特殊的平行四边形讲义

范文一：特殊的平行四边形讲义

第五讲：四边形证明初步

板块一：平行四边形 1．平行四边形的性质

（1）两组对边分别平行且相等；（2）对角相等，邻角互补；（3）对角线互相平分 2．平行四边形的判定

（1）两组对边分别平行的四边形；（2）两组对边分别相等的四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形；（4）两条对角线互相平分的四边形；

板块一之例题精讲：

例1【教材6题】已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E 、F 、G ．若BE =5，EF =2，则FG 的长为__________

例2【教材13题】在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =4，分别以△ABC 三边为边作等边三角形（如图所示），求四边形DCEF 的面积．

板块二：特殊的平行四边形常考知识点：（1）菱形：

性质：四条边都相等；对角线互相垂直；每一条对角线平分一组对角．

判定：有一组邻边相等的平行四边形；四条边都相等的四边形；对角线互相垂直的

平行四边形．

（2）矩形：

性质：对角线相等；四个角都是直角．

判定：有一个内角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形．

（3）正方形：

性质：四条边都相等；四个角都是直角；两条对角线相等且互相垂直．判定：有一个内角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．

板块二之例题精讲

例1【教材10题】如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD

+PE 的和最小，则这个最小值为（）

C.3 D.

例2【教材15题】如图，在矩形ABCD 中，延长BC 到E ，使BE =BD ，F 为DE 的中点，连接AF 、CF ，求证AF ⊥CF ．

例3【教材17题】如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；

（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；

（3）当点O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？

板块三：梯形常考知识点：

（1）常用辅助线的添加方法；（2）中位线：（上底+下底）÷2 （3）面积：①（上底+下底）×高÷2

② 中位线长×高

板块三之例题精讲：

例1【教案第7题】如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，设AD =a ，BC =b ，则四边形AEFD 的周长是（）

例2【补充】：已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B =60°，AB =BC ，E 是AB 上的一点，且∠DEC =60°，求证：AD +AE =AB

测试题

【作业1题】如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD

于F ，∠EAF =45°，且AE +AF ABCD 的周长是。

【作业2题】如图，在等腰三角形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =4AD

B =45°，直角三角板含45°角的顶点E 在边 BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ，若△为等腰三角形，则CF 的长为。

【作业6题】四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE ，CG ．（１）求证：AE =CG

（２）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想。

范文二：特殊的平行四边形复习讲义

考试考点综述：

特殊的平行四边形讲义

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：

1. 矩形、菱形性质及判定的应用 2. 相关知识的综合应用

教学过程知识点归纳

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．

矩形的性质

性质1 矩形的四个角都是直角；

性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

矩形的判定

矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为60，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A ．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G

，?H，求证：?四边形EFGH 是矩形．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．

例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．

求证：四边形AFCE 是菱形．

例3、如图，在 ABCD

中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分

别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.

F A

例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、

BD 交于M ，若AB=AE,

∠

EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE。

B E

M C

例5．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°, AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．(1)求线段BE 的长．

例6、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称正方形的判定方法：

? (1)有一个角是直角的菱形是正方形；

? (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． ? 注意：1、正方形概念的三个要点： ? （1）是平行四边形； ? （2）有一个角是直角； ? （3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1 已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A 、C 两点作l 1∥l 2，作BM ⊥l 1于M ，DN ⊥l 1于N ，直线MB 、DN 分别交l 2于Q 、P 点．

求证：四边形PQMN 是正方形．

例3、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

1. 对角线互相垂直平分的四边形是（） A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 2. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（） A . 等腰梯形 B . 正方形 C . 平行四边形 D . 矩形

D ．菱形、正方形

3. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形

C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD时，它是正方形

ＢＤ

4. 如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ．下列四个判断中，不正确的是（）．．．

A ．四边形AEDF 是平行四边形

B ．如果∠BAC =90，那么四边形AEDF 是矩形

C ．如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形

D ．如果AD ⊥BC 且AB =AC ，那么四边形AEDF 是菱形

5. 如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD =6，则AF 等于（） A

．

． C

．

D ．8

Ａ

A D

ＢＦ

6. 如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于E ，F 点，连结CE ，则△CDE 的周长为（） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm

7. 在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为

8. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD =120，AB =2.5，则AC 的长为．

9. 边长为５cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是 .

10. 如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）． D A D

11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是． 12. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ．

（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

D A B

E 第12

题图

13. 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．

B C

图1

B C

D 1

B C

图3

图4

C 1图2

(1)四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________． (2)如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________． (3)在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)

应用探究：

1. 如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若∠DBC =22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 C B

C '

B M

2. 如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（）

1243

B ． C ． D ．

35910

3. 已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）

A ． A

C D B A

D A

A ． B ． C ． D ．

4. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志. 将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______cm

E G

B F C

5. 如图，将矩形纸ABCD

的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH ，

若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.

6. 如图，已知∠AOB ，OA =OB ，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线（请保留画图痕迹）．

A D

E B

7. 如图：矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC．若将纸片沿AE 折叠，点

B 恰好落在AC 上，则AC 的长是．

范文三：特殊的平行四边形复习讲义(2)123

知识点归纳

特殊的平行四边形复习讲义

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1 矩形的四个角都是直角；

性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D. 邻角互补例3：已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，?H，求证：?四边形EFGH 是矩形．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．

例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC

分别交于

、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．

例3、如图，在 ABCD 证：四边形AFCE 是菱形.

中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求

例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE。

例5（中考题）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°, AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．

求线段BE 的长．

例6。如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对．．．．．．．．．．．．．．．．．．角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：

? (1)有一个角是直角的菱形是正方形； ? (2)有一组邻边相等的矩形是正方形． ? 注意：1、正方形概念的三个要点： ? （1）是平行四边形；

? （2）有一个角是直角； ? （3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形. 例1 已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A 、C 两点作l 1∥l 2，作BM ⊥l 1于M ，DN ⊥l 1于N ，直线MB 、DN 分别交l 2于Q 、P 点．求证：四边形PQMN 是正方形．

例3、（2011海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；

（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

E C

实战演练：

1. 对角线互相垂直平分的四边形是（） A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形

C ．矩形、正方形

D ．菱形、正方形 D . 矩形

2. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（） A . 等腰梯形 B . 正方形 C . 平行四边形

3. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A ．当AB=BC时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形

C ．当∠ABC=90时，它是矩形 D ．当AC=BD时，它是正方形

3图 4图 5图 6图

4. 如图，在△A B C 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，B C ，C A 上，且D E ∥C A ，D F ∥B A ．下列四个判断中，不．正确的是（）．．

A ．四边形AED F 是平行四边形

B ．如果∠BAC =90 ，那么四边形AED F 是矩形

C ．如果A D 平分∠B A C ，那么四边形AED F 是菱形

D ．如果A D ⊥B C 且A B =A C ，那么四边形AED F 是菱形

5. 如图，四边形为矩形纸片．把纸片A B C D 折叠，使点B 恰好落在C D 边的中点E 处，折痕为A F ．若C D =6，则A F 等于（Ａ）A

．Ｄ

． C

．

D ．8

6. 如图，矩形A B C D 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作A C 的垂线EF ，分别交A D ，B C 于E ，F 点，连结C E ，则△C D E 的周长为（）A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7. 在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为

图

8. 如图，在矩形A B C D 中，对角线A C ，B D 交于点O ，已知∠AOD =120，AB =2.5，则A C 的长为． 9. 边长为５cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是 .

10. 如图所示，菱形A B C D 中，对角线A C ，B D 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形A B C D 成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）． D A D

图图 C

C B

11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是．

12. 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．

B C

图1

B C

D 1

B C

图3

图4

C 1图2

(1)四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．

(2)如图2，将Rt △BCD 沿射线BD

方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．

(3)在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)

13. 如图，将矩形A B C D 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交A D 于E ，若∠D B C =22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（） A ．6个

B ．5个

B C ．4个 D ．3个

C '

图图 D B M

14. 如图，正方形A B C D 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（） A ．

310

B ．

C ．

D ．

15. 已知A C 为矩形A B C D 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）

D A

C D

B A

C B

A ． B ． C ． D ．

16. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志. 将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______cm .

E G

B F C

17. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.

18. 如图，已知∠AO B ，O A =O B ，点E 在O B 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠A O B 的平分线（请保留画图痕迹）．

O E B

18图

19图

19. 如图：矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是．

20. 如图，矩形A B C D 中，O 是A C 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与A B ，C D 的延长线分别交于E ，F ．（1）求证：△B O E ≌△D O F ；

F （2）当EF 与A C 满足什么关系时，以A ，E ，C ，

F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

B E

第20题图

范文四：特殊的平行四边形复习讲义 (1)

特殊的平行四边形复习讲义

考试考点综述:

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形, 它们是初二的必考内容之一, 主要出现的题型多样,注重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括:矩形、菱形、正方形的性质与判定, 以及相关计算, 了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,通过定理的证明和应用的教学, 使学生逐步学会分别从题设和结论出发, 寻找论证思路分析法和综合法。重难点:

1. 矩形、菱形性质及判定的应用

2.相关知识的综合应用

教学过程

知识点归纳

矩形定义:有一角是直角的平行四边形叫做矩形.

【强调】矩形(1)是平行四边形; (2)一一个角是直角.

矩形的性质

性质 1矩形的四个角都是直角;

性质 2 矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。;

矩形的判定

矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形.

注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形; (2)对角线相等矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形.

矩形判断方法 3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例 1:若矩形的对角线长为 8cm ,两条对角线的一个交角为 600,则该矩形的面积为例 2:菱形具有而矩形不具有的性质是 ()

A . 对角线互相平分; B.四条边都相等; C.对角相等; D.邻角互补

例 3: 已知:如图, □ ABCD 各角的平分线分别相交于点 E , F , G , ?H , ? 求证:? 四边形 EFGH 是矩形.

菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

【强调】菱形(1)是平行四边形; (2)一组邻边相等.

菱形的性质

性质 1 菱形的四条边都相等;

性质 2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;

菱形的判定

菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形; (2)两条对角线互相垂直.

菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形.

例 1 已知:如图,四边形 ABCD 是菱形, F 是 AB 上一点, DF 交 AC 于 E . 求证:∠ AFD=∠ CBE .

例 2已知:如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD

、

分别交于 E 、 F . 求证:四边形 AFCE 是菱形.

ABCD 中, O 是对角线 AC 的中点,过点 O 作 AC 的垂线与边 AD 、

例 3、如图 , 在

BC 分别交于 E 、 F ,求证:四边形 AFCE 是菱形 .

例 4、已知如图,菱形 ABCD 中, E 是 BC 上一点, AE 、 BD 交于 M

, 若 AB=AE,∠ EAD=2∠ BAE 。求证:AM=BE。

例 5. 如图, 在菱形 ABCD 中, ∠ A =60°, AB =4,O 为对角线 BD 的中点, 过 O 点作 OE ⊥ AB , 垂足为 E .

(1)求线段 BE 的长.

B M A

例 6、如图,四边形 ABCD 是菱形, DE ⊥ AB 交 BA 的延长线于 E , DF ⊥ BC ,交 BC 的延长线于 F 。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系?并证明你的猜想

例 7、

如图,菱形 ABCD 的边长为 2, BD=2, E 、 F 分别是边 AD , CD 上的两个动点,且满足 AE+CF=2.

(1)求证:△ BDE ≌△ BCF ;

(2)判断△ BEF 的形状,并说明理由;

(3)设△ BEF 的面积为 S ,求 S 的取值范围

正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:

①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)

②有一个角是直角的平行四边形 (矩形)

正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.

正方形定义:有一组邻边相等

...... 并且有一个角是直角

....... 的平行四边

.... 形 . 叫做正方形.

正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴;

因为正方形是平行四边形、矩形, 又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合, 正方形的性质总结如下:

边:对边平行,四边相等;

角:四个角都是直角;

对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是 45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.

正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.

正方形的判定方法:

? (1)有一个角是直角的菱形是正方形; ? (2)有一组邻边相等的矩形是正方形. ? 注意:1、正方形概念的三个要点: ? (1)是平行四边形; ? (2)有一个角是直角; ? (3)有一组邻边相等.

2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形 .

例 1 已知:如图,正方形 ABCD 中,对角线的交点为 O , E 是 OB 上的一点, DG ⊥ AE 于 G , DG 交 OA 于 F . 求证:OE=OF.

例 2 已知:如图, 四边形 ABCD 是正方形, 分别过点 A 、 C 两点作 l 1∥ l 2, 作 BM ⊥ l 1于 M , DN ⊥ l 1于 N ,直线 MB 、 DN 分别交 l 2于 Q 、 P 点.

求证:四边形 PQMN 是正方形.

例 3、如图, P 是边长为 1的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点(P 与 A 、 C 不重合),点 E 在射线 BC 上,且 PE=PB. (1)求证:① PE=PD ; ② PE ⊥ PD ; (2)设 AP =x , △ PBE 的面积为 y .

① 求出 y 关于 x 的关系式,并写出 x 的取值范围; ② 当 x 取何值时, y 取得最大值,并求出这个最大值 .

实战演练:

1. 对角线互相垂直平分的四边形是( ) A .平行四边形、菱形 B .矩形、菱形 C .矩形、正方形 D .菱形、正方形 2. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 ( ) A . 等腰梯形 B . 正方形 C . 平行四边形 D . 矩形

3. 如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A . 当 AB=BC时,它是菱形 B . 当 AC ⊥ BD 时,它是菱形

C . 当∠ ABC=900时,它是矩形 D . 当 AC=BD时,它是正方形

4. 如图,在 ABC △ 中,点 E D F , , 分别在边 AB , BC , CA 上,且 DE CA ∥ , DF BA ∥ .下列四个判断中,不正确 ...

的是( )

D B

A .四边形 AEDF 是平行四边形 B .如果 90BAC ∠=,那么四边形 AEDF 是矩形

C .如果 AD 平分 BAC ∠,那么四边形 AEDF 是菱形

D .如果 AD BC ⊥且 AB AC =,那么四边形 AEDF 是菱形

5. 如图, 四边形 ABCD 为矩形纸片. 把纸片 ABCD 折叠, 使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处,折痕为 AF .若 6CD =,则 AF 等于( ) A

. C

D . 8

6. 如图, 矩形 ABCD 的周长为 20cm , 两条对角线相交于 O 点, 过点 O 作 AC 的垂线 EF , 分别交 AD BC , 于 E F , 点,连结 CE ,则 CDE △ 的周长为( ) A . 5cm B . 8cm C . 9cm D . 10cm

7. 在右图的方格纸中有一个菱形 ABCD (A 、 B 、 C 、 D 四点均为格点), 若方格纸中每个最小正方形的边长为 1,则该菱形的面积为

8. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC BD , 交于点 O ,已知 1202.5AOD AB ∠==, , 则 AC 的长为 .

9. 边长为5cm 的菱形,一条对角线长是 6cm ,则另一条对角线的长是 .

10. 如图所示,菱形 ABCD 中,对角线 AC BD , 相交于点 O ,若再补充一个条件能使菱形 ABCD 成为正方形,则这个条件是 (只填一个条件即可).

11. 如图, 已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点, 且 BP = BC , 则∠ ACP 度数是 .

12. 如图,矩形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交点,过 O 点的直线 EF 与 AB CD , 的延长线分别交于 E F , .

(1)求证:BOE DOF △ ≌△ ; (2) 当 EF 与 AC 满足什么关系时, 以 A E C F , , , 为顶点的四边形是菱形?证明你的结论.

B F C

A D C

C B

D A F

D A

13. 将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1摆放在一起,设较短直角边为 1.

(1)四边形 ABCD 是平行四边形吗?说出你的结论和理由:________________________. (2)如图 2,将 Rt △ BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt △ B 1C 1D 1的位置,四边形 ABC 1D 1是平行四边形吗?说出你的结论和理由:_________________________________________. (3)在 Rt △ BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中,当点 B 的移动距离为 ______时,四边形 ABC 1D 1为矩形,其理由是 _____________________________________;当点 B 的移动距离为 ______时, 四边形 ABC 1D 1为菱形, 其理由是 _______________________________. (图 3、图 4用于探究 )

应用探究:

1. 如图,将矩形 ABCD 纸片沿对角线 BD 折叠,使点 C 落在 C '处, BC '交 AD 于 E ,若 22.5DBC ∠=°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中 45°的角(虚线也视为角的边) 有( ) A . 6个 B . 5个 C . 4个 D . 3个

2. 如图,正方形 ABCD 的面积为 1, M 是 AB 的中点,则图中阴影部分的面积是( )

A . 3

B . 13 C . 25 D . 49

3. 已知 AC 为矩形 ABCD 的对角线,则图中 1∠与 2∠一定不相等的是( )

图 4

B 图 3

B 图 2

D 1

C 11

B 图 1

B D

B C '

C B M C

C C

D D C

A . B . C . D .

4. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志 . 将宽为 1cm 的红丝带交叉成 60°角重叠在一起(如图),则重叠四边形的面积为 _______2

. cm

5. 如图,将矩形纸 ABCD

的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH ,

若 EH =3厘米, EF =4厘米,则边 AD 的长是 ___________厘米 .

6. 如图, 已知 AOB OA OB ∠=, , 点 E 在 OB 边上, 四边形 AEBF 是矩形. 请你只用无刻度的直尺在图中画出 AOB ∠的平分线(请保留画图痕迹).

7. 如图:矩形纸片 ABCD , AB =2,点 E 在 BC 上,且 AE=EC.若将纸片沿 AE

折叠,点 B 恰好落在 AC 上,则 AC 的长是 .

E O

B C

B F C

E G

A B

范文五：特殊的平行四边形讲义二

CLARK-EDU 小康老师 8年级讲义—特殊平行四边形(二)

一、填表

二、经典例题

例

1(2013四川遂宁)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形, DE ⊥ AB , DF ⊥ BC ,垂足分别是 E 、 F ,并且 DE=DF.求证:

(1) △ ADE ≌ △ CDF ;

(2)四边形 ABCD 是菱形.

例 2(2013江苏扬州, 7, 3分)如图,在菱形 ABCD 中,∠ BAD =80°, AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F ,垂足为 E ,连接 DF ,则∠ CDF 等于( ).

A . 50° B . 60° C . 70° D . 80°

例 3[2013山东菏泽, 7, 3分 ]如图, 边长为 6的大正方形中有两个小正

方形,若两个小正方形的面积分别为 S 1、 S 2,则 S 1+S2的值为( )

A . 16 B . 17 C . 18 D . 19

例 4(2013? 东营, 12, 3分)如图, E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 CD 、 AD 上的点,且 CE =DF , AE 、 BF 相交于点 O ,下列结论:(1) AE =BF ;(2) AE ⊥ BF ;(3) AO =OE ;

(4) AOB DEOF S S ?=四边形中正确的有( )

A . 4个 B . 3个

C . 2个 D . 1个例 5(2013山东德州, 7, 3分)下列命题中,真命题是( )

A 、对角线相等的四边形是等腰梯形

、对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

C 、对角线互相垂直的四边形是菱形

D 、

四个角相等的边形是矩

例 6(2013山东临沂, 17,

3分)如图,菱形 ABCD 中, AB =4,∠ B =60°,

AE ⊥ BC , AF ⊥ CD ,垂足分别为 E , F ,连接 EF ,则△ AEF 的面积是 _________________.

例 7(2013广西钦州, 18, 3分) 如图, 在正方形 ABCD 中, E 是 AB 上一点, BE=2, AE=3BE, P 是 AC 上一动点,则 PB+PE的最小值是 .

(第 12题图)

例 8(2013湖北黄冈, 17, 6分)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 、 BD 相交于点 O , DH ⊥ AB 于 H ,连接 OH ,求证:∠ DHO =∠ DCO .

例 9(2013山东临沂, 22, 7分)如图,在△ ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 的中点, 过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F ,连接 CF .

(1)求证:AF =DC ;

(2)若 AB ⊥ AC ,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论.

例 10(2013白银, 26, 10分)如图,在 △ ABC 中, D 是 BC 边上的一点, E 是 AD 的中点, 过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ,且 AF=BD,连接 BF .

(1) BD 与 CD 有什么数量关系,并说明理由;

(2)当 △ ABC 满足什么条件时,四边形 AFBD 是矩形?并说明理由.

A B

例 11(2013贵州毕节, 25, 10分)四边形 ABCD 是正方形, E 、 F 分别是 DC 和 CB 的延

长线上的点,且 DE=BF,连接 AE 、 AF 、 EF .

(1)求证:△ ADE ≌ △ ABF ;

(2)填空:△ ABF 可以由 △ ADE 绕旋转中心点,按顺时针方向旋转度

得到;

(3)若 BC=8, DE=6,求 △ AEF 的面积.

例 12(2013江苏南京, 19, 8分) 如图,在四边形 ABCD 中, AB =BC ,对角线 BD 平分

∠ABC , P 是 BD 上一点,过点 P 作 PM ⊥AD , PN ⊥CD ,垂

足分别为 M 、 N 。

(1) 求证:∠ADB =∠CDB ;

(2) 若 ∠ADC =90?,求证:四边形 MPND 是正方形。

例 13(2013·济宁, 20, 7分)如图 1,在正方形 ABCD 中, E 、 F 分别是边 AD 、 DC 上的

点,且 AF ⊥ BE .

(1)求证:AF =BE ;

(2)如图 2,在正方形 ABCD 中, M 、 N 、 P 、 Q 分别是边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上的点, 且 MP ⊥ NQ . MP 与 NQ 是否相等?并说明理由.

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