不想打针的撸智深
范文一：高一数学 函数奇偶性知识点归纳25
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数的奇偶性定义：
1．偶函数：一般地，对于函数f (x ) 的定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么f (x ) 就叫做偶函数．
2．奇函数：一般地，对于函数f (x ) 的定义域的任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，那么f (x ) 就叫做奇函数．
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； 3、可逆性：f (-x ) =f (x ) ?f (x ) 是偶函数；f (-x ) =-f (x ) ?f (x ) 奇函数； 4、等价性：f (-x ) =f (x ) ?f (-x ) -f (x ) =0?f (|x |)=f (x ) ；
f (-x ) =-f (x ) ?f (-x ) +f (x ) =0；
5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：
奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）
偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）
奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单
调递增。）
偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
2．函数奇偶性与单调性(最值) 之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M ，则f(x)在[－b ，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0) 上是减函数，则f(x)在(0，＋∞) 上是增函数． 五、关于函数奇偶性的简单应用 1、函数的对称性
如果函数f (x ) 满足f (a ＋x ) ＝f (a －x ) 或f (x ) ＝f (2a －x ) ，则函数f (x ) 的图象关于直线?______对称．
一般的，若f (a ＋x ) ＝f (b －x ) ，则函数f (x ) 的对称轴方程是?______. 两个函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 的图象关于直线x =2、函数的周期性
函数的周期性的定义：设函数y ＝f (x ) ，x ∈D ，若存在非零常数T ，使得对任意的x ∈D 都有?________，则函数
a +b
对称. 2
f (x ) 为周期函数，T 为y ＝f (x ) 的一个周期．
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x ) ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T ) ＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x ) 为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x ) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期．
(3)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f (x ) 的周期，则kT (k ∈N ＋) 也一定是f (x ) 的周期． 若函数f (x ) 对定义域中任意x 满足f (x ＋a ) ＝－f (x ) 或f (x ＋a ) ＝－
1
a ≠0)，则函数f (x ) 是f x
周期函数，它的一个周期是?________.若f (x ) =-f (-x +a ) , 则函数y =f (x ) 的图象关于点
a
(, 0) 对称; 2
六、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。
判断函数奇偶性的方法：
（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查f (-x ) 是否与-f (x ) 、f (x ) 相等，判断步骤如下： 1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；
若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系f (-x ) =±f (x ) 怎样成立？
若f (-x ) =f (x ) 成立，则为偶函数；若f (-x ) =-f (x ) 成立，则为奇函数；
若f (-x ) =±f (x ) 成立，则为既是奇函数也是偶函数；若f (-x ) =±f (x ) 都不成立，则为非奇非偶函数。
2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．
3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其
对称区间上的性质．
4．若T 是f (x ) 的一个周期，则kT (k ≠0，k ∈Z ) 也是f (x ) 的周期．
5．(1)若函数f (x ) 存在两条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x ) 是周期函数；若函数f (x ) 具有奇偶性，又
有一条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x ) 是周期函数． 6．注意函数性质的逆向应用．
（2）、图像法：
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）
（3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。 （4）、性质法
（5）、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
1) 若f (x ) 与g (x ) 都是奇函数，则在f (x ) 与g (x ) 的定义域的公共区间上， f (x ) ＋g (x ) ，f (x ) －g (x ) 都是奇函数，f (x )·g (x ) 与
f x
g x
2) 若f (x ) 与g (x ) 都是偶函数，则在f (x ) 与g (x ) 的定义域的公共区间上，
f(x ) ＋g (x ) ，f (x ) －g (x ) ，f (x )·g (x ) ，
f x
g x
3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；
4)若f (x ) 与g (x ) 中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f (x ) 与g (x ) 的定义域的公共区间上， f (x )·g (x ) ，
f x
g x
3．若y ＝f (x ) 为奇函数，且y ＝f (x ) 在x ＝0处有意义，则f (0)＝0. 性质
1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。 2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、对于F （x ）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数 若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F （x ）是奇函数 若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F （x ）是偶函数 5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称
案例分析：
考点一、判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）f (x ) =x
（3）f (x) = x + x +x； （4）f (x) = x +1；
（5）f (x) = x + 1； （6）f (x) = x，x ∈[–1，3]；
（7）f (x) = 0.
2
3
5
2
2
x 3-x 2
x ∈[-1,2] （2）f (x ) =
x -1
变式训练
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x； (2) f (x) = – x；
(3) h (x) = x +1； (4) k (x) =
(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；
； (8) k (x) =
2、下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y 轴相交；②函数f (x ) 为奇函数的充要条件是f (0)＝0；
③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x ) ＝0(x ∈R) ． A ．1 B．2 C．3 D．4
考点二、分段函数的奇偶性
解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义． 例1、判断下列函数的奇偶性：
①f (x ) =lg (4+x ) +lg (4-x )
1
. x 2-1
3
3
2
1
，x[–1，2]； x 2+1
?12
x +1(x >0) ??2
②g (x ) =?
1?-x 2-1(x <0)>
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f (-x ) 是否等于f (x ) 或-f (x ) ．
|4+x ＞0且4-x ＞0}={x |-40时，－x 0，于是
g (-x ) =
111
(-x ) 2+1=x 2+1=-(-x 2-1) =-g (x ) 222
－
+
综上可知，在R ∪R 上，g (x ) 是奇函数．
?x －3x ＋1 x ＞0 ?
例2、判断函数f (x ) ＝?32
??x ＋3x －1 x 0或x 0时，－x 0，
则f(－x) ＝(－x) －3(－x) ＋1＝－x －3x ＋1 ＝－(x＋3x －1) ＝－f(x)．
由①②知，当x ∈(－∞，0) ∪(0，＋∞) 时， 都有f(－x) ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x) 与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．
??x －3x ＋1 x ＞0
1、如果函数f (x ) ＝?32
??－x －3x ＋1 x 0时，f (x ) ＝x －3x ＋1，－x 0，f (－x ) ＝(－x ) －3(－x ) ＋1＝－x －3x ＋1＝f (x ) ． 综上可得f (－x ) ＝f (x ) ∴f (x ) 为偶函数．
3
2
3
2
3
2
考点二、利用奇偶函数图像的对称性质 由偶函数的定义可得：
偶函数的图像关于y 轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 由奇函数的定义可得：
奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个 函数是奇函数
例1、设奇函数f (x ) 的定义域为[-5,5]，若当x ∈[0,5]时， f (x ) 的图象如右图, 则不等式f (x ) <>
例2．如图，给出了奇函数y = f (x ) 的局总图象，求f (– 4).
例3．如图，给出了偶函数y = f (x ) 的局部图象，试比较f (1)与 f
1．奇函数y ＝
f (x )(x ∈
R) 的图象必过点( )
1
A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a )) C．(－a ，－f (a )) D．(a ，f (a
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a) ＝－f(a)，即自变量取－a 时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a ，－f(a))．
答案：C
2．若函数y ＝f(x)是偶函数，其图象与x 轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
解析：∵偶函数图象关于y 轴对称，∴f(x)与x 轴的两个交点关于y 轴对称，若一根为x 1，则另一根必为－x 1，故f(x)＝0的所有实根之和为0. 答案：C
3．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x＋4) ＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x ，则f(7)＝( ) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析：∵f(x＋4) ＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4) ＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1) ．
又∵f(－x) ＝－f(x)，∴f(－1) ＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故选A. 答案：A
考点三、根据奇偶性求函数解析式
例3、已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x ＋3x －1，求f(x)的解析式． 分析：由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x) ＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在r>
解：∵f (x ) 是定义在R 上的奇函数，∴f (－x ) ＝－f (x ) ．
∵当x <0时，－x>0，∴f (x ) ＝－f (－x ) ＝－2x ＋3x ＋1. 又∵奇函数f (x ) 在原点的定义，f (0)＝0. 2x ＋3x －1 x >0 ， ??
∴f (x ) ＝?0 x ＝0 ，
??－2x 2＋3x ＋1 x <0>
1、设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝2x －x ，则f (1)＝( )
A ．－3 B．－1 C．1 D．3
[解析] 本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法．f (1)＝－f (－1) ＝－[2(－1) －(－1)]＝－3， 故选A.
3
2、已知f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x ) ＝x (1＋x ) ，求当x ∈(－∞，0) 时f (x ) 的解析式．
2
2
2
2
2
2
33
解：设x ∈(－∞，0) ，则－x ∈(0，＋∞)．由已知得f (－x ) ＝－x (1＋－x ) ＝－x (1－x ) ． 3
∵f (x ) 是R 上的奇函数，∴f (－x ) ＝－f (x ) ，∴f (x ) ＝－f (－x ) ＝x (1－x ) ． 33
即f (x ) ＝x (1－x ) ，∴当x ∈(－∞，0) 时，f (x ) 的解析式为f (x ) ＝x (1－x ) ． 考点三、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围 例1、已知函数f (x ) 的定义域为(-1,1)，且同时满足下列条件：
（1）f (x ) 是奇函数；（2）f (x ) 在定义域上单调递减；（3）f (1-a ) +f (1-a 2) <0, 求a="">
?-1<1-a><>
?222
f (1-a ) <-f (1-a="" )="f" (a="" -1)=""><1-a><1,>
?1-a >a 2-1?
1、设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
分析：利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f ”，转化为关于m 的不等式(组) ．
解∵f (x ) 在[－2,2]上为奇函数，且在[0,2]上单调递减，故f (x ) 在[－2,2]上为减函数，又f (1－
m )
?
∴?－2≤m ≤2， ??1－m >m .
?－2≤1－m ≤2，
－1≤m ≤3，
??－2≤m ≤2， 即?
1m <>
1
解得－1≤m <>
2
变式体验1 如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x ∈[3,5]上是( )
A．增函数且最大值是4 B ．增函数且最小值是4 C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
图2
解析：作一个符合条件的函数的简图．观察图形，可知f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值为4. 答案：B
变式训练：
1、已知奇函数f (x ) 在R 上单调递增，且f (2x -1) +f (12
) <0. 则x="">
A. (-∞, 1) B.(1, +∞) C.(-∞, 3) D.(34444
, +∞)
2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A ．y ＝－x 3
，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R
C ．y ＝x ，x ∈R D．y ＝? 1?2x
?
，x ∈R
4．设函数f (x ) 和g (x ) 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A ．f (x ) ＋|g (x )|是偶函数 B．f (x ) －|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x ) 是偶函数 D．|f (x )|－g (x ) 是奇函数 5．若f (x ) 1
2－1a 是奇函数，则a ＝______.
考点五、函数奇偶性的证明、奇偶函数的单调性 例1、已知函数f(x)=x2
+|x-a|+1,a∈R . （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-1≤a ≤122
，求f(x)的最小值.
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2
+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数. 当a ≠0时，f(a)=a2
+1,f(-a)=a2
+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.
范文二：高一数学--奇偶性
高一数学第四讲 函数的奇偶性
一、知识要点：
1、函数奇偶性定义：
如果对于函数f (x ) 定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x ) ，则称f (x ) 为奇函数； 如果对于函数f (x ) 定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x ) ，则称f (x ) 为偶函数。 如果函数f (x ) 不具有上述性质，则f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x ) 既是奇函数，又是偶函数。 2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x ) 与f (x ) 的关系；③作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x ) －f (x ) = 0，则f (x ) 是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x ) ＋f (x ) = 0，则f (x ) 是奇函数。
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。 (2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数， （3）简单性质：
设f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 二、基础练习：
1. f (x ), g (x ) 是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x ) ，则f (x ) ，g (x ) 均为偶函数, h (x ) 一定为偶函数吗？ 反之是否成立？
2. 已知函数y =f (x ) 是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是
①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x . 3. 设函数若函数f (x ) =(k -2) x +(k -1) x +3是偶函数，则f (x ) 的递减区间是
2
2
4. 已知y =f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x -2x ，则在x<0上f (x="" )="">
5. 设f (x ) 是R 上的偶函数，且在(0,+∞) 上是减函数，若x 10, 则 f (x 1) 与f (-x 2) 的大小关系是 三、例题精讲：
题型1： 函数奇偶性的判定 例1. 判断下列函数的奇偶性：
2?+x ?x +x (x <0)>
f (x ) =x -1-x ① f (x ) =(x -1) ,
②y =, ③f (x ) =?④ 2
1-x ??x -x (x >0)
变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：
① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。 必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
题型2： 函数奇偶性的证明
例2、已知函数f (x ), 当x , y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ). 求证：f (x ) 是奇函数；
a (2x +1) -2
变式：已知f （x ）=是奇函数，则实数a 的值等于
2x +1
题型3： 函数奇偶性的应用
例3. 设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)
变式1：已知函数f (x ) 是偶函数，而且在(0,+∞) 上是减函数，判断f (x ) 在(-∞,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
变式2：函数y =f (x ) 是R 上的偶函数，且在(-∞,0]上是增函数，若f (a ) ≤f (2), 则实数a 的取值范围是
题型4：综合应用
例5. f (x ) 、g (x ) 都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b , 则F (-a )=
变式：已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x ) 满足g (-x )=-g (x ), 若f (x ) 的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = .
3x 2+c
例6．已知函数f (x ) =为奇函数，f (1)
ax +b 2
（1）求a , b , c ；
（2）是否存在实数m 使不等式f (-2+sin θ) ≤m 2+不存在，请说明理由。
3
对一切θ∈R 成立？若存在，求出m 的取值范围；若2
例7. 已知f (x ) 是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1,若a , b ∈［－1,1］, a +b ≠0时， 有
f (a ) +f (b )
＞0.
a +b
11) 0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a ］上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a ］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a ］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是
3. 已知函数f (x )(x ∈R )
是奇函数，且x ≥0时, f (x ) =
4. 设f (x ) 是定义在R 上的一个函数，则函数F (x ) =f (x ) -f (-x ) 在R
5. 已知函数f (x ) =(m -1) x +(m -2) x +(m -7m +12) 为偶函数，则m 的值是
6. 已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x2-2x ，则在R 上f(x)的表达式为
2
2
则x <0时f (x="" )="">
7. 如果奇函数f (x ) 在区间[3,7] 上最大值为5，那么f (x ) 在区间[-7, -3]上最小值是
8. 若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0） 上最小值为_ _。
9. f (x ) =
10. 如果函数y =?
(x +1)(x +a )
为奇函数，则a =．
x
??2x -3, (x >0),
是奇函数，则f (x )=
f x , x <0.>
(常数a ≠0) 的奇偶性。 11.
判断f (x ) =
|x +a |-a
12. 已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
（1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-≤a ≤，求f(x)的最小值.
12
12
范文三：高一数学函数的奇偶性
1.3.3 函数的奇偶性（一）教学目标
1．知识与技能：
使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.
2．过程与方法：
通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.
3．情感、态度与价值观：
通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.
（二）教学重点与难点
重点：函数的奇偶性的概念；
难点：函数奇偶性的判断.
（三）教学方法
应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.
（四）教学过程
教学教学内容 师生互动 设计意图 环节
复习复习在初中学习的轴对称图为学生认识奇、偶函教师提出问题，学生回答. 引入 形和中心对称图形的定义 数的图象特征做好准备.
1．要求学生同桌两人分别画1．教师指导，学生1．要求学生动手作出函数f (x ) =x 3与g (x ) = x 2的图作图，学生作完图后教师图以锻炼学生的动手实象. 提问：观察我们画出的两践能力，为下一步问题的
2．多媒体屏幕上展示函数个函数的图象，分别具有提出做好准备. 并通过问f (x ) =x 3和函数g (x ) = x 2的图象，怎样的对称性？题来引导学生从形的角并让学生分别求出x =±3，x =±学生回答：f (x ) =x 3度认识两个函数各自的
关于原点成中心对称图特征. 12，x =±，? 的函数值，同时2形；g (x ) = x 2关于y 轴成2．通过特殊值让学
令两个函数图象上对应的点在两轴对称图形. 生认识两个函数各自对概念个函数图象上闪现，让学生发现2．老师边让学生计称性实质：是自变量互为形成 两个函数的对称性反映到函数值算相应的函数值，边操作相反数时，函数值互为相上具有的特性：课件，引导学生发现规反数和相等这两种关系. f (–x ) = – f (x ) ，g (–x ) = g (x ). 然律，总结规律，然后要求3．通过引例使学生后通过解析式给出证明，进一步学生给出证明；学生通过对奇函数和偶函数的形说明这两个特性对定义域内的任观察和运算逐步发现两和数的特征有了初步的意一个x 都成立. 个函数具有的不同特征：认识，此时再让学生给奇
3．奇函数、偶函数的定义：函数和偶函数下定义应
f (–x ) = – f (x ) ，是水到渠成.
g (–x ) = – g (x ). 奇函数：设函数y = f (x ) 的定
义域为D ，如果对D 内的任意一
个x ，都有
f (–x ) = – f (x ) ，
则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y = g (x ) 的
定义域为D ，如果对D 内的任意
一个x ，都有
g (– x ) = – g (x ) ，
则这个函数叫做偶函数. 3. 教师引导归纳：这时我们称函数f (x ) = x 3这样的函数为奇函数，像函数g (x ) = x 2这样的函数为偶函数，请同学们根据对奇函数和偶函数的初步认识加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义.
学生讨论后回答，然
后老师引导使定义完善.
在屏幕展示奇函数和偶
函数的定义.
老师：根据定义，哪
些同学能举出另外一些
奇函数和偶函数的例子？
学生：f (x ) = 1x ，2
（1）强调定义中“任意”二
字，说明函数的奇偶性在定义域
上的一个整体性质，它不同于函
数的单调性 .
（2）奇函数与偶函数的定义
域的特征是关于原点对称.
（3）奇函数与偶函数图象的对称性：
如果一个函数是奇函数，则概念这个函数的图象以坐标原点为对深化 称中心的中心对称图形. 反之，
如果一个函数的图象是以坐标原
点为对称中心的中心对称图形，
则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则
它的图形是以y 轴为对称轴的轴
对称图形；反之，如果一个函数
的图象关于y 轴对称，则这个函
数是偶函数. f (x ) = –x 6 – 4x 4，?. 教师设计以下问题组织学生讨论思考回答. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？通过对三个问题的问题2：–x 与x 在几探讨，引导学生认识到：何上有何关系？具有奇（1）函数的奇偶性 是函偶性的函数的定义域有数在定义域上的一个整何特征？体性质，它不同于单调性. 问题3：结合函数f (x ) （2）函数的定义域关于=x 3的图象回答以下问题：原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要（1）对于任意一个条件. 奇函数f (x ) ，图象上的点（3）奇函数的图象P (x ，f (x )) 关于原点对称关于原点对称，偶函数的点P ′的坐标是什么？点图象关于y 轴对称. P ′是否也在函数f (x ) 的图象上？由此可得到怎样的结论.
（2）如果一个函数
的图象是以坐标原点为
对称中心的中心对称图
形，能否判断它的奇偶性？
学生通过回答问题3
可以把奇函数图象的性
质总结出来，然后老师让
学生自己研究一下偶函
数图象的性质.
例1 判断下列函数的奇偶1．选例1的第（1）1．通过例1解决如性；小题板书来示范解题的下问题：
（1）f (x ) = x + x 3 +x 5；步骤，其他例题让几个学①根据定义判断一
2（2）f (x ) = x +1；生板演，其余学生在下面个函数是奇函数还是偶
（3）f (x ) = x + 1；自己完成，针对板演的同函数的方法和步骤是：第
（4）f (x ) = x 2，x ∈[–1，3]；学所出现的步骤上的问一步先判断函数的定义
题进行学生做好总结归域是否关于原点对称；第
（5）f (x ) = 0.纳. 二步判断f (–x ) = f (x ) 还学生练习：2．例2可让学生来是判断f (–x ) = – f (x ). 判断下列函数的是否具有奇设计如何研究函数的性②通过例1中的第偶性：质和图象的方案，并根据（3）小题说明判断函数
(1) f (x ) = x + x 3；学生提供的方案，点评方既不是奇函数也不是偶
(2) f (x ) = – x 2；案的可行性，并比较哪种函数.
(3) h (x ) = x 3 +1；方案简单. ③ 例1中的第（4）
3．做完例1和例2小题说明判断函数的奇1(4) k (x ) =2，x [–1，2]；x +1后要求学生做练习，及时偶性先要看一下定义域
巩固. 在学生练习过程是否关于原点对称.
(5) f (x ) = (x + 1) (x – 1)；中，教师做好巡视指导. ④ f (x ) = 0既不奇函应用(6) g (x ) = x (x + 1)；例1 解答案 数又是偶函数的函数是举例 （1）奇函数 函数值为0的常值函数. (7) h (x ) = x
（2）偶函数 前提是定义域关于原点1(8) k (x ) =2. x -1（3）非奇非偶函数 对称.
（4）非奇非偶函数 ⑤总结：对于一个函1例2 研究函数y =2的性质x （5）既奇又偶函数 数来说，它的奇偶性有四
并作出它的图象. 学生练习答案 种可能：是奇函数但不是
学生练习：（1）奇函数 偶函数；是偶函数但不是
1．判断下列论断是否正确：（2）偶函数 奇函数；既是奇函数又是
（3）非奇非偶函数 偶函数；既不是奇函数也
（1） 如果一个函数的定义（4）非奇非偶函数 不是偶函数.
域关于坐标原点对原对称，则这（5）偶函数 2．对于例2主要让个函数关于原点对称；则这个函（6）非奇非偶函数 学生体会学习了函数的数为奇函数；（7）奇函数 奇偶性后为研究函数的
（2）如果一个函数为偶函（8）偶函数 性质带来的方便. 在此问数，则它的定义关于坐标原点对例2 偶函数（图略） 题的处理上要先求一下称，学生练习 函数的定义域，这是研究
（3）如果一个函数定义域关1．（1）错 函数性质的基础，然后判于坐标原点对称，则这个函数为（2）错 断函数图象的对称性，再
偶函数； （3）错 根据奇、偶函数在y 轴一
（4）如果一个函数的图象关（4）对 侧的图象和性质就可以于y 轴对称，则这个函数为偶函2．不能为奇函数但知道在另一侧的图象和数. 可以是偶函数 性质.
2．如果f (0) = a ≠0，函数f 3．偶函数
(x ) 可以是奇函数吗？可以是偶∵f (–x ) = f (x )
g (–x ) = g (x ) 函数吗？为什么？
3. 如果函数f (x ) 、g (x ) 为定义∴F (–x ) = F (x )
域相同的偶函数，试问F (x ) =f 4．f (–4) = – f (4) = –2.
(x ) + g (x ) 是不是偶函数？是不是5．∵f (–3) ＞f (–1)
奇函数？为什么？ 又f (–3) = f (3)
f (–1) = f (1) 4．如图，给出了奇函数y = f
(x ) 的局总图象，求f (– 4). ∴f (3)＞f (1)
5．如图，给出了偶函数y = f
(x ) 的局部图象，试比较f (1)与 f
(3) 的大小.
关注学生的自主体归纳从知识、方法两个方面来对让学生谈本节课的验，反思和发表本堂课的总结 本节课的内容进行归纳总结. 收获，并进行反思. 体验和收获.
通过分层作业使学
生进一步巩固本节课所布置1.3第三课时 习案. 学生独立完成 学内容. 并为学有余力和作业 学习兴趣浓厚的学生提
供进一步学习的机会.
备选例题.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x
（2）f (x ) =|x |. 2x +1
解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得
f (x
f (–x
= – f (x ) ，
∴f (x ) 是奇函数.
（2）函数定义域为（–∞，+∞），
|-x ||x |f (–x ) ==2= f (x ). 2(-x ) +1x +1
∴f (x ) 为偶函数.
例2 （1）设f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，且f (x ) + g (x ) =1，求函数f (x ) ，g (x ) x +1
的解析式；
（2）设函数f (x ) 是定义在(–∞，0) ∪(0，+∞) 上的奇函数，又f (x ) 在(0，+∞) 上是减函数，且f (x ) 0且–x 1，–x 2 (0，+∞) ，
且–x 1＞– x 2，
则△(–x ) = (–x 2) – (–x 1) = x 1–x 2 = –△x 0 ①
又∵f (x ) 在 (–∞，0) ∪(0，+∞) 上是奇函数，∴f (–x 1) = – f (x 1) ，f (–x 2) = – f (x 2) ， 由①式得 – f (x 2) + f (x 1) ＞0，
即f (x 1) – f (x 2) ＞0. 当x 10，f (x 2) = – f (–x 2) ＞0，f (x 1) ·f (x 2) ＞0， 又f (x 1) – f (x 2) ＞0，∴F (x 2) – F (x 1) ＞0且△x = x2 – x 1＞0， 故F (x ) =
1在(–∞，0) 上是增函数. f (x )
范文四：高一数学函数奇偶性说课稿
大家下午好！今天我说课的课题是高中数学人教版必修一第一章第三节”函数的基本性质”中的“函数的奇偶性”，下面我将从学情分析，教材分析，教法、学法分析，教学过程, 板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。
一、学情分析
从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．
二．教材分析
（一）教材特点、教材的地位与作用
本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
（二）重点、难点
1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。
2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。
（三）教学目标
基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标：
1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法；
2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中, 使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教法、学法分析
1．教学方法： 结合本章实际，教材简单易懂，本节课准备采用＂引导发现法＂进行教学
2．学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式，让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习．
三、教学过程
为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了四个主要的教学程序。
（一）开门见山，点明主题
由于本节内容相对独立，专题性较强，所以我采用了“开门见山”导入方式，直接点明要学的内容，使学生的思维迅速定向，达到开始就明确目标突出重点的效果。
（二）指导观察, 形成概念
让学生自己动手折纸画图并观察多媒体上给出的偶函数图像，在提示根据函数图像和对应函数值之间的关系后，学生总结规律，由我来给出偶函数的定义并板书同时通过例子来强调定义域要关于原点对称。此时继续让同学动手操作并观察奇函数图像，同样在学生总结规律后让学生对比偶函数的定义给出奇函数的定义。
（三）知识应用，巩固提高
对于例题，我将给出例1的第一小题的板书来示范解题步骤，其他小题让学生在下面完成。完成例1后我会总结用定义证明函数奇偶性的步骤。然后我将通过例2来引出非奇非偶函数和既奇又偶函数，让学生充分认识函数的奇偶性。最后通过课堂练习来巩固本节课所学知识。在这个过程中，我重点关注了学生的推理过程的表述。通过这些问题的解决，学生对函数的奇偶性认识、理解和应用都能提升很大一个高度，达到当堂消化吸收的效果。
（四）课堂小结，布置作业
在以上课堂实录中充分展示了教法、学法中的互动模式，“问题”贯穿于探究过程的始终，切实体现了启发式、问题式教学法的特色。在本节课的最后再对知识点进行简单回顾，同时布置本节课的作业。
四、板书设计
函数的奇偶性
定义 偶函数 奇函数
定义域
表现形式
例1 图像
判断方法
非奇非偶函数 既奇又偶函数
范文五：高一数学之：奇偶性
高一暑假复习之：函数的奇偶性
一、知识点精析
1、奇函数、偶函数定义：一般地对于函数f(x)：(1)如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=- f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
2、关于函数奇偶性的理解：函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质
3、用定义判断函数奇偶性的步骤：
（1）考查定义域是否关于原点对称； （2）判断f(-x)= ±f(x)之一是否成立。
4、用定义判断函数奇偶性方法：
（1）先求出定义域是否关于原点对称，若对称，再看f(-x) ±f(x)=0之中有无成立的，若f(-x) +f(x)=0则f(x)为奇函数，若f(-x) -f(x)=0，则f(x)为偶函数．
（2）先看定义域是否关于原点对称，若对称，再( f(x)≠0) 之中有无成立，若( f(x)≠0) 则f(x)为偶函数，若( f(x)≠0) ，则f(x)为奇函数。
5、关于函数奇偶性的性质：①奇函数或偶函数的定义域必须是关于坐标原点对称的．如果函数的定义域关于原点不对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数；②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数的定义域为R ，则必有f(0)=0；④奇函数在对称区间上单调性的相同；偶函数在对称区间上单调性的相反；二：典例精讲 题型一：判断函数奇偶性
例1、判断下列函数是否具有奇偶性
(1) (2) (3)
题型二：函数奇偶性的证明
例2、已知f(x)是偶函数，它在区间[a,b]上是减函数(0
例3、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= ， 求的解析式
例4、①如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_____
②若为奇函数，则实数_____
③已知函数，若为奇函数，则________。
题型三：函数奇偶性的运用
例5、①已知函数为奇函数，且当时，则当时，则的解析式为_____
②已知函数, 且, 则_____________________
③已知偶函数在[1,5]上是减函数, 则,, 的大小关系为________
④函数y=f(x) (xR)是奇函数, f(x+2) =-f(x),当0≤x ≤1 时，f(x)=x,则f(7.5) 的值为____________
⑤已知y=f(x),x∈(-1,1)既是奇函数，又是减函数，则解不等式f(1-x)+f(1-x2)<>
⑥已知偶函数f(x)在区间［0,+∞) 上单调增加, 则满足f(2x-1)＜f(
1
3
) 的x 的取值范围是____________
例6、已知函数f(x)的定义域为(－2,2) ，函数g(x)＝f(x－1) ＋f(3－2x) ．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
例7、设函数对于任意都有且时。
（1）求；
（2）证明是奇函数；
（3）试问在时是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由。
三：素质测试
1、下列判断中正确的是 （ ）
A 、是偶函数 B 、是奇函数
C 、在[-5，3]上是偶函数 D 、是偶函数
2、若函数是偶函数，则是 （ ）
A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、既是奇函数又是偶函数
3、函数f(x)=x3+x+2(x∈R) ，若f(a)=2则f(-a)的值为
A.3????????????????? B.0?????????? C.-1??????????? D.-2
4、若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数, 则a 等于(??? )
A.-2????????????? B.-1??????????????? C.1?????????? ???????D.2
5、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为
?? (A)-1 ?????????(B)0 ???????????????(C)1 ?????????????????(D)2
6、已知f(x)在R 上是奇函数，且f(x+4)= f(x),当x ∈(0,2)时,f(x)=2x2,f(7)=
? A.-2???????????????? B.2???????????????? C.-98??????????? D.98
7、若函数 f(x)=(K-2)x2+(K-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是 。
8、已知是奇函数，是偶函数，且，则
9、函数f(x)，x ∈R ，若对于任意实数a 、b 都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证：f(x) 是R 上的奇函数。
10、如果函数的定义域为, 且对一切x>0,y>0,都有, 当x>1时, >0
(1)求的值
(2) 证明的奇偶性
(3)若, 解不等式
转载请注明出处范文大全网 » 高一数学函数奇偶性知识点归纳
