缠论区间套定理也就是缠中说禅精确大转折点寻程序理:某大的转折点,可通不同级别背驰段的级收缩范围而确定。换言之,某大级别的转折点,先找到其背驰段,然后在次级别里,找出相应背驰段在次级别里的背段,将该程反复进行下去,直到最级别,相应的转折点就在别背驰段确定的范围内。如果这个最低级别是可以达到每笔交的,理论上,级别的转折点,可以精确到笔的背驰上,甚至就是一
数的区间套好理解就是集合的包含,最后只剩一个无限小的数0达到一个极限,闭球套就更容易理解套小球最后的小球成为一个点,这个应该是所有球都包
缠论区间套最后定位在走势结束的低(高)的一个价位上,这个价位逐从最高级别(背驰发生的级别可能是日线也可能是30分钟等)到最低级别,逐步去找个点,放大镜的倍数越来大,越来越清晰去定位。当各个级别都走入背驰段发生共很可能1分甚至更低级别的背驰导致大级别的背驰
通过级别来确认大级别的背驰,通过大级背驰来找小别的背驰,大级别没有背驰发生的情况下,小级别的背驰不要轻举妄动很可能一个小的整把背驰消灭继续原的势。大级别驰,小级别的一个微小的变化都可能起大的情,这个时候,小级别的背驰就要注
关于闭区间套定理
关于闭区间套定理
4???h1?7
2002??3?u
???B?u?2????????
JournalofZunyiNormalCollege
Vol.4?lNo.1
Mar.2002
???????Q???????J
?c????
(???B?u?2???????????l?{?????B563002)
????:?????Q???????J?????????????????V?????l???????b???l??????b1 ???p??:???Q???.;???Q???.;???????Q???.
?D???J????:0171???p?o???4:A?????V??:1009??3583(2002)01??0072??02 ofInterlinkofClosedInterval
ZHUJun-gong
(MathsDepartment,ZunyiNormalCollege,Zunyi563002,China) Abstract:Changeorincreasesomeconditionsofthetheoremofinterlinkofcloseinterval,wec
anreachthesameresult.
Keywords:sequencesofcloseintervals;sequencesofopenintervals;sequencesofhalfclosed
andhalfopenintervals
?N??????bn?????J??ba?D?r???U???f?????Q????
???J(???J1):
?????Q???.{[a.,b.1In=1,2.......}???r?d?v
1)[at?lbt)D[a2,b21D...D[an,bnI8?;
2)nl-t.oo(bn??an)??b1
?(???v?,?????U??e?????"?r???Q??[an,bnI,n
=1,2?lA(AMA(
???U???J?D?????Q???.???????r
at<a2<...<an<...<bn<bn??;<...<b2<bt
?????J???Q???.f[an,bnIIn=1,2,...}?<?i???Q ???.I(an,bn)In=1,2,...1?l???J???????f?i??b1?? ?????Q???.{(0,??)}n??1,2,8?}?l?l?=???r?d?v1) 2)?l?!?f???v??????Q?????"?r???Q???l??i??1(a,b;) ????b1?!?,?l???????Q???.{[(an,bn)I}n??1,2,---}?? ??????
1)(at,bt)D(a2,b2)D...D(an,bn)D...?l?e?? b.)??AM)?l?eb1lim-icoan??b11-io0bn??P?? ?N?????n???????????Q???J1Ib1?a???N?????? ???Zb1
?l
J
A)
A)
??
?l
??
??
??
??????:???????Q???????J?????Z[[2]0
??????:???A???U???Q???.{[an',bn'lIn=1, 8?}b1??an'??a.+a.+,???l
2A(..n
_bn+b.+1
2
n=1?l2?l??A:
?r[alA(?lbl'lD[a2',b2'1D...D[an',bn']b18??l?e?r lim
n-+co(bnA(??any)=lim
n-"00
?lb.??an??~???l???}--.???? Z
bn+
??n1-an+12)
??0
?c???Q???????J?l
[AMA(?lbn']I(n=1?l2,
?"?r???Q??(an',bn
???v?,????1?????"?r???Q?? ??)b1?+?[???U?,????1?????? n=1,2,--)b1?e?r
lim?l?l=n.????CAMbgAM?lA)nlirn-bn,=P
?!lim
n-??co
_lim
n-??AM)bg
an-1+an_?l_2A:
lim
n-????
???"?i???.,ajrlbn}?,?k?]???2???l?? a1<a2<8?<an<8?<bn<bn??1<8?<b1
2)nl-}oo(bn??an)??b1
?(???v?,????e?????"?r???Q??(??n b/n??1+bn'lim
??????????=__???????'On ??11-""
?"?????rb1lim*0oan??b1cobn???lb1 ff1(am
?????=?????Q???.???r???Q???????J?D?????Q ???.?l?=???d?vb1
???????Q???.{(an9bn)In=1,29...}???t?U???? ?[?_???7
???3????
2001??12??04
?c????(1948??)?l?=?l?n?????l???B?u?2??????????????b1
}AM}?Z{b.}?f?,?k?]???2???l?N???r
???Jill???r???Q???.I(an,bn)In=1,2,...1?l?? ???????.Ia,,IIbn}?Q???}?????.?l?e
1)(al,b)Z)(a2,b2)D...:)(a.,bn)D...; 2)lim(b.n00n??an)??b1
?(???v?,????2?????"?r???Q??(an,bn),(n= 1,2,8?)
??lim_lim:_?l
??n-cc?ln--p-00}nAM
???????J1AM?????????l???????Z???J1Ib1???Q I???Z{bn}?E?Q???}?????.?l?"???????r?r?????Q?} ???l???b?r???U???Q?????l?l?e???d???2???l?!?f?? ?????????????db1
?a???N???????J1"????????b1
????1???r???????Q???.I(an,bn]In=1,2, 8?}???.!an}???}?????.?l?e?r
1)(ai,bi]D(a2,b2]D...D(a,,,bn]D...; 2)nlo(bn??b4)??b1
?(???v?,????e?????"?r???????Q??(an,bn]?l?e lim__lim,_b1
n---p-co-nn-00-nb4
???Z:???A???U???Q???.IEan',bn]In=1,2,...} 8?}Ian}???}?????.?lIbn}?Q?}?????.?l??bn=b?l?e?r
1)(ai,b]D(a2?lb]D...D(an,b]D... 2)nl00(b??an)??b1
?(???v?,????b?????"?r???????Q??(an,b]?l?e lim__L
n-??bnbg0?l?=
???Z:???A???U???Q???.{bi??,b]In=1,2,...E ??ani=
an+a,+1
2
n??1,2,---b1?(???Q???.{[an',
b]}???????Q???????J???????l???,???v?,????1??
???"?r???Q??bian',b?l?e
lim?lA(=D
n-"acbg??AM1b1
?!?c
an+an+1
2)???lb1limn-+00a-??b?l?e
lim
n-~??00
?l_lim
n-??bn??babg
2
b.
nlimn--p-co??b4+b4*1?????~????A)?l?*e- an??
an+an+1
2
???????Q???????J???????l???,???v?, ????e?????"?r???Q??bian',bn]?l?+?[???U?,????e
???????"?r???????Q??(an,bn]?l?e?r
lim_?l_lim?l__?l
n-oo-nn??00?lA:
???l???rb1lim-*coan??b1lim+00bn??e.
?????????Q??(an,bn]n=1,2,8????ibean,bn)n= 1,2,8??+?[?r
????2???r???????Q??I[a.,bn)In=1,2,...f, ???.Ibn}???}?????.?l?e?r
1)[al,bl)D[a2,b2)D...::D[an,bn)D...
2)nl-l.oo(bn??an)??b1?(???v?,????e?????"?r ???????Q??bean,bn)?l?enlimn---s-cob4??1imn--+oobn??80 ????3???r???????Q???.I(a.,bn)In=1,2, ?l?J?N???r
????4???r???????Q???.{[a,bn)In??1,2, 8?}?lIbn}???}?????.?l?e?r
1)[a,bl)D[a,?Q)D...D[a,bn)D...
2)nl'roo(bn??a)??b1
?(???v?,????a?????"?r???????Q??bea,bn)?l?e nlimn-*0obn??a
????3?Z????4?,?????????l?f?!???v?,????B ?????"?r???????Q??(an,b]?Vbea,bn),n=1,2,---?l?l ?e???U?,????B?c?,????a?Vbb1???????y???,?l?? ?????Q???.{(an,b]}?ZI[a,bn)}???}???????????? ???,????b1???[?l?????Q???.?????U?????,?}??a?V b?l???r???]??????b1
???2???p:
[1]???)?u?2?d????????.?????J??beM].?.??:???N?????? ?L?+?l1980.
[2bg?M???y?l??????.?????J?????B(?n??)[M].?.??:???B?? ?????L?+?l1992.
(?I???V??:?c??)
区间套定理及其应用
Ξ
区间套定理及
陈娓
()长沙大学数学与计算机系 ,湖南 长沙 410003
摘 要 :给出了区间定理一种新的证明方法 ,并将区间套定理的条件强化或弱化 ,得到与之 相应的若干定理 ,使套定理到推广 ,同时还进一步论了区
关键词 :闭区间 ;开区间 ;弱化
() 中图分
Neste Interval Theorem and its a ppl ica tion
CH EN Wei
()Depart ment of Mat hematics and Co mp uter ,ChangSha U niv ,ChangSha Hunan ,410003
Abstract :In t his article , by embolding o r weakening t he co nditio n fo r Nested Interval Theo rem , several co rre2
spo nding t heo rem has been p roved ,so t hat Nested Interval Theo rem can be generized and is discussed in act ual
applicatio n
Key words :clo sed interval ;open interval ; Weaken
引言 1
区套定理 设一无穷闭
( ) ( ) ?lim b- a = 01 n n n ?? ? ζζζ则有 ?, s . t . lim a = lim b= , 且{} = ?[ a , b]1 n n n n n = 1 n ?? n ??
( ) ( ) 本文从“有上 下界数集必有上 下确界”出发 , 得到了区
( ) ( ) 明 由条件可知{ a } 有上界 , { b} 有下界 , ?根据“有 下界的数集必有上 下确界”,
sup{ a } , b = inf { b} ,
+( )a? a , b?b , a?b, Π k ?Z 2 . 1 k k k k
+ 固定 k , Π i ?Z 有 a?b,亦即 a是{ b} 的下界 ,取遍 k 值 ,即对{ a} 任何一
+ = inf{ b} ,由下确界的定义可知 , a?b , Π k ?Z ,即 b 是{ a} 界 ,
( )2 . 2 a< a?a="" k="" k="" +="" 1="" k="" +="" 1="">
+ ( ) ( ) ( ) 由条件 ?, lim b- a = 0 , 并且由 2 . 2可得 a = b1 ?若 a ?b , 则 Π k ?Z , b- a?b - a ?0 , 因 n n k k n ??
( ) 而与 ?矛
( ) ζ又由 2 . 2, { a } 、{ b}
Ξ 收稿日期 :1999 - 10 - 12
总第 44 期 陈娓 :区间套定理及其应
? ′′′+ ′′ζζζζζζζ若 ??, 且??[ a , b , 显然有?b , Π n ?Z , 即是{ b } 的下界 , 而由 = inf { b } , ?< n="" n="" n="" n="" n="" n="1" ′+="" ′′ζζζζζζ,="" 又?a="" ,="" π="" n="" ,="" 即是{="" a="" }="" 的上界="" ,="">
弱化的区间套定理 3
弱的区间套定理 ( ) ( ) 设一无穷区间列{ a , b} 〈, 这里的 非开区间标记〉, 适合下
+ ( ) ?Π n: Z , a ?a < b?b;="" n="" n="" +="" 1="" n="" +="" 1="" n="">
( ) ( ) ?lim b- a = 0 n n n ??
ζζ则 ?, s . t . lim a = lim b= 1 n n n ?? n ??
( ) ( ) 证明 数{ a } 单调有界 , ?? a , s . t . lim a = a , 又lim b- a = 0 , 由极的
ζζlim a = lim b= a , 令= a , 则lim a = lim b= , 定理证毕 1 n n n n n ?? n ?? n ?? n ??
4 开区间套定理
( ) 开区间套定理 设一无穷开区间列{ a , b} 适合下面两个条件 : n n + ( ) ?Π n: Z , a ?a < b?b;="" n="" n="" +="" 1="" n="" +="" 1="" n="">
( ) ( ) ?lim b- a = 0 n n n ?? ? ζζ( ) ζ则 ?, s . t . lim a = lim b= , 且{} = ?a , b1 n n n n n ?? n ?? n = 1
证明的过与区间套定理的证明大致类似 , 请读
区间套定理的应用 5
区套定理是很实用 1 利用构造闭集列的公共点的存在唯一性 , 可以解决一些问题 1 例 1 用区间套定理证明洛尔定理 , 从
′′( ) (ζ) (ζ) ( ) ζ证明 假设定理不成立 , 则 Π?a , b, 都有 f ?0 , 恒有 f > 0 , 则可函数 f x 是严
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ζ ( 调上升的 , 又 ?f x 在[ a , b ]上连续 , ?f a < f="" b,="" 题设="" f="" a="f">
′(ζ) ) b, 恒有 f < 0="" ,="">
a+ b 1 1′′′) ( ) ( ) ( ) (= 0 , 则定理得证 ; 否则若 故不妨设 ? a, b?a , ba< b,="" 且="" f="" a=""> 0 , f b< 0="" ,="">
a+ b+ b+ baaa+ b1 11 1 1 1 1 1 ′′′ ( ) ( ) f > 0 , 令= b ; f < 0="" ,="" 则令="" a="a" ,="" b="1" 依此类推="" ,="" 若="" f="" a="," b="" 2="" 2="" 1="" 2="" 1="" 2="" 2="" 2="" 2="" 2="" a="" +="" b="" a="" +="" b="" a="" +="" b="" a="" +="" b="" n="" nn="" nn="" n="" n="" n="" ′="" ′="" (="" )="" (="" )="" (="" )="0" ,="" 则定理得证="" ;="" 若="" f="">< 0="" ,="">
a + b n n1 a = a , b= n + 1 n n + 1 2
a + bn n ′ ( ) 这样 , 若总不能得到 f = 0 , 则得到了一无穷闭区间列{ a , b } , 显然 s . t . :n n 2
( ) ?[ a , b ] = [ a, b] = [ a, b] =[ a , b] == n n ; 1 1 2 2
b- a 1 1( ) n ??; ?b- a = ?0 n n n - 1 2
′′( ) ( ) ( ) ?a , b, f a > 0 , f b< 01π="" n="" n="" n="" n="">
′ ( ) ( ) ( ) ζζζ由条件 ??, 根据区间套定理则有唯一点?[ a, b, 且 a ?, b?, n ??, 但由 ?应有 f 1 1 n n
′(ζ) (ζ) > 0 且 f < 0="" ,="" 矛盾="" 1="">
′( ) ζ(ζ) 因而在 a , b中必存在一点, 使 f = 0
这样就证了洛尔定理 , 然后用构造辅助函数的方法可以得到
长 沙 大 学 学 报 2000 年 6
例 2 用区间套定理证明有界性定理 a + b + b a 证 ( ) f x 在[ a , b ]无界 , 则等分[ a , b , 即[ a , b ] = [ a , ] ?[ , b , 至少有一个子区间上 2 2 ( ) ( ) f x 无界 , 不为[ a, b, 将[ a, b]等分 , 则存在区间[ a, b, 使 f x 在[ a, b]上无界 1 依此类1 1 1 1 2 2 2 2 推 , 不断等分间 , 则得到无穷闭
( ) ?[ a , b ] = [ a, b] = [ a, b] =[ a , b] == 1 1 2 2 n n
b- a 1 1( ) ?b- a = ?0 n ??; n n n 2 +( ) ( ) ?f x 在[ a , b]
( ) ( ) ζζ由 ?、?, 根据区间套定理 , ?唯一?[ a , b , 使lim a = lim b= 1 n n n ?? n ??
+ ( )f x ( ) ( ) x n , 而又由 ?, Π n ?Z , ? x ?[ a , b, 使| f x | > n , 从而得
( ) ( ) (ζ) ( ) ζζs . t . x ?, f x ??, n ??由数列极限与连续函数极的
?矛盾 1
故假设不成立 , 从而有界性定理
用间套定理还能很地证明康托定理 , 解释计算数学中二分法的科学性以及几何中诸如等腰梯形的 角线与对轴线交于一点的三线
参考文献
1 陈传 ,等 1 数学分折〈上册〉,第二版M , 北 :北京高等教育
2 全惠 ,等 1 计算方法及应用软件M 1 汉 :武汉大学出
() 上接第 25 页龙点睛的作用. 例如 ,在钻井布局竞赛中 ,我校赛队将他们的结果予精确的图形表示 ,
果是很好的.
写质量高低之分最清楚事实是 :由于对所作工作认识水平和整体把握上的差异 ,由此完成的论文 给人的印象可能相去甚. 实际上 ,论文的写作质量在一个不忽视的面反映出参赛队的综合素
怎样实事求是地充分表现自己 ? 精心组论文写
竞赛的启示 5
在相当大的度 ,数学的应用价值集中体在数学建模之中. 合理的数学模型是人类更深刻地认现 实世界的口. 毫无疑 ,举办多年的数学建模赛以自己的方式影响我国数学教育改革. 几十年 ,我国 数教育为国家培养各类人才 、提高个民族的综合文化素质发挥了不可替代的作用. 在十一世纪 ,数 学教育必将随我国逐步走向富强不断发展 ,担负起自己的责任. 们应该改革目前数学教育从小学到大学 偏解题能培养的教学模式 ,它已经使相当多人将数学误解为一种智力游戏 ,数学习似乎就是掌 些看来巧妙的法和积累解题的经验. 习数学的确需要做题 ,但不同于把解作为重中之重. 当我们试 图用学去解决实际问题 ,在理解现实世界与数学描述之间必然联系时 ,所谓技巧不起作用. 相反 , 一旦领悟到事物之联的本质 ,那些似乎巧妙之处其实是自的. 如何使人们相信数学是解现实的 学 ,而非一种高级智力游戏是数学教育务 ,也是一项难度很大的工程. 作为数学老师必须为此而努力 ,在 学教育中承
参考文献
1 李志. 数学建模竞赛教程M . 江苏 :京江苏教育出版
2 义华. 数学模型M . 重庆 :重庆大学出版
区间套定理及其应用
第14 第2期长 沙 大 学 报Vol.14No.2 2000
区间套定理及其应用
陈 娓Ξ
(长沙大数学与计算机系,湖南
摘 :给出了间套定理种新的证明方法,并将区间套定
相应若干定理,使区间套理得到推广,同时还进一步讨论
关键词:闭区间;开区间;弱化
中图分号:O144 文献标
NesteIntervalTheoremanditsapplication
CHENWei
(DepartmentofMathematicsandComputer,ChangShaUniv,ChangShaHunan,410003)
Abstract:Inthisarticle,byemboldingorweakeningtheconditionforNested,severalcorre2spondingtheoremhasbeenproved,sothatNestedIntervalcanisdiscussedinactualapplication
Keywords:closedinterval;open1 引言
区间套定理 一无
(ⅰ)Πn:Z+,s.t.an≤an+1<>
(ⅱ)lim(bn-an)=01n→∞
则有?ζ,s.t.liman=limbn=ζ,且{ζ}=∩[an,bn]1n→∞n→∞n=1∞
本文“有上()界数集有上(下)确界”出发,得到
2 区间套定理新法
证明 由件可知{an}有界,{bn}有界,∴根据“有上(下)界的数集必有上(下)界”,则可
ak≤a,bk≥b,ak≤bk,Πk∈Z+(2.1)
固定k,Πi∈Z+有ak≤bi,亦即ak是{bn}的,取遍k值,对{an}中的任何一个数都是{bn}的下界,又b=inf{bn},由确界的定义可知,ak≤b,Πk∈Z+,即b是{ak}的上界,类似地,可证a是{bk}的下
ak
),lim(bn-an)=0,
)矛盾1而与(ⅱ
又由(2.2),{an}、{bn}单调有界1∴liman=sup{an}=a,limbn=inf{bn}=b,令a=b=ζ,则liman=n→∞n→∞n→∞limbn=ζ,且ζ∈∩[an,bn]1下证{ζ}=∩[an,bn]1n→∞n=1n=1∞∞
Ξ收稿
总第44期 陈娓:
∞27′′′′′ζ,且ζζ若?ζ≠∈∩[an,bn],显然有ζ≤bn,Πn∈Z+,即ζ是{bn}的下界,而由ζ=inf{bn},∴<>
′′′ζ,又ζζ≥an,Πn∈Z+,即ζ是{an}的上界,由ζ=sup{an},∴>ζ,从而推出矛盾1
故{ζ}=∩[an,bn],定
3
()并开区间标记〉弱化区间
(ⅰ)Πn:Z+,an≤an+1<>
(ⅱ)lim(bn-an)=0n→∞
则?ζ,s.t.liman=limbn=ζ1n→∞n→∞
证明 列{an}单调有界,∴?a,s.t.liman=a,又lim(bn-an)=0,由极限
liman=limbn=a,令ζ=a,则liman=limbn=ζ,
4 开区间套定理
开区间套定
(ⅰ)Πn:Z+,an≤an+1<>
(ⅱ)lim(bn-an)=0n→∞
则?ζ,s.t.liman=n{nn)nnn=∞
,请读者自证之1
5
区间套定理是很用的1用构造闭集列的公共点的存在
例1 用区套定理证明洛尔定理,从而
(ζ)≠(ζ)>0,可知
调上升,又∵f(x)在[a,b]
(ζ)<>
故不
′f(2)=0,则定理得证;否则若2
2)>0,则令a2=2′,b2=b1;若f(2)<>
2)<>
2)>0,则令,an+1=2′,bn+1=bn;若f(an+1=an,bn+1=21
(这
2)=0,则到了一
(ⅰ)[a,b]=[a1,b1]=[a2,b2]=……=[an,bn]=……;
(ⅱ)bn-an=2n-1→0 n→∞;
(ⅲ)Πan,bn,f′(an)>0,f′(bn)<>
)(ⅱ),根据区间套理则唯一
(ζ)>0且f′(ζ)<>
(ζ)=0因而在(a,b)中必
这样就证明了尔定理,然后用构造辅助函数的方
28沙大学学报 2000年6月
证明 f(x)在[a,b]
f(x)无,不妨为[a1,b1],将[a1,b1]等分,则存在子区间[a2,b2],使得f(x)在[a2,b2]上无界1依此类,
(ⅰ)[a,b]=[a1,b1]=[a2,b2]=……=[an,bn]=……
(ⅱ)bn-an=→0 n→∞;2n
(ⅲ)f(x)在[an,bn]
)、(ⅱ),根据区
),Πn∈Z,?xn∈而又由(ⅲ[an,bn],|f(xn)|>n,xf(xn),且ζ,f(xn)→∞,n→∞ζ,f(x)→f(ζ),这
∞矛盾1
故假设
用区套理还能很好地证明托定理,解释计数学中二分法的科学性以及几何中诸如等腰梯的两对角线
[1]陈传璋,1数学分
(上接25页)龙点的作.例,在钻井布局竞赛中,我校参赛队将他们的结
写作质低之分最清楚的事实是:于对所作在认识平和整体把握上的差异,由此完成的论文给人的印象可能相甚远.实际上,论文
怎样实事是地充分表现自己?精
5 竞赛的启示
在相当大程度上,数学的用价集中体数学建模之中.理的数学模型是人类更深刻地认识现实世的窗口.毫无疑,举办多年的学建模竞赛将以自己的方式影我国数学教革.几十年来,我国数学教育为国培养类人才、为提高整个民族的综合文化素质发挥了不可替代作用.在二十一世纪,数学教育必将随我国逐步走向富强而不断发展,担负起自己的责任.我们应该改革目前数学教育从学到大偏重解题能力培养的教学模式,它已经使相当多人将数误解为一种智力游戏,数习似乎就是掌握那些看起来巧妙的方法和积累解题的验.学习数学的确需做题,但不同于把解题作为重中之重.当我们试用数学解决实际问题时,在观现实世界与学描之间的必然联系时,所谓技巧不起作用.反,一旦领悟到物之间联系的本质,那些似乎巧妙之处其实是自然.如何使人们相信数学是理解现实的科学,而非种高级智力游戏是数学教育的任务,是一项度很大的程.作为数学老师必须为此而努力,在数学教育中承担
参考文献
[1]李尚志.学建模赛教程[M].江苏:南京
[2]陈义华.数学型[M].重庆:重庆
区间套定理及其应用
文章编号,1007-9831,2014,06-0007-03
区
12
,1. 陕西科技大学 理学院,陕西 西安 710021,2. 陕西铁路工职业技术
摘要,通过分析区套定理的点,给出它在证明相关命题时的
解,进一步高学生的逻辑思维能力
关键词,学分析,实数完备
中图类号,O171文献标
9831.2014.06.002
Nested interval theoremits applicationand 12GUOGai -hui,LI Bing-fang
,1. School of Science,Shaanxi University of Science and Techn2olo1,gChiny,,Xia ′an 7100
2. Department of Basic Course,Shaanxi Railway Institute,Weinan 714000,China,Abstract:By the analysis of the nestedinterval theorem,its applicationsin the proof of propositigivenons, whichwas will help students to have a deeper understanding for theorems,and further improve their abilities thinking of logical and mathematicalanalysi s,
Key words,mathematics analysis,real number completeness,nestedtheor intervalem
区间套定是学分析中一个非常重要的定理,它同界原理、单界原理、聚点定、柯西收敛 准则及有限覆盖定理合为实数完备性的,个基本定理,由于这些定理的价性,只要用其中定理 可以证明的命题,原则上用其它定理也能证明,但证明的难易程度往往有较大差
本文分区间套定理的特点,通过应实例说数学分析中的许多重要结论,特别是涉及由整体到
[1] 定理 1,区间定理,
,i, a, b, [a,b] , n , 1, 2, 3, ? ,,,, n n n, 1 n, 1
,ii, lim (b, a) , 0 , n n n,,
则在 R 中存在唯一一点, ,
不难看,区间套定理说的是一个大间里套一区间,小间里再套一个更小区间,如此下去, 最后套出一个公共点,其特点是由点集整
[2-4]的命题,别是证明一定条件下存在一个点具有某种性质时,常
[5] [6] 区套定还可用来证明闭区间上连续函数的性质 、导函
n ,1 , [7] lim 1 , 的存在性、交错级数的莱布尼茨判别法及其
收稿日
基金项: 陕西省自科学基研究划资助项目,2110JQ101,5,陕西省
作者简,郭改慧,1979-,,,河南
8高 师 理 科 学 刊第 34 卷
应用间套定理证明时,关键在构造足一定条件的区间套,然后由区间套套一个公共
1利用区套定理证明幂级数收敛
定理 2 设幂数在整实轴上既有收敛点又有发散
分析 不设幂级数的中心在原点,已知幂级数在实轴上的整体——既有收敛点有发散点, 要证明该幂级数存在收敛径,也就是要找一个点,使得所有绝对值比它小点处级数都收,所有对 值它大的点处级数都发散,这正是要证明存在某种点的问题,适合用区间套定理来证
, n 证 明 不失 一 般 ,设此 幂 级数 为 , x, 任 取 一收敛 点 a , 发 散 点 b ,
a, b, [a, b] ,级数在 a处收敛, b处发散,取 a, b中点 c,若级数在 c处收
b , a ,b中点 c,,取 ac, b,否令 a, b, a, c,此时级数
b , a 类 似得 a, b, a, b, 且 b, a,, 以上 方法不 断
b , a a, b, a, b, n , 1,2 , 3, ? ,, b , a , , 0 (n , ,) ,即 a , b 区间套,由
定理可知,存在一的点 r,a, b, n , 1,2 , 3, ? ,,即有 a, a, ? , a, r, b, ? , b, b,由 r,, 0 n n 1 2 n 0 n 2 1 0, , n n 的唯一性可,对任意 x , R ,当 | x |, r时,幂级数 , x 收敛,当 | x |, r时,数 , x 发散,故,n ,n 0 0 n, 1 n , 1 , n 证毕, 幂数 , x存在收敛半
2利用区间定理证明闭区间上连续
定理 3 函数 f 在闭区间 [a, b] 上连,且 f (a) , f (b) ,若 , 介于 f (a) 与 f (b) 之的任何实数, 则至存在
分析 区间上连续函的介值及其论零点定理,都是要说明存在某个点满足一定的
证明 不妨问转换为证明零点定理,即若函数 g 在 [a, b] 上,且 g (a) , 0 , g (b) ,则存在 x, (a, b) ,使得 g ( x) , 0 ,将 [a, b] 等为 2
g (c) , 0 ,则当 g (c) , 0 时,记 a, b, [a, c] ,当 g (c) , 0 时,记 a, b, [c,b] ,则有 g (a) , 0 ,g (b) , 0 ,,, ,, 1 1 1 1 1 1
1 且 a, b, [a,(b , a) ,对区 a, b
1 (b , a) ,结论成立,要么得
a, b, , i i 将上述程不断地行下去,或到某一步有 g c , g , 0 ,此时结论
1 a, b,满足 g (a) , 0 , g (b) , 0 , a,b, a, b,
由区间套定理,存在点 x, a, b且 lim a, lim b, x,由 g 在 x处连续,有 g ( x) , lim g (a) ,,, 0 n n n n 0 0 0 n n,, n,, n,, 0 ,g x, lim g b, 0 ,因 g x, 0 ,
3利用区间套理证闭区间上只有第一类间断
定理 4 设函数 f ( x) [a, b] 上只有第一类间断点,可以是无多个,,
第 6 期改慧,等,区间套定理
分析 于证有界的问题,往往可以利用反证法,假设 f ( x) 在 [a, b] 上界,用二分法构造区间套 a, b,使 f ( x) 在每个 a,b均无界,由区间套定理可出一公共点 x,[a,b] ,以证明当 x , x,,,, , , n n n n 0 0时, f ( x) 无
证明 ,反法,设 f ( x) 无界,将 [a, b] 二等分,则必有区间使得 f ( x) 在其上无界,假设在 ,a , b , ,a , b , a, 函数无界,记区间 a,为 a , b ,再 a , b 二
a, b,由区间套定理可出一点 x,[a, b] ,可证明当 x , x时, f ( x) 无
证毕, 断点矛,故假设
通过分析区套理特点并结合相关应用可以发现,整体到局的命题,特别是证函数在某个 点具一定性质时,常常适合用区间套定理来证明,这的适合只是表明证明起来会更便,本文通过讨 论区间定理的应用,一面加深了理本身理解,另一方拓宽了数学证明题的解题思路,对提高 学生的逻辑思维能力和数学分析能力颇有裨
参考文献,
[1]华东师范
[2] 彩,区间套定理在证明中值定理中的用[J],滨商业大学学,自然科学版,200,5,,79421-,796 6[3] 张明波,王娅,利用闭区套定理
143 [4] 在库,用区间套定理证明Rolle定、Lagrange定理[J],徽大学学报,自然科版,2003,27,2,,[5] 18-21 明,用区间套定理证明闭区间上连函数的性质[J],西安工程
[7] 李博,张贺,利闭区间定理明重要极限的存在性[J]河北北方学学报,自
变
为适应学发展,应广大作者和读者的要求,征得主管部的同 意,经江省新闻出版局批,黑新出报刊行许字[2014]20号,,《高 师理科学刊》2015年 1 月起由月刊变更为月。其办宗旨、目、 发行范围、发行方式不变。竭诚欢迎广大作者继续惠赐稿件,一如既 往地支持本
高师理科学刊编辑部