,(x)d,f(t)dtf(,(x)),(x),, ,adx
bd
,f(t)dt,,f(,(x)),,(x) ,,()xdx
,(x)d
f(t)dt,,,f(,(x)),(x),,f(,(x)),(x), ,(x),dx
一、填空题答案
12ln(x,1)1、 2、 ,C21sin,x
,12,2xf(x)3、 4、 5、 2,2,
二、计算题(每题2分)
11、dx ,22xx,3
11111()()dxdd,,,,解: ,,,2222xx333xx,x,x,
11令 ,t,则x, xt
12(13)d,t111t6(),,d,,dt,,dt,,2222原式x,,,,313131/3x,,t,tt,,,21(13)d,t ,,26,13,t
12 213,,,,t,C 6
211,, 13 ,,,,C,,3x,,
23x, ,,,C3x
xedx2、 ,
2解、令 x,t,x,t,dx,2tdt
tttte,2tdt,2td(e),2(e,t,edt)则
tt ,2te,2e,,C
x ,2e(x,1),C
2xlnxdx3、 ,
13解:原式 ,lnx(dx),3
1133 ,xlnx,xd(lnx)],33
1132ln ,xx,xdx,33
1133ln ,xx,x,C39
,
24、 xcosxdx,0
,2解:原式 ,xd(sinx),0
,,22= xsinx,sinxdx,00
,,2= ,cosx02
, ,,12
ln22x35、 xedx,0
ln22122x2解:原式,令,则 ,xed(x)t,x,02
ln2ln2211xt22 原式= ()xedx,tedt,,0022
ln2ln211tt ,te,edt,0022
ln21tln2, == 1 ln2,e02
21x6、 dx,220(1,)x
2xtdxtdt,,tan,sec解:令,
,,,,24tan1cos2111tt,,,,22444secsinsin2tdttdtdttt,,,,,,4,,,原式= ,,000sec22284t,,0
2,x27、 ecosxdx,0
解,令原积分为I,则,利用分部积分计算
222,,,2,xxxx2222,, Iexdxedxexxedxcossinsinsin*2,,,,,,,,,0000
2x2,,,2222xx,,edxexxedxcos2cos2cos*,, =2 ,,,,,,000
4,(1)4eI,, =2
24, 所以I= ,(1)e5
22y,xy,2x三、抛物线,,与直线y=1所围的图形(3
解:所求面积如右图阴影部分所示:(首先可画出图形,样方便
两部分关于x轴对称,则
11y22(y,)dy,2(1,)ydyA= ,,0022
132222 ,2(1,),y,(2,2)2330
3y,xy,x四、求曲线及所围成的图形(3分) 解:求面积如右图阴影分所示: 则
13A= (x,x)dx,0
13121542 = x,x,034120
变上、下限积分求导公式
变上、下限积分求
一、填空题答案
1、 2、
3、 4、 5、
二、计算题(每题 2分) 1、
解:
令
2、
解、令
则原式 =
3、
解:原式
4、
解:原式
=
=
5、
解:原式,令,则
原式 =
== 1
6、
解:令,则
原式 =
7、
解,令原积分为 I ,则,利用分部积法计
=2
=2
所以 I=
三、抛物线, ,与直线 y=1所围成的
解:所求面积如右图阴影部分所示:(首先可画出图形,这样方便解) 两部分于 x
A=
四、求曲线及所围成的图形(3分)
解:所求面积如右图阴影部
则先求出交点为 (1,1)
A=
=
??
??
??
??
下限积分求导公式
变上、下限积分求导公式
d ?(x )
f (t ) dt =f (?(x )) ??'(x ) ?dx a
d b
f (t ) dt =-f (φ(x )) ?φ'(x )
?dx φ(x )
d ?(x )
f (t ) dt =f (?(x )) ??'(x ) -f (φ(x )) ?φ'(x )
?φ(x ) dx
一、填空题答案
1、ln(x +1) 2、3、2-
2
1
+C 2
1+sin x
2
π
2
4、-2xf (x ) 5、
1
π
二、
、
解:
?x
1
2
x 2+3
=?
111(-) =-?()
x x 2+3x 2+3x
1
令
11
=t , 则x = x t
原式=-?
1
d () =-?x 2+3x
11
(1/t )
2
+3
dt =-?
1
d (1+3t 2)
t
=-?+3t 2+3t 2
1d (1+3t 2)
=-?
6+3t 2
1
= -?2+3t 2+C
2、?
e
x
dx
解、令x =t , x =t 2, dx =2tdt 则原式=
?e
t
?2tdt =2?td (e t ) =2(e t ?t -?e t dt )
=2te t
-2e t
++C =2e x
(x -1) +C
3、?
x 2
ln xdx
解:原
) =13x 3ln x -13
3?x d (lnx )]
=13x 3ln x -1
3?x 2dx =13x 3ln x -1
9
x 3+C
π
4、
?
2
x cos x dx
π
解:原式=
?
20
xd (sinx )
62
= -131+3? 1?
?x ??+C
= -x 2+3
3x
+C
2-=x sin x 0
π
π
?
2
sin xdx
=
π
2
+cos x 02
π
=
5、
π-1 2
?
ln 2
x 3e x dx
2
1ln 22x 222
x e d (x ) t =x ,令,则
2?0
1ln 22x 21ln 2t 2
x e d (x ) =?t e dt 原式=?2020
解:原
1t ln 21ln 2t
te -?e dt
0202
1t ln 2
=ln 2-e = ln 2-1
02
x 2
6、?
0(1+x 2) 2
1
解:令x =tan t , dx =sec tdt ,则
π
2
原式=
?
40
tan t 1-cos 2t 1?1?4π12244
sec tdt =sin tdt ==t -sin 2t =- 4????00sec t 22?2?084
2ππ
π
7、
?
2π
e 2x cos xdx
2π
2π
2π
解,令原分为I ,则,利
2x
?I =?e cos xdx =?e d sin x =?e sin x -sin x *2e dx ???0000
2π
2x
2x
2x
=2
?
2π
e d cos x =2??e cos x ??0-2?0cos x *e dx
4π
2x
{
2x
2π2π
2x
}
=2(e -1) -4I
24π
(e -1) 5
2
2
所以I=
三、抛物线y =x ,y =2x ,与直
解:所求面如右阴影部分所示:(首先可画出图形,这样方
y 1
A=2?(y -) dy =2(1-) y dy
022?0
1
222
=2(1-) ?y
23
31
=
2
(2-2) 3
四、求
x
解:所求面右图阴影部分所示: 则先
?
1
(x -x 3) dx
31
2 =x 2
3
-
1415x =
4012
下限积分求导公式[精品]
变上、下限积分求导公式
,(x)d,f(t)dtf(,(x)),(x),, ,adx
bd
,f(t)dtf(,(x)),(x),,, ,,()xdx
,(x)d
f(t)dt,,,f(,(x)),(x),,f(,(x)),(x), ,(x),dx
一、填空题答案
121、 2、 ln(x,1),C21sin,x
,123、 4、 5、 ,2xf(x)2,2,
二、
11、 dx,22xx,3
11111()()dx,d,,,d解: ,,,2222xxxx,3x,3x,3
11,t,则x,令 xt
12(13)d,t111t6(),,d,,dt,,dt,,
12 213,,,,t,C 6
211,, 13 ,,,,C,,3x,,
23x, ,,,C3x
x2、 edx,
2解、
tttt则原
tt,2te,2e,,C
x ,2e(x,1),C
23、 xlnxdx,
13解:原式 ,lnx(dx),3
1133 ,xlnx,xd(lnx)],33
1132ln,xx,xdx ,33
1133ln,xx,x,C 39
,
2xcosxdx4、 ,0
,2,xd(sinx)解:原式 ,0
,,22= xsinx,sinxdx,00
,,2= ,cosx02
, ,,12
ln22x35、xedx ,0
ln22122x2t,x解:原式,令,则 ,xed(x),02
ln2ln2211xt22() 原式= xedx,tedt,,0022
ln2ln211tt,te,edt ,0022
ln21t,eln2= 1 =ln2,02
21xdx6、 ,220(1,)x
2解:令,则 xtdxtdt,,tan,sec
,,,,24tan1cos2111tt,,,,22444secsinsin2tdttdtdttt,,,,,,4,,,,,原式=000sec22284t,,0
2,x2ecosxdx7、 ,0
解,令原分为I,则,利用
222,,,2,xxxx2222,,Iexdxedxexxedx,,,,cossinsinsin*2 ,,,,,0000
2x,2,,2222xx,,edxexxedxcos2cos2cos*,, =2 ,,,,,,000
4,(1)4eI,, =2
24,, 所
22三、抛,,与直线y=1所围成的
解:所求面右图阴影部分所示:(首先
11y22(y,)dy,2(1,)ydyA=,,0022
132222 ,2(1,),y,(2,2)2330
3四、求
解:所求积如右图阴影部分所示:
13(x,x)dxA= ,0
13121542 = x,x,034120
变下限积分求导[新版]
变上
,x例如:
如果该函再添一个变量,那么
,xx xftdtftdtxfx,,,,,,,,,,,,00
x相当于:个常数,提取在变上限定积
举例:(2008年高职升本试卷)
x若在,,,,,内连续,Fxxtftdt,,2 fx(),,,,,,,,,0
证明:(1)若为奇函数,则Fx
Fx (2)若非增,
FxFx,,明:(1)若为奇函数,则证
,,,xxx,,,,,,,Fxxtftdtxftdt,,,,22tftdt ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000,,,,,,
xxftdtxfxxfxftdtxfx,,,,2 = ,,,,,,,,,,,,00
,,,,,xx,x,,,,,,,Fxxtftdtxftdt2()2tftdt ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000,,,,,,,,,,,,
,,xx,,,,,,,,,,,,,ftdtxfxxfxftdtxfx()(1)2()(1) =,,,,,,,,,,,,00
xx,,,FxFxftdtxfxftdtxfx ,,,,,,, 故:,,,,,,,,,,,,,,00
xx0,,,, 0ftdtftdtftdt ,,,,,,,,,,,0xx
,,FxFxC,,, 由拉格朗日定理,
x,0当
,(2)
x,由 Fx,ftdtxfx,,,,,,,,0
由
, 上
x,0
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