ri赵香奴生紫嫣
范文一：一维概率密度曲线
实验一:
随机产生一列正态分布的随机数，画出其概率密度分布曲线。 然后用概率密度估计的方法估计出概率密度曲线。 这里窗宽选择几个不同的值，比较效果。
0.50.4
0.350.4
0.30.30.25
0.20.2 0.15
0.10.1 0.05
00 -4-2024-4-3-2-10123
h=1 h=2
0.40.4
0.350.35
0.30.3
0.250.25
0.20.2
0.150.15
0.10.1
0.050.05 00-4-3-2-10123-4-3-2-10123
h=3 h=4
0.40.4
0.30.3
0.20.2
0.10.1
00-4-2024 -4-2024
h=5 h=6
窗口太小，密度曲线就会凹凸不平，就有不连贯性，但是窗口太大，密度曲线就
会变得很光滑，不具有实在的意义。因此要合理选择窗宽。
选择100个点的核密度估计与正态密度估计的对比图如下(利用最优窗):
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-4-3-2-10123
选择1000个点的核密度估计与正态密度估计的对比图如下(利用最优窗):
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0-4-3-2-10123
选择500个点的核密度估计与正态密度估计的对比图如下(利用最优窗):
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0-4-3-2-101234
注意:即使是相同数量的数据，其每次效果也不尽相同，主要原因是数据的差异性。
范文二：实验一 绘制概率密度曲线
实验一 绘制概率密度曲线
实验报告
201208010401 敖炜 计科 1204
一、实验目的:
1、学习 Matlab 软件的使用和编程;
2、理解随机变量的概率密度;
3、提高独立设计实验方法的能力。
二、实验内容:
1、用 Matlab 产生 1000个在 (0,1)区间内均匀分布的随机数,要求精确到小数点后第四 位;
2、用 Matlab 产生 1000个均值为 0,方差为 1的正态分布的随机数,要求精确到小数 点后第四位;
3、 设计一套实验方法, 根据 1和 2产生的各 1000个随机数, 总结其统计规律, 分别绘 制 1和 2的近似概率密度曲线。 (不允许直接套用均匀分布和正态分布的公式来画曲线,否 则不给分) 。
对于 1:
实验代码:%产生随机数
r = rand([10000,1]);
%划分区间
x = 0:0.1:1;
%实现
n=hist(r,x);
f=n/10000;
y=f/0.1;
plot(x,y,'r' );
得到的概率密度曲线:
对于 2:
实验代码:%产生正态随机数
r=randn([100000,1]);
%划分区间
x=linspace(-4,4,50);
%得到区间上的数的个数
n=hist(r,x);
%求得区间上的频率
f=n/100000;
y=f/(x(2)-x(1));
plot(x,y,'b' );
概率密度曲线:
三、实验总结:
从最后做完实验来看, 本实验是极其简单的, 却由于对 MATLAB 软件的一无所知导致耗 费了大量时间才最终完成。所以, 在下次做实验前要做好预习工作,以及对 MATLAB 软件加 强了解。
范文三：[指南]一维概率密度曲线
实验一:
随机产生一列正态分布的随机数，画出其概率密度分布曲线。 然后用概率密度估计的方法估计出概率密度曲线。 这里窗宽选择几个不同的值，比较效果。
0.50.4
0.350.4
0.3
0.30.25
0.2
0.2 0.15
0.10.1 0.05
00 -4-2024-4-3-2-10123
h=1 h=2 0.40.4
0.350.35
0.30.3
0.250.25
0.20.2
0.150.15
0.10.1
0.050.05 00-4-3-2-10123-4-3-2-10123
h=3 h=4
0.40.4
0.30.3
0.20.2
0.10.1
00-4-2024 -4-2024
h=5 h=6
窗口太小，密度曲线就会凹凸不平，就有不连贯性，但是窗口太大，密度曲线就会变得很光滑，不具有实在的意义。因此要合理选择窗宽。
选择100个点的核密度估计与正态密度估计的对比图如下(利用最优窗):
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0-4-3-2-10123
选择1000个点的核密度估计与正态密度估计的对比图如下(利用最优窗):
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0-4-3-2-10123
选择500个点的核密度估计与正态密度估计的对比图如下(利用最优窗):
0.450.40.350.30.250.20.150.10.05
0-4-3-2-101234
范文四：129频率分布、直方图与概率密度曲线
统计学中有两个核心问题一是如何从整体中抽取样本二是如何用样本估计总体 经
过前面的学习我们已经了解了一些常用的抽样方法: 简单随机抽样、系统抽样和分
层抽样. 本节课我们在初中学过样本的频率分布的基础上研究总体的分布及其估
计.1.频率分布条形图1.同时掷两枚骰子共掷7200次点数和的分布频数如下表所示计
算各个结果的频率作出频率分布条形图:点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12频 数 203
407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197频 率 0.028 0.057 0.082 0.112 0.138 0.169 0.137 0.113 0.084 0.053 0.027 掷两枚骰子的等可能性结果 离散型:当总体中的个体
所 6 7 8 9 10 11 12 取的不同数值较少时其随第 5 6 7 8 9 10 11 机变量是离散型的.
二 4 5 6 7 8 9 10枚 3 4 5 6 7 8 9 条形图要点:骰 2 3 4 5 6 7 8 ?各直方长条的宽度
要相同;子 1 2 3 4 5 6 7 ?相邻长条之间的间隔要适当 1 2 3 4 5 6 ?高度就是对应
的频率值. 第一枚骰子 1.同时掷两枚骰子共掷7200次点数和的分布频数如下表所示
计算各个结果的频率作出频率分布条形图:点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12频 数 203
407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197频 率 0.028 0.057 0.082 0.112 0.138 0.169
频率分布的条形图 536 每一个小矩形的高 0.137 0.113 0.084 0.053 0.027 636 频率
436 就是对应的频率 336 离散型总体 236 136 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 点数和 2.频
率分布直方图 从规定尺寸为25.40 mm的一堆产品中任取 100件测得它们的实际尺
寸如下: 如果把这堆产品中产品25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 尺
寸的全体看作一个总体25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.4325.46 25.40
25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 那么左边数据就是从总体25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 中抽取的一个容量为100的25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 样本(25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.3925.45 25.43
25.40 25.43 25.44 25.41 与前例子不同的是这里 25.53 25.3725.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 的总体可以在一个实数区间 25.39 25.4625.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 内取值称为连续型总体.运 25.41 25.3225.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 用
在初中“统计初步”里学 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 过的方法可
以得到这些数 25.29 25.4025.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 据的频率
分布表和频率分布25.42 25.47 25.38 25.39 直方图.?计算极差R:最大值25.56与最小
值25.24的差为0.32?决定组距与组数:组距为0.03与组数为11?决定分点:起点为
25.235终点为25.565.2.频率分布直方图 ?列频率分布表:分组 个数累计 频数 频率
累计频率25.23525.265 1 0.01 0.0125.26525.295 2 0.02 0.0325.29525.325 正 5 0.05
0.0825.32525.355 正正 12 0.12 0.2025.35525.385 正正正 18 0.18 0.3825.38525.415 正正正正正 25 0.25 0.6325.41525.445 正正正 16 0.16 0.7925.44525.475 正正 13
0.13 0.9225.47525.505 4 0.04 0.9625.50525.535 2 0.02 0.9825.53525.565 2 0.02 1.00合
计 100 1.002.频率分布直方图?频率分布直方图: 频率密小矩形的高: 每一个小矩
形的 度 频率 面积恰好就是其0.01?0.03 0.25 对应的频率这些 组距 0.030.02?0.03 小矩形的面积和0.05?0.03 为1.0.12?0.03 0.18 0.160.18?0.030.25?0.03 0.12 0.13 连续
型:当总体中的 个体所取的数值较多0.16?0.03 甚至无限时其随机0.13?0.03 变量是
连续型的. 0.050.04?0.03 0.04 0.02 0.02 产品0.02?0.03 0.01 尺寸 mm0.02?0.03 o 25.235 25.295 25.325 25.415 25.475 25.535 25.5653.频率分布条形图和频率分布直方
图的区别 两者是不同的概念.虽然它们的横坐标表示的 内容是相同的，但是频率分
布条形图的纵轴 (矩形的高)表示频率; 频率分布直方图的纵轴(矩形的高)表
示 频率与组距的比值，其相应组距上的频率 每一个小矩 等于该组距上的面积 频率 形的面积恰 组距 好就是其对 应的频率， 这些小矩形 的面积和为 1. 产品 尺寸 mm o 25.235 25.295 25.325 25.415 25.475 25.535 25.565 离散型总体 连续型总体4.画频率分布直方图的步骤 ?计算最大值与最小值的差知道这组数据的变动范围 ?决定组距与组数将数据分组 组数:将数据分组当数据在100个以内时按数据多少常分5-12组. 组距:指每个小组的两个端点的距离， ? 决定分点 ?列出频率分布表. 频率 组距 ?画出频率分布直方图。 产品 尺寸 mm o 25.235 25.295 25.325 25.415
25.475 25.535 25.565 连续型总体5.总体密度曲线 所抽取的100件产品中尺寸落在各个小组内的频率的大小.样本容量越大所分组数越多各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大分组的组距无限缩小那么频率分布直方图折线就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线. 频率 组距 连接频率分布直方图中 各小长方形上端的中点 得到频率分布折线图. 产品 尺寸 mm o 25.235 25.295 25.325 25.415 25.475 25.535 25.565 连续型总体5.总体密度曲线 所抽
样本容量越大所分组数越多各取的100件产品中尺寸落在各个小组内的频率的大小.
组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大分组的组距无限缩小那么频率分布直方图折线就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线. 频率 组距 连接频率?植贾狈酵贾?各小长方形上端的中点 得到频率分布折线图. 产品 尺寸 mm o 25.235 25.295 25.325 25.415 25.475 25.535 25.565 连续型总体总体密度曲线 样本容量无限增大分组的组距无限缩小那么频率分布直方图就会5.
无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线. 频率分布折 线图无限接 总体密度曲线 近于一条光 与x轴围成的 滑曲线. 面积为1. 连续型总体5.总体密度曲线 总体密度曲线反映了总体分布即反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线图中带斜线部分的面积就是总体在区间(a，b)内取值的概率( 总体密度曲 线与x轴围成 的面积为1. 连续型总体总体密度曲线通常又叫概率密度曲线以概率密度曲线为图像的函数yfx叫做概率密度函数.如图连续型随机变量落在ab内的概率为阴影部分面积.即: P a ξ b S阴影 0 x ? ?1 x 1 x ? 10 例1.已知随机变量ξ的密度函数是 f x 1 x x ? 01 0 x ? 1??画出ξ的概率密度曲线?根据所画曲线求ξ在区间-0.50.5内取值的概率.例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下:寿命h 100,200 200,300 300,400 400,500 500,600 个数 20 30 80 40 301列出频率分布表; 连续型总体2画出频率分布直方图3估计电子元件寿命在100h,400h以内的概率;4估计电子元件寿命在400h以上的概率;?计算样本的期望总体均值. 例2.对某电子元件进行寿命追踪调查情况如下:1列出频率分布表;2画出频率分布直方图 连续型总体3估计电子元件寿命在100h,400h以内的概率;4估计电子元件寿命在400h以上的概率;?计算样本期望.解:1样本频率分布表: 2 频率分布直方图 寿命h 频数 频率 100,200 20 0.10 200,300 30 0.15 300,400 80 0.40 400,500 40 0.20 500,600 30 0.15 合计 200 1 例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下: 1列出频率分布表;2画出频率分布直方图 3估计电子元件寿命在100h,400h以内的概率; 4估计电子元件寿命在400h以上的概率;?计算样本期望.解:1样本频率分布表: 2 频率分布直方图 寿命h 频数 频率 100,200 20 0.10 200,300 30 0.15 300,400 80 0.40 400,500 40 0.20 500,600 30 0.15 合计 200 1 3由频率分布表可以看出寿命在100h,400h的电子元件出现 的频率为0.65所以我们估计电子元件寿命在
100h,400h的概率 为0.65( 例2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下: 1列出频率分布表;2画出频率分布直方图 3估计电子元件寿命在100h,400h以内的概率; 4估计电子元件寿命在400h以上的概率;?计算样本期望.解:1样本频率分布表: 2 频率分布直方图 寿命h 频数 频率 100,200 20 0.10 200,300 30 0.15 300,400 80 0.40 400,500 40 0.20 500,600 30 0.15 合计 200 1 4由频率分布表可知寿命在400h以上的电子元件出现的频 率为0.200.15,0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以 上的概率为0.35. 例2.对某电子元件进行寿命追踪调查情况如下: 1列出频率分布表;2画出频率分布直方图 3估计电子元件寿命在100h,400h以内的概率; 4估计电子元件寿命在400h以上的概率;?计算样本的期望总体均值. 解:1样本频率分布表: 2 频率分布直方图 寿命h 频数 频率 100,200 20 0.10 200,300 30 0.15 300,400 80 0.40 400,500 40 0.20 500,600 30 0.15 合计 200 1 ?样本的期望为总体均值 :100 200 200 300 300 400 400 500 500 600 × 0.10 × 0.15 × 0.40
× 0.20 15 140 × 0.15 90 82.5 365. 2 2 2 2 2 ?我们估计总体生产的电子元
有一个容量为50的样本数据的分组的频数如件的寿命的期望值(总体均值)为365.2.
下:〔12.5 15.5) 3 〔24.5 27.5) 10〔15.5 18.5) 8 〔27.5 30.5) 5〔18.5 21.5) 9 〔30.5 33.5) 4〔21.5 24.5) 11 1列出样本的频率分布表 2画出频率分布直方图 3根据频率分布直方图估计数据落在15.5 24.5)的 百分比是多少
范文五：基于概率密度演化理论的结构抗震可靠性分析
振动与冲击No(9 OF VIBRATION AND SHOCK V01(28 第28卷第9期 JOURNAL 2009
基于概率密度演化理论的结构抗震可靠性分析
刘章军1’2，李杰2
(1(三峡大学土木水电学院，湖北宜昌443002;2(同济大学土木工程学院，上海200092) 摘 要:运用随机过程的正交展开方法，将地震动加速度过程表示为由lo个左右的独立随机变量所调制的确定
性函数的线性组合形式。结合概率密度演化方法和等价极值事件的基本思想，研究了非线性结构的抗震可靠度分析问
题。以具有滞回特性的非线性结构为例，对某一多自由度的剪切型框架结构进行了抗震可靠性分析。结果表明:按照复
杂失效准则计算的结构抗震可靠度较之结构各层抗震可靠度均低。这一研究为基于概率密度函数的、精细化的抗震可靠 度计算提供了新的途径。关键词:非线性结构;抗震可靠度;正交展开;概率密度演化方法
中图分类号:0324;IBl5(96 文献标识码:A
结构体系可靠度是结构工程领域中一个长期悬而 础，结合概率密度演化理论，应用等价极值事件的基本 未决的问题。一般认为，之所以造成这一难题的主要 思想，进行一般非线性多自由度结构的抗震可靠性 原因是各失效模式之间的相关性与失效模式的组合爆 分析。 炸问题，两者都导致计算上的极端复杂性。经
典的结1地震动随机过程的正交展开模型 构体系可靠度理论，主要是在构件可靠度分析基础之
上寻求体系可靠度的近似解或界限，如1969年，Cor- 文献[9]研究表明，直接对地震动加速度过程进行
正交展开所需独立随机变量的个数一般达300至500， 效nell 按独立和完全相关两种极端情况给出了系统失
概率的宽界限;DitlevsenB o则提出了著名的窄界限 从而导致在概率密度函数层次上难以对地震动随机过 法，分别给出了二阶联合概率和系统失效概率的窄界 程进行描述。真实的地震动过程是由若干个主导因素 限。事实上，无论是窄界限法还是后来提出的各类分 所控制的过程，寻求用较少随机变量或较少随机度的 枝限界法”J，分析界限都必将随失效模式的增多和失 随机函数模型来反映真实的地震动过程，应是随机现效模式间相关性的增大而扩大。而在动力可靠度分析 象研究中的一个正确思路。鉴于这一思路，文献[10] 方面，由于受到经典随机振动分析的限制，多数动力可 靠建议从地震动位移过程的正交展开入手，应用能量等
算结度研究仍停留在利用结构反应的二阶矩统计值来计 效原则，达到对地震动加速度过程展开的目的。本文
以Clough(Penzien功率谱模型为例，简要介绍地震动随突破按 构动力可靠度的层次上。主要的研究基础并没有 照跨越假定进行分析的格局。2004年以来，李 机过程的正交展开方法。
杰和陈建兵L4，51在概率密度演化分析研究基础上，实现 Clough(Penzien功率谱模型(单边功率谱)为:了随机结构的动力可靠度分析?。8 J。这一研究为基于
概率密度函数的、精细化的随机系统动力可靠性计算 s“?2?鼍鬻。 开辟了新的道路。 ，1、 、1 7—————————— j型L———————一q 鉴于这一研究进展，李杰和刘章军一。在随机过程 (?2一?;)2+4,?;cc，2。oKarhunen—Loeve分解的基础上，提出了一类基于标准正 交式中，?，和靠分别为场地土的卓越圆频率和阻尼比;
随机基的随机过程展开法，并将这一方法应用于地震动 频率参数?，和阻尼参数玉是为了给出所需要的过滤 变量来过程的正交展开研究中，实现了用少量独立随机 特性而选择的;s。为谱强度因子。本文考虑中等场地，
其参数取值为??:?。=5订rad,s，幺=0(60的? ;toI= 。描述地震动随机过程的主要概率特性的目 本文将以地震动随机过程的正交展开模型为基 0(5订rad,s，彭=0(60。
在式(1)中，谱强度因子S。可按下式计算:基金项目:国家自然科学基金创新研究群体资助项目(50621062)，国家
自然科学基金资助项目(50808113);中国博士后科学基金资助项目 (2) (20080430689) s。2蔗 收稿日期:2008—09—03修改稿收到日期:2008—12—08 式中，石。，为地震地面加速度最大值的均值(本文取为第一作者刘章军男，博士后，副教授，1973年生 0(2 g)?为峰值因子(中等场地可取为3(1);?。为谱 通讯作者李杰男，“长江学者”特聘教授，博士生导师，1957年生强度因子等于1时的谱面积，即:
万方数据
2009年第28卷2 振动与冲击 (3) 2结构非线性随机地震反应的概率密度演化 sx，(?),sodto 峨=l
方法 由位移功率谱密度函数与加速度功率谱密度函数
之间的关系，即: 在一致激励随机地震作用下，一般非线性多自由
(4) |sx，(to)=?。Sz。(?) 度结构系统的动力方程为: 可以得到地震动位移过程的功率谱密度函数。(12) MX+CX+G(X)=一MIX。(0，,) 再由Wiener—Khintchine定理，可获得地震动位移 式中，M和C分别为n×n阶的质量和阻尼矩阵;G为过程的自相关函数为: 非线性恢复力向量;X，x，X分别为n维加速度、速度和(5) 尺,(r)=LSx,(?)exp(itOr)dto x 位移反应向量;J为，l 1的单位向量;t为地震动加速 考虑到实际地震动的持续时间为有限值。因此， 度过程[即式(7)]。
将平稳地震动位移过程的自相关函数修正为: 引入状态向量U=(r，r)7，方程式(12)可改
RJ。(丁，t)=(1一lrI,t)R缸(r)， 写为:
(6) I引?t 移=A(,，，偾) (13)式中，Z为地震动平稳持时或90,能量持时，对于中等 其中:场地可取为20 s。
利用文献[10]中的基于Hartley正交基的随机过 A=[-M-1CX二-1G越】(14)程展开方法，实施对地震动位移过程的正交展开，再由
对于物理上适定的动力系统，式(13)的解答是存 能量等效原则，可以获得地震动加速度过程的正交展
在且唯一的，而且物理解是基本随机向量D和时间t 开式为:
的函数，即:(7a) x。(D，t)=厄??嚆‘(t) U=日(9，,) (15)J2I ?^ ' 其分量形式可表达为:(7b) Fs(t)=一?(竽)‰仍卅。咖。 (t) U=日(O，,) (16)
这里为书写方便，省去了奶，q(J=1，，22，， 1)的下标 式中，Af为特征值，妒加+。为标准特征向量哆的第(n+
记号。1)个元素;N为展开项数(本文取为500);r为截断项 根据文献[5]的推导，广义密度演化方程为:数(本文取为10);r,川(,,,=1，2， ，?)为能量等效系 数，可按文献[12]求得;随机向量O=旧，岛，，f，} 是 掣+U(o力?掣=0(17) 由一组相互独立的标准高斯随机变量所组成;咖。(t)为 归一化的Hartley正交基函数，即: 式中，U(p，t)为{9=p}条件下U(t)的速度。 当结构初始位移、初始速度与结构的物理参数相 “t)=—净as(宇)，n=o'l ，2， (8) 互独立时，式(17)相对应的初始条件可表示为:式中，函数CfltS(,)=COS(t)+sin(t)。 (18)Pve(u，0，t)I?=艿(u—uo)po(O)
在式(7)中，特征值Ai和标准特征向量唾是由地 式中，‰为U(t)的确定性初始值;P日(p)为基本随机震动位移过程的相关矩阵足求得，即: 向量9的联合概率密度函数。
(9) 只巾f=A，西， 在获得联合概率密度函数Pu#(?，秽，t)的基础上，其中，相关矩阵足的表达式为: 可得到分量U(t)的概率密度函数:
(10)R=(P口)((1v+1)。(( 1v+1) (19)Pus(H，p，t)d0 p,，(“，t)=L 式中，P。为矩阵冠的第i行、第歹列元素，可由下式
式中，亿为p的分布区域。 计算: (rI(n
3基于概率密度演化理论的结构动力可靠度PO"2 Rxs(12一tl，t)咖‘(tI)咖(f2)d ,ld‘2， Jo Jo 分析(11) iJ=0，1，2， 。?
式中，R妇(t:一t。，t)为修正后的地震动位移自相关函 3(1结构动力可靠度
数，即式(6);显然，足为实对称矩阵。 考察首次超越破坏问题的结构动力可靠度问题，
若结构反应量为X(@，t)，则动力可靠度可定义为:
Rr=Pr{X(O，t)E砬，t?[0，T]} (20)
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3第9期 刘章军等:基于概率密度演化理论的结构抗震可靠性分析
式中，理为安全域。一般地，式(20)可进一步写为: 以式(23)中最小值的概率密度函数求解为例。从
Rr=Pr}g(9，,)>0，t E[0，r]}(21) 式(z3)可知，z毗，显然依赖于9，即z嘁r是0的函显然，式(21)等价于: 数，因此，可以给出Z抵，关于@的形式表达:
(22) Z。in(r=W(9，r) (28) Rr=Pr{(n，[g(D，t)>0]}
构造一个以丁为虚拟时间参数的虚拟随机过程: 由此可见，首次超越破坏动力可靠度问题本质上 z(r)=咖[W(O，r)，r]=砂(O，r) (29) 是一个具有无穷多个分段(或分片)极限状态函数的复 该随机过程在给定时刻L的值等于式(28)中的杂失效准则问题。当采用与随机过程g(@，t)相关的 值，即: 概率信息直接进行动力可靠度分析时，理论上需要应 用随机过程g(O，t)的无穷维联合分布信息(无极
z(r。)=咖[W(@，r)，丁。]=W(p，r)(30) 穷维相 同时，式(29)的初始值可以取为0，即: 关信息)，才有可能获得精确的可靠度解答。从这一角 度考察结构动力可靠度分析中最常用的跨越过程理 z(f)l，:o=0(31)
式(29)构造了一个随机过程，可以引用密度演化 论，可见，由于采用Rice公式计算期望穿阈率时本质上
的基本思想瞪]，获得[z(f)，9]的联合概率密度函数 仅采用了二维联合分布信息，因而，即使反应量及其速
度的二维联合分布信息是精确的(这一点常常是相当 Pzo(:，p，丁)的演化方程:
垫冬盟+痧(一，r)亟掣: 困难的)，也仍然无法对于一般情形获得可靠度的精确 0(32) oT o五 解答。换句话说，基于跨越过程的可靠度理论本质上
是某种二阶矩理论，它不可能得到结构动力可靠度的 这里，痧(0，r)=触(口，z),&r。当式(31)满足时，式
从等价极值事件的基本观点出发旧精确解答。 (32)的初始条件为:
(33)J，可以构造式Pzo(彳，9，丁)l，:o=8(z)po(p) (22)的等价极值: 求解式(32)、式(33)获得P。9(彳，p，r)之后，即可 O t 23 (，)]Z咖r= 进一步得到z(丁)的概率密度函数: 即可通过简单的一维积分获得关于指定物理量的动力 (34) Pz(彳，丁)=『Pzo(zn ，0，r)dO ，J』8 可靠度: -+? 这里，亿为D的分布区域。
Pgmin,r(彳)dz(24) 屁r=Pr{z。intr>o}-l 显然，由式(30)可知:
推广到结构体系动容易理解，构造等价极值事件的思想可以方便地 (35) pz血。(，(z)=Pz(彳，丁)I，:，， 力可靠度定义为: 力可靠度分析的场合，即若结构动 式(32)、式(33)求解的基本过程与密度演化的基 本思想是完全一致的:首先在多维随机参数空间亿中
取得离散代表点0q(q=l，2， ，虬。)，这里?8。。为离散尺r=Pr{([1(毋(O，t)>0，t?[0，乃])}(25) 代表点的总数;对于给定的O=以，进行确定性结构分 则只需构造等价极值:
析获得式(29)及式(29)的导数痧(眈，r)的值，代人式 (26) Z。t=(嗽{。帮蚪毋 (@，f)]}(32)采用有限差分求解即可获得Pz。(石，p，丁) 的数值解即可得到式(25)所定义的可靠度: ?+? 答，进一步对式(34)进行数值积分得到Pz(z，r)的数值
(27) Rr=Pr{z嘲>0}=【、p‰(彳)dz 解答，从而得到Z。沁，的概率密度函数。在具体的实施中，本文选取式(29)为: 上述分析再次说明，在各类复杂失效准则下的结 构可靠度分
z(丁)=砂(O，丁)=W(O，r)?sin(?r) (36) 析问题中，所构造的等价极值内蕴了各个
其中，?=2(5,tr，r。=1。分段(或分片)极限状态函数之间的相关性信息，因而，
不再需要对相关性加以另外的特殊考虑和专门处理。4非线性结构抗震可靠度分析实例 显然，利用等价极值事件分析结构可靠度未引入任何 4(1分析模型假定或近似，因此，除数值分析的误差外，在原理上是 ‘ 精确的结果。 考察一个具有Bouc(Wen恢复力的10层层间剪切
型框架结构的抗震可靠性分析问题。 如前所述，复杂3(2极值分布的数值算法 mm 500x 剪切型框架结构的柱截面尺寸为500 失效准则下的结构动力可靠度分m m，h=3 析可以通过构造等价极值来实现。在文献[7]中，基于 mm;柱高h1_4 in;两跨三柱，跨长分别为4
和6 m;设该结构从顶层至底层各层质量依次为1(5、 密度演化理论，发展了获取一般随机函数或随机过程
的极值分布的方法。 2(0、2(0、2(0、2(0、2(0、2(0、2(0、2(0、2(2(×10’kg);
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4 振动与冲击 2009年第28卷
应用概率密度演化方法与等价极值事件思想，计 同时，假定从顶层至底层各层的刚度参数(弹性模量)
算的10层剪切型框架结构中层间位移角定义的单一 依次为2(8、3(0、3(O、3(O、3(0、3(0、3(0、3(0 、3( 0、3(2
(×1010 Pa);采用阻尼矩阵C=aM+6K，其中a=0(01 失效准则下的结构抗震可靠度，结果见表1。 Hz，
s。 4(3结构体系的抗震可靠度分析 b=0(005 在结构的基本动力方程式(12)中，层间恢复力曲 结构体系可靠度，是指在结构所有层中只要有一 线采用推
31，本文给定的参数取 层层间位移角超过给定界限值咖。，则结构失效。此时 值如广的Bouc—Wen模型【I
结构体系可靠度可表示为:下:仅=0(01、A=1(0、r,,=1(0、q=0(0、P=
2 500、6。D=0(01、A=0(003、沙=0(003、p=140、y= Rr= —n一 20、6。，=200、6。=200、f。=0(95。 Pr{(n(?xf(t),hj<咖b)，t?[0，t]}(39)在实施概率密度演化过程中，采用了数论选点方 根据等价极值事件思想，式(39)表示的各失效事法生成代表性样本时程曲线。本文选点的主要参数="" 件的关系为串联关系，可构造其等价极值事件为:为【="" 4lj:标准高斯随机变量的界限值为4(0，即标准高斯="" (40)石一=",max[鼍(一]" 随机变量彘?[一4(o，4(0](k="l，2，" ，10)，超立方="">
则式(39)的等价形式可表示为: 体空间选点总数为155 093，超球体半径r0=1(05，从而 在超球体中的
(41) Rr=Pr{X一<咖b} 选点数?捌="610，同时得到选出点数的由概率密度分析方法，可以计算等价极值事件赋得概率P。(q=l，2，" ，?s。。);其筛选率为7。="0(393,。" x一的概率密度函数与概率分布函数。图2给出了层框架结构的等价极值事件的概率密度函数，="" 10="" 图1给出了610条典型地震动加速度时程曲线所="" 结构体系的失效概率和抗震可靠度见表1。="" 生成的功率谱与目标谱的比较，可见，在总体上生成的="">
地震动符合目标功率谱要求。
籁 闰 玄 刨 o 翻 锝g 枣寇 翻 觏 斟 泰
???柏加?踟??加 o图2结构体系的等价极值事件的概率密度曲
表1 10层框架结构的抗震可靠度 线 图l样本功率谱与目标功率谱的比较 4(2单一失效准则下抗震可靠度分析 这里所指的单
一失效准则，是指以框架结构中某
一层的层间位移角超过给定界限值咖。来表示结构的
整体破坏，即:
Rr(f=Pr{?x，(,),hj<咖b，>
(37) t?[0，T]}J=1，2 ，l 式
中，R,为第，层层间位移角的抗震可靠度;?五(t) 为
第(_『一1)层与第，层的层间位移(记基底为0层)，^，
为相应的层间高度，n为结构简化有限元模型的总层
数(本文为10);咖。为层间位移角界限值;r为分析
的 总时间，这里取为20 s。
由此可构造对应于每层层间位移角的极值事 (注:层间位移角界限值机=1,150) 件为: (下转第20页)
墨，一=。。mMax[AX,(t),h,]，J=1 ，2， ，，l(38)
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2009年第28卷 振动与冲击
2000，235(3):477—494( Yaw方向上的解耦率影响较大。 and P A M G，Pinto G，et a1(Experimental eomputa- [4]Zavala (2)为增强悬置系统各方向频率及解耦率(尤其 tional simulation for engine mounting development approaches 是Roll、Pitch和Yaw方向)的鲁棒性，在产品设计及 使Technical and certification[J](SAE Paper Series，2000一01 用阶段应严格控制贡献率较大参数的变化范围。—3239，2000(
(3)针对文中所给算例，识别出了对动力总成悬 F(Robustness of mountM，Johns powertrain [5]Qatu M，Sirafi
for and at harshness idh[J](Proc( system noise(vibration 置系统解耦布置鲁棒性影响较大的悬置静刚度参数。 of Automobile Instn D，Journal Mech(Engrs，Part Engineer-文中给出的鲁棒性分析理论和方法可以用于一般的汽 ing，2002，216:805—810(车动力总成悬置系统，为提高其解耦布置的鲁棒性提 P(Robustness of mount for idleY systems [6]Sirafi M，Chang 供理论依据和分析方法。of NVH，Part 1:Center Gravity(CG)mounts[J](Interna- 参考文献of tional Journal Vehicle Noise and Vibration，2006，2(4): [1]徐石安(汽车发动机弹性支承隔振的解耦方法[J](汽车 317—333(
工程，1995，17(4):198—204( to flexM(Exhaust robustness dur [7]Pang J，Qatu analysis system [2]阎红玉，徐石安(发动机-悬置系统的能量法解耦及优化设 Seri?stiffness Technical variation[J](SAE Paperdecoupler 计[J](汽车工程，1993，15(6):321—328(als(2003—0l—1649，2000( of J marine G K [3]Tao S，Liu R，I(am Y(Design optimization mount of Sound and engine system[J](Journal Vibration，
(上接第4 页)tures[J](Structural Safety，1984，2(1):17—25( 表1的结果表明，按照复杂失效准则计算的结构 method for evolution [4]Lj J，Chen J B(Probability density dy- 抗震可靠度较之结构各层抗震可靠度均低，这进一步 with namie of structures uncertain parame。analysis response 验证了复杂失效准则下的结构可靠度与最弱链可靠度ters[J](Computational Mechanics，2004，34(5):400 并不是等价的。仅在各个基本失效事件完全相关的场 —409(B(The of of J 合，两者才是等价的。在各基本失效事件非完全相关 [5]“J，Chen principle preservation probability evolution and the generalized density equation[J](Structural 的场合，各基本失效事件都将对失效概率有所贡献，因 Safety，2008，30(1):65—77( 而导致复杂失效事件的概率较之最弱链失效事件的概 and ofJ [6]Chen B，“J(Dynamic response reliability analysis 率为大。 non-linear stochastic structures[J](Probabilistic Engineering Mechanics，2005。20(1):33—44(5结 distribution extreme value and J J(The [7]Chen B，Li 论dynamicwith uncertain nonlinear of structures reliability analysis pa-将地震动随机过程的正交展开模型与概率密度演 rameters[J](Structural Safety，2007，29(2):77—93( 化理论相结合，应用等价极值事件的基本思想，研究了W L(The extreme-value e?J [8]“J，Chen B，Fan equivalent 非线性结构的抗震可靠度分析问题。针对常见的 vent and evaluation of the structural system rehability[J](Structural Bouc—Wen滞网恢复力模型，对一个lO层剪切型框架结 Safety，2007，29(2):112—
131( [9]李 杰，刘章军(基于标准正交基的随机过程展开法 构进行了抗震可靠性分析，结果表明:按照复杂失效准 [JJ(同济大学学报(自然科学版)，2006，34(10):1279则计算的结构抗震可靠度较之结构各层抗震可靠度均 —1283( 低，这一结果也验证了复杂失效准则下的结构可靠度 [10]刘章军，李杰(地震动随机过程的正交展开[J](同济 与最弱链可靠度并不是等价的。这一研究为基于概率 大学学报(自然科学版)，2008，36(9):1153—1159(stochastic vector [1 1]Deodatis G(Non—stationary processes:ads? 密度函数的、精细化的抗震可靠度计算提供了新的 motion mic ground applications[J](Probabilistic Engineer- 途径。 ing Mechanics，1996，11:149—168( 参考文献[12]刘章军(工程随机动力作用的正交展开理论及其应用研 C on the of structural A(Bounds reliability systems [1]Cornell 究[D](上海:同济大学，2007(of the Structural [J](Journal Division，1967，93(1):171 ofa1(Parameter [13]Ma F。Zhang H，Bockstedte A，et analysis —200(the differential model of of Applied hysteresis[J](Journal bounds for [2]Diflevsen 0(Narrow structural reliability systemsMechanics，2004，71:342—349( of Structural [J](Journal Mechanics，1979，7(4):453 theoretical in a(J B(The number method [14]“J，Chen response —472(of nonlinear stochastic structures[J](Computational nalysis a1(Automatic K，et [3]Murotsu Y，Okada H，Taguchi genera- Mechanics，2007，39(6):693—708(tion of failure of frame struc一dominant modes stochastically
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