期望带来失望
范文一：经济学中常用的函数
微分学在经济中的应用
?1 经济学中的常用函数
一、需求函数
消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。这种源动力的核心主要有两个:一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。
影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了需求函数
D,f(P)， (1-1) 需求函数通常是单调下降函数(如图1-1所示)。产生下降的原因有两个:一是收入效应，二是替代效应。
注:需求量与价格有时也是按上升方式变化的。例如，古画、文物等珍品价格越高，越被人门人为是珍品，因而需求量就越大。
下列函数可作为需求函数:
D,a,bP(a,0,b,0)线性函数 ，
2二次函数 ， D,a,bP,cP(a,0,b,0,c,0)
,bP指数函数 ， D,Ae(A,0,b,0)
,,幂 函 数 。 D,AP(A,0,,,0)
D Q
D,f(P)
Q,f(P)
P O O P
图 1-1 图 1-2 二、供给函数
供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量，
需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。所以，供给和需求是相对的概念，这就是 说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。
产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。
影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。忽略其他因素，只考虑与 价格的关系就得到了供给函数:
Q,g(P)， (1-2)
供给函数通常是单调上升函数(如图1-2所示)。
注:供给量与价格有时也是按下降方式变化的。例如，古画、文物等珍品价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，供给量增加，当价格上升到一定程度后，人们以为它更珍贵，就不会再提供给市场。因而价格上涨供给量反而减少。
经常采用的供给函数有如下形式:
Q,,c，dP(c,0,d,0)线性函数 ，
2二次函数 ， Q,,a，bP，cP(a,0,b,0,c,0)
kP指数函数 ， Q,Ae,B(A,0,B,0,k,0,B,A)
,,幂 函 数 。 D,AP,B(A,0,B,0,,,0)
三、收益函数
收益是生产者出售商品的收入，平均收益是销售出单位商品的价格。总收益是将一定量 的商品全部售出后的全部收入。
RD 收益与需求量的函数关系称为总收益函数。
R,R(Q),R(D)， (1-3) 事实上，
,1， R,PD,Pf(P),Df(D)
,1， R,PQ,Pg(P),Qg(Q)
平均收益:
,1总收益R(Q)Qg(Q),1R,,,,g(Q),P。 (1-4) A销量需求量()QQ
四、成本函数
成本是企业在进行生产活动中所使用生产要素的价格，也就是生产费用。总成本C是 企业生产特定产量的产品所需的成本总额。
Q 产量与总成本C的函数关系称为总成本函数。
， (1-5) C,C(Q),C，C(Q)0V
总成本函数的性质:
,C(Q),0(1)、单调增加;
(2)、固定成本为常数; C0
,,,,C(Q),0C(Q),0(3)、总成本曲线先凸后，即先，后。 平均成本:
CQ总成本()C,,， (1-6) AQ产量
下列函数可作为总成本函数
C,aQ，b(a,0,b,0)线性函数 ，
2二次函数 ， C,aQ，bQ，c(a,0,b,0,c,0)
322三次函数 。 C,aQ，bQ，cQ，d(a,0,b,0,c,0,d,0,b,3ac)五、利润函数
总收益与总成本之差即为总利润。因此
L,L(Q),R(Q),C(Q) ， (1-7) 六、戈珀茨(Gompertz)函数
戈珀茨函数所描绘的曲线称为戈珀茨曲线。经济学中的许多经济现象也具有戈珀茨函数的性质。例如在经济预测中，经济发展的三个阶段:初始期，发展期和饱和期可用戈珀茨曲线来描述(如图1-3所示)。
y
ox初始期 发展期 饱和期
图:1-3肿瘤增长与经济增长动态图
戈珀茨函数是微分方程组
dV,,kV,dt， (1-8) ,dk,,,,kdt,
的解
k,,t0V(t),Vexp{(1,e)}， (1-9) 0,
戈珀茨函数有以几个特点:
,,t,,te,1t,0(1)、极限理论知，当时，与是等价无穷小，此时(1-9)式近似为
kt0V(t),Ve。 (1-10) 0
(1-10)式说明，经济增长的早期是按指数增长的。
,,t(2)、由于，所以，(1-10)式说明，当增长到一定阶段，经济总量的大小lime,0t,,,
k0,V(t),Ve趋于稳定，它稳定值在为的大小。 0
k0(,1)kk110,0t,ln (3)、可以求出，点为戈珀茨曲线的拐点，也就是从时(ln,Ve)0,,,,
刻开始，经济增长的速度的变化由递增转为递减。
?2 边际与弹性
一、边际
关于变量在附近(边缘上)的变化情况，即在附 在经济学中，边际是变量yxxxx00近有微小变化时，变量的变化。当的变化单位很小时，由微分近似计算公式得， y,xx
,,,y|,dy,f(x),x|,f(x)， (2-1) x,xx,x0000,x,,x,11
,,因此，边际值是当，改变一个单位，改变了个单位。 yf(x)x,xf(x)x000
dQ2,11P,2例如:供给函数为，，说明当价格时，价格改变Q,2P，3P，1dPP,2
Q一个单位(增加或减少一个单位)，供给量改变11个单位(增加或减少一个11个单位)。 二、边际成本
C,C(Q)设总成本函数为，则边际成本函数为
dC(Q)MC,， (2-2) dQ
Q(2-2)式可理解为当生产个单位的产品前最后增加的那个单位产量所花费的成本，
Q或当生产个单位的产品增加的那个单位产量所花费的成本。
12C,1100，Q例如:，，该式表明:当产量到达900个单位时，MC|,1.59001200
前后每变化一个单位的产量，所用的成本为1.5.
三、边际收益
,1 收益函数，边际收益为函数 R,PQ,Pg(P),Qg(Q)
,1dQg(Q),1,1,， (2-3) MRg(Q)Q[g(Q)],,，dQ
QQ其中为销量。该式可理解为当销售个单位的产品时，多销售或少销售一个单位产品使其增加或减少的收益。
四、弹性
1. 一个例子
2 ，当从8增加到10时，函数从64增加到100。的绝对增加量为，,x,2y,xxx
,y,36函数的绝对增加量为。相对增加量分别为 y
,x2,y36,,25%,,,56.25%， x8y64
相对增加量的变化为
yx56.25%,,/,,2.25， yx25%
x,[8,10]，从起，增加1%，相应的因变量就增加2.25%。 上式表明:自变量x,8yx2. 弹性的定义
y,f(x),y 函数在处可导，给一个增量，相应有的增量，称 ,xyxx
,y/y， (2-4) ,x/x
,y/yy,f(x)[x,x，,x]y,f(x)lim为函数在区间上的弹性;称为函数在处的弹x,x,0,x/x
性，记为
,/(),yyfxElimx,,。 (2-5) yx,x,0/()xxfx,
,fxdyy边际函数()E,x,,/注:。 yxfxdxx平均函数()
3. 弹性的运算性质
f(x),g(x)y,f(x),g(x)(1)、在处可导，，则 x
f(x)E,g(x)EfxgxE,， (2-6) yxf(x),g(x)
f(x),g(x)y,f(x)g(x)(2)、在处可导，，则 x
E,E，E， (2-7) yxfxgx
f(x),g(x)y,f(x)/g(x)(3)、在处可导，，则 x
E,E,E， (2-8) yxfxgx4. 弹性的几何意义
y,f(x)设的曲线已给出，为曲线上一点(如图1-4所示)，由弹性定义有 P(x,y)00
,()fx0Ex， ,yx0x,x0f(x)0
f(x)0,,tan,由于，而，所以 f(x),tan,0x0
,tan切线斜率E。 (2-9) ,,yxx,x0tan,线段OP的斜率(2-9)式可作为求解弹性的图解法公式。
y
P(x,y)00
y,f(x)
,,
x0 xO
图1-4
f(x),ax，b例1 求函数的弹性
,f(x)ax,f(x),aE,x,解:由于，所以。 yxf(x)ax，b
,例2 求函数的弹性 f(x),ax
,1,,(),fxax,,1,解:由于，所以。 f(x),a,xE,x,x,,yx,()fxax?3 弹性的应用举例
一、弹性在需求分析中的应用
弹性的概念及弹性理论无论在数理经济学的研究，还是在实际应用都会起到重要作用。
在经济管理中，弹性对分析产品的需求、供给和收益，给决策者提供有力可靠的理论依据起
到了重要作用。
E当自变量和因变量y代表不同背景的实际问题时，其弹性的意义也不同。如代xxyx
E表某种商品的价格，y代表顾客对该商品的需求量，那么表示当产品价格有1%的变化yx
,f(x)E时，相应需求的变化为%。由于需求函数一般是减函数，所以它的边际函数小于yx
零。因此需求价格弹性取负值，经济学中常规定需求价格弹性为 Eyx
,()fxE,,x yx()fx
这样，需求价格弹性便取正值。即便如此，经济学上在对需求价格弹性做经济意义的解释时，也应理解为需求量的变化与价格的变化是反方向的。
经济学中对需求价格弹性有下述规定:当某商品的需求价格弹性，则称该商品E,1DP的需求量对价格富有弹性;当某商品的需求价格弹性，则称该商品的需求量对价格E,1DP
溃乏弹性;当时，则称该商品具有单位弹性。如果某商品因适应市场需求而降低了E,1DP
产品的价格，会不会因此而降低了收益呢,针对该问题我们做如下分析:
(1)、富有弹性商品
此时需求价格弹性大于1，若将其价格提高1%，则需求量下降将超过1%，因而总收益减少;反之，若将其价格下降1%，则需求量增加将超过1%，因而总收益增加。即，当商品富有弹性时，适当的降价会使收益增加，提价会使收益减少。
(2)、溃乏弹性商品
此时需求价格弹性小于1，若将其价格提高1%，则需求量下降将低于1%，因而总收益增加;反之，若将其价格下降1%，则需求量增加将低于1%，因而总收益减少。即，当商品溃乏弹性时，适当的提价会使收益增加，降价会使收益减少。
(3)、单位弹性商品
此时需求价格弹性等于1，若将其价格提高1%，则需求量下降为1%，总收益不变;若将其价格下降1%，则需求量增加为1%，总收益不变。
以上通过对需求价格弹性大于1、小于1和等于1的讨论，分别给出了使总收益增加的提价和降价策略。
Q,100,5P,P,(0,20)Q例1 设某商品的需求函数为，其中为需求量。 (1)求需求量对价格的弹性E(E,0); QPQP
dRRE(2)推导，其中为收益，并用弹性说明在何范围内变化时，降价,Q(1,E)QPQPdP
反而使收益增加。
,Q(P)5PPPPE,P,,,E,||,解:(1)，所以 QPQPQ(P)100,5PP,20P,2020,P
dR2(2) R,PQ,100P,5P,,100,10P,(100,5P),5PdP
,Q,5P,(Q,QE)，(QE,5P)。 QPQP
P而， (QE,5P),(100,5P),5P,5P,5P,0QP20,P
E,1P,1010,P,20E,1令，解得。当时，，降价反而使收益增加。 QPQP
二、核武器的核心——核弹头规格的设计问题
1911年，英国物理学家E?路德福特(E?Rutherford)发现了原子核;1916年，阿尔伯特?爱因斯坦(Albert?Einstein)发表了《相对论》，该理论直接导致了全人类对时间、空间、物质与质量的全新认识，同时为原子弹的发明奠定了坚实的基础。1945年7月16日，在美国新墨西哥州的荒漠上，试验成功了原子弹。这是人类制造的第一个核爆炸装置——核武器。1945年8月6日和9日，美国分别向日本广岛和长崎空投了两颗原子弹，首次将核武器用于实战，造成了约21万人的伤亡。
核武器是利用原子核裂变(原子弹的爆炸原理是重原子核裂变的链式反应)或聚变(氢弹的爆炸原理是氢原子核聚变反应)，瞬间释放出巨大能量，造成大规模杀伤和破坏作用的武器。原子弹、氢弹和中子弹统称核武器。核武器由两大部分组成:核弹头和运载发射系统。核弹头由核战斗部和壳体组成。核战斗部包括核爆炸装置和引爆控制系统，核装置是真正起战斗作用的组成部分，引爆后它将发生核反应，释放巨大的能量。运载发射系统将核战斗部投射到预定的目标，实施攻击。运载发射系统种类很多，包括飞机、运载火箭等。
核弹头是核武器的核心，核武器的威力主要取决于核弹头爆炸时所释放出的能量，以TNT当量表示。所谓TNT当量是指核爆炸时所释放的能量相当于多少吨(t)TNT炸药爆
2炸所释放的能量。核弹头在与它的能量的立方根成正比的距离内会产生的0.3516(kg/cm)
D超高压，该距离称为有效距离，用表示，用表示能量。则 x
1
3， (3-1) D,kx
D,3.2186(km)其中是比例常数。由实验知，当是10万吨TNT当量时，有效距离为。kx
代入(3-1)式的。从而 k,0.6934
1
3， (3-2) D,0.6934x
其作用范围为
223S,,D,0.6934,x， (3-3)
D,3.2185(km)由(3-2)、(3-3)式，当10万吨TNT当量的核弹头爆炸时，其作用半径为，
2作用范围为;而100万吨TNT当量的核弹头爆炸时的作用半径为S,46.908(km)
2D,6.9339(km)，作用范围为。这说明，当核弹头爆炸能量增加10S,217.727(km)
倍时，其有效距离仅增加2倍多，作用范围增加4倍多。也就是说，能量的增加并没有使得有效距离和作用范围显著增加。
下面来研究爆炸能量与相对效率的关系(这里的相对效率是指当核弹头爆炸能量每增加1千吨TNT当量时，其有效距离和作用范围的增量)。由(3-2)、(3-3)式得
22,,dD133,，0.6934x,0.2311x， (3-4) dx3
从而
2,3,D,0.2311x,x，
11,,dS233,，0.6934,x,1.4513x ， (3-5) dx3
从而
1,3， ,S,1.4513x,x
有效距离D和作用范围对的弹性分别为 Sx
,D1E,x,， (3-6) DxD3
,S2E,x,， (3-7) SxS3
x,100,,x,1由(3-4)、(3-5)式知，若，则
2,3， ,D,0.2311，100,0.0107(km)
1,23， ,S,1.4513，100,0.3127(km)x,1000,,x,1若，则
2,3， ,D,0.2311，1000,0.0023(km)
1,23。 ,S,1.4513，1000,0.1451(km)上述四个结果说明，对于10万吨TNT当量的核弹头来说，能量每增加1千吨TNT当量，
20.0107(km)D其有效距离和作用范围S分别增加了和;而于100万吨TNT0.3127(km)
D当量的核弹头来说，能量每增加1千吨TNT当量，其有效距离和作用范围分别增加了S
20.0023(km)D和。也就是说，无论是有效距离还是作用范围S都随着能量的0.1451(km)
增加在下降，下降的幅度由(3-6)、(3-7)式的弹性表达式给出。即核弹头的能量每增加1%时，其有效距离的增加仅为0.33%，作用范围的增加仅为0.66%。
由此可见，对于核武器，除了制造，运载发射和控制系统等技术要求外，无论从有效距离还是从作用范围来说，都不适宜制造当量级过大的核弹头。
范文二：D1-5经济学中的常用函数
第五节 第五节 经济学中的常用函数
经济学中的常用函数 第一章
一、需求函数
二、供给函数
三、总成本函数、总收益函数
总利润函数
四、库存函数
, bP a Q ?=线性需求函数:常见的需求函数:
2cP
bP a Q ??=二次曲线需求函数:( 其中 a , b , c , A > 0 )0
, ≥b a 幂函数:00
A Q kP , A , k ?=>>其中 bP Q Ae
?=指数需求函数:
一般地,供给函数可以用以下简单 函数近似代替:
线性函数:0, , >?=b a b aP Q 其中 幂函数:指数函数:0
, 0, >>=k A kP Q A 其中 0
, 0, >>=b A ae Q bP 其中
例 3 考虑下列线性需求函数和供给函数:
) , 0P D a bP b =->; () , 0. S P c eP e =+> 试问 , a c 满足什么条件时,存在正的均衡价格
) 0e P 即 >
解 由
) (D P S P
=得 :,由此可得均衡 价格为
.
因此:
总利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之 差。即
)
() () (Q C Q R Q L ?=
例 6 设某种商品的总成本为 若每售出一件该商品的收入是 20万元, 求生产 10件的总利润. 解 ,
20(万元) 由题意知 =P ). (110) 105. 0101820() 10(2
万元 =×?×+?=∴L Q
Q P Q R 20) (=?=总收益为 , 5. 0220) (2
Q Q Q C ++=)
() () (Q C Q R Q L ?=所以 )
5. 0220(202
Q Q Q ++?=25. 01820Q Q ?+?=
Q
这样,利润函数
因此 时取最大利润,最大利润为 30. 30.
范文三：1.6经济学中的常用函数
?1.6 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义:消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要(
消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外, 还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关. 现在我们只考虑商品的价格因素, 其他因素暂时取定值. 这样, 对商品的
Q需求量就是该商品价格的函数, 称为需求函数. 用表示
p对商品的需求量, 表示商品的价格, 则需求函数为:
QQp,(),
pQ鉴于实际情况, 自变量, 因变量都取非负值.
一般地, 需求量随价格上涨而减少, 因此通常需求函数是价格的递减函数.
常见的需求函数有:
Qabp,,ba线性需求函数: , 其中,均为非负常数;
2bacQabpcp,,,二次曲线需求函数: , 其中, ,
均为非负常数;
,bpQae,ba指数需求函数: , 其中,均为非负常数.
,aQ,kP,其中a,0,k,0幂函数:
QQp,()需求函数的反函数, 称为价格函数, 记作:
ppQ,(),
也反映商品的需求与价格的关系.
二、供给函数
供给的含义:在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品(
pS, 供应者愿意接受的价格为, 则供给量供给量记为
与价格之间的关系为:
SSp,(),
ppS称为供给函数, 称为供给价格, 与均取非负值. 由供给函数所作图形称为供给曲线.
一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替:
ba线性函数: , 其中,均为非负常数; Q,aP,b,
a幂函数:: ; Q,kP,其中a,0,k,0
bPba指数函数: , 其中,均为非负常数. Q,ae
需求函数与供给函数密切相关, 把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中, 由于需求函数是递减函数, 供给函数是递增函数, 它们的图形必相交于一点, 这一点叫做均衡点, 这一点所对应的价格就是供、需平衡的价格, 也叫均p0
衡价格; 这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求
pp量或均衡供给量. 当市场价格高于均衡价格时, 产生0了“供大于求”的现象, 从而使市场价格下降; 当市场价格pp低于均衡价格时, 这时会产生“供不应求”的现象, 从0
而使市场价格上升; 市场价格的调节就是这样实现的.
应该指出, 市场的均衡是暂时的, 当条件发生变化时, 原有的均衡状态就被破坏, 从而需要在新的条件下建立新的均衡.
供需平衡
供需平 点
衡价格
P 0
pQ例1 某商品的需求量与价格的关系由
23123Qp，,
pQ给出, 而供给量与价格的关系由
2QQp,,,,2099
给出, 试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.
【解】 要求均衡价格和均衡需求量, 即解方程组
2,QQp,,,,2099
,, 23123Qp，,,
p,15,p,1202,1,,得到两组结果 和 . Q,6Q,,12,1,
15显然,第一组结果没有意义, 故所求均衡价格为单位,
6均衡需求量为个单位.
三、生产函数
生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素 .为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况 .
例 2
设投入x与产出g(x)间的函数关系为
ag(x),cx
aaa由于g(2x),2cx,2g(x)
可见，当a,1时，规模报酬不变;
当a,1时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减;
当a,1时，如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增 .
四、成本函数
成本是指生产某种一定数量产品需要的费用, 它包括固定成本和可变成本.
QCCCQ()若记总成本为, 固定成本为, 为产量, 为01可变成本, 则成本函数为:
CCQCCQ,,，()()01,
CQ,,0,0,其中, 显然成本函数是递增函数, 它随0
产量的增加而增加.
(2)平均成本函数
平均成本是指生产每单位产品的成本, 记为, 即平C均成本函数为:
CCQ()CQ()01C,=+
QQQ,
平均成本的大小反映企业生产的好差, 平均成本越小说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低, 效益更好.
五、收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.
QRR用 表示出售的产品数量， 表示总收益, 表示平均收益，则
R(Q)
R,R(Q),R, Q
p如果产品价格 保持不变，则
R(Q),PQ,R,p
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即
L(Q),R(Q),C(Q)
例3 某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的费用为50元，预计售价80元，求总成本函数，平均成本函数，总收益函数,总利润函数和平均利润函数.
q解 设产量为，则总成本函数,平均成本函数,总收益函数分别为
Cqq()1000050,，,
10000
Cq()50,，, q
Rqq()80,.
而总利润函数为
Lqqqq()80(1000050)3010000,,，,,( 平均利润函数为:
Lq()1000
Lq()30,,,. qq
七、库存函数
Q设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求量为，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，
Q
q,考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 ，进货n
T
t,周期为 . 假定每件物品的贮存单位时间费用为 n
CC，每次进货费用为 ，每次进货量相同，进货间隔时间12
q不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2在时间 T 内的总费用 E 为
1Q
E,CTq，C12 2q
1Q
其中，CTq为贮存费，C为进货费用.12 2q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
tb
y,ka 戈珀兹 曲线是指数函数
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
发展期 饱和期 初始期
当lga,0，0,b,1时，图形如上页所示. 由图可见，曲线当t,0且无限增大时，其无限与直线y,k接近，且始终位于该直线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和 .
范文四：1.6 经济学中的常用函数
§1.6 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条
件下对某种商品具有购买力的需要．
消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直
接关系外, 还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他
可取代商品的价格甚至季节的影响有关. 现在我们只考虑
商品的价格因素, 其他因素暂时取定值. 这样, 对商品的
需求量就是该商品价格的函数, 称为需求函数. 用Q 表示
对商品的需求量, p 表示商品的价格, 则需求函数为:
Q =Q (p ) ,
鉴于实际情况, 自变量p , 因变量Q 都取非负值.
一般地, 需求量随价格上涨而减少, 因此通常需求函数
是价格的递减函数.
常见的需求函数有:
线性需求函数: Q =a -bp , 其中a , b 均为非负常数;
2二次曲线需求函数: Q =a -bp -cp , 其中a , b , c
均为非负常数;
-bp Q =ae 指数需求函数: , 其中a , b 均为非负常数.
-a Q =kP , 其中a >0, k >0 幂函数：
需求函数Q =Q (p ) 的反函数, 称为价格函数, 记作:
p =p (Q ) ,
也反映商品的需求与价格的关系.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．
供给量记为S , 供应者愿意接受的价格为p , 则供给量与价格之间的关系为:
S =S (p ) ,
称为供给函数, p 称为供给价格, S 与p 均取非负值. 由供给函数所作图形称为供给曲线.
一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替： 线性函数: Q =aP -b , , 其中a , b 均为非负常数; 幂函数：: Q =kP a , 其中a >0, k >0;
指数函数: Q =ae bP , 其中a , b 均为非负常数. 需求函数与供给函数密切相关, 把需求曲线和供给曲线画在同一坐标系中, 由于需求函数是递减函数, 供给函数是递增函数, 它们的图形必相交于一点, 这一点叫做均衡点, 这一点所对应的价格p 0就是供、需平衡的价格, 也叫均
衡价格; 这一点所对应的需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量. 当市场价格p 高于均衡价格p 0时, 产生了“供大于求”的现象, 从而使市场价格下降; 当市场价格p 低于均衡价格p 0时, 这时会产生“供不应求”的现象, 从而使市场价格上升; 市场价格的调节就是这样实现的.
应该指出, 市场的均衡是暂时的, 当条件发生变化时, 原有的均衡状态就被破坏, 从而需要在新的条件下建立新的均衡.
供需平衡
供需平
衡价格 P
例1 某商品的需求量Q 与价格p 的关系由
3Q 2+p =123
给出, 而供给量Q 与价格p 的关系由
Q 2-20Q -p =-99
给出, 试求市场达到供需平衡时的均衡价格和均衡需求量.
【解】 要求均衡价格和均衡需求量, 即解方程组
?Q 2-20Q -p =-99?2, 3Q +p =123?
?p 2=15?p 1=120得到两组结果?Q =-1 和 ?Q =6. ?2?1
显然, 第一组结果没有意义, 故所求均衡价格为15单位, 均衡需求量为6个单位.
三、生产函数
生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系. 一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素 .为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况 .
例 2
设投入x 与产出g (x ) 间的函数关系为
g (x ) =cx a 由于g (2x ) =2a cx a =2a g (x ) 可见，当a =1时，规模报酬不变；
当a <>
当a >1时，如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增 .
四、成本函数
成本是指生产某种一定数量产品需要的费用, 它包括固定成本和可变成本.
若记总成本为C , 固定成本为C 0, Q 为产量, C 1(Q ) 为可变成本, 则成本函数为:
C =C (Q ) =C 0+C 1(Q ) ,
其中, C 0≥0, Q >0, 显然成本函数是递增函数, 它随产量的增加而增加.
（2）平均成本函数
平均成本是指生产每单位产品的成本, 记为, 即平均成本函数为:
C (Q ) C 0C 1(Q ) C ==+Q Q Q ,
平均成本的大小反映企业生产的好差, 平均成本越小说明企业生产单位产品时消耗的资源费用越低, 效益更好.
五、收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表示总收益, 表示平均收益，则
R (Q ) R =R (Q ) , =Q
如果产品价格 p 保持不变，则
R (Q ) =PQ , =p
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即
L (Q ) =R (Q ) -C (Q )
例3 某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的费用为50元，预计售价80元，求总成本函数，平均成本函数，总收益函数, 总利润函数和平均利润函数.
解 设产量为q ，则总成本函数, 平均成本函数, 总收益函数分别为
C (q ) =10000+50q ,
10000(q ) =+50, q
R (q ) =80q .
而总利润函数为
L (q ) =80q -(10000+50q ) =30q -10000．
平均利润函数为:
L (q ) 1000L (q ) ==30-q q .
七、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求量为Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，
Q 考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 q =n ，进货
T
周期为 t =n . 假定每件物品的贮存单位时间费用为 C 1，每次进货费用为 C 2，每次进货量相同，进货间隔时间
q
不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 2， 在时间 T 内的总费用 E 为
1Q E =C 1Tq +C 2 2q
1Q 其中C 1Tq 为贮存费，C 2为进货费用. 2q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 y =ka b t
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期饱和期
当lg a <><1时，图形如上页所示. 由图可见，曲线当t="">0且无限增大时，其无限与直线y =k 接近，且始终位于该直线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和 .
范文五：经济学中的常用函数(可编辑)
经济学中的常用函数
函数与极限 经 济 数 学 下页 返回 上页 第六节 经济学中的常用函数 一、需求函数 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P的函数。记作 则 f 称为需求函数. 常见的需求函数: 其中 a,b,c,A 0 幂函数: 例 1 设某商品的需求函数为
解 它表示价格为零时的 需求量为 b ，称为饱和需求量; 它表示价格为 无人愿意购买此商品. 二、供给函数 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。记作 则 G称为供给函数. 一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替: 线性函数: 幂函数: 指数函数:
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点， 该点的横坐标称为供需平衡价格 . E 供需平衡点 供需平 衡价格 三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产 要素的投入量与产品的最大可能产量之 间的关系.一般说来，生产要素包括资金 和劳动力等多种要素 .为方便起见，我 们暂时先考虑只有一个投入变量，而其 他投入皆为常量的情况 . 例 2 规模报酬不变; 如果投入增加一倍，产出增 加不到一倍，即规模报酬递减; 如果投入增加一倍，产出增 加不止一倍，即规模报酬递增 . 四、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的 各种生产要素投入的价格或费用总额， 它由固定成本与可变成本两部分组成. 支付固定生产要素的费用 支付可变生产要素的费用 解 由题意，求产量为100时的总成本 五、收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表 示总收益, 表示平均收益，则 如果产品价格 P 保持不变，则 解 平均收益为 六、利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的总成 本
之差。即 解 七、库存函数 设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求 量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然 一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货， 每次进货批量为 ，进货周期为 . 假定 每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货费用为 ，每次进货
以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 在时量相同，进货间隔时间不变，
间 T 内的总费用 E 为 八、戈珀兹 Gompertz 曲线 戈珀兹 曲线是指数函数 在经济预测中，经常使用该曲线. 初始期 发展期 饱和期
且始终位于该直 线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充 分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将 达到市场饱和 . * * 需求的含义:消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要(
供给的含义:在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品(
例3 已知某种产品的总成本函数为
求当生产100个该产品时的总成本和平均成本(
例4 设某商品的需求关系是3Q+4P 100,求总收益和平均收益(
例5 设某种商品的总成本为
若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产10件的总利润(
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产100件，每日的固定成本为150元，每件的平均可变成本为10元, 1 试求该厂此元器件的日总成本函数及平均成本函数;(2)若每件售价14元，试写出总收入函数;(3)试写出利润函数。
6.某工厂生产某产品年产量为x台，每台售价为250元，当年产量在600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传后又可多出售200台，每台平均广告费为20元，生产再多，本年就售不出去了。试建立本年的销售总收入R与年产量x的关系。
1.设需求函数由P+Q 1给出，(1)求总收益函数P; 2 若售出1/3单位，求
其总收益。
2.某工厂对棉花的需求函数由 0.11给出,(1)求其总收益函数R;(2)P 12 ,R 10 , R 12 ,R 15 ,P 15 ,P 20 。
3.若工厂生产某种商品，固定成本200,000元，每生产一单位产品，成本增加1000元，求总成本函数。
