a x a <><><>
22
x a x a x a >?>?>或 x a <>
75. 无理不等式
(1
() 0() 0() () f x g x f x g x ≥??
>?≥??>?
.
(2
2
() 0
() 0() () 0() 0() [()]f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥??
>?≥??
?>?
或 . (3
2() 0() () 0() [()]f x g x g x f x g x ≥??
>??<>
.
76. 指数不等式与对数不等
()
()
() () f x g x a
a
f x g x >?>;
() 0log () log () () 0() () a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??>?
.
(2)当 01a <时>时>
()
()
() () f x g x a
a
f x g x >?<>
() 0log () log () () 0() () a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??<>
77. 斜率公式
2121
y y k x x -=
-(111(, ) P x y 、 222(, ) P x y ) .
78. 直线
(1)点斜式 11() y y k x x -=- (直线 l 过点 111(, ) P x y ,且斜为 k ) . (2)斜式 y kx b =+(b为直线 l 在 y
y y x x y y x x --=
--(12y y ≠)(111(, ) P x y 、 222(, ) P x y (12x x ≠)).
(4)截距式
1x y
a b
+=(a b 、 分别为直线的、纵截
(5)一般式 0Ax By C ++=(其中 A 、 B 不同时为 0).
79. 两条直线
(1)若 111:l y k x b =+, 222:l y k x b =+ ① 121212||, l l k k b b ?=≠; ② 12121l l k k ⊥?=-.
(2)若 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=, 且 A 1、 A 2、 B 1、 B 2都不为零 , ① 111122
2
2
||A B C l l A B C ?
=≠;
② 1212120l l A A B B ⊥?+=; 80. 夹角公式
(1)2121
tan |
|1k k k k α-=+.
(111:l y k x b =+, 222:l y k x b =+, 121k k ≠-) (2)12211212
tan |
|A B A B A A B B α-=+.
(1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=, 12120A A B B +≠). 直线 12l l ⊥,直线 l 1与 l 2的夹
π
.
81. 1l 到 2l
tan 1k k k k α-=
+.
(111:l y k x b =+, 222:l y k x b =+, 121k k ≠-) (2)12211212
tan A B A B A A B B α-=
+.
(1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=, 12120A A B B +≠). 直线 12l l ⊥时,直线 l 1到 l 2的角是
2
π
.
82.四种常用
(1)定点直线系方程:经过定点 000(, ) P x y 直线系方为 00() y y k x x -=-(
0x x =), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 000(, ) P x y 的 直 线 系 方 程 00() () 0A x x B y y -+-=, 其中 , A B 是待
(2)共点直系方程:经过两直 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=的交点 的直线系方程为 111222() () 0A x B y C A x B y C λ+++++=(除 2l ) ,其中 λ是待定的系数. (3)平直线系方程:直线 y kx b =+中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 0Ax By C ++=平行直系方
(4)垂直直线系方程:与直线 0Ax By C ++= (A≠ 0, B ≠ 0) 垂直的线系方程是 0Bx Ay λ-+=, λ是
83. 点到
d =
(点 00(, ) P x y ,
84. 0Ax By C ++>或 0<>
设直线 :0l Ax By C ++=,则 0Ax By C ++>或 0<所表示的平面区域是: 若="" 0b="" ≠,="" 当="" b="" 与="" ax="" by="" c="" ++同号时,="" 表示直线="" l="" 的上方的域;="" 当="" b="" 与="" ax="" by="" c="" ++号时,表示线="" l="" 的方的区="" .="" 简言之="" ,="" 同号在上="" ,="" 异号在="" .="" 若="" 0b="," a="" 与="" ax="" by="" c="" ++同号时,="" 表示直线="" l="" 的右方的区域;="" a="" 与="" ax="" by="" c="">所表示的平面区域是:>
85. 111222()() 0A x B y C A x B y C ++++>或 0<>
设曲线 111222:()() 0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠) ,则
111222()() 0A x B y C A x B y C ++++> 0<所表示的平面域是: 111222()()="" 0a="" x="" b="" y="" c="" a="" x="" b="" y="" c="" ++++="">所表示的平面区域上
183. 几
(1) 1lim
0n n
→∞
=, lim 0n
n a →∞
=(||1a <>
; (2) 0
0lim x x x x →=, 0
11lim
x x x
x →=
.
184. 两个重要
sin lim
1x x x
→=;
(2) 1lim 1x
x e x →∞?
?+= ??
?(e=2.718281845? ).
185. 函数极限
若 0
lim () x x f x a →=, 0
lim () x x g x b →=,则
(1)()()0
lim x x f x g x a b →±=±????;
(2)()()0
lim x x f x g x a b →?=?????;
(3)()()
()0
lim
0x x f x a b g x b
→=
≠.
186. 数列极限的四则运算法则 若 lim , lim n n n n a a b b →∞
→∞
==,则
(1)()lim n n n a b a b →∞
±=±;
(2)()lim n n n a b a b →∞
?=?;
(3)()lim
0n n n
a a b b b
→∞
=
≠
(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞
→∞
→∞
?=?=?( c
187. ) (x f 在 0x 处
0000
() ()
() lim
lim
x x x x f x x f x y f x y x
x
=?→?→+?-?''
===??.
188. 瞬时
() ()
() lim
lim
t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??.
189. 瞬
() ()
() lim
lim t t v
v t t v t a v t t
t ?→?→?+?-'===??.
190. ) (x f
() dy df f x y dx
dx
''==
=
() ()
lim
lim
x x y f x x f x x
x
?→?→?+?-==??.
191. 函数 ) (x f y =在点 0x 处的导数的几何意义
函 数 ) (x f y =在 点 0x 处 的 导 数是 曲 线 ) (x f y =在 )) (, (00x f x P 处 的 切 线
) (0x f ',相应的切线方程是 ) )((000x x x f y y -'=-.
192. 几种常见函数的导数 (1) 0='C (C 为常数) .
(2) ' 1
() () n n x nx n Q -=∈.
(3) x x cos ) (sin='. (4) x x sin ) (cos-='. (5) x
x 1) (ln=
'; e a
x x
a log
1) (log=
'.
(6) x x e e =') (; a a a x x ln ) (='. 193. 导数的运
(3) ' '
'
2
() (0) u
u v uv
v v v
-=≠. 194. 复
设函数 () u x ?=在点 x 处有导数 ' ' () x u x ?=,数 ) (u f y =在
导 数 ' ' () u y f u =, 则 复合 函数 (()) y f x ?=在 点 x 处
x u x y y u =?, 或写 作
' ' '
(()) () () x f x f u x ??=.
195. 常用的近似计算公式(当 x 充
11+
≈+; x n
x n 11+
≈+; (2)(1) 1() x x R ααα+≈+∈; x x
-≈+111;
(3)x e x +≈1; (4)x x l n ≈+) 1(;
(5)x x ≈sin (x 为弧度) ; (6)x x ≈tan (x 为度) ; (7)x x ≈arctan (x
196. 判别 ) (0x f 是极大(小)值的 当数 ) (x f 在点 0x 处连
(1)如果在 0x 附近的左侧 0) (>'x f ,右侧 0) (<'x f ,则 ) (0x f 是极大值; (2)果 0x 附近的左侧 0) (<'x f ,右侧 0) (>'x f ,则 ) (0x f 极小值 . 197.
, a bi c di a c b d +=+?==. (, , , a b c d R ∈)
198. 复数 z a bi =+的模(或绝对值)
||z =||a bi +
=
199. 复数的
(1)() () () () a bi c di a c b d i +++=+++; (2)() () () () a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()() () () a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2
2
2
2
() () (0) ac bd bc ad a bi c di i c di c d
c d
+-+÷+=
+
+≠++.
200. 复数的乘法的运算律 对于任何 123, , z z z C ∈,有 交换律 :1221z z z z ?=?.
结合律 :123123() () z z z z z z ??=??. 分配律 :1231213() z z z z z z z ?+=?+? . 201. 复平面上的两点间的
12||d z z =-=
(111z x y i =+, 222z x y i =+) .
202.向量的垂直
非零复数 1z a bi =+, 2z c di =+对应的向量分别是 1OZ
, 2O Z ,则 12OZ OZ ⊥ ?12z z ?的实部为零 ?21
z
z 为纯虚数 ?2221212||||||z z z z +=+
?222
1212||||||z z z z -=+?1212||||z z z z +=-?0ac bd +=?12z iz λ= (λ为非
零实数 ).
203. 实系数一
实系数一元二次方程 20ax bx c ++=, ①若 2
40b ac ?=->,
则 1,22b x a -±=
;
②若 240b ac ?=-=, 则 122b
x x a
==-;
③若 240b ac ?=-<, 它在实数集="" r="">,>
复数根 2
40) 2x b ac a
=-<>
所表示的平面域是:>?>??>≤?∈--+∈.>