范文一:因式分解之配方法与主元法
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2011寒假 M08A06
1 第 6讲 因式分解
-----配方法与主元法、换元法
姓名 学校 日期
【知识要点】
配方法 :配方法是一种特殊的添项法,如何拆项或添项,依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。 主元法 :当题目中的字母较多、问题较复杂时,我们可以把某一字母作为主元,而将其他字母作为常数去 解决问题。
换元法 :换元法是根据代数式中的特征,把其中的某些部分看成一个整体,并用一个新的文字(新元)代 替之,从而使这个代数式的结构简化,便于解题。 【经典例题】
例 1、分解因式 :(1) 2616x x +- (2) ()444y x y x +++
例 2、已知 , 19911990, 19901990, 1989
1990+=+=+=x c x b x a 那么 ca bc ab c b a ---++2
22的值 是多少?
例 3、若 c b 、 、 a 是不全相等的实数,且 ab c z ca b y bc a x -=-=-=222, , ,求证:z y 、 、 x 中至少 有一个大于 0
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2 例 4、分解因式:2910322-++--y x y xy x
例 5、分解因式:) () () (222y x z x z y z y x -+-+-
例 6、分解因式:2005) 12005(200522---x x
例 7、 2) 6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
例 8、分解因式:262234+---x x x x
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3 【经典练习】
1、分解因式:) (4) (22222y x xy y xy x +-++
2、分解因式:90) 384)(23(22+++++x x x x
3、分解因式:222222) 3(4) 5() 1(+-+++a a a
4、 分解因式:56422-++-y x y x
5、 分解因式:67222-+--+y x y xy x
6、 分解因式:613622-++-+y x y xy x
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4 7、 分解因式:36355622-++-+b a b ab a
8、分解因式:()()2222284384x x x x x x ++++++
9、分解因式:144234+++-x x x x
【课后作业】
1、 分解因式:44+x
2、 分解因式:222255372z yz xz y xy x +-++-
3、分解因式:()()()12422+++-n n n n
范文二:因式分解之配方法与主元法
第6讲 因式分解
-----配方法与主元法、换元法
知识要点】
配方法:配方法是一种特殊的添项法,如何拆项或添项,依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。 主元法:当题目中的字母较多、问题较复杂时,我们可以把某一字母作为主元,而将其他字母作为常数去解决问题。
换元法:换元法是根据代数式中的特征,把其中的某些部分看成一个整体,并用一个新的文字(新元)代替之,从而使这个代数式的结构简化,便于解题。 【经典例题】
例1、分解因式:(1)x?6x?16 2 (2)?x?y?4?x4?y4
,b?1990x?1990,c?1990x?1991,那么a?b?c?ab?bc?ca的值例2、已知a?1990x?1989
是多少?
例3、若a、b、c是不全相等的实数,且x?a?bc,y?b?ca,z?c?ab,求证:x、y、z中至少有一个大于0
222222
例4、分解因式:x2?3xy?10y2?x?9y?2
例5、分解因式:x2(y?z)?y2(z?x)?z2(x?y)
例6、分解因式:2005x2?(20052?1)x?2005
例7、(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2
例8、分解因式:2x4?x3?6x2?x?2
【经典练习】
1、分解因式:(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)
2、分解因式:(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90
3、分解因式:(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2
4、分解因式:x2?y2?4x?6y?5
5、分解因式:x2?xy?2y2?x?7y?6
6、分解因式:x2?xy?6y2?x?13y?6
7、分解因式:a2?ab?6b2?5a?35b?36
8、分解因式:x2?4x?8
4329、分解因式:x?4x?x?4x?1 ??2?3xx2?4x?8?2x2 ??
【课后作业】
1、 分解因式:x?4
2、 分解因式:2x?7xy?3y?5xz?5yz?2z
3、分解因式:?n?2??n?2??n?4?n?12 2224
范文三:八年级培优--因式分解之换元法与主元法
因式分解——换元法与主元法
因式分解是针对多项式的一种恒等变形,提公因式法、公式法,分组分解法是因式分解的基本方法。 一些复杂的因式分解问题.常用到换元法和主元法. 所谓换元,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元) ,则能使复杂的问题简单化、明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用.
换元法
例1、分解因式:
(1)(x 4+x 2-4)(x 4+x 2
+3) +10
(2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +6) +x 2 练习:
(1)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2
(2)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91;
(3) (x +y -2xy )(x +y -2)+(xy -1)2
(4) (x 2+4x +8) 2+3x (x 2+4x +8) +2x 2
(5) (2x 2-3x +1) 2-22x 2+33x -1
例2、把下列各式分解因式:a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2)
(2x -3y ) 3+(3x -2y ) 3-125(x -y ) 3
练习:分解因式:
(1)(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3
(2)(2a -3b +c ) 3+(a +2b -5c ) 3+(-3a +b +4c ) 3
例3:1999x 2-(19992
-1)
x -1999
练习:x 4
+2001x 2
+2000x +2001
主元法
所谓主元,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构.
例1、a 2(b -c )+b 2(c -a )+c 2(a -b )
例2、 多项式x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 因式分解后的结果是( ) .
A .(y -z )(x +y )(x -z ) B .(y -z )(x -y )(x +z ) C .(y +z )(x -y )(x +z ) D .(y +z )(x +y )(x -z ) 练习
把下列各式分解因式: (1)x2+xy-2y 2-x+7y-6.
(2)a 2+2b 2+3c 2+3ab +4ac +5bc ;
(3) x 2+xy -6y 2+x +13y -6
(4)2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z .
说明(1)式子字母多次数高,可尝试用主元法;(2)式是形如ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式,解题思路宽,用主元法或分组分解法或用待定系数法分解.
练习题
1.分解因式:(x2+3x)2-2(x2+3x)-8 2.分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12
3.分解因式:x 2-xy -2y 2-x -y= . 4.已知二次三项式x 2-mx -8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积,则整数m 的可能取值为 .
5.若a +b =-15,a +3b =1,则3a 2+12ab +9b 2+3
5
的值
为( ) . A .
224
9 B .3 C .5
D .0 6.2x 3+x 2-13x +6的因式是( )
A .2x -1 B .x +2 C .x -3D .x 2+1 E .2x +1 7.已知a >b >c ,M=a 2b +b 2c +c 2a ,N=ab 2+bc 2+ca 2,则M 与N 的大小关系是( )
A .M 8.已知在ΔABC 中,a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a、b 、c 是三角形三边的长) .求证:a +c =2b 因式分解中的换元法 !?? ?????4???? , ?????? ??#?#%?????? , ?? &??% ???0 ??, ???? ??# ?????)(! ) ?<+????????%?? ,?7. ??/0???? 1%?? , ?? & ??2 &% , ?????????(?? ?= ?? 3?? ?? ????& , ??1?? 3 , ?? 42 &%5 , ???? 1% ?? ?)+ ) ?? ?? ?#%??! ) ?<+ , ???? 1?# ?? 4?) 3! ) 65+ ) ?? /0?? &?#7?? , ?? ?? ??& 7?# ??, ??, ?<8?7??&????( ?) 3! ) 69 ?) &??: ,?!, ?, ?, ?2?2 , ?? ?? .?? .?? 4;3 ?? + ) 1?#?<8?7, < ?? = ???? 17??????4;3 ?)5+) ?0 ) ???? = ???#?????????.?????#?? , ?? ?? ?# ?????.???????! ?? ???????? ?? ) ?? ?? ???? , ?? ?# ?????????? ?? ?)???? , ?????????????????=?? ?0?????????????)?? ) ???#???? ???? ???. !?( ?????????????????? , ?? ?? ???? ?? ) ?? ???? ?6 ?? ?????9?? ?! ???? ?? ?# ) ???? ?? ?? ?????????6 ???????????? ?????? ?????????????? ???? ?? ) ?? ?? ?? ?? ?6 ?? ?????? ?? ?????????? ???? ?? ?! ?? ?? ?????? ?? ?? , ?? ?9?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ???# ???? ?? ?? ?? ?? ???????? ?? , ?? ?6 ???? ?? ?? ?? ???,???? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ?? ?????????????????? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?????? ?? ?????????????? ???? ?? 4?/?) ???0??5 ) ?6?? ???? ?? ?#?? ?3?/?) ?? ?0 ?????? ?! ?? ?????% , ?. ?????6 ?? ???? ?? ???? ???? ???????? ?????? , ?? ?? ?6 ???( ?????? ?! ?????????????? ) 4???.5 ???4?(???????????? ?????!?(???,????????4!6?065?????? ?????!?(???,????????4!6?0!5?=???? ???4?(?????????????????????????? , ?? ?????4???????(?? ?? , ?? ?? ???4???;?? ?! ?? ?? ?! ?????0???????? ?? ?.?????? ?! ?????????? ) ?? ?? ?????????4?????? ?! ???????? , ???? ???? ?;???? ?. ???? ?4 ?? ???????? , ?????2 ?? , ?? ?8 ?? ?5???? ???? , ?????????????4?????????1???? ?( ?? ?? ???????? , ???? ?? ?6?? ?? ?! ?? ???? ?? , ?? ?? ?(?? ???4 ) ???2?? ?! ?????????????????? ?! ???8???? ?? ) ?? ?? ???????0 ) ?? ?! ???????? ?? >???4?(??4 ?;3?2?? >53 4 ?; 3= ?? >5 ??) ?? = ?? ?;3?2?? >(?? , ???4 ( ?? ,3?? ?? 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[(2+)+(z+)+3] :2(2t+t一2+3 =(t2+2,+1) = (t+1) = (+一十1) = (++1). 评注例5,例6中的代数式本质特点是 字母按降幂排列,且系数对称.此时,可以先 提取次数居于中间的项,得到互为倒数的项 后,对+?进行换元.同时,对2+应用配 方法,也可得到换元后的形式.这种换元方法 叫做倒数代换. 四,平均代换 平均代换法,顾名思义,指的是对原代数 式中存在实质联系的两部分取它们的算术平 均值,将这个算术平均值换元,以实现可以因 式分解的目的.比如下面的例子. 例7分解因式: (+:1)4+(+3)一272. 解令+2=,,则 原式:(t一1)+(t+1)一272 =2,+12t.一270 = 2(t+15)(t一9) =2(+4+4+15)(.+4+4—9) = 2(+4+19)(+5)(一1). 评注+1与+3的算术平均值即为 +2,因此,令+2=t进行换元.换元的目的 是消去四项式中的奇数次项,如此一来,原式 可化为二次三项式的形式,并应用二次三项 式十字相乘的方法进行因式分解. 转载请注明出处范文大全网 » 因式分解之配方法与主元法范文四:因式分解中的换元法
范文五:例谈换元法在因式分解中的应用