话题:九章算术作者 计算方法 十
《九章算术》全部古详细资料,现已成上线。《九算》作者不详,一部现有传的、最古老的中国数学书,它的编纂年代大约是在东汉期。中汇集了二百四十六个应用问题的解法,分别隶属于方田、粟、衰分、少广、商功、均、盈不足、方程、句股。 春、国时期社会产的渐提高,了数学知和计算技能的发展。当时各国的统治阶级要亩收税,必须有测量土地、计算面积的方法;要储备粮食,必须有计算仓库容积的法;要修灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事,须能算工程人功;要修一适合农业生产的历法,必须能运用有关文数据。那时的百姓掌握了相当丰富的、由日生活中产生数学知和算技能。虽然没有一本先秦数学流传到后世,但无可怀疑的是九章算术方田、粟米、衰分、少广、商等章中的题解方法,绝大部分是产生于秦以前的。汉书艺文志术数类著录有许商算术二十卷,杜忠算术
卷,这两部算虽早已失传,应是东汉编纂的九章算术前身,它们的要教应当被于九章算术各章。 周礼大司徒说:「保氏掌谏王恶而养国以道。乃教之六艺:一曰五礼,二曰六乐,三曰五射,四曰五驭,五曰六书,六曰九数。」这是说,主持贵族子弟教育的保氏以礼、乐、射、驭、书、数「小学」的六门课程,每一门课程又各有若细目,例如「数」学中有九个细目。在周礼里没有把「九数」列举来,我就法考它内容。汉武这周礼开始受到学家的注意。到东汉时期,郑众、融等都为「九数」作了注解。汉末郑玄周礼注引郑众说:「九数:方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要,今有重差、句股。」事上,郑众所说「数」中的「均输」已是汉武帝太初元年以后的赋税制度,决是周九数原有的一个细目。「方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要」大概是西传统术的主要纲目,「今有重差、句股」明数学有了新的展。传本九章术将句代替要,的编纂代当在郑众注周「九数」(约公元五,)之后。汉书马援传说,马续「善九章算术」。马续是马援的侄孙,马融(公元七九——一六六年)之兄,他生年约在公元七,年前后。马续研究九章算术大概在公元九,年前后。根据上述史料,我们认为九章算术的编定年代是在公元第一世后半个世纪,而各
要内容在第一纪初期已具备了定的成。 九章算术但对后世的数著作定了优传统,对世界数发展也有着重要贡献。现在小学算术课程中的数四则,各种比例,面积和体积,以及各类应用问题解法,九章算术方田、粟米、衰分、商功、均输、盈不足等章里已有了相当详备的内容。现在学程中的代数部分,如开平方、开立方、负数、联立一次方程组、二次方程项,在少广、方程、句章里亦有了越成就。 传本九章算有注和唐李淳风的注释。刘徽是我国古代杰出的数学。他为九章算术作注解,又自重差一卷附于九章算术九卷之后,故隋书经籍志著录「九章算术十卷,刘徽撰」。经籍志又录有「九章重差图一卷,刘徽」,当是十卷本附图,可惜早已亡佚。九章算术方田章圆田术注和商功章困术都论及「晋武库中有汉时王莽作铜」。隋书律历志论历代量制引商功章注,说「魏陈留王景元年(公二六三年)刘徽注九章」。我们根这些资料,认为徽是、晋时人。他的生履历可详。 徽九章算术注自说:「又所析理以辞,解体用图。庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。」这是说,问题解法的理论分析,要用明确的语言表达来;空间形体的具体分解,要用几何图形显示出来。这样才能做到又简又明,启发读者的思考。他在注中一方面整理九章算术各个问题解法,理论上属于
使它们归于一,提纲挈领地阐所以能的道理。在另一面,对于原来有不准确的计算,他提出了确的计算方法。如九章算术原术取用三为圆周,他通过了圆内接正三百八十四边形和正三千零七十边形面的严密计算,得到圆周率的近似值,五十分之一百五十七,或一千二百五十分之三千九二七。又如开平方或开立方不尽时(平方或立方根为无理数),原有以分数奇零部分的方法甚准,他张继续方,得出十分数表示平或方根的近似值。此外,他创立许多新的解题方法,如盈不足章第十九题的等差级求和法,方程章第七题的互乘相消法,第九题的消去常数项法,句股章第十六题的内切圆径公式等等,都比原术简便。 唐李淳风等对刘注本九章算术作了一些解释,原有刘徽注意义十分明确的不补注,盈不足、方程二章就没有他们注释。九章算术所有与圆面积有关的问题,都取圆周率三计算,刘以为取五十分之一百五十七,李淳风等补认为可以用七分二二计算,是对的。但七之二二是祖之的所谓「约率」,而李淳风等引用此,称它为「率」。后世人误认七分之二十二为「密率」的很多,这是李注的谬种流传。少广章开立圆术,李淳等注释引祖冲之说,介绍球体积公式的理论基础。缀术书失传后,祖冲之父子对于球体积的研究,幸有李淳风等的征引而得流传到现在。 刘、李注本九
到北宋仁宗时贾宪所撰的细草,书早失传,但永乐大中保存杨辉所引贾宪方法是宝贵的数学史料。宋末有杨辉详解章算法十二卷(一二六一),在仅存商功、均输、盈不足、方程、句股五章和「九算法纂类」。杨辉钞录的九章算术本文和刘、李二家注文有很多脱误,但也有可据以对校永乐大典本字。清嘉庆初年李潢撰九章算术细草图说卷,有校勘、有补图、有详草、有明,发挥九章算术刘注原意,于读是有裨的。《九章算术》就研究九个问题习题集。每道题有问有答有术(解方法),有的是一题一术,有是多题一术,有的则是一题多术,全书九章,涉及的都是现实生活中的实际应用问题。第一章,讲“方田”,38个问题21种解决方法,主论述了各种平面图形的地亩面计法及分数的运算法则。其中面图有方田(长方形田地)、圭田(等腰角形田地)、邪田(直角梯形田地)、箕田(等腰梯形田地)、田(形田地)、宛田(球冠行田地)、弧(弓形田地)、田(圆环或环形田地)的面积法,除宛田、田采用近似计算外,其他各种图形的积算法都是确无误的。其中分数运算法则包括约分术(约分)、合分术(分数加法)、减分术(分数减法)、课术(分数比较大小)、平分术(求分数的平均值)、经分术(分数除法)、乘分术(分数乘法)及大广田术(带分数乘法)。第二章,
主要论述了二种谷物、米或饭的换比及四项比例算法。其四项比例算法时为“今有”。前31问都是项比例算法计算谷物兑换问题,后15问则是钱买物的问题,再后15问中共列四术,即经率术、术术、其术和反其率术,这四术都是四项比例算法的特殊情况。这很有点像经济学的雏形。第三衰,20问22术,主要论述比例分配,包质量不一的货物的税收问题,还有级数和几何级数面的他问。所有些是用例解决的。第少,24问16,论述的是开平方、开立方的问题。五章商功,28问24术,讨立体图形,如棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、圆台、四面体、楔形的体积测量和计算,所考虑的有墙、城墙、堤防、水道和河流。第六章均输,28问28术,主要讨论如何按照口多少、路途远近、谷物贵平均、运输赋税或摊派徭役的问题。第七盈不足,20问17术,主要论述盈亏问题的解法。第八章,1819术,研究联立线性方程,还用正数和负数。研中国代科学技史的专英国约瑟为,这在人类文明中最出现负量的概念。(过这跟我们代数学中的负数在理念上还是有差别的,这时的负数是借助于经济上的亏欠形成的,正负数的运算也能是由于需要产生的,而不是现代数理论上的负数。)本章最后涉及的四个方程和五个未知数的问题,是不定方程的前身。第九章勾股,24问22术,这里
方法深入细致论述了《周髀算》中已提到过的直角三形的性质。全共九,合计246问202术。及到社会生产生活方方面面。也正像一般学者研究的那样,这些数学知识虽然有的方面非常发达,其所面对问题都是现实生活中的实际问题,因此很多都是在解决具体的问题中达到非常精微的地,但却没有一套知识系列,将数学的各种知系统化。这是中国古代数学的一大。另外一个特征是,较擅运用代来决问,使是几何问,通也是转化为代问题,前面所提到的关于直角三角的讨论,也只不过是一个媒介,最终还是会引到代数上来。虽然我们不能说《周髀算经》和《九章算术》准确地反映了先秦时代的数学水平,但基于此,我似乎可以逆想,周时代的数学知识的状况如何。而西周的那些“国子”们,面对数学知识面也就不难想象了。实,个时期经常用到数学运算的可能还不是丈量土地,修建工程的事,而是占卜中需要用数学来计算重卦蓍草的数目,尤是者,是一比较繁的程中,要相当数学能力。凡祭、出行、婚丧、访友、军打仗等都会事先占卜,以求吉凶,可见这类事情要比测量土地、征收赋税之类的事情频繁多了。据前文所述,那个时期的数学似乎很复杂,但实际上似乎又没有这么复杂,因为他跟“书”一样,是小学的科目。作为小学的科目,估计不会涉及的方程、比例等较
知识。而且,很复杂的数算一般都是用来解决天文历法上的问题,若非有特的兴趣,或者职责专主于此,尽可以让专门制定历法的史官来做。中教育部印发义务教学科19个课标(2011年版):新课标建议将《九章算术》列入数
【 九章算术—— 九章算術提要】 作者: 古本晋劉徽注 | 来源: 汉典古籍
九章算術九卷,不詳作氏。九章算術是一部現在有傳本的、最古老的中國數學書,它的編纂年代大約在東漢初期。書中?集了二百四十六應用問題的解法,分別隸屬於方、米、分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、句股
春秋、戰國時期社生產力的逐提高,促進了數識和計算能的發展。當時各國的統治階級要按畝收稅,必須有測量土地、計算面積的方法;要儲備糧食,必須有計算倉庫容積的方法;要修建灌渠道、治河堤防和土木工,須能計算功;要訂一個適農業生產的曆法,必須能運用有關的文數據。那時的百姓掌握了相當豐富的、由日常生活中產生的數學識和計技能。雖然沒有一本先秦的數學流到後世,但無可懷的是九章算術方田、粟米、衰分、廣、商功等章中的題解方法,絕大分是產生秦以前。書藝文志術數類著錄許商算術二十六卷,杜忠算術十六卷,這兩部算術雖早已失傳,應該是東漢初編纂的九章算術的前身,它們的主要教材應當被保存於九章
周禮大司徒篇:「保氏掌諫王而養國子以道。乃教六藝:一曰五,二六樂,五射,四曰五,五曰六書,六曰數。」這是說,主持貴族子教育的保氏以禮、樂、射、馭、書、數為「小學」的六門課,每一門課程又各有若干細目,例如「數」學中有九個細目。但在周禮裏沒有把「」列舉出來,我們就無法考證它的內容。漢武帝時這部周禮開始受到經家注意。到東漢期,眾、融等為「九數」作注解。東漢玄禮注引鄭眾:「九數:方田、粟米、差分、少、商功、均輸、方程、贏不、旁要,今有重差、句股。」事實上,鄭眾所說「九數」中的「均輸」已是漢武帝太初元年以後的賦稅制度,決不周禮九數原有一個細目。「方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方、足、旁要」大概是西漢末傳算術主要綱目,「今有重差、句股」說明數學有了新的發展。本九算術將句股代替旁要,它的編纂年代當在鄭眾注周「九」(約公元五0)之。後書馬援說,馬續「善章算術」。馬續是馬的侄孫,融(公元七九——一六六年)之兄,他的生年約在公元七0年前後。馬續研究九章算術大概在元九0年前後。根據上述史料,我們認為九章算術的編定年代是在公元第一世紀的後半個世紀,而各章的主要內容在第一世紀已具備了一定的
九章算術不但對後世的數學著作奠定優的傳統,對世界數學的發展也有著重要的貢獻。現在小學算術課程中分數四則,種比,面體積,以各類應用問題的解法,在九章算術方田、粟米、衰分、商功、均輸、盈不足等章裏已了相當詳備的內容。現在中課程中的代數部分,開平、方、正負、聯立一次方程組、二次方程等項目,在少廣、方程、句股章裏亦已有了卓
傳本九章算術劉徽注和李淳風等釋。徽是我古代傑出的數學家。他為九章算術作注解,又自撰重差一卷附於九章算術九卷之後,故隋經籍志著錄「章算術卷,劉」。經籍志又有「九章重差圖一卷,劉撰」,當是十卷本的附圖,可惜早已亡佚。九章算術方田章圓田術注和商功章困注中都論及「晉武庫中有漢時王莽所銅斛」。隋書律曆志論歷代制引功章,說「魏陳留王元四年(公元二六三年)劉徽注九章」。我們根據這些資料,認為劉徽是魏、晉時人。他的生平履
劉徽九章算術注自序說:「又所析理以辭,解用圖。庶亦約而周,不黷,覽之過半矣。」是說,問題解法的理論分析,要用明確的語言表達出來;空間體的具分解,要用幾何圖形顯示出來。這樣纔能做到又簡又明,啟發讀者考。他在注中一方面整理九章術各個問題的解法,理論於一類的使它於一類,提領地所以能解的。在另一方,對於原來所有不夠準確的近似計算,他提出了更確的計算方法。例如九章算術原術取用三為圓周率,他通過了圓內接正三百八十四邊形和正千零七十二形面積的嚴密計算,得到圓周率的近似值,五分一百五十七,或一千二五分之三千九百二十七。又如開平方或開立方不(平方根或立方根為無理數),原有以分數表示奇部分的方法不準確,主張續開方,得出以十進分數表示方根或方根的近似值。此外,他創立許多新的解題方法,例如盈不足章第十九題的等級數求和法,方程章第七題的互乘相消法,第九題的消去常數項法,句股章第十六題的內切圓徑公式,都比原術簡
唐李淳風等對劉注本九章術作了一些,原有注意義分明確的不再補注,盈不足、方程二章沒有他們的注釋。九章算術所有與圓面積有關的問題,都取周率三計算,注以為取五十之百五十七,李淳等補注認為可以用七分之二二計算,這是對的。但七分之二十二是祖沖之的所謂「約率」,而李淳風等引用此率,稱為「密率」。後世人認七分之二十二為「密率」的很多,這是李注的謬種流傳。少廣章立術,李淳風等注釋引?之說,介紹球體積公式的理論基礎。綴術書失傳後,祖沖之父子對於球體積的研究,幸有李淳風等的徵引而得
劉、李注本九算術到北宋仁宗時賈憲所的細,原書早已失傳,但永樂大典中保存楊輝所引的賈憲開方法是非常寶貴的數學史料。南宋末有楊解九章法十(一二六一),現在僅存商功、均輸、不足、方程、句股五章和「九章算法纂類」。楊輝鈔錄的九章算術本文和、李二家注文有很多脫誤,但也有可據對校永樂大典本的文字。清嘉初年撰九章算術細圖說九卷,有校勘、有補圖、有詳草、有說明,發揮九章算術劉徽注的原意,對於讀者是大
九章算术简介
九章算术
概述:
《九章算术》是中古代第一部学专著,是算十书中最要的一。该书内容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉期的数学成就。同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,仅最早提到分数,也首录了盈不等题,“方程”章还世界数学史上首次阐述了负数及加减运算法则。该书经多次增补,成书时间已不可考,但据估最迟在元一世纪已有了现传本。 许人为它作过注释,其不乏历史上的数学名人,最的有刘徽(公元263年)、李风(公元656)........要注的是《九章算术》没有作者,它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最先进的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成
《九章算术》的主
《九章算术》的内容十分丰富,全书用题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其每道题有(题)、(答案)、(解题的步骤,但有证明),有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术。这问题依照性质和解法分别隶于方田、粟米、衰(cui)分、少广、商、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图,今传本已只剩
《九章算术》的九章的主要内
第一章“方田”:田亩
第二章“粟米”:谷物粮食的
第三章“衰分”:比例
第四章“少广”:已知面积、体积、求其一
第五章“商功”:土石工程、
第六章“均输”:合理
第七章“盈不足”:即双
第八章“方程”:一次方
第九章“勾股”:利用勾股定理求解
《九章算术》的
《九章算术》中的数学成就是
(1)、在算术方面的主要成有数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是界上最系统叙述分数运算著作,在第二、、六章中有许多比例问题,在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给两次假设,是一项创,世纪欧洲它为“双设法”,有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家
(2)、在几何方面,主要是面积、体积计算。
(3)、在代数方面,主有次方程组解法、平方、立方、一般二次方程解等。“方程”一章还在世界数学史上首引入了负数及其加减法运算法则.作为一部界科学名著,《九算术》在隋唐时就传入朝、日本。现在它已被译成日、俄、德、英、法等多
关于《九章算术》的历
现传本《九章算术》成书于何时,目前说纷纭,多数认为在西汉末到东汉初之间,约公元一世纪前后,《九章算》的作者。很可能在成书前一段历史期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创结晶。由于二千年来经过辗手抄、刻印,难会出差遗漏,加《九章算术》文字简略有些内容不易理解,因此历史上有过多次校正
关于对《九章算》所做的主要有:三时曹魏徽注,朝李淳风注,南宋杨辉著《详解九章算》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类,李潢(?~1811年)著《九术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列草、补插图、加说明,尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮(1892~1974年)曾括《九章算术》内的《算经十书》进行校点,用通俗语言、近代数学语对《章术》及刘、李注文详注释。80年代以来,今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版。 对《九章算术》的评价和其对
《九章算术》是世界上最早系统述了数运的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界学史上首次述了数及其减运算法则。代数方面,《九章算》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;现在中学授的线性方程组的解法和《九章术》介绍的方法大体同。重际用是《九章术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯,甚至经过这些地区
《九章算术》是几代人同动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家,大都是从《九算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋代都由国家明令规为教科书。1084由当的北宋朝廷进行刊刻,这是世界上最早的印刷本
可以说,《九章算术》是中国为数学发展做
九章算术论文
20 --20学年第学期 史学院期考试卷《 》班级:数学学号:名:成绩: 语:九算术摘要: 摘要:是中国古代第一部,是中最重要的一种。该内十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时,在数学上还有其独到的成就, 不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不等问题,“方程”章还在世学 史上首次阐述了及其加减算法则。要注意的是《九章算术》没作者,它一 本综合性的历史作,是当世上最先的,它的出标志国形成了完整的 体系。数专著; 关键: 关键: 数学问题。算十书; 负数; 应用学; 古代数学; 主要内容;一、历史考证现传本《九章算术》成书于何时,目前众说纷纭,多认为在西汉末到东汉 初之间,约公一世纪前后, 《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一 历史时期通过多人之手逐次整理、、补充而成的体创作晶。由于二千 年来经过辗转手抄、刻印,难免会出现差错和遗漏,加上《九章算》文字简略 有些内容不易理解,因此历上过多次校正和注释。 关对《九算术》所做的校注主要有:西汉张苍增订、删补,三国时 曹魏刘徽注,唐李淳风注,南宋杨辉《详解九章算法》选用《九章算术》中 80 道典型的题作过详解并分类,清李潢(?~1811 年)所著《九章算细草图说》 对《九章算》进了校订、列草、插图、说明,尤其是图文并茂之作。 代钱宝琮(1892~1974 年)曾对包括《九章算》在内的《算经十书》进行 校点,用通俗语言、近代数学术语对《九算术》及刘、李注文详加注释。80 年以来,今人白尚恕、郭书春、李继闵都有校注本出版。二、九章算术主要内容《九算》 的内容十分富, 全书用问题集的形式, 收有 246 与生产、《九算术》 生活践系的应用问题,其中每道题有问(题目) 、答(答案) 、术(题的 步骤,但没有证明) ,有的是题一术,有的是多题一术或一题多术。这些问题 依照性质和解法分别属方、粟米、衰(音 cui)分、少广、功、均输、 盈不足、方程及勾股九章如所示。原作有插图,今传本已只剩下文了。 《九章术》共收 246 个数学问,分为九章、它们的主要内容别是: 第一章“田”: 主要讲述了平何图形面积的计算方法。包括长方形、 等腰三角形、直角梯形、腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的 计算方法。另外系统地讲述了数的四则运算则,以及求分子母最大公约 数等方法。 第二章“粟米”:谷物粮食的按比例换;提出比例算法,称为今有术;衰 分章提出比例分配法则,称为衰分术; 第三章“分”:比例分配问题;介绍了开平方、开立的方法,其程序与 现程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在 高次方数值解法方面期领先世界基础。 第四章“少广”:已知面积、体积,反求其一长和长等; 第“商”:土石工程、体积计算;除给出种立体体积式外,还 有工程配方法; 六“均输”:合理摊派赋税;用衰分术决赋役的合理担问题。今 术、衰分术其用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连 锁比例在内的整套比例理。西方直到 15 世纪末以后才形成似的全套方法。 第七章“盈不足”:即双设法问题;提出了盈足、盈适足和不足适足、两 盈和两不足种类型盈亏问题, 以及若可以通过两次假设化盈不足问题的 一般问的解法。这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大。 第八章“方程”:次方程组题;采用分离系数的方法表示线性方程组,勾股定理求 相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法,矩阵的初等一致。 是世界上最早的整的线性方程组的解法。西方,直到 17 世纪才由莱布尼兹 提出完整线性方程的解法法。这一章还引和使用了负数,并提出了正负术 ——负数的加法则,与现今代数中法则完全同;线方程组时实际还施了正负数乘法。这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的 范围,扩展了数系。外国则 7 世纪印度的罗摩及多才认识负数。 第九章“股”:利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝多数内容 是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式:若 a、b、c 别是勾股形的勾、股、弦,则,m>n。在西方,毕达拉斯、欧几里得等仅得 到这个式的几种特殊情况,直到 3 世纪丢番图才取得相近结果,这已比 《九章算》晚约 3 个世纪了。股章还有些内容,在西方却还是近代的事。 如勾股章最后一题出的组公,在国外到 19 世纪才由美国的数论学迪 克森得出。、主要点《九章算术》确定了中国古代数学的框架,以计算为中心的特点,密切联系 际,以解决人们生产、生活中的学问为目的的风格。其影响之深,以致以 国数学着作大体采取两种形式:或之作,或仿其体例着书;甚至西算传 入中国之后,人们着书立说时还常常把西算在《九章算》 的数学知识纳入九的框架。 然而, 《章算术》亦有其不容忽视的缺点:没有 任何数学概念的定义,没有出任推和证明。魏景四年(263 年),刘徽 给《九章算术》作注,才大弥补了这个缺陷。 刘徽是中国数学家之一。 他的生现在知之甚少。 据考证, 他是山东邹平人。 徽定义了若干数学概念,全面论证了《九章术》的公式解法,提出了许多 要的思想、方和命题,在数学理论方面成斐。 徽对概念定义抽严谨。他揭示了概念的本质,基本符合现代逻 辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他出 凡数相与谓之率,率义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算 得失相反,要令正负以名之,摆脱了正为,负为欠的原始念,从本质上揭示 了正数得失相反的相对关系。 《九算》的算法尽管抽象,但相互关系明显,显零乱。刘徽大大发 展化了中中久已使用的率概念和齐同原理,把它们看作算的纲纪。许多问题,只要找出中的各种关系,通过乘以散之,约以聚之,齐同之,都可 以归结为今有术求解。 一平面(或立体)图形经过移旋转,其面积(或体积)不变。把一个 平面(或立体)图形分成若干部分,各部分面积(或体积)之和与原图形面积( 体积)相。基这两条不言自明的前提的出入相补原理,中国古代数学进行 几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补理,成地证明了许多 面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算的正确性。四、历史影响传本《九章算术》成书于何时, 目前众说纷纭,多数祖冲之 认为在西汉末到东汉初之间,约公元一世纪前, 《章算术》的作者详。很 是成书前一段历史时期内通人之手逐次理、修改、补充而成的集体 创作结晶。 由于二千年来经过辗转手抄、 印, 难免会现差错和遗漏, 《 加上 章算术》文字简略有内容不易理解,因此史上有过次校正和注释。 关于对《九算术》所做的注主要有:国时曹魏刘徽,唐朝李淳注, 南宋杨辉着《详解九章法》选用《九章算术》中 80 道典的题过解分 类,清潢(?~1811 年)所着《九章算术细草图说》对《九章算术》行校 订、列算草、补插图、加说明,其是图文茂之作。现代钱宝琮(1892~1974 年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进了校点,用通俗语言、近 数学术语对《九算术》及刘、注文详注释。80 代以来,今人白尚恕、 郭书春、李继闵等都有校注本版。 《九章算术》世界上最早系统叙述了分数运算的着作;其中盈不足的算法 更是一令人惊奇的创造; “方程”章还在世界数学史首次阐述了负数及加 减运算法则。在代数面, 《九章算术》在界数学史上最早提出负数概念及正 负数加法法则;现在中学讲授的线性方组的解法和《九章算术》介绍的法 大体相同。注实际应是《九章算术》的一显着特点。该书的一些知识还传 播至印度和阿拉伯,至经过这些地区远至欧。《九章术》是几代同劳动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系 的形成.后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学和研究数学知识的。唐 两代都国家明令规定为教科书。1084 年当时的北宋朝廷进行刻,这是 世界上最早的印刷数学。以, 《九章算术》是中国为数学发展做出的又 一杰出贡献。五、数学成就《九章算术》中的数成就是多方面的: (1)、在算方的主要成有分数运算、比例问题和“盈不足”法。 《九 章术》是世界上最早系统叙述了数运算的著作,在第二、三、六章中有许多 比例问题,在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需出两次假,是一项 造,中世纪欧洲称它为“双设法”,有人认它由中国经中世纪阿拉国家 传去的. 《章算术》中有比较完整的分数计算方法,包括四则运算,通分、约分、 化带分为假分(我国古代称为通分内子,“内”读为纳)等等。其步与方法 大体与现代的雷同。 分数加减运算, 《九章术》已明确提出先通分,两分数的分母同,然 后进行加减。加法的步骤是“母互子,并以为实,母相乘为,如法而一” 这里“实”子。“法”是分母,“实如法而一”就是用去除实,进行除 法运算, 《九章算》还注意到两点:其一运算结果如出现“不满法者,以法 命之”。就是子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母者,直相从 之”,就分母相同分数进行加减,运算时不必通分,使分子接减即可。 《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为 “更减”法,其体步骤是“可半者半之,不可半者,副置分母子之数, 少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”这里所说的“等数”就是们现 在的最大公约。可半者是指分子分都偶数,可折半的先把它们折半,即 先约去 2。不是偶了,则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算,从大数 去小数,辗转相减,到余数和减数相等,即得等数。 在《九章算术》的第、三、六等章内,广泛使用了各种比例解应用问题。 粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下:“粟米之法:粟率五十,粝 米三十,粺米二七,糳米二十四,……”(图 1-23)这是说:谷子五斗去皮可 得糙米三斗,又可舂得九折米二斗七升,或八拆米二斗四升,……。例如,粟米 章一题:“今有粟米一斗,欲为米,问得几何”。它的解法是:“以所有数 乘所求为实,以所率为法,实如法而一”。 《九章算》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题:“今有 (人)共买物,(每)人出八(钱),盈(余)三钱;人出七(钱),不足四(钱),人、 物价各几何”,“答曰:七人,物价 53(钱)。”“盈不术:置所出率,盈、 不足各居其下。令维乘(即交错相乘)所出率,并以为实,并盈,足为,实如 法而一……置所出率,少减多,余,以约法、实。实为物价,法为人数”。盈不足术是中国学史上解应用问题的一种别开生面的创造, 它在我国古代算法中 占相当重要的地。盈不足术还经丝绸之路西传中亚拉伯国家,到特别 视,被称为“丹算法”,后来又入欧,中世时“双设法”曾长期统 治了他们的数学王国。 (2)、 《九章算》总结了生产、生活实践中大量的几何识,在方田、商功 和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。 《九算》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。 《九章 算术》方田章第一题“今有田广十五步,从(音纵 zong)十六步。问为田几 。”“:一亩”。这里“广”是宽,“从”即纵,指其长度,“方田术 曰:广从步数相乘积步,(得积步就是得到乘积平方步)以二百四十步 (实质应为积步)除之,即亩数。百为一顷。”当时称长形为方田直田。称 三形为圭田, 面积公为“术曰: 半广乘正从”。 这里广是指三角形的底边, 从是指底边上的高,刘徽注文对这一计算实质上作了证明:“半广,以盈补虚,为直 也。”“亦以正从以乘”(图 1-30)。盈是多余,虚乃不足。“以盈 虚”就是以多余分填补部分, 这是我国古数学推导平面图形面积公 式所用的统的“出入相补”的方法, 由上图“以补虚”圭田为与之等积的 直田,于是到了圭田的面积计算公。 方田章第二十七、二十八题把直角梯 形称为“邪田”(即斜田)的面积公式是:“术:并两邪(即两斜,应理解为 梯形两底)而半之,以乘正从……,又可半正从……以乘并。”刘徽在注中说明 他的证法仍是“出入相补”法。在方田章第二十九、三十题一般梯形称为“ 田”,上、下底别称为“舌”、“踵”,面公式是:“术曰:踵舌而半之, 以乘正从”。 至于圆面积,在《九章算术》方章第三十一、三十二题中,它的面计算 公式:“半周半径相乘得积步”。里“周”是圆周长,“径”是直径。这 个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三(即 π≈3)。于由此算所 得的圆面积就不够精密。 《九章算术》商功收集的都一些有关体积计算的问题。但是商功章并没 有论述长方正方体的体积算法。看来《九章算术》在方体或正方体体积 计公式:V=abh 的基础上来计其他立体图形体积。 《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠,因其功同因名称 各异,其实都正截面为等腰形的棱柱,他们的体积计算方法:“术曰: 并上、而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺”。这里上、下广指横 面的上、下底(a,b)高或深(h),袤是指垣……的长(l)。因此城、垣…的体 积计算术公式 V=1/2(a+b)h.刘徽在注释中对平面图形的出入相补原理广应用到空间图形,成为 “损广补狭”证明几何体体堵 积公式。 刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。所谓棋验法, “棋”是指些几何体模型即用几何体模型验的方法,例如长方体身就是 “棋”[图 1-32(1)]斜解一个长方体,两个两底面为直角三角形直三棱柱, 我国代称为“堑堵”(如图) ,所以堑堵的体积是长体积的二分之。 《九章算术》商功章有圆锥、圆(古代称“圆亭”)的体积计算公式。甚 至对三侧面是等腰梯形,其他两面为勾股形的五面体(古代称“羡除”)[图 1 -33(1)],上、下底为矩形的拟 柱体(代称“刍童”)以及上底为线段,下底一矩形拟柱体(代称 “刍甍”)(“甍”音“梦”)等都可以计其体积。 (3)、 《九章算术》中的代数内容同样很丰富,具有当时世的先进水平。 1.开平方和开立 《九章算》中了开平方、方的方,而且计算步骤和现在的基本一 样。所不同的是古用筹算进行演,现以少章第 12 题为例,说明古代开平 方演算的步骤,“今有积万五千二百二五。问为方几何”。“答曰:二百 三十五步”。这里所说的步我国古代的长度单位。 “开方(是指开平方,由正形面积求其边之。)术曰:置为实(即 筹算中把被开方数放置于第行,为实)借一算(指借用一筹放置于最后一 , 如图 1-25(1)所示用以定)。 步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等( 所的算筹由位越过十位移百由百位越过千位至万位等等, 这与现代 笔开平方中分节相当如图 1-25(2)所示)。议所得(指议得商,由实的万 位数字是 5,而且 22以(这一段是指:要求平方的十位数字,需置借算于百位。因“实”的千位 数字为 15, 4×3之”。并 在计算具即筹加以别“算赤,负算黑,否则以邪正”。这就是规 定正数用红色算筹,负数用黑色算筹。如果只有同色算筹,则到正数将 正放,负时邪(同斜)放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区 正、负数,或在个数上斜划表示负数,如(即—1824),后来这种包括负数 写法内的中国数码字还传到日本。 关于正、负数的加减运算法则,“正负术曰:同相除,异名相益,正无入 负之,负无入正之。异名相除,同名相益,正无入正之,负无人负之”。这里 所说的“同名”、“异名”别相现在所说的同号、号。“相益”、“ 除”是指二数相加、相减。术文前句减法运算法则: (1)如果被减数绝对值大于减数绝对值,即 a>b≥0, 则同相除:(±a)-(±b)=±(a-b), 异名相益:(±a)-(b)=±(a+b)。 (2)如果被减数对值小于减数绝对值,即 b>a≥0。 ①如果数皆正 则 a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。 中间一的 a 和 a 对消,而(b-a)无可对,则改“正”为“负”,即“正 无入负之”。“入”就是无对,也就无可消(不够减或对方为零)。②果两数皆负 则(-a)-(-b)=-a-[(-a)-(b-a)]=+(b-a)。 在中间的式里(-a)和(-a)消, 而-(b-a)无可消,则改“负”为“正”所以说“负无入正之”。 ③如果数一正一负。则仍同(1)的异名相。 术的后四句是指正负数加法法则。 (1)同号两数相加,即名相益,其和的绝对值等两数绝对值和。 如果 a>0,b>0, 则 a+b=a+b,(-a)+(-b)=-(a+b) (2)异号两数相加,实为相减,即异相除。如果正数的绝对值较大,其和 为正, 即“正正之”。 如果负数的绝值较大, 其和为负, 即“负无入负之”。 用符表示 ①如果 a>b≥0, 则 a+(-b)=[b+(a-b)]+(-b)=a-b, 或 (-a)+b=[(-b)-(a-b)]+b=-(a-b)。 ②如果 b>a≥0, 则 a+(-b)=a+[(-a)-(b-a)]=-(b-a), 或 (-a)+b=(-a)+[a+(b-a)]=b-a。 关于正负数的乘法则,在《九章算术》时代或遇到有关正负数的乘除 运算。可书中并论及,到代朱世杰于《算学启蒙》(1299 )中才有明 确的记载:“同名乘为正,异名乘为负”,“同名除所为,异名相除 所得为负”,因至迟于 13 世纪末我国对有数四则运算法已经全面作了总 结。至于正数念的引入,正负加减运算法则的形成的史录,我国是 遥遥先。国外先承认负数的是世印度数学家婆罗门岌多(约 598-?) 欧 洲到 16 世纪承认负数。 (2)、 《九算术》方田章主述平面图形直线形和圆的面积算方法。 《九章算术》方田章第题“今有田广十五,从(音 zong)十步。问 为田几何。 ”“答曰: 一”。 这“广”就是宽, “从”即纵, 指其长度, “方 田术曰:广从步数得步,(得积步就是得到乘积的平方步数)亩二百四 十步(实质应为积步)除之, 即亩数。 亩为一顷。 ”当时称长方形为方田或直田。 称三角形为圭,面积公式为“术曰:半广以乘正从”。这里广指三角形的底 边,正从是指底边上的高,刘徽在注文中这一计算公式实质上作了证明:“半 广者,以盈虚,为直田也。”“亦可半正从以广”(图 1-30)。盈是多余, 虚乃不足。“以盈补虚”就是以多部填补的部分,这就是我国古代数学 推导平面图形积公式所用的传统的“出入相”的方法, 由“以盈补虚” 圭田与之等积的直田,于是得了圭田的面积计算公式。 在几何方,主要是面积、体积计算。 在几何面,主要是面、体积计算。 (3)、 《九章算术》中的代内容同样很丰富,有当时世界的先进水平。六、参考资料百度知道:http://zhidao.baidu.com/question/2351447.html?si=3 全
九章算术(原序)
刘徽九章算术注原序
昔在包牺始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九
暨于黄帝而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道
气可得而焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而
章是矣。
往者暴秦书,经术散坏。自时厥后,汉北平侯张苍、大司
命世。苍
徽幼习九,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探
以敢竭顽,采其所见,为之作注。事类相推,各有攸归,故
发其一端已。又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而
且算在六,古者以宾兴贤能,教习国子。虽曰九数,其能穷
以法相传,亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。当今好之者
而未必能综于此耳。
周官大司职,夏至日中立八尺之表,其景尺有五寸,谓之
万五千里。夫云尔者,以术推之。按九章立四表望远及因木望
有超邈若之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九
乃所以施此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差,
曰重差也。立两表于洛阳之城,令高八尺。南北各尽平地,同
为法,表乘表间为实,实如法而一,所得加表高,即日去地
实,实如而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去
即日去人。以径寸之□南望日,日满□空,则定□之长短以
日去人之为大股,大股之句即日径也。虽天圆穹之象犹曰可
之广哉。以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于
重差,并注解,以究古人之意,缀于句股之下。度高者重表,
望,离而
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