应力应变都是物体受到外界荷产生的应。物体由于受到外界载荷后,在物体部部分之间要产生互相之间的力的作用,由于受到力的作用就会产相应变形;或者由于变形引起相应的力的作用。则一定料物体其产生的应力和
在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数(应力分量与分量)之间的关系,几何方程也仅建立了运动学数(位分量应变分量)之的连。所以平衡方程几何方程是类完全相互独立的方程,它们之间还缺乏必要的系,这种联即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力参及运动学参数即分析具体的力问题。由平衡方程和几何方程上一组反映材料应力和应之间关系的方程就可求解具体的力问题。样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和变间的关系即可变为一定的材
一. 典型应
图1-1 典型
1) 弹性阶
该弹性阶段为初弹性段OC(严格讲该为CA’),包括:线性弹性分阶段OA段,非线性弹性阶段AB段和初始屈服阶BC段。该
足线性关系,比常即弹性模量或杨模,记作:σ=Eε,即在应力-应变曲的初始部分(小应变阶段),许多材料都服从全
2)塑性阶段(CDEF段)
CDE段为强化阶段,此阶段如图1中所示,应力超过屈服极限,超过比例极限后,要使应增加,所需的应力必须在超出比例极后继续增,这现象称为应变硬化。CDE的化阶段在E点达到力的最高点,载达到最大值,相应的应力值称为材料的强度极限 (ultimate strength ),并用σb表示。超过强度极限后应变变大应力却下降,直到最试件裂。这一阶段试件截积的减小不是在整试件长度范围发生,而是试件的一个部区域截面积急剧减小。这一现象为“颈缩”(necking )。此时,由于颈缩现的出现,E点以后荷载开始下降,直至在缩部位试件断破。这种应力降低应变增加的现象
该阶段应力和应变的关
3)卸载规律
如果应力没有超过屈服应力,即弹性阶段OC卸载,应力和应变遵循原来的加载规,沿CBO卸载。在应力超过屈服应力后,如在曲线上任一点D处卸载,应力与应变之间将不遵循原有加载曲规律,而是沿一条接近平行于OA的直线DO′变化,到力下降为零,这时应变并
OD′表示应变ε,O′D′表示可以恢复的弹性应变εe,OO′表示不能恢复的塑性应
ε=εe+εp (1-1)
即总应变等于弹性应
该阶应力和应变的关系
4)卸载后重新加载
DO′段若在卸载后重新加载,σ—ε曲线本上仍沿直线O′D变化,直至应超过D点应力后,才会产生新的塑性变。由此看来,在经过前次塑性变形后,屈服应力高了,种现象称为应变强化(简称为硬化)现象。为了与初始屈服区,我们把继续发生新的塑
屈服,相应的屈服点D称为后屈服点,相应的应力称后继服应力,并σS′用表示。显然,由于硬化作用,σS′>σS,而且与σS不同,σS′不是材料常数,的大小与塑性变
5)卸载全部载
如果在完全卸载后施加相反方向的载,譬如由伸改为压缩,则σ—ε曲线上弹性阶段OC段沿曲线OA′化,有(σs)+=(σs)-。DO′D′段沿DO'的延长线下降,开始是呈线关系,到达D″点后又开始进入屈服,此时(σ)≥(σ),即出现反向的服应力降低的现象,这种现
s+s-
效应。这个效应说明材料某一个方的硬化将引起反方向的软化。样,即是始各向同性的材料,在出现塑性变形之后,就变为各向异性。然在多情况下为了简化而忽略Bauschinger应,但对有反复加载和卸
二. 线性弹性体
1. 线性弹性体本
在单向应力状态,理弹性材料的应力应之间的关系很简单,即σx=Eεx,胡克定律。如果在三维应力状态下,应力应变之
一一对应的关,称这类弹性体线弹性体。对线弹性体,把单向应力态下得胡克定律推广到三维应力状态下。
σx=C11εx+C12εy+C13εz+C14γxy+C15γyz+C16γzx
σy=C21εx+C22εy+C23εz+C24γxy+C25γyz+C26γzx
σz=C31εx+C32εy+C33εz+C34γxy+C35γyz+C36γzx
τxy=C41εx+C42εy+C43εz+C44γxy+C45γyz+C46γzx
τyz=C51εx+C52εy+C53εz+C54γxy+C55γyz+C56γzx
z x (2-1) τzx=C61εx+C62εy+C6εγ4xy+Cγγ63z+C665y+zC
式(2-1)可简写为
σij=Cijklεkl (2-2)
由于应力量和应变张的对称性,弹性张量具
Cijkl=Cjikl,从弹性应变能密度函数的念出发,可以证明上述36
实际上立的弹性常数只有21个,
满足广胡克定律线弹性体称为各向
线弹性体的最
2. 各向同性弹
各向同性弹性体在性状下,主应力方向与应变向重合容易证明。在主应变空间里,由于应变轴与应力主轴重合,各向同性弹性体体任意一点的应
σx=C11εx+C12εy+C13εz
σy=C21εx+C22εy+C23εz
σz=C31εx+C32εy+C33εz (2-3)
即有C11=C22=C33;εx对σx的影响与εyσy以及εz对σz的影响是相
和εz对σx的影响相同,即C12=C13,同理有C21=C23和C31=C32等 ,则
C11=C22=C33=a
C12=C21=C13=C31=C23=C32=b (2-4)
所以在主应变间,各向同性弹体独立的弹性常数只有2个。在任意的标系中,同样可以证明弹性体独立的弹性
3. 弹性应
弹性体受外力作用,不可避免地要产生变形,同时外力能也要产生变化。根力学的观点,外力所做的功,部分将化为性体的动能,一分将化为内能;同时,物体变形过中,它的温度也将发生变化,或者从外界吸收热量,或者向外界发热量。分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系,设弹体取出部分Σ的闭合面为S,它所围的体积为V。以δW表示外力于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功,δU表示在该微小变形程中取部分Σ的内能增量,δK表示动能增,δQ表示的变化(表示为功的单位),
δW=δK +δU -δQ (2-5)
假设弹性体的变形过程是绝热的,即假设在变形过程统没有热量的得失。假设弹性体在外力作用下的形过程一个慢的过程,在个过中,荷载施加足够慢,弹体随时处于平衡状态,而且动能变化可以忽略不(这样的加过程称为准静态加载过程),则根据上式表示的热力学第一定律,外在变形过程中所的功将全部转为内能储存在弹性体内部。这贮存在弹性体内部的能量因变形而获得的,称之为弹性变能或弹应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的过程,所以,卸载后,弹性
以X,Y,Z表示单位体积的力,X,Y,Z表示作用在弹性体内取出部分Σ面上单位积的力。对上述的准静态加过程,认为弹性体在外力作用下始终处于平衡态。外力做的功W包含两个部分:一部分是体力X,Y,Z所做的
W1=???XiuidV=???(Xu+Yv+Zw)dV (2-6)
VV
W2=?? XiuidS=?? (Xu+Yv+Zw)dS (2-7)
SS
则:
W=W1+W2=???(Xu+Yv+Zw)dV+?? (Xu+Yv+Zw)dS (2-8)
VS
外力由
δW=δW1+δW2=???XiδuidV+?? XiδuidS
VS (2-9)
将平衡分方程和静力边界条件代
δW=???(-σij,jδui)dV+?? (σijδui)ljdS
VS
=???(-σij,jδui)dV+?? (σijδui),jdV=???σijδui,jdV (2-10) VSV
1因为σijδεij=σijδ(ui,j+uj,i)=σijδui,j 2
所以内能增
δU=δW=???σijδui,jdV=???σijδεijdV (2-11)
VV
定义函数U0(εij),使之满足
?U0(εij)
?εij
把它代入(2-11)有: =σij (2-12)
δU=???σijδεijdV=???VV?U0ijdV=???δU0dV=δ???U0dV (2-13) ?εijVV
U0(εij)表示单位体积弹性应变能,称之为弹性应变密度函数(或弹性应变比能函),
对(2-12)取积分,得
?U0(εij)
0dU0=?σijdεij=U0(εij)-U0(0) (2-14) 0εij
假如U0(εij)的具函数形式能够确定话,性体的应力与应变之间的关系也就完全确定。这可表明,弹性应变能密度函数是弹性料本构关系的
假设U0(εij)εij有二阶以上的
?σij
?εkl
式(2-15)为
将式(2-2)代广义格林公式
?σij
?εkl=Cklij=?σkl=Cijkl (2-16) ?εij
即各异性弹性体独立的
三.屈服条件
研究材料的塑性特性时,首先要弄材料什么时进入塑性变形阶段,即什么时候达到屈服。体在载荷用下,最初处于弹性状态,随着载荷步增加一定程度使固体内应力较大的部位出现塑性变,固体由始弹性态进入塑性状态的过程就是初始屈服。需要找到确定材料初弹状态的界限的准则,这个准则
1.屈服函数
在简单应力状态下,如面所述应力应变关系曲线可知,当固内部应力达到初始屈服极限时将产生初始屈服。在复杂应状态,一般屈服条件可以表示为应力分量、应变量、时间t和温
f(σij,εij,t,T)=0 (3-1)
不考虑时间效应和接近常的情况,时间t和温度T对塑性状没什影响,在初始屈服之前,应力和应变之间具有一一对应关系,以应变量εij可以用应力分量σij表示,因此屈服件就仅仅是应力分
f(σij)=0 (3-2)
以应力量的六个量为坐标轴,就建
。当应力σijf(σij)=0表示应力空间中一个曲面,即屈服曲面(简
位于该曲面之内时(即f(σij)<>
假设:
1)材料是初始
屈服函与坐标的选取无关,它可
f(I1,I2,I3)=0 (3-3)
或写成主应力的函数
f(σ1,σ2,σ3)=0 (3-4)
2)
屈服函数只应与应力偏
''f(J2,J3)=0 (3-5)
或者写成只是应力
f(S1,S2,S3)=0 (3-6)
这个假设金属材料立,但对于一些非金属
通过第一个假,服面由六维空中的一个超曲面简化为三维主应力空间的一个曲面;通过第二个假设,屈服面简
在主应力空中,固体一点
OP=σ1i+σ2j+σ3k (3-7)
分解成为偏量部分
OP=S1i+S2j+S3k+(σmi+σmj+σmk)=OQ+ON (3-8)
ON与材的塑性状态
轴的夹相等,且正交于过原点的一
σ1+σ2+σ3=0 (3-9)
这个
根据第二个假定,在主应力中,屈服必定是一个垂直与π平面的等截面柱面,的母与矢量ON平行。屈服面是一个等截面的柱面,它在任意垂直与ON平面上投影曲线都是一样的,研究这个柱面的特征,只要研究在π平面上的投影曲线即可,
2.常用屈服条件
(1)Tresca屈服条件
1864年,法国人Tresca做了一系列的金属挤压验来究屈服条件。根据实验,他提出假设:当最大剪应力达到一极值时,材料发生屈服。这个条件称为Tresca屈服条件,
τmax=k (3-10)
k是和服有关的料常数,可由单
(2)Mises屈服条件
Tresca屈服条件在π平面上的图形是一个正边形,它的六个顶点是由验得到的,但是连这六个点直线却假设的,而且Tresca正六形的角也给问题的数学处理带来了不便。在1913年,Mises出采用一圆来连接Tresca正六边形的六个顶点可能更加合理,它以避由于屈服曲线不光滑而造成的数
J2=C (3-11)
其中,C也是和料性有关的一个常数。可过实验确定。若做简单拉伸实1验,则材
1C=σs2 (3-12) 3
2σ=-σ=τ,σ=0,J=τ=C,所以 12s32s若做纯剪实验,则材
C=τs2 (3-13)
对大多数料,实验证
四. 加载条件 加载和卸载准则
1.理想塑性材
由于理想性材料的加载和屈服面总是保持一致,以,加载函数和屈服函数可以
它们均与塑性变形的大小和加载历无关。于是,在荷载改变的过程中,如果应力点保持在服面上,df=0,此时塑性变形可以任意长,就为加载。当应力点从屈服面上退回屈服面内,即df<>
2.强化材料
五. 塑性本构关系
各种描述塑性变形规律的理论大致可以分为两大类,即理论和全量理论。理论建立了塑性状态下塑性变增量应力应力增量之间的系,属于这类理论的主有:Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。全量论则建立了塑性状态下应力全量与应变全量之间的关系,属于这类论主要有:1924Hencky提出的不考虑弹性变形和材料强的理论;1938年Nadai提出的考虑有限变形和材料化,但变形中仍不计弹性变形的理论;1943年依留提的考虑弹性变形和材料强化
两个常用的增理
Levy在1871年出假设,即应变量分量与相应的应力偏量各分量成比例(Von Mises在1913年又独立地提出)。
dεx=dλSx dεxy=dλτx y
dεy=dλSy dεyz=dλτy z
dεz=dλSz dεzx=dλτz x (4-1)
式中比例系数dλ取决于
最后可推得
dεm=0
3dεi
dεii=sij
2σi (4-2)
其中dεi为应
dεi=
3222222?=(dε-dε)+(dε-dε)+(dε-dε)+(dγ+dγ+dγ)? xyyzzxxyyzyz2??
1
2
(4-3)
适用于理
1924年,Prandtl将Levy-Mises系式推广应用于塑性平面应变
考虑了塑性状态的总应变的弹性应部分,认为弹性应变服从广义克定律,并定塑性应变增量张量和应力偏量张量相似且同轴线。1930,Reuss又把Prandtl应用在平面应变上的这假
dεxp=dλSx dεxpy=dλτx y
dεyp=dλSy dεypz=dλτy z
dεzp=dλSz dεzpx=dλτz x (4-4)
或简写成:
(4-5) dεijp=dλSij (dλ≥0)
式中的例系数dλ取决于质点位
dσm=3kdεm
适用于弹塑性材料。 2.全量理论
依留申在1943年提了一个化材料在弹塑性小变形情下得量型塑性本构关系,它与各向同性弹塑性体的广义胡克定相似。照广义胡克定律,依留申假定,在小变形的况下,材料服从如
体积变是弹性的,即应变球张
1-2υ
σii (4-7) E
dεi1deij=sij+dsij
2σi2G (4-6)
εii=
2)
应变偏张量和应力
eij=ψSij (4-8)
这里的例系数ψ是一个常数,而与
eijeij=ψ2SijSij (4-9)
εi=
?3222222?=(ε-ε)+(ε-ε)+(ε-ε)+(γ+γ+γ(4-10) xyyzzxxyyzyz)? 3?2??
1
2
εi为应变强度(或等效应变)
将应变度和应力强度的表达式
ψ=
所以
3εi
(4-11) 2σi
εii=
3)
3εi
Sij (4-12) 2σi
应力
σi=φ(εi) (4-13)
综上所,依留申提出的全量
(4-14)
全量论特点:简单加载下
全量理论用范围:化材料在小变形和简
弹塑性力学试卷
二、填空题:(每
1、在表征确定点应状态时,只需该应状态的-------个独立的应力分
2、在弹塑性学力理论中,联
三、选择题(每小题有四答案,选择一个正确的结果。每小4分,共16分。) 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形壁容,受均匀内压作用,当压力过大时,容器出现破。裂纹展布的方向
A 、沿圆柱纵向(轴
2、金属薄板单向拉伸,板中一穿透形小圆孔。该板危险点的最
A 、2
3、若物体中某一点位移u 、v 、w 均为零(u 、v 、w 分别为物体内一点,沿x 、y 、z 直角坐标系三轴线方向上的位移分量。)则
A 、一定不为零
4、
A
、
B
、
C
、
D
、
B
、一定为零
C
、可能为零
D 、不能确定
B 、
3
C 、4
D 、5
B
、沿圆柱横
C 、与纵
角
D 、与纵
四、试据下标记法和求和约定展开
、
;(i ,j = 1,2,3 );
2
、
五、计算题(共
1、试说明下列应变状
;
;(
上式中c 为
。
2、已知一受力物体中
)
式中a 为已知常
试将该应力张量
之和。
分解为球应力张量
与偏应力张量
为平均应力。并说明这
3、一很的(沿z 轴向)直角六面体,上表面均布压q 作用,放置在绝对
的基础上,如图
=ay2做应力函数。试求该物体
(提示:①础绝刚性,则在x =0处,u =0 ;②由于
题五、3图
4、已知一径为R =50mm ,厚度为t =3mm 的薄壁圆管,承受轴向拉伸和
用。设
标系,r 为径向,θ为环向,z
为圆管轴向。)料屈服极限为料屈时(采用Mises 屈服条件)的轴向载
填空题 6
平衡微分方程
选择 ABBC
,(采用柱坐
=400MPa 。试求此圆管材
;)
1、 解:已知该点为平
k 为已知
应变分量函数代
2k+0=2k 成立,故
2、解:
球应力量作用下,单元体产生
偏应力张量作用
生畸变。性变形只有畸变时才可能出现。关于
,
,满足
,
,是力函数。相应的应
②
应力边界条件:在x = h处,
将式①代入②得:
,故知:
,
,
; ③
由本构方程和
④
积分得:
⑤
⑥
在x=0处u=0,则由式⑤
因此,位移解为:
,则
4、解:据题意知一点应力状态为
,且
= 0。
代入Mises 屈服条件得:
即:
解得:
200 MPa;
轴力:P= = 2×50×10-3×3×10-3×200×106=188.495kN
扭矩:M=
= 2×502×10-6×3×10-3×200×106=9.425 kN· m
综合测试试题二
二、填空题:(每空2分,共10分)
1、关于正交各向性体、横观各向同性体和各同体,在它们各自的弹性本构方程中,独立的弹
2、判别固体料复杂应力状态
三、选择题(每小题有个答案,请选择一个正确的结果。每小4分,共16分。) 1、受力物体内一点处于空间力状(根据OXYZ 坐标系),一般确定一点
A 、18个
2、弹塑力学中的
A 、应力分
B 、面力分
B 、9个
C 、6
个
D 、2个
C 、应变分
D 、位移分
3、弹性学中简化力边界条件的一个重要
A 、圣文南原理
4、一点应力状态
A 、平行
B 、斜交
C 、无关
D 、正交
。相的三个主应力方向
B
、剪应力互等定理
C
、叠加原理
D 、能量原理
四、试根据标号法和求和
;
②
五、计算题(共
1、平面应力问题中,
,
,
,
;
式中a 、b 、c 、d 、e 和f 均为定常。且已知该组应力解满足相容条件。试问:这应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学面应力问题的
2、在体内某点,确定其应力
=0
,
试求:(16分)
①该点应力状
②主应力
的主方向;
、
和
;
=0
,
=0
,
=0
,
=3a
,
=4a
,知
。
③主方向彼此正交;
3、如图所示,形OA 、OB 界受力。楔形体夹角为2α,集中力P 与y 轴夹角为β。试列出楔形体的应力边界条
题五、3图
4、一矩形截面体,如图所,在柱体右侧面上作用着均布切
做应力函。式中A 、B 、C 、D 、E 为
)上述
式是否能做
(2
)若可作为应函,确定出系A 、B 、C 、D 、E 。 (3)写出应力分量表达式。(不计
题五、4图
5、已知受力物体内一
(Mpa )
且已知
①应力分量
②主应力
、
的大小。 和
。
9 5 2 Tresca 屈服条
1、解:应解应再满足平微分方程即为弹性力学平面力问题可能的应力解,代入平衡
则知,只要满足条件a =-f ,e =-d ,b 和c 可取任意数。若出一具体的弹性力学平面应力问题,则再满足该问题的应力边界条件,该组应分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应
、
代入式(2—18)得:
也即
因式分解得:
(2)则求得三个主应
与xyz 三坐标轴
、
将
及已知条件代入式(2—13)得:
、
。
(1)
。
,
(3)
由式(3)前
(4)
将式(4)代入式(3)最后一式,可得0=0的恒等式。再由式(2—15)得:
则知
;
同理可求得主应力
的方向余弦
、
、
和主应力
(5) 的方向余弦
、
、
,并且考虑
到同个主应力方向可表
主方向为:
;(6)
主方向为:
;(7)
主方向为:
; (8)
若取主方向的一
,主方向的一
,则由空间两直线
(9)
由此证得
主方向与
主方向此正交。同理可证得任意
3、解:楔形体左右两边界的逐点应
取上半部研究知:
=0,=0;以半
4、解:结构的特和受力情况,可以
(a )
将式(a )代入
,可得:
(b)
故有:
; (c)
则有:
; (d)
略去
中的一次项和
(e)
相应的应力分量为:
(f)
边界条件: ①
处,
,则
; (g)
②
处,
, 则
;;由此可知
(h)
③在y = 0处,
,
由此得:
,即
,
再代入式(h
)得: 由此得:
;
(i )
由于在y=0处,
,
积分得:
积分得:
由方程(j ) (k)可求得:
,
投知各应力分量为:
(j )
(k )
,
(l)
据圣文南原理,在距
处稍远处这一结
5、解:首先将各应力分量点数
得:
显然,件左右边界边界条件自动满
,
,
,
,
。
即:
或:
三
一、问答题:(要回,必要时可配合图答。每小题5分,共10分。) 1、述弹塑性力学的研究对象、分析问题决题的根本
2、简述固体材料塑性
二、选择题(每小有四个案,请选择一个正确结。每小题4分,共16分。) 1、一点应状态的主应力作用截面上,剪应力的大小必
A 、主应力值
2、横各向同性体独立的弹性常
A 、2
3、固体料的波桑μ(即横向变形系数)
A
、
4、空间轴对称题独的未知量是应力量
A 、3
B 、
6
C 、
8
D 、10
B
、
C 、
D
、
B 、5 C 、9
D 、21
B 、极大值
C
、极小值
D 、零
三、试据标记号法和和约定,展开用张量
(i ,j = x,y ,z )
式中
四、计算题(共
1、知一弹性力学问题的
为体力分量。
;
;
;
式中a 已知常数。求应变分量,并指出它们否满足变形协调条件(即相
2
、设如图示三角形悬梁,只受自重作用,梁
作应力函,式中A 、B 、C 、D 为待定常
题四、2图
3、试出下列各所示问题的边界条
(1)试列出图示一变截面
边界条件,
题四、3、(1)图
题四、3、(2)图
(2)试列半间体在边界
4
、一薄壁筒,承受轴拉力及扭矩的作用,筒
,其余力分量为
应为多大?
∶
∶
∶
∶
∶
,
1
)材料屈服时
2
)材料
。已知
选择DBCD 三、
1、解:将位移分量
;
;
;
由于应分量是x 的线性函数,固
2、解:将
式代入
知满足,做应力函
边界条件: ① 上边界:
② 斜边界:
,
,
,
,代入上式得:A = B =0, ,
,
,则:
得:
;
于是应力解为:
题四、2图
3、解:(1)左端面的应力边
题四、3、(1)图
(2)上边界:①当
②当
③当
时 ,
时 ,
时 ,
; ;
; 在此边
,
,
;
④当设想
时,截一平面,取上半部
,已知:
,对称性
4、解:采用柱坐标,则圆
则miss 条件知:
解得:
已知:
则:
;此为圆筒屈服时,一
由增量理论知:
则:
即:
四
二、选择题(每小题四个案,请选择一个正确结果。每小题4分,共16分。) 1、极端各向性体、正交各向异性体、横观各向同性体和各同性体独立的
A 、81、21、15、9;C 、21、9、5、2;
B 、21、15、9、6; D 、36、21、9、2;
2、主应力空间
A
、球应力状态
C
、应力状态
3、若一形无限大弹性平板,只在左右两边受均拉力q 作用,板中有一穿透
孔孔边危险点应力集中,此点最大的应力
A 、1倍
4、固体材料
和波桑比
(即横向变形系数)的
B 、2
倍
C 、3倍
(环向应力)是无孔板单向拉
;
平面上各点
;
B
、偏斜应力状态
;
D
、球应力状
A 、E 0, -1 0, 0 <
<
;
三、试根据下记号和求和约定展下
四、计算题(共计64
、如图所示一半圆
的法面力作用,内壁不受
2、
端,B 自由。试出该问题的逐点应力边
题四、1图
2
、已知一点
为:
,
,
,,
,
。
试将其分解球应变状态与斜应变状态。(15分) 3、已知受力物体内一点处应
(Mpa )
且已知
①应力分量 ②
主应力
的大小 ; 、
和
。
4、一厚壁筒,内半径为a ,外半径为b ,仅承均匀内压q 作用(视为平面应
圆筒材料为理想弹
。试用Tresca 屈服条件,
性状态时能承受的压力q 的值。已知
;
;
;
;
上式中:a≤r≤b。(16分)
;
;
选择 CACD 三
1、
2、
计算题1、解:逐
当r =a 时,
=0,
=0;
当r =b 时, 当θ=π时,
=qsi θ,
=0,
=0; =0;
A 端位移
当θ=0 ,
时,ur =0 ,u θ=0 ,且
=0;或环
向微线素不转动,即
2、解:
=0。
;
;
3、解(1):
;
即:
,
将: 故知:
由:
代入上式解得:;
代入
又解(2):代
由:
,
,由3式
,故
,则知:
;(由1式)再由:
且由上式知:2式知
展开得:
;
则知:
;
由: 即:
再由:
;
; ,知:
4、解:由题目
则由Tresca 条件:
知:
则知:
弹塑性力学答案
一、简答题
1答:(1)如图1所示,
σ=E ε
σ=E εs =σs
当ε≤εe
(2)如图2所示,线性
σ=E ε
σ=σs +E 1(ε-εs )
当ε≤εe
(3)如图3所,幂强化力模型:σ=A ε (4)如图4所示,钢塑性力学模型:(a )
n
ε=0ε=不确定
当σ≤σs
(b )线性
ε=0
ε=(σ-σs )/E
当σ≤σs 当
σ>σs
图1理弹塑性力学模型图2线
幂强化力学模型
(a ) (b )
2答:
0p
3答:
()
d σij d εij p ≥0。在应
作为向量σij 与向σij 之差。于力主轴与应变增量主轴是重合的,因此,在应力空间中应变增量也看作是一个向量。利用
(σ
ij
0-σij )d εij p =σij -σij 0εij p cos ?≥0,?为两个向量的夹角。由于σij -σij 0和εij p 都是
正值,使上式成立,?必须为锐
4 答:逆解就先假设物体内的应力分布规律,然后分析它所对应的界条件,以确定这样的应力分布规律是什
半逆解法就是针对求解的问题,根材料力学已知或弹性体的边界形状和受力情况,假设分应力为种形式函数,从而推断出应力函数,从而用程和边界条件确定尚未求出的应力分量,完全确定来假设的未全部定下来的应力。如果能满足弹性力学的全部条件,则这解就是正确的解答。否则需
F N =σa A 0?a =a εa
又?a =?b 则F N =
P -F N =σb A 0
1解:对
?b =b εb
bP
a +b
2解:代入公
σ0=(σ1+σ2+σ3)/3=5.33MPa
τ0=
=8.62MPa
3解:(1)代公
τ=±
1
σ2-σ3
2
=±5MPa ,τ2=±
σ1-σ3
2
=±15MPa ,τ3=±
σ1-σ2
2
=±10MPa
所以τmax =15MPa
(2)
故主应力:σ1=30MPa ,σ2=22.1MPa ,σ3=7.9MPa
τ=±
1
σ2-σ3
2
=±7.1MPa ,τ2=±
σ1-σ3
2
=±11.05MPa ,τ3=±
σ1-σ2
2
=±3.95MPa
所以τmax =11.05MPa
2σ2-σ1-σ3
4 证明:将μσ=中,化简得:
σ1-
σ3
将τ0=
=
1
3
τmax =
σ1-σ3
2
代入
τ0
中,化简得:
τmax
τ0
=τmax
13所以,
2
因为-1≤μσ≤1,所以
0≤μσ≤
1
≤≤
即上
2
?2εx ?γxy +2=5 解:(1)代入公式:进行验证,成立。 2
?x ?y ?x ?y
?2εy
(2)u =u 0-w z y +A 1x +
C -C 22A 22
x +A 3xy +3y 22
B 32C 2-A 321??v ?u ?
y +x (w z = -?)
2??x ?y ?22
v =v 0+(C 1+w z )x +B 1y +B 2xy +
(3)u 0=v 0=0w z =-C 1-
C 2-A 3
l 2
6 解:(1)特雷
σ1-σ3=-100-(-300) =200MPa
2k =2*
σs
2
=190MPa <>
所以处于塑性状态。
2
(2)米泽
2
2
2
(σ1-σ2)
2
+(σ2-σ3)+(σ1-σ3)=60000
22
2σs 2=72200>60000
所以处于弹性状态。
7 解:(1)验
4
?2??2??2?
=0,σy =2=0,τxy =-=-a (2)σx =?y 2?x ?y ?x
(3)如下图所示:
岩土弹塑性力学
岩土弹塑性力学
1 塑性屈服准则
在组合力状态下,材料所服从的
f(σij)=0 (1)
函数f的特定形式是材料有关的,其含有若干个材料常数。据材料塑性准则是否水压力有关,可以将材米分为两:与静压力关材料和与静水力相材料,这两类材料般分别称为摩阻材料和摩阻材料。通常情况下金属材料属于静水力无关材料,土、岩石、混凝土等地质材料属于与静水压力相关材料。与静水压力不相的料是由剪切力控制它的屈服,在工中一般采用Tresca准则和von Mises屈服准则,而与静水压力相关的材料一般采用最拉应力准、Mohr-Coulomb 准则Drucker-Prager准则。下面就开
1.1 Tresca屈服准则
Tresca准则于1864年出,该屈服准则假定,当点的大剪应力达到极限值则发生屈服。以主应力表达这一准则,则在服时三个主应力两两之差值绝对值的一半中的大值达到k,这
11?1? max 1-σ2,2-σ3,σ3-σ1?=k (2) 22?2?
如果材常数k由单轴试验
k=σ0
2 (3)
其中,σ0为单轴
为了以图形表示二维间中屈服曲线形状,假定双轴力状态,其中仅σ1和σ2为非零,在σ1轴和一区间两轴角平分线间的应力顺序为σ1>σ2>0,所以,
σ1
2=k 或 σ1=σ0 (4) 在σ1-σ2坐标系中绘出服Tresca准
利用主力与应力不变量之间的
1θ(+π)-2k=0 (0 ≤θ≤60 ) (5) f(J2,θ)=2J2sin3
式中,式中θ成为相似角Lode角。Tresca则与I1无关,暗示不依赖于
由于Tresca准与I1无关,可屈服面演绎成主应力空间的规则平六面棱柱体(图2),它就是Tresca
Tresca准则的优点表达式简,道理清楚,即材料发生了切破坏,准参数容易在实验室中得到。但不足是是该准则在π平面上的形中存拐角点,在数学处理上存在不变,而且Tresca准则忽略了中间主应
1.2 von Mises准则
1913年出von Mises准则用八面体剪应力来代最大剪切应力,则将屈服准则表示
τoct=2J2=32k (6) 3
其中k表示料常数,它代表剪试验中的屈服应力。该屈服则受中间主应力的影响,于是该准
f(J2)=J2-k2=0 (7)
或
(σ1-σ2)+(σ2-σ3)+(σ3-σ1)=6k2 (8) 在单轴拉时,屈服发生于σ1=σ0,σ2=σ3=0,联以上方程可得k=σ0/3。 von Mises则可以用于静水压力和似角或Lode角不敏感材料。屈服面变为主力空间的圆柱面,其回转轴σ1=σ2=σ3的静水压力轴一致,屈服面偏
von Mises准则的点是:von Mises准则可以解决Tresca准则中存在拐点影数学计算的问题,同时von Mises则考虑了第二
1.3 最大拉应力准则(Rankine准则)
最大拉应力准则现已被遍接受用于确定脆材料否会发生拉伸破坏。最大拉应力准则认为当最应力达到拉伸强度ft'时,材料发生伸破坏。与此
'max(σ1,σ2,σ3)=ft (9) 222
为得到Rankine准则在π面上的屈服曲线,可以进行如下算,从而得到用J2、I1和θ表示
假定:σ1>σ2>σ3
'则方程(9)
1=ft
σ1=S1+I1
又根据1θ+I13213 可得到1'J2cosθ+I1-ft=0 3于是用J2、I1和θ表示的屈
'f(I1,J2,θ)=2J2cosθ+I1-3ft=0 (0 ≤θ≤60 ) (10)
根据公(10)
1.4 Mohr-Coulomb准则
Mohr-Coulomb准则是基最大剪应力为屈服决定性因的假。通剪应力来定义材料发生屈服。当材料最大剪应力达到极限值,材料生屈服。而这里的剪应力的极限值不再是一个定,而是与在那一点上同
=h(σ) (11) 式,h(σ)是由试验确定的函数,根Mohr可以得到,这是一系列Mohr圆的包络线,当表示应力的与包络线相时,说明材内应力已经达到临界状。当包络线采用曲线式时,计算上比较麻烦,所简化络线方程为直线关系,直线包络线的方
=c-σtaφn (12)
式中,c为材料的内聚力;φ值则料的内摩擦角。这两个参数都可以在实验室中通过实验测。与式(12)相的的屈服准则称为Mohr-Coulomb准则。对于无摩阻材料特的特例,其中φ=0,式(12)退为Tresca准则,其粘聚力等于纯剪切时的屈服应力,此,Mohr-Coulomb准
通过(12)式可以算出用应力不变量表示
J21ππf(I1,J2,θ)=I1sinφ+J2sin(θ+)+cos(θ+)sinφ-ccosφ=0 (13) 333由上式可以看出,Mohr-Coulomb准则与应力不变量I1有关,在正应力坐系
1.5 Drucker-Prager准则
Drucker-Prager准则是对von Mises准则的简单修正,它考虑了静水
影响,该准则的
f(I1,J2)=αI1+J2-k=0 (14)
式中,α和k为材料常数。当α为零时,Drucker-Prager准则退化为von Mises准则,以Drucker-Prager准则也称为广义的von Mises准则。此准则在主应力空间中的屈服面为直立圆锥。Mohr-Coulomb准则存在拐点,所以样可能导致其应用于塑性理论时数学值计算的难,
2 塑性应力—应变关系
要分析塑性应力—应关系,就应该先分析推导应—应关系的前提条件进。因为这些前提条件是得到塑应力—应变关系的基础,根据这些条件可以推得到各种准则
2.1加载准则
要找到材料在塑性阶段的应力—应变关系,先要判断材料在何种情况下进入塑阶段。在力空上的屈服面确定了当前弹性区边界条件,如果一个应力点在此面的里,就称之弹性状态,表现出的就是弹性应力应变关系。在屈服面上应状态为塑性状态,而进入
数学上,弹性状态和塑
f<>
f>0时,塑性状态
这里f就是在应力空间定义了屈服面的屈服函。对于强化材料,应力状态趋向移出屈服面的趋,则获得一个加载过,而且能观察弹塑性变;会产生附加的塑性应变且当前的屈服面会发生改,使应力状态总保持在后继加载面上。如果应力状态有移屈服面以内的趋,则为卸载程,此时只有弹性变形发,加载面仍然保持原,应力从塑性状态开始改变另一个程就是应力点沿着当前屈服面移动,这
总的来说,材料在空间屈服面的行为直接应了材料的弹塑性变化,当应力状向屈服面移动,材料将产生塑性;当材在屈服面上移动时,为中性加载;当应力状态向服面内
?fdσij=0时,中性变载 ?σij f=0 且
f=0 且?fdσij<0时,卸载>0时,卸载>
对于理想弹塑性材,当力点沿着屈服面移时,观察到弹塑性变形。但是,它不总是引起塑变形而有可能被归到中性变载情况,因此这种材料的加
f=0 且?fdσij=0时,
?fdσij<0时,卸载 ?σij="" f="0">0时,卸载>
由于很多情况,从应变来计算力,所以在应变空间定义材料的屈服数,于是有人提出用应变增量代替应力
f=0 且?fCijkldεkl>0时,加载 ?σij
?fCijkldεkl=0
?fCijkldσkl<0时,卸载 ?σij="" f="0" 且="" f="0">0时,卸载>
式中Cijkl 表
2.2流动法则
在加载过程中会产生塑应变,了描述弹塑性变形德尔应—应关系,必须定义出塑性应变增量dεijp的方向和大小,即:(1)各分量的比率;(2)它们相应于应力增dσij的大小。
dεijp=dλ?g (15) ?σij
式中,dλ为贯穿整个塑加载历史的非负标函数,它定义了塑性应变的大小,而矢量梯度?g则
前应力点的法线向,此,流动法则也称正条件。函数g则是势能面函数。当势能函g与f相等时,流动法则与屈服条件关联的,用
dεijp=dλ?f (16) ?σij
2.3 理想弹塑性材料
理想塑性材料的加准则要应力增量矢量dσij相与屈服面,而流动性法则要求塑性应变增量矢dεijp是在势能面的法线方向。接着确dεijp的
pdλ定就能建立dσij
设主应增量是弹性应变增量和
e (17) dεij=dεijp+dεij
弹性变增量和应力增量
dσij=Cijkldεkl (18)
对于理
dσij=Cijkl(dεkl-dλ?g) (19) ?σkl
其中,dλ是一个待
在逆性变时,应力点留在屈服面上,这个补充条件叫一致性条件,用增量
df=?fdσij=0 (20) ?σij
把式(19)带入式(20)中计算可以得到dλ为
dλ=1?fCijkldεkl (21) H?σij
?f?g Cijkl?σij?σkl式中,H=
这个等式表明,即使当力增量dσij在屈服面上移动,(?f/?σij)dσij=0,dλ仍能为零,也就是说,只要(?f/?σij)Cijkldεij=0,就不会产生塑应变,这是理想塑
对于一个给定的应变量dεij,利用式(19)式(21)计算出应力增量dσij。联立式(19)和(21)用数学方法推导出应力增量dσij
epdσij=Cijkldεkl (22)
ep式,Cijkl是弹
epCijkl=Cijkl-1*HijHkl (23) H
*其中 Hij=Cijmn?g?σmn,Hkl=?f?σpqCpqkl
在弹塑性应力应变关系中,据增值的件,有两种弹塑性应力应变关,分别Praandtl-Reuss模型和Drucker-Prager型。两模型根据不同的屈服函数对弹塑性应力—应变关系行量型式的推导,从而
在弹塑性应力—应变系中,除了增型,还包括全量形式的应力—应变关表达式。这些是在增量应力—应变关系的基础
3岩土材料弹塑
3.1金属
在分析属材料的塑性变形
(1)塑变形与能耗散有关,因此这个过
(2)属塑性变形对其速率不
(3)属的塑性形对静水压力不敏
金属的典型特性:正比增长的特性;重拉伸时,加载使材料强化或屈服点升,而在应力转向或重新压缩时,加载使材料软化
3.2岩土材料的
传统弹塑性理论亦称为典性理论或金属塑性理论。它的基本特征是材料的屈和化都与静水压力无关;而且材可能产生硬化(或强化)不可能产生软化(弱化)。与统塑性论不同,广义塑性论为材料不可屈服与硬化,而且可产生软化;同时,服、硬化与软化都可以静水压力相关,它要适用于岩土类材料,同也是用于金属类材料;因此称之为广义塑性理论。所以在岩土材料的弹塑性力学中,要包括以下几方面特性,硬性、剪性、向屈服特性、拉压不等性、化软化特性等。岩土料的双强度特征对其硬化与软化有重要关系,于粘聚力先发挥,摩擦力随形逐渐发挥,这就决定了岩土材料具有硬化性质。对于黏聚力很,尤其是土内部存在结构的情况,岩土材料的黏聚力会随着变增大而衰减,这形了岩土材料的软化。土类材料的应力—应
(1)应力—应关系非线性与硬化或软特。土无论在压缩或剪切时,其应力—应变系从加载开始就表现为非线性的特性,没有明显的弹
点;而且非线性的力—变曲线具有应变硬或化的特性。这与传统金属材料在受力状态下应的应力应变关系不同,金属材料在受力期显示的是明
(2)压硬性与剪涨性。压硬性指的是静水压力剪变形之间的耦合用;剪胀性指的是剪应力与体应之间耦合作用。在岩力学中,剪胀称为“扩”,意指剪切应力引起的体积(容积)扩。如果剪引起岩土体的体积收缩,就称之为剪缩性或负的剪胀性。这,于岩土材料来,静水压不仅产生弹性的和塑性的体应变,而且由于静水力的存在,还会引起剪变形刚的增而使剪应变变化;而剪应力不仅会产生弹
(3)一般的岩土属与静水力有关的摩擦型材料,因此
(4)静压力服特,单纯的静水压或均应力不仅可以产生弹性体应变,且可以产生塑性体应变,这就是岩土类材料的
(5)弹塑性合作。当岩石进入性段后,塑性变形的增加引起弹性质的变化(弹性模量下降)。这种现象就成
(6)岩土还存在初始各向性和应力致的各向异性。岩土的初始各向性一是在积或地质作用过程中形成的,例如天然粘性土一般表现为在水平向上的向各向同性。同时由于应力的作用,可以引起类似于属
(7)岩土材料的拉压强度同。砂土能承受拉力。粘性土能够承受很的拉力,而且不可靠。岩石虽有一定的抗拉强度,但与其抗压强度相比,要小多倍。
(8)塑性变增量的方向一的说不服从正交法则。即塑性变增量方向与屈服或破坏面的外
(9)土应力—应变—强度关系与应力路径(
(10)土的应力—应变—强度还与时间有
3.2岩土塑
岩土弹塑性力学是从金属弹塑性力学发展来的,但是针土材料本身的特点,在进弹塑性分析时,对岩材料做了一的假设。些假设通常包括以下几方面:(1)小变形设,即应变和位移之间为几何上线性相关的。(2)计时间或应速率对本关系的影响。(3)般不考虑弹塑性耦合作用。(4)在进行岩土强度稳定性问题的极限分析时,假设岩
在这些假设的基础上,发展了土弹塑性力学的理论。做了些假设之后,简化了岩土弹塑性的分析过程,但是使得土材料的弹塑性特点没有得到反应,反而得岩土材料更加
岩土类材料的内摩擦力与剪应力的向是相反的,以在材料受力的过程中,内摩擦力对材的强度是提高的。有人通过实验验证了岩土类材在荷作用下其内摩擦力的体现,主要反映为内摩擦数随着正力的变而发生的变化。最终,通过计算公式得到岩土类材料有别金类材料弹塑性的弹塑性方程,
弹塑性力学总结
应用弹塑性力
姓 名:
学 号:
专 业:结构工程
指导老师:
弹塑性力学读书报告
弹塑性力学是固体力学一重要分支,是研究可变形固体变形规律的一门学科。可变形固体在荷载(包括外力、温变化等作用)作用时,发生应力、应变及位的规律的科。它由性理论和塑性理组成。弹性理研理想弹性体在弹性阶力学问题,塑性论研究经过抽象处理后可变形固体在塑性段的力学问题。因此,弹塑力学就是研究经过象化的可变形固体,从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个程的力学问题。弹塑性学也是连介质力的基础和一部分。弹塑性学包括:弹塑性静力和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析种结构物或其构件在弹性段和塑性阶的应力和位移,校核它们是否具有所需的强度、刚和稳定性,寻求或改进它的计算方法。并且弹塑性力学是以后限元分析、解决具工问题的理论基础,就要求我们掌握其必要
1 基本思想及理论
1.1科学
人们研究基础理论的的是用基础理论来指导实践,而理论通过对自然、生活中事的现象进行概括、抽象、分析、合得来,在这过程中就要从众个体物中寻找规律,而律的得出一般由假设得来,弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外作用时表现出现象差别根本的原因在于材料本身性质差异,这些性质包括尺寸、材料的向、均匀性、连续性,力学问题的研离不开数学工具,如果要考虑材的所有性质,那么一些问题的答将无法进行下去。所以,在弹塑性学中,据具体研对象的性质,并联系求解问的范围,忽那次要的局部的对研究影响不大
1.1.1
假设物体是连续的。就是说体整个体积内,都组成种物体的物质填满,不留任何空隙。这样,物内的一些物理量,例如:应力、应变、位移,才可以用坐
1.1.2线弹性
假设物体是线弹的。是说当使物体产生形的力被除去以后,物体能够完全恢复原来形,不留任何残余变形。而且,材料服虎克定律,应
1.1.3
假设物体是均匀的。就是整个物体是由同一质地匀的材料组成的。这样,整个物体的所有部分具有相同的物理性质,因而物体的弹性量和泊松比才
1.1.4各向同性
假定物体内点的弹性性在所有各个方向都相同,弹常数(E 、μ)不随坐标方
1.1.5
假设物体的变形是微的。物体受力以后,整个体所各点的位移都小于物体的原有尺寸,因而应变和角都远小于1。可用变形前的尺寸代替变形后尺寸,建立方
1.2应力状态理论
应力的概念的提出用到了数学上极限的概念,定义为微面元上的内力矢量。观层面,我们研究的是一点应力状。在观层面,根据体所的面力和体力以其与坐标轴关系,将物体的应力状态分为平面应力问题、面应变问题空间应力问题。平面应力问题是指物体在一个方向上的尺寸很小,外荷沿该方向的厚度匀分布(如矩薄板);平面应变问题则是物在一个方向上的尺寸很大,外荷载沿该方向为常数(如水坝)。空间力问题则是一般普遍的情形。对应力的分析应用学的理论可以得到求解弹塑
1.3应变状态理论
在外力、温度变化或其他因素作用下,物体内质点将产生位置变化,即发生位移。物体内各质发位移后,如果仍保各质点间初状态的相对置,则物体仅发生刚体位移,如果改变各点间初状态的相对位置,则物体还产生了形状的变化,包括体积改和形状改变,体的这种变称为物体的变形。在弹塑力学中,用应变的概来描述物体变形,在已知物位移情况下,通过几何学工具,结合小变形
1.4本构理论:
本构理论探讨的是物体受到外用时应力应变之间的关系,这是研究弹塑性力非常重的理。对物体应力应变关系的究首先总是通过实验的手段得来,当我们发现体处于线性阶段时,应力与应变的关系可以通过胡克定律来描述,体而又可分为各向同性材料、
当受力物体某点的应力状满足屈服条件是,该点已经进入塑性阶段,此力与应变不再呈现出线性关,对于该点弹性本构关系不再适用。在性阶段,变状态但与应力状态有关,且还依于个应力历史(应力移动的过程),于应力历史的复杂性,很难建立一个能括各种变形历史影响的量形式的塑性应-应变关系,只能建立应力与应变增量之间的塑性本够关。当结构材料进入塑状态之后,应力位于屈服面上,此时材的应力-应变关系根据加载与卸载的不同情况而服从不同的律。若为卸载,则施加应力增量使应力点从屈服面上回到屈服面内,增量应力增量应变间仍服从胡定律。若为加载,则所施加的增应力将使应力点屈面上移动或移动新的屈服面上,此
当个应变分量始终都按同一例增加或减少时,应变强度增量可以分求得应变强度,从而建立全量理论的
1.5 边界条件(圣维南原理)
边界条件表示在边界上位移与约束,或应力与面间的关系式。边界件分为应力边界条件、位移边界件、合边界条件,解性力学问题时,使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方相对容易,要使边界条件完全满足,往往很困难。这时,圣维南原理可化局部边界上的力边界条件供恒大的方便。圣维南原描述如下:如果物体一部分边界面上的面力是一个平力系(矢量及主矩都等于零),那么这个面力就
2 求解方法
在弹弹塑性学里求解问题,主要有三种基本方法,分别按位移求解、按应力求解和按能
2.1位移法
它以位移分量为基本未函数,方程和边界条件中消去位分量形变分量,导出只含位移分量的方程和相应的边界条件,由此出位移分量,然后再求出形变分量和应力分量。位移法能适应各
2.2应力法
它以应力分量为基本知函数,从方程和边界条件中消位移量和形变分量,导出只含应力分量的方程和相应的边条件,并由此解出应力分量,然后再求出形变分量位移分量。按应
需要满足容方程,它偏微分方程,由于不能直求解,则只能采用逆解法或
所谓逆解法,就是先设定各种形式的、满足相容方应力函数?,从而出应力分量。然后根据应力边界条来考,在各种形状弹体上,这些应力量对应于什样的面力,从而得知所设定的应力函数可以决什么问。所谓半逆解法,就是针对所要解的问题,根据弹性体的边界形和力情况,假设分或全部应力量为某种形式的函数,从而出应力函数?,然后来察这个应力函数是否满足相容程以及来假设的应力分量和由这个应力函数求出其力分量,是否满足应力边
2.3能量原理
由以上的方法可以解决梁的弯曲、板弯曲、厚壁筒、孔边应力等问题的求解,然而只有对些特殊结在特定载条件下才能找到精确解,对于一的力学问题,如空间问题,在给定边界条件,求解极困难,且往往是不可能的。为解决这些问题,数值解法的应用就重要意义,如有限元法、边界元
虚位移原理,外作用下处于平状态的可变形体,当给予物体微小虚移时,外力在虚位移上所做的虚功等于物
虚功原理,当体在知体力和面力作下于平衡状态时,微小虚面力在实际移所做的虚功,等于虚应力在真实应变所产生
最小势能原理,即定外力作用下持平衡的弹性体,在满足位移边界件的位移场中,真实的位移场使其总势能
最小余能原,在所有满足平方程和应力边界条件的静力许的应力场中,真实的应力场使余
3总结
弹塑性力学作为固体力学的个重要分,是我们认识物体受力时应力变规律重基础理论,是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。结合专业,树立土的本构模型概念,在有限元计算中根据实际题取合适的本构模型对