少年不瞒心5815900
范文一：阿基米德和他的成就
阿基米德和他的成就
阿基米德(Archimedes，约前287~前212)，古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。也是具有传奇色彩的人物。
公元前287年，阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古(Syracuse)(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城，跟随欧几里得的学生埃拉托塞和卡农学习，他以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因此他算是亚历山大学派的成员。
亚历山大里亚位于尼罗河口，是当时文化贸易的中心之一。这里有雄伟的博物馆、图书馆，而且人才荟萃，被世人誉为"智慧之都"。阿基米德在这里学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时，发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，他发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为"阿基米德螺旋"。
公元前240年，阿基米德回叙拉古，当了赫农王的顾问，帮助国王解决生产实践、军事技术和日常生活中的各种科学技术问题。
公元前212年，古罗马军队攻陷叙拉古，正在聚精会神研究几何问题的阿基米德，不幸被蛮横的罗马士兵杀死，终年七十五岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献,并享有"数学之神"的称号。
出生于古希腊后期的科学家阿基米德正确地得出了球体、圆柱体的体积和表面积的计算公式，提出了抛物线所围成的面积和弓形面积的计算方法。最著名的还是求阿基米德螺线(ρ=α×θ)所围面积的求法，这种螺线就以阿基米德的名字命名。锥曲线的方法解出了一元三次方程，并得到正确答案。阿基米德还是微积分的奠基人。他在计算球体、圆柱体和更复杂的立体的体积时，运用逐步近似而求极限的方法，从而奠定了现代微积分计算的基础。另:力学方面:阿基米德在力学方面的成绩最为突出，他系统并严格的证明了杠杆定律，为静
力学奠定了基础。在总结前人经验的基础上，阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理，提出了精确地确定物体重心的方法，指出在物体的中心处支起来，就能使物体保持平衡。他在研究机械的过程中，发现了杠杆定律，并利用这一原理设计制造了许多机械。他在研究浮体的过程中发现了浮力定律，也就是有名的阿基米德定律。几何学方面:阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。
"，即我们今天所说的逐步近似求在推演这些公式的过程中，他创立了"穷竭法
极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题。天文学方面:阿基米德在天文学方面也有出色的成就。除了前面提到的星球仪，他还认为地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，这一观点比哥白尼的"日心地动说"要早一千八百年。限于当时的条件，他并没有就这个问题做深入系统的研究。但早在公元前三世纪就提出这样的见解，是很了不起的。著述:阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的体积，其体例深受欧几里德《几何原本》的影响，先是设立若干定义和假设，再依次证明，作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》等数学著作。作为力学家，他着有《论图形的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》等力学著作。其中《论球与圆柱》，这是他的得意杰作，包括许多重大的成就。他从几个定义和公理出发，推出关于球与圆柱面积体积等50多个命题。《平面图形的平衡或其重心》，从几个基本假设出发，用严格的几何方法论证力学的原理，求出若干平面图形的重心。《数沙者》，设计一种可以表示任何大数目的方法，纠正有的人认为沙子是不可数的，即使可数也无法用算术符号表示的错误看法。《论浮体》，讨论物体的浮力，研究了旋转抛物体在流体中的稳定性。阿基米德还提出过一个"群牛问题"，含有八个未知数。最后归结为一个二次不定方程。其解的数字大得惊人，共有二十多万位!除此以外，还有一篇非常重要的著作，是一封给埃拉托斯特尼的信，内容是探讨解决力学问题的方法。这是1906年丹麦语言学家J.L.海贝格在土耳其伊斯坦布尔发现的一卷羊皮纸手稿，原先写有希腊文，后来被擦去，重新写上宗教的文字。幸好原先的字迹没有擦干净，经过仔细辨认，证实是阿基米德的著作。其中有
在别处看到的内容，也包括过去一直认为是遗失了的内容。后来以《阿基米德方法》为名刊行于世。它主要讲根据力学原理去发现问题的方法。他把一块面积或体积看成是有重量的东西，分成许多非常小的长条或薄片，然后用已知面
元素"，找到了重心和支点，所求的面积或体积就可以用积或体积去平衡这些"
杠杆定律计算出来。他把这种方法看作是严格证明前的一种试探性工作,得到结果以后,还要用归谬法去证明它。重视实践:阿基米德和雅典时期的科学家有着明显的不同，就是他既重视科学的严密性、准确性，要求对每一个问题都进行精确的、合乎逻辑的证明;又非常重视科学知识的实际应用。他非常重视试验，亲自动手制作各种仪器和机械。他一生设计、制造了许多机构和机器，除了杠杆系统外，值得一提的还有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。被称作"阿基米德螺旋"的扬水机至今仍在埃及等地使用。
记录激动时刻，赢取超级大奖!点击链接，和我一起参加"2010:我的世界杯Blog日志"活动!
范文二：阿基米德的数学成就数学史
阿基米德
阿基米德(Archimedes) 公元前287年生于西西里岛(Sicilia，今属意大利)的叙拉古(Sracusa，—译锡拉库萨)；公元前212年卒于叙拉古．数学、力学、天文学．
和其他的古希腊数学家相比，阿基米德的生卒年是比较确实的．J．策策斯(Tzetzes，约1110—约1180)在《史书》(Book of histories)中记载：“智者阿基米德是叙拉古人，著名的机械制造师，终生研究几何，活到75岁”．阿基米德之死，T．李维(Livius， 公元前59—公元17年)策斯等历史学家作了不同的描述，但一致同意他是在叙拉古陷落(公元前212年)时被罗马兵所杀的．倒推回去，应生于公元前287年．
阿基米德是叙拉古统治者海厄罗王(Hiero Ⅱ，约公元前308—前216年，约公元前270—前216年在位)的亲戚，和王子吉伦(Gelon，后继承王位)友善．父亲菲迪亚斯(Phidias)是天文学家．
阿基米德早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，对欧几里得数学进一步的发展作出了一定的贡献．在那里结识许多同行好友，如科农(Conon of Samos，公元前245年前后)、多西修斯(Dositheus，公元前225年前后)以及埃拉托塞尼(Eratosthenes)等等．回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的．后人对阿基米德给以极高的评价．数学史家E．T．贝尔(Bell，1883—1960)说：任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．普林尼(Pliny，公元 23—79年)甚至称阿基米德为“数学之神”这些过分的赞扬，反映了后世对阿基米德的崇敬．
赫拉克利德(Heraclides)曾写过阿基米德的传记，欧托基奥斯
(Eutocius of Ascalon，约生于公元480年)止一次提到这件事，可惜传记已失传．阿基米德的生平事迹，散见于各种古代的文献中．
金冠
维特鲁维厄斯(Marcus Vitruvius Pollio，公元前1世纪上半叶—约公元前25年)罗马有名的建筑学家，以传世的10卷《建筑学》(De Architectura Libri X)称．这书第Ⅸ卷记述了一段传诵千古的逸事．叙
拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高，为了报答诸神的德泽，他决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的王冠，作为谢恩的奉献物 金匠如期完成了任务，理应得到奖赏．这时有人告密说金匠偷去一部分金子，以等重的银子掺入．国王甚为愤怒，但又无法判断是否确有其事．便请素称多能的阿基米德来鉴定一下，他也一时想不出好办法来．正在苦闷之际，他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去的时候，水漫溢到盆外，而身体顿觉减轻．于是豁然开朗，悟到不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量．这一发现非同小可，阿基米德高兴得跳了起来，赤身奔回家中准备实验，口中不断大呼“尤里卡！尤里卡！”(Eureka，意思是“我找到了”．) 这问题可解释如下：设王冠重W，其中金与银分别重W1，W2，而W=W1＋W2分别取重为W与W1
的纯金放入水中，设排去水的重各
的
银放入水中，设排去水的重量各为F2与y，于是W∶W2=F2∶y，
由此推得F(W1＋W2)=F1W1+F2W2，即
用实验可求出F，F1，F2，即可算出银与金之比值．如F=F1，说明没有掺银．实际情况是两者不等，从而揭穿了金匠的劣行．
经过仔细实验和反复思考，将经验上升为理论，他终于发现了流体静力学的基本原理——阿基米德原理：物体在流体中减轻的重量，等于排去流体的重量．后来总结在他的名著《论浮体》(Flo－ating bodies)中成为第7命题．
豪言壮语
帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collections)
记载，阿基米德建立了杠杆定律(若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡)之后，解决了“用给定的力去移动任何给定的重物”的问题，曾发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可以移动地球！”
普卢塔克(Plutarch，约公元46—119年以后)的《马塞勒斯传》(Marcellus)中有更详细的描写．阿基米德对海厄罗王说：任何重物都可以用一个给定的力来移动．“如果另外有一个地球，就可以站在那上面移动这一个”．海厄罗王大为诧异，想考验一下这惊人的论断是否可靠，要求他用事实来证明．阿基米德从国王的船队中选定一艘有三根桅杆的货船，这种船通常要用很多人花很大力气才拖得动它．阿基米德安装了一组滑轮，自己站在远处，手握绳子的一端，轻而易举将船平稳地拉过来，好象它在海上行驶一样．
按普罗克洛斯(Proclus)的说法，这艘船是海厄罗王特地为托勒密王(Ptolemy)建造的，下水时几乎动员了所有的叙拉古人．而阿基米德凭着他发明的机械，使国王自己一个人就把它拖动．国王佩服得五体投地，当即宣布：“从现在起，阿基米德说的话我们都要相信”．
辛普利休斯(Simplicius，6世纪上半叶)在注释亚里士多德的《物理学》(Physica)时，说阿基米德发明了一种“神力器”(cha-ristion)
德宣称要用“神力器”去移动地球．
上述几种记载内容大致相同．阿基米德真的能移动地球吗？不妨作一个简单的计算．那时他并不知道地球有多重，现在知道地球质量是6×1027克．假想用杠杆来举起地球，加60公斤(6×104克)的力，那么力臂应该是重臂的 6×1027÷6×102=1023倍．要举起地球1/10000毫米，力臂的一端应走过1013公里以上．每天24小时以短跑的速度走过这个距离，
至少要3000万年！换句话说，即使略去杠杆本身的重量不计，阿基米德用尽毕生的力量，也休想移动地球分毫．不过这位伟大的古代力学家，只因为不知道地球的大小，以致作出错误的判断，这是可以谅解的．
叙拉古保卫战
在阿基米德的一生中，最悲壮、最惊心动魄的一幕是他以古稀之龄，投身于反侵略战争，最后为国捐躯．
迦太基(Carthage)是古代腓尼基(Phoenicia)人建立的国家．以现今非洲北部的突尼斯为中心，领土东到西西里岛，西达西班牙和摩洛哥．由于商业和殖民利害的冲突，从公元前264年起到前146年为止，前后三次和罗马人进行了猛烈的大搏斗，延续120年之久．罗马人称迦太基人为腓尼(Poeni)，转为布匿(Punic)，故史称布匿战争．第二次布匿战争发生于公元前218—前201年，叙拉古和迦太基缔结同盟，因此成为罗马的仇敌．公元前214年，罗马名将马塞勒斯(Marcus Claudius Marcellus，约公元前268—前208年)率领大军围攻叙拉古．在这危急存亡之秋，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳．
详细记述这次保卫战的主要有三种书：波利比奥斯(Polybius，约公元前200—前118年)的《通史》(Historiae，共 40卷)，李维的《罗马史》及普卢塔克的《马塞勒斯传》(Vita Marcelli)．此外策策斯、卢西恩(Lucian，约公元120—180年以后)等也有所论述．
马塞勒斯从陆上及海上袭击叙拉古．阿基米德用他发明的起重机之类的器械将靠近墙根的船只抓起来，再狠狠地摔下去，有的被撞得粉碎，有的沉入海底．马塞勒斯也不甘示弱，他用8艘5层橹船(quinquereme)，每两艘联锁在一起，架起一种叫“萨姆布卡”(sambuca)武器，准备攻城．可是叙拉古人未等敌船靠近，就用强大的机械将巨大石块抛出，形同暴雨，打得“萨姆布卡”七零八落．同时万弩齐发，罗马兵死伤无数．吓得目瞪口呆的马塞勒斯下令退兵．在陆上，罗马兵也没有占到便宜．多次进攻，均未得逞．
有一种传说是阿基米德用巨大的火镜(burning－mirror)反射阳光来焚烧敌船，这大概是夸张的说法，最早见于卢西恩(Luci－an)的记载．不过当时阿基米德已经发现抛物面反射镜能够聚焦的性质．有的书说成将燃烧的火球弹射出去使敌船着火，这也许比较可信．
无论如何，罗马兵已成惊弓之鸟，简直是“风声鹤唳，草木皆兵”，只要看到一根绳子或一块木头从城里扔出来，立刻抱头鼠窜，大呼：“阿基米德的机器又瞄准我们了”．
罗马人在一次军事会议上，决定夜间偷袭，他们以为飞弹只能在远距离起作用，黑夜可以避开城上的视线，一旦接近城墙，飞弹就无能为力了．谁知阿基米德早有防备，制造了一种叫“蝎子”的弩炮，专门对付近处的敌人．罗马兵又一次吃了大亏．
马塞勒斯嘲笑他自己的工程师和工兵说：“我们还能同这个懂几何的‘百手巨人’(Briareus)下去吗？他轻松地稳坐在海边，把我们的船只像掷钱游戏(pitch and toss)似的抛来抛去，船队被搞得一塌糊涂，还射出那么多的飞弹，比神话里的百手妖怪还厉害”．(《马塞勒斯传》，见[7]，p．29．)
后来罗马军放弃正面进攻，改用长期围困的策略．叙拉古终于因粮食耗尽，被叛徒出卖，公元前212年，在一个庆祝阿泰密斯(Artemis)神，75岁的阿基米德也光荣牺牲了．
为国捐躯
叙拉古陷落时，马塞勒斯虽然发布了许多禁令，仍然阻挡不住士兵的劫掠．出于对阿基米德的敬佩，他下令不准伤害这位贤者，
但阿基米德还是被愚蠢的罗马兵杀害了．关于他的死，几种记载颇有出入．
(一)最早的说法出自李维．在兵荒马乱之中，侵略军大肆杀戮，阿基米德正在沙上画图，一个罗马兵将他刺死，根本不知道他是谁． 这里所说的“沙”，是指沙盘(sand board)，在平板上铺上细沙，用来计算、画图和写字．也就是“算盘”(abacus)．李维的原文是pulvis(拉丁文，沙盘或沙上铺的细沙)，后来罗马历史学家瓦勒里乌斯(Valerius Maximus，活跃于公元20年前后)提到这件事，误以为是在沙地上画图，把pulvis写成terra(土地)，于是许多书就以讹传讹．
许多数学史书都转载一幅镶嵌的图案画(例如见［11］，p．135)，表现了阿基米德之死．它是在意大利赫库兰尼姆(Herculaneum)发现的，原为波拿巴(Jérme Bonaparte， 1784—1860)的传家宝，后为威斯巴登(Wiesbaden)的F．E．沙贝尔(Schabell)所有，1924年由F．温特尔(Winter)
将它发表出来．一般认为这件工艺品是艺术家根据古代一幅画来制作的．画面是一位老人，坐在小桌子后面，两手似在护着放在桌上的长方形沙盘，横眉冷对站在旁边的握剑士兵，他显然是命令老人跟他走．较多的学者认为它较真实地重现了当时的情景．
(二)策策斯的记载是，他俯身去画一些机械图，一个罗马人走过来拖他去当俘虏．阿基米德全神贯注在作图，没有注意是谁，口中说：“喂！站远一点，离开我的图．”那人继续拽他，他转过头来，看清是一个罗马兵时，立即喊道：“给我一样器械(指他发明的武器)！”士兵吓了一跳，马上杀了他，虚弱的老人就这样倒下了．
(三)普卢塔克还给出下面几种说法．阿基米德独自聚精会神去思考要解决的问题，目不转睛地看他的图，丝毫没有注意到城池已破．一个罗马兵突然出现在他的面前，命令他到马塞勒斯那里去，遭到阿基米德的严词拒绝，他表示除非解答了问题并给出了证明，否则是不会去的．这激怒了罗马兵，于是丧生在刀剑之下．
(四)另一种说法是罗马兵不由分说，要立刻刺死他，阿基米德看了他一眼，请求他等一会儿，不要让一道只研究了一半而尚未解决的问题遗留给后人．但是士兵不懂这些，终于动了手．
(五)还有一种说法是阿基米德带了许多数学仪器去见马塞勒斯，如日晷、球以及测量太阳的工具等，那些士兵不知这些闪闪发光的东西是什么宝物，于是便谋财害命．
不管具体的情节如何，这位旷世的大科学家，为了拯救自己的祖国，曾竭尽心智，力挽狂澜，给侵略者以沉重的打击，最后献出生命，这是无可怀疑的事实．
阿基米德之死，马塞勒斯甚为悲痛，除严肃处理这个士兵外，还寻找阿基米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，又给阿基米德立墓，聊表景仰之忱．在碑上刻着球内切于圆柱的图形，以资纪念．因阿基米德发现球的体积及表面积，都是外切圆柱体体积及表面积的 2/3．他生前曾流露过要刻此图形在墓上的愿望．
后来事过境迁，叙拉古人竟不知珍惜这非凡的纪念物．100多年之后(公元前75年)，罗马著名的政治家和作家西塞罗(Mar-cus Tullius Cicero，公元前106—前43年)在西西里担任财务官，有心去凭吊这座伟人的墓．然而当地居民竟否认它的存在．众人借助镰刀辟开小径，发现一座高出杂树不多的小圆柱，上面刻着的球和圆柱图案赫然在目，这久
已被遗忘的寂寂孤坟终于被找到了．墓志铭仍依稀可见，大约有一半已被风雨腐蚀．又两千年过去了，随着时光的流逝，这座墓也消失得无影无踪．现在有一个人工凿砌的石窟，宽约十余米，内壁长满青苔，被说成是阿基米德之墓，但却无任何能证明其真实性的标志，而且“发现真正墓地”的消息时有所闻，令人难辨真伪．
主要著作
阿基米德留下的数学著作不下10种，多数为希腊文手稿，也有的是13世纪以后从希腊文译成拉丁文的手稿．有J． L．海伯格(Heiberg)校订的：Archimedis opera omnia cum commen-tariis Eutocii(《阿基米德全集，包括欧托基奥斯(Eutocius of Ascalan，约生于公元 480年)的注释》，1910—1915，莱比锡出版)，这是标准的本子：译成现代语的常见的有三种：T．L．希思(Heath)英译注释本：The works of Archimedes with the method of Archimedes(《阿基米德全集，包括阿基米德方法》，1912，纽约出版)； P．V．埃克(Eecke)法译本： Les oeuvres complètes d'Archimède(《阿基米德全集》，1921，巴黎出版)；E．J．迪克斯特惠斯(Dijksterhuis)：Archimedes[《阿基米德全集》，原文为荷兰语，1938—1944，C．迪克舒恩．(Dikshoorn)英译本，1956，哥本哈根出版]． 著作的体例，深受欧几里得《几何原本》的影响，先设立若干定义和假设，再依次证明各个命题．各篇独立成章，虽然不象《原本》那样浑然一体，但所言均有根据，论证也是严格的．现按海伯格本的顺序(为希思本所沿用)列举如下：
1．《论球与圆柱》(On the sphere and cylinder)；
2．《圆的度量》(Measurement of a circle)；
3．《劈锥曲面与回转椭圆体》(On conoids and spheroids)；
4．《论螺线》(On spirals)；
5．《平面图形的平衡或其重心》(On the equilibrium of planes or the centres of gravity of planes)；
6．《数沙器》(The sand-reckoner)；
7．《抛物线图形求积法》(Quadrature of the parabola)；
8．《论浮体》(On floating bodies)；
9．《引理集》(Book of lemmas)；
10．《群牛问题》(The cattle-problem)．
以上并不是写作先后的顺序，如按时间来排，大致是：5(卷1)，7，5(卷2)，1，4，3，8，2，6．另外，在本世纪初还发现阿基米德的一封信，这信非常重要，它记录了阿基米德研究问题的独特思考方法，后来以《阿基米德方法》(The method of Archimedes，简称《方法》)的标题发表出来．
《方法》的发现及其内容
1906年，哥本哈根大学古典哲学教授J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928)在土耳其君士坦丁堡(现称伊斯坦布尔)仔细观看一部擦去旧字写上新字的羊皮纸书①，旧的字迹幸好没有擦干净可以判定是10世纪时写上去的．擦掉之后，大约在13世纪时写上一大堆东正教的祈祷文和礼拜仪式，作为中世纪的宗教文献保存了下来．旧的字迹隐约可辨，海伯格惊喜地发现这是阿基米德的著作，因为在别处见过．于是用摄影等技术使旧字迹重现，1908年再一次去进行工作，经过不懈的努力，终于使 185页的文字(除少数完全看不清者外)重见天日．其中包活《论球与圆柱》及《圆的度量》、《平面图形的平衡或其重心》的一部分．还有《论浮体》的相当一部分，过去一直认为希腊文本已失传，只有莫贝克(William of Moerbeke，约1230—1286)的拉丁文译本存下来，现在居然得到希腊文原本，虽然也还不是全部．更令人兴奋的是有一封阿基米德写给埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信，还是初次看到．这是本世纪数学史料的重大发现．
《方法》包括15个命题．一开头是写给埃拉托塞尼的信用来说明本篇的主要内容，相当于序言．下面，以命题1为例，阐明阿基米德的思想方法．为了便于了解，暂用现代的术语和符号来推导．
设D是抛物线弧ABC的弦AC的中点，过D作直线平行于抛物线的轴OY，交抛物线于B．要证明的是抛物弓形ABCD的面积等于△ABC面积的 4/3．
当时已经知道过B的切线平行于AC，即B是弓形的顶点(在ABC弧上与AC距离最远的点)．命题结论的另一种说法是：
抛物弓形的面积，是等底等高的三角形的4/3．
用解析几何来分析，设抛物线方程是
y=ax2 (1)
A，C的横坐标分别是x1，x2，则AC的方程是
y=ax1x＋ax2x-ax1x2 (2)
过C点的切线CF的方程是
延长DB交CF于E，不难证明，B是ED的中点．事实上，将D，B，
坐标，依次是
由此知B是D、E中点．
作AF‖OY，交CF于F．延长CB交AF于K，则K是FA的中点．再取KH=KC，过AC上任意点M作MQ‖OY，交CK于P，交CF于Q，交抛物线于N．将M的横坐标x2分别代入(2)、(1)、(3)得到M，N，Q的纵坐标
ym=ax1x0+ax2x0-ax1x2，
于是有
上面推出的几个性质，有的前人已证明，有的阿基米德在别处已证明，在这里是作为已知条件来使用的．例如：1)过D且平行于轴的直线必过弓形的顶点B，且B是ED中点，在欧几里得以及阿里斯泰奥斯
(Aristaeus，约公元前340年)的圆锥曲线论中已证明，在阿基米德的《抛物线图形求积法》命题 1，2中也讨论过；2)MQ∶MN=AC∶AM是同一篇论文的命题5．
下面才是阿基米德巧妙的根据力学原理去探索真理的方法．
假想各线段都是有重量的，而且重量和长度成正比．又HP是一根以K为支点的杠杆．因为MQ∶MN=HK∶KP，如果将MN放在H点，就可以和位于杠杆另一端的MQ平衡，P是MQ的重心．这关系对于任意的M都成立．弓形可以看作由许多这样的MN线段所组成，而△AFC由许多的MQ线段所组成．如果将所有的MN(也就是整个弓形)都放在H上(以H为重心)，就可以和△AFC平衡．弓形的重量可以看作完全集中在H点，而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上，这重心位于中线KC上，与K的距离是KC(=KH)的1/3，故弓形重量(即面积)是△AFC重量(即面积)的1/3．又△AFC=4△ABC，故知弓形ABCD的面积是△ABC的4/3．
阿基米德特别声明以上的推导不能算是证明，只是一种直观的试探或猜测问题结论的方法．以后还要在别的地方用几何方法(通常是用归谬法)去严格证明它．
《方法》的中心思想，是要计算一个未知量(图形的面积、体积等)，先将它分成许许多多的微小量(如将面分成线段，将体积分成薄片等)，再用另一组微小量来和它比较．通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡．再将后一组微小量集合起来，它的总体应该是较易计算的．于是通过比较，即可求出未知量来．这实质上就是积分法的基本思想．阿基米德的睿智，业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了！因此，称他为近代积分学的先驱，毫不为过．当然，和积分法还有相当大的差距．表现在：1)没有说明微小量(或元素)是有限的还是无穷多，这在古希腊时代是不可能解决的问题；2)没有极限的思想，现代的积分，是一个极限值而不是一个简单的和；3)就事论事，没有形成抽象的概念及一般的法则．
尽管如此，阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开辟了一个广阔的领域．本篇后面的命题都是用类似的方法取得的．
命题2．球体积是以此球的大圆为底、以球的半径为高的锥体体积的4倍．以球的大圆为底、球的直径为高的圆柱的体积是球体积的3/2倍． 这在《论球与圆柱》中是命题34及其推论．也就是刻在墓碑上的那个著名的论断．
此外还有旋转椭圆体体积，旋转抛物线体体积及重心，半球的重心，以及相当复杂的圆锥体与球的交截体(两种立体相交的公共部分)等问
题．在今天，只有用积分法才能解决，而阿基米德独辟蹊径，创立新法，取得正确的结果，使后人惊叹不已．
各篇著作的主要内容
(一)《论球与圆柱》
这是他的得意杰作，包括许多重大成就．序言是阿基米德给多西修斯(Dositheus)的信，后者是科农的学生和朋友．阿基米德的著作，过去一向是通过科农转给亚历山大的学者的．科农去世后，改由多西修斯代办．在《抛物线图形求积法》的序言中，阿基米德已经说明了这一点：“惊悉科农去世，我十分悲痛，这不仅仅因为失去一位好友，而且失去
一位令人钦佩的数学家．你是他的朋友，而且精通几何，转交论文的任务，现在请你代劳”．以后好几篇著作都是先寄给多西修斯的．
在《论球与圆柱》的序言中，首先指出本篇的主要内容和成就，接着给出6个定义．阿基米德在这里将“定义”说成“公理”．按其性质来说应该是定义，后来欧托基奥斯在注中说明这一点．
下面给5个假定，相当于公理．例如
1．在端点相同的所有线(包括曲线、直线)中，以直线为最短．
2．在以相同的平面曲线为边界的曲面中，以平面的面积为最小． 特别重要的第5个公理，这就是后来以阿基米德的名字命名的公理：如果两条线段或两个面、两个立体不相等，就可以在两者之差的上面，加上它的本身，一次一次加上去，使得每一个预先给定的同类量都被超过．在现代分析学中常用的说法是：对于任意二正实数 a，b，必存在自然数n，使得na＞b．
从这些定义和公理出发，推导出上卷44个，下卷9个命题．多次使用阿基米德公理及反证法(归谬法)，如要证A=B，则证明A＞B及AB．根据命题6，可作B的外切正多边形Cn(同时表示其面积，下同)
与内接正边形In，使得
又作底面A的相同边数的外切正多边形Dn，其周长记作Pn．以Dn为底，
Dn，Cn是相似的，其比等于对应线段平方之比，
由此知Cn=Ln，代入上面的不等式有
这是不合理的，因为圆锥侧面积S小于其外切棱锥侧面积Ln，而圆B大于其内接多边形面积In．同理可证SK，作边数足够多的内接正多边形In，使其面积In与圆面积S之差
S-InK．
这是不合理的，因为In的边心距dn2a
＞2[a＋2a＋3a＋?+(n-1)a]．
如用求和公式，左端是n(n+1)a，右端是(n-1)na，不等式成立是明显的．
第2个是自然数平方和公式，先证明
(n＋1)(na)2+a(a＋2a＋3a＋?+na)
=3[a2+(2a)2+(3a)2+?+(na)2]，
由此可知
a2＋(2a)2+(3a)2+?＋(na)2
写成不等式
3Sn-1a2V*，
Sn-InV而InS＞In又根据自然数平方和的不等式，并注意到弓形面积公
，
有
以任意小．
可
应用前面多次用过的反证法，可证S=S*．否则，如S＞S*，则可使
Cn-InS，而Iny2．过P1P2
中点M作MV‖抛物线的轴OX，交抛物线于V，V是抛物弓形P1VP2的顶点，即过V的切线‖于P1P2，ΔP1VP2与弓形同底等高(命题1与18已证)．现要证明弓形面积S是ΔP1VP2面积的4/3．
过VP1中点M1作M1Q1‖OX交抛物线于Q1，过P2V中点M2作
称ΔP1VP2为1级三角形，面积记作Δ1，ΔP1Q1V及ΔP2VQ2称为2
VQ2，Q2P2之上作4个3级三角形，其面积总和为Δ3，同样可证
这手续可以继续下去，直到作出n级三角形，其面积的总和
由此知
又
前面的命题已证明，内接三角形的级数越多，In越大，S-In越小，同时Δn也越小，以至小于任给的正数．
或
这与前面的不等式矛盾．
In＞S
这也是不合理的，因In是内接三角形面积之和，应有In＜S．综上所述，
(八)《论浮体》
这是古代第一部流体静力学著作，阿基米德因此而被尊为流体静力学的创始人．20世纪之前，本书只有莫贝克13世纪时的拉丁文译本，1906年，海伯格发现了羊皮纸上的希腊原文，但不完全．现传的本子是两种文字参照编成的．
卷上命题7给出著名的“阿基米德原理”：重于流体的固体，放在流体中，所减轻的重量等于排去流体的重量．这原理因和他解决王冠问题联系起来而脍炙人口．
卷下的10个命题相当详细地讨论了正回旋抛物体在流体中的稳定性，研究了不同的高与底的比、具有不同的比重及在流体中处于不同位置时这种立体的性态．在推理中运用了高度的计算技巧． (九)《引理集》
只有阿拉伯文译本传下来，是15个初等几何的问题集．也许不是阿基米德的原著而是后人收集整理的，因为在文章中不止一次提到阿基米德的名字．其中提出一种被称为“皮匠刀”(shoe-maker’s knife)的图形，是三个半圆所包围的部分，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆．这图形有许多奇妙的性质，如通过两小圆的外切点C，作CP⊥大圆直径AB(三个圆的直径是重合的)交大圆于P，则“皮匠刀”AGCBPA的面积等于以CP为直径的圆面积．又可以作两个小圆，分别切于CP、大圆及一个小圆，可证这两个小圆相等．设HE是‖于AB的一个小圆的直径，则切点F与H，A共线，F与E，B也共线．E是ΔABD的垂心，从A向DB作垂线，垂足I必落在大圆周上．又AE，HC必过切点G，等等。还有许多其他的性质． 命题8和3等分角问题有关．设AB是⊙O的任一弦，延长AB至C使BC等于圆的半径．联CO并延长之使交圆于E，D．求证
联OA，OB，只要证明∠AOE=3∠BOD即可．实际上∠AOE=∠OAC+∠OCA=∠OBA＋∠OCA=∠BOC＋2∠OCA=3∠BOD．
现将问题倒过来考虑．设有∠AOE，求它的三等分角．这就是古希腊的三大作图问题之一的“三等分任意角”问题．从理论上说用直尺和圆规是不可能解决的．受到本命题的启发，只要在直尺上加一个点，就能轻而易举地解决这历史难题．
在直尺ABC上记上一个点B，使B至尺端C的距离等于半径．现令尺通过A点，B在圆周上移动，当C落在直径的延长线EDC上时，作ABC直线，则∠C就是所求的三等分角．
当然这已不是欧几里得几何的尺规作图法，因为工具已经改变(即使只加一点！)，而且不合作图公法．不过它说明了一个问题，有些初学者只知道三等分角是难题，但不知难在尺规的限制上，如不限于尺规、那真是易如反掌．
(十)《群牛问题》
阿基米德的论文向来是以命题的形式来表达的，而这篇的体例不同，它是用诗句写成的(原文见[7]，p．203)．标题是给埃拉托塞尼的信．胡尔奇(Hultsch)曾猜想这是阿基米德“显本领”(tour de force)之作，以此向亚历山大的学者们(特别是阿波罗尼奥斯)挑战．但它的真实性颇值得怀疑，“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已．诗句也未必出自他的手．内容如下：
太阳神赫利俄斯(Helios)有一大群牛在西西里岛草原上放牧．公牛和母牛各有4种颜色，各种头数之间的关系如下：令W，w分别表示白色公牛、母牛的头数；
X，x?????黑色?????；
Y，y?????黄色?????；
Z，z?????花色?????．
要求
个三角形．倒数第2个条件是含混的，原话是“黑色和白色的公牛可以合起来排成一个方形，长与宽是相等的”．有两种可能解释，一是长与宽的数目相等，即
W+X=n2(完全平方数)；
另一是方形的两个边长相等，但由于牛的身长与体宽不一样，方形两个边的数目并不相等，条件成为①①这种解释也很牵强，因为要挤成一个正方形，还需要考虑身长与体宽的比，故右端不是任意两个正整数之积mn而是kn2(k是常数)，这样问题并没有化简．
W＋X=mn．
后一种情形较易解决，称为“较简问题”，而前一种情形称为“完全问题”．
“较简问题”已由Jul．Fr．武尔姆(Wurm)解决．“完全问题”在1880年为阿姆托尔(Amthor)所解决．即使较简问题，牛的总数也已达到5916837175686头之多！而完全问题导致2元2次方程
t2-4729494u2=1．
最小解牛的总数是7 766×10206544，位数超过20万！当时阿基米德未必解得出来．
其他工作
(一)半正多面体(semi－regular polyhedron)
帕波斯在《数学汇编》中记述阿基米德发现了13种半正多面体．各个面是若干个不同类的正多边形，但同一类的都相等．例如12个相等的正5边形和80个相等的三角形构成一个92面体；6个正8边形，8个正6边形，12个正方形构成26面体；26面体又可以由18个正方形和8个正三角形构成．如此等等．
(二)三角形面积公式
阿拉伯数学家比鲁尼(Abū’l Raihān Muhammad al-Bīrūnī，973—1050？)记述，阿基米德发现了用边表三角形面积的公式
s是三角形三边a，b，c之和之半，这公式通常归功于海伦(He-ron，62年前后)，并称为海伦公式．
(三)正7边形作图法
另一个阿拉伯数学家塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，826—901)指出，阿基米德发现正7边形的作图法．自然不是尺规作图，可惜方法已失传，
(四)天文学方面
阿基米德对天文学也深有研究，但著作没有留下来．西塞罗的书记载马塞勒斯攻占叙拉古时，曾获得两座阿基米德制作的天文仪器．一座是天球仪，上刻各个星座，后放置在神庙中．另一座为加卢斯(Gain
Sulpicius Gallus，公元前166年为罗马执政官)所有．可称为天象仪(planetarium)，借助机械或水力表演日、月、行星的运行，还可以演示日、月食．
(五)阿基米德螺旋泵
历史学家狄奥多罗斯(Diodorus Siculus，公元前1世纪)记载阿基米德在埃及时，发明一种螺旋水泵，被埃及人广泛使用．
结束语
历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理，有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领域的开拓却徘徊不前．阿基米德则兼有二者之长，他将惊人的独创与严格的论证融为一体，更善于将计算技巧与逻辑分析结合起来．正确地注意理论与实际的联系，常常通过实践直观地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论(如浮力问题)，再用理论去指导实际工作(如发明抗敌器械)．在严格性方面，实超过了15—17世纪的分析学家，他的理论比牛顿、莱布尼茨更加接近柯西、外尔斯特拉斯的ε-δ方法(例如阿基米德公理及穷竭法的使用)．只是没有强大的生产需求和适宜的社会环境，未能进一步发展起来．
这位独步千古的科学家，还具有崇高的爱国热忱，在祖国危亡的紧急关头，献出了自己的一切．他的爱国精神和爱科学的精神同样为万世所景仰．
范文三：阿基米德数学成就
阿基米德在平面几何方面的数学贡献
(1)开创计算 π的古典算法阿基米德把 π取作 7
13 (2)证明圆的面积等于以圆的周长为底,半径为高的三角形的面积 (3)证明任何直线所截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的
34
D 为 AC 中点, 3
4?=?ABC S S 抛物弓形 (4) 发现阿基米德原理,定义阿基米德螺线 αθρ=, 并证明螺线第一圆与初始线围成的 面积等于半径为 πα2的圆的面积的
31 (5)椭圆与圆的面积之比
(6)海伦公式 c p b p a p p S ---=,其中, ) (2
1c b a p ++= (7)鞋匠的刀型问题
图中阴影部分的面积 =以 FD 为直径的圆的面积。
阿基米德在立体几何方面的数学贡献
(1)任意圆柱的侧面积等于以圆柱的高和底面直径为比例中项为半径的圆的面积
(2)任意圆锥的表面积等于以圆锥母线和底面半径的比例中项为半径的圆的面积。
(3)球的表面积等于大圆面积的 4倍
(4) (圆柱容球 -阿基米德墓碑上的雕刻 )以球的大圆为底,圆的直径为高的圆柱,其体积 是球的体积的 23, 其表面积(包括上下底)是球表面积的 2
3。 (5)球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆的面积。
(6)椭圆、抛物线、双曲线绕轴旋转生成的旋转体的体积公式。
【阿基米德在代数方面的数学贡献】
(1)前 n 个自然数的平方和公式。
(2)无穷递缩等比数列的和。
范文四：阿基米德的名言
阿基?米德的名?言?
?
Eur?ek?a!??尤里卡?! ?
给我?一个?支点?，我?就能??撬动地球?。?
即使?对于?君主?，研?究学?问的?道路?也是?没有?捷径??的。 ?
不要动?我的??图! ?阿基米?德的?名言? ?
扩展阅?读?:关于?阿基?米德?的个?人著?述?
阿基?米德?流传?于世?的数?学著?作有?10?余种?，多?为希?腊文?手稿?。他?的?著作集?中探?讨了?求积??问题，主?要是?曲边?图形?的面?积和?曲面?立方??体的体?积，其?体例?深受?欧几?里德?《几?何原?本》?的影?响，?先是?设立?若干?定义?和?假?设，再依?次证?明。? ?
作为数?学家?，他?写出?了《?论球?和圆?柱》?、《?圆的?度量?》、?《抛?物?线求积?》、?《论?螺线?》、?《论?锥体??和球体》?、《?沙的?计算?》数?学著??作。作为??力学家，?他著?有《?论图?形的?平衡?》、?《论??浮体》、?《论?杠杆?》、?《原?理》?等力?学著??作。 ?
其中《?论球?与圆?柱》?，这?是他?的得?意杰?作，?包括?许多?重大?的成??就。他从?几个?定义?和公?理出?发，?推出?关于?球? 与圆??柱面积体?积等?50?多个??命题。《?平面?图形??的平衡或?其重?心》?，从?几个?基本?假设?出发??，用严格??的几何方?法论?证力?学的?原理?，求??出若干平?面图?形的?重心?。《?数沙?者》?，设??计一种可?以表?示任?何大?数目?的方?法，?纠正??有的人认?为沙?子是?不可??数的，即?使可?数也??无法用算?术符?号表?示的?错误?看法?。《?论浮??体》，讨??论物体的?浮力?，研?究了?旋转?抛物??体在流体?中的?稳定?性。?阿基?米德?还提??出过?一个 ?群牛问?题? ，含?有八?个未?知数??。最后归?结为?一个?二次?不定?方?程。其?解的?数字?大得?惊人?，共?有二?十多?万位?! ?
《砂?粒计?算》?，是?专讲?计算?方法?和计?算理?论的?一本?著作?。阿?基米??德要计算?充满?宇宙?大球?体内?的砂?粒数?量，?他运?用了?很奇?特的?想象?，建??立了新的?量级?计数?法，?确定?了新?单位?，提?出了?表示?任何?大数?量的?模式?，这?与对?数运?算是?密切?相关?的。? ?
《圆的?度量?》，?利用?圆的?外切?与内??接96?边形，?求得?圆周?率? 为:? ?
? 22?7 ?22?37? ?
?1?，这是??数学史上?最早?的，?明确?指出?误差?限度?的? 值。?他还?证明??了圆面积?等于?以圆?周长?为底?、半?径为?高的?等腰?三角?形的?面积?;?使用的?是?穷竭法?。?
《球?与圆?柱》?，熟?练地?运用?穷竭?法证??明了球的?表面?积等?于球?大圆??面积的四?倍?;球的?体积?是一?个圆?锥体?积的?四倍?，这?个圆?锥的?底等?于球?的?大圆，?高等?于球?的半?径。?阿基?米德??还指出，?如果?等边?圆柱?中有?一个?内?切球，?则圆?柱的?全面?积和?它的?体积?，分?别为?球表?面积?和体?积的?三分?之?二。在?这部?著作?中，?他还?提出??了著名的? ?阿基米?德公?理? 。?
《抛?物线?求积?法》?，研?究了?曲线?图形?求积?的问?题，?并用?穷竭?法建??立了这样?的结?论:? ?
? ?任何由?直线?和直?角圆?锥体?的截?面所?包围?的弓?形，?其面?积都?是?其同底?同高?的三?角形?面积?的三??分之四。? ?他还用?力学?权重?方法?再次?验证??这个结论?，使?数学?与力?学成?功地?结合?起来?。?
?《论螺线?》，?是阿?基米?德对?数学?的出?色贡?献。??他明确了?螺线?的定??义，以及?对螺?线的??面积的计??算方法。?在同?一著?作中?，阿?基米?德还?导出??几何?级数和算?术级?数求?和的?几何?方法?。?
《平?面的?平衡?》，?是关?于力?学的?最早?的科?学论?著，?讲的?是确?定平??面图形和?立体?图形?的重?心问?题。? ?
《浮体?》，?是流?体静?力学?的第?一部?专著?，阿?基米?德把?数学?推理?成?功地运?用于?分析?浮体?的平?衡上?，并?用数?学公?式表?示浮?体平?衡的?规律?。?
《论?锥型?体与?球型?体》?，讲?的是?确定?由抛?物线?和双?曲线?其轴?旋转??而成的锥?型体?体积?，以?及椭?圆绕?其长?轴和?短轴?旋转?而成?的球??型体体积?。?
除此?以外?，还?有一?篇非??常重要的?著作?，是?一封?给埃??拉托斯特?尼的??信，内容?是探?讨解?决力?学问?题的?方法?。这?是?190??6年丹麦?语言?学家?J.?L.??海贝格在?土耳?其伊?斯坦?布尔?发现?的一??卷羊皮纸?手稿?，原?先写?有希?腊文?，后?来被?擦去?，重?新写?上宗?教的?文字?。幸?好原?先的?字迹?没有?擦干?净，??经过仔细?辨认?，证?实是?阿基?米德??的著作。?其中?有在?别处?看到?的内?容，??也包括过?去一?直认?为是?遗失?了的?内容?。后?来以?《阿?基米?德方?法》?为名??刊行于世?。它?主要?讲根?据力??学原理去?发现?问题?的方?法。?他把?一块?面积??或体积看?成是?有重?量的?东西?，分?成许?多非?常小?的长?条或?薄片?，然?后用??已知面积?或体?积去?平衡??这些 ?元素? ，找?到了?重心?和支?点，?所求?的面?积?或体积?就可??以用杠杆?定律?计算?出来?。他?把这?种方?法看?作是?严格?证明?前?的一种??试探性工?作，?得到?结果?以后?，还?要用?归谬?法去?证明?它。? ?
?
范文五：阿基米德的死
人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”。常言道，知音难觅，寻找亲和数更使数学家绞尽了脑汁。亲和数是数论王国中的一朵小花，它有漫长的发现历史和美丽动人的传说。
亲和数是一种古老的数。
遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。
据说，毕达哥拉斯(Pythagoras, 希腊文Πυθαγ?ρα?，约前580年—前500年)的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密。”又说“什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我。”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”。从此，把220和284叫做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”。这就是关于“亲和数”这个名称来源的传说。220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数
首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境。数学家们仍然没有找到第二对亲和数。直到费尔马(P．de Fermat，1601-1665)才发现了另一对亲和数：17296和18416。
距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费尔马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明。两年之后，“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔(René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。
在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆。可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了。
正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷。1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后
来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程。
欧拉
欧拉采用了新的方法，将亲和数划分为五种类型加以讨论。欧拉超人的数学思维，解开了令人止步2500多年的难题，使数学家拍案叫绝。 时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了。这戏剧性的发现使数学家如痴如醉。 麦达其和叶维勒汇
在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数。到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位。同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数。 在找到的这些亲和数中，人们发现，亲和数发现的个数越来越少，数位越来越大。同时，数学家还发现，若一对亲和数的数值越大，则这两个
数之比越接近于1，这是亲和数所具有的规律吗？人们企盼着最终的结论。
电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史。有人在计算机上对所有100万以下的数逐一进行了检验，总共找到了42对亲和数，发现10万以下数中仅有13对亲和数。但因计算机功能与数学方法的不够，目前还没有重大突破，但是，寻找亲和数未来正等待着不畏艰辛的数学家和计算机专家，同时，发现新的亲和数的捷报也正等待着不畏艰辛的数学家和计算机专家。
人们还发现每一对奇亲和数中都有3，5，7作为素因数。1968年波尔.布拉得利(P.Bratley)和约翰.迈凯(J.Mckay)提出：所有奇亲和数都是能够被3整除的。1988年巴蒂亚托(S.Battiato)和博霍(W.Borho)利用电子计算机找到了不能被3整除的奇亲和数，从而推翻了布拉得利的猜想。他找到了15对都不能被3整除的奇亲和数，最小的一对是：a=s*140453*85857199和 b=s*56099*214955207
将各个因数其乘起中来
和s=5^4*7^3*11^3*13^2*17^2*19*61^2*97*107.a=353804384422460183965044607821130625
b=353808169683169683168273495496273894069375.
它们都是36位大数。作为一个未解决的问题，巴蒂亚托等希望有人能找到最小的。另一个问题是是否存在一对奇亲和数中有一个数不能被3整除。
还有一个欧拉提出的问题，是否存在一对亲和数，其中有一个奇数，另一个是偶数？因为现在发现的所有奇偶亲和数要么都是偶数，要么都是奇数。200多年来尚未解决。
编辑本段亲和数的研究
主要有两方面：
(1)寻找新的亲和数。
(2)寻找亲和数的表达公式。
关于后一项工作，早在9世纪，阿拉伯的学者泰比特(TabitibnQorra)就提出了一个构造亲和数的公式：
设 a=3*2^x-1, b=3*2^(x-1)-1,c=9*2^(2x-1)-1，这里x是大于1的自然数，如果a、b、c全是素数的话。那么2^x*ab与2^x*c。便是一对相亲和数。
例如，取x=2,得a=5,b=11,c=71,则2^2*5*11=220和2^2*71=284是一对亲和数。
第二对最小的亲和数(1184，1210)竟然被数学家们遗漏了，直到1886年才由意大利的一位16岁男孩发现。
亲和数还可以推广为若干个数组成的亲和数链，链中的每一个数的真约数之和恰好等于下一个数。如此连续，最后一个数的真约数之和等于第一个数。目前发现的最大的亲和数链由28个数构成，这个链的第一个数是14316。
亲和数列举：
220，284/1184，1210/2620，2924/5020，5564/6232，6368/10744，
10856/12285，14595/
17296，18416/63020，76084/66928，66992/67095，71145/69615，
87633/79750，88730/
100485，124155/122265，139815/122368，123152/141664，153176/142310，168730/
171856，176336/180848，176272/185368，203432/196724，202444/280540，365084/
308620，389924/319550，430402/356408，399592/437456，455344/469028，486178/
503056，514736/522405，525916/600392，669688/609928，686072/624184，691256/
635624，712216/643336，652664/667964，783556/726104，796696/802725，863835/
879712，901424/898216，980984/947835，1125765/9980104，
1043096/9363544，9437056
最长链：
14316 - 19116 - 31704 - 47616 - 83328 - 177792 - 295488 - 629072 - 589786 - 294896 - 358336 - 418904 - 366556 - 274924 - 275444 - 243760 - 376736 - 318028 - 285778 - 152990 - 122410 - 97946 - 48976 - 45946 - 22976 - 22744 - 19916 - 17716 – 14316
《辞海》“学派”词条解为：“一门学问中由于学说师承不同而形成的派别。”这是指传统的“师承性学派”。因师承传授导致门人弟子同治一门学问 而可以形成“师承性学派”，同样，因以某一地域，或某一国家，或某一民族，或某一文明，或某一社会，或某一问题为研究对象而形成具有特色的学术传统的一些学术群体，同样可称为“学派”，或曰“地域性学派”（包括院校性学派），或曰“问题性学派”，例如近代后西方经济
