范文一:一元函数极值的数值解法
科教论坛 引进与咨询2006年第1期 85
一元函数极值的数值解法
林贞棋
(福建信息职业技术学院, 福建福州350019)
摘要:本文讨论了一元函数极值使用数值逼近法求解的方法。
关键词:一元函数; 极值; 数值解法
一元函数的极值包括极大值和极小值。如果是求f(x ) 的极大值, 则它可等价地化为求-f(x ) 的极小值, 所以下面仅讨论极小值问题。
在高等数学课程中所介绍的精确法, 即要求f(x ) 的极小点, 根据极值存在的必要条件, 必须解方程f(x ) =0。一般来说, 这个方程用解析方法求解是很困难的, 甚至是不可能的, 这时必须用
一、平分法
如果函数f(x ) 的极小点为x *, 则f (x *) =0, 且当x
f (x 3) >0, 则在区间 x 1, x 3! 2
中有极小点, 若f (x 3) <0,>0,>
续上面这个过程, 逐步将区间换小, 当经过k 次迭代后的小区间 a , b ! 充分小
a+b
时, 或当 f () 很小时, 可取 a ,
2b ! 的中点为极小点的近似值。
例1 用平分法求f(x ) =e 2x +e -x +x 的极小点。
解 f (x ) =2e 2x -e -x +1, 令f (x) =0, 得2e 3x +e x =1, 估计极小点在 -1, 0! 之间, 取x 1=-1, x 2=0。计算过程和结果列表如下:
中有极小点。假定在 x 1, x 3! 中数值计算方法逐步求出方程的近似解。 x 3, x 2!
在数值计算方法中最常用的是迭代法。有极小点, 则以 x 1, x 3! 为新的区间, 连下面分别介绍三种方法。
k 12345
x k -1-1-0. 75-0. 625-0. 563
f(' x k ) -----x k+10-0. 5-0. 5-0. 5-0. 5
f(x k+1) +++++
x k+2=
x k +x k+1
2
f(' x k+2) 0. 087-0. 671-0. 295-0. 107-0. 012
-0. 5-0. 75-0. 625-0. 563-0. 532
(注:上表中的X k 、X (k+1) 、是按每次所选的区间来写的, 所以各行中的X k 并不一定相同) 经过4次迭代 f (X 7) =0. 012已经很小了, 所以极小点可取X =x 7=-0. 532。
二、0. 618法(黄金分割法) 0. 618法适用于单峰函数, 即在所讨论的区间上函数只有一个极小点。
为了确定极小点列可采用一维搜索, 即过点沿方向的直线可用点集表示, 记作L ={x |x =x k + d k , -?<><+?},求函数f(x )="" 在直线l="" 上的极小点转化为求函数="" (="" )="f(x" k="" +="" d="" k="" )="" 的极小点。如果="" (="" )="" 的极小点为="" k="" ,="" 那么函数f(x="" )="" 在直线l="" 上的极小点就是x="" k+1="x" k="" +="" d="" 。k="">+?},求函数f(x>
一维搜索法可用试探法, 即按某种, 列试比较确定极小点。
0. 618法取试探点的规则是:
. 382(b k - k ) k = k +0
! k = k +0. 618(b k - k ) 详细计算步骤如下:
1. 对初始区间[ 1, b 1]及精度要求?>0, 取k=1, 计算试探点
= 1+0. 382(b 1- 1) 1
! 1= 1+0. 618(b 1- 1) 和函数值f( ) 、f(! 1); 12. 如果b k - k , 则停止计算,="" 此时[="" k="" ,="" b="" k="" ]中的任意点均可作为所求极小点的近似值。否则当f(="" k="" )="">f(! k ) 时, 转3; 当f( k ) f(! k ) 时, 转4;
. 取 1=b 1b k , k+1! k , 计算
! k+1= k+1+0. 618(b k+1- k+1) 和f(! k+1), 转5;
4. 取 k+1= k , b k+1=! k , ! k+1= , 计算k
. 382(b k+1- k+1) 和k+1= k+1+0f( ; k+1), 转5
5. 令k=k+1, 回2。
例2用0. 618法求函数f(x) =x 2+e -x 的极小点。
解f(' x) =2x-e -x , 令f (' x ) =0, 得xe x =
1
估计极小点在[0, 1]之间。取2
初始区间[ 1, b 1]=[0, 1],精度?=06
86
计算过程列表如下:k 1234567
k 000. 2360. 2360. 2360. 2920. 326
引进与咨询2006年第1期 科教论坛
b k 10. 6180. 6180. 4720. 3820. 3820. 382
k 0. 3820. 2360. 3820. 3260. 2920. 326
! k 0. 6180. 3820. 4720. 3820. 3260. 348
f( k ) 0. 8280. 8450. 8280. 8280. 8320. 828
f(! k ) 0. 9210. 8280. 8470. 8280. 8280. 827
经过6次迭代此时b 7- 7=0. 056<0. 06,="">0.>
[0. 326, 0. 382]上, 可取极小点x =0. 326+0. 382
=0. 354。
2三、牛顿法
牛顿法的基本思想是在迭代点附近用二阶泰勒多项式近似所讨论函数, 进而求出极小点的估计值。
f(x ) #f(x k ) +f(' x k ) (x -x k ) +f n (x k ) (x -x k ) 2, 令
k 1234
x k 10. 54580. 56670. 567212
n
(x ) =f(x k ) +f(' x k ) (x-x k ) +
2
12
x 的近似值。*
运用牛顿法时, 初始点的选择十分重要, 如果初始点远离极小点, 则迭代产生的点列有可能不收敛于极小点。
例3用牛顿法求函数f(x ) =e x -i nx 的极小点。
解f(' x) =e x -1
令f (' x ) =0, 得x
f (x k ) (x-x k ) 。f(x) 的极小点近似于 (x ) 的极小点, 于是由 (' x ) =f (' x k ) +f (x k ) (x-x k ) =0,
得 x k+1=x k
f '(X K )
f ?(x k )
n
用这个迭代公式可得到一个点列{X k },在一定条件下它收敛于极小点。当|f '(X K ) |相当小时, x k 便是极小点
xe x =1, 估计极小点在区间(0, 1) 内。取初始点x 1=1, 计算过程和结果如下:
f(' x k ) 1. 7183-0. 1062-0. 00220. 0003
f ?(x k ) 3. 71835. 08284. 8763
f(' x k ) f ?(x k ) 0. 4542-0. 0209-0. 0005
经过3次迭代|f '(X 4) |=0. 0003已经相当小了, 所以可取x 4作为极小点
的近似值, 即极小点x . 5672。*=0
迭代法的计算量比较大, 所以在具体操作时可使用数学软件MA PLE 来完
成。
参考文献:
[1]施光燕, 董加礼. 最优化方法. 北京:高等教育出版社, 1999.
范文二:自主学习课题:探索求一元函数极值和最值的方法
自主性学习课题:探索求一元函数极值和最值的方法
学习要求:分小组,以小组为单位认真地阅读教材第六章第四节的内容和其他教材或参考资料中有关极值部分的内容,积极思考、大胆探索、讨论、归纳得出用导数求函数极值和最值的方法,并形成学习心得。
须达到的目的:获得求一元函数极值的方法和区间上连续函数最值的方法。
探索可按下面的程序进行:
一、探索可能的极值点
回顾一元函数极值的定义,函数的极值点与导数关系的费马定理,分析可能的极值点的类型,并解决以下问题:
1、可导点成为极值点为什么一定要是稳定点?
2、为什么函数的不可导点也可能成为极值点?
3、还有没有其他类型的点能成为极值点?
4、稳定点和不可导点一定都是极值点吗?
5、请对极值点的范围作出综合评价,并提出进一步要解决的问题。
二、探索确定极值点的方法
2
2311、考察函数f (x ) =x ,f (x ) =x 3和f (x ) =x ,f (x ) =x 3的稳定点或不可导点。
先求稳定点或不可导点,结合图像和计算,观察它们在这些点左右两侧的单调性特点, 导数符号特点,归纳并大胆猜测一般结论(一):极值的导数符号判别法则。
2、尝试用所学的知识探索“极值的导数符号判别法则”的证明。
3、进一步观察并计算f (x ) =x 2和f (x ) =-x 2在稳定点处的二阶导数的特点,归纳并大胆猜测一般结论(二):“稳定点为极值点的二阶导数判别法”。
4、回顾泰勒公式,并尝试选择适当的泰勒公式探索“稳定点为极值点的二阶导数判别法”的证明。
5、借助函数f (x ) =x 和f (x ) =x 思考“引申问题”:若稳定点处,函数的二阶导数为零,则函数的极值情况如何?
进一步求函数f (x ) =x 和f (x ) =x 在稳定点处的更高阶导数,观察特点,归纳和大胆猜测一般结论(三):“稳定点为极值点的高阶导数判别法”。并尝试用泰勒公式给予证明。
6、对上述探索的过程进行小结(包括探索的结果小结和感受)。
三、探索确定区间上函数最值的方法
1、回顾有界闭区间上连续函数的最值性;
22、考察函数f (x ) =x 和f (x ) =x 在闭区间[-1, 2]和[1,2]上的最大值和最小值的取3434
值点的分布,以及f (x ) =sin x 在[0,2π]上的最大值和最小值的取值点的分布,归纳出闭
区间上连续函数取最大和最小值的点的可能的分布,并提出求闭区间上连续函数最大值和最小值的方法。
3、进一步观察函数f (x ) =x 2和f (x ) =x 在[-1, 2]上的极值点的个数,思考并探索解决下面的问题:
若区间I 上连续的函数f (x ) 在区间I 上仅有惟一的一个极值点x 0∈I ,则f (x 0) 是否函数f (x ) 在区间I 上的最值,如果是最值,是最大值还是最小值?
请在观察、思考的基础上,先猜测,再用所学知识和方法加以解决。
四、探索过程总结
总结学习的过程,每个小组以小组为单位完成一篇学习报告。
范文三:探索求一元函数极值和最值方法
“探索求一元函数极值和最值方法”的学习报告
一、前言
函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位,而且也是函数形态的重要特征。因此,通过学习、掌握确定极值点和最值点,并求出极值和最值的方法是十分重要的。 二、学习内容和过程
1.探索可能的极值点
(1)回顾相关定义、定理
a.极值定义:若函数f在点x的领域U(x)内对一切x?U(x)有f(x)?(?)f(x),则称函0000
数f在点x确取得极大(小)值。称x为极大(小)值点。 00
b.费马定理:设函数f在点x的某领域内有定义,且在点x可导。若点x为f的极值点,000则必有f’ (x)=0。且称这样的点为稳定点。 0
(2)思考并回答下列问题。进一步分析可能的极值点类型。
a.可导点成为极值点一定是稳定点吗,(是。通过费马定理可证明)
b.函数的不可导点也能称为极值点吗,(能。例如y=| x|在x=0处取极小值)
3c.函数的稳定点一定是极值点吗,(不一定。例如y=x,x=0为稳定点,但非极值点)
d.函数的不可导点一定是极值点吗,(不一定。例如y=1/x,在x=0处不可导,但不是极值点)
e.函数在点x处不可导,它包含了哪几种情况,(?连续不可导?不连续) 0
f.除此之外,还有没有其他类型的点极值点,(没有)
2 稳定点,例如y=x,x=0处
(3)由上面的问题得到极值点的范围
连续不可导,例如y=| x|,x=0处
2 不可导点 x x?0
不连续点,例如y=
,1 x=0
2.探索确定极值点的方法
由极值点的范围可知极值点分为连续点和间断点。对于剪短点,只要满足在x某领域0内始终有f(x)?f(x)或者f(x)?f(x),至于连续部分函数任意,这样间断点x就为极大或极000小值点,即判断间断点是否为极值点,只需要根据极值定义即可。下面主要讨论连续点能否成为极值点的判断。
231/30(1)a.考察函数y=x,y=x,y=x易知在x=0处连续,在U(x)可导,且有
2?y=x x<0时,f’>0时,f’><0,函数严格递减>0,函数严格递减>
x>0时,f’ (x)>0,函数严格递增
3 ?y=xf’ (x) ?0函数单调递增
仅在x=0时,f’ (x)=0
1/3 ?y=xf’ (x)>0.函数严格递增 且x=0处不可导
223由y=x在x=0处连续以及两边领域内的增减性可知y=x在x=0处取得极小值,而y=x
1/3以及y=x由f(x)的增减性可知在x=0处不取极值。
0b.启发得到定理:设f在点x连续,在某领域U(x)内可导则 0000?若当x?U(x),f’ (x) ?0,当x?U(x),f’ (x) ?0,则f在点x处取得极大值 —+00000?若当x?U(x),f’ (x) ?0,当x?U(x),f’ (x) ?0,则f在点x处取得极小值 —+000
(单调性可以验证)
0连续,在U(x)内可导,可知该定理适用于稳定点或连续不可导点。 注:由条件在x0022(2)a.考察函数y=x,y=-x易知前者在x=0处取得极小值,后者在x=0处取得极大值,而且二者在x=0处的导数值都为0。观察二者的二阶导数符号特点。列表如下: 函数 一阶导数值 二阶导数符号
2y=x 0 +
2Y=-x 0 —
b. 设f在x的某领域U(x)内一阶可导,在x= x处二节可导,且一阶导数为零。二阶000
导数非零。则有?若二阶导数小于零,则f在x处取得极大值 0
?若二阶导数大于零则f在x处取得极小值(泰勒公式可验证) 034(n)(3)a.进一步考察f(x)=x和f(x)=x等更高阶导数和极值特点,类似(2)方法:若f(x)=0,0(n+1)考虑f(x)的符号。 0
b.启发得定理:设f在x的某领域内存在直到n-1阶导函数,在x处n阶可导,且00(k)(n)f(x)=0(k=1,2,3……n), f(x) ?0, 00(n)(n)?当n为偶数时,f在x处取极值,且f(x)<0取极大值,f(x)>0取极小值, 000
?当n为奇数时,f在x不取极值 (泰勒公式可验证) 0-1/x2 e x?0
注:该定理为充分条件,例如f(x)= 在x=0处取极小值。但
0 x=0
(k)因为f(x)<0无法用该定理。>0无法用该定理。>
(4)综上,在确定x是否为f(x)的极值点时,首先观察,若不连续则用定义判断,若连续,0
再观察在x处是否可导,若不可导直接用定理1判断,若可导再计算f’ (x) ?0,显然不为00极值点,若f’ (x)=0再按相应定理判断。 0
3.探索确定区间上连续函数的最值的方法
(1)回顾有界闭区间上连续函数的最值性
若f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值与最小值
2(2)考察函数f(x)=x, f(x)=| x|在[-1,2]上的最大值和最小值的分布,以及f(x)=sinx在[0,π]内最大值和最小值的分布。如下表:
函数 最小值点 最大值点
2f(x)=x X=0极小值点 X=2端点 f(x)=| x| X=0极小值点 X=2端点 f(x)=sinx X=0和π端点 X=π/2极大值点
(3)得出结论:a.若函数f在(a,b)内取得极大或极小值则相应的极大或极小值中某一个也为f在[a,b]内的最大或最小值
b.除极大或极小值可能成为最大或最小值外,端点值也可能 最大或最小值 (4)求f在闭区间[a,b]内的最值的方法:先求出f在其中的极值,端点值,再比较所求极值,端点值的大小,得到相应的最值。
2(5)进一步观察函数f(x)=x和f(x)=| x|在[-1,2]上极值点的个数。可以看到二者都只有一个极值点,而这个极值点正好就是最值点
(6)得到另一个求最值的特殊方法:当f在区间I上仅有唯一极值点x时,该点也是f在Ishang0
的相应最值点。
三、学习感想
通过探索学习,我不仅对求极值、最值的方法有了更全面的更深刻的认识,在学习讨
论的过程中,我体会到了积极主动提问、思考、求证的乐趣。只要常常思考,总会发现新的问题没在解决这些问题的过程中,可能会遇到障碍,这时讨论、请教和不放弃时解决问题的关键。总之在学习中要善于发现问题,主动思考。
数统学院0912班第8学习小组
主笔:邓雪芹
成员:杨恒 赵燕黎 向莹
范文四:一元函数的极值及其曲线对应的拐点
专题讨论 一(二)元函数的极值与一元函数曲线的拐点
一元函数导数的应用——求极值(二元函数的极值的判定)、拐点是教学中的重点,也是一个难点。一元函数的极值点可能在函数的定义域内的驻点或者一阶导数不存在的点处取得;曲线的拐点可能在函数的定义域内的二阶导数等于零的点或者二阶导数不存在的点处取得。
此类题若是选择题,通常与一个极限式子有关,此时要充分利用“函数在某一点处的导数的定义”、“函数极限与无穷小的关系(即
lim f (x ) =A ?f (x ) =A +α,其中lim α=0)”以及“极值点与拐点的判定方法”
来解题。
一、极值点的判定方法:
1. 判定方法一:若函数f (x ) 在点x 0的某个去心邻域U (x 0, δ) 内可导,在点
x 0处连续,则
(1)当x ∈(x 0?δ, x 0) 时f ′(x ) >0,当x ∈(x 0, x 0+δ) 时f ′(x ) <0,则函数f (x="" )="" 在点x="">0,则函数f>
(2)当x ∈(x 0?δ, x 0) 时f ′(x ) <0,当x ∈(x="" 0,="" x="" 0+δ)="" 时f="" ′(x="" )="">0,则函数f (x ) 在点x 0处取得极小值;
则函数f (x ) 在(3)当x ∈(x 0?δ, x 0) 与x ∈(x 0, x 0+δ) 时,f ′(x ) 的符号相同,点x 0处不取得极值。
2. 判定方法二:若f ′(x 0) =0,f ′′(x 0) ≠0,则
(1)当f ′′(x 0) >0时,函数f (x ) 在点x 0处取得极小值; (2)当f ′′(x 0) <0时,函数f (x="" )="" 在点x="">0时,函数f>
注意:(1)判定方法一对函数定义域内的驻点与一阶导数不存在的点都
适用;
(2)判定方法二只能对函数定义域内的驻点处的二阶导数不为零时才适用,有局限性,
二、一元函数曲线拐点的判定方法
若函数f (x ) 在点x 0的某个去心邻域U (x 0, δ) 内二阶可导,在点x 0处连续,当x ∈(x 0?δ, x 0) 与x ∈(x 0, x 0+δ) 时,f ′′(x ) 的符号相反,则点(x 0, f (x 0)) 是曲线
y =f (x ) 的拐点。
拐点即为连续曲线凹凸区间的分界点。 三、例题
例1(2003年数一,4分)已知函数f (x , y ) 在点(0,0)的某个邻域内连续,且
lim
x →0
y →0
f (x , y ) ?xy
=1,则( A )
(x 2+y 2) 2
(A )点(0,0)不是f (x , y ) 的极值点 (B )点(0,0)是f (x , y ) 的极大值点 (C )点(0,0)是f (x , y ) 的极小值点
(D )根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f (x , y ) 的极值点
解:由函数f (x , y ) 在点(0,0) 的连续性及lim
x →0y →0
f (x , y ) ?xy
=1,知f (0,0)=0,且222
(x +y )
f (x , y ) ?xy
=1+α,其中lim α=0,从而f (x , y ) =xy +(x 2+y 2) 2+α(x 2+y 2) 2; 222x →0(x +y ) y →0
令y =x ,得f (x , x ) =x 2+4x 4+4αx 4=x 2+o (x 2) ; 令y =?x ,得f (x , ?x ) =?x 2+4x 4+4αx 4=?x 2+o (x 2) ;
从而f (x , y ) 在点(0,0) 的邻域内始终可正可负,又f (0,0)=0,由极值的定义可知f (x , y ) 在点(0,0) 处没有极值,故选(A )。
例2 设f (x ) 的导数在x =a 处连续,且lim
x →a
f ′(x )
=2,则( A ) x ?a
(A )x =a 是f (x ) 的极小值点 (B )x =a 是f (x ) 的极大值点
(C )点(a , f (a )) 是曲线y =f (x ) 的拐点
(D )x =a 不是f (x ) 的极值点,点(a , f (a )) 也不是曲线y =f (x ) 的拐点 解:因为f (x ) 的导数在x =a 处连续,且lim
x →a
f ′(x )
=2,所以f ′(a ) =lim f ′(x ) =0,
x →a x ?a
即x =a 是函数f (x ) 的驻点; 而f ′′(a ) =lim
x →a
f ′(x ) ?f ′(a ) f ′(x )
=2>0,故x =a 是f (x ) 的极小值点。 =lim
x →a x ?a x ?a
所以应选(A )。
例3 设函数f (x ) 满足关系式f ′′(x ) +[f ′(x )]2=x ,且f ′(0)=0,则( C ) (A )f (0)是f (x ) 的极小值 (B )f (0)x =a 是f (x ) 的极大值 (C )点(0,f (0))是曲线y =f (x ) 的拐点
(D )f (0)不是f (x ) 的极值,点(0,f (0))也不是曲线y =f (x ) 的拐点 解:由条件,得f ′′(0)=0?[f ′(0)]2=0?0=0, 而f ′′(0)=lim
x →0
f ′(x ) ?f ′(0)f ′(x ) f ′(x )
=α,其中lim α=0; =0,所以=lim
x →0x →0x x ?0x
2
故f ′(x ) =αx =o (x ) ,从而f ′′(x ) =x ?[f ′(x )]2=x ?[o (x ) ]=x ?o (x 2) ; 则f ′′(x ) 在x =0的某个领域内的值主要取决于x ,
而当x >0时,f ′′(x ) =x ?o (x 2) >0;当x <0时,f ′′(x="" )="x" ?o="" (x="" 2)="">0时,f><>
即f ′′(0)=0,且f ′′(x ) 在x =0的左右两边符号相反,故点(0, f (0))是曲线y =f (x ) 的拐
点。
从而应选(C )。
例4 设y =f (x ) 满足y ′′+y ′?e sin x =0,且f ′(x 0) =0,则f (x ) 在( C ) (A )x 0某邻域内单调增加 (B )x 0某邻域内单调减少 (C )x 0处取得极小值 (D )x 0处取得极大值
sin x sin x sin x
解:由条件,得f ′′(x 0) =e 0?f ′(x 0) =e 0?0=e 0>0,而f ′(x 0) =0,
所以x =x 0是函数f (x ) 的极小值点。故应选(C )。
范文五:一元函数的极值及其奇异性
第14卷第1期2011年1月高等数学研究
ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS V ol. 14, No. 1Jan. , 2011
一元函数的极值及其奇异性
苗佳晶, 刘海明
(牡丹江师范学院数学系, 黑龙江牡丹江157000)
摘
要 针对一元函数的极值理论, 为学生介绍这一理论的进一步发展即奇点理论的一些基本概念和理论.
指出二者之间的密切联系. 通过对平面曲线的高斯映射以及奇点的介绍, 向学生展示高斯曲率与函数的二阶导数以及高斯映射的奇点与函数的拐点之间的奇妙关系, 并指出它们的几何意义. 同时强调在学习高等数学的相关内容时, 应该养成思考它们的几何背景及意义的习惯. 这对大学生学好高等数学是十分有益的.
关键词 一元函数的极值; 奇点理论; 高斯映射; 高斯曲率中图分类号 O172; O 177. 91; O 189. 3
文献标识码 A
文章编号 1008 1399(2011) 01 0026 03
对于刚刚入学的理工科大学生朋友而言, 掌握好学习高等数学的方法, 养成一个好的学习、思考问
题的习惯, 打好高等数学的基础是至关重要的. 本文旨在通过最简单的一元函数的极值理论入手, 谈一谈这一理论的进一步发展及给我们学习的启示. 文中的函数均为任意阶导数都连续的函数(光滑函数). 下面, 我们从两个方面进行介绍.
1) 计算一阶导数并找出使f (x 0) =0的点x 0. 2) 计算二阶导函数, 如果f (x 0) 0, 那么当f (x 0) >0时, 点x =x 0为极小值点; 当f (x 0) <0时, 点x="x" 0为极大值点.="" 3)="" 更一般地,="">0时,>
f (x 0) =f (x 0) = =f (n-1) (x 0) =0,
f (n) (x 0) 0,
那么, 当n 是偶数时, f (x ) 在点x =x 0取得极值, 且当f 当f
(n ) (n)
1 一元函数的极值及其奇异性
关于一元函数的极值, 我们经常强调它在解决具体的生产实践中所遇到的一系列最值问题时的重要性. 即它在应用上的重要性, 而对它在理论上的重要性却可能知之甚少. 下面, 我们将着重介绍其理论上的重要性.
对于函数极值理论的研究直接导致了奇点理论的诞生, 而奇点理论与三个非常重要的数学理论都有密切的联系. 一个是M orse 理论, 另一个则是流形的浸入与嵌入理论, 最后一个便是突变论了. 这样, 从宏观上, 我们似乎已经意识到这一简单理论在数学上居然如此重要, 还是有必要了解的.
我们从微积分的角度复习一下有关一元函数极值理论的一些结果, 微积分中, 一个重要的结果莫过于利用导数求函数的极值及描绘一元函数的图像了. 求函数f (x ) 的极值的具体计算方法如下[1 2]:
收稿日期:2010-03-21; 修改日期:2010-05-24.
基金项目:牡丹江师范学院科技青年一般项目(QY200904); 牡丹江师范
学院教改建设项目(11 XJ 12019) ; 牡丹江师范学院教育教学改革工程青年教师一般项目(09YQ 09304) .
作者简介:苗佳晶(1982-) , 女, 吉林洮南人, 硕士, 讲师, 主要从事
奇点理论及其应用研究. Email:jiajing0407@126. com. 刘海明(1981-) , 男, 吉林长岭人, 硕士, 讲师, 从事奇点理. com.
(x 0) >0时, 点x =x 0为极小值点, 而
(x 0) <0时, 点x="x" 0为极大值点.="" 当n="">0时,>
奇数时, f (x ) 在点x =x 0不取极值.
按照以上方法容易求得极值. 为进一步介绍有
关奇点理论的内容, 我们需要介绍一些基本概念.
定义1[3] 如果
f (x 0) =0,
那么称点x 0是f (x ) 的奇点(临界点) . 否则称点x 0是f (x ) 的正则点.
定义2
[3 5]
称平面点集
grah f ={(x , y ) |y =f (x ) , x D f }为函数f (x ) 的图形.
连续函数f (x ) 的图形是一条连绵不断的平面曲线, 在奇点处会发生急剧变化, 形态异常复杂. 因此, 奇点处隐藏着函数f (x ) 的图形的重要信息.
定义3
[3]
如果
f (x 0) =0, f (x 0) =0,
那么称点x 0是退化奇点, 否则称x 0是非退化奇点.
从以上事实中不难知道, 非退化奇点一定是函数的极值点, 反之不然.
利用我们学习的微积分的知识, 即使在奇点处我们也可以描绘出函数的图形, 哪怕是在退化奇点
第14卷第1期苗佳晶, 刘海明:一元函数的极值及其奇异性
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定义4
[3 5]
如果
(k)
平面曲线的高斯映射的奇异性及其重要性质的. 那
(x 0) =0,
么我们从一些具体概念出发吧.
令向量函数X (t) (a
X (t) =|X (t) |T (t)
来定义单位切向量T(t). 事实上, 由简单的线性代数的知识易知, 这是把向量X (t) 进行单位化.
把T (t) 逆时针旋转
便能得到平面曲线的另2
f (x 0) =f (x 0) = =f f (x 0) 0,
那么称x 0是f (x ) 的A k 型奇点.
(k+1)
显然, 如果k 是奇数, 那么(x 0, f (x 0) ) 是极值点. 如果k 是偶数, 那么(x 0, f (x 0) ) 不是极值点. 这表明, 奇数阶奇点处取得极值, 偶数阶奇点处不取极值.
事实上, 有下面的重要定理. 定理1
[3]
设
f :(R, 0) R
是一个光滑函数, 若0是f (x ) 的A k 型奇点, 则一定可以找到一个微分同胚映射
:(R, 0) (R, 0)
使得
f = x k+1+f (0) .
定理1表明, 凡具有A k 型奇点的函数f (x ) 都与 x +f (0) 的奇异性相同. 这使我们对奇点的
了解程度得到深化, 也使奇点变得更易理解了.
定理2[3] 设
f :(R, 0) R
是一个光滑函数, 0不是f (x ) 的奇点的充分必要条件是在0点的小邻域内, f (x ) 存在反函数
f
-1
k+1
外一个重要的向量, 即单位法向量N (t) .
如果把法向量N (t) 的始点都移动到坐标原点, 那么法向量的终点便会落到一个单位圆周上, 因此, 也可以把N(t) 叫做平面曲线的圆周像(形象) 或者高斯映射(重要).
下面我们来描述高斯曲率的定义及高斯映射的奇异性. 由于
N (t) , N (t) =1,
求导, 易得
N (t) , N (t) =0.
这表明N (t) 与N (t) 垂直, 从而N (t) 与X (t) 平行. 基于这一特点, 我们可以通过等式
N (t) =-k(t) X (t) 定义平面曲线在任意点的高斯曲率k(t).
事实上, 这里的高斯曲率就是高等数学教材中的曲率. 按照奇点的定义, 所谓的高斯映射的奇点自然就是那些使高斯曲率k(t) =0的点. 这些点是有确切的几何意义的. 在这些点处, 高斯映射不是一一映射.
如果平面曲线X (t) 的高斯曲率k(t) 满足
k(t) =0, k (t) 0,
那么称X (t) 为一般的平面曲线. 此时, 利用一元函数的性质, 易知, 当点t 经过奇点时, 高斯曲率k(t) 的符号将发生改变.
对于一般的平面曲线, 高斯映射的奇点都是折叠点(在奇点处圆周像或高斯映射重叠一次) 并且这一性质是稳定的. 所谓的稳定性是指对平面曲线做小的扰动, 高斯映射的奇点类型不变化, 依然是折叠点. 这是非常重要的.
下面, 我们来考察特殊类型的平面曲线, 即M onge 型曲线, 也即光滑函数f (t) 的图像
X (t) =(t, f (t) )
的高斯映射及其奇异性.
:(R, 0) R.
关于一元函数的奇异性理论, 自然有必要推广到多元函数的情形, 由此便产生了M orse 理论; 另一个推广便是向量值函数, 即映射的情形, 由此产生了另一个重要的理论:流形的浸入与嵌入理论; 另外, 奇点理论是突变理论的数学基础之一. 突变理论所解决的数学问题是那些跳跃式的转变, 不连续过程和突发的质变, 这一理论所解决的数学问题正好和微积分所解决的连续和光滑的数学问题互补, 因此突变理论有着和微积分理论几乎相当的地位. 但遗憾的是这一理论至今仍然存在许多缺陷, 不如微积分那样完美. 通过这段文字的粗略描述, 一元函数的奇异性(奇点理论) 的重要性可见一斑. 同时也体现了数学问题的一种常用研究方法, 从特殊情形所体现出的具体性、简单性推广至一般情形的抽象性与复杂性.
2 高斯映射的奇异性及其重要性质
由于理工科高等数学的教材中都会介绍曲率的概念, 而曲率的概念在几何学(尤其是微分几何) 中是十分重要的. 它当中蕴含着高斯的非常巧妙的数学思想(高斯映射) , 而高斯映射的奇点和函数的拐
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X (t) =(1, f (t) ) , T (t) =N (t) =
高斯曲率为
k(t) =
3.
{1+f (t) 2}2
1, f (t) ) , +f (t)
f (t) , 1). +f (t) 高等数学研究2011年1月
是高斯映射的奇点, 但经过t =0点时, 高斯曲率的符号并不发生变化, 高斯映射不是折叠, 该奇点不是稳定型奇点. 对函数做微小的扰动, 例如
f a (t) =t 4+at 2.
对上式两边关于t 求二阶导数并令其等于0, 有
0=f a (t) =12t 2+2a, 易知当a <0时, 函数有两个拐点,="" 但当a="">0时函数却没有拐点, 因此这类函数的奇点是不稳定的. 通过上面的分析, 我们应该能够感觉到我们所定义的很多的定义是有确切的几何背景和意义的, 这和高等数学中的许多概念的定义方式是一致的. 如果理解好它们的几何意义, 这些概念的理解要相对容易很多, 否则要想理解这些概念恐怕会是件难以想象的事情. 这给我们的启示是不言自明的:对刚刚接触高等数学的大学生, 要养成思考问题的几何意义的好习惯, 尤其是在当今高等数学教育中几何教学被大幅削减的情况下, 这一习惯对学好高等数学课程无疑是至关重要的.
参考文献
[1]同济大学数学教研室. 高等数学:上册[M ].5版. 上海:
同济大学出版社, 2003:152 155.
[2]四川大学数学系高等数学教研室. 高等数学:第一
册[M ]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2003:163 192. [3]P aunescu L, H ar ris A , Fukui T , et a l. Real and
co mplex singularit ies[M ].Singapor e:W or ld Scientific pr ess, 2007:124 126.
[4]Banchoff T , Gaffney T , M cCr ory C. Cusps of Gauss
M appings[J]. L ondon:Research N o tes in M athematics 55Pitman. 1982:1 25.
[5]Bruce J W, Giblin P J. Curves and sing ularities[M].second
edition. Cambridge University press. 1992:10 98.
由此发现高斯映射的奇点原来和函数f (t) 的拐点是相对应的, 而曲线是一般曲线的条件就是
f (t) =0, f (t) 0.
通过上面的分析, 我们明确了高斯曲率和函数的二阶导函数之间的奇妙关系以及平面曲线的高斯映射的奇点与光滑的一元函数的奇异性之间的关系. 下面通过两个例题来进一步地说明上面的性质.
例1 考察函数
f (t) =t 3.
3
计算可知高斯曲率
k(t) =
.
(1+t 4) 因此, 高斯曲率仅在坐标原点t =0处改变符号, 此点是函数的拐点并且高斯映射在此点处是折叠. 对函数做低于三次的扰动所得曲线的高斯映射在原点处依然是折叠, 即这一奇点是稳定的.
例2 考察函数
f (t) =t 4. 计算可知高斯曲率
k(t) =. (1+16t 6) 2
仅当t =0时高斯曲率k(t) =0, 所以坐标原点
2
Extreme Values and Singularities of Smooth Functions in One Variable
M IAO Jia jing , LIU H ai ming
(M athematics Depar tment o f M udanjiang N ormal U niver sity, M udanjiang 157000, P RC)
Abstract:
A im ing at the ex tr em e value theory of functions in one variable, this paper
introduces its further dev elo pment, called sing ularity theory , and so me basic concepts. The relationship of the two theo ries is studied. By introducing Gauss m aps of plane curves and their singular points, w e discuss the relationships betw een Gaussian curv ature and the seco nd derivativ e, and betw een the sing ular po ints of Gauss m ap and the inflection points of functions. Geom etrical meanings ar e also co nsidered. We believe that it is im po rtant for freshm en to develop a go od habit of lo oking for the g eom etric backgro und and meanings o f the related m athematics.
Keywords: extreme value of function in one variable, singularity theory, Gauss map, Gaussian c urvature
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0时,>0,当x>0取极大值,f(x)>?,>0;>