重溶日月-
范文一：高中数学 曲线与方程
9.9 曲线与方程
一、填空题
1．方程(x －y ) 2＋(xy －1) 2＝0表示的是________． ?x －y ＝0，
解析 (x －y ) ＋(xy －1) ＝0??
?xy －1＝0，
2
2
?x ＝1，∴??y ＝1
?x ＝－1，或?
?y ＝－1.
故此方程表示两个点． 答案 两个点 2．方程|y |－11－x －12
表示的曲线是________．
解析
?|y |－1≥02
原方程等价于?1－(x －1)≥0
?(|y |－1)2＝1－(x －1)2
?|y |－1≥0?? 22
?(x －1)＋(|y |－1)＝1
?y ≥1?y ≤－1??或? 2222?(x －1)＋(y －1)＝1?(x －1)＋(y ＋1)＝1答案 两个半圆
3. 动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等, 则点P 的轨迹方程为_______．
解析 考查抛物线定义及标准方程, 知P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为y 2=8x . 答案 y 2=8x
4．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若→PM ＝λ→MQ (其中λ为正常数) ，则点M 的轨迹为________． 解析 设M (x ，y ) ，P (x 0，y 0) ，则Q (x 0, 0) ， ?x －x 0＝λ(x 0－x )，→→由PM ＝λMQ 得?(λ＞0) ，
?y －y 0＝－λy
?x 0＝x ，∴? ?y 0＝(λ＋1)y .
由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1) 2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆
25. 设P 为双曲线-y 2=1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点, 则点M 的轨迹方程是 .
解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得 .
答案 x 2-4y 2=1
6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点
P 的轨迹是________．
解析 由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 椭圆
7．若△ABC 的顶点A (－5,0) 、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．
解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x >3)．
916
x 2y 2
答案
x 29
y 216
1(x >3)
8．对于曲线C ：
x 24－k
y 2k －1
1，给出下面四个命题：
①曲线C 不可能表示椭圆；
②当14； 5
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1b ＞0) 上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O
a b →＋PF →，则动点Q 的轨迹方程是______________．
为坐标原点，→OQ ＝PF 12→→→解析 由OQ ＝PF 1＋PF 2， →＋PF →＝→又PF PM ＝2→PO ＝－2→OP ， 12
y ?11?x 设Q (x ，y ) ，则→OP ＝－＝－x ，y ) ＝ －，
2?22?2y ??x
－，－，又P 在椭圆上， 即P 点坐标为
2??2
?x ?2?y ?2 － －?
x 2y 2?2??2?
则有2＋21，即2＋21(a ＞b ＞0) ．
a b 4a 4b
x 2y 2
答案 ＝1(a ＞b ＞0)
4a 24b 2
11．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动) 与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
解析 设动圆的圆心为M (x ，y ) ，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
2
??2r －d 21＝26，?2??2r －d 22＝24，
?r －d 21＝169，
即?2
?r －d 22＝144，
2
消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 3x －2y ＋3即
13
2
2x －3y ＋213
2
＝25.
化简得(x ＋1) 2－y 2＝65.
此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1) 2－y 2＝65
x y
12．直线＋＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______．
a 2－a
x y
解析 (参数法) 设直线＋＝1与x 、y 轴交点为A (a, 0) 、B (0,2－a ) ，A 、B
a 2－a 中点为M (x ，y ) ，则x ＝y ＝1－，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，
22
a a
x ≠1.
答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)
13．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一
条直线的平面内的轨迹是________．
解析 在边长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y ) 在平面ABCD 内且到A 1D 1与DC 之间的距离相等，∴|x |y 2＋a 2，
∴x 2－y 2＝a 2，故该轨迹为双曲线．
答案 双曲线 二、解答题
14. 求过直线x-2y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点, 且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点;
(2)有最小面积.
解析 设所求圆的方程是x 2+y 2+2x -4y +1+λ(x -2y +4)=0, 即x 2+y 2+(2+λ) x -2(2+λ) y +1+4λ=0. (1)因为圆过原点, 所以1+4λ=0,即λ=-.
4故所求圆的方程为x 2+y 2+x -y =0.
42
(2)将圆系方程化为标准式, 有:
(x +) 2+(y -2-λ) 2=(λ+) 2+.
2455
当其半径最小时, 圆的面积最小, 此时λ=-为所求.
5
故满足条件的圆的方程是(x +) 2+(y -) 2=.
555
点评:(1)直线和圆相交问题, 这里应用了曲线系方程, 这种解法比较方便; 当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小; 也可用几何意义, 即直线与相交弦为直径时圆面积最小. 15．如图，椭圆C ：
x 216
＋1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四4
y 2
边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点) ，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．
(1)求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；
(2)过点B 的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于点R 、S (不同于点B ) ，且它们的斜率
k 1，k 2满足k 1k 2＝－RS 过定点，并求出此定点的坐标． 解析 (1)由题意，得A (4,0)，B (0,2)，D (0，－2) ，E (2,0)，P (4,1)． 1
所以直线DE 的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－x ＋2.
4
14
?解方程组?1
y ＝－x ＋2，
4?
y ＝x －2，
16
?x ＝，?5得?
6y ＝??5.
?166?
所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为 ，.
?55??16?2?6?2 ??5??5?因为＋1，
164
x 2y 2?166?
所以点 ，在椭圆＝1上．
164?55?即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2)设直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.
?y ＝k x ＋2，
解方程组?x y
?16＋41，
12
2
2121
?x ＝0，得??y ＝2
16k
?x ＝－?1＋4k 或?
2－8k ??y ＝1＋4k 12
1
162－8k 2?1?
所以点R 的坐标为 －22.
?1＋4k 11＋4k 1?
11
因为k 1k 2＝－BS 的斜率k 2＝－.
44k 1直线BS 的方程为y ＝－
1
x ＋2. 4k 1
1
?y ＝－＋2，?4k
解方程组?
x y ??16＋41，
1
2
2
?x ＝0，
得??y ＝2
16k ?x ＝
?1＋4k ，或?
8k －2??y ＝1＋4k .
12
121
21
8k 2?16k 11－2?
所以点S 的坐标为 22.
?1＋4k 11＋4k 1?所以点R ，S 关于坐标原点O 对称． 故R ，O ，S 三点共线，即直线RS 过定点O .
16．已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A 、B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为2
的椭圆，其左焦点为F . 若点P 是圆O 上的一点，连接PF ，过原点O 作直线PF 2
的垂线交椭圆C 的左准线于点
Q .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切；
(3)试探究：当点P 在圆O 上运动时(不与点A 、B 重合) ，直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析 (1)因为a ＝2，e ＝
2
，所以c ＝1. 2
则b ＝1，即椭圆C 的标准方程为＋y 2＝1.
2
1
(2)因为P (1,1)，所以k PF ＝，所以k OQ ＝－2，所以直线OQ 的方程为y ＝－2x .
2又椭圆的左准线方程为x ＝－2，所以点Q (－2,4) ．
所以k PQ ＝－1. 又k OP ＝1，所以k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 与圆O 相切．
x 2
(3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切． 证明如下：
2
设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±1)，则y 20＝2－x 0，所以k PF ＝
y 0x 0＋1
k OQ ＝－
x 0＋1
. y 0
x 0＋1
所以直线OQ 的方程为y ＝－x .
y 02x 0＋2??
. 所以点Q －2，
y 0??
y 0－
所以k PQ ＝
2x 0＋2
y 0
x 0＋2
y 22x 0＋2－x 2x 0y 00－0－2x 0
，又k OP ＝，
x 0＋2y 0x 0＋2y 0y 0x 0
所以k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 始终与圆O 相切．
17．如图，在直角坐标系中，A 、B 、C 三点在x 轴上，原点O 和点B 分别是线段
AB 和AC 的中点，已知AO ＝m (m 为常数) ，平面的点P 满足PA ＋PB ＝6m
.
(1)试求点P 的轨迹C 1的方程；
y ??x
一定在某圆C 2上； (2)若点(x ，y ) 在曲线C 1上，求证：点 3，22??
(3)过点C 作直线l 与圆C 2相交于M 、N 两点，若点N 恰好是线段CM 的中点，试求直线l 的方程．
解析 (1)由题意可得点P 的轨迹C 1是以A 、B 为焦点的椭圆，
x 2y 2
且半焦距长c ＝m ，长半轴长a ＝3m ，则C 1的方程为22＝1.
9m 8m x 2y 2x y
(2)若点(x ，y ) 在曲线C 1上，则22＝1. 设＝x 0，＝y 0，
9m 8m 322则x ＝3x 0，y ＝2y 0.
x 2y 222
代入22＝1，得x 20＋y 0＝m ，
9m 8m y ??x
?一定在某一圆C 2上． 所以点 3，2??(3)由题意，得C (3m, 0) ．
22
设M (x 1，y 1) ，则x 21＋y 1＝m . ①
?x 1＋3m y 1?
，. 因为点N 恰好是线段CM 的中点，所以N
2??2?x 1＋3m ?2?y 1?2
＋ ＝m 2. ② 代入C 2的方程得
?2??2?联立①②，解得x 1＝－m ，y 1＝0. 故直线l 有且只有一条，方程为y ＝0.
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A (－4,0) ，B (4,0)，动点P 与点A 、B 1
连线的斜率之积为－.
4(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C ，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 3r . ①求圆M 的方程；
②当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解析 (1)设P (x ，y ) ，则直线PA 、PB 的斜率分别为
y y k 1＝k 2＝.
x ＋4x －4
1x 2y 2
由题意，知·＝－，即＋1(x ≠±4)．
x ＋4x －44164
y y
所以动点P 的轨迹方程是
x 216
＋1(x ≠±4)．
4
y 2
(2)①由题意，得C (0，－2) ，A (－4,0) ， 所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.
设M (a, 2a ＋3)(a ＞0) ，则⊙M 的方程为(x －a ) ＋(y －2a －3) ＝r . 3r ?2r
?，得a ＝. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r ＝d ＋
2?2?
2
2
2
2
2
r ??
所以⊙M 的方程为 x －2＋(y －r －3) 2＝r 2.
2??②假设存在定直线l 与动圆M 均相切． 当定直线的斜率不存在时，不合题意．
设直线l ∶y ＝kx ＋b ，
r ???k ×－r －3＋b ?
2??则r 对任意r ＞0恒成立． 2
1＋k ??k ?由? －1?r ＋??2?
b －3?＝r 1＋k 2，
??
?k ?
得 －1?2r 2＋(k －2)(b －3) r ＋(b －3) 2＝(1＋k 2) r 2. ?2?
?k ??－1?＝1＋k ，? ?2?所以?k －2b －3??b －3＝0.
2
2
2
＝0，
解得?
?b ＝3
?k ＝0，
?k ＝－43或??b ＝3.
所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．
范文二：高中数学参数方程公式
篇一:高中数学讲义-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程
一、教学目标
本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。
二、考纲解读
极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。
三、知识点回顾
(一)曲线的参数方程的定义:
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
?x?f(t)
1
?
y?f(t)?
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数( (二)常见曲线的参数方程如下:
1(过定点(x0，y0)，倾角为α的直线:
x?x0?tcos?y?y0?tsin?
(t为参数)
其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离(
根据t的几何意义，有以下结论(
1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB,tB?tA,?
(tB?tA)2?4tA?tB(
2(线段AB的中点所对应的参数值等于?
2(中心在(x0，y0)，半径等于r的圆:
tA?tB
( 2
x?x0?rcos?y?y0?rsin?
(?为参数)
2
3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆:
x?acos?x?bcos?
? (为参数) (或
)
y?bsin?y?asin?
中心在点(x0,y0)焦点在平
行于x轴的直线上的椭圆的参数方程
?x?x0?acos?,
(?为参数)?
?y?y0?bsin?.
4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线:
x?asec?x?btg?
(?为参数) (或)
y?btg?y?asec?
5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线:
x?2pt2
(t为参数，p,0)
y?2pt
直线的参数方程和参数的几何意义
0过定点P(x0，y0)，倾斜角为?的直线的参数方程是 ? (t
为参数)( y?y0?tsin??
?x?x?tcos?
3
(三)极坐标系
1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐
图1
标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数?、?对应惟一点P(?，?)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一(一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(?，?)(极点除外)的全部坐标为(?,?，2k?)或(??，?
?的取值范围加以限制(，(2k?1)?)，(k?Z)(极点的极径为0，而极角任意取(若对?、则
除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定?0，0??,2?或?<0，??,???等( 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，
点与坐标是一多对应的(即一个点的极坐标是不惟一的(
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分
4
别为: ????0??????
aa
???? cos?cos?
aaa
??????? sin?sin?cos(???)
???
??
a
cos?
???
acos?
图4
图5
???
a
??
sin?
asin?
??
acos(???)
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别
为(a?0): ???a ???2acos? ????2acos? ???2asin?
5
? ???2asin????2acos(???)
图1
图2
??a
??2acos?
2acos?
???
图4
图5
图6
??2asin?
???2a
sin?
??2acos(???)
直角坐标互化公式:
?
x
(直极互化 图)
5、极坐标与
四、例题讲解
1、已知一条直线上两点M1?x1,y1?、M2?x2,y2?，以分点
M(x，y)分M1M2所成的比?
6
为参数，写出参数方程。
?x?3?t??2(t为参数)的倾斜角是
2、直线?
?y?1?1t?2?
3、方程?
?x??1?tcos?
(t为非零常数，?为参数)表示的曲线是 ( )
y?3?tsin??
?x?5cos?5
4、已知椭圆的参数方程是?(?为参数)，则椭圆上一点 P
(，?2)的离
2?y?4sin?
心角可以是 A(
?2?4?5?
B( C(D(
3333
5、把弹道曲线的参数方程
x?v0cos??t,?(1)?
化成普通方程( ?y?vsin??t?1gt2,(2)0?2?
6、将下列数方程化成普通方程(
2?1?1?t2?
x?x?a(t?)x????2?x?2t2?x??my?1???1?t2t1?t??，??，
7
??，??，??(
2t1y?mx?12t??y?2t?y??y?b(t?)?y?2???t1?t??1?t2?
?x?cos2??x?acos?,
6?7? (?为参数,a?b?0) ??
?y?bsin?.?y?sin?
7、直线3x,2y，6=0，令y = tx ，6(t为参数)(求直线的参数方程(
?x?3t?5cos??1
8、已知圆锥曲线方程是? 2
y??6t?4sin??5?
(1) 若t为参数，?为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离;
篇二:高中数学:选修4-4_参数方程_练习题(教师版)
坐标系与参数方程 知识点
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(?,?)(??0),于是极坐标与直
在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程???,点M(
8
??
,)可以表示为44
?????5???(,?2?)或(,?2?)或(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程???. 44444444
二、参数方程 3(圆的参数
如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设
?x?rcos?
M(x,y)，则?(?为参数)。
?y?rsin?
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中?的几何意义是OM0转过的角度。 圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x?a)2?(y?b)2?r2， 它的参数方程为:?
?x?a?rcos?
(?为参数)。
?y?b?rsin?
4(椭圆的参数方程
x2y2
以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),其参数方程为
ab
?x?acos?y2x2
9
其中参数?称为离心角;焦点在y轴上的椭圆的标准方程是2?2?1(a?b?0),其参(?为参数)，?
ab?y?bsin?
?x?bcos?
数方程为?。 (?为参数),其中参数?仍为离心角，通常规定参数?的范围为??[0，2?)
y?asin??
注:椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角?区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外(即在0到2?的范围内)，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0???
?
2
时，相应地也有0???
?
2
，在其他象限内类似。
5(双曲线的参数方程
x2y2
以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为2?2?1(a?0,b?0),其参数方程为
10
ab
?x?asec??3?
??[0,2?)且??,??. ，其中(?为参数)?
22y?btan??
y2x2
??1(a?0,b?0),其参数方程为焦点在y轴上的双曲线的标准
方程是
a2b2
?x?bcot?
(?为参数，其中??(0,2?)e且???. ?
?y?acsc?
以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6(抛物线
的参数方程
?x?2pt2
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y?2px(p?0)的参数
方程为?(t为参数).
?y?2pt
2
7(直线的参数方程
经过点M0(x0,y0)，倾斜角为?(??
?
2
11
)的直线l的普通方程是y?y0?tan?(x?x0),而过M0(x0,y0)，倾斜
角为?的直线l的参数方程为?
?x?x0?tcos?
(t为参数)。
?y?y0?tsin?
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点M0(x0,y0)，倾斜角为?的直线l的参数方程为
?x?x0?tcos?
(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的?
y?y?tsin?0?
数量，当点M在M0上方时，t,0;当点M在M0下方时，t,0;当点M与M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
高二数学理科选修4-4参数方程测试题一
一、选择题
1?x,2cos ?,1(将参数方程?(a为参数)化成普通方程为( )(
y,,cos ??
12
A(2x，y，1,0
B(x，2y，1,0
C(2x，y，1,0(,3?x?1) D(x，2y，1,0(,1?y?1)
2(双曲线xy,1的参数方程是( )(
1?
??x,t2A(?
1,?
2?y,t?
?x,sin t
?B(?1
y,?sin t??et，e,t?x,?2D(?
2?y,
?et，e,t?
?x,tan t
?C(?1
y,?tan t?
x , 1,t cos 30?和3(对于参数方程???
?y , 2，t sin 30
??x , 1 ， t cos 30?的曲线，正确的结论是( )( ??2, t sin 30??y ,
A(是倾斜角为30o的平行线B(是倾斜角为30o的同一直线 C(是倾斜角为150o的同一直线D(是过点(1，2)的相
13
交直线 ???
xcos，sin??22
4(参数方程?(0???2?)的曲线( )(
?y,11，sin ?)?2?
A(抛物线的一部分，且过点(,1，B(抛物线的一部分，
且过点(1，
1
)2
1) 2
C(双曲线的一支，且过点(,1，D(双曲线的一支，且过
点(1，
1
) 2
1) 2
?x,2 ,t
5(直线?(t为参数)上与点A(2，,3)的距离等于1的点的
坐标是( )(
y,,3 ，t?
A((1，,2)或(3，,4)
B((2,2，,3，2)或(2，2，,3,) C((2,
222，,3，)或(2，，,3,) 2222
D((0，,1)或(4，,5)
14
?x,2cos ?
6(直线xcos ?，ysin ?,2与圆?(??为参数)的位置关系是( )(
y,2sin ??
A(相交不过圆心 B(相交且过圆心 C(相切 D(相离
?x,t
?
7(若点P(4，a)在曲线?2(t为参数)上，点F(2，0)，则|PF|等于( )(
??y,2tA(4B(5C(6
D(7
??x , cos ??
8( 已知点(m，n)在曲线?(?为参数)上，点(x，y)在曲线?x,24 cos ?(?为参数)上，则mx，ny的
??y,24 sin ??y 6 sin ?
最大值为( )(
,(12
B(15
C(24
D(30
?x,2cos ??
9(直线y,kx，2与曲线?至多一个交点的充要条件是
15
( )(
?ysin ??
A(k?[,
11
，]22
B(k?(,?，,
11
]?,，，?) 22
C(k?[,
22，] 22
D(k?(,?，,
22
]?,，，?) 22
?11?x,2cos ?
10(过椭圆C:?(??为参数)的右焦点F作直线l交C于M，
N两点，|MF|,m，|NF|,n，则，
mn???y3sin 的值为( )(
A(
2
3
B(
4 3
16
8C(
3
D(不能确定
二、填空题
?x,v0tcos ???
11( 弹道曲线的参数方程为?(t为参数，a，v0，g为常数)，当炮弹达到最高点时，炮弹飞
?y,v0tsin ?,1gt2??2
行的水平距离为 (
???x,tsin 20，3
12(直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的倾斜角为 (
?
??y,,tcos 20
??x13(曲线C1:y,|x|，C2:x,0，C3的参数方程为?(t为参数)，则C1，C2，C3围成的图形的面积
??y,t
为 (
?x,4，2cos ??x,tcos ?
14(直线?与圆?相切，则该直线的倾斜角,________(
y, 2sin ?y,tsin ???
?y，2?x,15(变量x，y满足?(t为参数)，则代数式的取值范围是 (
17
x，2??y,2,t
x2y2
1(0,b?4)上变化，则x2，2y的最大值为( 16(若动点(x，y)在曲线，2,
4b
三(解答题
17(已知直线l1过点P(2，0)，斜率为(1)求直线l1的参数方程;
(2)若直线l2的方程为x，y，5,0，且满足l1?l2,Q，求|PQ|的值(
4( 3
? ，4cos ??x,3sin
18(已知点P(x，y)为曲线C:?(??为参数)上动点，
y,4sin ? ,3cos ??
若不等式x，y，m,0恒成立，求实数m的取值范围(
1?x,t， ??t
19(经过点M(2，1)作直线交曲线?(t是参数)于A，B两点，若点M为线段AB的中点，求直线AB的方
1?y,t,
?t?
程(
1?
18
x,????x,2 ， 1 ，tcos ?t
20(已知直线l:?(t为参数，??R)，曲线C:?(t为参数)(
1?y,,1 ，tsin ?2?y,t, 1?
?t?
(1)若l与C有公共点，求直线l的斜率的取值范围; (2)若l与C有两个公共点，求直线l的斜率的取值范围(一、选择题
1(D解析:将cos ?,,y代入x,2cos ?,1，得普通方程x，2y，1,0，
篇三:高中数学参数方程大题(带答案)
参数方程极坐标系 解答题
1(已知曲线C:
+
=1，直线l:
(t为参数)
(?)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程(
(?)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30?的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值(
2(已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为:
，曲线C的参数方程为:
(α为参数)(
19
(I)写出直线l的直角坐标方程;
(?)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值(
3(已知曲线C1:
(t为参数)，C2:
(θ为参数)(
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=最小值(
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3:
(t为参数)距离的
4(在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为
，直线l的参数方程为
上不同于A，B的任意一点( (?)求圆心的极坐标;
(?)求?PAB面积的最大值(
(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C
5(在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为坐标系，直线的极坐标方程为
为参数)(以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极
(求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值(
6(在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为 (t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极
20
坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+)(
(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x，y)是曲线C上的动点，求x+y的最大值(
7(选修4,4:参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为线C的极坐标方程为
(
，曲
(?)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程; (?)若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l:
(t为参数)距离的最小值(
8(在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程标系(
(?)求圆C的极坐标方程; (?)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+Q，求线段PQ的长(
)=3
，射线OM:θ=
与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为
(φ为参数)(以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐
相关热词搜索:方程 公式 高中数学 参数 高中数学直线方程公式 高中数学回归方程公式
21
22
范文三：高中数学直线方程公式
1. 斜率公式
①若直线的倾斜角为α, 则k=tanα (α
②若直线过点P 1(x 1, y 1) 和P 2(x 2, y 2) 两点. 则k =
y 2-y 1x 2-x 1
2
≠
π2
)
-
2. 方向向量坐标 ：
1
2
1
x -x
3. 两条直线的平行和垂直
p p
1
2
=
1
x
2
-
x
(x
1
-
x , y
1
2
y
1
)=(1, k )
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2
①l 1||l 2?k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2?k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①l 1||l 2?
A 1A 2
=B 1B 2
≠C 1C 2
；
②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0
4.. 直线的五种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 (4)截距式
y -y 1y 2-y 1x +y
=
x -x 1x 2-x 1
(y 1≠y 2)(P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0) a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
5. “到角”及“夹角”公式 ： 设l ：y =k 1x +b 1 ； l
1
2
：y =
k
2
x +b 2 （）
（1）当k 1k 2
?-1
2
?l 1到l 2的角为θ，则tan θ=
1+k 1k 2
?
≠-1 时 ?
?1-2
与的角为θ，则tan θ=?l 1l 2
1+k 1k 2
?
（2）当k 1k 2=-1 时，两直线的夹角为
π2
6. 两点间的距离公式 若点A (x , y ) ，
1
则 AB =
=
(x
2
B
(x
2
2
,
y
1
2
-
x , y
1
-
2
y
) 即 终点坐标-始点坐标
2
2
)
x 2-x 1)+y 2-y 1x
2
若a =(x , y )?=
+
y
2
7. 点到直线间的距离公式
点p (x , y )到 l : Ax+By+C=0的距离为
d =
A
x
+B
2
y
+C
2
A +B
8. 平行线间的距离公式
l :Ax +By +C =0 与 l
1
1
2
:Ax +By +C 2=0
(c 1≠c 2) 的
距离为d =
c -c
1
22
A
2
+
B
9．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0) (除
直线x =x 0), 其中k 是待定的系数; 经过定点P 0(x 0, y 0) 的直线系方程为
A (x -x 0) +B (y -y 0) =0, 其中A , B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1) +λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(除l 2) ，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0) ，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0 (A≠0，B ≠0) 垂直的直线系方程是
Bx -Ay +λ=0, λ是参变量．
.
范文四：高中数学直线方程公式
1.斜率公式
,?若直线的倾斜角为α, 则k=tanα (α) ,2
yy,21?若直线过点和两点. 则 Pxy(,)Pxy(,)k,111222xx,21
11 2.方向向量坐标 : ，，，，,,,,,1,kppyyxx211221,,xxxx2121
3.两条直线的平行和垂直
(1)若， lykxb:,，lykxb:,，111222
? ;llkkbb||,,,,121212
?. llkk,,,,11212
(2)若,,且A、A、B、B都不为零, lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,121211112222
ABC111; ?ll||,,,12ABC222
? llAABB,,，,0121212
4..直线的五种方程
(1)点斜式 (直线过点，且斜率为)( yykxx,,,()Pxy(,)kl11111
(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). ykxb,，l
yyxx,,11 (3)两点式 ()(、 ()). yy,xx,Pxy(,)Pxy(,),1212111222yyxx,,2121
xy (4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，) ，,1ab、ab、,0ab
(5)一般式 (其中A、B不同时为0). AxByC，，,0
5.“到角”及“夹角”公式 :
设 : ; : () y,x，y,x，lkblkb111222
,,kk21,,到的角为，则tan,,ll121，kk12, (1)当 时 ,,1,kk12,,kk12与的角为，则,,tan,ll12,1，kk12,
, (2)当,,1 时，两直线的夹角为 kk122
6.两点间的距离公式
若点 ， ，，，，A,B,yyxx2122
则 即 终点坐标-始点坐标 ，，AB,,,,yyxx2121
22 AB,，，，,yy，，,xx2121
22 若 ，，a,x,y,a,，yx
7.点到直线间的距离公式
点到 l : Ax+By+C=0的距离为 ，，p,yx00
，，ABCyx00 ,d22，AB
8.平行线间的距离公式
，， 与 的 ,:Ax，By，,0:Ax，By，,0cclClC121122
,cc12 距离为 ,d22，AB
9(四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除Pxy(,)yykxx,,,()00000直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为xx,Pxy(,)k0000
,其中是待定的系数( AB,AxxByy()()0,，,,00
(2)共点直线系方程:经过两直线,lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,11112222的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的l()()0AxByCAxByC，，，，，,,2111222
系数(
(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行ykxb,，
直线系方程(与直线平行的直线系方程是()，AxByC，，,0AxBy，，,,0,,0
λ是参变量(
(4)垂直直线系方程:与直线 (A?0，B?0)垂直的直线系方程是AxByC，，,0
,λ是参变量( BxAy,，,,0
.
范文五：高中数学直线方程公式
直线方程公式 1.斜率公式
,00?若直线的倾斜角为α(0?α,180), 则k=tanα (α) ,2
yy,21?若直线过点和两点. 则k, Pxy(,)Pxy(,)111222xx,21
解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P(x,y)，P(x,y)的中点111222P(x,y)，则x=(x+ x)/2，y=(y+ y)/2。 000012012
11，，，，,,,,,1,k2.方向向量坐标 : ppyyxx211221,,xxxx2121
3.两条直线的平行和垂直
【1】两直线平行的判断
(1)若，，则l?l充要条件是k=k,且b?b。 lykxb:,，lykxb:,，121212111222
(2)若l:x=x， l:x=x，则l?l充要条件是x?x。 11221212
(3)不重合的两条直线l、l倾斜角分别为α、α，则l?l充要条件是α=α。 12121212
(4)l:Ax+By+C=0， l:Ax+By+C=0，且A、A、B、B都不为零，则l?l11112222121212
ABC111充要条件是AB-AB=0且BC-BC?0(或AC-AC?0)。。 ll||,,,12211221122112ABC222
【2】两直线垂直的判断
(1)若，，则l?l充要条件是k?k=-1。 lykxb:,，lykxb:,，1212111222
(2)若l的斜率不存在，则l?l充要条件是l的斜率为零。 1122
0a-a(3)两条直线l、l倾斜角分别为α、α，则l?l充要条件是=90。 12121212
(4)l:Ax+By+C=0， l:Ax+By+C=0，且A、A、B、B都不为零，则l?l11112222121212充要条件是AA+BB=0。 1212
【3】两直线相交的判断
(1)两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。
(2)两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。
(3)两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
(4)直线l:Ax+By+C=0， l:Ax+By+C=0，则AB-AB?0是两直线相交的111122221221充要条件。
【4】两直线重合的判断
当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合;当AB-AB=0且BC-BC=0(或12211221
AC-AC=0)时，两直线重合。 1221
4..直线的五种方程
(1)点斜式 (直线过点，且斜率为)( lkyykxx,,,()Pxy(,)11111
ykxb,， (2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). l
yyxx,,11 (3)两点式 ()(、 ()). ,yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,1211122212yyxx,,2121
xy (4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，) ab、ab、,0，,1ab
AxByC，，,0 (5)一般式 (其中A、B不同时为0).
5.“到角”及“夹角”公式 :
(1)夹角公式(与的角) ll12
kk,21(1)tan||,. ,1kk，21
(，,) lykxb:,，lykxb:,，kk,,111122212
ABAB,1221(2)tan||,. ,AABB，1212
(,,). lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,AABB，,0111122221212
,直线时，直线l与l的夹角是. ll,12122(2)到的角公式 ll12
kk,21tan,,(1). 1kk，21
(，,) lykxb:,，lykxb:,，kk,,111122212
ABAB,1221tan,,(2). AABB，1212
(,,). lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,AABB，,0111122221212
,直线ll,时，直线l到l的角是. 12122
6.对称问题
【1】关于点对称问题
(1)求已知点关于点的对称点
P(x，y)关于点Q(x，y)的对称点为(2 x- x，2 y- y)。 11000101
(2)直线关于点的对称直线
22设l的方程为:Ax+By+C=0(A+B?0)和点P(x，y)，求l关于P点的对称直线方00程。设P(x，y)是对称直线l任意一点，它关于P(x，y)的对称点(2 x- x，2 y- y)1111000101
在直线l上，代入得A(2 x- x)+B(2 y- y)+C=0，即Ax+By+C=0为所求对称直线的0101111方程。与已知方程平行。
常见和对称结论有:设直线l:Ax+By+C=0:
※l关于x轴的对称直线是Ax+B(-y)+C=0
※l关于y轴的对称直线是A(- x)x+By+C=0
※l关于原点的对称直线是A(- x)x+B(-y)+C=0
※l关于y=x的对称直线是Bx+Ay+C=0
※l关于y=-x的对称直线是A(-y)+B(- x)+C=0
【2】关于直线对称问题
(1)点关于直线的对称点
※设P(x，y)，l:Ax+By+C=0(A+B?0)，若P关于l的对称点的坐标Q为(x，y)，0022
,yy,A,,0,,,,1,,,,xxB,,,0则l是PQ的垂直平分线，即PQ?l，PQ的中点在l上，解方程组,，，xxyy,00A,，B,，C,0,22,可得Q点坐标。
※点A(x，y)关于直线x+y+c=0的对称点A的坐标为(-y-c, -x-c)，关于直线x-y+c=01
的对称点A的坐标为(y-c, x+c)，曲线(fx,y)=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为(f-y-c, -x-c)2
=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f(y-c, x+c)=0。
※一般地，点A(a,b)关于x轴的对称点的坐标为A(a,-b)，关于y轴的对称点的坐1标为A(-a,b)，关于y=x轴的对称点的坐标为A(b,a)，关于y=-x轴的对称点的坐标为A234
(-b,a)，关于x=m轴的对称点的坐标为A(2m-a,b)，关于y=n轴的对称点的坐标为A(a,2n-b)。 56
(2)直线关于直线的对称直线
若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质:
※若a、b相交，则l是a、b夹角的平分线;
※若点A在直线a上，那么点A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时，AB?l
且AB中点D在l上;
0※a以l为轴旋转180一定与b重合。
7、两点间的距离公式
若点 ， ，，，，A,B,yyxx2122
则 即 终点坐标-始点坐标 ，，AB,,,,yyxx2121
22 AB,，，，,yy，，,xx2121
22 若 ，，a,x,y,a,，yx
8.点到直线间的距离公式
点到 l : Ax+By+C=0的距离为 ，，p,yx00
，，ABCyx00 ,d22，AB
点到几种特殊直线的距离:
y※点P(x，y)到x轴的距离d=， 000
x※点P(x，y)到y轴的距离d=， 000
y,a※点P(x，y)与x轴平行的直线y=a的距离d=， 000
x,b※点P(x，y)与y轴平行的直线x=b的距离d=。 000
9.平行线间的距离公式
,cc12，，,:Ax，By，,0:Ax，By，,0 与 的距离为 lClCcc,d12112222，AB
10(四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点Pxy(,)的直线系方程为yykxx,,,()(除直线xx,),000000
k其中是待定的系数; 经过定点Pxy(,)的直线系方程为AxxByy()()0,，,,,其中AB,00000是待定的系数(
(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,11112222
线系方程为(除)，其中λ是待定的系数( ()()0AxByCAxByC，，，，，,,l1112222
ykxb,，(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方
AxByC，，,0AxBy，，,,0程(与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量( ,,0
AxByC，，,0(4)垂直直线系方程:与直线 (A?0，B?0)垂直的直线系方程是BxAy,，,,0,λ是参变量(
11、求最大值与最小值
在直线l上求一点P使PA，PB取得最小值时，“同侧对称异侧连”，即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点;两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。
PA,PB在直线l上求一点P使取得最大值时，“异侧对称同侧连”。
