姽婳94
范文一：集合常见解题思路
1、设集合M ={x|m ≤x ≤m +}，N ={x|n -≤x ≤n}，并且M N 都是集合{x|0≤x ≤1} 的子集, 如果b-a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的长度, 那么集合M 3413N 长度的最小值是多少? 解：首先，M 、N 均是{x/0a 2，故t 上P 1′＞P 3′。
解后反思：可用极端假设法解决的物理问题中，多数只需对它的一个“端”作出判断：可以顺着题设过程进行的方向作极端处理；也可以沿过程进行的反方向作端态分析，并以此作出与题设相反条件下的结论，进而得出在题设条件下的正确结论。若当对一个物理因素进行极端假设不能彻底解决问题时，可分次或同时将几个因素设向极端考虑，直到最终推断出正确结论。
例6： 在真空中，厚度为d 、折射率为n 的大玻璃板的下表面紧贴着一个半径为r 的圆形发光面，为了从玻璃板的上方看不见圆形发光面，可在玻璃板的上表面贴一块黑纸片，这块黑纸片的最小面积应为
:
A．π(r +d
n 2-1) 2 B．π
n 2-1(r +d ) 2 C. π(r +n 2-1d ) 2 D．πn (r 2+d 2)
解析 先假设玻璃板的厚度d →0，则玻璃板变成了薄玻纸，光在薄玻纸中的“扩播效应”可以忽略，为了从玻璃纸的上方看不见圆形发光面，贴在其上表面的黑纸片的最小面积应为
2S min →πr ，由此排除上述选项中的B 、D ．保持其它条件不变，再假设玻璃板的折射率n →1，
则玻璃板的光学性质趋近于真空，光从“玻璃”射向真空的过程中近似于直线传播，无全反射现象发生，因而“玻璃板”上表面的透光面积S →∞，所以需贴在玻璃板上表面的黑纸片的最小面积S min →∞、。所以正确答案应是A 。
解后反思：在习题教学中恰当运用极端假设法分析、推断某些物理问题，不仅可以提高学生学习物理的兴趣，帮助突破教学难点，而且有益于培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，此法在解决某些问题时能带来方便，是因为处于理想状态的物理现象往往是最简单、最容易把握的。
4、近似法：
近似处理是物理学的研究方法之一，为了便于研究某些物理现象，分析某些物理问题，往往忽略一些次要因素的影响，以突出主要因素，即要用理想条件下的模型代替实际研究对象，否则，甚至连最简单的物理问题也会使我们感到束手无策。
7 例7：在真空中速度v ＝6.4×10m/s的电子束连续地射入两平行板间，如图7所示，极
-3板长L ＝8 cm ，两板间距 d＝5.0×10m 当两板不带电时，电
子束将沿两板间中线通过在两板上加50 Hz的交流电压 U＝
U 0sin ωt V ，如果U 0超过某值U C 时．将开始出现电子有时能通
过、有时不能通过两板的现象．求：
（1）U C 的大小；
（2）U 0为何值时，才能使电子束通过与间断时间之比图 7
Δt 1∶Δt 2＝2∶1？
分析：题目设计的是电子束在加交变电压的平行极板间的运动，学生只熟悉带电粒子在匀强电场中的运动情况，那么求解此题的关键在于建立平行板匀强电场模型，这就得把电子束在平行板间的运动时间t 与交变电压的周期T 进行比较．若t （V 0＋V t ）/2
C. V（V ＋V t ）t/2 由此可得所求平均速度V =s /t >(V 0+V t ) /2
故选项B 正确。
解后反思：学生在学习了平均速度的概念后，已理解平均速度反映了物体在一段时间内
运动快慢的平均效果．某段时间内的平均速度V 等于该段时间内发生的位移S 与所用时间t 的比值，即V ＝s/t
．然而学生在求图所示运动的位移时就会发现该运动形式为非匀变速运
2动（加速度为变量），无法用匀变速运动的位移公式S ＝V 0t ＋at /2或S ＝（V 0＋V t ）t/2来
求位移, 但有些能力较强的学生联想到, 速度图象中速度图线与时间横轴所图图形的“面积”与位移的大小相等这一结论，把目光聚焦在计算图形“面积”上，但又发现这一形状的“面积”没有办法进行求出，从而陷入了困境。
例10：如图12实线所示为一交变电流，其最大值为
Im ，周期为T ，则下列有关该交变电流的有效值I 的判断
中正确的是
A ．I ＝I m /2 B．I I m /2 D．无法判断
图
12 分析：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义
的，即如果一交变电流和一直流电流分别通过两个阻值相等的电阻，若在相等的时间内产生相等的热量，则该直流电流的数值就等于该交变电流的有效值。在图中过O 、A 、B 、C 、D 五点作一正弦式电流的辅助线（图中虚线所示），就可以清楚的看出在一个周期内虚线所示的正弦式电流除了O 、A 、B 、C 、D 五个时刻的电流瞬时值与图中实线所示的题给交变电流的瞬时值相等外，其余时刻都是虚线所示正弦式电流的瞬时值大于实线所示的题给交变电流的瞬时值，所以可确定虚线所示正弦式电流在相同时间内在相同阻值的电阻上产生的热量必大于实线所示的题给交变电流产生的热量。
解：实线所示的题给交变电流的有效值I 必小于图中虚线所示正弦式电流（图中所作辅助线）的有效值I m /2．即．I t 2
C. t 1＜t 2 D ．条件不足，不能判断
4. 物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t 的变化图像是(图15) 中的；（ ）
图 15
5．如图物16所示两块平行板A 、
B 之间距离为d ，加在两板间的
电压为U ，并将B 板接地作为零
电势，现在正电荷q 逆着电场线
方向由A 板移到B 板，若用X 表示移动过程中该正电荷到A 的图 16 距离，其电势能Ep 随X 变化图
线为图中哪一个；（ ）
6. 将一物体从地面竖直上抛，
物体上抛运动过程中所受的空
气阻力大小与速率成正比，设物
体在地面时的重力势能为零，则
物体从抛出到落回原地的过程
中，物体的机械能E 与物体距地图
17 面高度h 的关系，图物17中描
述正确的是(H 为物体竖直上抛
的最大高度) ；（ ）
7．如图物18所示，质量为m ，初速度为V 0的带电体a ，从水平面上的P 点向固定的带电体b 运动，b 与a 电性相同，当a 向右移动位移为S 时，速度减为0，设a 与地面间的动摩擦因数为μ，当a 从P 点也以V 0初速向右运动的位移为S/2时，a 的动能（ ）
图
18
A ．大于初动能的一半
B ．等于初动能的一半
C ．小于初动能的一半
D ．动能的减少量等于电势能的增加量
8．如图物19所示，A 、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度沿X 轴正方向被抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1，B 沿光滑斜面运动，落地点为P 2、P 1、P 2在同一水平面上，不计空气阻力，则下面说法中正确的是（ ）
图 19
A ．A
、B 的运动时间相同
B
．A 、B 沿X 轴方向的位移相同
C ．A 、B 落地时的动量相同
D ．A 、B 落地时的动能相同
9. ．两个定值电阻R 1、R 2串联后接在输出电压U 稳定于12伏的直流电源上，有人把—个内阻不是远大于
R 1、R 2的电压表接在R 1两端，电压表的示数为8伏。如果把此电压表改接在R 2两端，则电压表的示数将（ ）
A. 小于4伏 B.等于4伏 C. 大于4伏小于8伏 D.等于或大于8伏 10．卡车在平直道路上行驶．卡车车厢装满货物．由于路面不是很平，
车厢发生上下振动．货物也随车厢上下振动但不脱离车厢底板．假如货物上下做简谐运动，振动位移图象如图20所示、规定向上方向为正．下列说法正确的是（ ）
图 20
A ．在图象a 点货物对车厢底板的压力等于货物重力
B．在图象b 点货物对车厢底板的压力大于货物重力
C．在图象c 点货物对车厢底板的压力大于货物重力
D．在图象d 点货物对车厢底板的压力大于货物重力
11．如图21所示，质量为M 的盒子，放在水平面上，盒的上面挂一轻
弹簧，弹簧下端挂有质量为m 的小球P ，P 与盒底面用细线牵连，细线
拉力为F ，今将细线剪断，则细线剪断瞬间( )
A. 地面支持力减少了F
B. 地面支持力增加了F
C. P 的加速度为2F/m 图21
D. P 处于失重状态
12. 声音在某种气体中的速度表达式可以只用气体的压强p 、密度ρ和无单位的数值k 表示。
试根据上面所述的情况，判断下列声音在所研究的气体中速度v 的表达式中可能正确的是 A.v=kp /ρ B.v=kρ/p C.v=kpρ D.v=kp/ρ
13．如图22所示为两个光滑的斜面，高相同，右边斜面由两部分
组成，且 AB ＋BC ＝AD ，两完全相同的小球分别从A 点沿两侧斜面
同时由静止滑下，不计转折处的能量损失，哪一边的小球先滑到
斜面底部？
14．矩形线圈 abcd的长ab ＝20cm ，宽bc ＝10 cm ，匝数n ＝200，
线圈总电阻R ＝5Ω，整个线圈位于垂直于线圈平面的匀强磁场内，图
22 并保持静止。
（1）若匀强磁场的磁感应强度B 随时间的变化如图23甲所示，求线圈的感应电动势E 及t ＝0.30s 时线圈的ab 边所受的安培力多大？
（2）若匀强磁场的磁感应强度B 随时间作正弦变化的规律如图23乙所示，线圈lmin 产生多少热量？
图 23
15．电磁泵是应用磁力来输送导电液体（如液态金属、血液等）的装置，它不需要机械活动组件．图24是电磁泵输送导电液体原理的示意图，绝缘管道的横截面为边长a ＝0.3 cm的正方形，导电液体在管中缓缓流动，在管道中取长为L ＝2cm 的部分，将它的上下管壁做成可以导电的导体，通以电流I ，并在垂直于管道和电流的方向加一个横向磁场，磁感应强度
３为B ＝1.5 T，要在管道中产生4×10Pa 的压强，推动导电液体流动，电流强度 I 应为多
少？
图 24
答案
1．C
2. 由于跳高是横着过杆，重心大略只升高0.8m 于是有；
v =2gh =2?10?0. 8=4m /s
故选B
3. 设水速等于船速，船从下游到上游时间为无限大，故选C
4. tanθ＝gt/v0 故选B
5. 电场力做负功，电势能增加，故选B
6. 因H 越大物体的速度越小，阻力也就越小，机械能也就减小得慢，E —h 图象的斜率小故是选D
7.A
8.D 9. A：在这一题中的电压表读数就是它与电阻R 1或R 2并联时的电压，已知 电压表与电阻R 1并联时的示数为8伏，则电阻R2的分压为4伏。当电压表与电阻 R 2并联时，由于并联后的总电阻要比原值小，而电阻R 1单独的阻值比与原来它与 电压表并联时的阻值大，因此与电阻R 2并联的电压表的示数要小于4伏。答案选A 。
10. C 11.B
12. A：只要注意一下速度单位是m/s，而此只有A 答提供的表达式才对。
13. 作V －t 图, 如图25经过ABC 路径，a 先大些，
又由机械能守恒知，到两种情形最低点的 速度相同，两种情形路程相同，V －t 图的
面积相同，经ABC 路径的时间短，先到底端。
5ｔ 14．（1） 2V 3.2N （2）3.8×10J 图25
提示；B 的大小变化规律与线框在匀强磁场中匀速转动，
磁通量变化规律相似，此情形相当于线框在匀强磁场中匀速转动的情形。感应电动势最大值E m =nBS ω=nB m ab ?bc ω=n
15. F ＝BaI ＝Pa 2
I ＝Ｐa/B= 8A
2πB m ab ?bc T
范文四：集合数学解题方法（范文4篇）
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《集合数学解题方法范文一》
第一章 小学数学解题方法解题技巧之集合法
我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图(韦恩是英国数学家)。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。
例1 五年级一班有48人。在午后自习时，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人,(适于三年级程度)
1
解:由题意可知，做完语文作业的37人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既做完数学作业又做完语文作业。
所以，如果我们用A 圆圈表示做完语文作业的人数，用B 圆圈表示做完数学作业的人数，则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数(如图20-
1)。
从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于A 圆圈的人数加上B 圆圈的人数减去全班的总人数。
37+42-48=31(人)
答:语文、数学作业都做完的有31人。
例2 有110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人,(适于三年级程度)
解:可通过画如图20-2的韦恩图来分析题意。A 圆圈表示参加书法比赛的人数，B 圆圈表示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A 圆
2
圈的人数减去相交阴影部分的人数。
只参加书法比赛的人数:
72-24=48(人)
参加绘画比赛的人数:
110-48=62(人)
答略。(适于六年级程度)
解:参加径赛的有:
根据题意作图20-3
从图中可以看出，只参加田赛的人数是:
276-230=46(人)
两种活动都参加的人数是:
184-46=138(人)
答略。
*例4 某班45名学生期末考试的成绩如下:语文90分以上的有14人，数学90分以上的有25人，语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人,(适于五年级程度)
解:作图20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在90分以上的人数是:
3
45-17=28(人)
只语文在90分以上的人数是:
28-25=3(人)
只数学在90分以上的人数是:
28-14=14(人)
语文、数学都在90分以上的人数是:
28-(14+3)=11(人)
答略。*例5 学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。问:(1)只负责记录，不负责观测的有多少人,(2)只负责观测，不负责记录的有多少人,(3)气象小组有多少人负责其他工作,(适于高年级程度)
解:作图20-5。用A 圆圈表示负责观测的人数，用B 圆圈表示负责记录的人数，则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。
由图20-5可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数;只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数;气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数，再加上既负责观测又负责记录的人数。
4
(1)只负责记录，不负责观测的人数:
15-7=8(人)
(2)只负责观测，不负责记录的人数为:
19-7=12(人)
(3)负责其他工作的人数为:
50-19-15+7=23(人)
答略。
*例6 某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人,(适于高年级程度)
解:用A 圆圈表示喜爱足球的人数，B 圆圈表示喜爱篮球的人数，C 圆圈表示喜爱排球的人数。则A 、B 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数;B 、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数;A 、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数;A 、B 、C 三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数(图20-6)。
由图20-6可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。
5
45-26×3+(13+14+15)
=45-78+42
=45+42-78
=87-78
=9(人)
答:三项运动都喜爱的有9人。
*例7 55名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答:
(1)既参加合唱队又参加美术组的有多少人,
(2)只参加合唱队的有多少人,
(3)只参加美术组的有多少人,
(4)只参加运动队的有多少人,
(5)既参加运动队又参加美术组的有多少人,(适于高年级程度)
解:作图20-7。
因为参加合唱队与美术组的共有36人，所以:(1)既参加合唱队又参加美术组的人数是:
18+25-36=7(人)
(2)只参加合唱队的人数是:
6
18-7=11(人)
现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的7人，美术组剩下的人数是:
25-7=18(人)
因为在55名学生中，参加美术组、运动队的总人数是25+17=42(人)，只参加合唱队的有11人，什么组都没有参加的有5人，参加美术、体育两项活动的实际人数是:
55-5-11=39(人)
所以:
(5)既参加运动队又参加美术组的人数是:
42-39=3(人)
(4)只参加运动队的人数是:
17-3=14(人)
(3)只参加美术组的人数是:
18-3=15(人)
答略。
《集合数学解题方法范文二》
高中数学集合通用模型解题方法
7
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合A={x|y=lgx}，B={y|y=lgx}，C={(x,y)|y=lgx}，A、B、C 中元素各表示什么,
A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
2 如:集合A=x|x-2x-3=0，B={x|ax=1} {}
若B?A，则实数a的值构成的集合为
(答:?-1，0，?) ?
?1?3?
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质:
(1)集合{a1，a2，??，an}的所有子集的个数是2n;
要知道它的来历:若B为A的子集，则对于元素a1来说，
8
有2种选择(在或者不在)。同样，对于元素a2, a3,??an,都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A有2个子集。
当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2-1，非空真子集个数为2-2 nnnnn
(2)若A?B?A B=A，A B=B;
(3)德摩根定律:
CU(A B)=(CUA) (CUB)，CU(A B)=(CUA) (CUB)
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
AB=AB,AB=AB
4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法)
如:已知关于x的不等式
的取值范围。 ax-5(?3?M，?a3-5a5-5?052-a5???a??1，? (9，25)) 3?? ?5?M，?
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(-?,1)上单调递减，在(1,+?)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根
9
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?). 若p?q为真，当且仅当p、q均为真
若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真
若?p为真，当且仅当p为假
《集合数学解题方法范文三》
数学习题解方程专题
一、 解方程(一)加法方程
1(7.9+x=19.9 2. x+120=76.5 3. 5.8+x=90
4. x+155.4=290 5. 79.4+x=95.5 6.x+55=129
二、 解方程(二)减法方程1
1.x-6=19 2.x-3.3=8.9
4.x-54.3=100 5.x-77=275
三、 解方程(三)减法方程2
1.9-x=4.5 2.73.2-x=52.5
4.66-x=32.3 5.77-x=21.9
四、 解方程(四)乘法方程
1.7 x=49 2.x X 9=4.5
5.x X 4.5=90 6.x X 5.2=104
10
五、 解方程(五)除法方程1
1.x?9=9 2.x?4.4=10
4.x?5.5=100 5.x?3=33.3
六、 解方程(五)除法方程2
1.3.3?x=0.3 2. 8.8?x=4.4
4. 7?x=0.001 5. 56?x=5
七、列式计算
1、15加上一个数的2倍等于38的一半，求这个数。
3.x-25.8=95.4 6.x-77=144 3.87-x=22 6.99-x=61.9 3.
4.4x=444 7.6.2x=124 3.x?78=10.5 6.x?2.2=8 3. 9?x=0.03 6.
39?x=3 1
2、5的3倍比一个数的一半多8，求这个数。
3、4.9减去4.9与0.5的积比х的5倍少1.65，求х。
八、应用题。
1、光明小学四月份买书86本，比三月份买的本数的2倍多10本，三月份买书多少本,
2、红星小学五年级有学生110人，男生人数是女生人数的
1.2倍。男、女生各有多少人,
3、甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出。3小时后两车相遇，两地相距174千米。甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米,
11
4、用3台碾米机4.5小时碾米4860千克。用一台这样的碾米机要碾米10800千克，需要多少小时,
5、养鸡小组养一些母鸡。其中有20只来亨鸡，平均每只鸡产蛋280个，只有15只油鸡，平均每只鸡产蛋260个。这些母鸡平均每只年产蛋多少个,
2
《集合数学解题方法范文四》
高三复习-------数列解题方法集锦
一、数列的基础知识
1(数列{an }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系
它包括两个方面的问题:一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ; 1.1 已知S n 求a n
对于这类问题，可以用公式a n =?1.2 已知a n 求S n
这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法:颠倒相加法、错位相
(n =1) ?S 1
.
?S n -S n -1(n ?2)
12
减法和通项分解法。
2(递推数列:?
?a 1=a
，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设
a =f (a ) n ?n +1
法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
例1 已知数列{an }的前n 项和S n =n2-2n+3,求数列{an }的通项a n ，并判断数列{an }是否为
等差数列。
解:由已知:S n =n2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n2-4n+6,
(n =1) ?2
两式相减，得:a n =2n-3(n?2), 而当n=1时,a 1=S1=2,所以a n =?.
2n -3(n ?2) ?
又a 2-a 1?a 3-a 2，故数列{an }不是等差数列。
注意:一般地，数列{an }是等差数列?S n =an+bn?S n
2
n (a 1+a n )
.
2
13
数列{an }是等比数列?S n =aq-a.
n
例2 已知数列{an }的前n 项的和S n =
n (a 1+a n )
, 求证:数列{an }是等差数列。 2
证明:因为S n =
n (a 1+a n ) (n +1)(a 1+a n +1)
，所以，S n +1= 22(n +1)(a 1+a n +1) -n (a 1+a n )
，所以
2
两式相减，得:a n +1=
2a n +1=a 1+(n +1) a n +1-na n ，即:(n -1) a n +1=na n -a
1，同理: (n -2) a n =(n -1) a n -1-a 1，即:(n -1) a n -1=(n -2)
a n +a 1，
两式相加，得:(n -1) a n +1+(n -1) a n -1=(2n -2) a n ，即:
a n +1+a n -1=2a n ，所以数列{an }是等差数列。
例3 已知数列{an }的前n 项的和S n + an =2n+1,求数列{an }的通项a n . 解:因为S n + an =2n+1，所以， S n+1+an+1=2(n+1)+1,两式相减，得: 2a n+1-a n =2,即:2a n+1-a n +2=4，2a n+1-4= an -2，所以
a n +1-2131
而S 1+a1=3，a 1=，故a 1-2=-，=，
14
22a n -22
11
为首项，为公比的等比数列，所以
22
1111
a n -2=-() n-1= - () n , 从而a n =2 - () n 。
2222
即:数列{an }是以-
例4 设{an }是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-na n
2+an+1a n =0，(n=1,2,3,…), 则它的通项公式是a n .
分析:(1)作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。 令n=1，得:2a 22+a2-1=0,解得，a 2=a 4=
1111
. 令n=2, 得:3a 32+a 3-=0, 解得，a 3=. 同理，2223
11
由此猜想:a n =. 4n
(2)由(n+1)an+12-na n 2+an+1a n =0，得:[(n+1)an+1-na
n ](an+1+an )=0, 所以(n+1)an+1=nan ，这说明
数列是常数数列，故na n =1，a n =
1
. n
也可以由(n+1)an+1=nan ，得:
15
a n +1n
，所以 =
a n n +1
a n =
a n a n -1a n -1n -211
?? ?2?a 1=?? ??1=。 a n -1a n -2a 1n n -12n
例5 求下列各项的和
(1)C n +2C n +3C n + +nC n
1
2
n -1
n
. +(n +1) C n
(2)1+2?21+3?22+4?23+…+n?2n-1. (3)1?2+2?3+3?4+…+n(n+1).
(4)
111
. ++ +
1?32?4n (n +2)
012n -1n
解:(1)设 S n =C n , 则 +2C n +3C n + +nC n +(n +1) C
16
n
n n -110
S n =(n +1) C n , +nC n + +2C n +C n
01n
两式相加，得:2S n = (n+2)C n +(n +2) C n + +(n +2) C n
01n =(n+2)(C n )=(n+2)2n , +C n + +C n
所以S n =(n+2)2n-1.
012n -1n 思考:C n 又如何求呢, +2C n +4C n + +2n C n +2n +1C n
(2)设S n =1+2?21+3?22+4?23+…+n?2n-1，则
2 Sn = 1?2+2?22+3?23+…+(n-1)2n-1+n2n .
1
2
n-1
n
1-2n
-n ?2n =2n (1-n)-1. 两式相减。得:- Sn =1+2+2+…+2 -n2 =
1-2
S n =2n (n-1)+1.
(3)1?2+2?3+3?4+…+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ …
17
+(n2+n) =(12+22+32+ … +n2)+(1+2+3+ … +n) =
111
n (n +1)(2n +1) +n (n +1) =n (n +1)(n +2) . 623
(4) ?
1111
=(-)
n (n +2) 2n n +2
?
111++ + 1?32?4n (n +2)
=
1111111111(1-+-+-+ +-+-) 232435n -1n +1n n +2111132n
+3(1+--) =-. 22n +1n +24(n +1)(n +2)
二、等差数列与等比数列
1(定义:数列{an }为等差数列?a n+1-a n =d?a n+1-a n =an -a n-1;
数列{bn }为等比数列?
2(通项公式与前n 项和公式:
=
b n +1b b
=q ?n +1=n 。 a n b n b n -1
数列{an }为等差数列，则通项公式S n =
a n =a1+(n-1)d, 前n 项和
18
n (a 1+a n ) n (n -1) d
=na 1+.
22
(q =1) ?na 1
?
数列{an }为等比数列，则通项公式a n =a1q n-1, 前n 项和S n =?a (1-q n ) .
1
(q ?1) ?
?1-q
3(性质:
(4)函数的思想:等差数列可以看作是一个一次函数型的函数;等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
例6 设S n 是等差数列{an }的前n 项的和，已知
1111
S 3与S 4的等比中项为S 5，S 3与3453
1
S 4的等差中项为1，求等差数列{an }的通项。(1997年高考题) 4
解:设等差数列的公差为d, 则
1111?1?122S ?S =(S ) (3a +2d ) ?(4a +6d ) =(5a +10d )
19
345111???3?345425
，即?， ?
?1S +1S =2?1(3a +2d ) +1(4a +6d ) =2
3411??44?3?3
12??d =03212?d =-
-n 。 解得:?或?5，所以a n =1或a n =55?a 1=1?a =4?1
评说:当未知数与方程的个数相等时，可用解方程的方法求出这两类特殊数列的首项与公差或公比，然后再解决其他问题。
例7 设等比数列{an }的前n 项的和为S n ，若S 3+S6=2S9，求数列{an }的公比q (1996年高
考题) 。
解:若q=1，则S 3=3a1,S 6=6a1,S 9=9a1, 由已知S 3+S6=2S9, 得:3a 1+6a1=18a1, 解得:a 1=0，这与数列{an }为等比数列矛盾，所以，q ?1。
a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) 2a 1(1-q 9)
由已知S 3+S6=2S9, 得:，整理得: +=
1-q 1-q 1-q
q (2q -q -1) =0，解得:q =-
363
4
。 2
20
例8 在等差数列{an }中，已知a 7=8，求S 13.
分析:在这个问题中，未知数有两个:首项a 1与公差d ，但方程只有一个，因此不能象例6那样通过解方程解决问题，必须利用这两类数列的性质或者利用整体性思想来解决问题。
解:因为a 7=8，所以a 1+a13=2a7=16，故S 13=
13(a 1+a 13)
=104.
2
例9 在等差数列{an }中，已知a 1>0,Sn 是它的前n 项的和. 已知S 3=S11，求S n 的最大值。 分析:和例8一样，也是未知数的个数多于方程的个数，所以须考虑等差数列的性质。 解:由已知:S 3=S11，故3a 1+3d =11a 1+55d , 得:d =-
2
a 1得a 4+a5+a6+…+a10+a11=0.由于a 4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8, 所以a 7+a8=0。
故a 7>0,a8评说:(1)本题也可以利用函数的思想来解，即把S n 表示成某一变量的函数(比如n )，然后再求这个函数的最大值。
(2)本题还可以利用方程与不等式的思想来解，即S n 最大当且仅当a n >0同时a n+1这个不等式组即可。
21
三、数列综合问题
对于综合问题，要注意与其他数学知识相联系，如函数、方程、不等式，还要注意数学
思想方法的应用，如归纳法、类比、叠加等。
例10 已知等差数列{an }的前n 项的和为S n ，令b n =
11
，且b 4=，S 6-S 3=15,求数列
10S n
{bn }的通项公式和lim
n ??
?b 的值。
i i =1
n
分析:欲求b n ，需先求S n ，而S n 是数列{an }的前n 项的和，所以应首先求出a n 。因为
数列{an }是等差数列，故只要能找到关于a 1与d 的两个方程即可。
解:设数列的首项为a 1，公差为d. 由已知得:
?S 4=10?4a 1+6d =10?a 1=1
，解得:?。 ???
S -S =153a +12d =15d =1?3?1?6
22
所以a n =n,从而S n =
n
n (n +1) 2
, 故b n =。 2n (n +1)
111
lim ?b i =2lim [++ +] n ??n ??1?22?3n (n +1) i =1
n ??
=2lim [1-
111111
+-+ +-]=2lim (1-) =2.
n ??223n n +1n +1
例11 已知f(x)=a1x+a2x 2+a3x 3+…+an x n ，且a 1,a 2,a
3, …,a n 组成等差数列(n 为正偶数)，
又f(1)=n2,f(-1)=n;
(1)求数列{an }的通项a n ;
(2)试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。
分析:显然，只要能把f(1)=n2,f(-1)=n转化为关于首项和公差的两个方程即可。 解:(1)设数列的公差为d ，因为f(1)= a 1+a2+a3+…+an =n2，则na 1+
n (n -1)
d=n2, 即2
23
2a 1+(n-1)d=2n.又f(-1)= -a1+a2-a 3+…-a n-1+an =n,即
?a n =1+2(n-1)=2n-1. (2)f(0.5)=
n
?d =n,d=2.解得a 1=1. 2
11111
+3() 2+5() 3+ +(2n -1)() n , 把它两边都乘以，得:
22222
111111f () =() 2+3() 3+ +(2n -3)() n -1+(2n -1)() n
222222
11112131n -11n
两式相减，得:f () =+2() +2() + +2() -(2n -1)()
2222222
1121n -11n 1=2?+2() + +2() -(2n -1)() -
2222211[1-() n -1]
11111=2-(2n -1) n -=2-2() n -1-(2n -1)() n -
1222221-2
31n 3=-(2n +3)() 1
?f () 2
例12 (2001年春季)在1与2之间插入个正数a 1,a 2,a 3, …,a n ，使这n+2个正数成等
比数列;又在1与2之间插入个正数b 1,b 2,b 3, …,b n ，
使这n+2个正数成等差数列。记A n =a1a 2a 3…a n ,B n
24
=b1+b2+b3+…+bn .
(1)求数列{An }和{Bn }的通项;
(2)当n ?7时，比较A n 与B n 的大小，并证明你的结论。
分析:本题的关键是求A n 与B n ，如果能注意到1，a 1,a 2,a 3, …,a n ，2成等比数列，1，
b 1,b 2,b 3, …,b n ，2成等差数列，则就容易想到利用这两类数列的性质。
解:(1)因为1，a 1,a 2,a 3, …,a n ，2成等比数列，所以a 1a n =a2a n-1=a3a n-2=…=1?2, 从而A n 2= (a1a 2a 3…a
n )(a1a 2a 3…a n )=(a1a n )(a2a n-1)(a3a n-2) …(an a 1)=2,
故A n =2.
n
n
2
因为1，b 1,b 2,b 3, …,b n ，2成等差数列，所以b 1+bn =1+2=3, 从而B n =
n
2
n (B 1+B n ) 3
=n . 22
(2)?A n =2, Bn =
25
2
39
n . ?A n 2=2n ,B n 2=n 2. 24
n
n
0123n -3n -2n -1n
当n ?7时，A n =2=(1+1)=C n +C n +C n +C n + +C n +C n
+C n +C n
n (n -1) n (n -1)(n -2)
+] 26
[1**********]192
=2+2n+n-n+n -n +n=n +n+2>n =n(n), 当n ?7时，n >.
33333334
0123
?2(C n )=2[1+n++C n +C n +C n
所以当n ?7时，A n > Bn ，故A n > Bn
评说:对于A n 与B n 的大小，也可以用数学归纳法证明。
22
26
范文五：小学数学解题方法解题技巧之集合法
第一章 小学数学解题方法解题技巧之集合法
我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。
例1 五年级一班有48人。在午后自习时，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人。语文、数学作业都做完的有多少人？（适于三年级程度）
解：由题意可知，做完语文作业的37人中有一部分只做完语文作业，另一部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的42人中也是有一部分只做完数学作业，另一部分既做完数学作业又做完语文作业。
所以，如果我们用A 圆圈表示做完语文作业的人数，用B 圆圈表示做完数学作业的人数，则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、数学作业都做完的人数（如图20-
1）。
从图中可以看出，语文、数学作业都做完的人数等于A 圆圈的人数加上B 圆圈的人数减去全班的总人数。
37+42-48=31（人）
答：语文、数学作业都做完的有31人。
例2 有110名学生参加书法和绘画比赛，参加书法比赛的有72人，既参加书法比赛又参加绘画比赛的有24人。参加绘画比赛的有多少人？（适于三年级程度）
解：可通过画如图20-2的韦恩图来分析题意。A 圆圈表示参加书法比赛的人数，B 圆圈表示参加绘画比赛的人数，两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法比赛又参加绘画比赛的人数。由图可知，参加绘画比赛的人数应等于总人数减去只参加书法比赛的人数。而只参加书法比赛的人数等于A 圆圈的人数减去相交阴影部分的人数。
只参加书法比赛的人数：
72-24=48（人）
参加绘画比赛的人数：
110-48=62（人）
答略。（适于六年级程度）
解：参加径赛的有：
根据题意作图20-3
从图中可以看出，只参加田赛的人数是：
276-230=46（人）
两种活动都参加的人数是：
184-46=138（人）
答略。
*例4 某班45名学生期末考试的成绩如下：语文90分以上的有14人，数学90分以上的有25人，语文和数学都不足90分的有17人。求语文、数学都在90分以上的有多少人？（适于五年级程度）
解：作图20-4。由图可看出，语文、数学一门或两门在90分以上的人数是：
45-17=28（人）
只语文在90分以上的人数是：
28-25=3（人）
只数学在90分以上的人数是：
28-14=14（人）
语文、数学都在90分以上的人数是：
28-（14+3）=11（人）
答略。*例5 学校气象小组有50名成员，其中负责观测的有19人，负责记录的有15人，既负责观测又负责记录的有7人。问：（1）只负责记录，不负责观测的有多少人？（2）只负责观测，不负责记录的有多少人？（3）气象小组有多少人负责其他工作？（适于高年级程度）
解：作图20-5。用A 圆圈表示负责观测的人数，用B 圆圈表示负责记录的人数，则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。
由图20-5可知，只负责记录，不负责观测的人数，等于负责记录的人数减去既负责观测又负责记录的人数；只负责观测，不负责记录的人数，等于负责观测的人数减去既负责观测又负责记录的人数；气象小组负责其他工作的人数，等于总人数减去负责观测和负责记录的人数，再加上既负责观测又负责记录的人数。
（1）只负责记录，不负责观测的人数：
15-7=8（人）
（2）只负责观测，不负责记录的人数为：
19-7=12（人）
（3）负责其他工作的人数为：
50-19-15+7=23（人）
答略。
*例6 某班有45名学生。据统计，喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各有26人，喜爱其中两项运动的分别有13、14、15人。三项运动都喜爱的有多少人？（适于高年级程度）
解：用A 圆圈表示喜爱足球的人数，B 圆圈表示喜爱篮球的人数，C 圆圈表示喜爱排球的人数。则A 、B 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人数；B 、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数；A 、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数；A 、B 、C 三个圆圈相交的部分表示三项运动都喜爱的人数（图20-6）。
由图20-6可知，三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、篮球、排球的人数，再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜爱足球又喜爱排球的人数。
45-26×3+（13+14+15）
=45-78+42
=45+42-78
=87-78
=9（人）
答：三项运动都喜爱的有9人。
*例7 55名学生中，有18人参加合唱队，25人参加美术组，17人参加运动队，参加合唱队与美术组的共有36人，没有人既参加合唱队又参加运动队，什么组都没有参加的有5人，请回答：
（1）既参加合唱队又参加美术组的有多少人？
（2）只参加合唱队的有多少人？
（3）只参加美术组的有多少人？
（4）只参加运动队的有多少人？
（5）既参加运动队又参加美术组的有多少人？（适于高年级程度）
解：作图20-7。
因为参加合唱队与美术组的共有36人，所以：（1）既参加合唱队又参加美术组的人数是：
18+25-36=7（人）
（2）只参加合唱队的人数是：
18-7=11（人）
现在还不能求出只参加美术组的人数，先求出去掉既参加美术组又参加合唱队的7人，美术组剩下的人数是：
25-7=18（人）
因为在55名学生中，参加美术组、运动队的总人数是25+17=42（人），只参加合唱队的有11人，什么组都没有参加的有5人，参加美术、体育两项活动的实际人数是：
55-5-11=39（人）
所以：
（5）既参加运动队又参加美术组的人数是：
42-39=3（人）
（4）只参加运动队的人数是：
17-3=14（人）
（3）只参加美术组的人数是：
18-3=15（人）
答略。
